This article was downloaded by: [University of Ulster Library]On: 18 October 2014, At: 10:02Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954Registered office: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

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Relation entre les coefficients dem´lange longitudinal et transversaldans des cours d'eau naturelsSamir Gharbi a & Jean-Louis Verrette aa Department of Civil Engineering , Laval University , Ste-Foy(Quebec), Canada , G1K 7P4 E-mail:Published online: 13 Jan 2010.

To cite this article: Samir Gharbi & Jean-Louis Verrette (1998) Relation entre les coefficientsde m´lange longitudinal et transversal dans des cours d'eau naturels, Journal of HydraulicResearch, 36:1, 43-53, DOI: 10.1080/00221689809498376

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Relation entre les coefficients de mélange longitudinal et transversal dans des cours d'eau naturels Relation between longitudinal and transversal mixing coefficients in natural streams

SAMIR GHARBI and JEAN-LOUIS VERRETTE, Department of Civil Engineering, Laval University, Ste-Foy (Quebec), Canada, G1K 7P4, E-mail: samir.gharbi@gci.ulaval.ca

RÉSUMÉ Dans cet article, nous proposons une nouvelle formule pour prédire la valeur du coefficient de mélange transversal connaissant les valeurs moyennes du coefficient de mélange longitudinal, du debit, de la profondeur d'écoulement et du rapport entre la largeur et la profondeur. C'est une formule développée a partir de l'expression suggéree par les auteurs en 1994 pour définir la relation entre les coefficients de mélange longitudinal et transversal prenant en consideration toutes les valeurs connues des coefficients mesurés simul-tanément pour des conditions hydrauliques similaires. La formule proposée exprime Ie coefficient de mélange transversal en fonction du coefficient de mélange longitudinal. Elle représente plus fidèlement les résultats expérimentaux et va dans Ie même sens que les études effectuées au cours des dernières années qui favorisent l'approche faisant appel au produit des coefficients pour décrire l'interaction entre Ie mélange longitudinal et transversal.

SUMMARY This paper proposes a new equation for predicting the transversal mixing coefficient giving the mean values of the longitudinal mixing coefficient, the quantity of flow, the depth of flow and the ratio width to depth of the river. This equation is developped from the relation between the transversal and the longitudinal coefficient proposed by the authors in 1994 taking into account all the data found in litterature of all the mixing coeffi­cients (transversal and longitudinal) measured simultanously with the same hydraulic conditions. The proposed formula expresses the transversal coefficient as a fonction of the longitudinal coefficient. This new formula is more representative of the experimental results and confirms the trend of recent years to use the product of coefficients (K, K, rather than K/K,) to describe the interaction between the transversal and the longitudinal mixing coefficients.

1 Introduction

De nombreux efforts ont été entrepris pour comprendre et résoudre les problèmes de pollution rencontres dans les cours d'eau. La nécessité de prédire la qualité de l'eau d'une rivière en fonction de la dispersion des polluants qui y sont rejetés a amené les chercheurs a développer des modèles de diffusion pour en décrire l'état. Plusieurs de ces modèles ont été élaborés a partir de l'équation de diffusion-advection qui décrit la dispersion des polluants dans une masse d'eau. Etant donné que Ia resolution de l'équation de diffusion-advection en 3D requiert beaucoup de données et que dans les cours d'eau, Ie rapport entre la largeur et la profondeur de l'écoulement prend généralement des valeurs élevées, Ie mélange vertical est couramment négligé. De plus, dans certains cas, une seule direction de mélange, longitudinale ou transversale, est considérée. Les modèles développés sont généralement done bidimensionnels ou unidimensionnels. La littérature offre plusieurs modèles de mélange unidimensionnels qui sont utilisables une fois Ie mélange transversal terminé, tels les modèles de Fukuoka et Sayre (1973), Valentine et Wood (1977), Beltaos (1980), Chapman (1982), McBride et Rutherford (1984) etc. L'application de ces

Revision received April 16, 1997. Open for discussion till August 31, 1998.

