R duction de mod le par POD - s1.e-monsite.coms1.e-monsite.com/2009/10/17/76832935reduction-de-modele-par-pod... · Réduction de modèle par POD ENIM 2007 Page 1 sur 55 SOMMAIRE

Réduction de modèle par POD ENIM 2007

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SOMMAIRE

A - INTRODUCTION GENERALE ..................................................................................................................................2

CHAPITRE I - DECOMPOSITION ORTHOGONALE AUX VALEURS PROPRES (POD).................................4

A - PRESENTATION DE LA POD..................................................................................................................................5 1 - L’équation de Fredholm..................................................................................................................................6 2 - Propriétés des fonctions de bases POD.............................................................................................8 3 - Optimalité de la base POD...........................................................................................................................11

B - LES DIFFERENTES APPROCHES DE LA TECHNIQUE POD................................................................................11 1 - Méthode classique..........................................................................................................................................11

a - Discussion sur la taille du problème aux valeurs propres.......................................................................................12 2 - Méthode snapshots.........................................................................................................................................13 3 - Critère de choix de méthode des snapshots ou POD classique?............................................................14 4 - Troncature de la base POD..........................................................................................................................15

C - CONCLUSION........................................................................................................................................................16

CHAPITRE II - : POD- ROM METHODOLOGIE .............. ......................................................................................17

A - MODELE D’ORDRE REDUIT BASE SUR LA POD : POD ROM....................................................................................18 1 - Projection de Galerkin .......................................................................................................................................18

a - Généralités........................................................................................................................................................................18 b - Modèles d’ordre faibles basés sur la POD........................................................................................................................19 c - Conditions aux limites......................................................................................................................................................21

2 - Détermination des fonctions de base POD ........................................................................................................23 3 - Détermination des coefficients de projection temporels ....................................................................................24 4 - Détermination des coefficients de prédiction temporels ....................................................................................24

B - APPLICATION AU CONTROLE ACTIF DES ECOULEMENTS.................................................................................26 1 - Système d’équation sans contrôle ......................................................................................................................27 2 - Système d’équation avec contrôle ......................................................................................................................27 3 - Technique de calibration du système POD ROM...............................................................................................28

C - IMPLEMENTATION SUR L’ENVIRONNEMENT MATLAB ..............................................................................................30 D - CONCLUSION...........................................................................................................................................................32

CHAPITRE III - : RESULTATS ET DISCUSSIONS.................................................................................................33

A - VALIDATION PAR UN CHAMP NUMERIQUE...............................................................................................................34 1 - Analyse POD......................................................................................................................................................35 2 - Valeurs propres..................................................................................................................................................35 3 - Modes propres....................................................................................................................................................35 4 - Coefficients.........................................................................................................................................................41

B - APPLICATION SUR DES MESURES PIV ......................................................................................................................43 1 - Analyse POD......................................................................................................................................................44 2 - Valeurs propres..................................................................................................................................................44 3 - Modes propres....................................................................................................................................................45 4 - Coefficients.........................................................................................................................................................50

CHAPITRE IV - : CONCLUSION ET PERSPECTIVES ......... .................................................................................52

BIBLIOGRAPHIES........................................................................................................................................................54


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A - Introduction Générale

Au cours de ces dernières décennies et malgré le développement important des outils

d’analyse des systèmes dynamiques, que ce soit sur le plan numérique, analytique ou même

expérimental plusieurs systèmes dynamiques à intérêts importants restent inaccessibles ou le cas

échéant partiellement inaccessibles tel que les mécanismes de transition d’un écoulement de fluide

du régime laminaire au régime turbulent qui ne sont pas complètement élucidés. Etant donné la

difficulté qu’apporte l’analyse directe des équations différentielles régissant cet écoulement. Pour

cela, des modèles à faibles dimensions pouvant approcher ces équations sont recherchés.

L’opération qui consiste à obtenir un modèle de faibles dimensions à partir d’un modèle complexe

s’appelle une « réduction de modèle ». La POD « Proper Orthogonal Decomposition », s’inscrit

dans ce cadre et permet d’obtenir une approximation de faibles dimensions par projection du

système d’équations non linéaires de Navier Stokes et de l’énergie sur une base de fonctions

déterminée à partir de données empiriques. Parmi les propriétés intéressantes de la POD figure

l’optimalité. En effet, elle permet de capturer les composantes dominantes d’un processus infini

avec seulement quelques « modes ». La POD a été introduite dans le contexte de la turbulence par

Lumley (1967). Dans d’autres domaines, cette procédure prend le nom de la décomposition de

Karhunen-Loève, outil principal d’analyse singulière des systèmes. Cette décomposition POD a

été utilisée dans différentes disciplines allant depuis les variables aléatoires jusqu’à l’identification

des procédés en génie chimique et en océanographie en passant par traitement d’images,

compression de données. En mécanique des fluides, la convergence rapide de l’énergie contenue

dans chaque mode POD justifie la représentation de l’organisation des structures à grandes

échelles par troncature aux premiers modes. Braud, (2003) montre, par une théorie

mathématique rigoureuse, qu’il est possible de reproduire même un comportement

chaotique correspondant aux caractéristiques d’un écoulement turbulent à partir d’un

système dynamique présentant trois degrés de liberté. L’approche POD suivie d’une

décomposition de Galerkin et le développement de la théorie des systèmes dynamiques constituent

alors des outils performants pour analyse de la réorganisation des structures cohérentes ainsi que

l’analyse de la stabilité et des bifurcations dans les écoulements. La première application de cette

décomposition POD est expérimentale et a été réalisée par Payne et Lumley (1967). Sirovich

(1987), a introduit la notion de Snapshot POD qui est réalisée classiquement à partir de données

possédant une résolution spatiale importante et une résolution temporelle plus faible, de type

simulation numérique directe ou DNS ou mesures de PIV.

Ce travail s’inscrit dans le cadre d’un Mastère à l’Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir.


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L’étude consiste à développer un modèle de faibles dimensions à partir de réalisations issues

de l’expérimentation ou de la résolution numérique. Le développement fait appel aux techniques

de décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD) et de Galerkin. La POD offre la

possibilité de décomposer les réalisations sur une base modale optimale moyennent des

coefficients de pondération. La troncature de cette base aux modes les plus énergétiques permet

compacter la taille des réalisations. Les coefficients issues de la décomposition POD sont très

dépendants des réalisations initiales et du temps d’échantillonnage. Afin de généraliser ces

coefficients, nous avons introduit la décomposition POD des réalisations dans les équations de

Navier-Stockes. Cette opération est connue sous le nom de la projection de Galerkin. La résolution

du jeu d’équations obtenu suite à la projection de Galerkin, permet de formuler un modèle pour

les coefficients POD. L’association de ce modèle avec les modes retenus suite à la troncature

forme un modèle d’ordre réduit à faibles dimensions pour l’écoulement étudié.

Par ailleurs, la troncature des modes POD à une faible dimension fait ignorer une partie de

l’énergie initiale des réalisationsnous avons utilisé une technique de calibration qui consiste à

corriger la viscosité en la majorant par un facteur à déterminer à partir de la conservation de

l’énergie entre les réalisations initiales et le modèle développé. L’information sur l’énergie étant

contenu dans les coefficients de la POD. Dans une première approximation nous avons supposé

que le facteur de majoration est constant pour tous les modes POD retenues.

Nous avons validé le modèle développé sur des réalisations numériques issues d’une

simulation DNS. La configuration étudiée est celle d’un écoulement autour d’un cylindre

(Re=200). L’écoulement étant caractérisé par une intense lâchée tourbillonnaire dans le sillage.

L’application de la POD a permis l’extraction des principaux modes de l’écoulement ainsi que les

coefficients de la dynamique de l’écoulement.

Par la suite, nous avons appliqué la routine développée sur une base de données expérimentale

traitant le cas d’un écoulement dans le sillage d’une plaque plane. Une configuration similaire à

celle du test de validation. Malgré le niveau important de bruit des mesures, la technique

développée a permis de produire un modèle à faibles dimensions satisfaisant qui permet de tenir

compte de la dynamique de l’écoulement étudié.


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Chapitre I - Décomposition Orthogonale aux valeurs Propres (POD)


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Dans ce chapitre, nous introduisons la technique POD et les différentes étapes de son

algorithme d’exécution ainsi que la réduction de modèle.

A - Présentation de la POD

La Décomposition Orthogonale aux valeurs Propres ou Proper Orthogonal

Décomposition (POD) est une technique élégante et très efficace d’analyse de données.

