Rappel...

• Diagonalisation.

• Transformations linéaires.

Aujourd’hui

• Systèmes dynamiques:– discrets;– continus.

(valeurs propres complexes)

12. Systèmes dynamiques

• L’approche moderne en théorie de la commande utilise la représentation d’états.

• Cette méthode fait beaucoup appel à l’algèbre linéaire.

• On y étudie, entre autres, la réponse en régime permanent.

Régime permanent

Le régime permanent est analogue au comportement à long terme d’un système

xk+1 = Axk

que nous avons déjà étudié pour le cas où x0 est un vecteur propre de A.

Note: systèmes discrets et continus.

Systèmes discrets 2 2

Équations aux différences

xk+1 = Axk

avec x0 = c1v1 + c2v2

où v1 et v2 sont les vecteurs propres de A avec les valeurs propres 1 et 2.

Systèmes discrets 2 2 (suite)

x1 = Ax0 = A(c1v1 + c2v2 ) = c11v1 + c2 2v2

x2 = Ax1 = A(c11v1 + c2 2v2)

= c1 ( 1)2v1 + c2 ( 2)2v2

En général:

xk = c1 ( 1)kv1 + c2 ( 2)kv2

Systèmes discrets n n

On peut généraliser le cas 2 2.

x0 = c1v1 + c2v2 +… + cnvn

xk = c1 ( 1)kv1 +c2 ( 2)kv2 +… + cn ( n)kvn

Note: on suppose que Span{v1, …, vn} = Rn, i.e. v1, …, vn sont linéairement indépendants.

Description graphique des solutions

• Systèmes 2 2.

xk+1 = Axk

• On cherche à savoir ce qui arrive lorsquek .

Changement de variables

• Jusqu’ici on a traité du cas (facile) d’une matrice diagonale. Qu’arrive-t-il si A n’est pas une matrice diagonale?

Changement de variables (suite)

• Soit xk+1 = Axk

• On définit une autre séquence: yk = P-1xk,

i.e. xk = Pyk.

où A = PDP-1 (diagonalisation de A).

• Donc, Pyk+1 = APyk = (PDP-1)Pyk = PDyk.

P-1 yk+1 = Dyk

Valeurs propres complexes

• A n’est pas diagonalisable dans Rn.

• On peut quand même illustrer le comportement du système.

Systèmes continus

• Équations différentielles.

• Soit le système d’équations suivant:

x1’ = a11x1 + … + a1nxn

x2’ = a21x1 + … + a2nxn

….

xn’ = an1x1 + … + annxn

x’ = Ax

Systèmes continus - solutions

• Une solution de ce système est une fonction satisfaisant x’ = Ax pour t 0, par exemple.

• x’ = Ax est une équation linéaire, car la dérivée et les opérations matricielles sont linéaires.

Linéarité

• Donc, si u et v sont des solutions de x’ = Ax, alors cu + dv est aussi une solution:

(cu + dv)’ = cu’ + dv’

= cAu + dAv

= A(cu + dv)

• Superposition des solutions.

• 0 est aussi une solution.

Linéarité (suite)

• On peut dire que l’ensemble des solutions est un sous-espace de l’ensemble de toutes les fonctions continues dans Rn.

• On peut trouver un ensemble de solutions fondamentales.

• Si A est n n, on a n fonctions linéairement indépendantes dans cet ensemble base.

Conditions initiales

• Si on spécifie x0 (conditions initiales), alors le problème se ramène à calculer la fonction unique:

x’ = Ax et x(0) = x0

Prochain cours...

• Orthogonalité.– Produit scalaire, module;– Ensembles orthogonaux.