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modèles pour les cours d'eau est restreinte puisque la distance requise pour respecter leurs hypotheses peut depasser la longueur du trongon considéré (Elhadi et al. (1984), Reichert et Wanner (1991)). D'autre part. Luck et al. (1990) ont présenté une synthese des modèles de mélange bidimensionnels. Jusqu'a maintenant, la majorité des modèles proposes ont été testes sur des troncons limités de cours d'eau. Ils ne sont applicables a d'autres troncons qu'en ajustant, et parfois de facon importante, la valeur des différents coefficients de mélange utilises (Lefort (1971), Majdoub(1994)). L'évaluation des coefficients de mélange a fait l'objet de nombreuscs mesures en laboratoire (Fischer (1973), Lau et Krischnappan (1977), Elhadi et Daver (1976), Holley et Abraham (1973), McQuivey et Keefer (1976), etc). Les coefficients ont pu être determines avec une bonne précision. Cependant, Beltaos (1978) precise que 1'extrapolation de ces résultats aux cours d'eau est peu süre. Holley (1987) souligne que Ie moyen Ie plus efficace pour l'évaluation des coefficients de mélange est d'entreprendre des campagnes de mesure in-situ. Or, ces dernières sont généralement coüteuses. Dans la littérature, on trouve des valeurs expérimentales des coefficients de mélange pour un nombre limité de cours d'eau. Dans son étude portant sur Ie coefficient de mélange transversal des substances conservatrices dans les écoulements a surface libre, Lemieux (1994) a procédé a une recherche bibliographique poussée qui lui a permis de recueillir 82 valeurs du coefficient mesurées sur des troncons répartis sur 32 cours d'eau. Un recensement des valeurs du coefficient de mélange longitudinal a été effectué par Sassi (1994). On y trouve 176 valeurs mesurées sur 69 cours d'eau différents. De son cöté, Gharbi (1993) s'est intéresse a la fois au mélange longitudinal et au mélange transversal. Il a examine les valeurs des deux coefficients de mélange transversal et longitudinal qui ont été publiées durant les quarante dernières années. II a note qu'il est rare de trouver a la fois la valeur des deux coefficients de mélange longitudinal et transversal mesurés simultanément ou dans les mêmes conditions pour un même trongon d'un cours d'eau. Il a recensé 48 paires de valeurs provenant de 14 cours d'eau. Tres souvent, en pratique, la plus grande importance est accordée au mélange transversal car, regie générale, la dimension longitudinale n'est considérée que dans Ie cas d'une source de pollution instantanée ou parfois lorsque Ie rejet varie en fonction du temps (McBride et al. (1988)). De plus, Luck et al. (1990) ont constaté qu'il est courant de négliger Ie mélange longitudinal dans les modèles utilises pour les cours d'eau. Les résultats de Yotsukura et Sayre (1976) et de Harden et Shen (1979) démontrent que la contribution du mélange longitudinal dans Ie processus global de mélange dans les cours d'eau est négligeable. Or, dans les publications, il existe beaucoup plus de données sur Ie coefficient longitudinal que sur Ie coefficient transversal. D'oü l'intérêt de proposer, dans eet article, une formule permettant d'évaluer Ie coefficient de mélange transversal a partir de la valeur du coefficient de mélange longitudinal et des paramètres significaties qui interviennent dans Ie processus de mélange d'une substance conservatrice dans un cours d'eau.

2 Rappel bibliographique

Les études effectuées jusqu'a maintenant ont permis de mettre en evidence les principaux mécanismes qui produisent Ie mélange de deux masses fluides. Dans les cours d'eau, Ie mélange se fait principalement par la dispersion, l'advection, la diffusion turbulente el par d'autres mécanismes tels la macroturbulence, les courants secondaires. les singularités, etc.

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Le coefficient de mélange est souvent determine expérimentalement en mesurant les distributions de concentration et en se servant des différentes formules telle celle des moments proposee par Fischer et al. (1979) qui s'écrit:

2 dt

oil Ks : le coefficient de mélange dans une direction s; os

2 : la variance de la distribution de concentration dans la direction s.

