Recherche Coopérative surProgramme no 25

J. M. MAILLARD

A. GEORGES

D. HANSEL

P. LE DOUSSALVariétés algébriques en mécanique statistiqueLes rencontres physiciens-mathématiciens de Strasbourg - RCP25, 1987, tome 38« Conférences de H. Grosse, M. Henneaux, J.M. Maillard, M. Rosso et W. Zimmermann »,exp. no 3, p. 35-53<http://www.numdam.org/item?id=RCP25_1987__38__35_0>

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- 35 -

VARIETES ALGEBRIQUES EN MECANIQUE STATISTIQUE

J.M. Maillard

L Ρ Τ H Ε Tour 16, 1er étage 4, place Jussieu 75 230 PARIS CEDEX 05

et A. Georges, D. Hansel, P# Le Doussal,

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INTRODUCTION

La reconnaissance de la relation triangle-étoile ( aussi appelée équation

de Yang-Baxter, ou encore équations de factorisation ) comme concept

fondamental pour la compréhension des modèles integrables en mécanique

statistique sur réseaux ( ou en théorie quantique des champs ) a de toute

évidence été à l'origine des progrès indéniables réalisés sur ces modèles

durant les dix dernières années £ 1^ ·

Dans la pratique la recherche de nouveaux modèles integrables s'est donc

vu ramenée au problème ( a priori ) plus simple de la recherche de nouveaux

modèles satisfaisant les équations dites de Yang-Baxter. Presque toutes les

solutions connues à l'heure actuelle pour ces équations font intervenir

une paramétrisation de celles-ci en termes de fonctions rationnelles ou

elliptiques.

Les rares exemples qui donnaient quelques espoirs de sortir de cet tf étau 11

semblent confirmer cet état de fait : des modèles bidimensionnels, où une

uniformisation par des fonctions thétas de genre g intervenait, se sont

avérés en définitive ne pas satisfaire les équations de Yang-Baxter [2^ et

le seul exemple non trivial de modèle soluble en dimension trois ( qui

satisfait une généralisation tridimensionnelle des équations de Yang-Baxter,

la relation tétraèdre ), le modèle de Zamolodchikov-Baxter, £,^3 '

présente en fait un cousinage marqué ( surtout en ce qui concerne la

fonction de partition ) avec le modèle de fermion libre de dimension deux de

Fan et Wu j^5j .

Les efforts conjugués des spécialistes du domaine n'ont guère fait

qufaugmenter " l'herbier " des modèles bidimensionnels ayant une uniformisation

uniformisation rationnelle ou elliptique £?3 ·

Une telle situation, qui peut paraître assez décevante, semble indiquer

qu'il y a véritablement fort peu de modèles integrables.

- 37 -

L'analyse de ces modèles, ( voir même une recherche exhaustive de ceux-ci

nasse nécessairement par une meilleure compréhension des nroblèmes de

paramétrisation de ces modèles. Nous allons montrer que tout modèle sur

réseau, intéqrable en mécanique statistique est naturellement paramétré par

des variétés algébriques ( dans lfespace des paramètres du modèle ) qui

possèdent en général des propriétés remarquables ( existence d'un ensemble

infini discret de transformations birationnelles laissant ces variétés

invariantes.

Ces structures algébriques sont suffisamment contraignantes pour qu'une

classification exhaustive des modèles solubles puisse être envisagée.

Nous montrons également ( en nous appuyant sur l'exemple de l'analyse

des zéros de la fonction de partition du modèle d'Ising bidimensionnel )

comment un choix de rf bonnes variables fî algébriques ( correspondant aux

variétés algébriques précédentes ) simplifie l'analyse des modèles solubles.

Nous étudierons enfin les relations existant entre ces variétés

algébriques et d'autres variétés algébriques remarquables ( dites variétés

de désordre intervenant dans les modèles de mécanique statistique.

