Rappelsetcompléments SylvainPelletier PC-Descartespcsidescartes.fr/BeamerCours/rappelSeries.pdf · Sylvain Pelletier Séries numériques PC -Descartes 5 / 46. Généralités I Pourlesséries,onmontresouventlaconvergencesansêtrecapable

Sries numriquesRappels et complments

Sylvain Pelletier

PC -Descartes

Sylvain Pelletier Sries numriques PC -Descartes 1 / 46

Gnralits

Dfinition (Srie)Pour une suite (un)nN, on appelle srie de terme gnral un la suite(Sn)nN dfinie par :

n N, Sn =n

k=0uk .

Pour n N, le terme Sn est appel la somme partielle dordre n.

I Valable pour une srie de rels et de complexes. On largira aux sriesde fonctions.

I La srie caractrise la suite puisque :

u0 = S0 et n N, un = Sn Sn1

Gnralits

n N, Sn =n

k=0uk .

Gnralits

n N, Sn =n

k=0uk .

Convergence dune srie

I On dit que la srie

uk converge si la suite des sommes partielles( nk=0

uk

)nN

admet une limite finie dans K.

I Dans le cas contraire, on dit que la srie diverge.

I Cest une proprit asymptotique cela ne dpends pas des premierstermes.

I Ne pas confondre la srie(

uk)(= la suite des sommes partielles),

et le scalaire+k=0

uk (= la limite des sommes partielles)

uk

)nN

et le scalaire+k=0

uk

)nN

et le scalaire+k=0

uk

)nN

Si les sommes partielles tendent vers + la srie diverge, mais la suite dessommes partielles peut ne pas avoir de limite.

et le scalaire+k=0

uk

)nN

et le scalaire+k=0

uk

)nN

et le scalaire+k=0

Gnralits

Dans le cas dune srie convergente :I somme de la srie le scalaire

+k=0

uk = limn+

nk=0

uk

I reste dordre n de la srie la valeur de :

Rn =+k=0

uk n

k=0uk =

+k=n+1

uk .

I La suite des restes(Rn)converge vers 0.

Gnralits

+k=0

uk = limn+

nk=0

uk

Rn =+k=0

uk n

k=0uk =

+k=n+1

uk .

Gnralits

+k=0

uk = limn+

nk=0

uk

Rn =+k=0

uk n

k=0uk =

+k=n+1

uk .

Gnralits

+k=0

uk = limn+

nk=0

uk

Rn =+k=0

uk n

k=0uk =

+k=n+1

uk .

Gnralits

I Si la srie

uk converge, alors la suite (un) tends vers 0. Dans le cascontraire, on parle de divergence grossire.

I Une srie termes positifs converge si le terme gnral tends suffisamment vite vers 0,

I Une srie termes de signe quelconque convergesoit parce quelle est absolument convergente (ie

|uk | converge),

soit parce quil y a une compensation entre les termes. (ex : sriealterne)

I 1

k2 converge car le terme gnral tends suffisamment vite vers

0. Au contraire 1

k diverge.

I (1)k

k converge (srie alterne).

Gnralits

I Si la srie

|uk | converge),

I 1

0. Au contraire 1

k diverge.

I (1)k

Gnralits

I Si la srie

|uk | converge),

I 1

0. Au contraire 1

k diverge.

I (1)k

Gnralits

I Si la srie

|uk | converge),

I 1

0. Au contraire 1

k diverge.

I (1)k

Gnralits

I Si la srie

|uk | converge),

I 1

0. Au contraire 1

k diverge.

I (1)k

Gnralits

I Si la srie

|uk | converge),

I 1

0. Au contraire 1

k diverge.

I (1)k

Gnralits

I Si la srie

|uk | converge),

I 1

0. Au contraire 1

k diverge.

I (1)k

Gnralits

I Si la srie

|uk | converge),

I 1

0. Au contraire 1

k diverge.

I (1)k

Gnralits

I Pour les sries, on montre souvent la convergence sans tre capablede calculer la valeur de la somme !

I Ex : en comparant une intgrale, on montre facilement que+k=1

1k2

converge, mais comment prouver que+k=1

1k2 =

2

6 ?

Gnralits

1k2

1k2 =

2

6 ?

Gnralits

1k2

1k2 =

2

6 ?

Gnralits

1k2

1k2 =

2

6 ?

Combinaison linaire

I Toute combinaison linaire de deux sries convergentes etconvergentes.

I Si on sait que

uk et

vk converge, alors on sait que

uk + vkconverge avec :

+k=0

(uk + vk) =+k=0

uk + +k=0

vk

I Attention :+k=0

(uk + vk) peut converger sans que+k=0

uk et+k=0

vk

convergent !