Elle permet d’approximer un système de dimension élevée par un autre de dimension

nettement plus faible. Essentiellement, cette méthode est une procédure linéaire, qui

consiste à déterminer une base de modes propres orthogonaux représentatifs par

définition (équation(I.2)) des réalisations les plus probables. Ces modes propres sont

obtenus par résolution d’une équation intégrale de Fredholm (équation (I.4)) dont le

noyau est construit à partir d’un ensemble de données provenant selon le cas de

simulations numériques ou d’expériences. Enfin, on peut montrer que ces fonctions

propres sont optimales au sens de la représentation énergétique (§ Chapitre I - A - 3 - ),

ce qui nous permet d’espérer pouvoir les utiliser pour construire un modèle réduit de

dynamique de l’écoulement.

Historiquement, la POD a été introduite en turbulence par Lumley (1967) comme une

méthode objective permettant d’identifier et d’extraire les structures cohérentes

d’un écoulement. Intuitivement, la POD peut être vue comme une idée naturelle pour

remplacer la décomposition de Fourier lorsque les directions de l’écoulement ne peuvent

plus être supposées homogènes ou périodiques. Ce problème étant assez général, cela

explique que la décomposition orthogonale ait été reprise de manière régulière au siècle

dernier. En effet, la POD est encore connue dans d’autres domaines scientifiques

sous le nom de Décomposition de Karhunen-Loève (Karhunen, 1946) ou analyse

d’Hotelling (Hotelling, 1933). Au delà du domaine historique d’application lié à la

turbulence, la POD couvre maintenant un vaste domaine d’utilisations regroupant

toutes sortes de disciplines. On la retrouve par exemple dans des applications au

traitement d’images pour la caractérisation de visages humains (Kirby et Sirovich,

1990) ou pour l’étude de l’activité neuronale (Sornborger et al., 2003), en analyse de

signal (Algazi et Sakrison, 1969), en compression de données (Andrews et al.,

1967) et beaucoup plus récemment en contrôle optimal (Ravindran, 2000a,b;

Afanasiev et Hinze, 2001). Le point central de toutes ces applications est

l’extraction des caractères dominants d’un ensemble de données, permettant


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d’accéder ainsi à une réduction de modèle.

1 - L’équation de Fredholm

Soit ( ), nX x t= une variable spatio-temporelle, considérons u(X ) un ensemble

d’observations, obtenu en Nt instants différents tn sur un domaine spatial noté

Ω. Par la suite, pour simplifier les notations, on considérera queX D +∈ = Ω× .

Selon le cas, ces observations seront des données expérimentales ou numériques

correspondant à des champs de vitesse, de vorticité, de température, ... Par ailleurs,

rien n’oblige à priori que les caractéristiques physiques du système ou les

paramètres de contrôle (nombre de Reynolds, par exemple) soient les mêmes pour

toutes les observations de la base de données (Christensen et al., 1998). Le problème à

résoudre consiste donc à extraire de ces champs considérés comme aléatoires, un mode

dominant ou encore structure cohérente. D’après Lumley (1967), une structure

cohérente correspond à la fonction déterministe la mieux corrélée en moyenne

aux réalisations u(X ). En d’autres mots, nous recherchons une fonction Φ qui

possède, au sens des moindres carrés, la plus grande projection sur les

observations i.e. qui maximise la quantité ( ) 2,u ψ . Or, puisque nous cherchons

uniquement à tester le parallélisme des fonctions Φ avec les observations, la

dépendance de l’amplitude de Φ doit être supprimée. Une manière de le faire est de

normaliser à 1, l’amplitude des fonctions Φ. Par conséquent, il est naturel de

s’intéresser à un espace de fonctions Φ pour lequel le produit scalaire existe. Un

choix naturel est donc d’imposer à Φ d’appartenir à l’espace des fonctions de carré

intégrable sur soit D, soit L2(D) Finalement, dans le but d’introduire les statistiques

relatives à l’ensemble des observations, nous allons chercher à maximiser l’expression :

( ) 2

2

,u ϕ

ϕ (I.1)

sous une certaine moyenne (temporelle, spatiale, moyenne de phase, ...) notée ici et que

l’on précisera au cas par cas. Le choix de l’opérateur de moyenne est au cœur des

différentes approches de la POD.

Par conséquent, d’un point de vue mathématique, la fonction Φ correspond

à la solution du problème d’optimisation avec contraintes suivantes :


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( )

( ) ( )2

2 2

2 2

, ,max

L D

u u

ψ

ψ ϕ

ψ ϕ∈= (I.2)

Avec

( ) 2, 1ϕ ϕ ϕ= =

Où ( ).,. .et représentent respectivement le produit scalaire canonique sur L2 et la norme

associée.

Bergmann 2004 a montré que le problème de maximisation (I.2) peut se

reformuler sous la forme d’un problème aux valeurs propres. Pour cela, il a introduit

l’opérateur ( ) ( )2 2: L D L Dℜ → définie par :

( ) ( ) ( ), ' ' 'D

X R X X X dXφ φℜ = ∫

Où ( ) ( ) ( )*, ' 'R X X u X u X= ⊗ est le tenseur des corrélations spatio-temporelles

en deux points.

A condition de supposer que l’on peut permuter les opérations de moyenne et

d’intégration, on obtient de manière évidente :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2

, * ' ' ',

* ' ' '. *

* ' * ' '

,

D

D D

D D

R u X u X X dX X

u X u X X dX X dX

u X X dX u X X dX

u

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

= ⊗

= ⊗

=

=

∫

∫ ∫

∫ ∫

En pratiquant de la même manière, il a pu montrer également que

( ) ( ), ,R Rϕ ψ ϕ ψ= quelles que soient ( ) ( ) 2

2, L Dϕ ψ ∈

On en déduit alors que R est un opérateur linéaire, auto adjoint et positif sur L2(D). Par

conséquent, la théorie spectrale s’applique (Riesz et Nagy, 1955) et garantit que le

problème de maximisation (I.2) admet une solution égale à la plus grande valeur propre

du problème

Rϕ λϕ= (I.3)


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que l’on peut reformuler comme une équation intégrale de Fredholm, soit :

( ) ( ) ( )1

, ' ' 'cn

ij j ij D

R X X X dX Xϕ λϕ=

=∑∫ (I.4)

où nc est le nombre de composantes de u.

Dans l’équation(I.4), l’intégrale . 'D

dX∫ est définie sur tout le domaine D considéré.

Par conséquent, le tenseur des corrélations en deux points Rij devra être connu sur tout

le domaine D. Le volume de données correspondant peut alors devenir rapidement très

conséquent (plusieurs giga octets ne sont pas rares) et il est alors nécessaire de faire

appel à une procédure de compression de données pour réduire la taille du stockage

(Cordier et Bergmann, 2002b, par exemple). Cela explique en grande partie qu’il a fallu

attendre les développements importants des méthodes numériques et expérimentales qui

se sont produits au début des années 90 pour voir un renouveau de l’utilisation de la

POD.

A titre de remarque, on peut constater que le problème de maximisation (I.2)

revient encore à maximiser le quotient de Rayleigh défini par ( ) ( ),

²

Rr

ϕ ϕϕ

ϕ= sous la

contrainte que ² 1ϕ = . Une condition nécessaire pour la solution est que le gradient du

quotient de Rayleigh soit nul. Or, le gradient du quotient de Rayleigh se calcule de la

manière suivante :

( ) ( )2T

r R rϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

∇ = −

Annuler celui-ci revient à imposer la condition :

( )R rϕ ϕ ϕ=

Le quotient de Rayleigh ( )r ϕ correspond donc à la valeur propre de l’opérateur R

associée au vecteur propreϕ . On retrouve ainsi le problème aux valeurs propres(I.3).

2 - Propriétés des fonctions de bases POD

A l’exception de l’optimalité de la POD, qui est discutée à la section Chapitre I -

A - 3 - , les propriétés principales des fonctions propres POD sont successivement


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présentées ici.

1. Dans un domaine d’intégration borné, la théorie de Hilbert-Schmidt in

Riesz et Nagy (1955) s’applique et assure l’existence d’une infinité

dénombrable de solutions au problème (I.5). L’équation de Fredholm

possède donc un ensemble discret de solutions satisfaisantes

( ) ( ) ( )1

, ' ' 'cn

j iij n n n

j D

R X X X dX Xϕ λ ϕ=

=∑∫ (I.5)

Où et in nλ ϕ représentent respectivement les valeurs propres et les fonctions

propres POD d’ordre 1,2,3...,n = +∞ . Chaque fonction propre est déterminée

comme solution du problème de maximisation (I.2) en imposant comme

contrainte supplémentaire d’être orthogonale à toutes les fonctions propres

trouvées précédemment. Ainsi, par construction, les fonctions propres sont

orthogonales mais, pour des raisons pratiques, elles sont généralement

choisies comme orthonormales.