- 38 -

1 PARAMETRISATION DES MODELES SOLUBLES PAR DES VARIETES ALGEBRIQUES

DE TYPE " NON GENERAL "

Pour la clarté de l'exposé nous développons ces idées sur l'exemple peut être

le plus représentatif des modèles solubles en mécanique statistique sur réseau,

le modèle à huit vertex symétrique ( encore appelé modèle de Baxter £ 9 J

Cependant il doit être entendu que ces idées ne sont nullement restreintes

à ce modèle précis mais s'appliquent à tous les modèles intégrables

bidimensionnels ( au sens par exemple de l'existence d'équations de Yang-Baxter)

voir même aux modèles intégrables en dimension trois ( ou plus ).

1.1 Le modèle de Baxter*

Nous rappelons tout d'abord brièvement certaines données de base concernant

1'intégrabilité du modèle de Baxter ( sur réseau carré ).

Les paramètres du modèle sont constitués par quatre paramètres homogènes

notés d'ordinaire a, b, c, et d, (( a, b, c, d ) ê IP )·

La relation de factorisation de Yang-Baxter correspond à un système de six

équations homogènes et trilinéaires dans trois jeux de ces quatre paramètres :

( a, b, c, d ), ( a', b' f c', d', ) et ( a", b", c", dff

f )· Typiquement l'une

de ces six équations s'écrit :

ad'd" + cb'b" = ac'c" + ca'a"

Ce système d'équations admet des solutions non trivialles si les relations

algébriques suivantes sont satisfaites :

FjL( a, b, c, d ) = F1( a', b', c', d' ) = F ( a", b", c", d» )

F2( a, b, c, d ) = F2( a', b', c\ d' ) = Fg( a", b», c", d'» )

avec

- 39 -

Les équations de Yang-Baxter assurent, quel que soit le nombre de colonnes du réseau carré N« la commutation des matrices de transfert Τ ( ici ce sont 1 Ν matrices 2 χ 2 ) correspond à deux parmi les trois jeux précédents de paramètres :

[T n( a, b, c, d ), T N( a\ b«, c», d« )] = Ο

Cette commutation est l'expression même de 1'intégrabilité du modèle.

Réciproquement la commutation des deux matrices Τ et Τ· t>eut toujours Ν Ν "

s'écrire de façon alnébrique φ τ ΧΤ(Ί\Τ )= φ. ΛΤ(Τ' Λ ) . les (f> étant des Π,Ν Ndfi ΤΙ,Ν Np((3 ) II, Ν

expressions rationnelles homogènes à coefficients entiers des coefficients TmT Λ (resp T' J) qui sont A leur tour des expressions oolvnomiales

horaooènes Λ coefficients entiers des paramètres (a,b,c,d)(resp(a',bf,cf,d'))·

Ceci assure donc lfexistence d1expressions aloébriques telles que F et F n .

1 2

En fait nous disposons a priori d'une infinité de telles expressions

( correspondant aux différentes valeurs de Ν ) : 1'inténrabilité du modèle

demande donc que cet ensemble infini d'équations soit redondant et se

ramène A un nombre fini de celles-ci, ce nombre étant inférieur au nombre de

paramètres du modèle. ( Dans le cas contraire nous serions ramenés A la

commutation triviale d'une matrice avec elle même ). Dans le cas du modèle

de Baxter nous sommes donc conduits de fanon naturelle A un feuilletage de

11 espace des paramètres IP en courbes elliptiques : F ( a, b, c, d ) = (constante)

F ( a, b, c, d ) = Κ (constante) 2 &

C'est la représentation projective bien connue, due A Clebsch, d'une courbe elliptique comme intersection de deux quadriques dans ( biquadratique de Clebsch ). Appelons ν un paramètre décrivant une telle courbe. Nous avons l'uniformisation suivante :

- 40 -

a = .sn(v+n,k), b = p.sn(v-n,k)

c = ç.sn(2ij,k) d = p.k#sn(2r îk)sn(v-T ,k)sn(v+iy,k) Κ = 2cn(2ij,k).dn(2ij,k)

2, ν K 2 = k.sn (2 ,k)

( sn, en, dn sont les fonctions elliptiques de Jacobi de module k )· Avec cette uniformisation les relations de Yann-Baxter reviennent A dire que le module k et le point de normalisation η sont les mêmes pour les trois ieux de paramètres et que l'on a de plus la relation sur les paramètres ν : V + V1 + ν" = l| indiquant un lien manifeste (dans ce cas nrécis ) entre ces relations et le caractère abélien de la variété aloébrique.

