Remerciements

Je remercie ici Mme Navez en sa qualité de bibliothécaire, ainsi que MrVercamer, pour avoir orienté et facilité mes recherches bibliographiques.

Je remercie aussi Mr Jean Doulliez, professeur à l’ISAI, pour m’avoir suivi etaidé tout au long de la rédaction de ce mémoire.

Je tiens également à remercier Mr Pequet, mathématicien géomètre, pour avoirsouligné la différence entre les mathématiques et les mystiques.

Enfin, je remercie tous les professeurs et élèves de L’Institut Supérieurd’Architecture Intercommunal de Mons qui m’ont soutenu tout au long de ces cinq années etdont les conseils, les compétences, m’ont permis d’apprendre « un des plus beaux métiers dumonde ».

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Introduction« La proportion est à l’architecture ce que la poésie est aulangage, par le rythme, elle en exprime l’âme. » (Arséguel)

« Ce sont les proportions, le rythme résultant de la composition,qui font d’un texte un poème, de sons en désordre un chantmélodieux, et d’une construction une architecture. » (R. Pagusthe)

Qu’est-ce qu’un architecte s’il ne pense pas l’unité d’une forme dans laquellevont être rassemblées en ordre durable toutes les dimensions nécessaires au bien être d’unesociété d’hommes ? Qui est-il s’il ne compose pas ces diverses exigences et donne à chaquedimension sa juste mesure ? Qui est-il donc s’il ne fixe pas les proportions de l’ouvrage ?

Cette synthèse formelle est une construction de notre esprit. Mais cetteconstruction doit être solide. Notre esprit s’appuie donc sur les nombres et la géométrie. Ilgère des quantités, des quantités commensurables. Il n’est pas de plan sans nombres.

C’est la raison pour laquelle cette question semble faire partie des urgences àpenser, sinon actuelle, actualisable.

Quelles sont les origines des idées de proportions et de composition et quellestransformations ces notions ont-elles subi au cours de leur histoire ? De l’antiquité à nos joursen passant par la Renaissance et le Classicisme comment ont-elles réuni pour leur défensetant de grandes figures de l’architecture (de Vitruve à Le Corbusier) pour se trouveraujourd’hui ravalées au rang d’une mythologie du beau qui n’a plus cours ?

Ces questions sont en effet souvent, ou bien liées à une architecture passée etrévolue, ou bien entachées de connotations ésotériques et de nostalgies irrationnelles. Or ilsemble au contraire que liées d’une nécessaire raison, et donc naturellement rationnelles, ellessont porteuses de questions essentielles attachées non au dogmes ni aux styles passés mais àl’idée même d’architecture, pour autant qu’elle puisse être pensée aujourd’hui.

Il s’agit ici de mieux comprendre le rôle exact qu’ont joué ces idées dansl’architecture du passé et de voir ainsi ce qui, dans leur principe, peut avoir du sensaujourd’hui et enrichir, tout en l’élargissant, notre pensée de la forme, de sa genèse naturelleet artificielle.

Les questions du « beau » et de l’ « harmonie » sont souvent associées à cesidées de composition et de proportion et au rapport qu’entretiennent ces idées avec lesnombres et la géométrie.

Les idées de composition et de proportion pourraient ainsi contribuer à unrenouveau de la conception architecturale si tant est qu’on les considère comme moyen deréflexion sur la nature des formes artificielles et comme « science » -encore balbutiante- desordonnances formelles et non pas comme une recette ou une méthode efficace de production.(D’après Poïesis, (15), p8)

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I. Théorie :les différents

tracés régulateurs

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A. Généralités sur les formes

1. L’évolution (Ghyka, (8), p31)

« ...considérant qu’il existe, à notre époque, des hommes qui ontcréé du beau, ce beau qui vient de ce qu’il est conforme à lalogique, à la raison, aux principes de l’essence rationnelle deschoses, conformes aux lois précises, nécessaires et naturellesinhérentes à la matière employée à cette fin. » (Henry Van De Velde,extrait de « Kunstgewerbliche Laienpredigten 1902 ») (Ghyka, (8), p31)

L’évolution morphologique au cours des âges d’une espèce vivante, parexemple du cheval, de tels ou tels groupes de poissons, de cétacés, suggère celle d’un type demécanismes, d’engins adaptés à un but, façonnés pendant une longue suite de générations,telle que, par exemple, l’évolution des formes des embarcations et des navires depuis lapréhistoire. Il y a d’un côté comme de l’autre des séries d’efforts, de tâtonnements, d’essaisplus ou moins heureux, avec fixation des types utiles, et des conditions différentes suivant lestypes de vie et d’emploi (adaptation au milieu).

On n'a pas l’impression d’une évolution de type accidentelle par différentescombinaisons ; l’effort continu, patient, semble jouer un rôle essentiel, les accidents et lehasard ne semblant jouer qu’un rôle éliminateur de solutions moins heureuses que les autres,non un rôle de créateurs.

Une caractéristique commune aux mécanismes, outils ou moyens de transportlentement obtenus par tâtonnements et aux formes animales évoluées plus lentement encore,est leur perfection déconcertante du point de vue pratique de leur emploi ou de leurfonctionnement dans leur milieu normal.

L’ingénieur des constructions navales, le marin réalisent à quel point lecarénage d’une pirogue d’indien, de même que celui d’un bateau de pêcheurs, ont la formeoptimum correspondant aux usages et aux conditions de navigations respectives. Ils ont lamême impression en examinant la forme d’un squale ou d’un cétacé.

Les courbes, les surfaces de carènes obtenues directement par le calcul et lamécanique appliquée et la théorie du navire sont du reste souvent identiques à celles résultantde l’évolution tâtonnante dans le cas des barques et des poissons : Ce sont deux procédésdifférents pour arriver à un résultat identique.

D’après Sir Walter Armstrong, directeur de la National Gallery de Dublin,« Beauty is fitness expressed », la beauté esthétique est le sentiment de la parfaite adaptation àsa raison d’être (ou à ses conditions de vie) suggéré à notre subconscient par la forme d’unobjet ou d’un animal qui cause le plaisir esthétique trouvé à sa contemplation.

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On peut aussi constater que les outils, mécanismes, moyens de transport,évolués de façon lente, avaient obtenu des formes mécaniquement parfaites du point de vue deleur emploi pratique ; ces engins nous procurent aussi une satisfaction esthétique que la« camelote » ne donne pas.

La « fitness » en question, dans un objet par exemple, peut se rapporter :

- à des conditions purement statiques, comme pour un pont, une chaise, une maison, untemple

La forme de l’habitat au travers des âges a évolué suivant le climat, les matériaux,constructions et technologies, le site, la défense, l’économie, la religion, … Autant defacteurs qui fournissent une multitude de formes différentes et pourtant, on peutobserver des similitudes, par exemple, entre la forme des yourtes (habitat desmongols) et des habitations des Marquises (archipel de la Polynésie Française),utilisations de techniques similaires, … (Rapoport, (16))

- à des conditions dynamiques, comme pour une voiture, un bateau, …

Les animaux, oiseaux, poissons, satisfont pleinement à la deuxième catégorie et sontmécaniquement parfaits du point de vue répartition de poids, profil de plus granderésistance, stabilité statique ou dynamique pour leur milieu normal ; leur vue procureen général une sensation harmonieuse.

Le cygne semble totalement harmonieux lorsqu’il nage, mais semble ridicule quand ilmarche, contrairement à un chien ou un chat qui semble harmonieux quand il marcheet ridicule quand il nage.

Les arbres et les plantes en général satisfont dans leur profil, leur répartition de poids,aux meilleures conditions de forme et de résistance en vue de leur croissance et de leurcycle vital ; elles aussi sont harmonieuses à regarder.

Le Times (numéro du 17 mai 1915) a écrit : « Notre erreur dans tous les artsappliqués a été de supposer qu’il y avait incompatibilité, conflit inévitable entre les facultésartistiques d’un côté et les facultés mécaniques, scientifiques ou commerciales de l’autre,que, en fait, l’art et le sens commun n’avaient aucun rapport. Mais on ne peut pas (en artappliqué) avoir d’art sans sens commun ni de sens commun sans art. »

La même idée se retrouve chez Curt Siegel dans « Formes structurales » :

Pour se réaliser, l’architecture a besoin de la technique. Avec son aide, ellerevêt une forme et devient l’expression « construite » de son temps.

La Technique a toujours influencé les formes de la construction. Les architectesen tout temps, ont trouvé dans la maîtrise technique du matériau, matière à innovation deforme. Sans la technique, le Parthénon et l’art gothique n’auraient jamais existé.

La fierté, naïve parfois, de la connaissance technique, liée autrefois à touteactivité artistique, s’est perdue en même temps que la technique affirmait son autonomie. On afait de l’art et de la technique des concepts opposés.

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En faisant entrer des règles de nature technique dans l’échelle des valeursesthétiques, la pensée économique acquiert un sens beaucoup plus élevé. L’économieentendue au sens d’un principe intellectuel, d’une loi morale étendue, s’étendant à tout ce quiconcerne la forme, c’est-à-dire à la recherche du rendement le plus élevé aux moindres frais.

La question qui ramène le débat à sa plus simple expression, celle de savoir sice qui est utile est beau aussi, est sujet permanent de discussion depuis qu’il existe unearchitecture moderne et une technique moderne.

Van De Velde a défini le caractère essentiel de la beauté architecturale commel’accord parfait des moyens employés et du but à atteindre. Mies van der Rohe a dit : « Lefonctionnel est un art ». Ces paroles expriment l’unité que devraient présenter l’art et latechnique dans l’architecture moderne. Les formes nées de cette union sont les formesstructurales.

Celles-ci ont toujours été présentes dans l’architecture : le plus bel exemple etle plus simple, est la poutre reposant sur deux colonnes portantes, qui se retrouve depuis lapréhistoire jusqu’à nos jours. (Siegel, (19))

Fig. 1 Croquis du parthénon (Siegel, (19), p8) Fig. 2 Stonhenge (Siegel, (19), p8)

Fig. 3 La porte des lions à Mycènes (Siegel, (19), p8)

Faut-il donc vraiment séparer la beauté de la fonctionnalité, l’esthétique del’utile ? On peut voir dans ce simple exemple que la fonctionnalité peut être rendueesthétique.

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2. Notion du beau selon Kant

« Ce qui est contraire est utile et c’est de ce qui est en lutte quenaît la plus belle harmonie. L’harmonie invisible vaut mieux quecelle qui est visible. » (Héraclite)

Ici, Kant définit la beauté artistique, la beauté naturelle.

D’après l’intervention de Daniel Payot, philosophe, enseignant les artsplastiques et la philosophie à l’université des sciences humaines de Strasbourg, auteur del’ouvrage « Le philosophe et l’architecte », lors du séminaire sur la proportion et lacomposition. (Poïesis, (15), p71-80)

Ce texte extrait de la « Critique de la faculté de juger », date de 1790. Laquestion que se pose Kant à la fin de la première section de son analytique du beau concernela régularité et l’emploi de figures géométriques. Kant se pose la questionsuivante : « Ordinairement, des figures géométriques régulières, un cercle, un carré, un cube,sont citées par les critiques du goût comme les plus simples et les plus indubitables exemplesde la beauté. Et cependant on ne les nomme régulières que parce qu’on ne peut se lesreprésenter autrement qu’en les considérant comme simples présentations d’un conceptdéterminé qui prescrit la règle à cette figure, et d’après laquelle seule cette figure estpossible. Ainsi, il faut que l’une ou l’autre de ces assertions soit erronée, ou bien le jugementdu critique qui consiste à attribuer de la beauté à des figures conçues, ou bien notre jugementsuivant lequel on trouve nécessaire pour la beauté une finalité sans concept. »

On peut ainsi avoir une figure qui correspond à ce que Kant appelle un concept,donc à une régularité, c'est le cas des figures géométriques. Il veut dire par là que si on montreun cube, on présente l'expression pure du concept, la figure étant à la fois la présentation duconcept de cube et la présentation de son développement dans l'espace.

Kant propose une définition du beau qui va à l'encontre de cela. Il appelle beauune figure qui a une finalité, c'est-à-dire une figure qui a l'air d'être faite pour quelque chose,mais une finalité sans concept. C'est la définition de la beauté artistique, mais aussi de labeauté naturelle.

Est belle, pour Kant, une figure qui a l'air d'avoir été produite pour une fin,mais qui en réalité suggère qu'elle dépasse toutes les fins qu'on pourrait lui trouver. Une formequi a l'air d'être le développement d'un concept mais qui en fait ne l'est pas.

