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Réflexions d'un mathématicien sur l'économie et la finance
Raoul ROBERT
Point de vue.
-En économie ce qu'on appelle une vérité établie n'est généralement que la répétition obstinée d'un mensonge.
-Preuve du bon travail des économistes: il y a au moins cinq ou six interprétations incompatibles et convaincantes de la crise de 1929.
-Une science qui échoue avec une égale aisance à prédire l'avenir et le passé n'est pas d'une grande utilité.
Alors que faire?
Le point de vue du spéculateur.
« Un économiste qui ne joue pas ses économies sur ses idées n'est pas sérieux » John Maynard Keynes
Un peu de morale.
Une lettre du bon Karl Marx, décrivant à son oncle son expérience de spéculateur. "Comme cette pénible maladie (une furonculose) me gênait beaucoup dans mon travail, je spécule (...) en partie sur des bons du Trésor américains, mais surtout des actions anglaises qui, cette année, poussent comme des champignons, que l'on fait grimper de façon inconsidérée et qui, ensuite, la plupart du temps, font la culbute. J'ai gagné de cette façon 400 livres. Ce genre d'opération ne prend pas beaucoup de temps et cela vaut la peine de prendre quelques risques pour soutirer de l'argent à ses ennemis."
extrait d'un article de P.A. Delhommais dans le monde du 16/03/2010 intitulé « A mort Soros ».
L'origine de la spéculation.
Le capitalisme.
Il semblerait que l'écriture le commerce la monnaie et le capitalisme soient nés ensembles.Sous sa forme moderne fin du 18 ème siècle.
Les bourses.
Apparaissent en Europe dès le 12 ème siècle.
Le spéculateur.
Il intervient sur le marché simplement en espérant faire un profit sans stratégie d'investissement. Il joue un rôle essentiel dans la stabilité et la liquidité du marché.
Forme moderne: hedge funds
Economie, Finance et Mathématiques.
L'intéraction des mathématiques et de l'économie
-Début du 19 ieme siècle avec Cournot (1838), puis L. Walras..... théorie des Jeux de J . Von Neumann.
Quoique important sur le plan conceptuel, cet effort n'a pas beaucoup amélioré les performances de la science économique en tant qu'outil de prédiction.
Les rapports de la finance avec les mathématiques.
-1900, thèse de Louis Bachelier ,débuts du calcul des probabilités.
Bachelier fut le premier à fournir un modèle probabiliste rigoureux, avant Einstein ( 1905), du mouvement Brownien.
- Milieu du 20 ième siècle avec Paul Lévy et Benoit Mandelbrot une véritable révolution conceptuelle s'opère qui consiste à séparer la finance de l'économie.
Découverte des lois à queues épaisses i.e. lois où les variations de grande amplitude ne sont pas rares, ces lois correspondent au fait que les krachs ne sont pas rares en finance.
Efficacité des probabilités. Le calcul stochastique développpé par Ito s'applique avec succès à une question centrale de la finance: L'évaluation du prix des options (prix Nobel de Scholes et Merton en 1972).
La finance et la statistique.
Observation d'une variable aléatoire.
Cours d'une action pris chaque jour à une heure fixée, A1 , A 2 ... An.
Incrément d'un jour à l'autre X k = A k - A k-1
X1 , X 2 ... Xn, n observations successives de la variable incrément.
Histogramme des valeurs de X obtenues au cours d'une période.
Histogramme des valeurs quotidiennes de l'incrément de l'action Lafarge sur la période 2002-2007.En rouge la gaussienne de même variance.
- 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 1 00
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
Histogramme des valeurs quotidiennes de l'action Lafarge sur la période 2007-20013En rouge la gaussienne de même variance.
Une propriété remarquable.
D'une année à l'autre l'histogramme est toujours sensiblement le même..Propriété qu'on peut formuler en disant que l'incrément d'un cours suit une loi de probabilité. De plus on peut identifier certaines propriétés caractéristiques de ce type de loi.
La loi de Gauss.
C'est la loi de probabilité de densité:
g x=exp−x2 /22 /2 , de variance 2
- 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 1 00
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
Moyenne et loi des grands nombres.
Supposons que la variable X, dont on fait des observations successives, suive une certaine loi de probabilité, il existe donc une quantité notée m=<X> qui désigne la valeur moyenne « idéale ».
Loi des grands nombres (Emile Borel 1919).
Il s'agit de savoir, lorqu'on fait n observations successives, comment se comporte la quantité Sn=(X1 + ... Xn)/n , qu'on appelle la moyenne empirique, lorsque n devient grand.