Combinaison linaire

I Si on sait que

uk et

+k=0

(uk + vk) =+k=0

uk + +k=0

vk

I Attention :+k=0

uk et+k=0

vk

convergent !

Combinaison linaire

I Si on sait que

uk et

+k=0

(uk + vk) =+k=0

uk + +k=0

vk

I Attention :+k=0

uk et+k=0

vk

convergent !

Combinaison linaire

I Si on sait que

uk et

+k=0

(uk + vk) =+k=0

uk + +k=0

vk

I Attention :+k=0

uk et+k=0

vk

convergent !

Sries termes complexes

I Pour une srie termes complexes, la convergence est quivalente la convergence de la partie relle et de la partie imaginaire.

I La srie complexe

(ak + ibk) converge si et seulement si les deuxsries relles

ak et

bk converge.

I On a alors :+k=0

(ak + ibk) =+k=0

ak + i+k=0

bk

I La srie complexe

ak et

bk converge.

I On a alors :+k=0

(ak + ibk) =+k=0

ak + i+k=0

bk

I La srie complexe

ak et

bk converge.

I On a alors :+k=0

(ak + ibk) =+k=0

ak + i+k=0

bk

I La srie complexe

ak et

bk converge.

I On a alors :+k=0

(ak + ibk) =+k=0

ak + i+k=0

bk

Srie gomtrique

Soit C.I La srie

k converge si et seulement si || < 1.

I on a lexpression des sommes partielles :

nk=0

k =

(n + 1) si = 11 n+11 si 6= 1.

I et lexpression de la somme :

si || < 1,+k=0

k = 11

Srie gomtrique

Soit C.I La srie

nk=0

k =

(n + 1) si = 11 n+11 si 6= 1.

si || < 1,+k=0

k = 11

Srie gomtrique

Soit C.I La srie

nk=0

k =

(n + 1) si = 11 n+11 si 6= 1.

si || < 1,+k=0

k = 11

Srie gomtrique

Soit C.I La srie

nk=0

k =

(n + 1) si = 11 n+11 si 6= 1.

si || < 1,+k=0

k = 11

Srie gomtrique

I Si la srie ne commence pas au premier terme, ne pas loublier !I Soit C \ {1}.

somme partielle = premier terme 1 raisonnbr de termes

1 raison

I Si || < 1 :

somme = premier terme 11 raison

I Cest un des rares cas o on calcule la valeur de la somme et onmontre la convergence !

Srie gomtrique

1 raison

I Si || < 1 :

Srie gomtrique

1 raison

I Si || < 1 :

Srie gomtrique

1 raison

I Si || < 1 :

Srie gomtrique

1 raison

I Si || < 1 :

Srie tlescopique

DfinitionI Une srie

un est dite tlescopique lorsque lon peut trouver une

suite (vn) telle que :

n N, un = vn+1 vn

I les sommes partielles se calculent trs facilement :n

k=0uk =

nk=0

vk+1 vk = vn+1 v0.

I Ainsi, la suite (vn) converge si et seulement si la srie

un converge.

Dans lautre sens...Soit (un) une suite. Alors la suite (un) converge si et seulement si la srie

(un+1 un) converge.

Srie tlescopique

DfinitionI Une srie

n N, un = vn+1 vn

k=0uk =

nk=0

vk+1 vk = vn+1 v0.

un converge.

(un+1 un) converge.

Srie tlescopique

DfinitionI Une srie

n N, un = vn+1 vn

k=0uk =

nk=0

vk+1 vk = vn+1 v0.

un converge.

(un+1 un) converge.

Srie tlescopique

DfinitionI Une srie

n N, un = vn+1 vn

k=0uk =

nk=0

vk+1 vk = vn+1 v0.

un converge.

(un+1 un) converge.

Srie tlescopique

DfinitionI Une srie

n N, un = vn+1 vn

k=0uk =

nk=0

vk+1 vk = vn+1 v0.

un converge.

(un+1 un) converge.

Sries tlscopiques

In>1

1n(n + 1)

In>1

1

n +

n + 1

In>1

sin(

1n(n+1)

)cos

(1n

)cos

(1

n+1

)I Chercher les simplifications en particulier pour les fractions.

I Cest un des rares cas o on a lexpression de la somme partielle et oon calcule la limite de la somme partielle pour montrer la convergenceet obtenir la somme.

