Rapport final-FIROZI-V2

PROJET DE FIN D’ETUDE

pour l’obtention du Grade de

MASTER DE L’UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE

Specialite : Energetique et Environnement

Presentee parAmirhossein FIROZI

MODELISATION DES ECOULEMENTS CAVITANTS

ET VERIFICATION DES ALGORITHMES INCOMPRESSIBLE

ET CAVITANT A PARTIR D’UNE SOLUTION MANUFACTUREE

EncadrantOlivier COUTIER-DELGOSHA

Co-encadrantRezki CHEBLI

Soutenue le 28 Septembre 2016

devant le jury

Pr. Philippe GUIBERT Universite Pierre et Marie Curie, Paris Responsable du MasterDr. Alexis MATYNIA Universite Pierre et Marie Curie, Paris ExaminateurPr. Olivier COUTIER-DELGOSHA ENSAM, Lille Encadrant de projet

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Master Sciences et technologiesMention Sciences pour l’IngenieurParcours Energetique et EnvironnementUniversite Pierre et Marie Curie – Paris VI

Departement de Mecanique des fluidesEcole Nationale Superieure d’Arts et MetiersCampus Lille

Remerciements

Je tiens a remercier en tout premier lieu a Olivier Coutier-Delgosha qui m’a fait confiance etpour m’avoir supporte pendant ce projet. Au cours de nos echanges reguliers ses conseils m’ontete tres profitables.

Je remercie tout particulierement Rezki Chebli qui m’a fait partager ses connaissances et quia toujours ete la par gentillesse pour eclaircir des points scientifiques.

Je souhaite remercier egalement Anton Znidarcic, Benoıt de Laage de Meux et Ilyass Khlifa,qui lors de discussions au cours de ce projet, m’ont beaucoup aide et eclaire.

Merci a toute l’equipe du Departement Mecanique des Fluides pour le lien avec realite et leursympathie.

Enfin un grand merci a mes parents, ma tante, mon frere et mes amis qui m’ont aide et soutenutout au long de ce travail.

3

4

A Mohammad, Zohreh, Soheila et Alireza

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Modelisation des ecoulements cavitant et verification des algorithmesincompressible et cavitant a partir d’une solution manufacturee

Resume

Le phenomene de cavitation dans les machines hydrauliques est a l’origine de problemes de chutede performance, de vibration et d’instabilites de fonctionnement. Les proprietes des ecoulementscavitants (diphasique, turbulent, instationnaire ), font partie de l’etude numerique et la mise enplace de codes de calculs efficaces. Dans les travaux du present stage, les ecoulements cavitantssont reproduits a l’aide d’un code industriel, Code Saturnee, et l’approche moyennee RANS. Lessimulations 2D et 3D sont realisees sur une geometrie de profil Venturi afin de pouvoir etudier lapoche de cavitation. Au col les resultats sont compares a la fois avec les resultats experimentauxet les resultats des autres auteurs. Les effets tridimensionnels et de geometrie sont egalementetudies. Un comportement periodique de la poche est observe dans le cadre de simulation 2Dtandis que la poche reproduite est quasi-stationnaire pour le calcul 3D, ce qui est proche desresultats experimentaux de Khlifa (2014).Une etape de verification sur la nouvelle version du Code Saturne (version 4.0.4), est egalementrealisee. Les algorithmes incompressibles et cavitants sont testes, plusieurs maillages sont compareset les resultats sont valides apres une comparaison avec les resultats analytiques et les resultatsde Znidarcic (2016) sur un autre code.Mots cles : Simulation numerique, ecoulement cavitant, venturi, MMS

Cavitation modeling and algorithm verification by applying theMethod of Manufactured Solution

Abstract

Cavitation is the development of vapor structures in an originally liquid flow. It is known tooccur in a variety of fluid machinery including turbines, pumps and marine propellers. Severeproblems such as performance breakdown, noise, vibration, and erosion are often encountered inpractice when cavitation occurs. The focus of present work is targeted at simulation of cavitationflows. The report starts with a brief presentation on Navier-Stokes equations and the filters applyon LES modeling, which is followed by the cavtation definitation and main types of cavitation.The objectives of third part are to pursue accurate numerical methods of unsteady cavitatingflows. The cavitating flows around a Venturi with the angle of attack 8 for two diffrent sigmasare investigated. Good agreements are obtained between the 3D numerical predictions and theexperimental measurements, including the velocity and the cavity structures as well as the quasi-stationary behavior of cavitating flows.A step of code Verification by the Method of Manufactured Solutions (MMS) is also presented.First, the method is applied to the Code Saturne to verify any coding mistake that affects theorder of accuracy and conduct a preliminary check of the performance of any numerical algorithmapplied to both fully incompressible and cavitation flows. Then, the analysis is ended with acomparison step based on analytical results and numerical results of Znidarcic et al. (2016).Key words : Numerical simulation, cavitation flows, venturi, MMS

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Table des matieres

1 Introduction 11

I Simulation numerique des ecoulements cavitant 13

2 Etude numerique de la turbulence 152.1 Equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Equations de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Equations de conservation de la quantite de mouvement . . . . . . . . . . 16

2.2 Simulation aux Grandes Echelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Formulation des modeles LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 Equations filtrees ou moyennees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2 Decomposition des termes Non-linears . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.3 Fermeture des equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.4 Modele de Smagorinsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.5 Modele dynamique de Germano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.6 Modele WALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Cavitation 233.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Principaux types de cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Cavitation a bulles separees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 Cavitation par poches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.3 Cavitation du melange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.4 Cavitation de vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Etude numerique de la cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.1 Fraction volumique de vapeur (taux de vide) . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.2 Nombre de Cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.3 Nombre de Strouhal (St) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Modeles de cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.1 Modeles bases sur des equations d’evolution de bulles . . . . . . . . . . . . 273.4.2 Modeles a deux fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.3 Modeles a un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Code Saturn 334.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 L’approche volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 Principe de l’approche volumes finis : Volumes Finis pour une loi de conser-vation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7

8 TABLE DES MATIERES

4.3 Schemas numeriques de Code Saturne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.1 Algorithme SIMPLEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.2 Discretisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Simulation numerique des ecoulements cavitant : Resultat et discussion 395.1 Geometrie etudiee : Venturi 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2 Cas RANS 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.1 Maillage etudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.2 Conditions de calculs numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.3 Analyse qualitative de la simulation 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Cas RANS 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3.1 Generalite et Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3.2 Discussion sur le nombre de cavitation pour un cas 3D . . . . . . . . . . . 435.3.3 Analyse des profils moyennes et instantanes . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3.4 Profils moyens des vitesses transversaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4 Cas LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4.1 Geometrie et maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4.2 Conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4.3 Resultats non-cavitant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.5 Conclusion Partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

II Verification du code a partir d’une solution manufacturee 53

6 Verification du code : Definition et Application 556.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2 Methode des solutions manufacturees (MMS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.3 Equations analytiques utilisees pour la solution manufacturee . . . . . . . . . . . . 576.4 Condition de calcul et cas test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.4.1 Solution periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.5 Calcul de l’erreur : Erreur L2 normalisee par la solution analytique . . . . . . . . 59

7 Resultats et discussion 617.1 Algorithme pour ecoulements incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.2 Algorithme pour ecoulements cavitant sans terme source . . . . . . . . . . . . . . 627.3 Algorithme pour ecoulements cavitant sans terme source en appliquant le modele

LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.4 Algorithme pour ecoulements cavitant avec terme source . . . . . . . . . . . . . . 647.5 Comparaison entre les solution analytiques et numeriques . . . . . . . . . . . . . . 65

7.5.1 Resultat obtenus par Znidarcic et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5.2 Algorithme incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5.3 Algorithme de cavitation sans terme source . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5.4 Algorithme de cavitation sans terme source avec le modele LES . . . . . . 677.5.5 Algorithme de cavitation avec terme source . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Conclusion 71

Bibliography 73

Table des figures

2.1 Une vue schematique de l’operateur de separation des echelles : les mailles et lesfiltres theorique sont les memes, ce qui donne un filtrage net ou coupure dans l’es-pace de Fourier entre les echelles resolues et les echelles sous-maille. Le nombred’onde liee a la separation des echelles KC est directement liee a la longueurreference ∆ [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 Diagramme de phase pour une substance simple comme de l’eau. La cavitationse forme a une temperature constante ou l’ebullition se produit a une pressionconstante [25]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Cavitation a bulles separees de l’ecoulement sur un hydrofoil avec un grand angled’attaque [20]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Cavitation a poche partielle sur un hydrofoil [20]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Cavitation de vortex genere au bord d’attaque d’un hydrofoil. Experience realise

a σ = 1.4 et un angle d’attaque de 7.5 par Higuchi, Rogers, and Arndt (1986) etpresente par Brennen [24]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1 Notation des entites geometriques lies a face (i , j) [45]. . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1 Synthese d’une poche de cavitation dans une geometrie de type Venturi par Stutzet Reboud [56][57] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Schema general du Venturi 8 utilise par Coutier-Delgosha et al. [61] . . . . . . . 415.3 Maillage 570× 100 pour des calculs RANS 2D, zoome sur la section du col . . . . 415.4 Champ moyen de taux de vide, de vitesse longitudinale et de pression pour un σ = 2.8 435.5 Signal de pression a l’entree du domaine pour une duree de 0.1 seconde . . . . . . 445.6 Evolution de la poche de cavitation au cours de 0.1s pour un σ = 2.8 : capture

prise 0.2 et 0.3 second respectivement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.7 FFT appliquee au signal de pression d’entree pour une simulation 2D de type RANS

avec un modele de turbulence k − ω SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.8 Etude 3D : Maillage contenant 2 millions de cellules pour des calculs RANS 3D,

zoome sur la section du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.9 Etude 3D : Champ moyen de taux de vide, de vitesse longitudinale et de pression

pour un σ = 2 prises a la paroi (gauche) et au milieu de domaine (droite) . . . . . 46

5.10 Etude 3D : Signal de pression a l’entree du domaine pour une duree de 0.1 seconde 475.11 Etude 3D :Visualisation instantanee des poches de cavitation au cours de 0.1s pour

un σ = 2 : capture prise a chaque 0.0005 second . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.12 Etude 3D : FFT appliquee au signal de pression d’entree pour une simulationde

type RANS k − ω SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.13 Etude 3D : Profils des vitesses longitudinales a differents endroit de la poche, de

x = 1.3 mm a x = 7.8 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9

10 TABLE DES FIGURES

5.14 Illustration du technique de recyclage dans lequel les donnees sont calcules a partird’un plan interieur vers l’arriere a l’entree [64]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.15 Etude de convergence sur le calcul LES non-cavitant : capture de vitesse et depression aux differents endroit au sein de l’ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.16 Visualisation moyennee de vitesse longitudinale et de pression sur un plan generalet un plan au col d’un calcul LES non-cavitant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.1 Evolution de l’erreur E2 pour le cas des ecoulements incompressible. L’abscisse etl’ordonnee representent respectivement le nombre de pas de temps et l’erreur estimee. 62

7.2 Evolution de l’erreur E2 pour le cas des ecoulement cavitant sans terme source.L’abscisse et l’ordonnee representent respectivement le nombre de pas de temps etl’erreur estimee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.3 Evolution de l’erreur E2 pour le cas des ecoulement cavitant sans terme source enactivant le modele LES classique. L’abscisse et l’ordonnee representent respective-ment le nombre de pas de temps et l’erreur estimee. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.4 Evolution de l’erreur E2 pour le cas des ecoulement cavitant avec terme sourceen appliquant la periodicite en direction X et Z et les conditions limites en Y.L’abscisse et l’ordonnee representent respectivement le nombre de pas de temps etl’erreur estimee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.5 Resultats de Znidarcic et al. pour un cas de 17600 cellules. L’abscisse et l’or-donnee representent respectivement le temps et les valeurs calculees de la solutionnumerique et la solution analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.6 Comparaison les resultats numeriques et la solution analytique pour la vitesse U etpour differentes points en appliquant une solution periodique a l’algorithme incom-pressible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.7 Comparaison les resultats numeriques et la solution analytique pour la vitesse Uet pour differentes points en appliquant une solution periodique a l’algorithme decavitation sans terme source. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.8 Comparaison les resultats numeriques et la solution analytique pour la vitesse Uet pour differentes points en appliquant une solution periodique a l’algorithme decavitation sans terme source avec le modele LES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.9 Comparaison les resultats numeriques et la solution analytique pour la vitesse Uet pour differentes points en appliquant une solution periodique et des conditionslimites a l’algorithme de cavitation avec terme source. . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Chapitre 1

Introduction

Les travaux du present rapport s’inscrivent dans le cadre de l’etude et de la modelisation desecoulements cavitants et de la validation des developpements effectues recemment dans la version4.0.4 du Code Saturne. L’enjeu consiste ici a faire la modelisation des ecoulements cavitants enparticulier a l’aide de la simulation des grande echelles (LES) qui n’avait encore jamais ete ef-fectuee.

La cavitation est un changement de phase qui permet de passer de l’etat liquide a l’etat va-peur par une diminution de la pression sans aucun changement de temperature. En ecoulementcavitant, le fluide est soumis a des accelerations locales et l’augmentation de vitesse engendre unediminution de la pression statique qui peut causer la vaporisation. L’ecoulement monophasiquese transforme donc en un ecoulement diphasique avec changement de phase, c’est-a-dire avec destransferts de masse, de quantite de mouvement et d’energie entre les phases.

A l’heure actuelle, le controle de la cavitation n’est pas encore assure, il apparaıt donc necessairede poursuivre les recherches sur la cavitation afin de mieux comprendre ce phenomene et ainsifournir des outils et moyens capables de predire le comportement des ecoulements cavitants. Cesoutils serviront ensuite a ameliorer la conception des equipements et le controle des ecoulements.

Cette etude est partie integrante de cette demarche qui a ete la motivation pour mieux connaıtrele comportement de la cavitation. Elle se situe dans le cadre des travaux effectues au labora-toire mecanique des fluides au sein d’Arts et Metiers Lille tant d’un point de vue experimental[1][2][3] que numerique [4][5][6] pour l’amelioration de la comprehension et de la modelisation desecoulements cavitants.

Premierement, resolution des equations de Navier-Stokes, a partir d’une etude numerique dela turbulence sont ecrites. Les equations de conservation de la masse et la quantite de mouve-ment seront rappeles et puis une attention plus detaillee sera portee sur la simulation aux grandesechelles et sa fermeture.

Independamment de l’approche numerique envisagee, la simulation et la modelisation desecoulements cavitants seront confrontees a des difficultes turbulence diphasique et numerique.Ces deux elements seront donc developpes en detail pour le cas de la cavitation dans le chapitre3 avec un accent sur l’etude numerique.

Le chapitre 4 detaille le code de calcul utilise avec une attention particuliere portee sur leschema numerique du code. Le chapitre 5 est consacre a la description des resultats obtenus en

11

12 1. INTRODUCTION

deux parties :— Une partie est consacree aux resultats obtenus avec une simulation RANS en 2D et 3D.— Une partie est reservee aux simulations des grandes echelles.Enfin une serie de tests est mise en place afin de verifier/valider les developpements sur la

version 4.0.4 du Code Saturne. Le chapitre 6 sera donc consacre a la presentation de verificationet la methode des solutions manufacturees. Les resultats seront presentes dans le chapitre 7.