Kant dit ainsi qu'un des deux jugements est faux. Ou bien c'est le plus courant,celui qui trouve belles ces formes régulières; ou bien c'est Kant lui-même, qui produit unenotion du beau où il est question d'une sorte d'excès ou de défaut de la forme par rapport àtout concept, de non-coïncidence des formes et des concepts selon laquelle pour qu'une formesoit belle, il faut qu'elle ne soit pas réductible à un concept.

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La définition de Kant est peut-être à l'origine de ce divorce entre laconnaissance et la science d'un côté, l'art de l'autre. Kant écrit la chose suivante : « Dans unechose qui n'est possible que par un projet, un édifice, un animal, la régularité qui consistedans la symétrie doit exprimer l'unité de l'intention qui accompagne le concept de la fin, etelle appartient à la connaissance (autrement dit dans une chose qui est faite pour un projet),la régularité est une qualité car elle permet l'unité de l'intention, elle permet de percevoir à lafois la cohérence de la forme et le concept auquel cette forme correspond, et éventuellementle développement de ce concept dans un usage. Mais lorsqu'il s'agit de n 'entretenir qu 'unlibre jeu des facultés représentatives sous la condition toutefois que l'entendement n'ensouffre pas, ainsi dans les jardins d'agréments, la décoration d'intérieur, les meubles de tousstyles, etc. la régularité qui se révèle comme contrainte doit être autant que possible évitée,de là le goût des jardins anglais, le goût du baroque pour les meubles qui entraîne la libertéde l'imagination presque jusqu'au grotesque. Et c 'est en ce détachement de toutes contraintesfondées en des règles que se présente l'occasion en laquelle le goût peut montrer dans lesconceptions de l'imagination sa plus haute perfection ».

Il faut de la régularité pour tout ce qui est de l'ordre du concept de l'usage, maisdans le domaine de la beauté en général, la régularité apparaît comme une contrainte, parceque le critère n'est pas alors la clarté d'une exposition conceptuelle mais le seul libre jeu del'imagination. Voilà le critère qui va progressivement entraîner les arts à se détacher de toutereprésentation conceptuelle.

Le libre jeu de l'imagination, tout de suite après Kant en 1790, est repris parSchiller, Schelling et tout le Romantisme du XIXème siècle. La forme artistique doit êtreessentiellement allusive, suggestive, pour nous entraîner au-delà d'elle-même, vers ce qu'ellene présente pas.

Dans un cas la forme nous fait voir clairement le concept qu'elle porte en elle,dans l'autre cas la forme nous entraîne au-delà de sa lisibilité exhaustive et suscitel'imagination. Les Romantiques en rajouteront dans le pathos de l'imagination, mais on estdéjà théoriquement dans la plus extrême différence.

Il existe deux jugements du beau différents : la beauté des formes régulières etson opposition, où la régularité est jugée comme une contrainte enfermant l’imagination.

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3. Symbolisme de la forme

« Les nombres considèrent la forme abstraite du monde en tant quepure construction de l’esprit. » (Arséguel)

Outre le rapport entre l’esthétique et le fonctionnel, il existe un autre rapportimportant, c’est le rapport entre la force symbolique d’une forme et sa beauté.

En dehors de certains objets destinés surtout à l’usage pratique continu,auxquels la robustesse, la stabilité et la simplicité des lignes suffisent à conférer un charmeesthétique, il en est d’autres ayant en plus un caractère ornemental voulu.

Prenons l’exemple du vase : il y a ceux destinés à l’ornementation des jardins(Rome impériale), ceux destinés à recevoir des fleurs (Chine), les vases rituels qui furentd’importants accessoires dans presque toutes les religions. Dans ces catégories, on retrouve lesformes empruntées aux fleurs et aux fruits, qui ont satisfait 1° aux côtés pratiques et 2° auxproportions harmonieuses et aux recherches du symbole.

Il existe effectivement l’idée de germination, d’efflorescence, de fécondité, quijouent un rôle primordial dans la symbolique subconsciente de l’humanité. Cette formesuggère aussi l’idée de l’offrande.

Ce qui est vrai de la forme générale s’applique aussi aux détails ; les motifs enrelief aussi bien que les motifs gravés ou peints sont souvent à symbolisme floral.

En architecture, les colonnes égyptiennes et grecques s’inspirent du profil utilede l’arbre et empruntent, comme plus tard le pilier gothique, leur ornementation (chapiteaux,rinceaux) aux formes florales ; les thèmes symboliques de la croissance, de la fécondité,s’ajoutent là encore à l’harmonie statique donnée par la meilleure répartition des poids et desrésistances.

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B. Le nombre d’or, section dorée, proportion divine, …

Dans ce chapitre, nous allons voir que le nombre d’or est un des tracés les plusimportant : il ce retrouve dans la nature, et il est utilisé par les plus grands artistes de l’histoirepour sculpter et dessiner leurs œuvres.

1. Détermination du nombre d’or et définition (Ghyka, (8), p31)

« Mais que deux termes forment seuls une belle composition, celan’est pas possible sans un troisième. Car il faut qu’entre eux il y aitun lien qui les rapproche tous les deux. Or de toutes les liaisons, laplus belle est celle qui se donne à elle-même et aux termes qu’elleunit, l’unité la plus complète. Et cela, c’est la proportion quinaturellement le réalise de la façon la plus belle. » (Platon)

Le segment de ligne droite déterminé par deux points est en géométrie, enarchitecture, en mécanique, l’élément le plus simple auquel on puisse appliquer les idées demesure, comparaison, rapport ; l’opération la plus simple introduisant ces concepts est lechoix d’un troisième point quelconque sur cette droite ; on passe de l’unité à la dualité et on setrouve d’emblée en face de la proportion.

Un rapport est la relation, la comparaison qualitative entre deux grandeurs demême nature ou le nombre qui exprime cette comparaison. Une proportion résulte de l’accordou de l’équivalence de deux ou plusieurs rapports ; il faut donc au moins trois grandeurs (icila droite et ses deux segments) pour déterminer une proportion.

Le partage en deux d’un segment donné de ligne droite AB par le choix d’untroisième point C situé entre A et B donne en effet lieu, si on désigne par a, b, c, les longueursrespectives des segments AC, CB, AB, mesurées dans un système d’unités quelconque, à sixrapports différents possibles : a/b, a/c, b/c et leurs inverses.

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1°) a/c = b/c ; a/b = b/a

Deux combinaisons aboutissant au même résultat a = b ou AC = CB

Fig. 4

C est à mi-distance entre A et B ; c’est le partage symétrique.

2°) a/b = c/a, ou a/b = (a + b) /a, car c = a + b

Fig. 5

Cette équation implique que le point C est plus rapproché de B que de A ; ellepeut aussi se traduire ainsi : la longueur AB a été partagée en deux parties inégales telles quela plus grande soit à la plus petite comme la somme des deux (segment initial AB) est à laplus grande.

3°) a/b = b/c ou a/b = b/ (a + b)

Fig. 6

Ici, b est supérieur à a ; le point C est plus rapproché de A que de B ; mais lesproportions sont en réalité les mêmes qu’au point 2° et l’énoncé reste le même. On peut doncse contenter d’étudier celui-ci.

Nous avons ainsi obtenu le partage asymétrique le plus direct et le plus général,le plus en accord avec la transposition logique du principe de moindre action ou « loid’économie des concepts » posée par William d’Ockham. Il n’y a qu’un seul point C entre Aet B tel que les longueurs AC, CB, AB satisfassent à la condition posée, et il n’y a parconséquent qu’une seule valeur numérique correspondante du rapport a / b.

L’égalité a / b = ( a + b ) / a peut s’écrire aussi a² = b x (a + b) : nous avonssimplement résolu avec un point de départ différent le problème déjà traité par Euclide quiporte dans nos manuels scolaires l’étiquette amorphe : « partage d’une droite en moyenne etextrême raison ».

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Les constructions géométriques correspondantes sont simples.

1°) On se donne le segment AB = c

Fig. 7

2°) On peut se donner le segment AC = a et construire b et c

Fig. 8

On se sert en général, pour définir cette construction, de la propriété résuméepar la formule a/b = (a+b) /a déjà énoncée plus haut :

« Partager une longueur en deux parties inégales telles que le rapport entre laplus petite et la plus grande soit égal au rapport entre cette dernière et la somme des deux (lalongueur initiale) ».

On obtient ainsi la proportion que Pacioli appelle « proportio divina » ; Kepler,qui le premier en mentionne l’intérêt en botanique et pour lequel elle est « un joyau précieux ;l’un des deux trésors de la géométrie (l’autre étant le théorème de Pythagore) », la nommeaussi « sectio divina » ; Leonard de Vinci lui donne le nom de « sectio aurea », d’oùl’appellation de section dorée (golden section, goldener Schnitt), et celle de « nombre d’or »pour la valeur numérique explicitée ci-dessous.

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2. La valeur numérique

« Les nombres comme la raison sont régulateurs et nongénérateurs, ils sont la raison des formes non leur énergieformatrice. » (R. Pagusthe)

Reprenons l’égalité : a/b = (a+b) /a

Divisons par b les deux éléments du second membre (ce qui ne change pas savaleur) et posons a/b = x.

Nous obtenons : x = (x+1)/x

D’où : x² = x+1 ou x²-x-1 = 0

Cette équation du second degré en x a comme racines : x = (1√5)/2

C’est-à-dire une racine positive et une négative.

Nous retiendrons comme valeur du rapport cherché : a/b (√5+1)/2 1.61803398875…

C’est un nombre incommensurable, banal à première vue ; nous allons voir toutde suite qu’il possède, parmi les autres nombres de cette classe, des caractéristiques uniques.

Pour faciliter sa manipulation, on peut le caractériser par la lettre grecque ,suivant ainsi l’exemple de MM. Mark Barr et Schooling qui les premiers (dans les annexesmathématiques du livre The curves of life de Sir Theodore Cook) l’affectèrent d’un symbolepropre.

(√5+1)/2 1.618…

1/ (√5-1)/2 0.618… (c’est la seule valeur de x où x-1 x-1)

² (√5+3)/2 2.618…

Cette remarquable identité des parties décimales des fractions indéfinies 1/,, ² résulte de l’équation initiale ² +1 et de sa variante (obtenue en divisant tous lestermes par ) :

-1 1/

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De l’équation initiale résulte aussi (en multipliant indéfiniment tous les termespar ) :

3 ² +

4 3 + 2

5 4 + 3

n n-1 + n-2

n étant un nombre quelconque. Une progression géométrique qui aurait comme raison jouit donc de la propriété suivante : un terme quelconque de la série est égal àla somme des deux précédents (ou des deux suivants si l’on dispose les termes en progressiondécroissante).

La série 1, , ², 3, …, n, ainsi que toute série ayant comme raisongéométrique) est donc à la fois multiplicative et additive, c’est-à-dire participe à la fois de lanature d’une progression géométrique et d’une série arithmétique.

On voit donc que , « le nombre d’or », est, dans la « société des nombres »,une personnalité, un invariant remarquable, le plus intéressant parmi les nombres algébriquesincommensurables.

Parmi les nombres incommensurables non algébriques, les deux plusimportants sont e et .

e 2.718281828…

3.14159265…

Il existe d’ailleurs entre ces nombres une relation directe et brève, où seretrouvent, en plus du zéro, l’unité et son cousin imaginaire √-1, communément appelé i :

1 + e i 0

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3. Le nombre d’or et l’esthétique

« Les nombres qui font que les voix sont agréables aux oreilles,sont les mêmes qui font que les objets plaisent aux yeux. » (FrançoisBlondel)

« Mes sculptures sont bonnes parce qu’elles sont basées sur desréflexions mathématiques. » (Rodin)

Le nombre d’or intervient autant dans la nature que dans les arts.

Considérons encore ce partage d’une droite en deux segments inégaux qui nousconduit à la section dorée. On a très souvent en esthétique, à effectuer un sectionnementinégal, car le partage symétrique en deux parties égales, quoique parfois nécessaire par rapportà l’un des axes de figure, est souvent indésirable par rapport à un autre (un axe ou plan desymétrie horizontal dans un monument est en général aussi néfaste esthétiquement qu’il leserait dans un bipède. Le nombre d’or fournit une impression d’harmonie linéaire, d’équilibredans l’inégalité, plus satisfaisante que celle produite par toute autre combinaison.

Avis partagé par Léonard de Vinci et par la plupart des savants et artistes de larenaissance ; Kepler fut un des derniers à célébrer les vertus ésotériques de la divineproportion. Puis la « sectio aurea » tomba dans l’oubli. C’est l’Allemand Zeysing qui, vers1850, la redécouvrit. Il proclame dans ses Aestetische Forschungen (1855) : « Pour qu’untout, partagé en deux parties inégales, paraisse beau au point de vue de la forme, l’on doitavoir entre la petite partie et la grande le même rapport qu’entre la grande et le tout ».