Sipnalons également le fait que la fonction de partition ( par site ) du

modèle satisfait des propriétés dfautomorphie par rapport à deux

transformations birationnelles qui sont chacune des involutions; ces relations

dites relations "d'inverse" 10 [lij correspondant dans ce cas précis aux

transformations:

On vérifie aisément que F et ( et donc k et rj ) sont invariants par

I et J . Avec la paramétrisation précédemment introduite les deux involutions

sont manifestement des réflections :

I : ν — ^ 2.η - y

J : ν — ^ — 2 ^ -v Ces deux involutions engendrent un groupe infini discret G isomorphe au

au produit semi-direct TL © 2£ · 2

- 41 -

1.2 Cas général.

Dans le cas nénéral de modèles intégrables de mécanique statistique sur

réseau ( avec un t>oids de Boltzraann local ) la situation précédente se

aénéralise de la manière suivante :

- l'espace des paramètres est constitue r>ar η paramètres homogènes

( ...χ ) ^ Ρ Λ

1, η n-1 - il existe un ensemble de transformations birationnelles I ...I r>ar

1 r rapnort auxquelles la fonction de partition est automorphe

P. ( χ.··· ·χ ) ι,<χ 1 η

I : x. — > I ( χ. ) = OC 1 CÀ 1

Q. ( χ -.. .x ) ( et sont des polynômes homogènes à coefficients entiers ) \}^\

- il existe un ensemble de fractions rationnelles homogènes à coefficients

entiers ) F. ( i=l....m ) correspondants à la commutation des matrices de ι transfert associées à deux points de (P £l3j

- il est possible de démontrer que si la relation de Yang-Baxter est

satisfaite pour trois points dans IP ^ elle est automatiquement vérifiée

pour trois autres points déduit des précédents par des actions des I £12 |l3J

- de la remarque précédente on peut déduire que les expressions doivent

être invariantes par les transformations birationnelles I qui forment un

groupe en général infini G f^2J

Nous voyons donc que les modèles intégrables sont naturellement paramétrisés

par des variétés algébriques ( définies par l'intersection des équations

F = constante ) qui, dans le cas général, doivent admettre un ensemble

infini d'automorphismes.

Ceci exclue les variétés algébriques dites "de type général" mais ne

restreint pas nécessairement les variétés à être des variétés abéliennes

( sauf lorsque la variété est de dimension un ).

- 42 -

1.3 Courbes algébriques.

Lorsque la variété est de dimension un elle ne peut être qu'une courbe de

genre 0 ou 1 f*2] · C e résultat peut Ire compris de façon heuristique :

les courbes de type général ( de genre g > 1 pour lesquelles il faudrait

envisager une uniformisation par des fonctions autoraorphes et non des

fonctions thétas de genre g, ne pas confondre la courbe et sa Jacobienne )

se distinguent des courbes de genre 0 ou 1 par l1existence pour celles-ci

de points particuliers en nombre fini, les points de Weierstrass.

On comprend qu'un groupe discret infini ait quelque difficulté à laisser

invariant un tel ensemble fini de points.

Ayant obtenu une caractérisâtion aussi précise des courbes intervenant dans

les modèles intégrables, on peut se poser en retour le problème de trouver

toutes les représentations projectives ( dans Ρ ) d'une courbe elliptique: η

, >

les résultats sont les suivants % les seuls cas ou la courbe elliptique est donnée comme intersection complète sont la cubique plane dans IP et la

biquadratique de Clebsch ( intersection de deux quadriques dans IP ).