2. L’opérateur R étant auto-adjoint et positif, toutes les valeurs propres sont

réelles et positives. Quitte à les rénuméroter, on peut toujours les indexer

par ordre décroissant :

1 2 ... 0λ λ λ+∞≥ ≥ ≥ f

Par ailleurs, ces valeurs propres forment une série convergente :

1n

n

λ+∞

=+∞∑ p

3. Les fonctions propres POD formant une base complète, toute réalisation u

pourra être reconstruite sur cette base :

( ) ( )1

ii n n

n

u X a Xϕ+∞

==∑

4. Par construction, les fonctions propres PODnϕ sont orthogonales deux à

deux. Toutefois, il est toujours possible de leur imposer d’être

orthonormales et de vérifier :

( ) ( )*

1

cni im n mn

i D

X X dXϕ ϕ δ=

=∑∫

5. Les coefficient de projection de u sur , ,naϕ peuvent alors être évalués en


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utilisant l’orthogonalité des fonctions propres.

( ) ( ) ( )*

1

,cn

in i n

i D

a u u X X dXϕ ϕ=

= =∑∫

6. La matrice des corrélations spatio-temporelle en deux points ijR peut se

décomposer en une série convergente (Courant et Hilbert, 1953) :

( ) ( ) ( )*

1

, ' 'i jij n n n

n

R X X X Xλ ϕ ϕ+∞

==∑

Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Mercer.

7. Le théorème de Mercer, combiné avec la représentation de u sur la base

PODϕ , et en tenant compte de l’orthonormalité des fonctions propres POD

permet de montrer que les coefficients de projection na sont non corrélés

entre eux et que leur moyenne quadratique est égale aux valeurs propres de

la POD.

*n m mn na a δ λ= (I.6)

La démonstration de cette relation peut être trouvée dans Cordier et

Bergmann (2002a, page 22).

8. Finalement, le théorème de Mercer et l’orthonormalité des fonctions

propres POD conduisent à :

( )1 1

,cn

ii ni nD

R X X dX Eλ+∞

= =

= =∑ ∑∫ (I.7)

Si les réalisations u représentent des champs de vitesse alors E

correspond à l’énergie cinétique turbulente intégrée sur tout le

domaine D. Chaque structure d’ordre (n) contribue donc de manière

indépendante à l’énergie cinétique turbulente. L’amplitude des valeurs

propres λn mesure l’importance relative des différents modes POD pour la

représentation de l’écoulement.


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3 - Optimalité de la base POD

Soient u(X) une fonction telle que ( )2u L D∈ et au une approximation de u, nous

pouvons écrire sur une base orthonormale quelconque ( ) , 1,2,...,n X nψ = +∞ :

( ) ( )1

a ii n n

n

u X b Xψ+∞

==∑

Par ailleurs soient ( ) ( ) ( ) 1 2, ,...,X X Xϕ ϕ ϕ∞ , un ensemble de fonctions propres

POD orthonormales et 1 2, ,...,λ λ λ∞ les valeurs propres associées, nous pouvons

également considérer l’approximation ( )Piu X de u sur la base POD :

( ) ( )1

P ii n n

n

u X a Xϕ+∞

==∑

Les équations (I.6) et (I.7) indiquent clairement que si les vecteurs de la base

( )in Xψ sont non dimensionnés alors l’expression *

n mb b représente l’énergie cinétique

moyenne comprise dans le nième mode. Le lemme suivant (Cordier et Bergmann 2002b),

établi l’optimalité de l’approche POD.

* *

1 1 1

N N N

n m n n mn n n

a a b bλ= = =

= ≥∑ ∑ ∑

Par conséquent, parmi toutes les décompositions linéaires, la POD est la

plus efficace dans le sens où, pour un nombre donné de modes POD N , la

projection sur le sous-espace engendré par les N premières fonctions propres POD

contient en moyenne la plus grande quantité d’énergie cinétique possible.

B - Les différentes approches de la technique POD

1 - Méthode classique

Cette approche correspond à celle introduite par Lumley (1967). Dans ce cas, la

moyenne <·> est temporelle :

1.

T

dtT

= ∫


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Elle est évaluée à l’aide d’une moyenne d’ensemble en invoquant des hypothèses de

stationnarité et d’ergodicité .La variable X, quand à elle, est assimilée à la variable

( )x , ,x y z= définie sur tout le domaineΩ .

Figure I-1: Représentation classique de POD classique (Bergmann 2004)

Le problème aux valeurs propres correspondant se déduit facilement de l’équation (I.5)

en remplaçant le domaine d’intégration D par et la variable X par x. L’équation intégrale

de Fredholm à résoudre est donc :

( ) ( ) ( )1

, ' ' 'cn

j iij n n n

j

R x x x dx xϕ λ ϕ= Ω

=∑∫ (I.8)

Où ( ), 'ijR x x est le tenseur des corrélations spatiales en deux points définis par :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1, ' , ', '

PODNi j

ij i j n n nnT

R x x u x t u x t dt x xT

λ ϕ ϕ=

= = ∑∫

où T est une période de temps suffisamment longue sur laquelle les réalisations

( ),u x t sont connues. Dans cette approche, les fonctions propres sont purement spatiales.

a - Discussion sur la taille du problème aux valeurs propres.

Soit M le nombre de points de l’espace où sont connues les réalisations utilisées

pour déterminer la base POD et nc le nombre de composantes vectorielles de u

alors POD cN M x n= . Si l’on considère que les réalisations contenues dans la base de

données utilisée pour résoudre la POD ont été déterminées à partir d’une simulation

numérique détaillée d’un écoulement, ou mesurée par Vélocimétrie à Images de


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Particules (Particle Image Velocimetry ou PIV) alors ce nombre de points de grille M

peut rapidement devenir très important.

Enfin, considérons que le nombre de réalisations nécessaire pour décrire

l’écoulement est égal à Nt où Nt << M. Dans ces conditions, même si le problème aux

valeurs propres peut être résolu de manière précise, beaucoup de temps de calcul peut

être économisé en cherchant à résoudre uniquement un problème de taille Nt. Cette

remarque est au coeur de la méthode des snapshots présentée à la section suivante.

2 - Méthode snapshots

La méthode des snapshots, conçue par Sirovich (1987a,b,c), est l’exacte

symétrique de la POD classique.

L’opérateur de moyenne correspond alors à une moyenne spatiale évaluée sur tout

le domaine :

. dxΩ

= ∫

et la variable X est assimilée à t.

Figure I-2: Représentation schématique de la méthode des snapshots ( Bergmann 2004)

L’idée, à la base de la méthode, est de considérer que les fonctions propres

spatiales ( )xϕ peuvent s’écrire comme combinaison linéaire des réalisations

( ), kx x t contenues dans la base de données, soit :

( ) ( ) ( )1

,tN

k kk

x a t u x tϕ=

=∑ (I.9)


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On recherche alors les coefficients ( ) , 1,...,k ta t k N= tels que les fonctions propres

ϕ soient solution de l’équation(I.8). Le problème aux valeurs propres à résoudre est

donné par (Cordier et Bergmann (2002a)) :

( ) ( ) ( ), ' ' 'n n n

T

C t t a t dt a tλ=∫ (I.10)

Ou ( ), 'C t t est le tenseur des corrélations temporelles défini comme :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1, ' , , ' '

PODN

i i n nn

C t t u x t u x t dx a t a tT T =Ω

= = ∑∫

Les caractéristiques principales de la méthode des snapshots sont les suivantes :

1. Les fonctions propres ne dépendent que du temps.

2. Les corrélations croisées n’apparaissent pas dans le noyau du problème.

3. Il n’est pas nécessaire de faire appel à une hypothèse d’homogénéité pour

éventuellement diminuer la taille du problème aux valeurs propres.

4. Les réalisations sont supposées linéairement indépendantes.

5. La taille du problème aux valeurs propres (I.10) est égale à POD tN N= . Par

conséquent, comme cela a déjà été mentionné à la section 2 - Chapitre I - B

- 1 - , la méthode des snapshots permet de réduire de manière considérable

le coût numérique associé à la résolution du problème POD, lorsque M, le

nombre de points en espace est bien plus grand que Nt, le nombre

d’échantillons temporels. Pour cette raison, à chaque fois que cette

condition sera vérifiée, la méthode des snapshots sera préférée.

3 - Critère de choix de méthode des snapshots ou P OD classique?

Puisqu’il existe deux différentes approches POD, il est légitime de se demander

comment choisir au cas par cas la méthode la plus performante?

La réponse à cette question dépende essentiellement du type de données

accessibles pour évaluer le noyau du problème POD.