Il appelle cela la loi des proportions et déclare qu’elle se trouve réalisée dansles proportions du corps humain, des espèces animales qui se distinguent par l’élégance deleurs formes, dans certains temples grecs (le Parthénon en particulier), en botanique, voire enmusique.

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Fig. 9 Le corps humain (d’après Grosjean, (9), p14)

Il trouve que les proportions du corps masculin oscillent autour du rapportmoyen h/n = 13/8 = 1.625 en serrant d’un peu plus près la section dorée que le corps fémininpour lequel la valeur moyenne de h/n est de 8/5 = 1.6.

Zeysing mesure aussi cette proportion pendant la croissance. Chez le nouveau-né, le nombril partage la hauteur totale en deux parties égales (h/n = 2). Ce n’est queprogressivement que le rapport se rapproche de la section d’or. Il faut noter que, à 13 ans, ilatteint la première fois ce rapport pour le dépasser nettement vers 17 ans, à l’adolescence(1.59), pour revenir ensuite, vers 21 ans, à 1,625.

On remarque alors l’importance de ce rapport : on dit souvent que lesadolescents semblent mal proportionnés, qu’ils ont de longues jambes et de longs bras. Vers17 ans, ils ont une proportion ultra-féminine.

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Pour le corps humain, c’est le nombril qui,dans les statues antiques, et chez les hommesparfaitement proportionnés, diviserait leurhauteur totale suivant la section dorée.

Cette constatation, qui s’accorde avec lescanons très étudiés de Dürer et de Léonard, aété contrôlée sur les statues grecques del’époque de Phidias.

Zeysing lui-même effectua des mesuressur des milliers de corps humains et trouvaque ce canon idéal parait être l’expressiond’une loi statistique moyenne pour les corpssainement développés.

12/11 = 11/10 = 10/9 = 9/8 = 8/7 = 7/6 =6/5 = 8’/7’ =

9/8’ = 8’/8 = 8/7’ = 7’/7 = √

La hauteur du nombril illustre parfaitement cette proportion divine, mais cen’est pas le seul exemple dans le corps humain :

Hauteur du visage (jusqu’à la racine des cheveux) / distance verticale arcadesourcilière – bas du menton = distance bas du nez – bas du menton / distance commissure deslèvres – bas du menton = .

La section dorée s’impose donc lorsqu’il s’agit d’amener par une nouvellesubdivision deux parties consécutives égales à faire partie d’une progression géométrique etde rassembler ainsi le triple effet de l’équipartition, de la succession, de la proportioncontinue ; l’emploi de la section dorée n’est qu’un cas particulier d’une règle générale, celledu retour de la même proportion dans les détails d’un ensemble.

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Fig. 10 Tête du doryphore dePolyclète, 500 av. JC.

Il matérialise rigoureusement lesproportions définies par le nombred’or.

10/9 = 9/8 = 8/7 = 7/6 =

10’/10 = √

(Grosjean, (9), p16)

Fechner, l’inventeur de la psychophysique fit une série d’expériences (1876) destatistiques esthétiques en demandant à des personnes de choisir entre plusieurs rectangles (ducarré au rectangle fort allongé) celui dont la forme leur plaisait le plus ; c’est le rectangle d’orqui réunit la majorité très prononcée des suffrages (exprimés en %).

Fig. 11 Résultat du test de Fechner (Lurçat, (12), p68)

A : Carré B : Rectangle issu de la diagonaledu carré

C : Rectangle de un sur un et demi D : Rectangle d’or

E : Rectangle de un sur deux F : Rectangle √7

D’après Timerding, « ce qui reste semblable à soi-même dans la diversité del’évolution donne une impression rassurante ».

Ce rectangle d’or, à proportion , semble très « intégré » en nous, car on leretrouve dans le format de la plupart des livres, du papier « ministre », des tablettes dechocolat, des cartes postales,...

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On peut aussi observer la section dorée comme module dans la façade duParthénon, dans le profil de beaucoup d’oeufs (rapport grand axe – petit axe), en botanique,où Zeysing découvre une « loi des angles » pour les écartements angulaires des branches, dansla disposition des graines de plusieurs plantes telles que le tournesol, la pomme de pin,...

Fig. 12 Exemples du nombre d’or dans la nature (Poïesis, (15), p22)

« Les corps des animaux et des insectes décèlent aussi, dans beaucoup de leurs proportions lethème de la section dorée ; dans les jambes de devant du cheval, de même que dans l’indexde la main humaine, paraît la série de trois termes consécutifs d’une série descendante ;cette triade est très importante, car du fait que son plus grand terme est égal à la somme desdeux autres, elle réintroduit la dualité, le partage symétrique dont elle était à priori lacontradiction ; ceci aura son intérêt en architecture. »1

(Grosjean, (9), p18)

1 M. Ghyka, « Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts », 1927, cité 20 ansplus tard par Le Corbusier, « Le modulor », 1950

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Fig. 13 Un des deuxchevaux de Marlyexécutés parCoustou, 1745, placésur les Champs-Elysées.

A/B = B/C = C/D =D/E =

Même en musique, où le nombre entier et les rapports entre nombres entiersrègnent en maîtres et où l’incommensurable n’apparaît pas à première vue, Zeysing avaitremarqué la présence des nombres 3, 5, 8, 13, dans la computation des intervalles afférentsaux deux principaux types d’accords parfaits.

Au module 5/8 (proportion du corps masculin), il fait correspondre l’accordmajeur ; les deux tons de l’accord final, mi et do par exemple.

Au module 3/5 (proportions féminines), correspond l’accord mineur ; les deuxtons de l’accord final, par exemple mi-bémol et do. (Ghyka, (8))

La suite citée plus haut nous conduit à l’histoire des lapins de Fibonacci. Cetitalien qui s’appelait en réalité Léonard de Pise a introduit le chiffre arabe et surtout le zéro.Un des nombreux problème qu’il a posé est celui-ci : étant donné un couple de lapins, fécondau bout de deux mois et qui donnera naissance à un couple de lapins qui deviendra à son tourfécond au bout de deux mois, etc. combien y aura-t-il de lapins féconds à la fin de l’année ?On obtient une série de nombres qui a ceci d’intéressant, c’est que plus on progresse, plus lerapport entre deux nombres successifs tend vers le nombre d’or :

1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 – 144 – 233 - ...

On obtient le même résultat avec toute série récurrente de nombres dont chacunest la somme des deux précédents. (Poïesis, (15))

Ces suites de rapports concilient donc le changement, puisque chacun d’entreeux est différent, et l’unité, puisqu’ils sont régis par un principe constant et unique, qui réduitleur écart.

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4. Conclusions sur le nombre d’or

« On peut se demander si le nombre d’or n’est pas une descaractéristiques de notre monde. » (Henri Bilheust)

« La véritable solidarité du réel est d’essence mathématique. » (G.Bachelard)

Que réclame d'autre la vie qui, dans la croissance, entend préserver l'identité deplus en plus affirmée d'un être, sa continuité sans rupture, et pourtant assurer son évolution etson extension ? L'esthétique, de même, a toujours mis en avant l'obligation de concilier l'unitéet la diversité. Comment n'aurait-elle pas été séduite par la «section d'or» qui répondexcellemment à cette double contrainte, en apparence contradictoire ? Dans la série additive,adaptée à la croissance, chaque nouvelle longueur résulte exclusivement des deux qui laprécèdent ; elle en est le simple total et pourtant elle est différente.

Ainsi en était-il dans la spirale logarithmique qui était une application de cettesuite à la géométrie. Est-il possible de répondre plus économiquement et plus parfaitement àla nécessité qui s'impose à la vie de maintenir son principe organique dans l'aventure ouvertede son développement?

L'esprit humain s'émerveille de ces coïncidences, qui ramènent à une mêmeformule des données mathématiques, biologiques et esthétiques. De même qu'il croyaitdevoir prêter aux abeilles un génie de géomètre pour expliquer la formation hexagonale dugâteau de cire, il a supposé la Nature détentrice d'un merveilleux «secret» chiffrable etl'appliquant à ses créations. En fait, la «section d'or», de même que l'hexagone des ruches,n'est que l'effet d'une nécessité : elle ne devient « miraculeuse » qu'au moment où, expriméeen chiffres et en lignes, elle se présente comme le résultat savant d'un calcul. Il n'y a de savantque la traduction mathématique opérée par l'intelligence humaine. Kepler, qui avait vu dans lethéorème de Pythagore « un des deux trésors de la géométrie », saluait le second dans lasection d'or, ainsi qu'en témoigne, en 1596, son Mysterium cosmographicum. Lui qui avaitsouligné une corrélation entre les cinq corps platoniciens et la « proportio orbium celestarium», marquait l'application à la croissance des plantes de cette étonnante proportion progressive.

On peut dire que la vie, pour répondre à sa double exigence de faire persévérer dans sapersonnalité l'être qu'elle anime et de lui ouvrir pourtant la possibilité de se transformer ens'accroissant, ne pouvait faire autrement que de rencontrer sur son chemin la solution que leshommes sont capables, avec leur conscience et leur faculté d'abstraction, d'exprimer sous uneforme mathématique théorique. La « section d'or » ne fait que répondre intellectuellementà une nécessité que la vie ne pouvait manquer de satisfaire en fait. Il est donc essentiel de« démystifier » une proportion que la pente au rêve et à l'insolite de l'imagination humaine avoulu doter d'un pouvoir occulte qui n'a que trop donné prétexte à des délires plus ou moinsésotériques. (Huyghe, (11), p283-289)

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C. Autres tracés régulateurs harmoniques

« Le rythme est la forme de l’âme. » (Saint-Pol Roux)

1. Le pentagone : omniprésence du nombre d’or

Ce dessin est extrêmement fertile car la proportion entre les différentes droites qui constituent cette figure de la plus petite à la plus grande, est la proportion .

Fig. 14 Pentagone étoilé (Poïesis, (15), p24)

Le pentagone, c’est le dynamisme,c’est l’homme. On retrouve cet aspect dansl’homme selon Agrippa de Nettesheim ou selonLéonard de Vinci. Pensez aussi au nombre dedrapeaux dans le monde sur lesquels est figuréeune étoile à cinq branches. C’est évidemment uneutilisation inconsciente, car comme le dit Jung :« le symbole est du domaine de l’inconscient, onne peut l’expliquer, on ne peut en donner qu’uneidée implicite. » En outre, le pentagone nous donneun éventail d’angles extrêmement important.

Fig. 15 Formes pentamères organiques (Ghyka, (8), p193-194)

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2. Autres rectangles dynamiques

Fig. 16 Rectangles « dynamiques » reliés entre eux par un enchaînement de proportions (Gromort, (10), p84)

Ces autres rectangles dynamiques sont les rectangles 1/1, 1/√2, 1/√3, 1/√4 ou½, et enfin le rectangle 1/√5, utilisé par Hambidge dans la décomposition harmonique desplans et façades de bâtiments (exemples dans la section II)

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3. Les triangles

En plus du triangle régulier ou équilatéral, qui est le plus simple des polygonesréguliers, il y a plusieurs autres triangles pouvant intéresser l’architecte ou le dessinateur.

a) Le triangle 3, 4, 5

Fig. 17 triangle 3, 4, 5 (Ghyka, (8), p86)

Il était déjà employé par les arpenteurs grecs et avant eux par les« harpédonaptes » Egyptiens pour tracer des angles droits et des rectangles avec une corde ànœuds.

Les architectes Achéménides et Sassanides s’en servaient pour tracer les profilsde leurs coupoles elliptiques.

La figure 17b qui se trouve dans le Tchou-Péi, traité mathématique chinoisattribué au XIè siècle av. JC montre que les Chinois connaissaient aussi ce cas particulier duthéorême de pythagore : 5² = 4² + 3².

Il a aussi de particulier que son aire est de 6 et que le cube de cette aire est égalà la somme des cubes des côtés : 6³ = 3³ + 4³ + 5³.

b) Un autre triangle « égyptien »

Fig. 18 triangle égyptien (Ghyka, (8), p91)

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Le plus connu, appelé par la plupartdes auteurs « triangle de Pythagore ou dePlutarque », « triangle sacré égyptien », ou« triangle parfait ». C’est le seul trianglerectangle dont les côtés forment uneprogression arithmétique.