Dès les premières experiences sur le mélange, les chercheurs se sont rendus compte d'une interaction entre le mélange longitudinal et le mélange transversal. Après avoir examine les travaux de Taylor, Fischer (1966) a mis en evidence l'effet oppose du mélange transversal sur le mélange longitudinal. Fischer (1968) a derive une equation permettant d'évaluer le coefficient de mélange longitudinal (K{) a partir de la vitesse longitudinale (£/), de la largeur moyenne (B) et du coefficient de mélange transversal (K{). Elle s'écrit:

K{ = a^U1 (2)

Dans laquelle, la constante "a" est approximativement egale a 0,0175 pour les cours d'eau. D'autres auteurs ont adopté des formules empiriques pour l'estimation des coefficients de mélange, dans lesquelles, ces coefficients sont proportionnels au produit de la vitesse de friction par un paramètre hydraulique de reference (le rayon hydraulique ou la profondeur moyenne de Pécoulement). Ces auteurs considèrent, par conséquent, que KXIK, est constant. Les essais de Glover (1964) ont montré que K\= 20,2 Rhu* et K, = 0,067 Hu*, ce qui lui a permis de suggerer une valeur de l'ordre de 300 pour le quotient entre les deux coefficients de mélange en supposant que le rayon hydraulique (Rh) est égal a la profondeur de l'écoulement (//). Dans la littérature, on trouve plusieurs valeurs du quotient des coefficients utilisées pour valider les modèles de diffusion-adveetion. Ces valeurs sont tres variables selon les chercheurs qui les estiment par ajustement (calibration) pour chaque cas particulier qu'ils traitent. Holley (1975) considère que (KJK,) = 5,93/0,23 = 26 dans son modèle numérique développé pour simuler la diffusion dans le cours d'eau Clinch. Verrette et Aubert (1977) utilisent un rapport de 20 dans le modèle aux elements finis appliqué a l'étude de la diffusion des affluents dans le fleuve Saint Laurent. Kuo (1976) retient une valeur de 40 pour la calibration de son modèle tridimensionnel pour le cours d'eau Potomac. Plusieurs autres valeurs sont utilisées en première approximation. Récemment, Reichert et Wanner (1991) ont réitéré que le mélange longitudinal dans les cours d'eau est cause par l'advection et le mélange transversal. Ils ont determine la valeur du coefficient de mélange longitudinal a partir de la formule suivante:

' " £T (3)

Q et A sont respectivement le débit et l'aire de la section d'écoulement;

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a est le rapport entre la surface stagnante (U = 0) située prés des rives et la surface restante oü la vitesse est non nulle. qe est un paramètre de dispersion qui est function du coefficient de mélange transversal; il s'écrit:

q. = 12JST,| (4)

Les données de terrain compilées par Nordin et Sabol (1974) indiquent que le paramètre ex varie entre 0,07 et 0,017. Reichert et Wanner (1991) ont souligné que ce paramètre est tres variable et il est loin d'etre universel.

3 Relation entre les coefficients de mélange longitudinal et transversal

Pour analyser la relation entre les coefficients de mélange longitudinal et transversal, nous avons recueilli toutes les valeurs expérimentales des coefficients des cours d'eau publiées dans les quarante demières années. Plusieurs methodes expérimentales ont été utilisées pour determiner les coefficients de mélange. Puisque ces demières et leurs hypotheses varient d'un auteur a un autre (Gharbi 1993), nous avons retenu les valeurs expérimentales des coefficients de mélange dont le calcul et les conditions de mesure répondent aux critères suivants:

- Les coefficients sont calculés a partir de methodes expérimentales basées sur les mesures de concentration;

- Les profils de concentration sont obtenus a partir de l'injection d'un colorant ou d'une matière "conservatrice" neutre, miscible, et ayant la même densité que le milieu récepteur;

- L'écoulement est permanent et presque uniforme.

Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau 1. On y trouve les caractéristiques et les valeurs moyennes des principaux paramètres hydrauliques et géométriques des troncons des cours d'eau étudiés. Contrairement a ce qui a été suggéré par certains chercheurs, les auteurs (1993, 1994) ont montré qu'il est difficile de trouver une relation directe entre le quotient des coefficients de mélange et les principaux paramètres hydrauliques et géométriques de la section d'écoulement. Pour analyser le produit des coefficients de mélange (K/K,), nous avons calculé la constante "a" de Fischer (a = (K/K^/LPB2). A partir des données expérimentales recueillies, les résultats ont donné une plage de valeurs de "a" variant entre 0,0001 et 0,0050, ce qui ne favorise pas l'utilisation de l'équation de Fischer. Dans une étude antérieure, Gharbi et Verrette (1994) ont analyse les paramètres hydrauliques et géométriques susceptibles d'influencer l'interaction entre les mélanges longitudinal et transversal. Ils en ont retenu les plus significatifs et les plus faciles a mesurer soient le débit, la largeur et la profondeur de l'écoulement. Le débit est certainement le paramètre le plus important puisqu'il englobe plusieurs aspects hydrodynamiques. Il inclut la vitesse, la section d'écoulement et la turbulence. De plus, les études expérimentales ont montré que l'intensité de la circulation transversale, qui contribue aussi au mélange, croït avec une augmentation du débit dans les canaux courbes a fond fixe.