Premiere partie

Simulation numerique des ecoulementscavitant

13

Chapitre 2

Etude numerique de la turbulence

Sommaire2.1 Equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Equations de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2 Equations de conservation de la quantite de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Simulation aux Grandes Echelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Formulation des modeles LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 Equations filtrees ou moyennees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2 Decomposition des termes Non-linears . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.3 Fermeture des equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.4 Modele de Smagorinsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.5 Modele dynamique de Germano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.6 Modele WALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

15

16 2. ETUDE NUMERIQUE DE LA TURBULENCE

Introduction

Dans ce chapitre, les equations de Navier-Stokes sont rappelees dans un premier temps. L’ap-proche LES est ensuite presentee ainsi que les equations filtrees resolues par le Code Saturne.Enfin, les modeles de fermeture retenus dans le cadre de cette etude sont decrits.

2.1 Equations de Navier-Stokes

Les equations de Navier-Stokes ont ete etudies assez longuement dans les deux dernieresdecennies [7][8][9]. Ces equations peuvent etre considerees comme une application de la deuxiemeloi de Newton 1 et elles traduisent la conservation de la masse totale, des especes, de la quantitede mouvement et de l’energie et permettent de decrire la convection, la diffusion et les reactionschimiques au sein d’un ecoulement fluide.

2.1.1 Equations de conservation de la masse

La conservation de la masse exprime que chaque constituant contenu dans un volume estconserve lorsque l’on suit le volume de controle dans son mouvement [10]. La conservation de lamasse s’ecrit donc :

∂ρ

∂t+ div(ρu) = 0 (2.1)

L’equation 2.2 pout etre legerement generalise aux cas ou un terme source de masse Γ existe :

∂ρ

∂t+ div(ρu) = Γ (2.2)

Il faut garder dans l’esprit que Γ est pris en generale egal a zero.

2.1.2 Equations de conservation de la quantite de mouvement

Le fluide exerce une force exterieure, mais il echange aussi de la quantite de mouvement avecl’exterieur, de telle sorte que la somme des quantites de mouvement fluide et exterieur resteconstante [11]. L’equation de bilan de la quantite de mouvement s’ecrit :

∂

∂t(ρu) + div(u⊗ ρu) = div(σ) + ρg + ST u −Ku+ Γuin (2.3)

Ou ST u et Ku representent les termes sources explicites et implicites supplementaires (pertede charge, gravite, forces electromagnetiques et ...).

1. F = m · a

2.2. SIMULATION AUX GRANDES ECHELLES 17

2.2 Simulation aux Grandes Echelles

Avec l’amelioration des capacites des machines a calcul, l’utilisation de la LES 2 pour la si-mulation d’ecoulements turbulents reactifs devient de plus en plus accessible. Nous avons doncchoisi de focaliser nos travaux sur l’application d’un modele de cavitation adapte a la LES, parconsequent, les relations et modeles presentes dans ce chapitre ont ete ecrits au sens LES.

La simulation aux grandes echelles est un outil numerique de l’application des equations dela quantite de mouvement, spatialement filtrees, aux problemes de la turbulence a haute nombrede Reynolds, a temps variable et ainsi qu’en trois dimensions [12]. Cet outil peut etre egalementapplique a tous les types d’ecoulements turbulents (isotrope, sans cisaillement, tournant, com-pressible, avec reaction chimique, multiphase etc.). LES est une technique extremement puissanteconsistant a selectionner les echelles et faire une separation entre les grandes et les petites echelles.Afin de definir ces deux categories, une longueur de reference, ∆ doit d’abord etre determinee.Les echelles d’une taille caracteristique superieure a la longueur de reference sont appelees grandesechelles et d’autres sont appeles petites echelles ou echelle sous-maille 3 [13][14].

Figure 2.1 – Une vue schematique de l’operateur de separation des echelles : les mailles et les filtres theorique sontles memes, ce qui donne un filtrage net ou coupure dans l’espace de Fourier entre les echelles resolues et les echellessous-maille. Le nombre d’onde liee a la separation des echelles KC est directement liee a la longueur reference ∆[13].

Cette operation de filtrage par un filtre passe-haut en echelle (et passe-bas en frequence) dansl’espace spectral correspond a un produit de convolution dans l’espace physique :

Ψ(X, t) =1

∆

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞F(x− x′

∆, t− t′

)Ψ(x′, t′)d3x′dt′ (2.4)

Ou F est le filtre qui possede les proprietes de conservation des constantes, de linearite et decommutativite avec les operateurs de derivation. Chaque variable est donc decomposee en unepartie moyennee ou filtree (Ψ) et une partie non-resolue ou fluctuante (Ψ′) [15]. Contrairementa l’operateur de moyenne utilise en RANS, l’operateur de filtrage en LES perd sa projectivite

(Ψ 6= Ψ). De plus, l’application du filtre a la partie non resolue ne donne plus zero (Ψ′ 6= 0). Le

filtrage au sens LES des equations de Navier-Stokes n’est donc pas strictement equivalent a celui

2. Pour Large Eddy Simulation3. Ou SGS pour subgrid scales


en RANS, et des termes supplementaires apparaissent. Le filtre de Favre 4 est introduit, ponderepar la masse volumique, afin d’obtenir le meme formalisme qu’en RANS.

2.3 Formulation des modeles LES

2.3.1 Equations filtrees ou moyennees

L’approche LES consiste a filtrer spatialement le champ u en utilisant un operateur designe

par (.). L’application de ce dernier dans les equations de Navier-Stokes donne :

∂ρ∂t

+ div(ρu) = Γ

ρ∂u∂t

+5u · (ρu) = −5P + div(2µSD + ρg − div( ˜ρu′⊗

u) + ST u −Ku+ Γ(uin − u)

(2.5)

Ou u prend en compte les fluctuations non-filtres.

2.3.2 Decomposition des termes Non-linears

L’equation 2.5 fait intervenir des correlations doubles filtrees (( ˜ρu′⊗

u)) qu’on ne peut pasexprimer explicitement a partir des variables filtrees u et P .

Selon ce critere, nous sommes donc obliges de reformuler l’equation 2.5 de la maniere suivante :

∂ρ∂t

+ div(ρu) = Γ

ρ∂u∂t

+5u · (ρu) = −5P + div(2µSD + ρg)− (ρ52 u−5 · τ) + ST u −Ku+ Γ(uin − u)

(2.6)

τ est le tenseur de sous-maille qui fait l’objet de la modelisation LES de la turbulence, etlorsqu’on introduit la decomposition de Leonard [15] dans la definition de τ ,on trouve :

τ = C +R (2.7)

Ou C, le tenseur des tensions croisees, represente les interactions entre les grandes et les petitesechelles, et R, le tenseur de Reynolds, represente les interactions entre les echelles sous-maille :

Cij = ˜uiu′j + u′iuj (2.8)

Rij = u′iu′j (2.9)

4. C’est la decomposition utilisee dans la modelisation des ecoulements turbulents de fluides compressibles. Celle-ci est considereepour toute grandeur physique fluctuant au sein de l’ecoulement turbulent, autre que la masse volumique et la pression (quantites pourlesquelles on utilise la decomposition de Reynolds).

2.3. FORMULATION DES MODELES LES 19

Donc le tenseur de sous-maille s’ecrit sous la forme suivante :

τij = Cij +Rij = uiuj − ˜uiuj (2.10)

Neanmoins le terme ˜uiuj ne peut pas etre directement calcule, car il necessite une deuxiemeapplication du filtre. Pour arranger cela, Leonard [15] propose une nouvelle decomposition :

˜uiuj = (˜uiuj − uiuj) + uiuj

= Lij + uiuj

Le nouveau terme, L, appele le tenseur de Leonard, represente les interactions entre les grandesechelles. Grace a cette nouvelle decomposition, le tenseur de sous-maille, τ , prend la forme sui-vante :

τij = Cij +Rij + Lij = uiuj − uiuj (2.11)

Il est a noter que, si le filtre est un operateur de Reynolds, les tenseurs Cij et Lij sont identi-quement zero et le tenseur sous-maille est reduit au tenseur de Reynolds, Rij.

2.3.3 Fermeture des equations

De plus, le tenseur sous-maille τij , represente l’effet des petites echelles de vitesse sur les grandesechelles. La methode que l’on utilise suppose que le transfert direct vers les echelles sous-mailles(energie transferee des grandes echelles vers les petites) peut etre represente par un terme dediffusion faisant apparaıtre la viscosite sous-maille aussi appelee hypothese de viscosite turbulente(hypothese de Boussinesq). Le transfert inverse, la cascade d’energie transmise des petites echellesvers les grandes echelles, est suppose negligeable.

τij = µt(∂ui∂xj

+∂uj∂xi− 2

3

∂uk∂xk

δij)−2

3ρkδij (2.12)

Ou µt est la viscosite dynamique turbulent et k est l’energie cinetique de turbulence.

Il existe egalement plusieurs modeles pour etablir la viscosite de sous-maille qui s’ecrit :

τij = −2νsgsSij (2.13)

Avec νsgs la viscosite de sous-maille et Sij est le tenseur des deformations filtre :

Sij =1

2(∂Ui∂xj

+∂Uj∂xi

) (2.14)


2.3.4 Modele de Smagorinsky

Il existe plusieurs modeles qui proposent une expression de νsgs. Le plus connu est le modelede Smagorinsky [16] qui est base sur une hypothese dans laquelle on considere que la viscositesous-maille est proportionnelle a une echelle de longueur associee au filtrage des equations i.e.la taille caracteristique du maillage (∆) et egalement a une echelle de vitesse determinee par leproduit ∆‖S‖, ou ‖S‖ est la norme du tenseur des taux de deformations resolus definie par :

‖S‖ =

√2SijSij (2.15)

Pour finir, l’ecriture du modele de Smagorinsky se fait de la facon suivante :

νsgs = (fµCs∆)2‖S‖ (2.16)

Ou Cs est une constante determinee d’apres l’hypothese d’equilibre local entre production etdissipation de l’energie cinetique turbulente et fµ est la fonction d’amortissement de Van Driest[18] :

fµ(y) = 1− exp(−y+/25) (2.17)

Avec y+ = uτy/ν et y la distance a la paroi la plus proche.

Ce modele est le plus ancien et le plus simple. Il sert encore souvent de modele de reference.Cependant il presente plusieurs inconvenients [17] :

— la constante Cs n’est pas universelle, dans la pratique elle doit etre adaptee au cas par cas(dans le Code Saturne Cs = 0.065)

— il est trop dissipatif— il ne s’annule pas a la paroi— il simule mal les regimes de transition laminaire-turbulent— il ne peut pas simuler la cascade d’energie inverse

2.3.5 Modele dynamique de Germano

Le modele de Germano [17] est une variante du modele de Smagorinsky dans laquelle laconstante impliquee dans le modele est evaluee dynamiquement, en fonction de l’ecoulement.La constante n’est donc plus un coefficient du modele et ce dernier est libre de toute calibrationempirique.

En utilisant le modele dynamique, le modele pour le tenseur de sous-maille peut s’ecrire :

τij = −2Cd∆2‖S‖Sij (2.18)

Avec ‖S‖ a partir de l’equation 2.15.

2.3. FORMULATION DES MODELES LES 21

Selon la procedure d’evaluation dynamique des constantes introduite par Germano [17], laconstante Cd est calculee de maniere suivante :

Tij = uiuj − ˆui ˆuj (2.19)

Avec (.) le filtrage LES de base et (.) le filtrage de test de la variable ou Tij est le tenseur descontraintes residuelles a l’echelle du filtre du base. De la meme maniere nous pouvons ecrire letenseur des contraintes residuelles a l’echelle du test :

τij = uiuj − uiuj (2.20)

Il est a noter que, par definition le tenseur turbulent des contraintes resolues s’ecrit :

Lij = Tij − τij (2.21)

De plus, Lij represente la contribution a l’echelle sous maille de sorte que les echelles sont a lafois plus petites que le filtrage de test et plus grandes que le filtrage de base.

En utilisant ces definition et a l’aide de la proposition de Lilly [19]au sens des moindres carresla solution s’ecrit :

Cd =1

2

LijMij

MijMij

(2.22)

avec

Mij = ˆ∆2

‖ ˆS‖ ˆSij − ∆2‖S‖Sij (2.23)

2.3.6 Modele WALE

Le modele de WALE 5 est un modele de viscosite de sous-maille construit principalement pourreproduire le comportement asymptotique exacte de la tension de sous-maille de cisaillement, et cesans avoir recours a une fonction d’amortissement empirique ni a une procedure d’evaluation dy-namique des constantes. L’avantage de prendre en compte le tenseur de rotation est de rendrele modele invariant par translation ou rotation des coordonnees et d’etre utilisable pour desgeometries plus complexes. Sa formulation est :

νsm = (Cw∆)2(sdijs

dij)

3/2

(SijSij)5/2 + (sdijsdij)

5/4(2.24)

5. Pour Wall Adapting Local Eddy-viscosity


Ou la valeur proposee pour la constante Cw est Cw = 0.5 et

sdij = SikSkj + ΩikΩkj −1

3δij(SmnSmn − ΩmnΩmn) (2.25)

avec

Ωij =1

2(∂Ui∂xj− ∂Uj∂xi

) (2.26)

Chapitre 3

Cavitation

Sommaire3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Principaux types de cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Cavitation a bulles separees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.2 Cavitation par poches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.3 Cavitation du melange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.4 Cavitation de vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Etude numerique de la cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.1 Fraction volumique de vapeur (taux de vide) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.2 Nombre de Cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.3 Nombre de Strouhal (St) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Modeles de cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4.1 Modeles bases sur des equations d’evolution de bulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4.2 Modeles a deux fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4.3 Modeles a un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

23

24 3. CAVITATION

3.1 Introduction

La cavitation est le developpement des structures de vapeur dans un flux initialement li-quide generalement dues a de grandes vitesses d’ecoulement [20][21][22][23][26]. Contrairementa l’ebullition, La cavitation se produit a une temperature constante lorsque la pression de fluideest inferieure a la pression de vapeur [24][25].

Figure 3.1 – Diagramme de phase pour une substance simple comme de l’eau. La cavitation se forme a unetemperature constante ou l’ebullition se produit a une pression constante [25].

Ce phenomene se produit globalement dans les ecoulements autour des corps solides et il estsouvent associe a des effets indesirables tels que le bruit, les vibrations, l’erosion et la perte depuissance.

L’importance de comprendre de cavitation est directement liee a sa presence dans une grandevariete d’applications telles que les buses, injecteurs, helices, les soupapes, les injecteurs, les palesde propulseur et etc. Par exemple, dans le cas d’un Venturi, i.e. un conduit convergent suivi parun divergent, la vitesse est maximale au niveau du col ou la section est minimale, selon l’equationde Bernoulli, la pression est minimale et par consequent, le risque de cavitation est maximal.

Selon le principe de la thermodynamique, le changement de phase de l’etat liquide a la vapeurse produit a la pression de vapeur Pv qui ne depend que de la temperature. Considerer la pres-sion de vapeur comme la pression critique de l’apparition de la cavitation peut etre une bonneapproximation [26].