Les données issues de simulations numériques qu’elles soient directes ou aux

grandes échelles, sont souvent très bien résolues en espace et en temps. Cependant, en

raison du coût de calcul souvent important, seul un petit échantillon temporel est

disponible. De même, si une bonne résolution spatiale est obtenue par vélocimétrie par

images de particules, la résolution temporelle est souvent faible. Ces deux


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configurations, caractérisées par une histoire temporelle limitée et par une résolution

spatiale élevée, correspondent à des situations pour lesquelles le tenseur des corrélations

temporelles ( ), 'C t t est statistiquement bien convergé. De l’autre côté, les techniques

anémométriques fils chauds ou Laser Doppler fournissent une description temporelle

bien résolue et des échantillons temporels très longs mais s’accompagnent d’une

description spatiale très limitée. Dans ces conditions, c’est le tenseur des corrélations

spatiales en deux points ( ), 'ijR x x qui est alors bien convergé statistiquement.

4 - Troncature de la base POD La base POD étant optimale d’un point de vue énergétique, cela suggère qu’un

petit nombre de modes noté Ngal peut être suffisant pour obtenir une bonne

représentation de n’importe quelle réalisation u. Il reste alors à définir un critère

mathématique permettant de qualifier la notion qualitative évoquée plus haut.

Soit NPOD , le nombre de modes POD obtenus par résolution de l’équation de

Fredholm (I.5), l’erreur de troncature, commise en ne retenant que les Ngal premiers

modes POD pour représenter une réalisation u, est donnée par :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2

1

2

1

,

,

gal

POD

gal

N

gal n nn

N

n nn N

N u X u X X X

u X X X

ε ϕ ϕ

ϕ ϕ

=

= +

= −

=

∑

∑

(I.11)

Pour déterminer la valeur de Ngal , un critère possible est de minimiser

l’erreur (I.11). Cependant, en pratique, ce critère n’est jamais utilisé et la

détermination de Ngal est plutôt basée sur des considérations heuristiques.

En effet, l’équation (I.7) indique que 1

galN

nn

λ=∑ correspond à l’énergie moyenne contenue

dans les Ngal premiers modes de la POD. Par conséquent, pour capturer la majorité de

l’énergie contenue dans les NPOD modes de la POD, il suffit de choisir Ngal tel

que1 1

galN N

n nn n

λ λ= =

≈∑ ∑ . Par définition, le rapport 1 1

galN N

n nn n

λ λ= =∑ ∑ est le pourcentage d’énergie

cinétique total représentée par les NPOD modes POD à être contenu dans Ngal premiers

modes de la POD. Pour un pourcentage d’énergie prédéfini Pε , la dimension Ngal des sous


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espace engendré par les Ngal première fonctions propres POD peut être déterminée de

façon que la condition

( )( )

1

1

gal

POD

N

ngaln

NPOD

nn

E NP

E N ε

λ

λ

=

=

= ≥∑

∑

soit vérifiée (Ravindran, 2000b; Fahl, 2000; Cordier et Bergmann, 2002b).

Finalement, le sous-espace POD contenant un pourcentage d’énergie cinétique

turbulente supérieur à Pε % de l’énergie du système initial correspond à 1 2, ,...,galNϕ ϕ ϕ .

C - Conclusion

Jusqu’ici, seul l’aspect réduction de modèle associé à l’approximation d’une

réalisation quelconque par les fonctions propres POD a été évoqué. Or,

l’optimalité énergétique de la POD suggère également qu’un tout petit nombre de

modes POD devrait suffire pour décrire la dynamique du système. Par conséquent,

il semble raisonnable d’espérer construire, à partir d’une base de données issue de

simulations numériques ou d’expériences, un système dynamique d’ordre faible par

projection de Galerkin des équations d’état sur les modes POD. Bien qu’il n’existe

pas, à l’heure actuelle, de preuve de l’optimalité de la base POD en terme de

modélisation de la dynamique, cette approche a d’ores et déjà été utilisé avec succès, que

ce soit en turbulence (Aubry et al., 1988; Ukeiley et al., 2001) ou pour des

applications du contrôle optimal au contrôle d’écoulement (Ravindran, 1999, 2000a,b;

Afanasiev et Hinze, 2001).


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Chapitre II - : POD- ROM Méthodologie


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Ce chapitre est consacré à la réduction de modèle à base de POD. La technique de

projection de Galerkin est introduite ainsi que la calibration du modèle réduit.

A - Modèle d’ordre réduit basé sur la POD : POD ROM

1 - Projection de Galerkin

a - Généralités

La projection de Galerkin est un cas particulier des méthodes à résidus pondérés. Ces

méthodes sont généralement utilisées pour résoudre des systèmes d’équations

différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles ou encore des équations intégrales.

Par exemple, dans notre cas, nous considérons l’équation :

( ) 0L u = (II.1)

Où L est un opérateur différentiel de ( )u x le champ scalaire inconnu défini sur

un domaineΩ . On cherche une approximation,%u , de la solution exacte, u . Le résidu de

l’équation (II.1) est définie par :

%( ) %( ) 0r u L u= = (II.2)

La meilleur approximation possible de u correspond à celle qui réduit au minimum

le résidu r pondéré par jw, fonctions quelconques, dites fonctions de pondération ou

encore fonction test, et cela de manière intégrale sur tout le domaine Ω. La méthode des

résidus pondérés consiste donc à annuler le résidu pondéré Rj , défini ainsi :

0, 1,..., .j jR w rd j nΩ

= Ω = =∫ (II.3)

Dans la méthode de Galerkin, les fonctions de poids sont choisies identiques aux

fonctions de base utilisées dans le développement de la solution approchée. Par

conséquent, si %u est approximée par

% ( ) ( )1

i ii

u x xχ ϕ∞

==∑ (II.4)

Où ( )i xϕsont les fonctions de base et iχ les coefficients à déterminer, alors les


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fonctions de poids sont telles que ( ) , 1,...,j jw x jϕ= = +∞. Le fait que u appartienne à

un espace vectoriel de dimension infinie est une difficulté pratique. L’étape de

discrétisation de la méthode de Galerkin consiste à tronquer la somme intervenant

dans l’équation (II.4) à un indice fini, noté imax , transformant ainsi le problème en

dimension finie. Par conséquent, l’équation (II.3) devient :

( ) %( ) max0, 1,..., .j x L u d j iϕΩ

Ω = =∫ (II.5)

Soit encore, en utilisant un produit scalaire homogène à celui considéré dans

l’équation (II.18) :

( )max

max1

, 0, 1,..., .i

i i ji

L x j iχ ϕ ϕ=

= =

∑ (II.6)

Finalement, la projection de Galerkin revient à imposer aux imax produits

scalaires définis par l’équation (II.6) de s’annuler.

Pour qu’une telle méthode fonctionne, nous devons nous assurer que les deux

conditions suivantes soient vérifiées (Rempfer, 1996) :

1. les fonctions de base ( )i xϕ doivent former un espace complet et, pour des raisons

pratiques qui deviendront évidentes à la section suivante, il est préférable que celles-ci

forment une base orthonormée.

2. les fonctions de base doivent satisfaire les conditions aux limites du problème.

b - Modèles d’ordre faibles basés sur la POD

En raison de leurs propriétés (§ Chapitre I - A - 2 - ), les fonctions de base POD,

( )i xϕ , sont bien appropriées pour être utilisées dans une projection de Galerkin.

Nous allons Considérer les équations de Navier Stokes écrites pour un fluide

incompressible étudié dans un domaine Ω :

( )uF u

t

∂ =∂

(II.7)

Où F est un opérateur différentiel spatial, ( ), , et 0u u x t x t= ∈Ω ≥ . A ces équations

sont ajoutées des conditions initiales ( ) ( )0, 0u x t u x= = et des conditions aux limites. En

mécanique des fluides, ces équations peuvent être utilisées dans le cadre d’un problème

de contrôle (instationnaire) de paroi. Supposons que les frontières Γ du domaine Ω


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peuvent se décomposer en des frontières Γc sur lesquelles le contrôle est appliqué et des

frontières Γ \ Γc non contrôlées. Les conditions aux limites s’écrivent alors :

( ) ( ) ( ), pour ,cu x t t c x xγ= ∈Γ (II.8)

( ) ( ), pour \ ,cu x t g x x= ∈Γ Γ (II.9)

Dans ces équations, γ(t) peut être interprété comme la variation temporelle de la

fonction spatiale c(x) sur Γc .