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Tableau 1. Résumé des données expérimentales. RéTér Cours -ence d'eau

n°

34 Missouri 2 Lesser Slave 29 Waikato 1 Mississippi 1 Kansas (1) 1 Kansas (2) 1 Kansas (3) 1 Kansas (4) 1 Kansas (5) 1 Smoky Hill (1) 1 Smoky Hill (2) 1 Smoky Hill (3) 1 Saline (1) 1 Saline (2) 1 Solomon (1) 1 Solomon (2) 1 Solomon (3) 1 Big Blue (1) 1 Big Blue (2) 1 Big Blue (3) 1 Mississippi (1) 1 Mississippi (2) 1 Mississippi (3) 1 Mississippi (4) 1 Missouri (1) 1 Missouri (2) 1 Missouri (3) 1 Missouri (4) 1 Missouri (5) 1 Missouri (6) 1 Missouri (7) 1 Missouri (8) 1 Missouri (9) I Missouri (11) 1 Missouri (10) 1 Missouri (10) 1 Missouri (10) 1 Missouri (10) 1 Missouri (10) 1 Missouri (10) 1 Patuxent(l) 1 Patuxenl (2) 1 Patuxent (3) 1 Potomac (1) 1 Potomac (2)

Largeur

B (m)

200,0 40,3

100,0 750,6

97,9 104,0 118,9 166,6 141,4 24,4 26,4 40,4 11,9 6,8

16,2 29,0 24,4 29,8 43,4 38,9

228,6 201,2 177,8 164,1 188,1 135,6 212,9 181,9 284,5 225,0 281,9 251.5 318,5 307,9 373,4 320,0 365,8 388,6 429.0 400,8

20,7 6,8

33,5 21,8 28,5

1 Green-Duwamish 23,6 1 South platte 1 Ottawa

45,7 7,5

Profond -eur H(m)

2,7 2,8 2,8

16,7 0.5 0.6 0,6 0,5 0,8 0,7 0.7 0,5 1,4 0,1 0,3 0,7 0,3 1,0 1,6 1.6 3,7 2,4 3,9 2,3 3,9 2,7 4,1 2.4 3,4 2,3 3,6 2,4 3.4 2,2 3,0 2,5 3,3 2,6 3,1 2,7 0,3 0,3 0,5 1,0 2.1 0,3 0,2 0.5

Debit

Q (m'/s) 965,6

70,5 153,7

6796,0 26,3 30.6 33,4 48,1 53,4 11.2 11.7 11,3 9,7 0,4 2,5

15,9 3,8

18,2 41,2 35,9

877,8 346,9 877,8 377,6 962,8 396,4

1019,4 448,4

1019,4 472,0

1076,0 509,7

1090.2 566,3

1118,5 693,8

1161,0 877,8

1189,3 934,5

5,7 1,8

12,0 12,7 32,1

9,3 15,7 0.8

Vitesse Vitesse de noyenne

U (m/s)

1,8 0,6 0,7 0,6 0,5 0,5 0,4 0.5 0,5 0,6 0,6 0,6 0.6 0,3 0,6 0,7 0,5 0,6 0,6 0.6 1,1 0,7 1,3 1,0 1,3 1,1 1,2 1,1 1,1 0,9 1,1 0,9 1,0 0,9 1.0 0,9 1,0 0,9 0,9 0,9 0,9

o.x 0,7 0,6 0,4 1,4 1.4 0.2

friction u* (m/s)

0,07 0,05 0,06 0,06 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,12 0,10 0,07 0,07 0,01 0,03 0,08 0,03 0,04 0,04 0,06 0,05 0,04 0,08 0,06 0,10 0,07 0,09 0,07 0,09 0,07 0,07 0,16 0,08 0,06 0,07 0,07 0.07 0,07 0,07 0.06 0,05 0,04 0,03 0,03 0,03 0,06 0,07 0.01

Mombre db

CoelT. trans.

