R Sum -Formules Et m Thodes-I 2040-2041

Rsum de Physique Chimie TSI Formules et mthodes - 1 -

Ce polycopi rappelle les formules de 1re et 2me anne de CPGE TSI. Except en Maths, il est constitu de trois colonnes qui fonctionnent en parallle. Dans la premire colonne, se trouvent les formules essentielles qui sont connatre (ou quil faut savoir retrouver trs rapidement). Dans la deuxime colonne, vous trouverez des pistes de dmonstrations, des remarques, des astuces ou moyens mnmotechniques Dans la troisime colonne sont prcises les grandeurs cites dans la premire.

I Maths

Puissances et logarithmes

( )bax = xab ln (a b) = ln a + lnb exp (a + b) = (exp a) (exp b)

log x = 10lnxln

ln ad = d ln a log ad = d log a

Coniques

( )cose1

pr

+= e = 2

2

a

b1 p = a

b2

a : demi grand axe ; b : demi petit axe

la conique est : une ellipse si 0 < e < 1 une parabole si e = 1 une hyperbole si e > 1 un cercle si e = 0

Complexes

Z = a + j b = r ej *Z = a - j b = r e-j *Z : complexe conjugu de Z .

Re

Im

M( Z )

a

b

r

Les coordonnes polaires sont lies aux complexes par

rer)(r,OM =

cos = 2

ee jj +

sin = 2j

ee jj

Drivation des complexes

y = A ej(t+)

dtdy

= jy

2

2

dtyd

= - 2 y

Dveloppements limits

(1 + ) = 1 + + ( ) 22!

1 +

( rationnel) ln (1 + ) = -

2

2

+

!2

1e2

++=

sin = - 3!

3

+

cos = 1 - 2!

2

+

Rsum de Physique Chimie TSI Formules et mthodes - 2 - Equations diffrentielles

Equation diffrentielle du 1er ordre

b

ydtdy

=+ Solution : bAey t

+=

Les constantes se calculent avec les conditions initiales.

Equation diffrentielle du 2me ordre

cydtdy2

dtyd 2

02

2

=++

les solutions sont du type y = A ert

do lquation caractristique : r2 + 2r + 20 = 0

soit (r + )2 = 2 - 20 : On calcule = 2 -

20 .

Si > 0, le rgime est apriodique : les racines du polynme caractristique sont relles ( 202 r = ) et

20

tt

cBeAe(t)y20

220

2

++=

+

Si < 0, le rgime est pseudo - priodique : les racines sont complexes

( 220 jr = = - j o est la pseudo-pulsation) et

( ) 20

t

cetsinBtcosA(t)y ++=

Formules de trigonomtrie

cos2a + sin2a = 1

cos (a+b) = cosa.cosb-sina.sinb cos (a-b) = cosa.cosb+sina.sinb sin (a+b) = sina.cosb+cosa.sinb sin (a-b) = sina.cosb-cosa.sinb tan(a+b)=

btanatan1btanatan

+

cos(2a) = cos2a sin2a = 1 2 sin2a = 2 cos2a - 1 sin(2a) = 2 sina.cosa cosp + cosq =

2qp

.cos2

qp2cos +

cosp cosq = 2

qp.sin

2qp2sin +

sinp + sinq = 2

qp.cos

2qp2sin +

sinp sinq = 2

qp.cos

2qp2sin +

Formules de trigonomtrie complmentaires

cos (Arcsin x) = 2x1

cos (Arctan x) = 2

x1

1

+

sin (Arctan x) = 2

x1

x

+

Suites

Sn = 1 + q + q2 + + qn-1

=

q1q1 n

Si = 0, le rgime est critique (r = - = - 0) ( ) 2

0

t

ceBAt(t)y ++=

Les constantes se calculent la fin avec les conditions initiales.