Sries tlscopiques

In>1

1n(n + 1)

Il faut crire :

1n(n + 1) =

1n

1n + 1

In>1

1

n +

n + 1

In>1

sin(

1n(n+1)

)cos

(1n

)cos

(1

n+1

Sries tlscopiques

In>1

1n(n + 1)

In>1

1

n +

n + 1

In>1

sin(

1n(n+1)

)cos

(1n

)cos

(1

n+1

Sries tlscopiques

In>1

1n(n + 1)

In>1

1

n +

n + 1Il faut crire :

1

n +

n + 1=

n + 1

n

In>1

sin(

1n(n+1)

)cos

(1n

)cos

(1

n+1

Sries tlscopiques

In>1

1n(n + 1)

In>1

1

n +

n + 1

In>1

sin(

1n(n+1)

)cos

(1n

)cos

(1

n+1

Sries tlscopiques

In>1

1n(n + 1)

In>1

1

n +

n + 1

In>1

sin(

1n(n+1)

)cos

(1n

)cos

(1

n+1

)Il faut crire :

sin(

1n(n+1)

)cos

(1n

)cos

(1

n+1

) = tan 1n tan 1n + 1I Chercher les simplifications en particulier pour les fractions.

Sries tlscopiques

In>1

1n(n + 1)

In>1

1

n +

n + 1

In>1

sin(

1n(n+1)

)cos

(1n

)cos

(1

n+1

Sries tlscopiques

In>1

1n(n + 1)

In>1

1

n +

n + 1

In>1

sin(

1n(n+1)

)cos

(1n

)cos

(1

n+1

Sries termes positifs

Soit (un) une suite termes positifs, alors la suite des sommes partiellesest croissante.

I La suite des sommes partielles converge ou tends vers +.I La srie

un converge si et seulement si la suite des sommes

partielles est majore.

I Si la srie est termes ngatifs, on tudie

k(uk),

I La srie peut tre termes positifs seulement partir dun certainrang.

I Bien vrifier que le terme gnral de la srie est positif !

k(uk),

k(uk), En fait cest

srie termes de signe constant quil faudrait utiliser.I La srie peut tre termes positifs seulement partir dun certain

rang.

k(uk),

Comparaison par majoration / minoration

Soit (un) et (vn) deux suites termes positifs, telles que :

n N, 0 6 un 6 vn.

On a alors :I Si

vn converge alors

un converge et :

0 6+n=0

un 6+n=0

vn

I Si

un diverge (tends vers +) alors

vn diverge (tends vers +).

n N, 0 6 un 6 vn.

On a alors :I Si

vn converge alors

un converge et :

0 6+n=0

un 6+n=0

vn

I Si

n N, 0 6 un 6 vn.

On a alors :I Si

vn converge alors

un converge et :

0 6+n=0

un 6+n=0

vn

I Si

Comparaisons des sries termes positifs

Soit (un) et (vn) deux suites termes positifs vrifiant :I un = On (vn) alors Si

vn converge alors

un converge.

I un n vn alors

vn et

un ont mme nature.

I On en dduit : un = on (vn) alors si

vn converge alors

unconverge.

I Cela permet de se ramener aux sries pour lesquelles la convergenceest connue (srie gomtrique / srie de Riemann )

I On estime la vitesse laquelle le terme gnral (un) tends vers 0.

vn converge alors

un converge.

I un n vn alors

vn et

un ont mme nature.

vn converge alors

unconverge.

vn converge alors

un converge.

I un n vn alors

vn et

un ont mme nature.

vn converge alors

unconverge.

vn converge alors

un converge.

I un n vn alors

vn et

un ont mme nature.

Il arrive de plus que lon montre en plus que la srie est termes positifs( partir dun certain rang) en utilisant un quivalent !

vn converge alors

unconverge.

vn converge alors

un converge.

I un n vn alors

vn et

un ont mme nature.

vn converge alors

unconverge.

vn converge alors

un converge.

I un n vn alors

vn et

un ont mme nature.

vn converge alors

unconverge.

vn converge alors

un converge.

I un n vn alors

vn et

un ont mme nature.

vn converge alors

unconverge.

Exemple de comparaison pour les sries termes positifs

In>1

1n(cos2 n)

In>1

(sin 1n ln

(1 + 1n

))In>1

1n + arctan n avec R.

In>1

1n(cos2 n)

srie termes positifs et un > 1n donc la srie diverge.

In>1

(sin 1n ln

(1 + 1n

))In>1

In>1

1n(cos2 n)

In>1

(sin 1n ln

(1 + 1n

))In>1

In>1

1n(cos2 n)

In>1

(sin 1n ln

(1 + 1n

))Dveloppement asymptotique

un =(1

n+o

n

( 1n2))(1

n 12n2 +

on

( 1n2))

= 12n2 +o

n

( 1n2)

n

12n2

cette srie est donc termes positifs ( partir dun certain rang) etconverge.