Il caractérise le demi-profil méridiende la grande pyramide. C’est le seul dont les côtésforment une progression géométrique.

z/y = y/x = √ = 1,272…

z/x = m/n = = 1,618…

c) Le triangle présenté comme « égyptien » par Viollet-le-Duc

Fig. 19 (Ghyka, (8), p91)

d) Le triangle du pentalpha

Fig. 20 (Ghyka, (8), p91)

e) Le triangle dont la hauteur est égale à la base

Fig. 21 (Ghyka, (8), p93)

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Il a une hauteur de 5 pour une base de 8.C’est l’élément directeur du tracé vertical de plusieurscathédrales gothiques, Notre-Dame en particulier.

Il est souvent utilisé pour le tracé des cathédralesgothiques.

Ou à angle au sommet de 36°. Nous leretrouvons comme élément du pentagone étoilé.

C’est le triangle isocèle tel que l’angle à la base soit double del’angle au sommet.

4. La spirale ou croissance harmonieuse

« Il n’y a rien dans la beauté qui ne soit déjà dans la nature. »(Leibniz)

La spirale est une forme récurrente dans la nature et dans les arts. La coquillede nautile est une spirale à croissance , dite spirale à croissance harmonieuse.

Fig. 22 Coupe d’une coquille de nautile (Huyghe, (11), p285)

Fig. 23 F. L. Wright, Escalier du musée Salomon R.Guggenheim, New-York (Huyghe, (11), p285)

Fig. 24 N. Barabino, La gloire de saint-André. Gênes, Eglisede l’Hôpital Saint-André (Huyghe, (11), p285)

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D. Le Modulor (Le Corbusier, (6 et 7))

Le modulor est un essai sur la mesure harmonique àl’échelle humaine applicable universellement à

l’architecture et à la mécanique.

1. Ambiance, milieu, circonstances et déroulement de la recherche

« L’univers musical était donc en vous, avec tout ses rapports etses proportions. » (Paul Valéry)

a) Préambule :

Le son est un événement continu, conduisant sans rupture du grave à l’aigu. Lavoix peut l’émettre et le moduler, de même que certains instruments tel le violon, latrompette ; mais d’autres en sont incapables car ils ressortissent à un ordre déjà humainementorganisé sur des intervalles artificiels : la flûte, le piano,…

On a pu pendant des millénaires, faire usage du son pour chanter ou pour joueret danser. Ce fut la première musique qui se transmettait oralement, sans plus.

Mais un jour (six siècles avant J-C), quelqu’un s’inquiète de rendretransmissible, pour toujours, l’une de ses musiques autrement que de bouche à oreille, donc del’écrire. Il n’existait ni méthode ni instruments pour le faire. Il s’agissait de fixer ce son en despoints déterminés, rompant ainsi sa parfaite continuité. Il fallait le représenter par deséléments saisissables, par conséquent découper le continu selon une certaine convention eten faire du gradué. Le gradué constituerait les échelons d’une échelle artificielle du son.

Comment sectionner la continuité du phénomène sonore ? Comment découperce son selon une règle admissible par tous, mais surtout efficace, c’est-à-dire capable desouplesse, de diversité, de nuances et de richesse, pourtant simple, maniable et accessible ?

Pythagore résout la question en prenant deux points d’appui capable de rallierla sécurité et la diversité : l’oreille humaine et les nombres (la mathématique).

Quand Le Corbusier crée le Modulor, il se rend compte qu’en ce qui concerneles choses visuelles, les longueurs, le monde n’a pas encore franchi l’étape franchie par le sonil y a de cela plusieurs siècles.

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Il se demande si un outil de mesures linéaires ou optiques était offert, leschoses de la construction en seraient facilitées ?

Une échelle de graduation commune à tous les pays (car se rapportant à lamesure de l’homme) aurait pour effet d’unir, de rallier, d’harmoniser le travail des hommesprécisément désuni, voir déchiré, du fait de la présence de deux systèmes de mesuredifficilement conciliable : le « pied-pouce » des Anglo-Saxons, et le système métrique d’autrepart.

Les mesures qui servent à confectionner les objets peuvent-elles demeurerlocales ?

Lorsque le monde romain se prit à occuper d’immenses territoires, Romedisposa d’une langue unique et s’en servit pour gouverner.

Lorsque l’Eglise naissante s’empara du monde connu, elle disposa d’un outil detransmission des pensées unique : le Latin.

Toutes les hautes civilisations ont eu leurs outils de mesure référentiés au corpshumain : coudée, doigt, pouce, pied, empan, foulée, etc.… Mesures riches et subtiles car lecorps humain est régi par une mathématique gracieuse, élégante et ferme, cause de la qualitéd’harmonie qui nous émeut : la beauté

Ces outils de mesure s’utilisaient en des lieux précis, ne voyageaient pas etn’avaient pas à voyager. Inutile donc d’unifier les mesures.

La Révolution française rejette le pied-pouce avec ses calculs compliqués etcrée un nouvel étalon de mesure totalement dépersonnalisé et dépassionné qu’il en devientabstraction : une entité symbolique : le mètre, quarante millionième du méridien terrestre.

Un siècle et demi plus tard, le monde est séparé par deux outils de mesuredifférents. Un se rapportant au corps humain, mais d’une manipulation compliquée, et l’autre,niant celui-là mais facilitant celui-ci.

« S’agissant de construire des huttes, des maisons ou des temples à destinationhumaine, le mètre semble avoir introduit des mesures étranges et étrangères qui, si on yregarde de près, pourraient bien être accusées d’avoir disloqué l’architecture, de l’avoirpervertie ; disloquée par rapport à son objet qui est de contenir des hommes. L’architecturedes métriques est peut-être dévoyée. L’architecture des pied-pouce semble avoir traversé lesiècle de toutes les débâcles avec une certaine assurance et une continuité plaisante ».(Le Corbusier, (6), p20)

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b) Chronologie

Le Corbusier a 23 ans lorsqu’une question se pose à lui : Quelle est la règle quiordonne, qui lie toutes choses ? Il se trouve alors devant un problème de nature géométrique ;il est en plein phénomène visuel.

Il découvre, en analysant le Capitole de Michel-Ange et un tableau de Cézanne,le lieu de l’angle droit et la section d’or.

Fig. 25 Tracé suivant le lieu de l’angle droit du Capitole de Michel-Ange (Le Corbusier, (6), p26)

Le Corbusier était un autodidacte. Il avait fui les enseignements officiels. Ainsiavait-il ignoré les règles canoniques, les principes codifiés et dictés par les académies.Echappé à l’esprit académique, il avait la tête libre et le nez au vent. Cubiste, il incline auphénomène plastique, il raisonne « visuel ». Il est d’une famille de musiciens, mais il neconnaît pas même les notes ; pourtant il est musicien intensément et sachant fort biencomment est faite la musique et capable de parler musique et de juger. La musique est : tempset espace, comme l’architecture. La musique et l’architecture dépendent de la mesure. (LeCorbusier, (6), p29)

Pendant les années productrices de 1925 à 1933, époque où l’on bâtissait enFrance, avant les crises guerrières, le goût, le besoin, la nécessité d’architecturer à l’échelle del’homme l’avaient conduit à dessiner au mur de son atelier une échelle métrique de 4 mètresde haut afin de s’y confronter lui-même, d’y opposer sa propre stature, d’y inscrire en travers,un jeu de mesures vraies, mesures d’appui, de siège, de passage, etc.… Cette expériencemontrait que le mètre n’est qu’un chiffre, heureusement soumis au système décimal, unchiffre abstrait, incapable en architecture de qualifier un intervalle (une mesure). Outildangereux même, si, partant de son abstraite conformation numérique, on se laisse aller, parinsouciance ou par paresse, à le matérialiser en des mesures commodes ! Le mètre, le demi-mètre, le quart de mètre, le décimètre,… ; évolution qui s’est accomplie petit à petit au coursdu siècle, aveulissant l’architecture.

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Il fut un jour confronté à la « normalisation AFNOR », créée pour aider à lareconstruction du pays. Il ne fut pas convié pour l’élaboration de ses normes, bien qu’ayant étéaccusé d’avoir écrit :

« Il faut tendre à l’établissement du standard pour affronter le problème de laperfection »

« Le Parthénon est un produit de sélection appliqué à un standard »

« L’architecture agit sur des standards »

« Les standards sont choses de logique, d’analyse, de scrupuleuse étude ; ilss’établissent sur un problème bien posé. L’expérimentation fixe définitivement le standard. »2

« La grande industrie doit s’occuper du bâtiment et établir en série leséléments de la maison »

« Il faut créer l’état d’esprit de la série :

L’état d’esprit de construire des maisons en série,

L’état d’esprit d’habiter des maisons en série,

L’état d’esprit de concevoir des maisons en série. »3

Et pour se faire : normaliser.

Autant de propos anathèmes.

Le jour où furent publiées les premières séries normalisées de l’AFNOR, ildécida de préciser ses intuitions à l’égard d’une mesure harmonique à échelle humaineapplicable universellement à l’architecture et à la mécanique.

2 Le Corbusier, « Des yeux qui ne voient pas », l’esprit nouveau, 1920

et : Le Corbusier, « Vers une architecture », 1923

3 Le Corbusier, « Maisons en série », l’esprit nouveau, 1921

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c) Mathématique

Voici l’occupation de Paris et la France coupée en deux par la ligne dedémarcation. Mais Le Corbusier en profite pour poursuivre une activité intense de recherchedoctrinale, par les soins d’une association fondée à cet effet : l’ASCORAL.

Un des jeunes travaillant pour lui devait aller de l’autre côté de la ligne dedémarcation (1943) : le jeune Hanning : « Donnez-moi une tâche pour occuper mes heuresvides ! ». Le Corbusier répond : « Voici, l’AFNOR propose de normaliser les objets de laconstruction (du bâtiment) ; la méthode est simpliste, simple arithmétique, simple moyenneentre les usages ou les outillages des architectes, des ingénieurs, des industriels. Ellem’apparaît arbitraire et pauvre. Les arbres, par exemple, avec leur tronc, leurs branches,leurs feuilles et leurs nervures, m’affirment que les lois de croissance et de combinaisonpeuvent et doivent être plus riches et plus subtiles. Un lien mathématique doit intervenir ences choses-là. Je rêve d’installer sur les chantiers qui couvriront plus tard le pays, une« grille des proportions » tracée sur le mur ou, appuyée au mur, faite de fers feuillardssoudés, et qui sera la règle du chantier, l’étalon ouvrant la série illimitée des combinaisons etdes proportionnements ; le maçon, le charpentier, le menuisier viendront à tout instant ychoisir les mesures de leurs ouvrages et tous ces ouvrages divers et différentiés seront destémoignages d’harmonie. Tel est mon rêve. »

« Prenez l’homme le bras levé, 2,20m de haut ; installez-le dans deux carréssuperposés de 1,10m ; faites jouer à cheval sur les deux carrés, un troisième carré qui doitvous fournir une solution. Le lieu de l’angle droit doit pouvoir vous aider à situer cetroisième carré. »

« Avec cette grille de chantier réglée sur l’homme installé à l’intérieur, je suispersuadé que vous aboutirez à une série de mesures accordant la stature humaine (le braslevé) et la mathématique… » (Le Corbusier, (6), p36-37)

Sur cette grille, Mlle Elisa Maillard y travaille aussi. De ces deux études faitessimultanément mais en des lieux différents, résulte le tracé suivant :

Fig. 26 Grille de Mlle Elisa Maillard et de Hanning (Le Corbusier, (6), p39-40)

A propos de cette grille présentée au doyen Montel de la Faculté des sciences,celui-ci dit : « De l’instant où vous avez pu installer l’angle droit dans le double carré, vousavez introduit la fonction √5, provoquant ainsi une floraison de sections d’or ».

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2. Réalités pratiques (Le Modulor : simple outil)

« Vous avez placé en moi le rapport et la proportion une fois pourtoutes car un chiffre peut être changé mais non pas le rapport dedeux chiffres. Là est la certitude. » (Paul Claudel)

Le Corbusier affecte alors une valeur humaine à la combinaison géométriquedécouverte, adoptant pour cela une hauteur d’homme de 1.75m.

Fig. 27 Correspondance homme-mathématique (Le Corbusier, (6), p44,50)

Fig. 28 Le modulor pour un homme de 1m75(Le Corbusier, (6), p51)

Ces chiffres engagent la staturehumaine, les points décisifs d’encombrement del’espace. Ils sont donc anthropocentriques. Cetterègle fait état de la plus simple et essentielleévolution mathématique d’une valeur : l’unité(108), son double (216) et les deux sections d’or,ajoutées ou retranchées.

C’est à partir de ce moment que lenom de Modulor pour cette règle d’or fut choisi.