3 Les autres représentations dans TP ( n>4 ) correspondent à des

n-1 ' intersections non complètes. Elles peuvent toujours être paramétrées comme suit :

x. = (Γ( v-a_ ) ...QT( v-a. ) , ι il m ' avec X J a. . est indépendant de i, 5" désignant la fonction sigma de

Weierstrass. Le cas des intersections non complètes peut sembler à première

vue assez académique pour la mécanique statistique; nous en avons pourtant

un exemple avec le modèle dit " d'hexagones durs 11 pour laquelle la

paramétrisation est assurée par une courbe elliptique donnée comme

intersection d'une quadrique, d'une cubique et d'une quartique dans IP. /

nous avons les relations suivantes entre les correspondants £15}:

- 43 -

F t = 1 / F 2 et F a + F 2 = F 3

Sur ces exnressions on vérifie immédiatement que 11 intersection est

incomplète ( comme il se doit ) car elle contient les variétés narasites

x = x n = X, = 0 et χ = χ = χ = 0 1 2 4 1 3 5

1.4 Surfaces algébriques.

Pour une variété de dimension deux, la situation est plus comnliquée £loj ·

il existe des invariants qui jouent en quelque sorte le rôle du oenre pour

les courbes ( dimension de Kodeira... )

La classification des surfaces algébriques peut être schématisée comme suit :

°n peut définir des surfaces de type général qui n'admettent, là encore, qu'un

nombre fini d1automorphismes et sont donc exclues lorsque G est infini.

Les surfaces qui ne sont pas de type général se répartissent selon plusieurs

catégories : les surfaces rationnelles ( ÎP ), les surfaces réglées ( Γ"1 χ IP ), £ χ

les surfaces elliptiques ( fibration dont la courbe de base est elliptique ), les surfaces abéliennes, les surfaces ( dont le diviseur canonique,

ensemble des zéros dfune 2-forrae, est trivial ).

Toutes ces surfaces peuvent admettre un ensemble infini dfautomorphismes.

Si la surface est donnée comme intersection complète, nous sommes réduits

aux surfaces rationnelles ( cubique dansîP^, intersection de deux quadriques danstt^ ) et aux surfaces ( quartique dans IP , intersection d'une cubique

- 44 -

et d'une quadrique dansp^ intersection de trois quadriques dans ).

La situation est donc quelque peu décevante pour les chercheurs de nouveaux

modèles solubles : dans le cas simple d'une intersection complète nous n'avons

nas exclu les surfaces K„ pour lesquelles une paramétrisation explicite est

plus que problématique; une paramétrisation explicite non rationnelle (fonction

thêta de genre 2 pour certaines surfaces abéliennes par exemple ) est, quant

à elle, nécessairement associée à une intersection non complète ce qui

complique singulièrement la mise en évidence des F . Fort peu de choses sont

connues sur la classification des variétés de dimension 2 , cependant il est

toujours possible de définir ( et d'exclure ) des variétés de type général;

il est par ailleurs possible de construire de façon systématique des variétés

algébriques invariantes par le groupe infini discret G, qui permettaient ainsi

de se ramener ( en prenant l'intersection avec celles-ci ) à des variétés

de dimension plus basses ( dans le meilleur des cas les dimensions 1 et 2

évoquées précédemment )·

Une remarque amusante : lorsque nous considérons des points x^ rationnels,

leurs transformés par le groupe infini G sont également rationnels ainsi que

les valeurs des constantes

= F ( χ.·.·χ ) °< o< 1 η

La variété algébrique définie par les équations diophantiennes précédentes admet donc un ensemble infini de points rationnels ( pour lesquels nous avons

un procédé de construction parfaitement défini ). Dans le cas où la variété

est une courbe algébrique, le théorème de Faltings nous ramènerait là encore

à conclure que le genre de cette courbe doit être nécessairement 0 ou 1 £l?J ·

Dans le cas de variétés de dimension plus grande il n'existe que des

conjectures ( Lang, Votja...) : les modèles intégrables en mécanique

statistique pourraient ainsi fotirnir des exemples de variétés de dimension^ 2

admettant ( si de tels modèles existent!) un nombre infini de points

rationnels, invalidant certaines de ces conjectures.