Le théorème de Borel-Kolmogorov dit que si < ∣X∣ > est fini, alors pour toute suite d'observations indépendantes, Sn tend vers <X> lorsque n tend vers l'infini.
Mais question cruciale: Sn est il près de <X> ou pas?
Théorème central limite, écart à la moyenne.
En supposant que la variance de la variable X , notée var(X) = <(X-m)²>, est finie et que les observations Xi sont indépendantes, on montre que pour n grand nS n−m va distribuer ses valeurs suivant une loi de Gauss de moyenne 0 et d'écart type =var X .
Ceci permet d'évaluer la probabilité d'écart à la moyenne de Sn :
Prob ∣S n−m∣d inférieur ou égal à 2 /n /d .
La correlation.
Deux séquences d'observations de deux quantités aléatoires distinctes : Xi... et Yi... .
Y a t-il un lien entre ces deux quantité?
cor(X,Y)= <(X- <X>)(Y- <Y>)>/σ(X)σ(Y)
En pratique cette correlation s'obtient en calculant:
((X1 - <X>)(Y1 - <Y>)+.......+ (Xn - <X>)(Yn - <Y>))/n, pour n grand.
Si la correlation est nulle on dit que les variables sont décorrélées.
Le mouvement Brownien.
Première définition mathématique du mouvement Brownien: Louis Bachelier (1900).
Xi variables aléatoires indépendantes de même loi Gaussienne de moyenne nulle et d'écart type fixé 1.
Marche au hasard Sn = X1 + ... Xn , n = 1, 2...
Si intervalle de temps τ et Xi une variable d'écart type
Lorsque τ tend vers 0 la courbe continue affine par morceaux passant par les points (nτ, Sn) converge vers le graphe d'une courbe continue St (bien sur aléatoire) dérivable nulle part qu'on appelle le mouvement Brownien.
Lois à queues épaisses et calcul des moments.
X variable aléatoire Le moment d'ordre α de X, Mα(X), est la quantité (éventuellement infinie) < ∣X∣ > . En pratique, on approche cette quantité par : ( ∣X1∣ .....+ ∣Xn∣ ) / n
On appelle loi à queue épaisse une loi ou les grands écarts à la moyenne ne sont pas si rares.
Cela se traduit par le fait qu'au dela d'une certaine valeurs les moments vont être infinis.
C'est le cas pour la variable incrément dans le cas des actifs financiers.
La loi des petits nombres.
Les exemples de découvertes extraordinaires liées à un échantillonnage inadapté sont tellement nombreux qu'on leur a donné un nom : La loi des petits nombres.
Un exemple typique et cocasse: La fondation Gates et l'éducation.
En conclusion.
Suivre une loi est une propriété très forte.
Il est tout à fait remarquable que malgré l'évolution considérable de la société, de l'organisation puis de l'informatisation des marchés il semble exister une loi de la variable aléatoire incrément, dont les principales carartéristiques n'ont pas ou peu changé au cours du temps.
Premières propriétés des cours de bourse.
Aspect Brownien.
la courbe a la régularité du mouvement Brownien. Ceci se traduit par le fait que pour un accroissement de temps dt la variation est de l'ordre de dt .
En rouge l'indice CAC 40 sur la periode 2003-2013En bleu un mouvement Brownien de même écart type.
Ecart au Brownien.
Une volatilité très oscillante.
C'est une quantité qui va mesurer la propension du cours à varier rapidement.
Supposons qu'on observe quotidiennement la valeur d'un actif soit A1,...Ak,..., on a défini l'incrément du jour k: Xk = Ak – Ak-1 .
0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 00
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
Pendant le jour k, l'actif continue à être coté, par exemple toutes les minutes: Ak0 ....Ak
n , on définit la volatilité du jour k :
V k=1Ak 1
n1nAk
i −Aki−12
Cette quantité sans dimension se mesure en pourcentage.
On peut également prendre la définition voisine.
V k=1Ak
maxi Aki −mini Ak
i
On calcule chaque jour sur les données intraday la volatilité d'un cours, elle est très erratique.
Voilà une première différence avec le mouvement Brownien pour lequel la volatilité est constante.
Volatilité de l'action L'oréal sur la période 2003-2013.La bouffée de volatilité au niveau 1500 correspond au krash de 2008.
0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 00
0 . 0 2
0 . 0 4
0 . 0 6
0 . 0 8
0 . 1
0 . 1 2
La loi de l'incrément n'est pas gaussienne.
Histogramme de l'incrément d'un actif, le phénomène des queues épaisses.
Histogramme de l'action Lafarge sur la période 2003-2013.Et loi gaussienne de même variance.