3.2 Principaux types de cavitation

Il existe une grande variete de types de cavitation et parmi eux, selon Jean-Pierre Franc [20],Christopher Earls Brennen [24] et Yves Lecoffre [27], nous presentons les types de cavitation lesplus connus :

3.2.1 Cavitation a bulles separees

Selon la definition de Franc (2011), ce type de cavitation est lie principalement a la densitede germes dans un ecoulement libre. Brennen (1995) developpe une expression premierementpresentee par Parkin [28] et explique que le grossissement des bulles commence a une taille mi-cronique dans le flux entrant, elles se deplacent a cote de la surface solide avec le mouvement de

3.2. PRINCIPAUX TYPES DE CAVITATION 25

l’ecoulement. La cavitation est consideree lorsque les bulles ont atteint une taille observable del’ordre de 1mm. Cependant, Lecoffre (1994) indique la presence des germes dans liquide commeune raison initiale de la production des bulles. La cavitation a bulles separees tend a se degraderlorsqu’on augmente la vitesse ou les dimensions de l’ecoulement.

Figure 3.2 – Cavitation a bulles separees de l’ecoulement sur un hydrofoil avec un grand angle d’attaque [20].

3.2.2 Cavitation par poches

La phase vapeur constitue une cavite unique, attachee au profil sur lequel elle se developpe.Lorsque l’incidence d’un profil augmente, la cavitation a bulles se transforme en cavitation a poche,jusqu’a ce qu’au bord d’attaque superieur a 10, il ne reste plus de bulles. Ce type de cavitationest fortement liee au nombre de Reynolds et elle adopte un comportement plus ou moins instable,en fonction de la nature et des conditions de l’ecoulement. Qualitativement, la cavitation a pochepeut prendre deux formes typiques : poche partielle et poche complete.

Figure 3.3 – Cavitation a poche partielle sur un hydrofoil [20].

3.2.3 Cavitation du melange

Selon Lecoffre (1994) ce type de cavitation est extremement interessant en raison de sa com-plexite. Cette cavitation apparait typiquement dans des couches de cisaillement entre un jet noyeet un liquide. Ceci est le resultat de l’effet combine de tous les parametres caracteristiques desecoulements instationnaires, viscosite, teneur en germes, temps caracteristiques. C’est le cas desecoulements au travers d’orifices ou de vannes et aussi celui de jets propulsifs.

26 3. CAVITATION

3.2.4 Cavitation de vortex

La cavitation de vortex se produit au cœur des tourbillons qui est une zone de forte depression.Un vortex (ou tourbillon), qui peut etre plus ou moins structure, se cree par exemple aux extremitesde pales d’helices ou de pompes. Ils peuvent aussi se creer en aval d’obstacles situes dans l’ecoulement.

Figure 3.4 – Cavitation de vortex genere au bord d’attaque d’un hydrofoil. Experience realise a σ = 1.4 et unangle d’attaque de 7.5 par Higuchi, Rogers, and Arndt (1986) et presente par Brennen [24].

3.3 Etude numerique de la cavitation

Avant d’entrer dans l’etat de l’art de l’etude numerique, nous presentons les nombres adimen-sionnels appliques dans une simulation numerique de l’ecoulement cavitant.

3.3.1 Fraction volumique de vapeur (taux de vide)

La fraction volumique de vapeur alpha se definit localement comme le rapport des volumesde l’ecoulement occupees par la phase vapeur et le volume total de l’ecoulement car sur le plannumerique, chaque cellule de maillage est supposee contenir une partie de liquide et une partiede vapeur. La repartition du liquide et de la vapeur dans cette derniere est connue a l’echellemacroscopique par la definition d’un taux de vide :

α =Vv

V=

ρ− ρl,sat(T )

ρv,sat(T )− ρl,sat(T )(3.1)

Ou Vv designe le volume occupe par la phase vapeur et V presente le volume total de lamaille. ρv,sat(T ) et ρl,sat(T ) sont les masses volumiques de saturation, qui ne dependent que de latemperature T .

3.3.2 Nombre de Cavitation

Le degre de developpement de la cavitation est caracterise par un parametre adimensionnel, lenombre de cavitation, sigma, defini par :

3.4. MODELES DE CAVITATION 27

σ =Pref − Pv

12ρU

2(3.2)

Dans cette expression,Pref est la pression en amont de la cavitation et U est la vitesse ca-racteristique prise a un point de reference dans l’ecoulement.

Ce nombre caracterise la probabilite que le phenomene de cavitation ait lieu au sein de l’ecoulementconsidere. Il est defini en utilisant comme reference l’energie cinetique d’entrainement, et traduitl’ecart entre une pression qui caracterise l’ecoulement Pref , et la pression de vapeur saturant Pv(T ).

La plupart des nombres adimensionnels ont la forme d’un rapport entre les differentes forces, lesigma de cavitation n’est pas un rapport de deux forces. Il permet seulement de situer la pressionen tout point par rapport a la tension de vapeur. Il est donc remarquable que le sigma n’est pasun parametre pour comparer le niveau de cavitation et par consequent il n’est pas necessaire quela cavitation se produise pour qu’on puisse definir le σ.

Un ecoulement sans cavitation correspond aux grandes valeurs du sigma. Etant donne que degrandes valeurs du sigma correspondent generalement a des valeurs elevees de la pression, on peutsimplement predire que la pression est partout superieure a la pression de vapeur et l’ecoulementrestera sans cavitation. La cavitation peut etre atteinte soit par diminution de la pression dereference, soit en augmentation de la vitesse d’ecoulement, les deux conduisant a une diminutiondu nombre de cavitation.

3.3.3 Nombre de Strouhal (St)

Le nombre de Strouhal definit les mecanismes d’oscillation dans les ecoulements instationnaires.Plus physiquement, il represente le rapport du temps d’advection et du temps caracteristique del’instationnarite. Pour les ecoulements cavitants, il est defini de la maniere suivante :

σ =fl

U∞(3.3)

Ou f represente la frequence de separation de la cavite, l est la longueur moyenne de la cavite,et U∞ la vitesse caracteristique de l’ecoulement.

3.4 Modeles de cavitation

3.4.1 Modeles bases sur des equations d’evolution de bulles

Ces modeles de cavitation, en general, prennent en compte la naissance de la cavitation enutilisant une formule empirique qui prend en compte les forces de portance, de traınee et d’inertie.

28 3. CAVITATION

Cette methode considere une ou plusieurs bulles de gaz, dont le rayon varie dans le champ depression.

Le modele le plus couramment utilise dans cette categorie est le modele de Rayleigh-Plesset[29][30]. Il considere que les bulles sont spheriques et le demeurent tout le temps de leur evolution.

ρ[RR +

3

2R2] = [pv − p∞(t)] + pgo(

R0

R)3k − 2S

R− 4µ

R

R(3.4)

R et R sont la premiere et seconde derivee par rapport au temps du rayon de la bulle et R0 estle rayon initial. Le premier terme, a droite de l’equation 3.4 represente la disparition de la bulle.Le deuxieme terme de droite est la contribution de gaz non-condensable.

3.4.2 Modeles a deux fluides

Il s’agit des modeles a deux phases, une phase liquide et une phase vapeur, et qui peuventcontenir plusieurs especes chimiques. Dans ce modele les equations de Navier-Stokes sont ecritespour les phases presentes. Pour les differents cas, on obtient differents nombre des equations aresoudre (6 equations utilisees dans le Code Neptune, 7 equation appliquees par Saurel [35] pourles problemes lies a super-cavitation), ce sont les equations de conservation de quantite de mouve-ment, de la chaleur et de la conservation de la masse. ces modeles peuvent prendre explicitementen compte les effets de desequilibre entre les phases mais restent difficile a utiliser en ecoulementsindustriels (couteux en resolution numeriques).

3.4.3 Modeles a un fluide

Modeles homogene

Ce modele suppose que le fluide contient une seule phase homogene. Cette derniere est unmelange entre le liquide et la vapeur selon une certaine proportion (hypothese de non glissemententre les phases et hypothese d’egalite des vitesses). Le modele consiste a ecrire les equations deNavier-Stokes pour un fluide du melange. Cette derniere est caracterisee par sa masse volumiquequi varie dans le domaine de calcul. Quand la masse volumique est egale a la valeur de celle duliquide, alors la cellule est prise par le liquide. Le meme raisonnement est applicable pour la phasevapeur. Entre les deux valeurs extremes la cellule est occupee par le melange homogene.

Fermeture du modele

Il existe dans la litterature plusieurs types de fermeture differents pour ce modele : Loi baro-trope sinusoıdale [32][33], loi barotrope Schmidt [34], loi a l’equilibre de Saurel [35].

Parmi ces modeles, nous allons presenter brievement la loi barotrope sinusoıdale. Ce modeles’applique aux fluides non thermosensibles et repose sur plusieurs simplifications :

— La masse volumique de la phase liquide est constante et egale a sa valeur a saturation pourla temperature de reference


— La masse volumique de la phase vapeur est basee sur l’equation d’etat des gaz parfaits— Les enthalpies de chacune des phases sont constantes et egales a leur valeur a saturation

pour la temperature de referenceLa loi barotrope sinusoıdale a ete initialement propose par Delannoy et Kueny [33] pour la

modelisation d’ecoulements cavitants incompressibles, et developpee au cours de these de O.Coutier-Delgosha [32]. Elle donne une relation entre la masse volumique et la pression.

ρ =ρL + ρV

2+ρL − ρV

2sin(

P − PvapC2min

2

ρL − ρV) (3.5)

L’expression de la densite varie en fonction du desequilibre ρL − ρV locale. La variation estpilotee par la valeur de Cmin, qui represente la vitesse du son minimale dans le melange.

Modeles a transport de taux de vide

Ce modele resout les equations de conservation de la masse et de la quantite de mouvementpour le melange, l’equation de l’energie ainsi qu’une equation de transport d’une des phases. Leterme source modelise les phenomenes de vaporisation et de condensation. Le transport de tauxde vide ne traite pas explicitement les interfaces.

Il est a noter que pour un fluide non thermosensible, les phenomenes dynamiques et thermiquessont separees et par consequent, l’equation de l’energie n’est donc pas necessaire.

Fermeture du modele dans le melange

Dans ce cas une troisieme equation, couplee avec les equations de conservation de la masse etde la quantite de mouvement est ajoutee, dont le terme source S modelise l’echange de masse entreles phases. Il existe une multitude de modelisation de ce terme pour fermer le systeme d’equations.

Model de Merkle (1998)

Un des premiers modeles utilisant l’equation de conservation de la fraction massique de laphase vapeur afin de representer la cavitation est celui de Merkle [36]. Le modele de Merkle esttres utilise depuis ces dizaines annees, en raison de sa flexibilite et de sa capacite a reproduirel’instationnarite de l’ecoulement :

∂xv∂t

+ um,j∂xv∂xj

= −xvτl

(3.6)

avec

αρv = xvρm et αρl = xlρm (3.7)

et

αρl = xlρm (3.8)

30 3. CAVITATION

Et le terme source est defini par :

1

τv=

0 if pm < Pvap

−(n+ 1)/2 if pm > Pvap

τl sera defini de la meme facon pour la condensation. τref = Lref/Uref est le temps ca-racteristique de l’ecoulement, k une constante fixee empiriquement, k ' 10−3. Le terme q estpose comme une pression dynamique de reference, q = 0.5ρmU

2ref .

Modele de Merkle (2006)

Dans ce modele, les termes sources de vaporisation et de condensation ont pour expression [37] :

m− = −kv

ρvαl

t∞min

1,max

((pv − p)Kppv

, 0

)

m+ = klρvαv

t∞min

1,max

((pv − p)Kppv

, 0

) (3.9)

Influence des parametres kv, kp et kl est remarquable sur le controle de changement des phases.Comme Merkle (2006) l’a cite, le coefficient kp doit etre aussi faible que possible afin que lesconstantes K deviennent les seuls principaux parametres qui controlent les changements de phase.Dans le cadre d’un exemple pour un cylindre axisymetrique et un nombre de Reynolds superieura 105, les constants kv, kv/kl et kp ont ete pris 100, 15 et 0.02 respectivement.

Modele de Kunz (2000)

Le modele de Kunz [38] utilise d’une equation de transport de la fraction volumique de liquideet consiste a subdiviser le terme source en un terme lie a la vaporisation et un autre lie a lacondensation qui peuvent etre operationnels en meme temps :

m− =Cdestρvαl min[0, p− pv]

12ρlU2

∞

m+ =Cprodρv(αl − αng)2(1− αl − αng)

t∞

(3.10)

Dans ce modele, Cdest et Cprod sont des constantes empiriques (ici Cdest = 100 et, Cprod = 100).αng apparaıt dans le terme de production pour faire respecter et forcer m→ 0 comme αv → 0.


Modele de cavitation interfaciale dynamique (modele de Senocak et Shyy 2004)

En se basant initialement sur le modele de Kunz, Senocak et Shyy [39][40] ont developpe unmodele de cavitation interfaciale dynamique qui tente d’eliminer des constantes empiriques et quifait intervenir les transferts de masse et de moment a l’interface.

m− =

ρl min(p− pv, 0)αl

ρv(UV,n − UI,n)2(ρl − ρv)t∞

m+ =max(p− pv, 0)(1− αl)

(UV,n − UI,n)2(ρl − ρv)t∞

(3.11)

L’echelle de temps t∞ est calculee en fonction d’une longueur caracteristique et d’une vitessede reference. Ils ont pour cela l’idee d’introduire la vitesse normale a l’interface qui est le produitscalaire de la vitesse et du vecteur normal.

n =∇αl

|∇αl|UV,n = u · n (3.12)

Le calcul de la vitesse a l’interface necessite de localiser sa position pour les cas qui dependentdu temps et donc des methodes supplementaires sont indispensable pour suivre le mouvement del’interface. Pour cela, la vitesse d’interface est estimee sur la base d’une approche simplifiee, enutilisant l’etat de conservation de la masse en calculant le gradient de la fraction volumique dephase vapeur.

Modele de Saito (2003)

Le modele de Saito [41] applique une equation de conservation de la masse de vapeur, en plusdes equations de conservation d’un melange homogene. Le systeme est ferme par la modelisationdu terme source ainsi que par une loi d’etat du melange. Cette derniere est donnee a partir deslois d’etats de chaque phase. Elle s’ecrit :

ρ =P (P + Pc)

K(1− Y )p(T − T0) +RY (P + Pc)T(3.13)

Ou T0, Pc et K sont des constantes du liquide et R la constante des gaz parfaites.

Le terme source de transfert de masse est proportionnel a la difference de pression Pvap − P ,ainsi qu’a l’inverse de la racine carree de la temperature de saturation :

32 3. CAVITATION

m+ = CeAα(1− α)(ρl

ρv)P ∗v − P√

2πRTsif p < Pv

m− = CsAα(1− α)P ∗v − P√

2πRTselse

(3.14)

ou Ts est la temperature de saturation et A = Caα(1 − α) est un parametre qui represente lataille de la surface d’echange entre les deux phases. La pression de vapeur est calculee en fonctionde la temperature selon la formule empirique suivante pour l’eau froide et les constantes Ca, Cset Ce sont fixees par l’utilisateur.

p∗v = 22.13×106 exp

(1−

647.31

T

)(7.21379+(1.152×10−5−4.787×10−9T )(T−483.16)2)

(3.15)

Modele de cavitation implemente dans Code Saturne

Principe du minimum et maximum sur le taux de vide

Le modele utilise dans le code est le modele initialement propose par Mekle [36]. Ce modelea ete etudie de facon thematique durant la these de R. Chebli [42] en verifiant le principe duminimum et maximum sur le taux de vide. Chebli a monte qu’un terme multiplicatif (α(1 − α))peut etre extrait du terme source de cavitation issu du modele physique afin de realiser l’equilibreentre les deux termes modelisant la vaporisation et la condensation et garder les variations dutaux de vide dans une plage physique (entre 0 et 1).

m− = −

Cdestρvα(1− α) max[0, p− pv]12ρlU2

∞t∞

m+ = −Cprodρlα(1− α) min[0, p− pv]

12ρlU2

∞t∞

(3.16)

Une limitation artificielle est alors necessaire si l’on veut respecter ces valeurs physiques. Ce-pendant, cette limitation influence la conservation de la masse globale car les termes m+ et m−

interviennent directement dans la resolution des differentes equations du systeme (notammentl’equation de la correction de la pression et du transport du taux de vide).

