REGLAGES ECH/WTILLQJNNES - CERNcds.cern.ch/record/318625/files/AT00000429.pdfdesgrandeurs de consigne et de perturbation 19.4 DETERMINATION DES COEFFICIENTS DE IJINTERVENTION DIRECTE

Presses polytechniques xomandes, Lausanne, 1983. OCR Output

Txaitement dans l'espace d'état,

Résumé du livre : Réglages échantillcnnés, V01. 2

Mai 1984

Cours de pexfecticnnement CERN

Prof. H. Buhler

REGLAGES ECH/WTILLQJNNES

(12.8) OCR Output¤T :14*1 C2 cn]

bn

(12.7)

dnl dn; ... Gun

(12.6)021 022 02n

011 an 01::

c‘x + du (12.5)

SI

dr— x = x = A x + b u (12.4)d .

12.2.5 Equations d’état d’un systéme monovariable

12.2.4 Espace d’état

In

(12.3)

12.2.3 Vecteur d‘état

cxx! + czxz + + c,,x,, + du (12.2)

1.. dfa,,,x, + 41,,2::2 + + a,,,,x,, + b,,u

dx,,

df (12.1)Gzxxl + Gggxz + ... + Gznxn + bgll

dx;

dfUnix] + Glzxz + ... + Glnxn + blu

dx]

`l2.2.2 Systéme d’équati0ns différenticllcs du premier ordre

12.2.1 Généralités

12.2 EQUAT10Ns UETAT DUN SYSTEME c0NT1NU

12.1 1NTRODUcT10N

OCR Output12. Equations d’état

(12.41)*I¤(eT)Bu(kT) OCR Output

(t -1·)B u(·r) dr (kT + eT- r) dr] B u(kT)[ [ k Tk T+e T

élément de maintien

12.3.6 Solution de1’équati0n d’état différentielle, systéme échantillonné avec

um(r)= u(kT); kT

ir verse, relations générales OCR Output12.4.2 Calcul de la matrice de transition d`état- par la transformation de Laplace


12.4 MATRICE DE TRANSITION D’ETAT

12.3.11 Matrices inhérentes aux équations d’état

12.3.10 Diagramme structurel

(12.54)y[k,e] = Cx[k,e] + Du[k]

(12.53)y[k,e] = Cx[k,e] + Du[k]6[O]

(12.52)x[k,e] = F(e)x[k] _+ H(e)u[k]

(12.51)H(e) = *I¢(eT)B

avec élément de mainticn

(12.50)H(e) = *}¤6(eT)B = F(e)B

sans élément de maintien.

me) = i>(eT) (12-49)05 6 S f12.3.9 Etat entre les instants d’échanti1lonnage

12 .3 .8 Diagram me structurel

(12.48)y[k] = Cx[k] + Du[k]

(12.47)x[k+1] = Fx[/c] + Hu[k]

(1_2.46)H = *P(T)B

et

(12.45)F = om £=· 1.

12.3.7 Equations d’état, systéme échantillonné avec élément de maintien

(12.44)x(kT + eT) = ·i>(eT)x(kT) + *1¤(eT)B u(kT)

er

(12.43)if (eT) = —· [ (v) dv = [ ¢I>(·r) dreT

v = kT + eT-· r.

kT

(12.42)¤P(eT) = [ (l:T+eT—r) drkT·¢T

(13.81) OCR Output+ (CF(e)[z1-F]"H+CH(e)+D) U(z)

Y(z,e) = CF(e)[z1—F]" zx[O] +

Y(z,e) = CX(z,e)+DU(z) (13.80)

X(z,e) = F(e)[zl-F]"zx[0]+(FC€)[Z1‘Fl"H+H(€)) U(Z)(13·79)

X(z,e) = F(e)X(z)+H(e) U(z) (13.78)

X(z) = [21-F]"(zx[O]+HU(z)) (13.77)

(13.76)z(X(z)·—x[O])= FX(z)+H U(z)

13.6.2 Solution des équations d’état par la transformation cn z

13.6.1 Génémlités

13.6 FONCTION DE TRANSFERT

(13.7)y[O] = C·x[O]+Du{0]

i=1

(13.6).V[k] = CFkx[O]-I; Z CFi"’Hu[k·z`]+Du[l:]

(13.5)y[k] = Cx[k]+Du[k]

13.2.3 Solution dc l’équation dc sortic

F" = (kT) (13.4)

i=1

(13.3)xm = F" xm] + X FM 1=1u[k—z]

Fx[O]+F2 Hu[O]+FHu[1]+Hu[2]= 3x[3] = Fx[2] +.Hu[2]