La définition du modulor peut sefaire simplement : « c’est un outil de mesure issude la stature humaine et de la mathématique.Un-homme-le-bras-levé fournit aux pointsdéterminants de l’occupation de l’espace (le pied,le plexus solaire, la tête, l’extrémité des doigts lesbras étant levés) trois intervalles qui engendrentune série de sections d’or, dite de Fibonaci.D’autre part, ma mathématique offre la variationla plus simple comme la plus forte d’une valeur :le simple, le double, les deux sections d’or. » (LeCorbusier, (6), p55)

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Fig. 29 Le modulor pour un homme de 1m83 (Le Corbusier,(6), p67)

Restait à atteindre l’objectif d’unifier le système pied-pouce et le systèmemétrique. Le jour où Py remarqua que la taille de 1,75m était plutôt une taille française, quedans les romans policiers anglais, les « beaux hommes » (un policier par exemple) onttoujours six pieds de haut, il ne restait plus qu’à appliquer cet étalon : six pieds 6 X 30,48 182,88 centimètres. Le nouveau modulor ainsi obtenu sur base d’un homme de six pieds dehaut se traduit par des chiffres pleins à tous les échelons.

Fig. 30 Facilités pour les relations métrique-pied pouce (Le Corbusier, (6), p84)

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E. L’héritage roman

« La règle guide le créateur dans sa recherche de l’ordre. L’ordre,c’est la nature non consciente. La règle, c’est l’ordre humain. »(Louis Khan)

Les architectes et bâtisseurs romans utilisaient des techniques de tracé et desoutils dimensionnés pour l’homme et pour mettre en valeur ce en quoi il croyait. Ces outilsont souvent été utilisés mais certains ont malheureusement été oubliés depuis lors.

D’après l’intervention de Henri Bilheust, rédacteur du « cahier de l’Abbaye deBoscodon », lors du séminaire sur la proportion et la composition. (Poïesis, (15), p13)

1. Une question

Par quels moyens les bâtisseurs romans sont-ils parvenus à édifier de grandsmonuments, harmonieux, témoins de foi, capteurs et émetteurs d’énergie en même temps,magnifiques instruments de prière et de méditation ?

Nous possédons des pistes mais très peu de documents, il y a très peu de textes,pratiquement pas de plans. Le meilleur moyen reste encore de « lire » la construction ou cequ’il en reste.

2. Les références des bâtisseurs

C’étaient la foi, la pensée symbolique, la géométrie et non le calcul. Leur foiest très vive et s’exprime dans l’élévation d’un bâtiment considéré comme un outil deréverbération du chant et de la prière.

Pour Saint-Luc, la première chose à faire quand on s’apprête à construire, c’estde s’asseoir.

D’après les textes, on sait que la construction ne dépendait pas d’un seul maîtred’oeuvre mais de trois personnes :

Le traceur, plutôt le concepteur, celui qui réalise le tracé de base et qui sedégage des conditions matérielles qui ne le concernent pas.

Le maître d’ouvrage est chargé de la réalisation matérielle de l’oeuvre. C’estlui qui transmet aux compagnons les idées du concepteur en les traduisant sur le terrain. Ilfabrique les piges, les modules qui seront utilisés sur le chantier.

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Le parlier était chargé de traduire le langage du maître d’ouvrage aux ouvriers.

Leur connaissance principale est la géométrie, pas celle que nous avonsapprise, mais une géométrie opérative et symbolique.

Donc le maître d’oeuvre organise le chantier, « s’assied », entraîne ses frèresmoines dans le débroussaillage et leur donne une orientation vers la lumière. Tout chantiercommençait par des observations astronomiques.

On commence par choisir un lieu dont l’exposition est la plus satisfaisante etassure l’ensoleillement maximum. Pour ce faire, on peut planter un bâton et repérer ledéplacement de l’ombre.

Fig. 31 Détermination du Nord d’après l’ombre du soleil (Poïesis, (15), p16)

En observant ce déplacement sur plusieurs jours, on peut déterminer le midivrai qui est à la fois l’heure et le méridien du lieu. On plante également deux poteaux dontl’un correspond au lever du soleil l’été et l’autre au lever du soleil l’hiver. La bissectricedonne l’est, le levant.

Il y a deux obélisques à l’entrée des temples égyptiens, deux colonnes debronze à l’entrée du temple de Salomon, parfois deux clochers de part et d’autre du portail denos églises. Ces dispositions architecturales s’inscrivent dans une filiation dont nous avonsperdu le sens mais qui trouvent leur origine dans une observation astronomique.

L’orientation des églises vers l’est n’est pas rigoureuse. Le plus souvent,l’église est orientée en fonction du saint ou de la fête religieuse à laquelle elle est consacrée.Si elle est consacrée à la vierge, l’église sera orientée au levant du 15 août.

L’orientation varie aussi en fonction de la quantité de lumière que l’on veutapporter à l’édifice.

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L’homme du Moyen-Age réalisait toutes ses oeuvres uniquement par le tracé,sans l’aide du calcul. Outre la pige, la canne, qu’il était facile de réaliser, il employait la cordeà douze noeuds ou plutôt douze intervalles d’une coudée chacun, le compas et une équerrecomme celle de Hue Libergier (mort en 1263)

Fig. 32 Equerre de Hue Libergier (Poïesis, (15), p23)

3. Un tracé fondamental

Fig. 33 Les mesures du corps humain retrouvées par le tracé du nombre d’or : certaines de ces mesures se

retrouvent sur l’équerre de Hue Libergier. (d’après Poïesis, (15), p21)

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F. La théorie TK des proportions visuelles

« (...) les plus sages et les mieux inspirés des hommes veulentdonner à leurs pensées une harmonie et une cadence qui lesdéfendent des altérations comme de l’oubli. » (Paul Valéry)

La théorie développée par K. Lloveras montre la présence du rapport nonseulement dans les objets, mais aussi dans notre manière de les percevoir.

D’après une intervention de Kim Lloveras I Montserrat, architecte etenseignant à l’école d’architecture de Barcelone, auteur d’ouvrages sur les proportions, sur A.Gaudi. (Poïesis, (15), p35-41)

1. Argument

La conception froide et abstraite d’un espace sans la considération de laperpective humaine (sans intégration du point de vue de l’homme) n’a aucun sensarchitectural.

La théorie des proportions visuelles propose un concept de mise en perspectiveharmonique, un outil de composition mettant en relation l’oeuvre et le sujet qui la contemple.L’oeuvre n’est plus libre et indépendante du sujet mais conçue et jugée par lui et pour lui, luipermettant de contrôler, par un ensemble de points de vues priviligiés de l’espace formant unparcours, les sensations qui ont été voulues au moment initial de la conception. Ce soucis’inscrit dans l’histoire comme une réévaluation rationnelle des principes déjà effectifs auMoyen-Age.

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2. Les chemins de la proportion

Pour K. Lloveras, proportionner, c’est « offrir à l’autre ce qu’il n’a pas ». Enintroduisant volontairement dans nos oeuvres ce « plus » géométrique, de mesure, abstrait,nous offrons aux autres un bien intangible.

a) Les chemins de base

La proportion culturelle : relation de notre perception du beau avec la mesure,la géométrie.

La proportion réglée : Nous étudions une chose que nous croyons être belle etnous croyons qu’en reproduisant à n’importe quelle échelle ses proportions, ses relations demesure, sa géométrie, la chose en soi sera belle parce que nous acceptons la validité d’unerelation de mesures géométriques fixées d’avance. (La renaissance avec ses systèmes à basede modules)

La proportion fermée : c’est le propre système géométrique et arithmétique quiacquiert une valeur capitale avant la forme qui n’en est que le résultat. (Normalisation DIN,systèmes modulaires de préfabrication).

La proportion iconique : on évalue la valeur iconique et symbolique de la figuregéométrique.

b) Les chemins profonds

La mesure ouverte : on pense aux formes idéales et aux relations géométriquesintrinsèques qui les constituent et qui permettent par progression dynamique, par récurrence,de construire toute une série de figures qui reproduisent la forme idéale.

La mesure humaniste : on ajoute aux éléments précédents la mesure del’homme (même si ce n’est pas dans ses mesures physiques), également sériées. (Le modulor)

La mesure visuelle : on trouve en elle des séries de mesures qui ont permis deconstruire des formes parfaites à certaines époques, d’en créer aujourd’hui qui ont uneinfluence sur notre perception de l’espace car la proportion est à la base de notre propresystème de mesure visuelle.

Deux exemples : la mesure visuelle TC, appliquée à l’époque médiévale, et laproportion visuelle TK et sa mesure visuelle.

Cette dernière méthode permet d’anticiper la perception d’un espace dès ledessin, en introduisant le concept de personne projectuelle (TC ou TK). C’est lareprésentation symbolique d’un observateur.

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3. Le pourquoi de la théorie TK

« Une proportion mal réglée est comme un instrument malaccordé, ça sonne faux ! » (R. Pagusthe)

« Sur quoi est-ce que je me base pour projeter mes espaces si je veux que ceux-ci soient accordés à la perception que j’en ai ? Comment introduire l’être humain dans cesespaces ? » (K. Lloveras, dans Poïesis, (15), p38)

Il y a un lien (arithmétique et géométrique) parfait mettant en relation notrevision et l’espace observé : la constante TK des proportions visuelles (sa valeur numérique est1.272019... soit ).

4. La composition visuelle

« (d’un théâtre de carton)... Les proportions en étaient si noblesqu’on les aurait crues taillées dans le marbre. » (Goethe)

Notre perception se base surdeux phénomènes fondamentaux :

Contraste lumière –obscurité : l’obscurité représente le vide, lenéant qui nous repousse. La lumière, aucontraire est la représentation de la vie etnous attire.

Présence de points aveugles(complémentaire du précédent). Il y en aun pour chaque oeil situé sur une lignehorizontale à environ 17,17° versl’extérieur de l’axe visuel. Ces pointsaveugles nous aident non seulement àmaintenir notre équilibre horizontal, maisconstamment nous informent sur lescaractéristiques de l’espace que nousobservons.

Fig. 34 Cône de vision suivantla théorie TK (Poësis, (15), p39)

Imaginons-nous à l’entrée d’un tunnel, à l’extérieur. Si nous sommessuffisamment loin pour que nos points aveugles ne touchent pas l’obscurité de l’entrée, nousnous sentirons à l’extérieur. Nous avons le sentiment d’y pénétrer lorsque les points aveuglestoucheront cette zone, même si physiquement, nous restons à l’extérieur. Et inversément.

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5. La géométrie de la perception visuelle et l’époque médiévale.

Il s’agit de sensations innées, objectives, puisqu’elles sont prévisibles etmesurables. Chacun d’entre nous peut en vérifier l’exactitude. Les architectes du Moyen-Ageen ont tenu compte.

A cette époque, la lumière chrétienne inondait les espaces de culte, elle lesdotait d’un sens sacré et, le plus important pour nous, les rattachait toujours à l’être humain,protagoniste de l’espace et du culte.

Tout espace médiéval a été conçu pour que l’individu s’y mouvant se sentevisuellement guidé par la lumière naturelle, symbole de la lumière divine. Elle pénétrait pardes fentes en étant ainsi tamisée et contrôlée.

La progression vers la lumière absidiale s’apparente à cette sortie de l’obscuritéde la grotte à la lumière à laquelle nous aspirons tous. L’intérieur ecclésial tout entier est unesuccession de parcours séquentiels qui nous mènent vers la pleine lumière symbolique duSaint-Sacrement.

Ces espaces ont tous été dessinés à l’aide de la géométrie intrinsèque auphénomène des points aveugles.

Cette géométrie est très simple. La relation qui existe entre la distance quisépare les extrêmes des points aveugles projetés sur un mur et la distance à laquellel’observateur se trouve de ce mur est précisément la relation TC (ou relation classique).

Au Moyen-Age, on a utilisé comme base du cône visuel de la personneprojectuelle un cercle tangent extérieur aux points aveugles ; l’axe du cône était, logiquement,l’axe de la vision de la personne projectuelle TC.

Nos prédécesseurs médiévaux ont donné une mesure unique à la hauteur de lapersonne projectuelle TC : deux aunes + deux pieds anciens = 1.618 mètres).

Beaucoup d’outils de l’époque, bien que formellement différents, répondent àce système unique de mesure visuelle qui émane du cône de projection TC.

Parmi cet ensemble de séries de mesures se trouve le mètre actuel.Aujourd’hui, les architectes et les maîtres tailleurs de pierre ont fait disparaître de leurséquerres tout ce système riche et complexe de mesures qui comprend aussi bien les mesuresphysiques de la personne projectuelle que celles du système de vision.

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6. La perception visuelle aujourd’hui

« Le beau est à l’échelle humaine, mais ordonné dans la grandeur. » (Aristote)

Les connaissances scientifiques actuelles sur la physiologie de l’oeil et lephénomène de la vision nous permettent d’aller plus loin encore. Elles nous permettent de direque la solution la plus juste n’est pas la solution médiévale, avec un cercle comme base, maisla proposition de la théorie TK qui le remplace par une ellipse et qui correspond de façon trèsprécise aux limites du champ visuel de bonne vision.