Chapitre 4

Code Saturn


4.2 L’approche volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 Principe de l’approche volumes finis : Volumes Finis pour une loi de conservation . . . . . 34

4.3 Schemas numeriques de Code Saturne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1 Algorithme SIMPLEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.2 Discretisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

33

34 4. CODE SATURN

4.1 Introduction

Code Saturne est un code de mecanique des fluides open source, base sur l’approche volumesfinis et developpe par EDF R&D [42][45][46][47][48]. Il fonctionne aussi bien sur les maillages struc-tures que les maillages non structures, ce qui s’avere tres utile dans les simulations en geometriecomplexe. A l’origine destine a des etudes menees dans le domaine du nucleaire, il comportemaintenant plusieurs modules distincts notamment grace a des fonctionnalites de suivi lagrangiende particules, de deformation de maillage (basee sur une methode ALE), de couplage thermiquefluide/solide, module atmospherique, module compressible, module de combustion des gaz, . . .

La description detaillee des methodes numeriques utilisees dans le logiciel est disponible dansla documentation theorique du code (www.code-saturne.org/documentation). Quelques elementsde description sont egalement representes ci-dessous.

4.2 L’approche volumes finis

La methode des Volumes Finis consiste a integrer, sur des volumes elementaires, les equationsecrites sous forme integrale [49]. Les integrales ne portent pas sur tout le domaine dans lequelsont posees les equations, mais sur des cellules disjointes appelees volumes de controles. C’estune methode particulierement bien adaptee a la discretisation spatiale des lois de conservation,contrairement aux Elements Finis. Cette approche a certains avantages en mecanique des fluides,notamment en raison de l’existence de quantites conservees par les equations. De plus, la methodedes Volumes Finis permet d’utiliser des volumes de forme quelconque et donc de traiter desgeometries complexes, contrairement aux Differences Finies. De nombreux codes de simulationnumerique en mecanique des fluides reposent sur cette methode : Fluent, StarCD, CFX, Fine-Turbo, etc. Un revue sur des approches numeriques en generale et les volumes finis en particulierest presente par Goncalves [49]. On prend ici une partie de cette etude afin de mieux comprendrela demarche des volumes finis.

4.2.1 Principe de l’approche volumes finis : Volumes Finis pour une loi de conser-vation

Considerons une loi de conservation d’une grandeur physique w dans une maille de volume Ω-, faisant intervenir un flux F (w) et un terme source S(w). Son expression sous forme integrale est :

∂

∂t

∫ΩwdΩ+

∫Ω

divF(w)dΩ =

∫Ω

S(w)dΩ (4.1)

Appelons Σ la surface de la maille, de normale exterieure n. Le theoreme d’Ostrogradski [50]conduit a :

∂

∂t

∫ΩwdΩ+

∮ΣF · ndΣ =

∫ΩSdΩ (4.2)

4.2. L’APPROCHE VOLUMES FINIS 35

L’integrale

∮ΣF · ndΣ represente la somme des flux a travers chaque face de la maille. Le flux

est suppose constant sur chaque face, l’integrale se ramene a une somme discrete sur chaque facede la maille. Il vient :

∮ΣF · ndΣ =

∑faces

Fface · nfaceΣface (4.3)

La quantite Fface = F (wface) est une approximation du flux F sur une face de la maille, c’estle flux numerique sur la face considere.

La discretisation spatiale revient a calculer le bilan des flux sur une maille elementaire. Ce bilancomprend la somme des contributions evaluees sur chaque face de la maille. La maniere dont onapproche les flux numeriques en fonction de l’inconnue discrete determine le schema numerique.L’ecriture du schema numerique peut egalement utiliser des inconnues auxiliaires, par exemple legradient de l’inconnue par maille.

Explicitons maintenant le terme de derivee temporelle. Un element fondamental de la discretisationen Volumes Finis est de supposer que la grandeur w est constante dans chaque maille et egale aune valeur approchee de sa moyenne sur la maille ou bien a sa valeur au centre de la maille.

D’autre part, le terme de derivation en temps est evalue au moyen d’une methode numeriqued’integration d’equation differentielle (Runge-Kutta, Euler explicite ou implicite...) et fait inter-venir un pas de temps d’integration ∆t. Ce dernier peut etre constant ou variable. Pour fixer lesidees, on ecrira la formulation avec une methode d’Euler explicite. Notons ∆w l’increment de lagrandeur w entre deux iterations temporelles successives. On peut ainsi ecrire :

∂

∂t

∫ΩwdΩ = Ω

(dwdt

)maille

= Ω∆w

∆t(4.4)

Finalement la loi de conservation discretisee avec la methode des Volumes Finis peut s’ecrire :

Ω∆w

∆t+

∑facesdelamaille

Fface · nfaceΣface = ΩS (4.5)

La methodes des Volumes Finis consiste donc a :— Decomposer la geometrie en mailles elementaires (elaborer un maillage)— Initialiser la grandeur w sur le domaine de calcul— Lancer le processus d’integration temporelle jusqu’a convergence avec :

1. Calcul du bilan de flux par maille par un schema numerique

2. Calcul du terme source

36 4. CODE SATURN

3. Calcul de l’increment temporel par une methode numerique d’integration

4. Application des conditions aux limites

4.3 Schemas numeriques de Code Saturne

4.3.1 Algorithme SIMPLEC

Pour la discretisation temporelle, Code Saturne utilise un algorithme a pas fractionnaire SIM-PLEC 1 [45][51]. Chaque composante de vitesse et la pression sont resolues de maniere decouplee.La contrainte de continuite est assuree suivant une procedure prediction-correction : la predictionde la vitesse par l’equation de quantite de mouvement, la resolution de la pression a l’aide de lacorrection de la vitesse par le critere de continuite (divergence nulle du flux de masse) et enfin lamise a jour de la vitesse par le bon increment de pression.

Prediction

Considerons le passage du pas de temps n au pas de temps n + 1, la premiere etape consistedonc a predire une vitesse, notee u(n+θ), par la resolution semi-implicite de l’equation de quantitede mouvement.

Cette prediction est donc obtenue en resolvant le systeme suivant a cette etape :

ρu(n+1) − u(n)

∆t+ div(u(n+θ) ⊗ (ρu(n)))− div(µtotgradu(n+θ))− B(n)u(n+θ)

= −gradP (n+θ−1) + A(n+θS)

(4.6)

avec

A = div(µttotgradu)− div(ρR) + S

u(n+θ) = θu(n+1) + (1− θ)u(n)

(4.7)

La valeur de θ definit le θ-schema que l’on utilise pour la discretisation en temps. En LESθ = 1

2, on parle alors de discretisation du type Crank-Nicolson et en RANS θ = 0 ce qui definit

un schema du type Euler implicite [52][53]. Pour le schema de second d’ordre, le pas de temps estsupposee constant.

Les termes source de A sont extrapoles en LES et le terme Bu definit la partie implicite. θSdefinit une discretisation du type Adams-Bashforth [54].

Correction

L’etape suivante permet la resolution de l’equilibre du bilan de quantite de mouvement avec lacorrection de la vitesse :

ρ(δu)(n+1) ≈ −∆grad(δP )(n+1) (4.8)

1. Pour Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations Corrected

4.3. SCHEMAS NUMERIQUES DE CODE SATURNE 37

avec

(δP )(n+1) def

= P (n+1) − P (n) (4.9)

Si on considere maintenant la divergence de chacun des membres de l’equation 4.9, la conditionde continuite est prise en compte et on resout finalement a l’etape de correction :

div(∆tgrad(δP)(n+1)) = div(ρ(δu)(n+1)) (4.10)

Ce qui nous permet de calculerP (n+1) en respectant le critere d’incompressibilite donc la diver-gence nulle de la vitesse.

4.3.2 Discretisation spatiale

La discretisation spatiale est de type volumes finis colocalises (vitesse, pression et tous les sca-laires resolus aux memes noeuds de maillage). La valeur discrete φi de la variable φ au centre degravite, note I, d’une maille Ωi represente :

φi =1

Ωi

∫Ωi

φdv (4.11)

La face commune aux cellules Ωi et Ωj est notee Fij , de centre de gravite F . La valeur discreteφij de φ en F est une approximation de :

φij =1

|Fi|

∫Fij

φdσ (4.12)

Figure 4.1 – Notation des entites geometriques lies a face (i , j) [45].

38 4. CODE SATURN

D’apres le figure 4.1, les autres entites geometriques impliquees dans les schemas de discretisationsont O l’intersection entre la droite (IJ) et la face Fij et I ′ (J ′) le projete de I (J) sur la normalea Fij. Cette normale est portee par le vecteur unitaire nij exterieure a Ωj.

Prediction

En utilisant le theoreme de la divergence, la discretisation spatiale de l’equation de prediction4.13 peut s’ecrire :

|Ωi|∆t

(ρu(n+1)i − ρu(n)

i ) +∑j∈i

u(n+θ)ij (ρu · n)

(n)ij |Fij| −

∑j∈i

(µtotgradu · n)(n+∆)ij |Fij|

= −|Ωi|Gi(P )(n+∆−1) + |Ωi|A(n)i + |Ωi|B(n) · u(n+∆)

i

(4.13)

Le detail de calcul des gradients avec une attention particuliere se trouve dans la theorie deCode Saturne [55].

Plusieurs schemas sont disponibles pour l’approximation de la valeur discrete φij au centre desfaces :

Upwind (schema du premier ordre)

Le schema upwind (ou decentre amont) est le schema le plus simple qui assure stabilite, mo-notonie et convergence :

φUpwindij = γijφi + (1− γij)φj (4.14)

avec

γij) =

1 if (ρu · n)

(n)ij > 0

0 else

Le flux de masse, (ρu · n)(n)ij , est connu a l’issue de l’etape de correction (non detaillee ici) du

pas de temps precedent.

Centre (schema du deuxieme ordre)

φCenteredij = Lij(φ) (4.15)

Avec Lij l’operateur d’interpolation au centre des faces (interpolation du deuxieme ordre).

Chapitre 5

Simulation numerique des ecoulementscavitant : Resultat et discussion

Sommaire5.1 Geometrie etudiee : Venturi 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Cas RANS 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.1 Maillage etudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.2 Conditions de calculs numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.3 Analyse qualitative de la simulation 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Cas RANS 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.1 Generalite et Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.2 Discussion sur le nombre de cavitation pour un cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.3 Analyse des profils moyennes et instantanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3.4 Profils moyens des vitesses transversaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4 Cas LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4.1 Geometrie et maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4.2 Conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4.3 Resultats non-cavitant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.5 Conclusion Partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

39

40 5. SIMULATION NUMERIQUE DES ECOULEMENTS CAVITANT : RESULTAT ET DISCUSSION

5.1 Geometrie etudiee : Venturi 8

Dans le cadre de ce rapport, une geometrie de type Venturi, avec un angle de divergence apresle col de 8, a ete etudiee. Dans ce chapitre, nous presentons brievement les travaux experimentauxet numeriques deja realises sur cette geometrie. Puis nous donnons les informations generales quiconstituent la base des simulations numeriques realisees.

Le developpement de la cavitation sur des geometries de Venturi est le theme de nombreusescampagnes experimentales qui s’interessent plus particulierement au phenomene de cavitationpartielle [43]. D’une part, ce type de geometrie facilite l’instrumentation et la comprehension desmecanismes lies au developpement de la cavitation ; d’autre part la forme du divergent permet dereproduire les champs de pression existant sur les profils d’aubes.

Cette geometrie a ete premierement etudiee au Laboratoire des Ecoulements Geophysiques etIndustriels par Stutz et Reboud [56][57] et puis developpe par Aeschlimann [58] durant sa these.

Stutz et Reboud [56][57] ont experimentalement definis differents points afin d’expliquer lecomportement de cavitation au sein de poche.

Figure 5.1 – Synthese d’une poche de cavitation dans une geometrie de type Venturi par Stutz et Reboud [56][57]

La partie amont de la poche est represente par une caractere diphasique (1) ou la croissancedes bulles est limitee par des effets thermiques et mecaniques. La partie (2) montre un fort tauxde vapeur, la condensation de la vapeur est montre par la zone (3). La separation est visible al’interieur de la poche (4) (presence du jet rentrant). Une partie de cisaillement (5) est observedue a une depression locale et enfin le sillage de la poche qui se continue loin en aval (6).

Dular et al. [2] ont realises une serie d’essai sur cette geometrie et ont montres que la formationde vapeur peuvent etre influences par divers parametres tels que les effets d’echelle et le rapportd’aspect et qui peuvent avoir de multiples influences sur la dynamique de la poche comme lacreation d’un jet lateral dans le cas des larges Venturi.

Coutier-Delgosha et al. [23] ont montre que le comportement instable des ecoulements cavitantdepend fortement du modele de turbulence. Leur modele propose, presente une bonne efficacitepour simuler les comportements instables de cavitation sur un Venturi 8.

Coutier-Delgosha et al. [60] ont fait des simulations numeriques de type RANS sur le venturi8 avec 4 differents modeles. D’apres ces calculs numeriques, ils ont declares l’importance de lacompressibilite du fluide sur la structure de turbulence, ce qui doit etre prise en compte pour

5.2. CAS RANS 2D 41

simuler les ecoulements cavitant.

Figure 5.2 – Schema general du Venturi 8 utilise par Coutier-Delgosha et al. [61]

Cette geometrie se caracterise par un angle de fermeture avant le col de 18 et un angle d’ouver-ture apres le col de 8. Pour notre cas, la longueur de corde est de 0.1272 m et la section d’entree estS = 4×5mm2. Les dimensions sont similaires a celles utilisees par Khlifa [59] durant sa these dontles essais avaient permis de comparer les resultats numeriques et experimentaux de cette geometrie.

5.2 Cas RANS 2D

5.2.1 Maillage etudie

Plusieurs maillages ont ete generes et utilises pour un cas 2D. Un maillage contenant 10000cellules a ete utilise avec succes dans le cadre de l’etude de Chebli [42]. Pour nos calculs, nousavons prefere un maillage encore plus fin (figure 5.3) dans la direction X avec 570 nombre decellules et 100 nombre de cellules dans la direction Y.