Le champ vectoriel u peut être projeté sur l’espace de dimension NPOD défini par

les vecteurs propres POD( )i xϕ , correspondant aux modes les plus énergétiques de

l’écoulement :

( ) ( ) ( )1

,galN

i ii

u x t a t xϕ=

=∑ (II.10)

En introduisant l’expression (II.10) de u dans l’équation(II.7), on obtient :

( ) ( ) ( )1 1

gal galN Ni

i i ii i

dax F a t x

dtϕ ϕ

= =

=

∑ ∑

Les fonctions ( )i xϕ formant une base, la relation précédente se réécrit :

( ) ( ) ( )1 21

, ,...,gal

gal

Ni

i j N ji j

dax F a a a x

dtϕ ϕ

=

=∑ ∑ (II.11)

Compte tenu de l’orthonormalité des fonctions propres POD, une projection de

Galerkin des équations (II.11) sur la base ( )n xϕ donne :

( )1 2, ,..., , 1,...,gal

nn N gal

daF a a a n N

dt= = (II.12)

L’opérateur F représentant les termes convectifs et diffusifs des équations de

Navier Stokes, l’opérateur F fait en général intervenir des combinaisons linéaires et

quadratiques des coefficients temporels an(t).

Pour que le système (II.12) soit bien posé, nous lui ajoutons les conditions

initiales ( ) 00n na t a= = avec ( ) ( )( )00 ,n na u x xϕ= .

En résumé, nous avons montré qu’en réalisant une projection de Galerkin sur les

fonctions de base POD, les équations de Navier Stokes pouvaient être approchées


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par un système dynamique d’ordre réduit (non- linéaire), représenté mathématiquement

par des Equations Différentielles Ordinaires (Ordinary Differential Equations, ODE).

c - Conditions aux limites

Nous avons montré, précédemment, que les fonctions POD ( )n xϕ , peuvent s’écrire

de manière linéaire en fonction des réalisations ( ),u x t :

( ) ( ) ( )1,n n

n T

x u x t a t dtT

ϕλ

= ∫ (II.13)

Où nλ représente les valeurs propres de la matrice de corrélation temporelle.

La relation (II.13) montre que les fonctions de base nϕ héritent des

propriétés qui peuvent s’écrire de manière linéaire et homogène en fonction des champs

de vitesse u. En particulier, dans le cas où les équations de Navier Stokes sont résolues

sur un domaine muni de conditions aux limites homogènes, i.e. u(x, t) = 0, alors les

fonctions de base POD vérifient également des conditions aux limites homogènes.

Dans ce cas, la décomposition suivante, réalisée sur les Ngal premiers modes POD,

peut être utilisée :

% ( ) ( ) ( )1

,galN

i ii

u x t a t xϕ=

=∑

Où %u est une approximation de Galerkin de la solution exacte de u des équations

de Navier Stokes.

Si maintenant les équations de Navier Stokes sont munies de conditions aux

limites non homogènes pour les vitesses, i.e. ( ), 0u x t = sur certaines frontières du

domaine de calcul, alors les fonctions de base POD ne peuvent plus être utilisées dans la

projection de Galerkin comme le montre l’équation(II.13). L’objectif est alors de

transformer le problème initial muni de conditions aux limites non homogènes en un

problème muni de conditions aux limites homogènes.

Si les conditions aux limites sont indépendantes du temps, i.e. si ( ) ( ),u x t f x= ,

nous calculons une base POD correspondante aux fluctuations des champs de

vitesse autour de la moyenne temporelle ( )mu x . Les fonctions de base POD sont alors


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estimées à l’aide des données modifiées ( ) ( ) ( ) ( ) 1, ,..., ,tm N mu x t u x u x t u x− − où tN est le

nombre de réalisations disponibles. Par construction, les champs ( )mu x et donc

( ) ( ), mu x t u x− sont à divergence nulle. Le champ moyen ( )mu x vérifie les

conditions aux limites non homogènes du problème et donc, le champ

( ) ( ) ( ), ,POD mu x t u x t u x= − vérifie, lui, des conditions aux limites homogènes.

En résumé, la base POD peut être déterminée dans le cas de conditions

aux limites non homogènes et indépendantes du temps par la décomposition suivante :

( ) ( ) ( ) ( )1

,galN

m i ii

u x t u x a t xϕ=

= +∑ (II.14)

Cette relation peut s’écrire de manière condensée

( ) ( ) % ( )1

,gal

gal

NNsi i

i

a t x u x tϕ=

=∑

En posant

% ( ) ( ) ( ), ,galN

s mu x t u x t u x= −

Les conditions aux limites non homogènes peuvent également dépendre du temps,

i.e. u(x, t) = f (x, t). Ce cas est très courant dans des problèmes de contrôle

instationnaire avec contrôle frontière par exemple. Afin de rendre les conditions aux

limites homogènes, nous adoptons la méthode de la fonction de contrôle Graham et al.

(1999a, b), Ravindran (2000a, b) et Fahl (2000), qui consiste à utiliser la décomposition

suivante :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

,galN

m c i ii

u x t u x t u x a t xγ ϕ=

= + +∑ (II.15)

Cette relation peut également s’écrire de manière condensée :

( ) ( ) % ( )1

,gal

gal

NNci i

i

a t x u x tϕ=

=∑

En posant

% ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,galN

c m cu x t u x t u x t u xγ= − −

La décomposition du champ de vitesse sur g a lN modes propres POD dans le cas


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d’un système contrôlé.

Ici ( )cu x est un champ de vitesse de référence traduisant de quelle manière le

contrôle ( ) ( )ct u xγ affecte l’écoulement. Le champ ( )cu x correspond aux conditions

aux limites suivantes :

( )

0 c

c

c x sur

sur

Γ

Γ Γ

Ainsi, le champ % ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,galN

c m cu x t u x t u x t u xγ= − − vérifie des conditions aux

limites homogènes et peuvent être utilisées dans une projection de Galerkin.

2 - Détermination des fonctions de base POD

Afin de déterminer les fonctions de base POD, nous avons utilisé la

décomposition(II.14). En définissant% ( ) ( ) ( ), ,galN

s i i mu x t u x t u x= − , le calcul des fonctions

de base s’effectue en plusieurs étapes :

1. Calcul du champ moyen ( )mu x obtenu sur l’ensemble des réalisations

( ) 1,...,

,t

i i Nu x t

= :

( ) ( )1

1,

tN

m iit

u x u x tN =

= ∑

2. Calcul de la matrice de corrélations temporelles Composantes ijc :

% ( ) % ( ), . , .gal galN N

s sij i jc u x t u x t dxΩ

= ∫

3. Calcul des valeurs propres 1,..., tNλ λ et des vecteurs propres

temporels 1,..., tNψ ψ , de la matrice C.

4. Calcul des fonctions POD spatiales iϕ par combinaison linéaire des

vecteurs propres temporels iψ et des réalisations et des réalisations % galNsu :

( ) ( ) % ( )1

,t

galN

Nsi i j j

j

x t u x tϕ ψ=

=∑

5. Normalisation des fonctions de base :


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ii

i

ϕϕϕ

=

3 - Détermination des coefficients de projection t emporels

Les coefficients de projection temporels ( ) ( )i ia t a tτ = peuvent se calculer

simplement en projetant la relation (II.14) sur la base POD. On a donc :

% ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1

, , ,gal

gal

NNs j i i j

i

u x t x a t x xϕ ϕ ϕ=

= ∑

Compte tenu de l’orthonormalité de la base POD 1,..., PODϕ ϕ, les coefficients de

projection temporels se déterminent simplement de la manière suivante :

( ) % ( ) ( )( ), ,galNsj ja t u x t xϕ=

4 - Détermination des coefficients de prédiction tempor els

Les coefficients de prédiction temporels sont, calculés par résolution d’un système

dynamique d’ordre réduit. Ce système est déterminé en réalisant une projection de

Galerkin des équations de quantité de mouvement du modèle de Navier Stokes sur les

fonctions de base POD, déterminées précédemment :

( ) 1, . ,

Rei i

uu u p u

tϕ ϕ∂ + ∇ = −∇ + ∆ ∂

Après intégrations par partie, en utilisant la formule de Green, on abouti à :

( ) ( ) ( )( ) [ ] ( )1 1, . , . ,

Re ReT

i i i i i

uu u p u p u

tϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∂ + ∇ = ∇ − ∇ ⊗ ∇ ⊗ − + ∇ ⊗ ∂

(II.16)

On constate que des termes faisant intervenir le champ de pression sont présents

dans l’équation (II.16). Le champ de pression ne se décomposant pas à priori sur la

même base que les champs de vitesse, la pression ne peut pas être facilement utilisé

dans une projection de Galerkin. On souhaite alors éliminer les termes de pression

indésirables. Le développement du champ de vitesse (II.14) est alors utilisé.

L’introduction de ce développement dans l’équation de continuité . 0u∇ = impose aux

fonctions de base d’être à divergence nulle, soit. 0iϕ∇ = . Le terme ( ), . ip ϕ∇ présent dans

l’équation (II.16) est alors égal à zéro.