Dissymétrie de la loi de l'incrément.
On calcule la moyenne empirique sur n points de ∣X∣X .
limite pour n grand de
( X1│X1│+.......+ Xn│Xn│)/n.
- 1 0 - 5 0 5 1 0 1 50
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
1 4 0
1 6 0
1 8 0
Indice de dissymétrie pour le CAC 40, période 2002-2013.En bleu la moyenne de l'incrément, en rouge la dissymétrie, en vert la variance.
Indice de dissymétrie pour le titre Danone.
0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 0- 0 . 1
0
0 . 1
0 . 2
0 . 3
0 . 4
0 . 5
0 . 6
0 . 7
1 4 0 0 1 6 0 0 1 8 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 2 4 0 0 2 6 0 0 2 8 0 0- 0 . 4
- 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
1 . 4
Ces constatations empiriques montrent de manière assez générale que la loi de l'incrément n'est pas symétrique suggérant que les acteurs des marchés ont des comportements différents à la hausse et à la baisse.
La théorie du marché efficient à l'épreuve des faits.
L'hypothèse d'efficience du marché financier, due à Eugène Fama (prix Nobel d'économie 2013.- Dans un marché suffisamment large où l'information se répand instantanément, les opérateurs réagissent quasi immédiatement aux informations .- En conséquence, les cours équivaudraient toujours au juste prix et évolueraient selon une marche aléatoire au gré des surprises qu'apportent les nouvelles informations.
La regression vers la moyenne.
D'après l'hypothèse du marché efficient, la connaissance des valeurs du cours Ak jusqu'à k = n ne donne pas d'indications sur An+1.
L'idée générale de la régression vers la moyenne postule que si le cours s'est écarté un moment d'une hypothétique moyenne il doit avoir tendance à y revenir. Autrement dit si l'incrément Xn = An – An-1 est < 0 on devrait plutôt s'attendre (d'un point de vue statistique évidemment) à avoir Xn+1 > 0, soit An+1 > An.
Ceci est très facile à tester statistiquement, il suffit de calculer la correlation entre la suite Xk et la tranlatée Xk+1 .
Pour le CAC 40, période 2002-2013.
En bleu correlation sur p points(en abscisse) entre Xk et Xk+1 . En vert correlation sur p points entre Xk et Xk+2 .En rouge variance sur p points.
La valeur de la première correlation, de l'ordre de - 0.1, est significativement négative.
0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 0- 0 . 2
- 0 . 1
0
0 . 1
0 . 2
0 . 3
0 . 4
0 . 5
Et pour l'action L'oréal.
Avec ici une valeur importante de la correlation proche de -0.2.
0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 0- 0 . 4
- 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
Mais pour Lafarge.
Au vu de ces résultats il paraît clair que la théorie du marché efficient est hautement questionnable.
On remarque également un changement de comportement des courbes au voisinage du point 1500, qui correspond à la crise des subprimes d'octobre 2008. La variance augmente ainsi que la dissymétrie et la correlation du jour au lendemain.
0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 0- 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
De l'aversion au risque à la pathologie du trader.
Une alternative.
-Soit vous jouez à pile ou face et vous gagnez 100 euros sur pile et 0 sur face.-Soit vous gagnez à coup sûr 45 euros.
Une grande majorité de gens choisissent la deuxième opportunité bien que les 45 euros soient inférieurs à l'espérance de gain de la première (aversion au risque).
L'explication de Daniel Bernoulli (1736).
Satisfaction apportée par le gain dF pour le possesseur d'une fortune F:
dS = cte. dF/F
D'ou S = log(F/E+1), E seuil.
D'ou le choix (où l'on prend maintenant des valeurs quelconques A pour le pari et B pour le sûr), on compare les deux satisfactions espérées:
log(B/E+1) pour le gain sûr
1/2log(A/E+1) pour le tirage
Première option avantageuse dès que B est plus grand que A1−1 . (cas E=1). D'ou B >10 dans notre exemple.
Comment traiter les pertes?
En cas de perte dF , admettons que le désagrément (le négatif de la satisfaction) soit encore proportionnel à dF/F, il n'y a aucune raison que la proportionalité soit la même.
Le désagrément sera donc pour une perte F : λ log(F/E+1).
Soit au total la coube de satisfaction suivante.
Qui est le graphe de la fonction S définie par:
S(x) = log(x/E+1) pour x > 0,S(x) = - λ log(-x/E+1) pour x < 0.