Figure 5.3 – Maillage 570× 100 pour des calculs RANS 2D, zoome sur la section du col

5.2.2 Conditions de calculs numeriques

Avec le Code Saturne les calculs ont ete effectues avec plusieurs modeles de turbulence (k− ε,k− ε LP, Rij− ε LLR, K−ω SST, Spalart et Allmaras, ...). Pour la simulation RANS, la versionSST du modele K − ω a ete prise en compte et appliquee pour nos simulation. Ce modele aete recemment utilise et puis valide dans les travaux de Chebli [42]. Le but de l’utilisation de


ce modele est d’un cote avoir un cas valide pour la base de notre etude et l’autre verifier si cemodele apporte une amelioration significative sur le comportement instationnaire de la poche decavitation. Ceci sera verifie en comparant avec les etudes des differents equipes. Les conditionsaux limites sont fixees de la facon suivante :

— A la paroi, une condition de glissement est appliquee— A l’entree la vitesse est imposee Ventree = 6.3m/s— A l’entree l’intensite de turbulence est impose 1 %— A la sortie la pression statique est calculee apres une valeur de σ fixeLe point de fonctionnement qui sert de reference aux etudes 2D est identique a celui fixe par

Khlifa [59] et est resume dans le tableau 5.1. il est noter que la pression n’a pas ete mesureependant la compagne experimentale donc on l’a fixee selon les donnees de Chebli [42]

Uentree

(m/s)Psortie

(Pa)σsortie Tref (K) Reref

6.3 57 566 2.80 293.15 27 972

Table 5.1 – Point de fonctionnement du Venturi 8

5.2.3 Analyse qualitative de la simulation 2D

Un calcul est presente pour lequel les conditions physiques sont resumees ci-dessus. Ce calcula nombre de cavitation σ = 2.8 est etudie. Les comparaisons entre ce calcul et l’experience sontmenees a partir des donnees moyennees en temps. Les profils moyennees de taux de vide, de vitesselongitudinale et de pression sont regroupes sur la figure 5.4 pour le cas de mesure. Cette figure offreun premier apercu de la taille de poche, la vitesse et la pression au col, en representant les valeursmoyennees. La poche de cavitation obtenue est en difference avec le comportement experimental,la quantite maximale de la production de vapeur se developpe au debut de la zone de divergencesachant que les resultats experimentaux montrent une quantite maximale au col.

Les visualisations instantanees de figure 5.6 sont approfondies en representant la dynamiquedes differentes poches au cours d’une periode t ≈ 0.1 s qui correspond a la duree d’un certainnombre de cycle. Chaque cycle est represente par des pics de pression ce qui adopte un comporte-ment cavitant fortement instationnaire (figure 5.5 et figure 5.6). Pour la premiere image la pochede cavitation atteint un volume maximal (t = 0.2s), en avancant dans le temps la production devapeur disparaıt sous l’effet de la pression a t ∼= 0.23s (quatrieme image), apres etre passe par leszones de plus haute pression la poche reapparaıt une deuxieme fois (t = 0.27s) et puis elle arrive asa taille maximum a la fin de cycle. La periodicite de la poche peut etre expliquer par l’existenced’un jet rentrant. En effet, ce type de jet coupe la phase de vapeur et detache la partie arriere dela poche.

L’analyse frequentielle a l’aide d’une FFT 1 du volume de vapeur permet d’obtenir la frequencedes lachers de nuage de vapeur. Experimentalement, l’analyse du signal de pression en aval met enevidence l’existence d’une frequence caracteristique autour de 450-500 Hz [44]. Dans le cas present,notre calcul a σ = 2.8 fournit une frequence de 470 Hz (figure 5.7). La longueur moyenne estimee

1. pour Fast Fourier Transform

5.3. CAS RANS 3D 43

Figure 5.4 – Champ moyen de taux de vide, de vitesse longitudinale et de pression pour un σ = 2.8

de la poche est de 4.76 mm (figure 5.4) et avec cette frequence d’oscillation calculee le Strouhalobtenu est de 0.355 ce qui est confirme avec les donnes experimentaux.

5.3 Cas RANS 3D

5.3.1 Generalite et Maillage

Les ecoulements 3D font apparaıtre des instationnarites liees a la troisieme dimension, celles-cise developpent par effets de bord et viennent renforcer les instabilites de la poche de cavitation.Afin d’analyser ces effets intervenant dans le calcul de la cavitation et puis avoir un resultat debase pour le cas LES, une serie de test est mis en place sur une configuration 3D et les resultatssont compares a la base de donnees experimentales mesurees par Khlifa [59]. Le Venturi 8 estegalement prise pour realiser les simulations numeriques en raison des resultats experimentauxdisponibles et les memes calculs realises sur le cas 2D. Le modele de turbulence choisi pour cecalcul est de nouveau le modele k − ω SST. En revanche dans le cadre des ecoulements 3D, ilest recommande de s’interesser aux effets du niveau de resolution de la turbulence sur la dyna-mique de l’ecoulement. En cela, les modeles de turbulence precedemment testes parmi differentauteurs,modele de k − ε LP [42] ou modele de type SAS [43], peuvent etre proposes.

Les simulations sont effectuees a partir de la geometrie 2D developpee en larguer sur 50 nœuds.Le maillage retenu est donc un maillage structure contenant 2 millions d’elements dont ≈ 1 mil-lions dans la zone de cavitation (figure 5.8).

5.3.2 Discussion sur le nombre de cavitation pour un cas 3D

Le cas 3D genere une depression beaucoup moins marquee au col, ce qui cause un faible tauxde cavitation en appliquant la meme valeur de sigma que le cas 2D, i.e. σ = 2.8. Par consequent,on est oblige de baisser le sigma afin d’obtenir une nouvelle poche de cavitation. Les valeurs dereferences des etudes 3D sont identique a celles fixees par Khlifa [59] et sont resumees dans le


0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30

4e+

046e

+04

8e+

041e

+05

time

Inle

t Pre

ssur

e

Signal de pression d entree au cours de 0.1 second

Figure 5.5 – Signal de pression a l’entree du domaine pour une duree de 0.1 seconde

Figure 5.6 – Evolution de la poche de cavitation au cours de 0.1s pour un σ = 2.8 : capture prise 0.2 et 0.3 secondrespectivement

tableau 5.2.

Chebli [42] avait pris un sigma egal a σ = 2.4 pour ses etudes 3D mais cette valeur a donnedans nos calculs une poche trop petite par comparaison a l’experience. Nous avons donc decide debaisser le sigma jusqu’a σ = 2 en esperant pouvoir obtenir les resultats plus proche des experiences.

Uentree

(m/s)Psortie

(Pa)σsortie Tref (K) Reref

6.3 41 690 2.00 293.15 27 972

Table 5.2 – Etude 3D : Point de fonctionnement du Venturi 8

5.3. CAS RANS 3D 45

0 500 1000 1500

010

0000

2500

00

Fréquence[Hz]

Den

sité

spe

ctra

le[P

a²/H

z]

signal de pression d entréeLongueur de référence = 10mm

Figure 5.7 – FFT appliquee au signal de pression d’entree pour une simulation 2D de type RANS avec un modelede turbulence k − ω SST

5.3.3 Analyse des profils moyennes et instantanes

Afin d’observer l’evolution tridimensionnelle et d’estimer la longueur moyenne, les profils moyensde taux de vide, de vitesse et de pression sont traces a la paroi et au milieu de domaine et presentesen figure 5.9. Les valeurs moyennes obtenues a la paroi sont globalement differentes des valeursprises a l’interieur du domaine. Sur un point de vue comparatif, la poche moyenne estimee en 3D(au milieu du domaine) se distingue des analyses 2D et des experiences, celle-ci presente une tailleplus grande associe a une faible pression demandee a la sortie. Plus precisement la poche calculeeest 2 mm plus grande que l’experience, une comparaison de poches de meme longueur exactementdemanderait quelques iterations sur les conditions de pression imposees en sortie.

Les simulations 3D augmentent generalement le taux d’instabilite dans la poche, en revanche,le cas 3D ici fait apparaıtre un comportement quasi-stationnaire ou la periodicite de la poche estbeaucoup moins visible que le cas 2D (figure 5.11). En definitive, bien que les effets 3D semblentjouer un role non negligeable, l’effet de geometrie (les dimensions choisis pour ces calculs) est plusimportant dans ce cas. Cependant il est a noter que ce comportement stationnaire est tres prochea des resultats experimentaux de Khlifa [59] realises sur la meme geometrie et avec les memeconditions de calculs.

Afin de mieux comprendre ce phenomene plus au moins stable, on fait un rappel du travail deDular et al. [2] sur l’effet d’echelle dans un calcul d’ecoulement cavitant. les auteurs prennent encompte plusieurs dimensions de venturi 8 et montrent que l’effet de cavitation differe en fonctiond’echelle ou a la petite echelle la periodicite est moins reguliere. Donc on est en mesure de direque notre echelle i.e. echelle millimetrique, est la cause probable de la stationnarite obtenue en 3D.


Figure 5.8 – Etude 3D : Maillage contenant 2 millions de cellules pour des calculs RANS 3D, zoome sur la sectiondu col

Figure 5.9 – Etude 3D : Champ moyen de taux de vide, de vitesse longitudinale et de pression pour un σ = 2prises a la paroi (gauche) et au milieu de domaine (droite)

Pour analyser la dynamique des poches de cavitation, une serie d’images est premierementcapturee au milieu de domaine dans le plan z = 2 mm et les visualisations instantanees de laproduction/disparition de vapeur sont comparees au signal de pression obtenue a l’entree. D’unpoint de vue quantitatif, chaque image permet de voir un instant de la formation de vapeur dansun cycle de cavitation. La poche commence son developpement au niveau du col en presenced’un nuage de vapeur tridimensionnel issu du cycle precedent. Elle reste attachee au col et ellene detache pas par des zones de liquides, ce comportement suggere que le modele physique decavitation utilise permet de modeliser correctement la zone de production de vapeur. Le nuagedu cycle precedent est force vers l’aval pendant que la poche de cavitation grandit et puis tousremplaces par les vapeurs de present cycle.

Suite a l’etude du signal de pression obtenu en fonction du temps, cette partie propose dedetailler l’application d’une transformation de Fourier rapide du signal de pression. Cette ap-proche permet un traitement rapide des donnees pour chaque angle etudie tant que le regimeperiodique, s’il existe, est atteint. Le resultat du FFT presente des pics dont le maximum corres-pond au debut du premier cycle de cavitation.

5.3. CAS RANS 3D 47

0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3042

000

4300

044

000

4500

0time

Inle

t Pre

ssur

e

Signal de pression dentree au cours de 0.1 second

Figure 5.10 – Etude 3D : Signal de pression a l’entree du domaine pour une duree de 0.1 seconde

Dans le cas 3D, une frequence de l’ordre de 320 Hz est fournit par simulation 5.12. La longueurde la poche estimee pour cette configuration d’ecoulement est de l’ordre de 10 mm et avec cettefrequence d’oscillation une valeur de nombre de Strouhal de 0.5 est calcule. cette valeur est plusgrande que le resultat experimental en raison d’une faible pression demandee a la sortie.

5.3.4 Profils moyens des vitesses transversaux

Les profils moyens transversaux de la vitesse longitudinale u sont traces en figure 5.13. Ils ren-seignent sur l’evolution de la vitesse dans sa direction principale. Au sein de la poche (x = 1.3mm, x = 3.9 mm et x = 6.5) la vitesse atteint des valeurs maximales et x = 7.8 mm marque lafin de la partie stable de la cavite ou la vitesse commence a diminuer.

La ligne transversale de coordonnee x = 1.3 mm, z = 2 mm se positionne sur la partie superieurede la poche ou le profil moyen est calculee u = 10.8m/s ce qui est proche et coherent avec le profilexperimental. D’apres la forme du Venturi, les lignes de mesures suivantes x = 3.9 mm, z = 2 etx = 6.5 mm, z = 2 sont positionnees au milieu de la poche a partir lesquelles la vitesse diminue(u = 8.6m/s a la troisieme position). Plus en aval, sur la partie basse de la poche (x = 7.8 mm), lemouvement de la vitesse montre une diminution de valeur calculee et il montre la fin de la poche(u = 5m/s).

La vitesse negative obtenue (figure 5.13) represente le jet rentrant qui vient couper la pocheen creant des lachers de vapeur et les petites bulles de liquides qui remontent jusqu’a atteindrel’amont de la poche. Cette vitesse negative est observee tout au longue de notre poche, tandis quepour les resultats experimentaux cette observation est seulement validee pour un forte vitesse al’entree [59].


Figure 5.11 – Etude 3D :Visualisation instantanee des poches de cavitation au cours de 0.1s pour un σ = 2 :capture prise a chaque 0.0005 second

5.4 Cas LES

La simulation des grandes echelles des ecoulements cavitants est basee sur deux etapes princi-pales : Realiser un calcul non-cavitant, mene a convergence, a partir duquel une simulation d’unecoulement cavitant se realise en deuxieme etape. Une fois que le calcul non cavitant est converge,la depression au col serait identifiee (sauvant avec une pression statique inferieure a la pression devapeur saturante). Une suite de calcul serait donc definie a partir du calcul non-cavitant convergeprecedemment, en activant la resolution de l’equation du transport du taux de vide.

5.4.1 Geometrie et maillage

Pour garantir la precision d’une LES effectuee sur une configuration avec parois, il est necessairede resoudre les structures de la zone interne de la couche limite, ce qui conduit a des maillagesdont les dimensions caracteristiques dans cette zone sont : ∆x+ ≈ 100, ∆y+ ≈ 1 et ∆z+ ≈ 20[62][63]. Selon Sagaut [13] d’autres valeurs peuvent reporter pour des LES bien resolues en procheparoi : ∆y+

min = 1 a la paroi avec au moins trois points de calcul dans la zone ∆x+ < 50, ∆y+ < 10et ∆z+ < 12.

On s’interesse donc aux grandeurs adimensionnelles pour definir la taille de maille proche de laparoi. Ces grandeurs cinematiques sont generalement reliees aux parametres internes de la couche

5.4. CAS LES 49

0 200 400 600 800 1000

050

010

0020

0030

00

Fréquence[Hz]

Den

sité

spe

ctra

le[P

a²/H

z]

FFT application on Pressure inlet signal

Figure 5.12 – Etude 3D : FFT appliquee au signal de pression d’entree pour une simulationde type RANS k − ωSST

limite.

U+ =U

Uτet y+ =

y

δv(5.1)

avec Uτ la vitesse de frottement a la paroi et δv = νUτ

une longueur caracteristique de la couchelimite.

La valeur theorique du premier maille est calcule environ 1.8 · 10−6, pour rester sans doutey+ = 1.5 · 10−6 a ete applique dans le cadre de maillage LES.

Le maillage de la configuration de venturi, comporte environ 12 120 000 cellules. La couche li-mite est resolue jusqu’a la paroi. Le maillage de la couche limite est telle que la taille de la premieremaille satisfait la condition ∆y+ < 1. Une attention particuliere a ete portee au raffinement dumaillage dans la zone de la cavite.

5.4.2 Conditions limites

La question essentielle de definition des conditions limites est : comment specifier la condition al’entree. Dans le plupart des cas, le developpement de l’ecoulement en aval est largement dependantdu comportement de l’entree. Zhiyin [65] a defini deux types de condition a l’entree LES : la


Figure 5.13 – Etude 3D : Profils des vitesses longitudinales a differents endroit de la poche, de x = 1.3 mm ax = 7.8 mm

Methode Precurseurs 2, dans lesquels une simulation supplementaire (simulation de precurseur)est realisee et les donnees requises sont sauvegardee a partir de cette simulation pour etre utiliseea l’entree principale, et la Methode synthetique 3 dans laquelle une certaine forme de fluctuationaleatoire est generee et combinee avec le debit moyen donne a l’entree. Sagaut [64] a utilise unedefinition plus complete en ajoutant une autre methode initialement developpee par Lund et al.[66] : la methode de recyclage 4.