In>1

1n(cos2 n)

In>1

(sin 1n ln

(1 + 1n

))In>1

In>1

1n(cos2 n)

In>1

(sin 1n ln

(1 + 1n

))In>1

Srie termes positifs.Si 6 0 la srie diverge grossirement.Si > 0, on a :

1n + arctan n n

1n

et donc la srie est convergente si et seulement si > 1.

Lien srie intgrale

Soit f une fonction dfinie sur R+ valeurs positives et dcroissante.

On peut alors construire :

la suite dintgrale :( n

0f (t)dt

)qui est une suite croissante

la srien

k=0f (k) qui est une srie termes positifs

I un dessin des rectangles montre que ces deux suites ont lies.I Toujours bien avoir en tte ce lien ! Il est plus simple de retrouver la

plupart des rsultats que de les apprendre.

Lien srie intgrale

0f (t)dt

la srien

Lien srie intgrale

0f (t)dt

la srien

Lien srie intgrale

0f (t)dt

la srien

Lien srie intgrale

Soit donc f une fonction dfinie sur R+ valeurs positives et dcroissante.Alors la suite

( n0

f (t)dt)

nNet la srie

kN

f (k) ont la mme nature.

I Ici il sagit de suites qui convergent ou tendent vers +.I Prcisment, on a le rsultat suivant (dans le cas dune fonction

dcroissante) :

n N, n+1

0f (t)dt 6

nk=0

f (k) 6 f (0) + n

0f (t)dt

I Dans les deux cas cest asymptotique : on peut enlever les premiresvaleurs !

I On verra que la srie converge

f (n) converge si et seulement si fest intgrable sur [0,+[.

Lien srie intgrale

( n0

f (t)dt)

nNet la srie

kN

La mme nature, pas la mme valeur !I Ici il sagit de suites qui convergent ou tendent vers +.I Prcisment, on a le rsultat suivant (dans le cas dune fonction

dcroissante) :

n N, n+1

0f (t)dt 6

nk=0

f (k) 6 f (0) + n

0f (t)dt

Lien srie intgrale

( n0

f (t)dt)

nNet la srie

kN

dcroissante) :

n N, n+1

0f (t)dt 6

nk=0

f (k) 6 f (0) + n

0f (t)dt

Lien srie intgrale

( n0

f (t)dt)

nNet la srie

kN

dcroissante) :

n N, n+1

0f (t)dt 6

nk=0

f (k) 6 f (0) + n

0f (t)dt

Lien srie intgrale

( n0

f (t)dt)

nNet la srie

kN

dcroissante) :

n N, n+1

0f (t)dt 6

nk=0

f (k) 6 f (0) + n

0f (t)dt

Rsultat que lon peut retrouver trs rapidement sur un dessinI Dans les deux cas cest asymptotique : on peut enlever les premires

valeurs !

Lien srie intgrale

( n0

f (t)dt)

nNet la srie

kN

dcroissante) :

n N, n+1

0f (t)dt 6

nk=0

f (k) 6 f (0) + n

0f (t)dt

valeurs !

Lien srie intgrale

( n0

f (t)dt)

nNet la srie

kN

dcroissante) :

n N, n+1

0f (t)dt 6

nk=0

f (k) 6 f (0) + n

0f (t)dt

valeurs !

Lien srie intgrale

tudiern>2

1n ln n (ln(ln n))2

.

Lien srie intgrale

tudiern>2

1n ln n (ln(ln n))2

.

I On a : t 7 1t ln(t) (ln(ln t))2

est dcroissante pour t > 3.

I On calcule lintgrale :

I Ainsi la suite( n

3

dtt ln(t) (ln(ln t))2

)nN

converge, donc la srie

n>2

1n ln n (ln(ln n))2

converge.

Lien srie intgrale

tudiern>2

1n ln n (ln(ln n))2

.

I Ainsi la suite( n

3

)nN

n>2

1n ln n (ln(ln n))2

converge.

Lien srie intgrale

tudiern>2

1n ln n (ln(ln n))2

.

On peut driver ou raisonner sur le sens de variations dun produit/quotient de fonctions positives et de composes.

I Ainsi la suite( n

3

)nN

n>2

1n ln n (ln(ln n))2

converge.

Lien srie intgrale

tudiern>2

1n ln n (ln(ln n))2

.