A l'aide de cette courbe, à condition d'évaluer expérimentalement le coef λ, on peut traiter tous les problèmes du type précédent par exemple:
Comment choisit-on entre?:
– une perte sure C– un pari ½ sur perte A et ½ sur 0 (ici C et A sont >0).
- 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 1 0- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
On compare des deux désagréments espérés:
log(C/E+1)
1/2 log(A/E+1)
soit le choix du pari dès que AC 2 /E2C , ce qui montre qu'on va choisir le pari alors que l'espérance de perte 1/2A peut être très supérieure à C.
Penser à E = 1, C=100 alors A < 10200.
L'aversion au risque conduit à une dissymétrie de comportement entre les gains et les pertes. Elle préfère assurer son gain en cas de gain et risquer de plus fortes pertes en cas de perte.
Ceci peut expliquer la dissymétrie de la loi de l'incrément constatée au chapitre précédent mesurée par
( X1│X1│+.......+ Xn│Xn│)/n., normalisée par la variance.
Cette quantité est significativement négative pour quasiment toutes les actions du CAC40 et même pour le CAC lui même.
La pathologie du trader.
On fait l'hypothèse naturelle que le trader a une mémoire et joue suivant un indice de satisfaction intégrant le coup précédent. On comprend alors aisément la principale pathologie qui guette le trader qui est de vouloir se refaire par des paris hasardeux en cas de perte.
C'est « l'effet Kerviel ».
Le diagnostic de l'aversion au risque (selon Mickael Mangot 2004).
Récemment, des financiers ont tenté de répondre aux questions suivantes :
- Comment peut-on savoir qu'un investisseur est affecté par le biais d'aversion au risque ?
- Comment peut-on corriger ce biais ?
Le diagnostic.
On admet qu'un individu est sujet à l'aversion aux pertes si :
- Il pense que la meilleure façon de gagner en Bourse est de ne jamais perdre d'argent sur aucun titre.
- Il pense qu'il est judicieux de prendre rapidement ses gains en Bourse parce que les humeurs du marché évoluent très vite
- Il aime se renforcer quand un de ses titres baisse de manière à pouvoir remettre plus vite « les compteurs à zéro »
- Il a en portefeuille des titres qui ont perdu une grande partie de leur valeur et dont il ne suit plus ni les performances ni l'actualité
- Il a remarqué que dès qu'il vend un titre, son cours progressait
- Il est réticent à regarder l'actualité d'un titre une fois qu'il l'a acheté. De même pour les titres qu'il a seulement failli acheter.
Remarque. Ces considérations complétées et étendues à différentes situations, ont donné naissance à la théorie des perspectives de Daniel Kahneman et Amos Tversky ( prix Nobel d'économie 2002).
Sur les traces de Benoit Mandelbrot.
1924-2010
Les affres du spéculateur, le hasard bénin et le hasard sauvage.
Évolution du titre Total sur la période 2003-2006
Et sur 2006....
7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 3 0 0 1 4 0 04 4
4 6
4 8
5 0
5 2
5 4
5 6
5 8
6 0
6 2
6 4
6 0 0 8 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 4 0 0 1 6 0 0 1 8 0 0 2 0 0 03 0
3 5
4 0
4 5
5 0
5 5
6 0
6 5
Le cours ne se laisse pas décomposer en une valeur moyenne évoluant avec une certaine régularité plus une fluctuation. C'est ce que Mandelbrot a appelé le hasard sauvage par opposition aux phénomènes qui se laissent décomposer de la sorte qui relèvent du hasard bénin.
Inspiré par la pensée de Paul Lévy, B. Mandelbrot se rendit compte de l'importance du caractère non Gaussien des lois de probabilité intervenant dans les marchés, ces fameuses lois dites à queues épaisses qui correspondent au fait que les grands écarts arrivent effectivement.
La volatilité.
Le mouvement Brownien ayant vite montré son inadéquation, à la recherche d'un processus modélisant les courbes de marché Mandelbrot étudia de façon méticuleuse la volatilité.
Il remarqua:
– Que la volatilité varie de façon chaotique d'un jour à l'autre, en suivant assez bien une loi lognormale.
Histogramme de la volatilité de l'action L'oreal .En rouge loi lognormale de même moyenne et variance.En vert loi gamma de même moyenne et variance.
- Malgré ses variations sauvages la volatilité évolue par bouffées, autrement dit elle est corrélée d'un jour à l'autre.
- 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 2 0 . 1 40
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
3 5 0
Décroissance de la correlation sur une année sensiblement en loi de puissance d'exposant 0.3.
- Si l'on conditionne l'incrément par la valeur de la volatilité on obtient une variable sensiblement Gaussienne.