- 45 -

1.5 Groupe fini.

Evidemment l'étude précédente repose sur le caractère infini du groupe G.

Si le groupe est fini cela signifie que quelque soit n £ G il existe un

entier ρ tel que : g P ( χ ....x ) = ( χ,,,.,χ ) :

l7 η l7 η la finitude du groupe signifie donc que nous sommes restreints à des variérés algébriques très ( trop ) précises dans l'espace des paramètres du modèle :

par exemple si nous considérons l'exemple du modèle de Potts scalaire à

q états, nous devons alors nous restreindre à un ensemble de valeurs qui

furent remarquées dans de nombreux contextes ( nombre de Tutte-Behara £ J »

covariance conforme * exposants critiques rationnels ··· ) :

q = 2 + 2COS231-2L η ( m, η

2.1 VARIETES ALGEBRIQUES ET ZEROS DES FONCTIONS DE PARTITION.

La résolution des modèles inte'grables utilise de façon déterminante la paramétrisation de ces modèles ainsi qu'en témoigne la construction

explicite de l'ansatz de Bethe [21J · Nous allons montrer dans ce paragraphe

comment l'utilisation des variétés algébriques F\ précédemment définies

simplifie considérablement l'analyse des zéros des fonctions de partition des

modèles integrables ( en l'occurrence le modèle d'Ising bidimensionnel ).

Du fait des propriétés d'autoraorphie de la fonction de partition par rapport

au groupe infini G, l'ensemble des zéros de la fonction de partition doit être

un ensemble globalement invariant par un sous-groupe infini discret de G :

il doit, a priori, être décrit plus simplement à l'aide des F qui sont les

11 bonnes 11 variables du modèle ( et qui sont de plus invariants par ce sous-

groupe ).

2.1 t i Réseau carré

Considérons par exemple la fonction de partition par site,jj£, du modèle

d'Ising anisotrope sur réseau carré, qui est donnée, dans la limite

thermodynamique, par une double intégrale ( ou de façon équivalente une

- 46 -

intégrale d'une intégrale elliptique de troisième espèce ) :

où Κ et Κ sont les constantes de couplages horizontales et verticales JL &

du modèle. L'ensemble des zéros du modèle correspond à l'annulation de l'argument du

loaarithme. Dans le cas du modèle isotrope ( Κ = = Κ ), les zéros se placent sur un ensemble de deux cercles ( cercles de Fisher, fig 1 ) dans le

plan complexe b=e^ . Pour ce modèle, nous avons une seule expression

algébrique F qui, en l'occurrence, s'identifie avec le module k de l'intégrale

elliptique de troisième espèce précédente : k = sh2K^sh2K2 «

/ 2 x

Les deux cercles de Fisher, de la limite isotrope ( k = sh 2K ),deviennent

dans la tf bonne 11 variable k, le cercle unité | k | » 1 . Bien que l'ensemble

des zéros ( dans le plan complexe k ) dépende de deux paramètres q et q , cet

JL d» ensemble est inclus dans le cercle unité, nous avons en effet :

( 1 )

qui conduit A ^k^ - e*^ ,

en nosant cos 0 = cos LU cos l0„ = x ( 2 )

Il est même possible d'exprimer très simplement, en utilisant ces T! bonnes îf

variables, une quantité réputée complexe, la distribution des zéros ( elle

découle de l'uniformité de la distribution dans les variables q et q et du

changement de variable ( 1,2 )) :

en nosant u = cos ν = cos UU„ 1 2

nous avons d

- 47 -

la distribution sur la variable χ est donc

Cette forme différentielle est bien connue dans le cadre de la théorie des courbes elliptiques et possède certaines propriétés remarquables. Ainsi si nous

effectuons le changement de variables

ce changement donne sur cette forme différentielle :

La distribution de zéros présente donc des propriétés de covariance

relativement à une transformation ( qui n'est autre que la transformation de

Landen ) portant sur le module des fonctions elliptiques intervenant dans

cette distribution à savoir, χ = Re ( 1< Γ ) , ( et non plus k ) . Signalons que

lorsque l'on se restreint à l'axe réel ( et non plus le cercle unité ) la

, 2 V k ν transformation de Landen sur k, ( k ) qui est une transformation

1 + k

d'ordre infini ( à la différence de la transformation de Jacobi k \j

qui est une involution ) a pour point fixe k=l, le point critique.