Froude K, (cm2/s) 0,35 0,12 0,13 0,04 0,23 0,20 0,18 0,21 0,17 0,25 0,22 0,26 0,16 0,26 0,40 0,27 0,25 0,19 0,14 0,16 0,18 0,15 0,21 0,20 0,21 0,21 0,18 0,22 0,18 0,19 0,18 0,18 0,17 0,18 0,19 0,18 0,17 0,17 0,16 0,17 0,50 0,43 0,32 0,18 0,09 0,83 0,93 0,10

1200 480 640

34410 990 860 770

1250 2630

70 60

130 10 10 30 90 60

100 110 90

3450 1820 2140 1770 4400 2060 4120 2330 7680 4340 5840 3910 6640 4950

16790 9670 9690 9970

20030 15740

90 9

120 46 25

390 1070

10

Coeft'. long.

K|(m2/s) 1500

28 52

160 59 56 81 72 62

150 91 63 60

8 14 60 23 38 45 49

204 256 356 304 418 372 378 331 409 372 372 418 325 325 325 325 372 34S 372 348

6 10 10 31 56

8 35

2

K,/K t

(x 10*) 12,5 0,6 0,8 0,0 0,6 0,6 1,0 0,6 0,2

21,5 15,2 4,8

59,5 8,1 4,5 6,7 3,9 3,8 4.1 5,4 0,6 1,4 1,7 1.7 1,0 1,8 0,9 1,4 0,5 0,9 0,6 1,1 0,5 0,7 0,2 0,3 0,4 0,3 0,2 0,2 0,6

11,0 0,8 6,8

22,3 0,2 0.3 1.5

(): numero du tron^on

La largeur moyenne de la section d'écoulement est également un paramètre important a considerer lors de Fétude du mélange bidimensionnel. En effet, plus une rivière est large, plus elle est susceptible de générer une turbulence et/ou une macroturbulence, qui affectent la valeur du coefficient de mélange. Fischer (1968) et Beltaos (1978) proposent un lien entre la longueur de mélange et Ie carré de la largeur moyenne. La profondeur moyenne de l'écoulement a été aussi retenue car entre autres, les methodes expérimentales les plus utilisées pour la determination du coefficient de mélange telles la methode

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de changement de moment adaptée aux cours d'eau, la methode de changement de moments généralisée et la methode de Yotsukura et Cobb (1972), font appel a la profondeur moyenne. Fischer (1973) et Rutherford (1981) relient ce paramètre au taux de turbulence d'un cours d'eau. Ils en ont conclu que Ie coefficient de mélange devrait être proportionncl a la profondeur d'écoulement et a la vitesse de friction. Dans un article precedent, Gharbi et Verrette (1994) ont propose une relation exprimant Ie logarithme du produit des coefficients de mélange (longitudinal et transversal) et de l'aire de la section d'écoulement (KiK,BH) en fonction du logarithme du débit au carré (Q1). Après avoir isolé Ie produit (K; K, ) en fonction des autres variables, soient Q2/(BH), les résultats expérimentaux portés en graphique (figure 1) donnent la regression lineaire suivante:

log(K,K,)=l,2 1og[Ö:/(fi//)] (5)

* '

V aleu r expéri mentale - Formule de Gharbi el Verrelle (1994)

k

'k * J

k s

/ k

k

i

, j ir i k /

Jk U

, / k \k

i

^log(K, Kt) = 1,2 log[Q2/(B H)] -1,2 R = 0.95

1 1 — . i i i i

- 1 0 1 2 3 4 log[Q2/(B H)]

Fig. 1. Relation entre Ie produit des coefficients de mélange et les paramètres Q,ftetH (Gharbi et Verrette 1994).