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Le terme de pression [ ]ipϕ− s’annule sous plusieurs configurations :

Pression nulle : Ce terme s’annule sur toutes les frontières où la pression

de référence p est égale à zéro. Ceci est couramment le cas sur la

frontière d’entrée, Γe , du domaine de calcul. Parfois, cette condition

est appliquée sur la frontière de sortie pour des écoulements cisaillés

(Deane et al., 1991)

Conditions aux limites homogènes : Le terme de pression s’annule sur

les frontières où des conditions aux limites homogènes peuvent être

obtenues pour les fonctions de base iϕ , i.e. 0iϕ = . C’est le cas, par

exemple, des domaines d’écoulements possédant des frontières rigides

(Fahl, 2000, dans le cas d’une cavité).

Conditions aux limites périodiques : Lorsque des conditions aux limites

périodiques sont appliquées sur les frontières du domaine de calcul, le

terme de pression s’annule (Deane et al., 1991). Pour un écoulement de

canal simulé avec des conditions aux limites périodiques, le terme de

pression a alors une contribution nulle.

Frontières parallèles à l’écoulement : Ce terme s’annule également sur

les frontières qui sont locale- ment parallèles à l’écoulement car on a

alors . 0i nϕ = . Cette condition est vérifiée sur les frontières Γinf et Γsup. En

cas d’application du contrôle sur le cylindre, cette condition est également

vérifiée sur la frontière Γc.

Conditions aux limites "naturelles" : La combinaison du terme de

pression [ ]ipϕ− et du terme de vitesse ( )1

Re iu ϕ∇ ⊗ , peut s’annuler. Cette

combinaison est principalement effectuée sur la frontière de sortie ou

l’impose les conditions aux limites suivantes (Ravindran, 2000a) :

10 et 0

Re

u vp

x x

∂ ∂− + = =∂ ∂

Dans ce qui suit nous allons considérer des conditions aux limites « naturelles »


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B - Application au contrôle actif des écoulements

Le but ultime de ce travail est le contrôle de manière optimale des écoulements de

fluides visqueux et incompressibles. Prandtl (1925) a été l’un des premiers à

s’intéresser au contrôle d’écoulements d’un point de vue expérimental, en essayant de

retarder le décollement d’une couche limite. Cependant, avec Gad-el-Hak, (2002) et

Gunzburger, (1995) il y’a eu un regain d’intérêt pour le contrôle actif en mécanique des

fluides

Dans un problème d’optimisation numérique en Mécanique des Fluides, les

systèmes matriciels obtenus après discrétisation spatiale sont généralement de grande

taille. Or, les procédures d’optimisation étant souvent itératives, il est nécessaire de

résoudre les équations d’état un grand nombre de fois, ce qui représente au final la

majeure partie des temps de calcul. Il existe donc une réelle nécessité de développer des

modèles d’ordre réduit (Reduced Order Model, ROM) susceptibles d’approximer les

modèles discrétisés d’ordre élevé au cours du processus d’optimisation. Un grand

nombre de bases peut être utilisé pour réduire l’ordre des modèles, citons les

bases de Lagrange, d’Hermite, de Taylor, les bases POD, ...

Précédemment, il a été démontré que les fonctions propres POD formaient une

base complète de fonctions orthonormales, c’est à dire que chaque réalisation spatio-

temporelle u(x,t) pouvait se décomposer sur cette base de la manière suivante :

( ) ( ) ( )1

,PODN

n nn

u x t a t xϕ=

= ∑ (II.17)

Avec

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), , , .n n n

D

a t u x t x u x t x dxϕ ϕ= = ∫ (II.18)

Ou ( )n xϕ sont les fonctions propres spatiales POD et NPOD, le nombre total de

modes POD.

L’objectif est d’utiliser la convergence optimale énergétique des fonctions de base

POD pour construire un système dynamique d’ordre réduit pour les coefficients

temporels ( )na t . Une méthode classique pour obtenir ce type de système consiste à

utiliser une projection de Galerkin des équations d’état sur la base POD. Cette

méthode de Galerkin, permet d’obtenir, à partir d’un ensemble de réalisations ( ),u x t issu

par exemple d’une configuration non contrôlée de l’écoulement, un modèle d’ordre


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réduit des équations de Navier Stokes, capable de représenter la dynamique de la

configuration de départ.

1 - Système d’équation sans contrôle

On considère alors l’équation suivante :

( ) ( )( ) ( )1 1, . ,

Re ReT

i i i

uu u u u

tϕ ϕ ϕ∂ + ∇ = − ∇ ⊗ ∇ ⊗ + ∇ ⊗ ∂

(II.19)

L’introduction du développement (II.14) dans l’équation (II.19) donne le système

dynamique suivant :

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

gal gal galN N Ni

i ij j ijk j kj j k

da tA B a t C a t a t

dt = = =

= + +∑ ∑∑ (II.20)

muni de la condition initiale

( ) ( ) ( )( )00 , ,i ia u x t t xϕ= = pour 1,..., gali N=

Les coefficients A, B et C intervenant dans le système dynamique (II.20) s’écrivent :

( )( ) ( )( ) ( )1 1, . ,

Re ReT

i i m m i m m iA u u u uϕ ϕ ϕ= − ∇ − ∇ ⊗ ∇ ⊗ + ∇ ⊗

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1, . , . ,

Re ReT

ij i m j i j m i j j iB u uϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = − ∇ − ∇ − ∇ ⊗ ∇ ⊗ + ∇ ⊗

( )( ), .ijk i j kC ϕ ϕ ϕ= − ∇

2 - Système d’équation avec contrôle

La méthode générale est identique à celle présentée au paragraphe précédent. Les

seules différences sont :

la méthode de la fonction de contrôle est mise en œuvre : la

décomposition (II.15) est utilisée afin de prendre en compte le contrôle

dans le système POD.

le champ moyen est calculé de la façon suivante :

( ) ( ) ( ) ( )( )1

1,

tN

m cit

u x u x t t u xN

γ=

= −∑ (II.21)


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Le système dynamique réduit représentant l’écoulement contrôlé peut finalement

s’écrire pour 1,..., gali N=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

1 1 1 1

gal gal gal galN N N Ni

i ij j ijk j k i i ij j ij j k j

da t dA B a t C a t a t D F a t G

dt dt

γ ε γ γ= = = =

= + + + + + +

∑ ∑∑ ∑ (II.22)

Ces équations sont munies de la condition initiale

( ) ( ) ( )( )00 , ,i ia u x t t xϕ= = pour 1,..., gali N=

Des termes supplémentaires D, E, F et G interviennent dans le système(II.22). Ces termes

dépendent de la fonction de contrôle, uc et s’écrivent

( ),i i cD uϕ= −

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1, . , . ,

Re ReT

i i c m i m c i c c iu u u u u uε ϕ ϕ ϕ ϕ= − ∇ − ∇ − ∇ ⊗ ∇ ⊗ + ∇ ⊗

( )( ) ( )( ), . , .ij i j c i c jF u uϕ ϕ ϕ ϕ= − ∇ − ∇

( )( ), .i i c cG u uϕ= − ∇

3 - Technique de calibration du système POD ROM

On se propose ici d’optimiser le système d’ordre faible afin de restituer au mieux

l’information contenue sur chaque mode et cela à chaque instant.

La divergence de la solution du système dynamique (II.22) peut provenir de

l’erreur commise en négligeant le terme de pression sur la frontière de sortie lors de la

construction des coefficients intervenant dans le système réduit. Une autre explication,

plus probable, peut également être avancée. Les fonctions de base POD retenues pour

construire un modèle réduit de dynamique sont représentatives des caractères

énergétiques dominants d’un écoulement, générés par les grosses et moyennes structures.

Les plus petites structures sont, quant à elles, négligées du fait de leur faible apport

énergétique. Or, la dissipation visqueuse s’effectue principalement dans les petites

structures de l’écoulement. Par conséquent, le système POD ne dissipe pas assez

d’énergie et les modes prédits s’amplifient au cours du temps. Il convient donc de

modéliser les interactions entre les modes calculés (grandes échelles) et les modes non

résolus (petites échelles). En s’inspirant encore une fois de la Turbulence, une

modélisation naturelle d’interactions consiste à ajouter des viscosités artificielles dans le

système dynamique POD afin de le rendre plus dissipatif.


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La méthode la plus évidente est d’ajouter une viscosité globale dans le système

POD ROM. Ainsi, la viscosité ν du système POD, représentée par l’inverse du nombre

de Reynolds, sera remplacée parτν ν+ , où, par analogie avec la Turbulence, τν est une

viscosité tourbillonnaire à déterminer. La viscosité ν est donc multipliée par un facteur

correctif (1 + c) où c est une constante qu’il reste à évaluer. Concrètement, cela

revient à remplacer dans le système POD ROM, le terme 1 1

par Re Re

c+

Rempfer et Fasel (1994) puis Rempfer (1996) prolongent cette idée et considèrent

que chaque mode propre dissipe une certaine quantité d’énergie. Selon eux, il est donc

préférable d’ajouter une viscosité tourbillonnaire différente sur chacun des modes POD.