Il est donc possible d'identifier cette transformation ( ainsi que d'autres

isooénies de la courbe elliptique telles que la transformation de Legendre...)

a un générateur du groupe de renormalisation. Notons cependant que l'action

- 48 -

Dans cette nouvelle variable la courbe de la figure 2 devient la réunion

du cercle unité et d'un intervalle de l'axe réel.

de module 1 .

du groutje de renormalisation est, en quelque sorte, 11 orthoaonale " à celle

du groupe G qui, lui, laisse le module k invariant.

2.4.2 Réseau nid dfabeille ( ou triangulaire )

Une étude analogue sur le modèle d'Ising isotrope sur réseau nid dfabeille

—2K

peut être conduite sur l'ensemble des zéros dans le plan complexe z=e

( voir figure 1 ); cet ensemble est donné par l'équation :

z 4 - (2\+ 2 )z3 + (6 + 4λ)ζ 2 - (2 λ + 2 )z + 1 = 0

avec λ = cos q + cos q + cos( q + q 1

En posant ζ

o? - 2Jio( + 4^ = 0

avec ji = 2 + 2 λ — < ^ < 4

soit C< = 2 + 2e1 et -2 < < 1

Le module k des fonctions elliptiques intervenant sur ce modèle isotrope est donné par :

- 49 -

2.2 VARIETES ALGEBRIQUES ET VARIETES DE DESORDRE.

Reprenons 1·exemple du modèle de Raxter. Ce modèle se trivialise sur

certains plans ( dans P„ ) pour lesquels il subit une réduction 3

dimensionnelle. Ainsi la fonction de partition par site se réduit-elle à

celle dfun vertex isolé lorsque l'on se restreint à la variété algébrique

a + d = b + c( = > Z( a, b, c, d ) = a + d )

De telles solutions, et les variétés algébriques correspondantes, sont

dites de " désordre » £22] .

Ces variétés correspondent évidemment à une trivialisation de la

paramétrisation. Lz modqle k des fonctions elliptiques intervenant pour ce

modèle prend une valeur qui correspond à une trivialisation de la

paramétrisation r-—

a + d = b + c — k = — — — · ^

L 1 + k

Sur cet exemple précis nous pouvons vérifier facilement que l'ensemble des

variétés de désordre sont invariantes par le groupe infini discret G

engendré par les deux relations d'inverse I et J .

Cet exemple ( parmi d'autres ) est l'illustration du lien étroit qui

existe nécessairement entre les variétés algébriques correspondant à la

paramétrisation des modèles inténrables ( les ), les variétés de désordre

et aussi leur transformées par le groupe G.

Il est en fait relativement facile d'exhiber en dimension deux ( voir trois)

de nombreux exemples de telles solutions et variétés ( algébriques )

de désordre \^3^ ·

L'analyse de leurs transformées par le groupe G fournit des informations

précieuses sur la paramétrisation éventuelle du modèle : l'existence

d'une infinité de telles transformées peut être vu comme un indice de

non-intégrabilité du modèle*

- 50 -

L'analyse est cependant assez subtile ainsi qu'en témoigne l'exemple du

modèle de Potts sur réseau damier £24J

Les variétés de désordre correspondent à des variétés de l'espace des

paramètres où la fonction de partition ( dans certains cas également une

infinité de fonctions de corrélation ) peuvent être calculées exactement

le modèle n'est cependant pas intégrable au sens de l'existence de familles

de matrices de transfert commutantes ( on peut néanmoins dire que les

matrices commutent dans le sous-espace vectoriel de dimension un correspondant

à la plus grande valeur propre ).