Elle présente un coefficient de correlation de 0,95. Il est a noter que les valeurs extremes des coefficients de mélange mesurées dans les cours d'eau collent bien avec la fonction de regression. La repartition des valeurs expérimentales autour de la droite moyenne justifie Ie choix de cette formule pour définir une relation qui exprime Ie produit des coefficients de mélange longitudinal et transversal.

4 Estimation du coefficient de mélange transversal

A partir de l'expression (5), il est possible d'expliciter le coefficient de mélange transversal en fonction de la valeur du coefficient du mélange longitudinal comme suit:

K - P K'-K,

gr BH

(6)

p est une constante egale a 0,06 (m-/s): 2/c\0,4

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La figure 2 montre une comparaison entre les valeurs obtenues par cette demière formule et les valeurs expérimentales de K,. Malgré la tendance générale a suivre l'allure de la fonction de l'équation (6), certains points s'éloignent d'une facon significative de la droite de cette dernière equation. Cette observation nous a poussé a approfondir notre analyse. La valeur de la constante P a été calculée a partir des valeurs expérimentales recueillies. La distribution des valeurs obtenues montre que la constante p se situe dans un grand intervalle dont les bornes sont 0,36 et 0,005 avec une valeur moyenne de 0,073 et un écart type de 0,074. Il est done difficile de qualifier la valeur de P de constante.

o U 0

■

■

'

^ Valeur expétïmentale de K. Equation (6)

k

k k

k/

tl*

k

o 120 20 40 60 80 100 [(Q2/(B H))'>2]/Ki (m2-8/s>-4)

Fig. 2. Comparaison entre les valeurs expérimentales de K, et les valeurs obtenues avec l'équation (6).

Après avoir étudié la variation de la constante p et examine les variables qui peuvent l'influencer, nous avons constaté que la variable la plus importante est Ie rapport entre la largeur et la profondeur de l'écoulement. Si nous portons en graphique les valeurs de p en fonction du rapport (B/H), nous constatons que la relation entre ces deux variables peut être décrite par la fonction de regression lineaire suivante:

P = 0.001 (B/H)- 0.005 (7)

Le graphique de la figure 3 montre que la constante p est approximativement proportionnelle au rapport (B/H). En remplacant la constante P de l'équation (6) par le terme [0,001 (B/H)], cette dernière equation prend la forme suivante:

K, = Cy\(QVHyV(K\HB^)\ (8)

Ou C, est une constante.

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4

0,5

0,4

„> 0,3

0,2

0,1

0,0

•

■

•

A La constante P Droite de regression

A

AVÏ?A

A

P = 0,001 (B/H) - 0,005 R = 0,79 ^

A± k/

A *

A

100 200 [B/H]

300 400

Fig. 3. Evaluation de la constante (:5 de l'équation (6).

D'une facon générale, Ie coefficient de mélange transversal K, peut être approximé de la facon suivante:

Kl = C2[Qn/(KrHPB")) + C3 (9)

Ou C2, C3, n, m, p et q sont des constantes.

Pour determiner les valeurs des puissances (n, m, p et q) des variables g, W, fi et AT, avec plus de précision, nous faisons appel a Panalyse dimensionneile el a I'étude de Terreur, exprimée par la difference entre la valeur mesurée et la valeur calculée de K,. L'analyse dimensionneile impose les deux conditions suivantes:

3/2 - 2m - p - q -2 (pour la longueur) -n + m--\ (pour le temps)

(10) (11)

En minimisant la fonction qui relie la moyenne des erreurs aux valeurs des puissances n, m. p et q, sous les deux conditions de dimension, nous trouvons les valeurs arrondies suivantes:

„ = 1.75. m = 0,75, p = 2 et q = - 0,25

Done, la fonction qui donne la moyenne des erreurs la plus faible s'écrit sous la forme suivante:

K, = C4 [ (QIH)' J\BIHf^ I K,"-75 ] + C5 (12)

Ou C4 et C5 sont deux constantes.

Si nous portons en graphique les valeurs expérimentales du coefficient K, en fonction de \(Q/H)]J^ (BI Hf&fKi0,15], nous constatons que la regression lineaire donne tin coefficient de correlation de 0,95.