« La théorie TK pourrait permettre d’aider à renouveler les méthodes héritéesdu Moyen-Age.

L’esthétique, l’éthique et la perception visuelle TK sont inhérentes àl’utilisation de la personne projectuelle TK. La personne toute entière, avec sa réalitéphysique et morale devra être à nouveau le point de départ, le moyen et la fin de toute oeuvreà réaliser. » (K. Lloveras dans Poïesis, (15), p41)

Cette théorie qui remplace le cône de vision à base circulaire par une ellipse setrouve confirmée par Brian Avery (cité dans Samyn, (18), p14) : « L’œil au repos a une zone d’acuitévisuelle parfaite qui est définie par un rectangle d’or pour la vue à distance et par le trianglede Pythagore pour la vision rapprochée. »

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II. Les proportionsdans l’histoire

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A. L’art des Egyptiens

« La composition(...) ne s’oppose pas seulement au désordre ou àla disproportion, mais à la décomposition. » (Paul Valéry)

1. La pyramide de Chéops (Ghyka, (8), p339-368)

Les astronomes qui se sont occupés de la grande pyramide d’Egypte ont étéfrappés par ses remarquables propriétés géométriques, astronomiques et géodésiques.

Fig. 35 Le sphynx situé devant la Grande Pyramide, (Bruggmann, (1), p2)

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a) Son orientation

La pyramide de Chéops est une pyramide à base carréeorientée nord-sud, avec une erreur de 4’35’’. Cette erreur correspond à la4700è partie du tour d’horizon angulaire ou à la 1175è partie du quadrant ;c’est une précision rarement obtenue actuellement.

Fig. 36 Plan avec l’axe Nord-Sud (Ghyka, (8), p340)

Fig. 37 Plan du site de Guizeh (Bruggmann, (1), p166)

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b) Son emplacement sur la terre

Le méridien de la grande pyramide est celui qui traverse le plus de continents etle moins de mers, et il partage exactement en deux parties égales les terres de la surface duglobe.

Le parallèle de 30° Nord (29°58’5’’) sur lequel se trouve le centre de la grandepyramide est aussi celui qui traverse le plus de terres.

Fig. 38 L’ensemble des pyramides du site de Guizeh (Focus Bordas, (4), p3001)

c) Sa dimension par rapport au système solaire

Si l’on multiplie la hauteur de la grande pyramide (h=148,208m) par 1 milliard,on trouve 148.208.000km ; or la distance Terre-Soleil est de 149.400.000km avec uneincertitude de 70.000km.

Le rapport 2a / 365,242 = 232,805m / 365,242m, où 2a représente la longueurdu carré de base et 365,242 le nombre de jours dans l’année fournit un étalon de longueur égalà 0,6373991 appelé « mètre pyramidal » par Piazzi-Smyth et « coudée sacrée » par l’abbéMoreux. En multipliant cette longueur par 10 millions, on trouve 6.374km ; or le rayon moyendu sphéroïde terrestre est de 6.371km.

L’abbé Moreux note aussi qu’en multipliant le « pouce pyramidal » (1/25è de lacoudée sacrée) par 100 milliards, on obtient la longueur du parcours de la Terre sur son orbitedans l’intervalle de 24 heures, et qu’en additionnant le nombre de pouces pyramidauxcontenus dans les deux diagonales de la base, on trouve 25.800, nombre d’années du cycle dela précession de l’axe terrestre sur l’écliptique.

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Le canal d’entrée situé face au nord dans le plan méridien de la grandePyramide, détermine une lunette méridienne naturelle ayant une inclinaison fixe de 26°30’

sur l’horizon et permettant actuellementl’observation circumméridienne (culminationinférieure) de l’étoile polaire. Au moment de laconstruction de la Grande Pyramide, c’était, d’aprèsles calculs de l’abbé Moreux, l’étoile du Dragonqui jouait le rôle astronomique de l’étoile polaire etculminait dans le champ visuel du canal en question.

Fig. 39 Coupe méridien Nord-Sud (Ghyka, (8), p340)

d) Ses particularités géométriques

Voici d’après Piazzi-Smyth, les mesures des éléments spécifiques suffisant àcaractériser sa forme géométrique :

Fig. 40 Perspective parallèle de la Grande Pyramide de Guizeh

- h 148.208m (137.3m aujourd’hui)

- 2a 232.805m (227.37m aujourd’hui)

- a 116.402m

- 51°50’

Or : 148.2 / 116.4 1.2732

Remarquons que : - 1.2732² 1.621 (proche du nombre d’or 1.618)

Et que : 4 / 1.27324…

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On peut penser que les constructeurs de la Grande Pyramide ont pris : h/a 4/, d’où 8a 2h, ce qui correspond à : aire de la base / aire de la section méridienne ou encore : périmètre de la base périmètre de la circonférence de rayon h.

L’autre théorie, celle de la section dorée : h/a √, et c/a .

Ces deux théories donneraient sur le terrain une différence inférieure à 5cmpour les 148.2m de la hauteur et les 116.4m de la demi-base a.

On obtient environ la même marge d’erreur pour les angles : 51°51’14’’3 pourla thèse et 51°49’38’’2 pour la thèse .

Or, le général Howard Vyse, après des séries de mesures, adopte pour sescalculs le chiffre de 51°50’.

L’abbé Moreux, lui-même partisan de la thèse , écrit dans son livre (La scienceMystérieuse des Pharaons, p23) : « Hérodote rapporte que les prêtres égyptiens lui avaientenseigné que les proportions établies pour la Grande Pyramide entre le côté de la base et lahauteur étaient telles que : le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement lasurface de chacune des faces triangulaires ».

Or, avec cette définition, nous trouvons l’équation de : X² X+1.

Plus tard, Kleppisch trouve : « La surface totale de la Grande Pyramide estpartagée suivant la section dorée de telle sorte que le rapport entre la surface de base et lasurface latérale soit égal au rapport entre cette dernière et la surface totale ». Cette égalitéserait pour lui la « pensée directrice » du plan de la Grande Pyramide.

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e) La Chambre du Roi

Fig. 41 Dimensions de la Chambre du Roi (Ghyka, (8), p354) Fig. 42 Coupe méridienne Nord-Sud de laPyramide de Chéops (Focus Bordas, (4), p3000)

La base est un double carré. Sa longueur est double de sa largeur BC, et sahauteur est égale à la moitié de la diagonale du double carré de base : ses dimensions sontdonc √5/2, 2, 1.

De même que la base, le rectangle diagonal ACC’A’ est un double carré.

En considérant r la coudée royale (0.524m), on a : b 10 r, et d2, l, , formentle « triangle sacré » des harpédonaptes.

Dans cette chambre du roi se trouve aussi une auge restangulaire de granitrouge poli que l’on a longtemps arbitrairement appelée le sarcophage de Chéops, et quipourrait être un étalon de capacité. Sa capacité intérieure est égale à la moitié du volumeformé par les arêtes extérieures (longues de 1.97m, 0.68m, 0.85m).

f) La Chambre de la Reine

Tout comme la chambre du roi, elle décèle aussi des propriétés arithmétiquescurieuses ; si on les mesure en coudées royales, leurs carrés respectifs sont 720, 220 et 60 dontla somme fait exactement 1000.

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g) L’hypothèse de Jarolimek et de Kleppish

L’architecte de la Grande Pyramide a rigoureusement conçu le tracé du monumentcomme une application de la section dorée, ce qui semble confirmé par la citation d’Hérodotementionnée plus haut.

Pour l’exécution pratique du tracé, il s’est servi d’une des deux constructionsapprochées suivantes :

a) En partant de 576 = 144 X 4 coudées royales pour a + c, comme du petit côté et del’hypothénuse du demi-triangle méridien, il a, au lieu d’essayer le partage rigoureux en , prisa = 55 X 4r et c = 89 X 4r ; alors h = 70,04 X 4r (le partage rigoureux en de la mêmelongueur (a+c) aurait donné h = 69,971 X 4r).

b) Il a pris a = 55 X 4r et h = 70 X 4r ; c diffère alors très peu de 89 X 4r et est égal à89,025 X 4r.

Fig. 43 Coupe méridienne dans la grande pyramide

(Ghyka, (8), p354)

Il sera toujours impossible de vérifier avec certitude le bien-fondé de l’une ou l’autrehypothèse, mais il est intéressant de rappeler que Pétrie, qui fut le premier à découvrir lesmultiples 55, 89, 144 dans les dimensions a, c, (a+c), ignorait la série de Fibonacci et sesrelations avec la section dorée, et croyait, comme la majorité de ceux qui ont étudié la GrandePyramide, que son plan dérivait d’un essai de quadrature du cercle.

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2. Un bas-relief du temple de Séti I er à Abydos

Les mesures indiquées ne sont pas très importantes, c’est leur rapport quicompte : 78/39 = 2 ; 39/24 24/15 r/c = f/r = .

La hauteur c indique, outre la hauteur du nombril des deux hommes debout, unpetit disque au cœur d’une inscription hiéroglyphique. (Le Corbusier, (6), p195)

On peut remarquer ici que la hauteur totale est le double de la hauteur dunombril, ce qui pourrait avoir un rapport avec le modulor de Le Corbusier : 113cm x 2 =226cm.

3. Un bas-relief représentant Ramsès II

Fig. 45 Croquis de Le Corbusier représentant un bas-relief de Ramsès II. Réalisé d’aprèsune image extraite de Gustave Lebon, « Les premières civilisations ». (Le Corbusier, (6), p211)

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a = 15mm b = 24mm

c = d = p/2 = 39mm e = f = 78mm

Fig. 44 Reproduction d’après photographie d’unbas-relief du temple de Séti Ier à Abydos (LeCorbusier, « Le modulor », p195, d’après Gustave Lebon,« Les premières civilisations », p425)

Les chiffres du croquis ci-contreexpriment en millimètres lesdimensions de l’image d’aprèsChampollion. On peut remarquerla présence des rapportsmathématiques qui les lient.

B. L’art des Grecs

1. Le Parthénon

« Le nombre d’or règle les dimensions du temple dans sa structureet dans ses détails mais le sens plastique vient corrigerl’abstraction mathématique. » (Matila Ghyka)

« L’architecture du Parthénon est comme une révélation divine dela beauté idéale, reçue un jour par le peuple artiste par excellence,et transmise par lui à la postérité, en blocs de marbreimpérissables et en sculptures qui vivront à jamais… » (Lamartine)

Il a été construit en 438 av. JC suivant les plans d’Iktinos, Kallikrates etPhidias sur les hauteurs d’Athènes.

Fig. 46 Le Parthénon (Grosjean, (9), p23)

« Par définition, le Parthénon est le monument exceptionnel, lieu de toutes lesnuances. C’est une véritable sculpture et non point une construction. Il multiplie lescorrections optiques dues à sa situation sur un bord de l’Acropole et à l’intensité de lalumière attique.

Où Ictinos, Callicrates et Phidias nous glissent entre les doigts, c’est quand, àl’occasion du dimensionnement des colonnes, les chiffres fournissent froidement la mesureexacte de 10,000 mètres - consécration anticipée de la Convention Nationale Française de1793 !!!

On est ici devant une grandiose sculpture inscrite dans le paysage del’Hymette, du Pentélique, du Pirée et des îles, et non pas devant une construction organiséeessentiellement et nécessairement sur la récurrence des nombres, telle, par exemple, unecathédrale (voûtes et arcs-boutants), telles encore la Tour Eiffel ou tout simplement l’Unitéd’Habitation de Marseille. » (Le Corbusier, (6), p209)

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Il existe deux théories différentes quant au tracé régulateur qui a régil’élaboration des plans :

a) Le schéma dynamique de Hambidge

L’Américain Hambidge, partant de la série des rectangles à côté √2, √3, √4, √5,et du carré d’où ils sont issus propose un système dans lequel les surfaces architecturalesd’une composition seraient apparentées par l’emploi d’un de ces rectangles, ou encore parcelui de plusieurs d’entres eux, le carré constituant leur élément de liaison et d’apparentement.

Fig. 47 Tracé du plan selon Hambidge (d’après Ghyka, (8), p286, et Lurçat, (12), p188)

Pour la façade, le rectangle d’encadrement du fronton [ 1,708 = 2 x (2-1) /(+1)], livre au moyen de quatre diagonales seulement les principales proportionshorizontales et verticales. Tout comme le plan, elle se compose d’une succession de rectangles√5 et de carrés.