Ainsi, en conservant le formalisme précédent, et en supposant que iν est la

viscosité contenue sur le ième mode, la viscosité totale sur le ième mode devient

( )1 icν + , ce qui revient encore à remplacer 1

Re dans le système POD ROM par

1

Reic+.

Rempfer considère que cette viscosité tourbillonnaire, prise en compte par

l’intermédiaire du terme ci , varie comme une fonction linéaire des modes POD, soit :

xic K i= où K est une constante à déterminer.

Selon les traveaux de Cazemier (1997) et Cazemier et al. (1998), nous utilisons

des équations de transport de l’énergie cinétique modale afin de déterminer les viscosités

à ajouter au système POD ROM pour le stabiliser. Nous supposons que l’absence

d’interaction avec les modes non-résolus se traduit sur le système par une croissance

linéaire des coefficients de prédiction temporels. Pour éviter ce problème, nous ajoutons

alors un terme d’amortissement linéaire dans le système. Le système POD ainsi construit

s’écrit :

( )1 1 1

gal gal galN N Ni

i ij j ijk j k i ij j k

da tA B a C a a H a

dt = = =

= + + +∑ ∑∑ (II.23)

L’énergie contenue dans la directioniϕ , par le iéme modes, est2ia . La dérivée temporelle

de l’énergie du mode i est alors :

( )2

2i ii

da t daa

dt dt=


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L’équation de transport de l’énergie s’écrit donc :

( )2

1 1 1

2 2 2 2gal gal galN N N

ii i ij i j ijk i j k i i i

j j k

da ta A B a a C a a a H a a

dt = = =

= + + +∑ ∑∑

En moyenne l’énergie doit se conserver i.e 2

0ida

dt= . On a donc :

( )2

1 1 1

2 2 2 2 0gal gal galN N N

ii i ij i j ijk i j k i i i

j j k

da ta A B a a C a a a H a a

dt = = =

= + + + =∑ ∑∑

Si la solution du système POD ROM est sur l’attracteur du système dynamique alors les

propriétés de la POD imposent que i j i ija a λ δ= et que 0ia =

Soit :

1 1

0gal galN N

ijk i j k i ii i ij k

C a a a B Hλ λ= =

+ + =∑∑

Finalement, on obtient :

1 1

1 gal galN N

i ijk i j k iij ki

H C a a a Bλ = =

= − −∑∑ (II.24)

L’équation (II.24) obtenue, sera résolue en premier lieu, afin d’obtenir les

coefficients iH qui seront injecter dans (II.23) pour assurer la correction des coefficients ( )na t .

C - Implémentation sur l’environnement Matlab

Afin de mettre cette méthode de réduction de modèle par POD en exécution, nous avons

fait appel au Matlab comme logiciel de programmation, qui permet à la fois d’avoir une interface de

communication facile entre l’utilisateur et le PC et de faire sortir les résultat sous une base de

données qui pourrait par la suite être afficher (Figure II-1).

La routine développée est divisée en trois sous routine

1. La décomposition POD (Calcul des modes, des coefficients, troncature)

2. POD ROM

3. La calibration par ajout de la viscosité


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Figure II-1 : Interface du programme de calcul

Dans notre travail nous nous sommes intéressés à l’étude des champs de vitesse issue de la

PIV, et comme il a été discuté dans la section Chapitre I - B - 3 - du choix des méthodes, nous

allons opter pour la méthode des Snapshots.

Sachant que la famille d’observations discrètes ( ) 1,...,,

tk k N

u x t=

prises à des

instants ( )1 1,..., 1t t N t+ − ∆ , la matrice de corrélation temporelle s’écrit dans ce cas :

( ) ( ) ( )( )1, , , ,i jC i j u x t u x t

N= (II.25)

Cette matrice est bien évidemment symétrique et définie positive. Elle est donc

diagonalisable, et admet pour valeurs propres 1 2 ... 0Nλ λ λ> > > > qui ont été ordonnées dans le

sens décroissant. Notons par ( ) ( ) ( )1 2, ,..., NV V V les vecteurs propres associées à ces valeurs propres

(issues de la diagonalisation de( ),C i j )

Ces vecteurs vérifient la propriété suivante :

( ) ( )( ) 1,k l

klk

V VN

δλ

=

Le mode d’ordre k de la décomposition POD, associé à la valeur propre kλ s’écrit dans ce

cas :

( )( )

( )1

,kN

jk j

j k

Vx u x t

Nϕ

λ==∑


Page 32 sur 55

Dans la pratique, au lieu de formuler le problème comme présenté dans l’équation (II.25) ,

il est préférable de définir la matrice de corrélation temporelle sous la forme suivante :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1, , , ,i jC i j u x t u x u x t u x

N= − −

Où

( ) ( )1

1,

N

ii

u x u x tN =

= ∑

Dans ce cas le champ ( ),u x t peut s’écrire :

( ) ( ) ( ) ( )1

,N

k kk

u x t u x a t xϕ=

= +∑

D - Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons exposé les différentes étapes de l’obtention d’un modèle

d’ordre réduit POD ROM.


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Chapitre III - : Résultats et discussions


Page 34 sur 55

Dans ce chapitre, nous présentons une validation de algorithme développé en utilisant un

ensemble de réalisation DNS avant d’appliquer cette routine sur des réalisations issues de

l’expérience obtenue par PIV.

A - Validation par un champ numérique

La base de données employée à été fournie amicalement par les collègues de l’IMFT. Elle

représente un ensemble réalisations numériques issues d’une simulation DNS d’un écoulement

derrière un cylindre.

Le champ moyen est représenté sur la Figure III-1, les caractéristiques de l’écoulement

étudié sont les suivantes (Bergmann 2004) :

o Ecoulement autour d’un cylindre (non contrôlé)

o Le nombre de Reynolds =200

o La période est égale 6 s

o La résolution est de 230 x 200

Figure III-1 : Champ moyen de vitesse


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1 - Analyse POD La décomposition en modes propres orthogonaux (POD) basée sur la méthode des «

snapshots » permet de projeter chaque réalisation, dont on a soustrait la moyenne d’ensemble

( ) >< txU ,r

du champ de vitesse, sur une base modale suivant la relation :

200

1

( , ) ( ). ( )nnn

u x t a t xϕ=

=∑r r ur r

(III.1)

Dans la suite, les valeurs propres nλ associées aux modes )(xnφ sont rangées dans l'ordre

décroissant. nλ représente la contribution du mode )(xnφ à l’énergie totale de l’écoulement

fluctuant.

2 - Valeurs propres

Nous donnons dans le tableau suivant les valeurs propres associées aux premiers modes. On

remarque que chaque paire de modes successifs présente un poids énergétique de même ordre. Le

premier et le deuxième mode contiennent chacun plus de 46% de l’énergie totale. Le poids de ces

deux modes est supérieur à 96%. Ceci explique l’importance de ce mode dans la structure globale

de l’écoulement. Les deux modes suivants (3 et 4) contiennent moins d’énergie (46 fois plus faible),

mais la somme de leur énergie ne dépasse pas les 2%. La contribution énergétique individuelle des

modes suivants est plus marginale. Cette analyse énergétique montre que les quatre premiers modes

fluctuants contiennent plus de 98 % de l’énergie du signal. Une troncature dans la décomposition à

l’ordre 4 sera étudiée dans la suite de ce travail.

Numéro du mode Poids énergétique (%) Somme cumulée (%)

1 50.40% 50.40% 2 46.10% 96.40% 3 1.00% 97.50% 4 1.00% 98.50%

Tableau III-1 : Valeurs propres fournies par le calcul POD

3 - Modes propres Nous présentons, sur la Figure III-2 , Figure III-5 , Figure III-4 et Figure III-5 les quatre

premiers modes spatiaux issus de l’analyse POD. Il apparaît très clairement que les modes sont

deux à deux complémentaires.

Les deux premiers modes (Figure III-2 et Figure III-5) possèdent une structure spatiale axi-

antisymétrique : les structures tourbillonnaires associées au mode 2 sont décalées spatialement d’un


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quart de longueur d’onde sur l’axe de symétrie par rapport à celles du mode d’ordre 1. Une certaine

forme d’organisation de ces structures est visible. On observe l’alternance de l’apparition sur l’axe

médian de structures contrarotatives. C’est pourquoi les valeurs propres correspondantes sont

pratiquement du même ordre de grandeur.


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Figure III-2 : Premier mode propre fluctuant issu de la décomposition POD :

représentation du champ de vitesse (en haut), et la carte de la norme (en bas).