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Les données expérhnentales recueillies montrent que la valeur minimale du coefficient K, (= 0,001 m2/s) mesurée dans les cours d'eau est tres faible. Étant donné que pour un débit tres faible, il devrait exister une diffusion (ne serait-ce que la diffusion moleculaire) et, que les résultats sont souvent portés en graphique logarithmique, il est preferable d'avoir une ordonnée a I'origine supérieure a zéro. A ces fins, une valeur comprise entre 0 et 0,001 mVs, devrait être attribuée a cette ordonnée; nous avons opté pour une valeur moyenne de 0,0005 m2/s. Pour éviter que la pente de la droite de regression lineaire soit fortement influencée par les valeurs les plus élevées de A"„ nous avons préféré évaluer la pente en imposant a la fois les deux contrainles suivantes: une moyenne des erreurs nulle et une valeur minimale de l'écart type des erreurs. Sous ces conditions, la pente de la droite prend une valeur voisine de 0,0035. L'expression du coefficient de mélange transversal dans les cours d'eau aura la forme suivante:

K, = 0,0035 \(QIHY1% (B/Hf-25/ /f,0.75 ] + 0.0005 (13)

Dans cette expression, les unites des variables sont exprimées en système international (Q en m-Vs, /ƒ en m, B en m, /f,en m2/s, K, en m2/s, la valeur de l'ordonnée a I'origine (0,0005) est en m2/s et la pente (0,0035) est une constante adimensionnelle). La figure 4 compare les valeurs expérimentales de A", avec les valeurs obtenues par la relation suggérée ci-dessus. Le graphique est présenté en échelle logarithmique pour mieux visualiser cette repartition. Les points expérimentaux sont bien représentés par la courbe théorique. Ceux qui s'en éloignent sont rares. Rappelons que la pente de l'équation (13) a été choisie de telle sorte que la moyenne des erreurs soit nulle pour les 48 paires de valeurs des coefficients de mélange utilisées. L'écart type des erreurs est de l'ordre de 100%. Cette valeur semble a priori un peu élevée, mais il est a souligner que Lemicux (1995) a note que pour un site donné et dans les mêmes conditions, la valeur du coefficient de mélange transversal peut varier par un facteur de 1 a 4 selon la methode expérimentale utilisée. Nous pouvons conclure qu'a partir des valeurs moyennes du débit, de la profondeur d'écoulement et du coefficient de mélange longitudinal, on peut dorénavant prédire la valeur du coefficient de mélange transversal avec une précision satisfaisante.

,001

K, = 0,0035 [(Q/H)1'75 (B/H^/K,0*75] + 0,0005 R = 0,95

't- r i r i i e

10 10 10 10 10 [(Q/H)1>75(B/H)Ü.25/K,°.75] (m2/s)

Fig. 4. Estimation du coefficient de mélange transversal K, a partir du coefficient de mélange longitudinal Kh

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6 Conclusion

Les résultats des essais de mélange d'une matière conservatrice dans un cours d'eau ont permis de confirmer l'approche de Fischer selon laquelle Ie coefficient de mélange longitudinal est inversement proportionnel au coefficient transversal. A la suite de Panalyse de la relation entre les coefficients de mélange longitudinal et transversal une nouvelle formule a été proposée pour determiner la valeur du coefficient de mélange transversal (K,) a partir du coefficient de mélange longitudinal (K,) et des principales caractérisliqucs moyennes de l'écoulement, soient Ie débit (Q) et la profondeur de récoulement (H) et Ie rapport (B/ H). Cette formule est basée sur les résultats de 48 essais effectués sur un large éventail de cours d'eau pour un débit variant entre 0,4 rn'/s et 7000 mVs avec un nombre de Froude inférieur a 1. La gamme couverte par Ie coefficient de mélange transversal varie de 10"3 m2/s a 34,4 m2/s.

Notations

A /»' c II K, K, *, Ie Q ** V

u u* o* Cl. ( X ,

n, m. P, p,

c, q

aire de la section de l'écoulement largeur moyenne de la section d'écoulement concentration moyenne dans une section donnée profondeur moyenne de récoulement coefficient de mélange longitudinal coefficient de mélange transversal coefficient de mélange dans une direction s paramètre de dispersion débit total rayon hydraulique direction quelconque vitesse longitudinale moyenne sur la section transversale vitesse de friction variance de la distribution de concentration dans la direction s des constantes des constantes

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