I Ainsi la suite( n

3

)nN

n>2

1n ln n (ln(ln n))2

converge.

Lien srie intgrale

tudiern>2

1n ln n (ln(ln n))2

.

I On calcule lintgrale : n3

= ln(ln n)

ln(ln 3)

duu2 =

[1u

]ln(ln n)ln(ln 3)

= 1ln(ln(3)) 1

ln(ln(n)) 1

ln(ln(3))En utilisant le changement de variable u = ln(ln t).

I Ainsi la suite( n

3

)nN

n>2

1n ln n (ln(ln n))2

converge.

Lien srie intgrale

tudiern>2

1n ln n (ln(ln n))2

.

I Ainsi la suite( n

3

)nN

n>2

1n ln n (ln(ln n))2

converge.

La srie harmonique

n1

1t diverge donc

nk=1

1k diverge.

I Plus prcisment :

n N, n+1

1

1t dt 6

nk=1

1k 6 1 +

n1

1t dt

I ce qui scrit :

n N, ln(n + 1) 6 Sn 6 1 + ln(n)

I On en dduit alors :n

k=1

1k n ln(n)

La srie harmonique

n1

1t diverge donc

nk=1

1k diverge.

I Plus prcisment :

n N, n+1

1

1t dt 6

nk=1

1k 6 1 +

n1

1t dt

I ce qui scrit :

n N, ln(n + 1) 6 Sn 6 1 + ln(n)

k=1

1k n ln(n)

La srie harmonique

n1

1t diverge donc

nk=1

1k diverge.

I Plus prcisment :

n N, n+1

1

1t dt 6

nk=1

1k 6 1 +

n1

1t dt

Il faut savoir retrouver ce rsultat sur un dessinI ce qui scrit :

n N, ln(n + 1) 6 Sn 6 1 + ln(n)

k=1

1k n ln(n)

La srie harmonique

n1

1t diverge donc

nk=1

1k diverge.

I Plus prcisment :

n N, n+1

1

1t dt 6

nk=1

1k 6 1 +

n1

1t dt

I ce qui scrit :

n N, ln(n + 1) 6 Sn 6 1 + ln(n)

k=1

1k n ln(n)

La srie harmonique

n1

1t diverge donc

nk=1

1k diverge.

I Plus prcisment :

n N, n+1

1

1t dt 6

nk=1

1k 6 1 +

n1

1t dt

I ce qui scrit :

n N, ln(n + 1) 6 Sn 6 1 + ln(n)

k=1

1k n ln(n)

La srie harmonique

n1

1t diverge donc

nk=1

1k diverge.

I Plus prcisment :

n N, n+1

1

1t dt 6

nk=1

1k 6 1 +

n1

1t dt

I ce qui scrit :

n N, ln(n + 1) 6 Sn 6 1 + ln(n)

k=1

1k n ln(n) Cet quivalent est connatre.

On considren>2

1n (ln n) o > 1. Montrer la convergence, encadrer le

reste Rn, en dduire un quivalent de Rn.

I Pour la convergence, on regarde : n2

1x (ln x) dx en posant u = ln(x)

I Pour lencadrement, on retrouve le rsultat sur le dessin pour n 6 N :

N+1n+1

f (t)dt 6N

k=n+1

1k(ln k) 6

Nn

f (t)dt

I Il reste calculer ces intgrales par le changement de variables puis faire tendre N vers + pour obtenir :

Rn n1

( 1) (ln n)1

On considren>2

N+1n+1

f (t)dt 6N

k=n+1

1k(ln k) 6

Nn

f (t)dt

Rn n1

( 1) (ln n)1

On considren>2

N+1n+1

f (t)dt 6N

k=n+1

1k(ln k) 6

Nn

f (t)dt

Rn n1

( 1) (ln n)1

On considren>2

Cette suite converge donc la srie est convergente.I Pour lencadrement, on retrouve le rsultat sur le dessin pour n 6 N :

N+1n+1

f (t)dt 6N

k=n+1

1k(ln k) 6

Nn

f (t)dt

Rn n1

( 1) (ln n)1Sylvain Pelletier Sries numriques PC -Descartes 21 / 46

On considren>2

N+1n+1

f (t)dt 6N

k=n+1

1k(ln k) 6

Nn

f (t)dt

Rn n1

( 1) (ln n)1

On considren>2

N+1n+1

f (t)dt 6N

k=n+1

1k(ln k) 6

Nn

f (t)dt

Rn n1

( 1) (ln n)1

Sries de Riemann

Soit R.La srie

k>1

1k converge si et seulement si > 1.