Surfaces

Disque : pi R2 Sphre : 4 pi R2 Ellipse : pi a b Cylindre ferm : 2 pi R h + 2 pi R2

Volumes

Sphre : 34

pi R3

Cylindre : pi h R2

Rsum de Physique Chimie TSI Formules et mthodes - 3 - Drives Par rapport u (ou v) ln u

u

u'

exp (u)

u exp (u) u u u

m mu

m-1u a

u a

u u ln a

au au aum

amum-1

u ax dx

alna x

u

a 2u

au'

u

a

uu2u'a

a u u2u'a

sin u u cos u cos u - u sin u uv uv + vu

tan u u (1 + tan2 u) =

ucos

u'2 cotan u = utan

1

- u utan

utan1 2+ = -

usinu'

2 v

u 2v

uv'vu'

Primitives tan2 x dx tan x - x

x

dx

ln x x

dx

2 x xtandx

ln sin x cos x dx sin x exp (x) dx exp (x) sh x ch x sin x dx - cos x tan x dx

- ln cos x ch x sh x

xmdx 1m

x1m

+

+

, m - 1 xcos

dx2

tan x xsin

dx2 xtan

1

sin2 x dx 42xsin

2x

2x1

dx+

argsh x axdx+

ln x+a cos

2 x dx

42xsin

2x

+ 22

xa

dxx+

22xa +

2x1

dx+

arctan x

arctan x dx x arctan x ln 2x1 +

xsindx

2x

tanln xcos

dx

+

4

2x

tanln

22xa

dx+

, a > 0 argsha

x

= ln

++ 22 xax

22xa

dx

, a > 0

arcsin a

x

2x1

dx

dans les deux cas :

argch x si x > 1 - argch(-x) si x < -1 ln 1xx 2 +

22xa

dx

, a > 0 a

xargth

a

1

=

xa

xaln2a1

+ si x < a

=

ax

axln2a1

+ si x > a

2x1

dx

argth x si x < 1 argcoth x si x > 1 dans les deux cas :

x1x1ln

21

+

22 ax

dx

dans les deux cas :

argcha

x si x > a

-argch

a

x si x < -a

ln 22 axx ++

( )max + ( )1m

ax1m

+

+ + , m -1 22

xa

dx+

a

xarctan

a

1 22

xa

dxx+

( )22 xaln21

+

Rsum de Physique Chimie TSI Formules et mthodes - 4 - Les oprateurs

Loprateur NABLA

zez

yeyxe

x

z

y

x

+

+

=

=

Le gradient : UUgrad = : il sapplique un scalaire et son rsultat est un vecteur.

La divergence : div A = A. : il sapplique un vecteur et son rsultat est un scalaire.

Le rotationnel : AArot = : il sapplique un vecteur et son rsultat est un vecteur. Le laplacien : U = U2 : il sapplique un scalaire et son rsultat est un scalaire.

A = zz2

yy2

xx2 eAeAeA ++ : il sapplique un vecteur et

son rsultat est un vecteur.

Coordonnes cartsiennes

zyx ez

Ue

yU

ex

UUgrad

+

+

=

div A = z

zA

yyA

x

xA

+

+

yzx

x

yz ex

Az

Ae

z

Ay

AArot

+

=

zxy e

yA

x

A

+

2

2

2

2

2

2

z

UyU

x

UU

+

+

=

A = zzyyxx eAeAeA ++

Si loprateur est surmont dune flche vectorielle, cela signifie que son rsultat est un vecteur ; sinon, cela nest pas le cas.

Le laplacien est donc de la mme forme (scalaire ou vectorielle) que la grandeur laquelle il est appliqu.

Identits vectorielles div Ugrad = U

rot grad U = 0 div rot A = 0 rot rot A = grad div A - A

Formules complmentaires

Brot.AArot.B)BA(divAV)grad(ArotV)A(Vrot

Vgrad.AAVdiv)A(VdivUgradVVgradU(UV)grad

ArotrotAdivgradA

=

+=

+=

+=

=

rr

Thorme de Green-Ostrogradski :

= (S) dbdivdS.b tant le volume limit par la surface ferme S.

Thorme de Stokes-Ampre :

( ) dS.arotdl.a (S) = S tant une surface quelconque sappuyant sur le contour ferm .