Parmi ces trois methodes, la methode a recyclage est choisie pour realiser les calculs LES. Lesconditions d’entree, pour cette methode, sont calculees a partir de la meme simulation, en recy-clant les fluctuations existantes ailleurs dans le domaine de calcul. La methode consiste a prendreun plan (la position du plan de recyclage varie selon les auteurs), en aval de l’entree. Ces donneessont ensuite redimensionnees et reintroduites a l’entree (figure 5.14). Enfin, une initialisation dela maniere la plus realiste possible est demandee pour cette methode sans quoi un long temps derelaxation est necessaire avant d’obtenir des conditions d’entree realistes.

5.4.3 Resultats non-cavitant

Un calcul incompressible est premierement realisee. Une pression egale a 41169 pa est fixee ala sortie du domaine. L’initialisation est assuree en utilisant la valeur experimentale de vitesse. Lemodele de sous-maille Smagorinsky classique, avec Cs = 0.065, est applique. Les resultats sonttraces apres environ 0.1s de calcul. La figure 5.15 illustre la convergence des calculs sur tout ledomaine pour un calcul LES non-cavitant. Les traces de vitesse sont representes de facon non-homogene partout dans le domaine. Ceci peut etre le cas lorsque les conditions limites ne sontpas adaptees ou simplement lorsque le calcul n’est pas suffisamment avance dans le temps. Onremarque que au contraire, la pression est quasiment convergee pendant le calcul meme si unefluctuation est encore observee.

Les valeurs moyennes de vitesse et de pression sont representees sur la figure 5.16. On remarquetout d’abord que l’ecoulement est accelere au niveau du col ou la vitesse est fortement augmentee,une grande vitesse, plus grande qu’au col, est egalement calculee en partie haute de geometrie cequi est commencee des l’entree du domaine et qui est meme restee apres le col. Cette visualisationpeut etre expliquee avec l’etude de convergence avec quoi la vitesse tracee n’est pas arrivee a

2. Pour precursor methods3. Pour Synthesis methods4. Pour Recycling method or Mapped method

5.5. CONCLUSION PARTIELLE 51

Figure 5.14 – Illustration du technique de recyclage dans lequel les donnees sont calcules a partir d’un planinterieur vers l’arriere a l’entree [64].

une valeur constante. La pression est calculee minimum au col ce qui est la base d’obtention decavitation a cette zone. En revanche la valeur minimum obtenue est largement plus grande quela pression de saturation, par consequent, la cavitation n’aurait pas lieu dans cette condition depression. Il serait donc necessaire de baisser la pression afin de creer la poche de cavitation au col.

5.5 Conclusion Partielle

La partie presentee a pour objectif d’etudier la simulation numerique des ecoulements cavitantssur une geometrie de Venturi 8 en echelle millimetrique. Les resultats 2D montrent un compor-tement periodique et une forte instabilite tandis que les calculs 3D representent une formationde vapeur quasiment stable dont les resultats sont proche aux experiences. Les differences entreles simulations RANS 2D et 3D se retrouve dans la pression a la sortie. En effet, pour un mememodele de turbulence et une meme condition a l’entree, la poche obtenu est plus grande et plusstable pour un calcul 3D ou une pression plus faible est appliquee a la sortie.

Au sein des calculs LES, la visualisation des resultats non-cavitant de vitesse fait part de lanecessite d’augmenter le temps de calcul. De plus, la vitesse est tres forte dans la partie la hautedu domaine qui est probablement lie au plan de recyclage. Ce plan est choisi avant le col maisune verification plus precise peut appliquer afin d’avoir une certitude sur la condition a l’entreeen generale et sur la vitesse en particuliere.


0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

7.0

Time

Vel

ocity

(U

)

LES Mapped Point 1 at inlet

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

9.5

10.0

10.5

Time

Vel

ocity

(U

)

LES Mapped Point 3 at the edge

0 5000 10000 15000 20000

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

time

velo

city

(U

)

LES Mapped Point 9 before outlet

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

2000

025

000

3000

035

000

Time

Pre

ssur

e (P

a)

LES Mapped Point 1 at inlet

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

5000

1000

020

000

3000

0

Time

Pre

ssur

e (P

a)

LES Mapped Point 3 at the edge

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

3500

040

000

4500

050

000

Time

Pre

ssur

e (P

a)

LES Mapped Point 9 before outlet

Figure 5.15 – Etude de convergence sur le calcul LES non-cavitant : capture de vitesse et de pression aux differentsendroit au sein de l’ecoulement

Figure 5.16 – Visualisation moyennee de vitesse longitudinale et de pression sur un plan general et un plan au cold’un calcul LES non-cavitant.

Deuxieme partie

Verification du code a partir d’unesolution manufacturee

53

Chapitre 6

Verification du code : Definition etApplication


6.2 Methode des solutions manufacturees (MMS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.3 Equations analytiques utilisees pour la solution manufacturee . . . . . . . . . . . . . 57

6.4 Condition de calcul et cas test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.4.1 Solution periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.5 Calcul de l’erreur : Erreur L2 normalisee par la solution analytique . . . . . . . . . . 59

55

56 6. VERIFICATION DU CODE : DEFINITION ET APPLICATION

6.1 Introduction

Verification et validation sont les principaux moyens pour evaluer la precision et la fiabilitedes simulations numeriques [67]. Verification des codes peut estimer des phenomenes physiquestels que la dynamique des fluides et le flux de chaleur en resolvant un systeme d’equations auxderivees partielles. Cet outil utilise une methode d’approximation discrete ordonnee (i.e. elementsfinis, volume fini, et differences finies) [71].Tandis que la validation des codes et des modelesmathematiques est fortement liee a la question de savoir comment les constructions formelles(modeles) peuvent etre testes par l’observation physique [68]. De plus, la validation du code doitetre effectuee apres avoir tentee la Verification, ce qui est la mise au point de cette partie.

Cette partie de ce projet est donc consacre a verifier les developpements effectues recemmentdans la version 4.0.4 du Code Saturne couplant l’algorithme de cavitation et la modelisation LESde la turbulence. Cette etape serais ensuite validee avec une ensemble de comparaison entre lasolution numerique obtenue et la solution analytique.

La definition de verification du code differe parmi les auteurs. Par exemple, Oberkampf etTrucano [67][69] ont exprime la verification comme le processus de determination, du fait que laprecision d’une mise en œuvre d’un modele represente avec description conceptuelle du developpeurainsi que la solution appliquee dans le modele. Roache [70] a utilise la mesure de discretisationpour la definition de verification : Le code precisement definit quel est le champ de continuite desequations aux derivees partielles et les conditions aux limites qui devrait etre resolus, et demontred’une maniere decisive si ils sont correctement resolus (i.e. le plus souvent avec un certain degrede precision). De sorte que, comme une mesure de discretisation (par exemple les increments demaillage), le code produit une solution aux equations de continuite ; ceci est la verification. Salariet Knupp [71] ont completes cette definition et ont notes que si l’erreur de discretisation observeediminue jusqu’a zero avec la diminution des increments de maillage, nous sommes en mesure dedire que les equations sont correctement resolues.

La verification du code est un exercice mathematique qui demontre si les differents algorithmesont ete correctement codes (i.e. si le code est debarrasse des bugs). Pour cela, il est necessaired’avoir une solution reference pour les equations (i.e. une solution analytique).

Cette section sera donc consacree a la mise au point generale et la methode manuelle de l’appli-cation des solutions manufacturees (MMS 1) a un code open source de volume fini (Code Saturne).MMS serait appliquee afin de generer les termes sources analytiques et forcer les ecoulements pourobtenir une solution numerique proche a la solution analytique. Une fois que la verification estsatisfaite, les resultats seront compares avec la solution de Znidarcic et al. [6] obtenue avec unautre code.

6.2 Methode des solutions manufacturees (MMS)

La Methode de Solutions manufactures (MMS) fournit une procedure generale pour genererune solution analytique afin d’effectuer la verification de la precision et tester la capacite du code[72]. En se basant sur la procedure decrite par Roy et Oberkampf [73][74], le MMS est appliqueeici pour tester l’ordre de precision du code :

1. Pour Method of Manufactured Solutions

6.3. EQUATIONS ANALYTIQUES UTILISEES POUR LA SOLUTION MANUFACTUREE 57

— Determiner la forme mathematique des equations principales a verifier— Selectionner la solution manufacturee en utilisant des fonctions analytiques— Faire deriver les termes sources du MMS en introduisant la solution manufacturee dans les

equations de l’etape 1— Integrer les termes sources et conditions limites de MMS au sein de l’algorithme numerique,

sans modifier l’algorithme— Resoudre la forme discrete les equations principales modifiees sur plusieurs maillages avec

differents niveaux de raffinement— Evaluer l’erreur globale de discretisation a partir de la solution numerique— Determiner si l’ordre de precision observee correspond a l’ordre formelIl est a noter que, la solution manufacturee selectionnee pour le calcul peut impliquer des fonc-

tions analytiques tres generaux et ne doit pas etre physiquement real.

Afin de choisir une solution manufacturee, les criteres proposes par Salari et Knupp [71] sontrespectivement appliques :

— Les solutions manufacturees doivent etre composees de fonctions analytiques lisses telles queles polynomes, fonctions trigonometrique, ou les fonctions exponentielles ou la solution peutetre simplement calculee (i.e. pas de series infinies)

— La solution devrait etre assez generale pour qu’il puisse verifier chaque terme des equationsprincipales

— La solution devrait fonctionner en contenant d’un suffisamment nombre de derives signifi-catifs

— Une petite constante devrait etre adoptee afin d’eviter la forte variation de la solution enespace et en temps

— Le code devrait etre correctement lance en appliquant la solution manufacturee— La solution doit etre definie dans le cadre d’un domaine a deux ou trois dimensions, ce

qui represente une bonne flexibilite dans le choix du domaine de l’equation aux deriveespartielles

— La solution doit etre creee d’une maniere telle qu’elle donne la representativite aux operateursdifferentiels dans les equations aux derivees partielles

6.3 Equations analytiques utilisees pour la solution manufacturee

Les equations analytiques selectionnees pour l’etude de verification sont composees d’une com-binaison de fonctions sinus et cosinus. Elle sont donnees pour les ecoulement incompressibles etcavitants. Un logiciel de calcul formel MAXIMA est utilise dans cette etude pour calculer un termesource correspondant a un champ de vitesse et de pression imposes en resolvant les equations deNavier-Stokes laminaires.

Les expressions analytiques d’ecoulement incompressible sont definis sous la forme suivante :

U = C × cos(g · t)× cos(a · y) (6.1)

V = C × cos(g · t)× sin(a · x) (6.2)

W = 1 · 10−10 (6.3)

P = U × V (6.4)


Les coefficients a, g et C sont utilisees pour controler l’ecoulement dans des essais. Le coeffi-cient a controle la frequence des oscillations spatiales tandis que g est utilise pour la definition desoscillations dans le temps. La constant C controle egalement l’amplitude des vitesses.

Dans le cadre des ecoulement cavitants, les equations sont plus compliquees et ecrites sous laforme suivante :

U = C × cos(g · t)× cos(a · y) (6.5)

V =(1−

ρv

ρl

)BC cos(g · t) sin(g · t) cos(a · x) sin(a · y)

1−(1−

ρv

ρl

)α

+Bg cos(g · t) sin(a · x)y

1−(1−

ρv

ρl

)α

(6.6)

P =BCa cos(g · t) sin(g · t) cos(a · x) sin(a · y)

α((

1−ρv

ρl

)α− 1

) +Bg cos(g · t) sin(a · x)

α((

1−ρv

ρl

)α− 1

) (6.7)

Le seul coefficient supplementaire pour les ecoulement cavitant est B, qui est utilise afin decontroler l’amplitude de alpha. Une caracteristique importante de ces equations analytiques estecrite le terme source, en fonction de la pression et alpha (equation6.8).

S = −αpρv (6.8)

Les valeurs references utilisees pour nos etudes sont a = 1, C = 0.55 et g = π pour le casincompressible et C = 1 et B = 0.5 pour le cas cavitant. Il a noter que a et g restent sanschangement. La raison d’utilisation d’un tel terme source est directement liee a sa capacite pourrepresenter un S cavitant.

6.4 Condition de calcul et cas test

6.4.1 Solution periodique

— Geometrie et maillage : Un domaine de la taille de 2π × 2π × 1 est choisi pour realiser cescalculs. Le choix d’une telle simple geometrie nous permet d’eviter toute instabilite du a unesingularite geometrique. Quatre maillages structures contenant respectivement 4096, 16384,65536 et 262144 cellules, ont ete choisis pour verifier l’effet de maillage.

— Modele turbulent et proprietes physiques : Aucun modele de turbulence n’est applique. Afinde respecter l’ecriture des equation analytique, le nombre de Reynolds est fixe a 100, parconsequent les valeurs de reference de la masse volumique, de la viscosite dynamique et de

6.5. CALCUL DE L’ERREUR : ERREUR L2 NORMALISEE PAR LA SOLUTION ANALYTIQUE 59

la vitesse sont respectivement egales a 1 (Kg.m−3), 0.01 (pa.s) et 1 (m.s−1).

— Conditions aux limites : Une solution periodique est proposee afin d’eviter les problemes liesaux conditions limites. Pour cela, une periodicite est appliquee entre les faces paralleles.

6.5 Calcul de l’erreur : Erreur L2 normalisee par la solution analytique

Dans ce calcul, l’accent est mis sur la normalisation de l’erreur en utilisant la solution analy-tique. En effet, une erreur globale est estimee pour chaque pas de temps en appliquant la normeL2 a la difference entre la solution analytique et la solution calculee par le code. Cette differenceest normalisee par la solution analytique. Un champ d’erreurs est aussi post-traite sur tout ledomaine de calcul.

E1 =

√√√√√√√n∑i=1

((V aleurnumerique − V aleuranalitique)2)

n∑i=1

(V aleuranalitique)2

(6.9)

Le chapitre suivant illustre donc les resultats obtenus dans le cas de cette forme d’erreur. Ons’interesse particulierement a :

— l’algorithme de l’ecoulement incompressible— l’algorithme de cavitation sans terme source— l’algorithme de cavitation sans terme source avec le schema temporel de second ordre (LES)— l’algorithme de cavitation avec terme source


Chapitre 7

Resultats et discussion

Sommaire7.1 Algorithme pour ecoulements incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.2 Algorithme pour ecoulements cavitant sans terme source . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.3 Algorithme pour ecoulements cavitant sans terme source en appliquant le modeleLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.4 Algorithme pour ecoulements cavitant avec terme source . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.5 Comparaison entre les solution analytiques et numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.5.1 Resultat obtenus par Znidarcic et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.5.2 Algorithme incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.5.3 Algorithme de cavitation sans terme source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.5.4 Algorithme de cavitation sans terme source avec le modele LES . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.5.5 Algorithme de cavitation avec terme source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

61

62 7. RESULTATS ET DISCUSSION

7.1 Algorithme pour ecoulements incompressibles

L’erreur, dans ce cas, est examinee pour quatre differents maillages et les memes conditions decalculs, elle est donnee sur la figure 7.1 et le tableau 7.1. A titre comparatif, la moyenne calculeeest quasiment similaire aux valeurs calculees par Znidarcic et al. [6] avec un autre code nommeMFLOPS-3D et la meme solution analytique. Les comportement tracees issue de chaque maillagesont egalement tres similaire les uns par rapport aux autres.

