[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 14 juin 2011 Enoncés 1

Diagonalisabilité et endomorphisme induit

Exercice 1 [ 00854 ] [correction]Soit f un endomorphisme diagonalisable d’un K-espace vectoriel E de dimensionfinie.Montrer que la restriction de f à tout sous-espace vectoriel F 6= {0} stable estdiagonalisable.

Exercice 2 [ 00855 ] [correction]Soit u un endomorphisme diagonalisable d’un K-espace vectoriel E de dimensionfinie.Montrer qu’un sous-espace vectoriel F non nul est stable par u si, et seulement si,il possède une base de vecteurs propres de u.

Exercice 3 [ 03038 ] [correction]Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel pour lequel il existe une baseB = (e1, . . . , en) vérifiant u(e1) = e1 et u(e2) = e1 + e2.L’endomorphisme u est-il diagonalisable ?

Exercice 4 [ 00856 ] [correction]Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice est 5 1 −1

2 4 −21 −1 3

dans la base canonique.Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par f .

Exercice 5 [ 00857 ] [correction]Soient f et g deux endomorphismes diagonalisables d’un K-espace vectoriel E dedimension finie.Montrer que f et g sont simultanément diagonalisables si, et seulement si, chaquesous-espace propre de l’un est stable par l’autre.

Exercice 6 [ 00858 ] [correction]Soient f et g deux endomorphismes diagonalisables d’un K-espace vectoriel E dedimension finie.Montrer que f et g commutent si, et seulement si, f et g sont simultanémentdiagonalisables.

Exercice 7 [ 03374 ] [correction]Soient A,B,C ∈Mn(R) vérifiant

AB −BA = C

On suppose en outre que C commute avec les matrices A et B.a) On suppose que A et diagonalisable. Montrer que la matrice C est nulle.b) On suppose que la matrice C est diagonalisable. Montrer à nouveau de que lamatrice C est nulle.

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 14 juin 2011 Corrections 2

Corrections

Exercice 1 : [énoncé]f annule un polynôme scindé à racines simple et f|F aussi.

Exercice 2 : [énoncé]Si F admet une base de vecteurs propres, il est immédiat d’établir qu’il est stablepar u.Inversement, si F est stable alors uF est diagonalisable et donc il existe une basede F formée de vecteurs propres de u.

Exercice 3 : [énoncé]Le sous-espace vectoriel F = Vect(e1, e2) est stable par u et l’endomorphisme

induit par u sur F a pour matrice(

1 10 1

)dans(e1, e2).

Or cette matrice n’est pas diagonalisable donc l’endomorphisme induit par u surF n’est pas diagonalisable et donc u ne l’est pas non plus.

Exercice 4 : [énoncé]Spf = {2, 4, 6}, E2(A) = Vecte1, E4(A) = Vecte2 et E6(A) = Vecte3 avece1 = (0, 1, 1), e2 = (1, 0, 1), e3 = (1, 1, 0).Si V est un sous-espace vectoriel stable alors fV est diagonalisable et doncpossède une base de vecteurs propres de f . Ainsi V = {0}, Vect(ei) aveci ∈ {1, 2, 3}, Vect(ej , ek) avec j 6= k ∈ {1, 2, 3} ou V = R3.

Exercice 5 : [énoncé]Si f et g sont simultanément diagonalisables alors on peut former une base dechaque sous-espace propre de f à l’aide de vecteur propre de g. Par suite lessous-espaces propres de f sont stables par g et inversement.Supposons que les sous-espaces propres de f soient stables par g. f étantdiagonalisable, E est la somme directe des sous-espaces propres de f . Sur chaquesous-espace propre de f , la restriction de g définit un endomorphismediagonalisable car annulé par un polynôme scindé à racines simples (car gdiagonalisable). Cela permet de construire une base de diagonalisation simultanée.

Exercice 6 : [énoncé]Si f et g sont simultanément diagonalisable alors leurs représentations diagonalescommutent donc f et g commutent.Si f et g commutent alors g laisse stable chaque sous-espace propre Eλ(f) et doncla restriction de g à celui-ci est diagonalisable dans une certaine base Bλ. Enaccolant les bases Bλ, pour λ ∈ Sp(f) on obtient une base où f et g sontreprésentés par des matrices diagonales.

Exercice 7 : [énoncé]a) Par récurrence, on obtient

∀n ∈ N?, AnB −BAn = nAn−1C

On en déduit∀P ∈ K [X] , P (A)B −BP (A) = P ′(A)C

Si la matrice A est diagonalisable, elle annule un polynôme scindé à racine simpleP et donc

P ′(A)C = 0

Puisque les racines de P sont simples, les valeurs propres de A ne sont pas racinede P ′ et une diagonalisation de A permet d’affirmer

detP ′(A) 6= 0

Puisque la matrice P ′(A) est inversible, l’identité P ′(A)C = 0 donne C = 0.b) Supposons C diagonalisable.Notons a, b, c les endomorphismes de Rn canoniquement associé aux matricesA,B,C.Soit λ une valeur propre de C. Le sous-espace propre Eλ(c) est stables par lesendomorphismes a et b car la matrice C commute avec A et B. Notons aλ et bλles endomorphismes induits associés. On a

aλ ◦ bλ − bλ ◦ aλ = λIdEλ(c)

En considérant la trace, on obtient

λ dimEλ(c) = 0

On en déduit que seule 0 est valeur propre de C et donc la matrice diagonalisableC est nulle.