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Figure III-3 : Deuxième mode propre fluctuant issu de la décomposition POD :



Page 39 sur 55

Les modes 3 et 4 (Figure III-4 et Figure III-5), quant à eux, ne le sont plus. Une forme

d’évolution par convection d’un mode à un autre est visible : les modes 3 et 4 doivent donc aussi

être associés.

Figure III-4 : Troisième mode propre fluctuant issu de la décomposition POD :



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Figure III-5 : Quatrième mode propre fluctuant issu de la décomposition POD :



Page 41 sur 55

4 - Coefficients

Les deux premiers coefficients (Figure III-6) possèdent une bonne prédiction au niveau de

la projection de Galerkin. Nous remarquons que les courbes coïncident parfaitement, sachant que

les deux premiers modes emmagasinent 96.4% de l’énergie cinétique, la reconstruction du champ

de vitesse à partir de ces deux modes serai donc fiable.

Figure III-6 Représentation des coefficients a1 et a2 issus de la décomposition POD (Valeurs discrète), de la

projection de Galerkin et de la calibration des cœfficients de la projection de Galerkin


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Les coefficients a3 et a4 (Figure III-7), quant à eux, ne le sont plus. Il y’a eu une légère

différence au niveau de la projection de Galerkin et qui a été corrigé un petit peu avec la calibration.




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B - Application sur des mesures PIV Les mesures PIV réalisées dans cette partie ont été réalisées dans la thèse de Ben Cheikh

(2004). Elle traite l’écoulement derrière le culot d’une plaque plane. La zone d’essais est limitée en

envergure par des plaques de garde afin de s’approcher au maximum d’une configuration

bidimensionnelle. L’envergure résultante est de 100 mm. La plaque plane, de longueur L= 520 mm,

est placée sans incidence par rapport à l’écoulement. Elle se termine par un culot à angle droit de

hauteur h=12 mm.

Théoriquement, les propriétés de l’écoulement autour d’une plaque plane dépendent

essentiellement de deux paramètres qui sont le nombre de Mach incident, M, qui reste faible dans

notre cas (M< 0,1), et le nombre de Reynolds, ν

= ∞LUReL basé sur la longueur de

la plaque. Pour la valeur de la vitesse amont, =18 m/s, le nombre de Reynolds basé sur la

longueur L est de LRe =2 410 .

Les mesures de vitesses sont effectuées par vélocimétrie par images de particules (PIV) dans

le plan vertical de symétrie de l’installation, et seules les composantes de vitesse dans ce plan sont

étudiées. Le système d’acquisition et de traitement est un système commercial de marque Dantec

fonctionnant à une cadence de 4,5 Hz. La caméra utilisée possède un capteur CCD de 1280 * 1024

pixels. La dimension des fenêtres d’interrogation est de 0.870 mm x 0.871 mm. Les mesures sont

faites dans un domaine contenant le sillage, et les moyennes statistiques sont alors établies à l’aide

de 200 acquisitions réparties aléatoirement.

Les caractéristiques suivantes :

o Ecoulement derrière une plaque (non contrôlé)

o Le nombre de Reynolds =20000

o La période est égale 6.791 s

La Figure III-8 montre le champ de vitesse moyen. On peut facilement distinguer le sillage

moyen symétrique qui s’est formé au culot de la plaque. Il est dominé par deux structures

contrarotatives, le sillage s’étend de façon visible jusqu’à la distance x/h = 2 environ.

∞U


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Figure III-8 : Champ moyen de vitesse

1 - Analyse POD

La décomposition en modes propres orthogonaux (POD) basée sur la méthode des «

snapshots » permet de projeter chaque réalisation, dont on a soustrait la moyenne d’ensemble

( ) >< txU ,r

du champ de vitesse, sur une base modale suivant la relation :

200

1

( , ) ( ). ( )nnn

u x t a t xϕ=

=∑r r ur r

(III.2)

Dans la suite, les valeurs propres nλ associées aux modes )(xnφ sont rangées dans l'ordre

décroissant. nλ représente la contribution du mode )(xnφ à l’énergie totale de l’écoulement

fluctuant.

2 - Valeurs propres

Nous donnons dans le tableau suivant les valeurs propres associées aux premiers modes. On

remarque que chaque paire de modes successifs présente un poids énergétique de même ordre. Le

premier et le deuxième mode contiennent chacun plus de 36% de l’énergie totale. Le poids de ces

deux modes est supérieur à 75%. Ceci explique l’importance de ce mode dans la structure globale

de l’écoulement. Les deux modes suivants (3 et 4) contiennent moins d’énergie (18 fois plus faible),

mais la somme de leur énergie dépasse les 5%. La contribution énergétique individuelle des modes


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suivants est plus marginale. Cette analyse énergétique montre que les quatre premiers modes

fluctuants contiennent plus de 80 % de l’énergie du signal. Une troncature dans la décomposition à

l’ordre 4 sera étudiée dans la suite de ce travail.

Numéro du mode Poids énergétique (%) Somme cumulée (%)

1

2

3

4

39.19

36.66

2.40

2.02

39.2

75.6

78.0

80.3

Tableau III-2 : Valeurs propres fournies par le calcul POD

3 - Modes propres

Nous présentons, sur la Figure III-9, la Figure III-10, la Figure III-11 et la Figure III-12, les

quatre premiers modes spatiaux issus de l’analyse POD. Il apparaît très clairement que les modes

sont deux à deux complémentaires.

Les deux premiers modes (Figure III-9 et Figure III-10) possèdent une structure spatiale

axi-antisymétrique : les structures tourbillonnaires associées au mode 2 sont décalées spatialement

d’un quart de longueur d’onde sur l’axe de symétrie par rapport à celles du mode d’ordre 1. Une

certaine forme d’organisation de ces structures est visible. Ils représentent le mode de convection

des structures cohérentes qui se forment dans le sillage de la plaque plane. On observe l’alternance

de l’apparition sur l’axe médian de structures contrarotatives. C’est pourquoi les valeurs propres

correspondantes sont pratiquement du même ordre de grandeur. Ces résultats sont similaires à celle

cités dans Ben Chiekh et al. 2004


Page 46 sur 55

Figure III-9 : Premier mode propre fluctuant issu de la décomposition POD :



Page 47 sur 55

Figure III-10 : Deuxième mode propre fluctuant issu de la décomposition POD :


Les modes 3 et 4 (la Figure III-11 et la Figure III-12), quant à eux, sont axisymétriques.

Une forme d’évolution par convection d’un mode à un autre est visible : les modes 3 et 4 doivent

donc aussi être associés.


Page 48 sur 55

Figure III-11 : Troisième mode propre fluctuant issu de la décomposition POD :



Page 49 sur 55

Figure III-12 : Quatrième mode propre fluctuant issu de la décomposition POD :



Page 50 sur 55

4 - Coefficients

Les deux premiers coefficients (Figure III-13) possèdent presque les mêmes

caractéristiques :

• La projection de Galerkin suit la même allure sauf que au ne légère différence se

manifeste au niveau des pics.

• La calibration raffine les résultats

0 10 20 30 40 50 60 70-15

-10

-5

0

5

10

15

POD

GalerkinGalerkin + Calibration

0 10 20 30 40 50 60 70-15

-10

-5

0

5

10

15

POD

Galerkin

Galerkin + Calibration




Page 51 sur 55

Les coefficients a3 et a4 (Figure III-7), quant à eux, ne le sont plus. Un déphasage

remarquable s’ajoute et s’amplifie de plus en plus au cours du temps.

0 10 20 30 40 50 60 70-6

-4

-2

0

2

4

6

POD

Galerkin


0 10 20 30 40 50 60 70-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

POD

Galerkin





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Chapitre IV - : Conclusion et Perspectives


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L’idée de base de ce travail de mettre en pratique un programme qui permet de faire

décomposition aux valeurs propres, de faire la réduction de modèle (POD ROM) et de l’améliorer.

La réduction de modèle est basée sur la projection de Galerkin et la résolution des équations

de Navier Stokes.

Il ressort de cette étude :

- La décomposition POD est un outil qui permet d’avoir une représentation dynamique

d’un champ énorme de vitesse dans quelques modes;

- La projection de Galerkin permet de transformer représentation dynamique à valeurs

discrète en une représentation dynamique continue qui pourra être utilisé pour la

prédiction

- La calibration de la projection de Galerkin par la méthode d’ajout d’un terme linéaire

permet de calibrer les résultats de projection en assurant la conservation de l’énergie

du signal. D’autres techniques de calibration plus complexes sont envisageables.


Page 54 sur 55

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Documents

R duction de mod le par POD - s1.e-monsite.coms1.e-monsite.com/2009/10/17/76832935reduction-de-modele-par-pod... · Réduction de modèle par POD ENIM 2007 Page 1 sur 55 SOMMAIRE