La srie harmonique 1

k (qui diverge) est donc un repre :I toute srie dont le terme gnral tends vers 0 moins vite que 1k divergeI toute srie dont le terme gnral tends vers 0 plus vite que 1k

converge.

En effet : la sriek>1

1k converge

SSI la suite n

1

dtt =

11

( 1n1 1

)converge

Sries de Riemann

Soit R.La srie

k>1

converge.

1k converge

SSI la suite n

1

dtt =

11

( 1n1 1

)converge

Sries de Riemann

Soit R.La srie

k>1

converge.

1k converge

SSI la suite n

1

dtt =

11

( 1n1 1

)converge

Sries de Riemann

Soit R.La srie

k>1

converge.

1k converge

SSI la suite n

1

dtt =

11

( 1n1 1

)converge

Sries de Riemann

Soit R.La srie

k>1

converge.

1k converge

SSI la suite n

1

dtt =

11

( 1n1 1

)converge

Rgle du nun

Soit

uk une srie termes rels positifs.I Si il existe un rel > 1 tel que un = on

(1

n), ie nun 0, alors

uk converge.I Si il existe un rel 6 1 tel que 1n = on (un), ie n

un +, alorsuk diverge.

I Si il existe un rel et un rel l R+ tel que un nl

n ienun l 6= 0, alors

uk converge si et seulement si > 1.

I On calcule la limite de (nun) pour comparer un 1n en rflchissantcomment choisir .

I On compare (un) aux repres 1n .

Rgle du nun

Soit

(1

n), ie nun 0, alors

uk converge.I Si il existe un rel 6 1 tel que 1n = on (un), ie n

un +, alorsuk diverge.

Rgle du nun

Soit

(1

n), ie nun 0, alors

uk converge.La srie

1n converge, donc

uk converge

I Si il existe un rel 6 1 tel que 1n = on (un), ie nun +, alors

uk diverge.I Si il existe un rel et un rel l R+ tel que un n

ln ie

nun l 6= 0, alors

Rgle du nun

Soit

(1

n), ie nun 0, alors

uk converge.La srie

1n converge, donc

uk converge

uk diverge.I Si il existe un rel et un rel l R+ tel que un n

ln ie

nun l 6= 0, alors

Rgle du nun

Soit

(1

n), ie nun 0, alors

uk converge.La srie

1n converge, donc

uk converge

uk diverge.La srie

1n diverge et partir dun certain rang

1n 6 un

Rgle du nun

Soit

(1

n), ie nun 0, alors

uk converge.La srie

1n converge, donc

uk converge

uk diverge.La srie

1n 6 un

Rgle du nun

Soit

(1

n), ie nun 0, alors

uk converge.La srie

1n converge, donc

uk converge

uk diverge.La srie

1n 6 un

La srie l

n converge si et seulement si > 1

I On compare (un) aux repres 1n .Sylvain Pelletier Sries numriques PC -Descartes 23 / 46

Rgle du nun

Soit

(1

n), ie nun 0, alors

uk converge.La srie

1n converge, donc

uk converge

uk diverge.La srie

1n 6 un

La srie l

Rgle du nun

Soit

(1

n), ie nun 0, alors

uk converge.La srie

1n converge, donc

uk converge

uk diverge.La srie

1n 6 un

La srie l

Exemples

I Soit > 1. Montrer que la srie de terme gnral un = ln nn estconvergente.

I Srie de terme gnral un = en avec R. Montrer que la srie

converge si et seulement si > 0.

Exemples

On considre ]1, [ (par exemple = 1+2 ), on a alors :

ln nn n

= ln(n)n 0

donc partir dun certain rang :

ln nn 6 n

Do la convergence.

Exemples

Si = 0, alors un = 1 et la srie diverge grossirement.Si < 0, alors n 0 et donc un 1 et la srie diverge grossirement.Si > 0, alors en = o

(1n2), donc la srie converge

Rgle de dAlembert

Soit

uk une srie termes positifs.On suppose que le rapport entre deux termes conscutifs un+1un

a unelimite l lorsque n tends vers +.Alors :

I Si l < 1 la srie

uk est convergente.I Si l > 1 la srie

uk diverge grossirement.

I Si l = 1 on ne peut rien dire ! (idem si il ny a pas de limite)I Trs utile si le terme gnral est une factorielle ou une puissance : le

quotient se simplifie !

Rgle de dAlembert

Soit

I Si l < 1 la srie

Rgle de dAlembert

Soit

I Si l < 1 la srie

Rgle de dAlembert

Soit

I Si l < 1 la srie

Rgle de dAlembert

Soit

I Si l < 1 la srie

Dmonstration du critre de dAlembertSoit (un) une suite telle que limn

un+1un

= l avec l < 1.