Coordonnes cylindriques

zez

Ue

Ur

1re

r

UUgrad

+

+

=

div A = ( )z

zA

Ar

1r

rArr

1

+

+

er

zAz

rAre

z

A

zAr

1Arot

+

=

[ ]ze

rAr

1r

Arr

1

+

2zU2

2U2

2r1

r

Ur

12rU2U

+

+

+

=

Coordonnes sphriques

e

Usinr

1e

Ur

1re

r

UUgrad

+

+

=

div A = ( ) ( )

Asinsinr

1r

Arr

1 r2

2

+

+A

sinr1

( )r

eA

Asinsinr

1Arot

=

( )

r er

ArAsin

1r

1

+

( )e

Ar

Arr

1 r

+

2

2

222

2 Usinr

1r

Ur

2r

UU

+

+

=

Usin

sinr1

2

+


II Thermodynamique

Formules Remarques, trucs, astuces, Prcisions Dfinitions Un systme est isol (du point de vue thermique) sil nchange pas dnergie avec le systme extrieur. Un systme est ferm sil nchange pas de matire avec le milieu extrieur. Un systme ouvert peut changer de la matire avec lextrieur.

Une transformation isochore se fait volume constant. Une transformation isobare se fait pression constante. Une transformation isotherme se fait temprature constante. Une transformation adiabatique se fait sans change de chaleur (Q = 0).

Un systme isol (totalement) nchange ni matire, ni nergie (travail ou chaleur) avec lextrieur.

Attention : des transformations isotherme et adiabatique sont totalement diffrentes ! !

Premier principe

dU = W + Q SystmeQ

Chaleurreue

WTravailreu

W = - Pe dV Q = Cv dT + l dV = Cp dT + h dP H = U + PV

U = W + Q U et H sont des fonctions dtat : leurs variations ne dpendent pas du chemin suivi par la transformation. Au contraire, W et Q dpendent du chemin suivi.

Si la transformation est quasistatique, Pe = P et W = - P dV ! U = Qv et H = Qp Lexpression de Q nest valable que pour une transformation quasistatique.

W : travail (en J) Pe : pression extrieure (en Pa) V : volume (en m3) T : temprature (en K) Q : chaleur (en J) U : nergie interne (en J) H : enthalpie (en J)

Gaz parfaits

PV = nRT

l = P et h = - V

Lois de joule U et H ne dpendent que de T

Relation de Mayer : Cp - Cv = nR

V

P

CC

=

n = Mm

l = T VT

P

et h = - T PT

V

en gnral

Q = Cv dT + P dV = Cp dT V dP

Lois de Joule dU = Cv dT et dH = Cp dT avec Cv = n Cvm = m cv et Cp = n Cpm = m cp

Cpm - Cvm = R et cp - cv = MR

= r

P : pression (en Pa et non en bar ! !) V : volume (en m3 et non en L ! !) n : quantit de matire (en mol) R : constante des gaz parfaits R = 8,314 J.K-1.mol-1 T : temprature (en K) M : masse molaire (en kg.mol-1) Cp : capacit calorifique pression constante (en J.K-1)

Cp = ( )1Rn

TH

P =

pour le gaz parfait

Cv : capacit calorifique volume constant (en J.K-1)

Cv = ( )1Rn

TU

P =

pour le gaz parfait

Rsum de Physique Chimie TSI Formules et mthodes - 6 - transformation adiabatique et rversible pour un gaz parfait : PV = cte

Transformation isotherme du gaz parfait : PV = cte

Dtente de Joule Gay Lussac Dtente adiabatique dans le vide : Q = 0 et W = 0 Do U = 0 .

Dtente de Joule Thomson (Kelvin) Traverse dune paroi poreuse de faon abaisser la pression : Q = 0 do U = W et H = 0 .

Coefficients thermolastiques

T

V

P

PV

V1

TP

P1

TV

V1

=

=

=

Statique de fluides gPgrad r=

transformation adiabatique et rversible du gaz parfait (isentropique) : PV = cte TV-1 = cte et TP1- = cte Rque : = 1,4 (= 7/5) pour les gaz parfaits diatomiques (par exemple lair).