(13.2)Fzx[O]+FHu[O]+Hu[1]

x[2] = Fx[1] +Hu[1]

x[1] = Fx[O] +Hu[0]

(13.1)x[k+1] =Fx[k] + Hu[k]

13.2.2 Solution dc l’équation d‘état aux différenccs


13.2 SOLUTION DES EQUATIONS D’ETAT

13.1 INTRODUCTION

OCR Output13. Comportcment transitoire dans Pespace c1’état

(I4-10) OCR Outputus = Q? (¤¤[¤1·F"x[0])

(14.9)det Qc 4+ 0

14.2.5 Condition de commandabilité

)F‘h = F(F"’ Ji (14.8) .

z”"Q. = [h Q mi Fhi Q Fh] (14.7)

k = ¤

14.2.4 Matricc de commzmdabilité

us = QE' (xikl ·F"x[0]) (14-6)

x[k] = F"x[O] + Qcus (14-5)

¤l01

(14.4)Us = I ~U

cTFk=1 OCR Output

(14.82)Qc: CTF]cTF

¤[¤1

A" Hq = ll[k"3] (14.81)u[k-2]u[k—l]

y[k·11

Ys: F12] (14.80)yllly[01

+c‘Fhu[k—3]+...+cFhu[O]T""Dy[k-1] = c r x[O]+dz¢[k—1]+c‘hu[k—2]+

TK-]

(1479)yl?] cFx[O]+du[2]+c‘hu[1]+c'Fhu[O]=T2yl!] cFx[O] +du[l] +c‘hu[O]= Ty[0] cx[O] +du[O]= T

(14.78)ypq = JF"x[0] + Z cTFi·*hu[k—z] +du{k]

14.6.3 Suite de la grandeur de sortie

.mcsumnt su surtic pendant un nombre Gni k de périodes d’échz1ntillonnage.Un systémc csi obscrvublc 1orsqu`i1 est possible de détcrmincr l`ét:1t initial x [O] cn

dc In muniére suivantc:

On peut déHnir l’0bsc·n¤ubiliré d`un systémc échuntillonné uu d’un systéme discret

14.6.2 DéHnti0n dc |`0bscrvabi1ité


OCR Output14.6 OBSERVABILITE D’UN SYSTEME MONOVARIABLE

cF’*·*

(]4_]07) OCR Output_ I = mmk: rang | .CF

OCR OutputOCR Output14.7.6 Indice d’0bscrvabilité

Z 4Yn-[ X ,1 (Z) OCR Output

(15.33)zX2 (2) =X 5 (Z)

2X] (z) = X2 (Z)

Zn-1X1 (Z) X ,1 (Z)

(15.32)z2X1(z) = X3 (Z)ZX 1 (Z) = X2 (Z)

= U

(19.69)kT = (J 1]E

eTFR

JF""

(19.68)

eTF

a‘ = [ao oz, oz"-,] (19-67)

(19.66)kT = 6.,J +a1eTF+ +an-1eTF”“* +eTF”

d`état

19.3.7 Relation finale pour la détemmination du vecteur ligne de la contre-réaction

G (19.65)eTFZ;"* = eTF@`°F= eTF”`° (F—hkT) = eTF""

GG (19.64)eTFé = eTFF= eTF(F—hkT) = eTF2

(19.63)eTF,: = eT(F—hkT) = eTF—eThkT = eTF

eTF"“‘ h = 1

(19.62)eTF°h = 0

eTFh = 0

eTh = O

eQc = e[h Fh F2}: F""h] = [O O O 1] (19.61)TTOCR OutputOCR OutputOCR OutputOCR OutputOCR OutputOCR OutputOCR OutputOCR OutputOCR Output19.3.6 Transformation en tenant compte des propriétés de e

25 OCR Output

cs (1-Fs -+-hsks) hs OCR Output‘kv =

(19.90)-1

c§(1-Fs +hsks;)ihs,et

T cs (1-Fs +hsk,) h,T _1(19.89)

ys = w =cE (l tFs + hsk;-)"’ [hskww + (hs., -hsk,,)v] (19.88)

(1-Fs +hsk§)xs = hskww + (hw ¥hskv)v (19.87)u = —k§ xs +kww—kvv (19.86)

XR=O,

y, = cg xs=w (19.85)

(1 ·Fs)xs = hsu +hs,,v (19.84)

u[k]=u,v[k]=v,

xs[k +1] = xs[k] = xs (19.83)

19.4 .4 Grandeur d’état du régulateur nulle en régime établi

kw=k.,,=0.