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0- 0 . 1
0
0 . 1
0 . 2
0 . 3
0 . 4
0 . 5
0 . 6
Histogramme des incréments du titre L'oréal ,conditionné par une volatilité < 0.03. L'histogramme est maintenant proche de la Gaussienne de même variance.
L'idée de Mandelbrot.– l'incrément serait Gaussien si la volatilité était constante et le caractère
« queue épaisse » de la loi provient d'un mélange de Gaussiennes dont l'écart type varie dans un large intervalle.
–
On en déduit un modèle du cours d'un actif comme marche au hasard :le modèle MRW (multifractal random walk).
- 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 80
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
1 4 0
Autres questions.
1) Produits dérivés et calcul stochastique.
Les options.
Les options sont des contrats qui servent aux producteurs et commerciaux à se protéger contre des variations brutales des cours.
Les futures.
Ce sont des contrats on le contractant s'engage à fournir un certain actif à une certaine date et à un prix fixé d'avance.
Les options Européennes call et put.Ce sont également des contrats. Le détenteur d'une option call (put) à acheté le droit (mais pas l'obligation) d'acheter (de vendre) une certaine quantité d'actif à une certaine date et à un prix fixé à l'avance.
La question: quelle est la valeur de ces contrats?
- cas du future.A l'instant 0 un certain actif a une valeur Ao
le vendeur s'engage à vendre une unité d'actif à l'instant T à un prix P.Quel est le juste prix P?
Pour résoudre ce problème on introduit le taux sans risque r et on montre que: P = Ao exp(rT).
-Examinons maintenant quelle peut être la valeur d'une option Européenne call par exemple.
La résolution de ce problème qui porte le nom de formule de Black et Scholes a valu le prix Nobel d'économie 1997 a Scholes et Merton, Black étant décédé en 1995.
Leur calcul lumineux qui tient en une page est basé sur la technique du portefeuille de couverture et utilise le calcul différentiel stochastique mis au point par Ito dans les années cinquante.
La formule de B et S rend indéniablement des services mais elle est tout de même basée sur l'hypothèse irréaliste que le cours suit un mouvement Brownien.
2) La crise des subprimes.
Les faits, les faits ....encore les faits.
Krach du 14 septembre 2008.
-Pour éviter la recession les EU ont une politique de taux bas, conséquence les rendements des placements sans risque tels les SICAV monetaires sont bas.
-Les détenteurs de capitaux veulent des produits sans risque avec rendement élevés. On va leur en fournir.
-Avec la politique des taux bas on pousse les ménages aux revenus modeste à s'endetter pour acheter des maisons , d'où un gros paquets de prêts hypothécaires gagés sur la valeur de l'immobilier, marché montant puisque soutenu par la politique des taux bas qui pousse les gens à s'endetter .
-A ce niveau le risque de défaut est évident, on va le mutualiser suivant le principe des assurances. Donc on crée des produit financiers regroupant ces dettes. Reste à donner une valeur aux parts de ces groupements de créances. Autrement dit à évaluer le risque.
-On fait appel à des mathématiciens , ceux ci font fort bien leur travail, cf Li, et donnent une formule tout à fait raisonnable pour le prix mais voilà il faut introduire dans la formule un coefficient inconnu mesurant la correlation entre les differents risques de défaut. Et ça le mathématicien dit clairement qu'il ne peut pas le faire.
-Les banquiers pressés de vendre leur produit résolvent de façon expéditive la question en supposant ces risques indépendants. Ce qui conduit à sous estimer considérablement le risque et donc à vendre au prix fort des produits très risqués.
De manière simplifiée certains banquiers ont fait beaucoup d'argent en vendant les dettes de gens insolvables. D'autres en ont perdu beaucoup en achetant ces dettes.
3) L'économie et l'opinion, Marcuse et le choix des mots.
-Toute décision economique se traduit par des transferts de richesse entre groupes sociaux.
-Et toute décision économique est précédée d'un matraquage de l'opinion. Problème des retraites... Trou de la secu... dette....fonction publique...
L'opinion économique sert à masquer ou a justifier des transferts de richesse. Il s'agit toujours de savoir qui va payer!
Le philosophe Herbert Marcuse a énoncé un principe dont on peut constater tous les jours la réalité.
« Les mots ne sont pas neutres, ils verrouillent en permanence la pensée et la société. »
Des expressions rabachées à longueur de journée par les média ont un effet sur l'inconscient collectif et conditionnent le citoyen dans sa façon de penser le travail et l'économie. Ce sont des masques et derrière ces masques se dissimulent les fleuves qui transportent les richesses.