3 CONCLUSION

Les variétés algébriques dans des espaces projectifs ainsi que certaines

transformations birationnelles ( associées aux relations dites d'inverse )

jouent un rôle majeur dans tous les calculs exacts qui peuvent être menés

sur les modèles de mécanique statistique sur réseau. Ces variétés

fournissent des outils puissants pour analyser des problèmes complexes

tels que ceux de la classification exhaustive des modèles intégrables,

ou encore l'étude des modèles intégrables en dimension trois.

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Références, 1 - R.J. Baxter. Exactly solved models in statistical mechanics.

Académie Press NY 1982 et Proceeding of the 1980 Enschede Summer School, Fundamental Problems in Statistical Mechanics,North Holland; Amsterdam.

2 - I.V. Cherednik. Theor. Math. Phys. 43 ( 1980 ) 117, 356

H.C. Ottinger, J. Honerkamp, Phys. Lett. 88 A (1982 ) 339

3 - A.B. Zamolodchikov, Comm. Math. Phys. 79 ( 1981) 489

4 - R.J. Baxter, Comm. Math. Phys. 88 ( 1983 ) 185

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6 - M. Jimbo et T. Miwa "Classification of solutions to the star triangle relation for a class 3 and 4 - state IRF models", NSF ITP 84 184 ( 1 9 8 4 )

7 - G.E. Andrews, R.J. Baxter, P.J. Forrester, J. Stat. Phys. 35, 193 ( 1 9 8 4 )

8 - M.T. Jaekel, J.M. Maillard, J. Phys. A 18, 1229 ( 1 9 8 5 )

9 - R.J. Baxter, Ann. Phys. 70 ( 1 9 7 2 ) 193

10 - Y.G. Stroganov, Phys. Lett; 74 A (1979) 116

11 - J.M. Maillard, "The star-triangle relation and the inversion relation in statistical mechanics"; Proceeding of the Brasov International Summer School 1983, Birkhauser edit.

12 - J.M. Maillard, "Automorphisms of Algebraic varieties and Yang-Baxter equations" equations", soumis à J.M.P.

13 - J.M. Maillard, T. Garel, J. Phys. A 17 ( 1 9 8 4 )

14 - P. Lochak, J.M. Maillard, Journ. Math. Phys. 27, 593 ( 1 9 8 6 )

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Mathématique de France, 1984 et Séminaire Bourbaki n° 609 1982/83

17 - L. Szpiro, Séminaire Bourbaki n° 619 1983/84 18 - S. Beraha, J. Kahane, N.J. Weiss, J. Comb. Theory Β 28, 52 - 65 ( 1 9 8 0 )

19 - A.A. Belavin, A.M. Polyakov et A.B. Zamolodchikov; J. Stat. Phys. 36, 775 (1984)

20 - M.P.M. den Nijs, J. Phys. A 12 1857-68 ( 1 9 7 9 )

- 52 -

21 - R.J. Baxter, Annal. Phys. 71, 1 (1973) 22 - M.T. Jaekel, J.M. Maillard, J. Phys. A 18 64l (1985)

23 - M.T. Jaekel, J.M. Maillard, J. Phys. A 18, 2271 ( 1 9 8 5 )

24 - M.T. Jaekel et J.M. Maillard, J. Phys. A 17 2079-2094 ( 1 9 8 4 )

Le lecteur pourra également se renorter à :

a- R. Hartshorne "Algebraic geometry" Springer Verlag, New-York 1977

b- J. Griffiths et J. Harri "Principles of Alnebraic Geometry" John Whiley 1978

c- I.R. Shafarevich,"Basic Algebraic Geometry" Springer Verlag 1977

d- M. Jimbo, "A q-analogue of U(ol(N+l)),Hecke algebra and the Yano-Baxter équation. ( 1985 )? RIMS n° 5A ( 1985 )

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Figure i. Location of the zéros in the complcx plane /», for q ~ 2, on a square Ν χ /V ; Ν = 6 with periodic boundary conditions. We have drawn the Fishcr drdes \b ± il ν2.

Figure 2. Zéros in the complex plane tanh Κ ( = z) for the triangular latticc for q -•- 2.