Réduction de l’interaction d’un système MIMO

Été 2010

Comment réduire l’interaction ?

« Désajuster » un ou plusieurs des contrôleurs en rétroaction (feedback);Changer la variable contrôlée;Considérer l’utilisation d’un contrôleur avec découplage;Choisir une stratégie de contrôle multi-variable.

Désajustement d’un ou des contrôleurs en rétroaction

Système utilisé en exemple

2 entrées et 2 sorties (délais de 1 min)

Réponse à des échelons

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Temps (min)

y 1 et y

2

Comportement du système MIMO

Échelon sur u1 à 1 min.

Échelon sur u2 à 50 min.

Échelons unitaires

y1 y2

Calcul de la matrice de Bristol

Lambda 11 d’un système 2x2:

1112 21

11 22

1

1

1

11 5 1 52 2

2 29

K KK K

. ..

Matrice de BristolDonc, on obtient:

Ainsi, u1 doit être couplé à y1 et u2 à y2.

2 29 1 29

1 29 2 29

. .

. .

Ajustement des contrôleurs de façon individuelle

Contrôleur PI1 : KC = 3.82 tauI = 3.17 (min)

Réponse :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2

3

4

5

6

Temps (min)

y 1 et y

2Comportement du système MIMO ( PI

1 )

Échelon sur u1 à 1 min. Échelons unitaires

y1

y2

Ajustement des contrôleurs de façon individuelle (suite)

Contrôleur PI2 : KC = 3.82 tauI = 3.17 (min)

Réponse :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2

3

4

5

6

Temps (min)

y 1 et y

2Comportement du système MIMO ( PI

2 )

Échelon sur u2 à 1 min. Échelons unitaires

y1

y2

Les deux contrôleurs ensembles

Complètement instable

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

Comportement du système MIMO ( PI1 et PI

2 )

Temps (min)

y 1 et y

2

Échelon sur u2 à 10 min.

Échelons unitaires

y1

y2

Échelon sur u1 à 1 min.

Désajuster le contrôleur PI2

Contrôleur PI2 : KC = 3.82/50 tauI = 3.17x50 (min)

Réponse : Stable

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

0

1

2

3

4

5

6

Temps (min)

y 1 et y

2Comportement du système MIMO ( PI

2 désajusté )

Échelon sur u2 à 10 min.

Échelons unitaires

y1

y2

Échelon sur u1 à 1 min.

Changement de la variable contrôlée

N’est pas toujours une solution possible

Mélangeur en ligneMélange de deux produits A et B. Débit massique et proportion du produit A dans le mélange spécifié.

Équations du modèle : Masse totale :

Concentration du produit A :

w w wA B

xw w A

Mélangeur en ligne (suite)Donc, des équations du modèle :

xw

w wA

A B

Calcul de la matrice de Bristol

Calcul de lambda 11 de ce système 2x2 :

Kw

wK

x

w

w

w w

x

w

Kw

wK

x

w

w

w w

x

w

A w A w

B

A B

B w B w

A

A B

B B

A A

11 21 2

12 22 2

11

1

11 x

Matrice de BristolDonc, on obtient:

Ainsi le couplage à choisir dépend de la valeur de x. Si x = 0.4 et w = 4 lb/min, alors w doit être couplé à wB et x à wA.

x x

x x

1

1

Changement de variablePour améliorer le couplage, on pourrait choisir comme nouvelles variables commandées :

u w w

u wA B

A

1

2

w u

xuu

1

2

1

Calcul de la matrice de Bristol

Calcul de lambda 11 de ce système 2x2 :

Kw

uK

x

u

u

u

Kw

uK

x

u u

u u

u u

111

211

2

1

2

122

222 1

2 2

1 1

1

01

11 1

1 0

0 1

Découplage du système de contrôle

Principe semblable au compensateur « feedforward »- Présenté au dernier cours.