I On pose = 1+l2 (entre 1 et l), si bien que ]l , 1[,I lim

nun+1un

= l , donc partir dun certain rang n0 : un+1 6 un

I Et par rcurrence immdiate : un 6 nn0un0 ,I Or

nn converge car 0 < < 1 donc

n

un converge.

I On a compare

un et la srie gomtriquen

I Idem pour > 1.

I Voir les dmonstrations des croissances compares :

an = on

(n!) n = on

(an)

un+1un

= l avec l < 1.

nun+1un

n

un converge.

I On a compare

I Idem pour > 1.

an = on

(n!) n = on

(an)

un+1un

= l avec l < 1.

nun+1un

n

un converge.

I On a compare

I Idem pour > 1.

an = on

(n!) n = on

(an)

un+1un

= l avec l < 1.

nun+1un

n

un converge.

I On a compare

I Idem pour > 1.

an = on

(n!) n = on

(an)

un+1un

= l avec l < 1.

nun+1un

n

un converge.

I On a compare

I Idem pour > 1.

an = on

(n!) n = on

(an)

un+1un

= l avec l < 1.

nun+1un

n

un converge.

I On a compare

I Idem pour > 1.

an = on

(n!) n = on

(an)

un+1un

= l avec l < 1.

nun+1un

n

un converge.

I On a compare

I Idem pour > 1.

an = on

(n!) n = on

(an)

un+1un

= l avec l < 1.

nun+1un

n

un converge.

I On a compare

I Idem pour > 1.

an = on

(n!) n = on

(an)

un+1un

= l avec l < 1.

nun+1un

n

un converge.

I On a compare

I Idem pour > 1.

an = on

(n!) n = on

(an)

un+1un

= l avec l < 1.

nun+1un

n

un converge.

I On a compare

I Idem pour > 1.

an = on

(n!) n = on

(an)

Exemples pour la rgle de dAlembert

Convergence de

n

n!nn

Convergence de

n

(2nn)

2n

Convergence de

n

n!nn

un+1un

=( n

n + 1

)n= exp

(n ln

(1 1n + 1

))On met sous forme exponentielle pour obtenir : un+1un e

1 < 1 La srieconverge

Convergence de

n

(2nn)

2n

Convergence de

n

n!nn

Convergence de

n

(2nn)

2n

Convergence de

n

n!nn

Convergence de

n

(2nn)

2n

un+1un

= 2n + 1n + 1 2.

La srie diverge.

Formule de Stirling

On a :

n! n

(ne

)n2n

I Une des rares formules connatre par cur !

I On verra la dmonstration en exercice.I Utile pour les sries : permet de donner un quivalent dune srie

lorsquil y a des factorielles et que le critre de dAlembert ne permetpas de conclure.

I Il y a souvent des factorielles dans les sries cause de la formule deTaylor !

Formule de Stirling

On a :

n! n

(ne

)n2n

Formule de Stirling

On a :

n! n

(ne

)n2n

Formule de Stirling

On a :

n! n

(ne

)n2n

Formule de Stirling

On a :

n! n

(ne

)n2n

Comment utiliser la formule de Stirling

I On a : n! n

(ne)n2n.

I Donc : (2n)! n

4n(n

e)2n4n.

I On peut aussi faire :

(n + 1)! = (n + 1)n! n

nn! n

nn+1en2n

I Il est souvent plus simple dcrire (n + 1)! = (n + 1)n! plutt quedappliquer la formule en n + 1 .

I On a : n! n

(ne)n2n.

I Donc : (2n)! n

4n(n

e)2n4n.

(n + 1)! = (n + 1)n! n

nn! n

nn+1en2n

I On a : n! n

(ne)n2n.

I Donc : (2n)! n

4n(n

e)2n4n.

(n + 1)! = (n + 1)n! n

nn! n

nn+1en2n

I On a : n! n

(ne)n2n.

I Donc : (2n)! n

4n(n

e)2n4n.

(n + 1)! = (n + 1)n! n

nn! n

nn+1en2n

Application de la formule de Stirling

Nature de la srie :n>1

(ln(n)n)n!

I Srie termes positifs. Clairement, le n! va lemporter sur ln(n)n.I On le montre avec la formule de Stirling :

un n(ln n)n

nnen2n

n

( ln(n)e1

n

)n 12

1

nn+1

I limn

ln(n)e1

n = 0 (par forme exponentielle).

I

n > 2, donc 1nn+1

6 12n+1 .