.. = -1

: coefficient de dilatation isobare

: coefficient daugmentation de pression isochore

: coefficient de compressibilit isotherme

Formes diffrentielles :

dzdP

= - g avec un axe Oz vertical ascendant

dzdP

= + g avec un axe Oz vertical descendant

(sans unit)

en K-1

en K-1

en Pa-1

Deuxime principe

eTQdS

et dS = eT

Q + Scration = Se + Sc

Identit thermodynamique (valable toujours) : dU = T dS - P dV

dS = eT

Q =

TQ

si la transformation est rversible

( T = Te) (facilement retrouve grce au cas rversible : dU = - Pe dV + Q avec Pe = P et Q = T dS) On a videmment galement dH =TdS + VdP (avec H = U + PV)

S : entropie (en J.K-1) Te = temprature du thermostat (temprature extrieure) dSunivers = dSsystme + dSsource dSsystme = Schange + Scration avec Scration = dSunivers, on identifie :

dSsource = - Schange = -eT

Q

o Q est la chaleur reue par le systme (et donc la source reoit -Q)


Troisime principe Pour les corps purs cristalliss (solides) : S(T = O K) = O J.K-1

S mesure le dsordre et est une fonction dtat (sa variation ne dpend donc pas du chemin suivi) alors que Schange et Scration dpendent du chemin suivi par la transformation.

Machines thermiques

Convention dalgbrisation :

SystmeQFChaleurreue W

Travailreu

QCChaleurreue

Sourcefroide(TF)

Sourcechaude(TC)

Relations thermodynamiques des cycles dithermes : Ucycle = 0 Scycle 0 qui donnent :

W + QC + QF = 0

i ieTQdS

et 0TQ

TQ

f

f

c

c + (Ingalit de Clausius pour un

cycle ditherme) (= 0 pour un cycle rversible)

rendement = donneonl'queceveutonl'quece

Fonctionnement moteur : QC > 0 ; QF < 0 ; W < 0

Fonctionnement rfrigrateur ou pompe chaleur : QC < 0 ; QF > 0 ; W > 0

0TQ

TQ

f

f

c

c + pour des sources idales (thermostats)

efficacit = e = donneonl'queceveutonl'quece

Tf et Tc : tempratures des sources froide et chaude (en K)

et e sont sans dimension

< 1 toujours e > 1 souvent

Rsum de Physique Chimie TSI Formules et mthodes - 8 - Changement dtat

l12 = h2 - h1 ; l12 = T (s2 - s1) car un changement dtat est un quilibre, do G = 0. dans le diagramme de Clapeyron, courbe dbullition gauche, courbe de rose droite, lensemble est la courbe de saturation.

Rgle des segments :

xv = VLML

et xl = VLML

Pour les phases condenses (liquides et solides), Cp = Cv = C

dH = dU = C dT et dS = C T

dT

Cette formule se dmontre aisment car dans le

diagramme de Clapeyron : v = m

vmvm vv ll+

l12 : chaleur latente de changement dtat 12 (en J.kg-1) h : enthalpie massique (en J.kg-1) s : entropie massique (en J.K-1.kg-1) C : capacit calorifique (en J.K-1)

Le point M est situ sur le palier de saturation entre L (sur la courbe dbullition) et V (sur la courbe de rose)

Solide fusion liquide

Solide tionSolidifica liquide

Liquide onvaporisati vapeur

Liquide onLiqufacti vapeur

Solide nSublimatio vapeur

Solide onCondensati vapeur

Systme ouvert en rgime permanent :

(h + ec + ep) = wi + qe qm = dt

m = dbit massique

rendement = donneonl'queceveutonl'quece

m (h + ec + ep) = Wi + Qe ou (H + Ec + Ep) = Wi + Qe ou encore qm (h + ec + ep) = Pi + Pe

Pi = dtWi

= puissance indique (ou utile) reue

Pe = dtQe

= puissance thermique reue

1

p

c J.kgenmassiqueepotentiellnergie:e

massiquecintiquenergie:emassique enthalpie:h

Wi : travail indiqu (ou utile) reu (en J) Qe : chaleur reue (en J) Pi et Pe sont les puissances indique (ou utile) et thermique reues (en W) qm : dbit massique (en kg.s-1)

Rsum de Physique Chimie TSI Formules et mthodes - 9 - III Mcanique du point

Formules Remarques, trucs, astuces, Prcisions Cinmatique

Coordonnes cartsiennes : dans la base

zyx e,e,e

zyx ezeyexOM ++=

Coordonnes cylindriques : dans la base

zr e,e,e

zezrerOM +=

r

rr

edtd

.

ded

dted

edtd

.

ded

dted

&

&

==

==

Repre de Frenet : base ( )B,N, rrr : Hors Programme mais trs utile

N

v

dtdv

a

sv

2 rrr

r&

r

+=

=

est le rayon de courbure de la trajectoire.