19.4 .2 Réglage d’état sans intervention directe


DES GRANDEURS DE CONSIGNE ET DE PERTURBATION

19.4 DETERMINATION DES COEFFICIENTS DE IJINTERVENTION DIRECTE

2,959 1,568 C 2,34 0,043 0,159 OCR OutputCompensation d’un péle

nulle en régime établiGrandeur d'état du régulateur 6,402 2,022 1,01 0,589 0,125

0 0 4,30 0,014 0,445Sans intervention directe

kw kv Fm/T Ahmax hv maxconsigne perturbation

21 la grandeur deRéponse indicielle par rapport

Tableau 19.2 Comparaison des résultats.

19.4.16 Influence de l’instant de1’apparition de la grandeur de perturbation

19.4 .15 Comparaison des résultats

hGv = hsv_hskv

hcw = hskw (19.137)

FG = Fs"hsk·§

(19.136)kT=k'f`

(19.135)TF=F,; h=hs; c=c§

.13 Régiage d’état sans régulatcur intégrateur19.4

l"'Zi(19.104)k., = ii

(19.103)n0=k —k “’ R

-—?——- W k._.,(z—n0) (19.102)kR+kw(z—l)=kwz+kR-kw=kw z

kw`kR

19.4.7 Compensation d’un pole par rapport a la gandcur dc consignc(19.101)Y(Z) = cli'. (Z)

hs [kn + kw (Z ·· 1)] W(Z) + (Z · 1) (hw -11. k1)V(Z) (19-100)

[Z(Z · 1) 1·(Fs -fr./ZZ) (Z · 1) + kRhs¢Z`1X. (Z)

Z _1(19-99)XR (Z) 1W(Z)·¢§X1(Z)]

(19.98)zXR (z) = XR (z) + W(z)—c§`Xs (2)

+ hskR XR(z) + hskw W(z) —h$k., V(z) + hw I/(z) (19.97) l

ZX. (Z) = FSXS (Z) -h$ké"Xs (Z) +19.4.6 Compensation d’un p61e,re1ati0ns générales

; (19.261) OCR Output~R•• kw=

(19.260)

[Z(Z· 1) 1 ·(F$ ·H$Ks) (Z · 1) +HsKR CSIXS (Z) = Hs [KR +Kw (Z ·1)1W(Z)

zXR (z)=XR (2)+ W(z)#CsXs (z) (19.259)

zXs (z)=F, XS (z)-HSKSXS (z) +HsKp_ XR (z) +HsKw W(z) (19.258)

compensation de poles

19.7.8 Détermination des matrices d’interventi0n directe des grandeurs de consigne,

Ky = [CS (1 · Fs + HSKS) " Hs1" €'s(1 _ ii + HSKS) `I Hy (19-257)

et

(19256)Kw = [€'s(1 -1% +HsKs)"Hs1"

(19-255)W = €s(1·1‘*§ +HsK$)" IHSKW W + (HSV ·HsKy)¤*]

u = -—Ksxs+Kww—K,,v (19.254)

et (avec xg = 0)

y = Csxs = w (19.253)

(1-F}_)xs=Hsu+Hs,,v (19.252)

xs [k +1]=xs[k]=xS et u[k]=u, v[k] = v,

xn [k1=xn = 0,

de perturbati0n,vecteur d’état du régulateur nul en régime établi19.7.7 Détermination des matrices d’intervention directe des grandeurs de consigne et

(19.251)K = k..kT

(19.250)uc [k] =—k‘ x[k]

h = Hku (19.249)

avec

x[k+1] = Fx[k]+hu,, [k] (19.248)

(19.247)k., = I 'Y“’

ku]

(19.246)u[k] = ku uo [k]

linéaire des gmndeurs de commandeOCR OutputOCR OutputOCR Output19.7.6 Détermination de Ia matrice de contre-réaction d’état par combinaison

h[_g=].€th;_]=O

`ielf = d}Q;1 (19.337) OCR Output

J = OT

lel; Qm + ez Qu = dg (19.336) ·~

[ef, f] (19.335)elm= d?[Q] Qcefel= [6}; ez] (19.334)

Qci = (19.333)[Q"'] QCQ19.8.10 Détermination du vecteur ligne ef pour ni < n/m

dg = di; QQ} Qu (19.332)

(19.331)ef = dg Q;

(19.330): dQ°"T T 2 Q $ ei Qc: = de

(19-329)1* [Qm Qu] = ld}; dz]

=

(19327)Qc: = 1Qm Qc.]

19.8.9 Détermination du vecteur ligne ef pour ni > n/m

h;_;=1ethi_,= O pour I ¢i.

hw = O pour I > i.