Fig. 48 Tracé régulateur de la façade selon Hambidge (d’après Ghyka, (8), p287, et Lurçat, (12), p189)

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Selon lui, ce système serait utilisé aussi bienpour les plans que pour les façades. Il décompose alors leplan du Parthénon suivant le schéma de la figure ci-contre etla façade suivant une trame composée de rectangles √5 et decarrés.

La décomposition du plan n’est cependant pasvalable car le rectangle AIKG, décrit d’après Hambidgecomme un rectangle √5 n’en est pas un. De plus, les pointsdéfinis par cette composition ne représentent pas des pointsexistant en réalité.

b) Le rectangle Parthénon de Mlle Elisa Maillard (Grosjean, (9) p23-26,p44)

Fig. 49 Rectangle Parthénon (Grosjean, (9), p44)

On retrouve ce rectangle dans la construction du Parthénon, tant en plan quedans la façade.

En plan, il y a principalement quatre rectangles Parthénon : ABCD, MNRS,EFLI et JKGH. En effet, BD/BU = RM/RT = et AB/AD = NR/NM = EF/EI = JK/KG =2,164

Fig. 50 Schéma du plan du Parthénon selon Elisa Maillard (Grosjean, (9), p26)

Fig. 51 Reconstitution du temple du Parthénon (Grosjean, (9), p24)

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Le rectangle Parthénon est lerectangle tel que la diagonale divisée par lamédiane égale ou 1,618… Le rapport entre lesdeux côtés vaut alors 2,164. Il a été découvert parElisa Maillard selon sa publication dans « Lescahiers du nombre d’or » en 1943.

Dans la façadeprincipale, le rectangle qui apour largeur les gradins de labase et pour hauteur l’ensemblegradins, colonnes etentablement est un « rectanglePathénon ». C’est-à-dire que ladiagonale (13) divisée par lamédiane (12) égale .

Le détail de la façade du Parthénon ci-dessous est tiré du livre de J-P Grosjeansur le nombre d’or où il essaye de démontrer que le nombre d’or est présent partout, soustoutes ses formes, même parfois sous la forme de 8,9,ou 10. Mais nous pouvons supposer queles mesures de ce détail, logiquement exactes, sont bien dans un rapport de entre elles.

Fig. 52 Détail de la façade reconstituée du Parthénon (Grosjean, (9), p25)

Nous pouvons peut-être expliquerla présence de ce rapport par le fait que lesgrecs, tout comme les égyptiens avant eux ou lesarchitectes qui sont apparus après, se servent desdifférentes mesures du corps humain (paume,palme, empan, pied, coudée, le pouce ou encorela main), pour dessiner les plans de leursbâtiments. Ces mesures étant dans un rapport de entre elles, le bâtiment qui en découle l’estaussi.

Fig. 53 Détail de la façade du Parthénon d’après(Gromort, (10), p288)

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C. L’architecture romane

« La grande œuvre romane est créée pour déclencher le sentimentdu sacré, pour manifester l’inexprimable. La création romane apour raison d’être de transformer les signes en symboles, de leurdonner vie par la manifestation de la vérité spirituelle que l’universrecèle et ignore et qu’il appartient à l’homme de mettre à jour. »(André Malraux)

Il faut prendre ses mesures avec précautions car, contrairement aux édificesgrecs qui étaient à joints vifs, il y a dans l’architecture romane une imprécision due auxépaisseurs de mortier, et une autre due aux corrections apportées aux appareillages. Avec cettedouble altération des hauteurs, la conception primitive ne pourra se dégager qu’indécise etvoilée.

Mais heureusement, c’est sur les seules cotes de hauteurs que portent cesinfluences perturbatrices ; si l’on s’attache aux dimensions en plan, les causes d’indécisionsou d’erreurs cessent d’exister. Or, toutes ces dimensions se cotent en nombres exacts de piedset pouces et l’idée d’une commune mesure n’est autre chose au fond que celle de proportionsréglées sur un module.

Exemple de l’église de Saint-Gall : Longueur 200 pieds, largeur totale 60 pieds,largeur des nefs latérales 20 pieds. (Choisy, (3), p145)

1. L’abbaye de Boscodon (Poïesis, (15), p25)

Dans le plan de l’abbaye de Boscodon, on retrouve le rectangle d’or, la sériedes angles 18°, 36°, 54°, 72° et 108°. On retrouve aussi le cercle, la croix, le carré, lepentagone. On peut en faire une lecture symbolique correspondant à la destination del’édifice : l’église est avant tout un lieu de culte. Pour un chrétien, l’essentiel est de croire aupassage de la mort à la résurrection, des ténèbres à la lumière.

Il faut donc que la construction même de l’édifice et ses proportions rendentcompte de cette montée vers la lumière. De fait, l’entrée de l’église est très sombre, mais au filde la progression, les ouvertures apportant la lumière se succèdent et l’angle d’ouverture versle chevet s’élargit. Arrivé au point O, on voit l’ensemble du chevet avec un maximum delumière, or ce point est aussi un des meilleurs points de résonnance de l’église. Si on chante àcet endroit, le son emplit l’espace admirablement bien.

L’édifice répond à la fois à une intention religieuse, à une intentionarchitecturale, à une intention esthétique (il n’y a aucun ornement ; seules sont soulignées leslignes des voussures), à une intention musicale, avec une préférence pour certains tons.

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La répartition des ouvertures dans l’abside, le cœur et les chapelles annexes,favorise l’entrée de la lumière à l’endroit où s’achève le parcours qui mène le fidèle de la mortvers la résurrection, mais cette répartition (1, 3, 5, 8 au total) traduit une conceptionsymbolique du nombre. (remarque : ces nombres symboliques sont les premiers de la suite deFibonacci).

Fig. 54 Plan de l’église de l’abbaye de Boscodon : tracé déterminant les points remarquables

(Poïesis, (15), p25)

Fig. 55 Quelques points remarquables du plan de l’abbaye de Boscodon

(Poïesis, (15), p26)

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2. Abbaye de Chaalis (près de Paris) (Le Corbusier, (6), p194)

Vérification sur les dimensions duModulor faite par Le Corbusier en 1948.

L’abbaye de Chaalis est une abbayecistercienne du XIIIè siècle.

Il mesure :

A = 2,26m

B = 2,26m

C = 2,26m + 1,40m = 3,66m Fig. 56 Carte postale de l’abbaye de Chaalis

(Le Corbusier, (6), p194)

Puis repart mais revient de suite pour mesurer la largeur de la porte : 1,13m !

Il en conclut que les architectes romans utilisaient la section d’or avec unrepère à l’échelle humaine de 1,82m = 6’.

Fig. 57 Croquis fait par Le Corbusier avec les mesures A, B, C, puis la largeur de la porte

(Le Corbusier, (6), p194)

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D. L’architecture gothique

« La symétrie consiste en l’accord de mesure entre les différentséléments de l’œuvre et l’ensemble. Comme dans le corps humain,elle découle de la proportion. » (Vitruve)

Nous avons vu précédemment combien il est dificile de déterminer avecprécision les mesures des monuments du Moyen-Age, ainsi que les lois qui présidaient à leurmises en proportions : exécution souvent grossière, sujétions de l’appareil, épaisseurs inégalesdes lits de mortier.

Il est pourtant des règles qui se dégagent, entre autre celle des cotes entières etcelle des rapports simples.

En ce qui concerne l’adoption de cotes entières, les vérifications peuvent semultiplier à l’infini : parmi les cotes dont la détermination est la plus sûre, celles desépaisseurs de piles, de contreforts ou de colonnes s’expriment toujours en pieds et pouces pardes chiffres d’une simplicité remarquable ; il est peu d’édifices où l’on ne rencontre, parexemple, des colonnes dont le diamètre ne mesure exactement un pied.

Quant aux rapports simples, dans bien des cas ils se manifestent à premièrevue.

Qu’est-ce qu’un rapport simple ?

Une bonne proportion entre trois éléments est plus délicate à réaliser que s’il nes’agit que de deux, et qu’elle nous impressionne bien moins directement. Les règles quirégissent les proportions exigent d’abord que les rapports que nous avons à évaluer d’un coupd’œil soient en petit nombre, pour que notre impression reste claire.

De même, il serait vain de tenter d’établir des rapports entre des éléments dontles dimensions réelles n’appartiennent pas au même ordre de grandeur. (d’après Gromort, (10), p67)

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1. Notre-Dame et la cathédrale de Nidaros

Dans la façade de Notre-Dame, il est à peine besoin demesures pour saisir l’idée qui a présidé à la mise en proportion : l’intentionévidente a été de donner au corps de la façade un contour en forme de carré, etaux tours une hauteur égale à la moitié du côté du carré de base. (Choisy, (3),p316-317)

Fig. 58 Tracé de base de Notre-Dame(Choisy, (3), p316)

D’après F-M Lund (archéologue norvégienchargé de la restauration de la cathédrale de Saint-Olaf deNidaros à Trondjheim), toutes les directrices obliques fontavec l’horizontale ou la verticale un angle de 63°26’. Cetangle est l’angle à la base du triangle rectangle moité d’undouble carré.

Il essaya de reconstituer les tracés verticauxau moyen de cet élément de figure et, les grandes lignes etles points extrêmes une fois situés, trouva que la plupart desautres lignes et points remarquables de l’édifice se plaçaientd’eux-même dans le graphisme ainsi déterminé.

Il constata que le plan horizontal s’établissaitaussi facilement par une combinaison analogues de doubles

carrés dont les diagonales, les axes et les points d’intersection résultants livraient tous lesdétails d’un plan en parfaite harmonie avec les élévations.

Fig. 59 Tracé régulateur de la cathédrale de Nidaros (dans Ghyka, (8), p299)

Voyant la logique de ces tracés, il s’étonna du fait que certains pointsimportants n’étaient pas déterminés directement par ce tracé. Puis il remarqua que surplusieurs pierres de l’édifice figurait comme « sceau lapidaire » la figure du pentagrammerégulier. Cette indication lui livra la solution complète du problème ; tous les points et toutesles lignes horizontales non encore placées concordaient avec le partage suivant la sectiondorée d’un des espacements ou segments obtenus par les premiers graphiques, partaged’autant plus facile à réaliser que la diagonale du double carré est égale à √5 et que laconstruction élémentaire permet en deux coups de compas d’obtenir le point I tel que BA/IA =IA/BI = .

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Fig. 60 Rapport direct entre le double carré et le nombe d’or(Ghyka, (8), p298,301) et Fig. 61 Tracé de lafaçade de Notre-Dame selon Lund (Ghyka, (8), p313)

Il retrouva ce double carré avec la section dorée dans plusieurs autrescathédrales d’Europe : une église de l’ordre de Citeaux, le dôme de la cathédrale de Milan,York, Reims, Notre-dame,… (Ghyka, (8), p298-313)

M. Lund avait trouvé un autre tracé gothique type partant d’un pentagone,appelé à symétrie pentagonale rayonnante, tout comme l’esthéticien allemand Moessel.

D’après Moessel, lesarchitectes gothiques seraient partis (en plancomme en coupe et en élévation) del’inscription en un ou plusieurs cerclesconcentriques de polygones réguliers. Lesdivisions du cercle donnant ainsi lesprincipaux points de composition del’ensemble.

Prenons l’exemple de lafaçade Notre-Dame de Paris :

Partant de la largeur MN de lafaçade, il construit deux triangles 3, 4, 5accolés, ce qui donne un triangle de 4 de hautpour 6 de base. Le sommet de ce triangle estle centre de la rose. Il construit alors undécagone d’après ce centre et trouve ainsi lespoints principaux de la composition de lafaçade.

Fig. 62 Tracé régulateur de la façade de Notre-Dame selon Moessel (Lurçat, (12), p178)

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2. La cathédrale de Strasbourg (Grosjean, (9), p30-31)

La façade occidentale a été dessinée par Erwin von Steinbach, et construiteentre 1276 et 1291.

Ce tracé de la façade de la cathédrale de Strasbourg laisse apparaître, çà et là,des écarts bien peu importants par rapport aux proportions données par le nombre d’or.

Fig. 63 Mesures suivant le nombre d’or de la façade de la cathédrale de Strasbourg (Grosjean, (9), p30)

On remarquera que la façade est inscrite dans un rectangle ABCD deproportion √. Ensuite apparaît le triangle OMN dit triangle égyptien dont les côtés sontégalement dans le rapport √.

Le tracé comporte aussi d’autres cotes qui sont entre elles dans le rapport de ou √ :

12/11 = 11/10 = 10/9 = 9/8 = 8/7 = 7/6 =

9’/9 = 9/8’ = 8’/8 = 8/7’ = 7’/7 = √

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E. La Renaissance

Indépendamment des relations modulaires, les architectes de la Renaissance ontfait intervenir des relations arithmétiques quelquefois assez complexes.