MESH 1 2 3 4

Velocity Error (present work) 1,60 · 10−3 1,58 · 10−3 1,607 · 10−3 1,61 · 10−3

Pressure Error (present work) 2,29 · 10−3 5,82 · 10−4 1,56 · 10−4 5,01 · 10−5

Velocity Error (Znidarcic et al.) 1,13 · 10−4 1,19 · 10−3 1,74 · 10−4 1,81 · 10−4

Pressure Error (Znidarcic et al.) 0,00 · 100 2,39 · 10−5 2,21 · 10−4 2,08 · 10−4

Table 7.1 – La moyenne temporelle des erreurs E1 en fonction du maillage en appliquant la solution periodique :une comparaison entre les resultant de cas incompressible du Code Saturne et les resultant de Znidarcic et al. [6]

Figure 7.1 – Evolution de l’erreur E2 pour le cas des ecoulements incompressible. L’abscisse et l’ordonneerepresentent respectivement le nombre de pas de temps et l’erreur estimee.

7.2 Algorithme pour ecoulements cavitant sans terme source

Afin de commencer la verification issue de l’algorithme cavitant, une serie de simplificationest realisee sur les equation analytiques et le terme source. Le taux de vide est considere egal azero, aucun terme source n’est appliquee sur alpha, et les vitesses sont prises a partir des valeursincompressible. L’idee dans cette partie est de proceder a la verification de l’algorithme cavitanta partir du cas le plus simple possible.

En ce qui concerne l’algorithme cavitant, les erreurs sont calculees et presentees sur la figure7.2. Une erreur plus grande que le cas precedent est obtenue, ce qui est directement lie a l’ap-plication de cavitation meme si le terme source est nul. Pour ensemble des maillage l’erreur estrestee raisonnablement petite ce qui peut assurer de l’absence d’erreur dans la programmation,

7.3. ALGORITHME POUR ECOULEMENTS CAVITANT SANS TERME SOURCE EN APPLIQUANT LE MODELE LES 63

MESH 1 2 3 4

Velocity Error 1,63 · 10−03 7,96 · 10−4 4,04 · 10−4 2,02 · 10−4

Pressure Error 1,61 · 10−2 4,07 · 10−3 1,01 · 10−3 2,56 · 10−4

Table 7.2 – La moyenne temporelle des erreurs E1 en fonction du maillage en appliquant la solution periodiquepour le cas cavitant sans terme source

Figure 7.2 – Evolution de l’erreur E2 pour le cas des ecoulement cavitant sans terme source. L’abscisse et l’ordonneerepresentent respectivement le nombre de pas de temps et l’erreur estimee.

en revanche, les erreurs de pression sont differemment calculees entre les deux algorithmes. Onprecise egalement qu’en gardant le nombre de CFL constant, l’erreur est diminuee en fonction dela finesse du maillage.

7.3 Algorithme pour ecoulements cavitant sans terme source en ap-pliquant le modele LES

L’erreur, dans ce cas, est egalement estimee pour chaque maillage et chaque pas de temps (tableau 7.3 et figure 7.3). On procede de la meme maniere que precedemment, mais en passantpar le modele LES classique. Il est a noter que les termes sources, dans cette etude, ne sont pasecrits en appliquant les termes LES et il n’y pas non plus beaucoup termes non-lineaires dans lestermes source, par consequent l’effet de l’activation de LES est reduit.

Application de LES serait donc plutot dediee a verification de l’erreur de codage et non pas deprecision en utilisant MMS/LES en meme temps.

MESH 1 2 3 4

Velocity Error 3,69 · 10−03 1,79 · 10−4 8,77 · 10−4 4,30 · 10−4

Pressure Error 2,16 · 10−2 6,99 · 10−3 2,47 · 10−3 9,58 · 10−4

Table 7.3 – La moyenne temporelle des erreurs E1 en fonction du maillage en appliquant la solution periodiquepour le cas cavitant sans terme source et en activant le modele LES classique


Figure 7.3 – Evolution de l’erreur E2 pour le cas des ecoulement cavitant sans terme source en activant le modeleLES classique. L’abscisse et l’ordonnee representent respectivement le nombre de pas de temps et l’erreur estimee.

L’application de LES est maintenant presente sur l’algorithme de cavitation. D’apres la figure7.3, une petite augmentation de l’erreur est observee mais l’ordre de grandeur est reste sansmodification. En particulier, les remarques precedentes sont confirmees par cette figure, de sorteque l’effet de LES n’est pas considerable sur l’algorithme de cavitation. Cependant, l’erreur traceemontre encore un comportement different pour la pression.

7.4 Algorithme pour ecoulements cavitant avec terme source

Une erreur tres importante est observee en appliquant la periodicite sur toutes les faces du do-maine ce qui nous avait fait penser a des equations analytiques utilisees dans le cas de cavitation.Nous avons marque que les equations ecrites pour les vitesses rendent une periodicite impossibleen direction Y.

Le terme y utilise dans l’equation 6.6 empeche la vitesse pour etre appropriee a la simulationperiodique. Cette difference peut etre due a la maniere dont le terme ne fait pas une onde si-nusoıdale et il ne pousse que dans la direction Y , qui est la raison pour laquelle la periodicite nepeut etre appliquee en cette direction. Pour ce cas cavitant les conditions limites sur les deux facesen direction Y sont alors appliquees.

Afin de valider les conditions limites appliquees dans ce cas, une etude sans terme source estpremierement realisee et les resultats sont compares avec les resultats de section 7.2. Une erreurplus importante, liee a l’application des conditions limites, est observee. Il est tout a fait probabled’obtention une erreur plus grande dans le cas ou les conditions limites sont utilisees, l’ensembledes conditions limites dites standard dans le code implique une simplification de type dp/dn = 0qui est incorrecte dans notre cas (sauf pour la sortie). Pour eviter ce probleme, une condition detype Dirichlet non− standard est appliquee sur toutes les variables, les resultats sont acceptablesmais pas assures avec terme source.

Apres avoir obtenu une divergence sur les calculs initiaux, un certain nombre de modificationsont ete effectuees afin de reduire la taille de terme source. En effet, en utilisant les constantes pro-posees pour les solutions analytiques (voir le paragraphe 6.3), un message d’erreur sur la resolutiondes equations est rapidement affiche ce qui est le cas si le calcul commence a diverger. La mo-dification est alors prise en compte particulierement sur l’amplitude de l’alpha B ou une valeur

7.5. COMPARAISON ENTRE LES SOLUTION ANALYTIQUES ET NUMERIQUES 65

MESH 1 2 3 4

Velocity Error 2,05 · 100 1,62 · 100 9,66 · 10−1 6,59 · 10−2

Pressure Error 2,15 · 10+1 1,74 · 10+1 1,36 · 10+1 2,87 · 100

Table 7.4 – La moyenne temporelle des erreurs E1 en fonction du maillage en appliquant la solution periodiqueet les conditions limites pour le cas cavitant avec terme source.

Figure 7.4 – Evolution de l’erreur E2 pour le cas des ecoulement cavitant avec terme source en appliquant laperiodicite en direction X et Z et les conditions limites en Y. L’abscisse et l’ordonnee representent respectivementle nombre de pas de temps et l’erreur estimee.

B = 0.2 est appliquee.

D’apres le figure 7.4, une erreur considerablement petite est observee au debut des calculs, enrevanche a un moment donne, l’erreur commence a s’accumuler ou dans le cadre d’un exemple dupremiere maillage, l’erreur calculee sur la pression arrive de ≈ 10−2 de debut de calcul a ≈ 101 a lafin. Les hypotheses envisagees sont basees sur deux principes : l’ecriture des equations analytiques,qui sont une fois verifiees en termes de periodicites mais il est encore possible qu’elles contiennentdes erreurs, et les bugs probables dans l’algorithme du code, ce qui demande une recherche plusprecise.

7.5 Comparaison entre les solution analytiques et numeriques

Cette partie est consacree a une etude comparative entre les solutions analytiques et numeriquesissue du code. Les evolutions locales des solutions analytique et numerique sont tracees et com-parees aux resultats de Znidarcic et al. [6]. Pour cela, differentes sondes sont placees dans differentsendroits au sein de l’ecoulement. Dans un premier temps, les resultats d’algorithme incompres-sible sont analyses, puis une comparaison est faite pour verifier le comportement de l’algorithmecavitant sur trois sous-cas : sans terme source, sans terme source avec le modele LES et avec termesource.


7.5.1 Resultat obtenus par Znidarcic et al.

En ce qui concerne de la vitesse U (equation 6.5) et en utilisant les memes solutions analy-tiques, Znidarcic et al. [6] ont trouves un bon accord entre la solution analytique et la solutionnumerique (figure 7.5) ou les valeurs analytiques sont parfaitement suivis par les resultats calculespar le code. ces calculs sont realises issue d’un code de calcul 3D nomme MFLOPS-3D.

Figure 7.5 – Resultats de Znidarcic et al. pour un cas de 17600 cellules. L’abscisse et l’ordonnee represententrespectivement le temps et les valeurs calculees de la solution numerique et la solution analytique.

7.5.2 Algorithme incompressible

Apres avoir obtenu une ordre de grandeur raisonnable des erreurs, la solution numerique is-sue de ce algorithme est tracee (figure 7.6). Les resultats obtenus sont en tres bon accord avecles courbes analytiques. Pour le premier maillage au sein de domaine, un caractere legerementperiodique est observe (pour le point 5 ou les solution sont egal a zero), car Code Saturne cherchela cellule la plus proche du point demande et ecrit la solution en ce point. Sur les maillages quicontient un nombre de cellule paire, en x = L/2 (L la largeur du domaine), on est en effet en(L + dx)/2 ou (L− dx)/2. D’ou certaines differences est observees sur les premieres courbes. Enraffinant le maillage le dx devient de plus en plus petit et la solution analytique est bien capteepar la solution numerique.

7.5.3 Algorithme de cavitation sans terme source

Ce paragraphe met l’accent sur la validation de l’algorithme de cavitation pour un cas le plussimple i.e. sans terme source. La figure 7.7 montre un bon accord entre les solutions tracees. Unbon compromis entre les solutions numeriques et analytiques fait confirmer la petite erreur calculeedans le paragraphe 7.2.


0 2 4 6 8

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5

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time

velo

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)

Code_Saturne results & Exact solution for VelocityPoint1 (pi,pi,0)

Exact solutionMesh1

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0 2 4 6 8

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50.

00.

51.

01.

5

time

velo

city

(U

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Exact solutionMesh2

0 2 4 6 8

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0 2 4 6 8

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0 2 4 6 8

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−0.

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city

(U

)

Code_Saturne results & Exact solution for VelocityPoint2 (pi,3pi/2,0)

Exact solutionMesh1

0 2 4 6 8

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0 2 4 6 8

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)


Exact solutionMesh3

Figure 7.6 – Comparaison les resultats numeriques et la solution analytique pour la vitesse U et pour differentespoints en appliquant une solution periodique a l’algorithme incompressible.

7.5.4 Algorithme de cavitation sans terme source avec le modele LES

Confirmant les explication donnees sur le modele LES (voir le paragraphe 7.3), l’applicationde cette derniere n’a aucune influence sur la comparaison des solutions tracees ou les resultatsnumeriques restent toujours en tres bon accord avec les resultats analytiques.

7.5.5 Algorithme de cavitation avec terme source

Inclure le terme source a pour but de verifier l’ensemble des aspects numeriques de l’algorithmede cavitation. Il comprend ici la creation de vapeur et variation de taux de vide a partir d’unesolution donnee. D’apres le figure 7.9, un bon accord est observe pour la premiere moitie dessolution, tandis qu’une difference remarquable est identifiee pour la deuxieme moitie. En raffinantle maillage, cette difference est nettement reduite et la comparaison monte une amelioration auniveau de l’erreur calculee, ce qui signifie que l’effet de maillage est plus important que dans lescas precedents.


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Exact solutionMesh1

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51.

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time

velo

city

(U)


Exact solutionMesh2

0 2 4 6 8

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5−

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50.

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Exact solutionMesh3

Figure 7.7 – Comparaison les resultats numeriques et la solution analytique pour la vitesse U et pour differentespoints en appliquant une solution periodique a l’algorithme de cavitation sans terme source.

0 2 4 6 8

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Exact solutionMesh3

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1.0

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50.

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0 2 4 6 8

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5−

1.0

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00.

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velo

city

(U

)


Exact solutionMesh1

0 2 4 6 8

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velo

city

(U

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Exact solutionMesh2

0 2 4 6 8

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1.0

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50.

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velo

city

(U

)


Exact solutionMesh3

Figure 7.8 – Comparaison les resultats numeriques et la solution analytique pour la vitesse U et pour differentespoints en appliquant une solution periodique a l’algorithme de cavitation sans terme source avec le modele LES.


0 2 4 6 8

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0 2 4 6 8

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5−

1.0

−0.

50.

00.

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01.

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(U

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0 2 4 6 8

−1.

5−

1.0

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0 2 4 6 8

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1.0

−0.

50.

00.

51.

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velo

city

(U

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Exact solutionMesh1

0 2 4 6 8

−1.

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1.0

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0 2 4 6 8

−1.

5−

1.0

−0.

50.

00.

51.

01.

5

time

velo

city

(U

)


Exact solutionMesh2

0 2 4 6 8

−1.

5−

1.0

−0.

50.

00.

51.

01.

5

0 2 4 6 8

−1.

5−

1.0

−0.

50.

00.

51.

01.

5

time

velo

city

(U

)


Exact solutionMesh3

Figure 7.9 – Comparaison les resultats numeriques et la solution analytique pour la vitesse U et pour differentespoints en appliquant une solution periodique et des conditions limites a l’algorithme de cavitation avec termesource.


Conclusion

Des calculs 2D et 3D sont realises dans la premiere partie de ce travail sur la geometrie ven-turi et avec Code Saturne. Les resultat sont compares les uns avec les autres et avec les resultatsexperimentaux. Parmi les differents parametres estimes, la premiere chose qui influence la longueurde la poche est le nombre de cavitation a la sortie. En effet, le profil moyen de la pression estessentiellement determinee par la valeur de σsortie. Le parametre σsortie est correle a la taille de lapoche ou pour une valeur de σsortie plus petite, la taille calculee est plus grande.

Parmi les calculs 2D et 3D, des differences a la fois sur la taille de la poche et sur son compor-tement sont observees. Entre les deux calculs, la taille varie et on remarque qu’en comparaisonaux resultats experimentaux, elle est plus petite dans le cas 2D, i.e. l = 4.76mm et plus grandedans le cas 3D (l = 10mm). De plus, pour le calcul 2D, le comportement obtenu est extremementperiodique, tandis que le calcul 3D conduit a une poche quasi-stationnaire ce qui est proche desresultats experimentaux. En revanche, l’effet de modele de turbulence n’est pas etudiee, sachantque lorsque l’on s’interesse a des mesures dans la poche, le modele de turbulence joue un rolenon negligeable, donc la comparaison parmi des differents modeles est indispensable pour les pro-chaines etudes.