I Au final un = on(

12n), donc la srie converge.

(ln(n)n)n!

un n(ln n)n

nnen2n

n

( ln(n)e1

n

)n 12

1

nn+1

I limn

ln(n)e1

I

n > 2, donc 1nn+1

6 12n+1 .

I Au final un = on(

(ln(n)n)n!

un n(ln n)n

nnen2n

n

( ln(n)e1

n

)n 12

1

nn+1

I limn

ln(n)e1

I

n > 2, donc 1nn+1

6 12n+1 .

I Au final un = on(

(ln(n)n)n!

un n(ln n)n

nnen2n

n

( ln(n)e1

n

)n 12

1

nn+1

I limn

ln(n)e1

I

n > 2, donc 1nn+1

6 12n+1 .

I Au final un = on(

(ln(n)n)n!

un n(ln n)n

nnen2n

n

( ln(n)e1

n

)n 12

1

nn+1

I limn

ln(n)e1

I

n > 2, donc 1nn+1

6 12n+1 .

I Au final un = on(

(ln(n)n)n!

un n(ln n)n

nnen2n

n

( ln(n)e1

n

)n 12

1

nn+1

I limn

ln(n)e1

I

n > 2, donc 1nn+1

6 12n+1 .

I Au final un = on(

Applications de la formule de Stirling

(2nn)

22n(2n 1)

Applications de la formule de Stirling

(2nn)

22n(2n 1)

Srie termes positifs.

(2nn

)=(2n)!(n!)2 n

(2ne

)2n4n((n

e)n2n)2 n

22nn

Donc

un n1

(2n 1)n =

12

1n 32

la srie

un converge !

Stirling ou dAlembert ?

(2nn)

22n(2n 1) avec la rgle de dAlembert.

(2nn)

rapport de deux termes conscutifs :

un+1un

=(2n+2

n+1)(2n

n) 22n22n+2 (2n 1)(2n + 1)

=(2n + 2)!2n!n!

(n + 1)!n!

(n + 1)!14

(2n 1)(2n + 1)

=(2n + 2)(2n + 1)4(n + 1)2(2n 1)(2n + 1) n

4n24n2 n 1

(2nn)

rapport de deux termes conscutifs :

un+1un

=(2n+2

n+1)(2n

n) 22n22n+2 (2n 1)(2n + 1)

=(2n + 2)!2n!n!

(n + 1)!n!

(n + 1)!14

(2n 1)(2n + 1)

=(2n + 2)(2n + 1)4(n + 1)2(2n 1)(2n + 1) n

4n24n2 n 1

La rgle de dAlembert ne permet pas de conclure.

Sries absolument convergente

Soit (un) une suite valeurs dans K et

uk la srie de terme gnral un.

On dit que la srie

uk converge absolument si et seulement si la srie termes rels positifs

|uk | converge.

I Toute suite absolument convergente est convergente.I On a de plus :

+k=0

uk

6+k=0|uk |

I Toujours commencer par essayer de montrer la convergence absolue.

On dit que la srie

|uk | converge.

+k=0

uk

6+k=0|uk |

On dit que la srie

|uk | converge.

+k=0

uk

6+k=0|uk |

On dit que la srie

|uk | converge.

+k=0

uk

6+k=0|uk |

On dit que la srie

|uk | converge.

+k=0

uk

6+k=0|uk |

Valeur absolue ou module !

On dit que la srie

|uk | converge.

+k=0

uk

6+k=0|uk |

Valeur absolue ou module !

Srie absolument convergente

Soit (un) une suite complexe, et (vn) une suite de rels positifs.Si un = On (vn) et si la srie termes positifs

vn converge, alors

un

est absolument convergente.

I Peut tre utilis pour des sries complexes (cest le module).I Permet donc dobtenir des convergence absolue par comparaison aux

sries usuelles.

Par exemple : si R,

n

einn2 converge puisque

einn2 = On

(1n2)

Soit (un) une suite complexe, et (vn) une suite de rels positifs.Si un = On (vn) (ie si

unvn est born) et si la srie termes positifs vnconverge, alors

un est absolument convergente.

sries usuelles.

Par exemple : si R,

n

einn2 = On

(1n2)

sries usuelles.

Par exemple : si R,

n

einn2 = On

(1n2)

I Peut tre utilis

Documents

Rappelsetcompléments SylvainPelletier PC-Descartespcsidescartes.fr/BeamerCours/rappelSeries.pdf · Sylvain Pelletier Séries numériques PC -Descartes 5 / 46. Généralités I Pourlesséries,onmontresouventlaconvergencesansêtrecapable