En drivant deux fois, on obtient :

zyx ezeyexv &&&r

++=

zyx ezeyexa &&&&&&r

++=

dtdx

x =&

2

2

dtxd

x =&&

zr ezererv &&&

r++=

( ) ( ) zr2 ezerr2erra &&&&&&&&&r +++=

Dans le cas dun mouvement circulaire uniforme, = R et v = R. = R & = cte Do dv/dt = 0.

NRNRv

a

Rsv

22 rrr

rr&

r

==

==

y

x

z

M (x, y, z)

xe

ye

ze

y

x

z

M (r, , z)

xe

ye

ze

r

re

e

z

s est labscisse curviligne du point M. v est sa vitesse, a son acclration. r

et Nr

sont les vecteurs unitaires tangentiel et normal la trajectoire, est le rayon de courbure.

r

Nr

Rsum de Physique Chimie TSI Formules et mthodes - 10 - Changement de rfrentiel

Composition des vitesses : ( ) ( ) ( )/R'MMe/RM vvv +=

Composition des acclrations

( ) ( ) ( ) ( )MeMc/RM/RM aa'aa ++=

Forces dinertie : cc

ee

amf

amf

=

=

Enonc du principe dinertie : dans un rfrentiel galilen, un point matriel isol est soit au repos, soit anim dun mouvement rectiligne uniforme.

( )/R'Mv est la vitesse relative de M

( ) ( ) MO'vv /RO'Me +=r

est la vitesse dentranement

( ) ( ) v2a /R'MMc =r

est lacclration de Coriolis.

( ) ( ) MO'dtdMO'aa /RO'Me +

+=

rrr

est

lacclration dentranement.

Remarque : Pour un mouvement en rotation uniforme autour dun axe fixe :

r

2e urmf =

et ( )/R'Mc v2mf =r

r

est le vecteur rotation instantane de R par rapport R

ea est lacclration dentranement

ca est lacclration de Coriolis

ce fetf sont les forces dinertie correspondantes.

Lois gnrales

Dfinition de la quantit de mouvement vmp rr =

Principe fondamental de la dynamique (dans un rfrentiel galilen et pour une masse m invariable)

Ffamdtpd

=== rr

r

Dfinition du moment cintique : O (ou OL ) vmOMOr

= = OL

Moment en O dune force applique au point A (dfinition) : ( ) fOAfM (O) rr =

Thorme du moment cintique en un point fixe

( )= fMdtd

OO

r

Principe de laction et de la raction (ou principe des actions mutuelles) : 2112 FF =

Si le rfrentiel R nest pas galilen, il faut ajouter les forces dinertie dentranement et de Coriolis :

/R'ce a(M)mFFF =++

Transport de moment cintique pOO' OO'r

+=

Transport de moment de force

( ) fOO'fMfM (O))(O' rrr +=

Thorme du moment cintique en un point mobile

( )( ) vmv(A)fMdtd AA rr

=

Rsum de Physique Chimie TSI Formules et mthodes - 11 - Thorme de lnergie cintique

Travail dune force : W = ld.F

Puissance : dtd

.Fv.FdtW l

Prrr

===

Thorme de lnergie cintique : dEc = W

ou Ec = Ec(B) Ec(A) = WAB

F

Dfinition de lnergie mcanique : Em = Ep + Ec

Lquilibre est stable si 0du

Epd2

2

P=dt

dEc (thorme de la puissance cintique)

Ces relations dcoulent de EpgradF =

r si cette force est conservative (pour un

ressort, F = -kx si x est lallongement du ressort).

Le travail lmentaire dune force conservative peut scire : W - dEp.

Le travail W (ou W) sexprime en joules (J), comme lnergie cintique ; la puissance, elle, sexprime en watts (W (ou J.s-1)).