La methode des solutions manufacturees a ete successivement utilisee dans le cadre de deuxiemepartie, autant pour l’algorithme incompressible que cavitant. Elle a permis de calculer l’ordre degrandeur des erreurs dans le Code Saturne et comparer les resultats numeriques obtenus avec lesresultats analytiques et les resultats d’un autre code (Znidarcic et al. [6]). Dans presque tous lescalculs, l’ecart entre les resultats numeriques et analytiques est faible sauf pour le cas cavitantavec terme source.

Les calculs fait ici pendant ce projet sont realises sur un seul processeur, donc une verificationdu parallelisme semble etre indispensable, car le fonctionnement du parallelisme constitue unaspect tres important du code, a l’heure actuelle, la plupart des simulation sont lancees sur plu-sieurs processeurs, donc la capacite du code a travailler en parallele doit etre verifiee. De plus,il est possible que certaines parties des algorithmes ne soient pas couvertes par ces tests. Doncle changement des constantes peut etre pris en compte pour une verification plus approfondie etplus generale.

71


Bibliographie

[1] S. Fuzier, S. Coudert and O. Coutier-Delgosha, Two phase velocity measurements using LIF-PIV inside the cavitation sheet generated in a venturi, 8th International Conference on Mul-tiphase Flow, Jeju, Korea, 2013

[2] M. Dular, I. Khlifa, S. Fuzier, M. A. Maiga and O. Coutier-Delgosha, Scale effect on unsteadycloud cavitation, Experience in Fluids, Vol. 53, pages 1233-1250, 2012.

[3] S. Duplaa, O. Coutier-Delgosha, A. Dazin, O. Roussette, G. Bois and G. Caignaert, Expe-rimental study of a cavitating centrifugal pump during fast startups, Journal of Fluids Engi-neering, Vol. 132, pages 021301, 2010.

[4] M. Dular and O. Coutier-Delgosha, Numerical modelling of cavitation erosion, Internationaljournal for numerical methods in Fluids, Vol. 61, pages 1388-1410, 2009.

[5] R. Chebli, O. Coutier-Delgosha and B. Audebert, Development of algorithm based on thefractional time step for the simulation of cavitation, 21eme Congres Francais de Mecanique,Bordeaux, France, 2013.

[6] A. Znidarcic and O. Coutier-Delgosha, New algorithm for fast DNS simulations of cavitatingflows using homogeneous mixture approach, International Symposium on Transport Pheno-mena and Dynamics of Rotating Machinery, April 2016.

[7] G. P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations :Steady-State Problems, Second Edition, Springer, 2011.

[8] J. G. Heywood, K. Masuda, R. Rautmann and V. A. Solonnikov, The Navier-Stokes EquationsTheory and Numerical Methods, Springer-Verlag, 1989.

[9] T. C. Rebollo and R. Lewandowski, Mathematical and Numerical Foundations of TurbulenceModels and Applications, Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology,Springer Science and Business Media, 2014.

[10] J.P. Caltagirone, Physique des Ecoulements Continus, Springer-Verlag, 2013.

[11] J. M. Coulson and J. F. Richardson, Chemical engineering handbook, Volume 1, Sixth edition,Butter worth-Heinemann, 1999.

[12] C. H. Moeng and P.P. Sullivan, Numerical models : Large-Eddy Simulation, Reference Modulein Earth Systems and Environmental Sciences, Encyclopedia of Atmospheric Sciences, SecondEdition, 2015.

[13] P. Sagaut, Large Eddy Simulation for Incompressible Flows : an introduction, Chapter 3 :Application to Navier-Stokes Equations, Second Edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg,New York, 2002.

[14] M. Lesieur, O. Metais and P. Comte, Large-Eddy Simulations of Turbulence : introductionto LES, Cambridge University Press, 2010.

[15] A. Leonard, Energy cascade in large-eddy simulations of turbulent fluid flows, Advances inGeophysics, Volume 18, Academic Press Inc., New York, 1974.

73

74 BIBLIOGRAPHIE

[16] J. Smagorinsky, General circulation experiments with the primitive equations, General circu-lation research laboratory, U.S. Weather Bureau, Washington D.C, 1963.

[17] M. Germano, U. Piomelli, P. Moin, and W. H. Cabot, A dynamic subgrid scale eddy viscositymodel, Center for Turbulence Research,Physics of Fluids A 3, 1760, Stanford, 1991.

[18] E. R. Van Driest, On turbulent flow near a wall, Journal of the Aeronautical Sciences, Vol.23, No. 11, pages 1007 to 1011, 1956.

[19] D. K. Lilly, A proposed modification of the Germano subgrid scale closure method, Physics ofFluids A 4 (3) : 633–636, 1991.

[20] L. d’Agostino, M. V. Salvetti, Fluid Dynamics of Cavitation and Cavitating Turbopumps,Chapter 1 : The Rayleigh-Plesset equation : a simple and powerful tool to understand variousaspects of cavitation by J. P. Franc, Springer WienNewYork, 2007.

[21] C. E. Brennen, Cavitation and Bubble Dynamics, Chapter 1 : phase change, nucleation, andcavitation, Oxford University Press Inc., NewYork, 1995.

[22] A. Gnanaskandan, K. Mahesh, A numerical method to simulate turbulent cavitating flows,International Journal of Multiphase Flow, 70 : 22–34, 2015.

[23] O. Coutier-Delgosha, J. L. Reboud and Y. Delannoy, Numerical simulation of the unsteady be-havior of cavitating flows, International journal for numerical methods in fluids, 42 :000–000,2003.

[24] C. E. Brennen, Cavitation and Bubble Dynamics, Chapter 7 : Cavitating flows, Oxford Uni-versity Press Inc., NewYork, 1995.

[25] C. E. Brennen, An Introduction to Cavitation Fundamentals, Cavitation : Turbo-machinery& Medical Applications, WIMRC FORUM, University of Warwic, 2011.

[26] Y. Lecoffre, La cavitation : traqueurs de bulles, Chapter 1 : Le phenomene de cavitation,Edition Hermes, Paris, 1994.

[27] Y. Lecoffre, La cavitation : traqueurs de bulles, Chapter 3 : Types de cavitation, EditionHermes, Paris, 1994.

[28] B. R. Parkin, Scale effects in cavitating flow, PhD thesis, California institute of technology,1952.

[29] M. S. Plesset and R. E. Devine, Effect of exposure time on cavitation damage, Division ofEngineering and Applied Science, California Institute of Technology, 1965.

[30] M. S. Plesset, The Dynamics of Cavitation Bubbles, Journal of Applied Mechanics, 1949.

[31] R. Saurel and R. Abgrall, A simple method for compressible multifluid flows, SIAM Journalof Scientific Computing, Vol. 21, Pages 1115–1145, 1999.

[32] O. Coutier-Delgosha, Modlisation des ecoulements cavitants : etude des comportements ins-tationnaires et application tridimensionnelle aux turbomachines, Memoire de these, InstitutNational Polytechnique de Grenoble, 2001.

[33] Y. Delannoy and J. L. Kueny, Two phase flow approach in unsteady cavitation modeling, InCavitation and Multiphase Flow Forum, ASME-FED, vol. 98, pages 153-158, 1990.

[34] D. P. Schmidt, C. J. Rutland and M. L. Corradini, A fully compressible, two-dimensionalmodel of small, high-speed, cavitating nozzles, Journal of Atomization and Sprays, vol. 9,pages 255–276, 1999.

[35] R. Saurel, J. P. Cocchi and P. Barry Butler, Numerical study of cavitation in the wake of ahypervelocity underwater projectile, Journal of Propulsion and Power, vol. 15, No. 4, pages513–522, 1999.

BIBLIOGRAPHIE 75

[36] C. L. Merkle, J. Feng and P. E. Buelow, Computation modeling of the dynamics of sheetcavitation, 3rd International Symposium on Cavitation CAV1998, Grenoble, France, 1998.

[37] C. T. Ha, W. G. Park and C. L. Merkle, Multiphase flow analysis of cylinder using a newcavitation model, 7th International Symposium on Cavitation, CAV2009, Paper No. 99, Mi-chigan, USA, 2009.

[38] R. F. Kunz, D. A. Boger, D. R. Stinebring, T. S. Chyczewski, J. W. Lindau, H. J. Gibeling,S. Venkateswaran and T. R. Govindan, A preconditioned Navier-Stokes method for two-phaseflows with application to cavitation prediction, Applied Research Laboratory, The PennsylvaniaState University, 1999.

[39] I. Senocak and W. Shyy, Interfacial dynamics-based modelling of turbulent cavitating flows,part 1 : model development and steady-state computations International Journal for numericalmethods in fluids, Vol. 44, pages 975–995, 2004.

[40] I. Senocak and W. Shyy, Interfacial dynamics-based modelling of turbulent cavitating flows,part 2 : time-dependant computations, International Journal for numerical methods in fluids,Vol. 44, pages 997–1016, 2004.

[41] Y. Saito, I. Nakamori and G. Ikoha, Numerical analysis of unsteady vaporous cavitating flowaround a hydrofoil, 5th International Symposium on Cavitation, CAV2003, Osaka, Japan,2003.

[42] R. Chebli, Simulation 2D et 3D des ecoulements cavitants : developpement d’un algorithmeoriginal dans Code Saturne et etude de l’influence de la modelisation de la turbulence,Memoire de these, Ecole Nationale Superieure d’Arts et Metiers, 2014.

[43] B. Charriere, Modelisation et simulation d’ecoulements turbulents cavitants avec un modelede transport de taux de vide, Memoire de these, Universite de grenoble, 2015.

[44] J. Decaix, Modelisation et simulation de la turbulence compressible en milieu diphasique :application aux ecoulements cavitants instationnaires, Universite de grenoble, 2012.

[45] F. Archambeau, N. Mechitoua and M. Sakiz, Code Saturne : a finite volume code for thecomputation of turbulent incompressible flows - Industrial applications, International Journalon Finite Volumes, Vol. 1, pages : 1-62, 2004.

[46] O. Cozzi, Free surface flow simulation : correcting and benchmarking the ALE method in CodeSaturne, Memoire de master, The University of Manchester, 2010.

[47] B. de Laage de Meux, Modelisation des ecoulements turbulents en rotation et en presence

de transferts thermiques par approche hybride RANS/LES zonale, Memoire de these, Ecolenationale superieure de mecanique et d’aerotechnique, 2012.

[48] C. Dall’Ozzo, Modelisation des ecoulements atmospheriques stratifies par Large-Eddy Simu-lation a l’aide de Code Saturne, Memoire de these, Universite Paris-Est, 2013.

[49] E. Goncalves da Silva, Methodes et Analyse Numeriques, Institut Polytechnique de Gre-noble,2005.

[50] R. Larson, B. H. Edwards, Calculus : Early Transcendental Functions, Chapter 15 : VectorAnalysis, 6th Edition, Cengage Learning, 2015

[51] J. Tu, G. H. Yeoh and C. Liu, Computational Fluid Dynamics : A Practical Approach, Chap-ter 4 : CFD Techniques, Elsevier Ltd., 2007.

[52] B. D’Acunto, Computational Methods for PDE in Mechanics, Chapter 6 : Parabolic equations,World Scientific Ltd., 2004

[53] J. Noye, Computational Techniques for Differential Equations, Chapter 2 : Finite DifferenceTechniques for Partial Differential Equations, Elsevier Ltd., 1984.

76 BIBLIOGRAPHIE

[54] J. D. Hoffman, S. Frankel, Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second Edition,Chapter 7 : One Dimensional Initial Value Ordinary Differential Equation, Marcel DekkerInc., 1992.

[55] Code Saturne 4.0.0 Theory Guide, Chapter 4 : Space discretization, EDF R&D, April 2015.

[56] B. Stutz and J. L. Reboud, Experiments on unsteady cavitation, Experiments in Fluids, vol.22, pages 191-198, 1997.

[57] B. Stutz and J. L. Reboud, Two-phase flow structure of sheet cavitation, Physics of Fluids,vol. 9, 1997.

[58] V. Aeschlimann, Une approche experimentale pour la modelisation des ecoulements turbulentscavitants, Memoire de these, Universite de Grenoble, 2010.

[59] I. Khlifa, Imagerie rapide par rayons X des ecoulement diphasiques : Application aux

ecoulements cavitants, Memoire de these, Ecole Nationale Superieure d’Arts et Metiers, 2014.

[60] O. Coutier-delgosha, R. Fortes-Patella and J. L. Reboud, Evaluation of the Turbulence ModelInfluence on the Numerical Simulations of Unsteady Cavitation, Journal of Fluids Enginee-ring, Vol. 125, pages 38-45, 2003.

[61] O. Coutier-delgosha, R. Fortes-Patella, J. L. Reboud and B. Stutz, Unsteady cavitation in aventuri type section, Multiphase Science and Technology, Vol. 16, pages 205-215, 2004.

[62] U. Piomelli, Wall layer models for large eddy simulations, Progress in Aerospace Sciences,Vol. 44, Pages 437-446, 2008.

[63] U. Piomelli, Large eddy simulation : achievements and challenges, Progress in AerospaceSciences, Vol. 35, Pages 335-362, 1999.

[64] P. Sagaut, S. Deck and M.Terracol, Multiscale and multiresolution approaches in turbulence,Chapter 8 : Zonal RANS/LES Methodes, Imperial College Press, 2006.

[65] Y. Zhiyin, Large eddy simulation : Past, present and the future, Chinese Journal of Aeronau-tics, Vol. 28, Pages 11-24, 2015.

[66] T. S. Lund, X. Wu and K. D. Squires, Generation of Turbulent Inflow Data for Spatially-Developing Boundary Layer Simulations, Journal of computational physics, Vol. 140, Pages233–258, 1998.

[67] W. L. Oberkampf and T. G. Trucano, Verification and Validation in Computational FluidDynamics, Technical Report SAND2002- 0529, Sandia National Laboratories, New Mexico,California, 2002.

[68] W. L. Oberkampf and T. G. Trucano, Validation Methodology in Computational Fluid Dyna-mics, AIAA 2000-2549, Sandia National Laboratories, New Mexico, California, 2000.

[69] W. L. Oberkampf and T. G. Trucano and C. Hirsch, Verification, Validation and Predic-tive Capability in Computational Engineering and Physics, Foundations for Verification andValidation in the 21st Century Workshop, Johns Hopkins University, Laurel, Maryland, 2002.

[70] P. J. Roache, Verification and Validation in Computational Science and Engineering, Her-mosa Publishers, New Mexico, California, 1998.

[71] K. Salari and P. Knupp, Code Verification by the Method of Manufactured Solutions, Tech-nical Report SAND2000-1444, Sandia National Laboratories, New Mexico, California, 2000.

[72] P. T. Brady, M. Herrmann, J.M. Lopez, Code verification for finite volume multiphase scalarequations using the method of manufactured solutions, Journal of Computational Physics,Vol. 231, Pages 2924–2944, 2012.

BIBLIOGRAPHIE 77

[73] W. L. Oberkampf and C. J. Roy, Verification and Validation in Scientific Computing, Chapter6 : Exact solution, Cambridge University Press, Cambridge, UK 2010.

[74] A. Choudhary, C. J. Roy, J. F. Dietike, M. Shahnam, R. Garg and J. Musser, Code verifica-tion for multiphase flows using the method of manufactured solutions, International Journalof Multiphase Flow, Vol. 80, Pages 150–163, 2016.

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