(19.326)` `

e}=.11}QQ

OCR OutputOCR OutputOCR OutputOCR Output19.8.8 Détermination du vecteur ligne efpour ni = n/m5*1*

(19.399) OCR OutputFG = F-HK W=FQ —H,K, Hs KRL Cs I 1

19.9.14 Systéme global fermé

(19.398)KW = KUKQ,

(19.397)Kp_= KUKIQ

(19.396)K = [K, -KR]

(19.395)u[k] = -Kx [k] +Kw w[k]

(19.394) __u[k] = —K$xs[k]+K,_;K{;_ xR [k]+K,,K{,,w[k]

19.9.13 Matrice de contre-réaction d’état et matrice d’intervention directe

1 "Zg_;(19.393)kin = LE

consngne

19.9.12 Détermination des coefficients de Pintervention directe des grandeur de

(19-392)klm = 9%,0 f' 7*: =Zi,1 2i,2 ‘ (zi,1 +2;,:) + I

(19.391)A; ='-(1+oq_1) = zm +zi_2 -1

(19.390)I + Ai = _ai,l Ai + HU = am fOCR OutputOCR OutputOCR Output19.9.11 Détermination des coefficients inhérents aux sous-systémes

58

20.2.12 Diagramme structure!

(20.39) OCR OutputF1. = Fs ·K¤ C',

avec

(2033)xb‘[k +1] = Fb xb [k] + HS u [k] + Kb ys[k]

20.2.11 Observateur d’état pour systémes multivariables

mmplaccr F Pa? F; 1 h P3? Cs =(cI)T et |’on obtient kt, 5 la place de k

(20.13)d¢*(¤i·F_{,) = 0

(20.12)Fg = Fi —¢sk{

(20.11)z”+{3,,_,z"" +...-%-6,2+60 = 0

det(z1- Fb) = 0 (20.10)

20.2.6 Equation caractéristique de Yobservateur

(20.9)Eb [k+1] = (Fs —k,,¢§)§b [k] = Fb-Eb [k]

xs [k +1] = FsxS[k] + hsu [lc] (20.8)

xt, [k +1] = (IQ — kb'.-;) (xs [k] — SE), [k]) + hsu [k] + kb cfxs [1:] (20.7)ys {kl`: cé xs1k1

en remp1ac;antxb[k] par xs [k] -· SQ, [k].

§,,[k] = xs[k] —xb{k] (20.6)

20.2.5 Erreur d’observati0n

Fb = Fs-kbc;

(20.4)xb[k"‘11 = Fbxb [k]+h$u[k]+k1,ys[k]

(20.3)eblkl = y.1k1 `J’b1k1

(20.2)yb [k1 = dx:. [kl

(20.1)xb[k+1] = F,xb[k]+hSu[k]+k,, eb[k]

20.2.4 Systéme d’équati0ns

20.2.3 Structure de Pobservateur

20.2.2. Modéle du systéme :1 régler


20.2 OBSERVATEUR D’ETAT

20.1 INTRODUCTION

EIVGC OIJSSYVEIJCSLIY20. Observateurs et réglage d’état

(20.74)}`b[k+I] == Fbfb [k]

et

(20.73)x [k+ I] = FG x [k] +Hsb gb [k] + HGW w [k]

(20.72)HG`, = Hw+HKw = s WH K [l]

x[k] = (20.71)k [xs [ xnikl20.3.6 Comportcmcnt par rapport au vccteur dc consigznc

(20.70)

zl "‘ Fbdct(zl—FG)dct(zl-Fb)dct(zl-Fc) = det

zl `FG "HSb

0(20.69)_ Hsb

HsKs

(20.68)[FG H’°(20.67)= F·HK = R

_ [K= KR]F ··H K HSKR Fg 0 H S S s[-0; = _ 1 [ [-0, 1 o

OCR Output20.3.5 Principe dc séparation

M OCR Output

(20.151) OCR Output; Hm =Fm =b C. — Hs.,f [Iggy]

(20.150)xuc [k+I] = Fuc xbo [ki ‘*`H¤o *’[k]

(20.149)[ki ["° "" ] ”b [ki20.5.8 Equation aux différences pour Fobservateur global

(20.148)vb[k+1] = LbCsPb [k] + vb [k]

(20.147)S:'b[k+1] = (F; —KbCs)$Eb [k] -H,,,v1,[k] +HsyV[k]

fb [Ic] = xs [k] —xb

20.5.7 Erreur d’observati0n

Fb = Fg " Kb Cs.

(20.146)"¤ [(*+1] = `Lbcsxn [k] + ”1>[k] +L¤J’s[k]at

(20.145)xb[k+1] = Fbxb[k]+Hsvvb[k]+Hsu [k]+KbyS[k]

(20.144)¢¤U

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