Energie potentielle Ep en J de pesanteur : Ep = mgz + cste (avec Oz axe

vertical ascendant) lastique dun ressort : Ep =

21 kx2 +cte

de gravitation : Ep = r

mmG 21 + cte

lectrique : Ep = qV + cte

Mouvements force centrale

La force est toujours colinaire r

u

Le moment cintique O est constant

La vitesse arolaire est constante :

2m

2C

dtd

2r

dtdS O

2

===

Cette relation traduit la loi des aires : C = r2 &

Formules de Binet (hors programme) :

r uuCudduCv +=

ou bien :

+=

2222

ddu

uCv

r2

222 u

dud

uuCa

+= a = 0

r

1u =

en fait :

= r ud

duuuCv

dS est laire balaye pendant dt C est la constante des aires. Le mouvement a lieu dans un plan perpendiculaire au moment cintique O .

Expressions de quelques forces courantes

Expression de la force de Lorentz :

+= BvEqF

Expression de la force de rappel exerce par un ressort : F = - k l

Cette expression est utile, entre autres, lorsquune particule charge (de charge q) volue dans un champ lectrique E

r ou magntique B

r.

l est lallongement du ressort par rapport sa longueur vide : l = l l0 o l0 est la longueur vide du ressort.


Expression de la force dinteraction (gravitation) subie par un corps A de masse m de la part dun autre corps B de masse M :

122 er

mMGF =r

Corps A(masse m)

Corps B(masse M)

r

F

Expression de la force lectrostatique dans le vide :

12221

0

er

qq4

1F =

Expression de la force de frottement fluide : vF =

Remarque : thorme de gauss pour la force de gravitation :

int(S)

MG4dS. =G

avec les mmes conditions dapplication que le thorme de gauss en lectrostatique.

: coefficient de frottement fluide

G tant une constante appele constante de gravitation (universelle) : G = 6,6710-11 m3.kg-1.s-2 F en N mA et mB en kg d en m Gr

est le champ de gravitation rgnant en un point A. On note alors G

rrmF =


IV Mcanique des systmes

Formules Remarques, trucs, astuces, Prcisions Elments cintiques

Centre de masse : Dfinition :

=

ii

iii

m

OAmOG

Proprit : 0GAmi

ii

r=

Elments cintiques dun systme : Rsultante cintique : ==

iii

ii vmpP

r

Moment cintique : Or

= i

iii vmOA

Energie cintique : Ec = i

2iivm2

1

Premier thorme de Koenig : G*

GO vMOG += avec M =

iim

Second thorme de Koenig : Ec = *CE + 2GMv2

1

Rfrentiel barycentrique : G*

G*

O* ===

Moment dune force : FOM)F(MOrr

=

Transport de moment : POO' OO'r

+=

Ec en J

Transport de moment

FOO')F(M)F(M OO'rrr

+=

Thormes de Guldin : Hors Pogramme

1er thorme : Soit une plaque P dpaisseur ngligeable. Soit G son centre dinertie. Soit une droite ne traversant pas la plaque P. Soit O la projection orthogonale de G sur . Faisons tourner P autour de . Lorsque P a effectu un tour complet autour de , elle a engendr un volume V. Soit alors S la surface de la plaque P. Le premier thorme de Guldin sexprime par la relation suivante : V = 2 pipipipi OG.S

2me thorme : Soit un fil de dimensions transversales ngligeables. Soit G son centre dinertie, O la projection orthogonale de G sur une droite ne traversant pas le fil. Faisons tourner autour de . Soit S la valeur de la surface engendre au cours dun tour complet. Soit L la longueur du fil . Le second thorme de Guldin sexprime par la relation suivante : S = 2 pipipipiOG.L

Thorme de la rsultante cintique, du centre de masse ou du centre dinertie ou thorme de la rsultante dynamique

==== extextGG RFaMdtvdM

dtPdr

Ce thorme nous renseigne uniquement sur le mouvement du point G appel centre de masse ou centre dinertie du systme !

estR est la rsultante des forces extrieures appliques au systme.

On obtient 1 quation vectorielle, donc 3 quations scalaires.

Rsum de Physique Chimie TSI Formules et mthodes - 14 - Thorme du moment cintique ou thorme du moment dynamique

= (O)extOdtd

M o O est un point fixe dun rfrentiel galilen

Moment dinertie : = J. avec J = dmMH

2 (Calcul Hors Programme)

A utiliser lorsquil y a rotation !

Thorme du moment cintique en projection sur un axe fixe :

= dtd

M = 22

dtdJ

On obtient 1 quation vectorielle, donc 3 quations scalaires.

Attention la projection du thorme du moment cintique : prendre un vecteur unitaire ou raisonner par rapport aux signes des moments (dans le sens de la rotation ou linverse) ! !

Thorme du moment cintique dans le rfrentiel barycentrique

= (G)extGdtd

M mme si le rfrentiel barycentrique nest pas

galilen ! !

Thorme de lnergie cintique

Travail : Wext = dtM.dtR.v (P)Prr

+

Thorme de lnergie cintique : dEc = Wext + Wint

Translation : Ec = 2mv21

Rotation : Ec = 2J21

A utiliser surtout lorsquil ny a quun seul paramtre dcrivant le mouvement.

Ec = Wext + Wint Pour un solide : Wint = 0.

dtdEc

= Pext + Pint

On obtient une quation scalaire.

Mcanique du solide

Champ des vitesses : MOv v OM += Thorme de Huygens (Hors Programme) : 2 mdJJ G += Moment dinertie : = J ; J = dmMH

2

Rappel : Wint = 0

Quelques moments dinertie :

Disque (ou cylindre) : Jz = 21

mR2

Disque : Jx = Jy = mR2

Roue rayons : Jz = mR2

Sphre : J = 52

mR2

Tige homogne AB de longueur a et de centre G :

JA = JB = 31

ma2 JG = 12

1ma

2

(d : distance entre et G )

Oz axe principal du disque ou du cylindre Ox et Oy axes secondaires du disque

On nglige la masse des rayons.

Attention si elle est de longueur 2a !


V Electricit Electronique

Formules Remarques, trucs, astuces, Prcisions Gnralits

Intensit : dtdqi =

Vecteur densit de courant : vj rr =

Conservation de la charge : 0tjdiv =

+r

Loi dOhm locale : Ej rr = Rsistance :

SR l=

Le champ lectrique Er

et la tension U aux bornes du conducteur sont lis (cf. Electrostatique)

i : intensit du courant (en A) dq : charge (en C) qui traverse la surface S pendant la dure dt (en s). jr : vecteur densit volumique de courant (en A.m-2)

: densit volumique des porteurs de charge (en C.m-3) vr

: vitesse de dplacement des porteurs de charge (en m.s

-1) : conductivit (en S.m-1) : rsistivit (en .m) :

1 =

l et S : longueur et section du conducteur Diples passifs

Convention rcepteur : i

diple

u

Rsistance : u = Ri

Bobine idale : dtdiLu =

Condensateur : dtdqi = , q = C.u

Pont diviseur de tension : u1 = 21

1

RRR+

u

R1

R2

uu1

u2

Rsistances en srie : RT = R1 + R2

Rsistances en parallle : 21T R

1R1

R1

+=

Bobines en srie : LT = L1 + L2

Bobines en parallle : 21T L

1L1

L1

+=

Condensateurs en srie : 21T C

1C1

C1

+=

Condensateurs en parallle : CT = C1 + C2

Pont diviseur de courant : : i1 = 21

2

RRR+

i

R1 R2

ii1 i2

R : rsistance en Ohms ()

L : inductance en Henrys (H)

C : capacit en Farads (F)

Rsum de Physique Chimie TSI Formules et mthodes - 16 - Thormes gnraux dlectrocintique

Loi des mailles : le long dune maille, la somme (algbrique) des tensions est nulle.

Loi des nuds : En un point, la somme (algbrique) des intensits est nulle.

Thorme de superposition : En rgime permanent, lintensit qui parcourt les diples constituant un rseau linaire et la ddp leurs bornes sont les sommes de ces grandeurs obtenues dans diffrents tats du rseau o toutes les sources libres, sauf une, sont teintes.

Thorme de Millman : Le potentiel au point P est donn par :

+=

i i

i jj

i

i

P

R1

iRV

V .

Thorme de Thvenin : On peut remplacer une portion de circuit entre deux bornes A et B par un gnrateur de tension dont les caractristiques sont les suivantes : - la f.e.m est gale la diffrence de potentiel entre A et B en

circuit ouvert - la rsistance interne est la rsistance vue de A et B en circuit

ouvert lorsque les sources indpendantes ont t teintes.

Thorme de Norton : On peut remplacer une portion de circuit entre deux bornes A et B par un gnrateur de courant dont les caractristiques sont les suivantes : - le courant lectromoteur est gal au courant de court-circuit

lorsquon relie A et B. la rsistance interne est la rsistance vue de A et B en circuit ouvert lorsque les sources indpendantes ont t teintes (la mme que pour le thorme de Thvenin).

Equivalence Thvenin Norton : Rth = RN Eth = Rth IN

A B

A B

Eth Rth

IN

RN


Transformation de Kenelly :

Triangle (r) Etoile (R)

321

321

rrr

rrR

++= ,

321

312

rrr

rrR

++= ,

321

213

rrr

rrR++

=

Etoile (g) Triangle (G)

Avec g = r

1 et G =

R1

, on a :

321

321 GGG

GGg++

= ,

321

312 GGG

GGg++

= ,

321

213 GGG

GGg++

=

Rgime sinusodal

Intensit efficace : 2

II m=

Tension efficace : 2

UU m=

Admittances complexes : Z1Y = jBGY +=

En srie, les impdances complexes sajoutent. En parallle, les admittances complexes sajoutent.

G = conductance (en S) B = susceptance (en S)

Im : intensit maximale Um : tension maximale.

Impdances complexes : jXRZ += Rsistance : RZ = R Bobine : LZ = jL Condensateur :

Cj

jC1ZC

==

Comportements aux limites : Quand , LZ (interrupteur ouvert) et CZ 0 (fil) Quand 0, LZ 0 (fil) et CZ (interrupteur ouvert)

Les impdances sexpriment en ohms ()

r1 r2

r3

R3

R1 R2

r1 r2

r3

R3

R2 R1

Rsum de Physique Chimie TSI Formules et mthodes - 18 - Puissance en rgime sinusodal

Puissance instantane : p (t) = u (t) . i (t) Puissance moyenne ou active : P =

21 Um Im cos = U I cos

Puissance active pour un diple dimpdance jXRZ += P = R I2 Puissance apparente : S = U I

Puissance complexe : **mm

I.UI.U21S ==

Thorme de Boucherot : =k

kSS avec

=k

kPP et =k

kQQ

Puissance ractive : Q = U I sin Q = X I2

Facteur de puissance : SPk = = cos

La marque * indique le complexe conjugu On calcule : jQPS +=

p (t) et P sexpriment en watts (W)

Q sexprime en voltampres ractifs (var)

S sexprime en voltampres (V.A)

Fonction de transfert

Fonction de transfert ou transmittance dun quadriple :

( ) ( )jTUU

u

ujHe

s

e

s===

( ) jje

s ).e(GeUUjH ==

Gain en dcibels : GdB () = 20 log G ()

Il faut savoir tracer les diagrammes de Bode (GdB et en fonction de ou de log )

G () : gain en tension du quadriple () : dphasage de us par rapport ue

GdBmax 3 dB correspond 2

Hmax

: on a alors la

pulsation de coupure du filtre.

Il faut savoir expliquer les pentes, cest--dire trouver les quivalents la place des limites (par exemple 20 log 21 + 20 log , do une pente + 20 dB par dcade quand )

Ampli Op = V+ - V- = 0 et i+ = i- = 0

en rgime linaire


Transforme de Fourier (calculs des coefficients Hors Programme)

Une grandeur priodique a (t) de priode T peut tre dcompose en srie de Fourier :

( ) ( )

=

++=1n

nn tnsinBtncosAaa(t)

avec ( )+

=

Tt

tn

0

0

dttncosa(t)T2A et

( )+

=

Tt

tn

0

0

dttnsina(t)T2B

=

+Tt

t

20

0

dt(t)aT1

Caractre intgrateur dun filtre

Pour un montage pseudo-intgrateur, le signal de sortie est une primitive du signal dentre pour un signal T-priodique tel que T > 1

Caractre drivateur dun filtre

Pour un montage pseudo-drivateur, le signal de sortie est la drive du signal dentre pour un signal T-priodique tel que T >> RC du filtre ou encore RC

Documents

R Sum -Formules Et m Thodes-I 2040-2041