Palladio conseille, d’après Vitruve, de déterminer la hauteur d’une salle par unemoyenne proportionnelle entre ses côtés.

Le partage en moyenne et extrême raison joue à son tour un rôle important : ilrésulte d’une remarque de M. de Geymüller que, si l’on groupe deux travées de la façade de lachancellerie, la position du pilastre qui les sépare répond à ce partage.

Enfin, à l’exemple du Moyen-Age, la Renaissance a pratiqué ces méthodesgraphiques qui mettent l’ordre dans une composition en établissant entre les parties pour ainsidire un lien géométrique.

Il serait aisé de multiplier les exemples, mais reconnaissons que laRenaissance, non plus que l’antiquité, non plus que le Moyen-Age lui-même, n’accepta jamaisle pur sentiment comme régulateur des proportions, et qu’il admit à la fois comme guides etles relations de nombres et les tracés géométriques. (Choisy, (3), p498-500)

1. L’entre-colonnement de Vitruve

Les Grecs qui employaient constamment les colonnades, attachaient une grandeimportance, non seulement aux proportions des supports eux-mêmes (c’est-à-dire à leurhauteur exprimée en diamètres), mais à celle de l’espace vide qui sépare une colonne de lasuivante. S’inspirant des exemples grecs, Vitruve préconise cinq types d’entre-colonnementscommuns à l’ordre ionique et au corinthien, où les colonnes et le vide qui les sépare ont uneproportion différente suivant que ces supports doivent être plus ou moins écartés. (Gromort, (10),p69-71)

Fig. 64 Entre-colonnements (Gromort, (10), p70)

Comme le dit Choisy ((2), p397) : « il laisse au choix de l’architecte le rapportdu vide au plein, élément capital dont résultera le caractère de force ou de légèreté del’œuvre ; si le plein domine, le fût sera élancé, trapu dans le cas inverse… ».

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F. Le baroque

Les architectes du baroque utilisaient des tracés beaucoup plus complexe àcause des courbes et contre-courbes utilisées. Ils utilisaient beaucoup le tracé de l’ellipse.Celle-ci introduit une dualité entre axialité et centralité.

Deux tracés types étaient principalement utilisés : le plan en structure allongéeet le plan en structure longitudinale centrée.

1. Saint-André du Quirinal de Le Bernin

C’est une église située près de Rome. Le Bernin autilisé ici l’ellipse pour le tracé du plan. Le grand axe de l’ellipse setrouve perpendiculaire à l’axe d’entrée, ceci pour accentuer la dualitéentre centralité et axialité.

Fig. 65 Saint-André du Quirinal, Rome, Le Bernin, vue de la coupole (d’aprèsChristian Norberg-Schulz, « Architecture baroque », Gallimard/electa, Milan, 1979, p72)

Fig. 66 Saint-André du Quirinal, Rome, Le Bernin, Plan avec tracé des axes de l’ellipse (d’après ChristianNorberg-Schulz, « Architecture baroque », Gallimard/electa, Milan, 1979, p72)

En prenant les mesure, on peut remarquer que l’ellipse qui détermine lacoupole est tracée avec un rapport grand axe / petit axe d’environ 1,6 (proche du nombre d’or = 1,618). Coïncidence ?

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G. L’architecture classique française

1. Le petit Trianon

On y trouve, indépendamment des proportions de l’ordre qui conservent leurvaleur, un second élément d’intérêt : c’est le rapport des deux étages que la colonne embrassedans sa hauteur. Si nous comparons toutefois à cette élévation celle qui se présente en arrièrede la grille d’entrée, nous voyons qu’un troisième rapport intervient là dans notreapprécation : c’est celui de la hauteur du soubassement assez élevé et de celle de l’ordonnancequi n’a pas changé. En général, le rapport de deux ordres, dans une façade, suffit à nousintéresser par leur proportion et si, d’autre part, il est fréquent, dans l’architecture du XVIIIesiècle, de voir une hauteur de colonne ou de pilastre embrasser deux étages, il est rare que,dans cette hauteur on ait réussi, d’une façon parfaite, à leur en superposer un troisième.(Gromort, (10), p66-67)

Fig. 67 Façade vers l’entrée (Gromort, (10), p67)

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Analyse suivant une décomposition harmonique de la façade vers le pavillonfrançais.

Fig. 68 Façade vers le pavillon français (Lurçat, (12), p155)

La composition harmonique n’embrasse que les parties supérieures à la lignedu sousbassement, dont l’importance est différente selon les façades, et qui ne peut pour cetteraison entrer dans le cadre de la décomposition. N’est donc analysée que la partie située au-dessus du socle.

Fig. 69 Décomposition harmonique de la façade vers le pavillon français du petit Trianon

(Lurçat, (12), p155)

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En hauteur, il y a trois divisions importantes : le niveau des bandeaux decouronnement des fenêtres du rez-de-chaussée, la base de 1’entablement, et enfin la lignefaîtière de l'édifice donnée par le sommet de la balustrade. Les longueurs trouvées sontrespectivement de 6, de 3, et enfin de 3. Dans le sens de la largeur le rythme se présenteencore plus simplifié puisqu'il ne se manifeste que par la répétition uniforme de la longueur 6.Toutefois, cette uniformité n'est qu'apparente ; les deux sections du milieu se groupent pourconstituer la largeur d'un unique élément : la colonnade, alors que les côtés ne comprennentchacun qu'une longueur de 6 unités. Ces divisions structurales se subdivisent évidemmentpour apporter, en même temps que d'autres indications de hauteur ou de largeur, une plusgrande complexité. Les résultats sont visibles par les cotes échelonnées à droite du schémapour les hauteurs, à gauche et en haut, pour les largeurs.

Les principales lignes de la composition sont maintenant situées. Ainsi sontdégagés des rapports de grandeur simples, et régis par un unique système d'où découle d'unefaçon précise la position des fenêtres des ailes. Dans le but de renforcer l'intérêt de la partiecentrale et d'unifier ainsi tous les éléments importants de la composition, elles sont déportéespar rapport à l'axe vertical médian de cette partie de la façade.

L’ossature de la composition s’inscrit dans des carrés (dans son ensemblecomme dans ses parties), d’où dérive la proportion dominante des éléments principaux qui seprésentent sous la forme de rapports de 1 sur 1 ou de 1 sur 2.

Le système harmonique décelé par l'analyse semble devoir se justifier si l'onpense aux habitudes chères aux architectes du XVIIIe siècle, qui employaient souvent la pro-portion carrée, ou encore celle du double carré. (Lurçat, (12), p154-156)

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H. Le Corbusier et Le Modulor

« La proportion et la composition ne coûtent rien et font la valeurd’une architecture. » (Arséguel)

1. L’unité d’habitation de Marseille (Le Corbusier, (7), p134-155)

Une des premières expériences de mise en application du modulor.

C’est un immeuble destiné à recevoir 1600 habitants et comprenant 26 servicescommuns.

a) Plan et coupe d’un appartement

Fig. 70 Plan type et Fig. 71 Coupe type (Le Corbusier, « Le modulor », p135)

L=366 sr (largeur d’un appartement) M=419=L 366 sb + F 53 sb

K=296 sr I=113 sr E=43 sr A=6,5 sr

J=226 sb D=33 sb (planchers) F=53 sb (planchers avec coupe-feu)

Légende : Les chiffres sont les mesures en centimètres et les notations sr et sbpour série rouge et série bleue.

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Le Corbusier trouve ainsi pour chaque détail et chaque chose une mesure qui asa correspondance avec les dimensions données par le Modulor.

Par exemple, la table de la salle à manger fait 70 sr par 182 sr ; l’entrée de ladouche dans la salle de bains fait 140 sb par 53 sb ; le plan de travail de la cuisine fait 86 sbpar 70 sr.

Fig. 72 Plan et coupe types d’un appartement ; chaque dimension est donnée par leModulor

(Le Corbusier, (7), p 139)

Dans son architecture, Le Corbusier pousse à l’extrême l’application duModulor, et ce jusque dans les moindres détails.

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b) La stèle des mesures et le mur du hall d’entrée

A propos de la stèle desmesures vue lors de l’ouverture duchantier : « Devant la pierre de taille quitrônait au milieu du chantier, chacunpensa qu’il s’agissait véritablement de lapremière pierre de l’édifice. C’était malconnaître les théories de Le Corbusier.En effet, ce maître du béton n’emploiepas de pierre. Le bloc de taille n’était làque pour représenter les proportions quel’on trouve dans tous les calculs de lafuture maison. Chaque hauteur, chaquelargeur, chaque longueur, chaquevolume correspond à cet étalon depierre. Il sera placé à la place d’honneurdu grand hall, au rez-de-chaussée,puisque symboliquement, c’est sur luique repose la construction… » (Hebdomadaire« V » de Marseille, numéro du 2 novembre 1947), (LeCorbusier,(7) , p142)

Fig. 73 La stèle des mesures reprenant les 15 mesures ayant servi pour l’entièreté de la construction.(Le Corbusier, (7), p145)

Fig. 74 Façade Est du hall d’entrée. (Le Corbusier,(7) , p146)

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2. La chapelle de Notre-Dame-du-Haut ; Ronchamps

« Je suis, en principe, contre les modules lorsqu’ils coupent court àl’imagination, prétendant à l’absolu de l’objet et aboutissant à lapétrification de l’invention. Mais je crois à l’absolu d’un rapport(poétique). Les rapports sont, par définition, variables, divers etinnombrables. Je n’accepte pas les canons. Je réclame la présencede l’harmonie entre les objets mis en cause. » (Le Corbusier)

La chapelle de Ronchamps montre que l’architecture n’est pas affaire decolonnes mais affaire d’événements plastiques. Les événements plastiques ne se règlent passur des formules scolaires ou académiques, ils sont libres et innombrables.

Fig. 75 Chapelle de Notre-Dame-du-Haut (Encyclopédie Hachette Multimédia 1999)

« Tout sera cohérent. Le lyrisme, le phénomène poétique, sont déclenchés parl’invention désintéressée, par l’éclat des rapports, toutes choses étant appuyées sur lamathématique impeccable des combinaisons. C’était un plaisir, ici, de jouer des ressourcesdu Modulor tout en surveillant le jeu du coin de l’œil tout en évitant les balourdises. »

(Le Corbusier, (7), p264-268)

Fig. 76 Coupe de la chapelle de Ronchamps(Le Corbusier, (7), p268)

Fig. 77 Plan de la chapelle de Ronchamps(Le Corbusier, (7), p266)

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III. Lesproportions et lestracés régulateurssont-ils toujours

utilisés dansl’architecture

contemporaine ?

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A. Un tracé régulateur particulier au programme

1. UN-STUDIO / Ben van Berkel & Caroline Bos

Ben van Berkel né en 1957 : études d’architecture à l’Académie Rietveldd’Amsterdam et à l’Architectural Association de Londres. Caroline Bos : études d’histoirede l’art au Birbeck College, University of London.

Ces deux architectes ont fondé le groupe UN-Studio à Amsterdam en 1998.

a) Point de départ du projet, le diagramme est aussi un outilde négociation

Quel serait l’outil capable d’aider l’architecte à stimuler et à aménager undialogue avec ses interlocuteurs ? Comment les membres de disciplines aussi diversespeuvent-ils être sûrs de parler d’un même objet ? Et comment fait-on si cet « objet » – lebâtiment en l’occurrence – est encore virtuel ? L’approche classique donne une représentationaussi fidèle que possible du projet final à réaliser. Mais une telle approche instaure desblocages dans la communication. La représentation imagée ne permet qu’un simple choixbinaire : acceptation / refus. Si l’architecte veut modifier son projet, il élabore une série devariantes qu’il pourra soumettre successivement au jugement de son client. Néanmoins cettefaçon de procéder donne au processus de communication une trop grande rigidité à cause dudegré de concrétisation de chaque variante. La cybernétique a montré que certains « réservoirsd’aléatoires » sont indispensables à l’action.

Ben Van Berkel et Caroline Bos proposent une alternative : ils abandonnent laproblématique de la représentation virtuelle. Ils ne projettent guère un état final concrétisé,mais intensifient leurs efforts sur le processus de l’analyse. Afin de briser le gel de lacommunication entre les différents acteurs, UN-Studio utilise et construit des diagrammes.

La réalité diagrammatique est une réalité en soi, un espace imaginaire. Espacede médiation, cette réalité perpétuellement reproduite est un système ouvert dans deuxdirections : premièrement, la mise en relation diagrammatique est susceptible de produired’autres relations imprévues et de provoquer, au-delà de son ordonnancement interne,l’émergence d’autres ordres. Deuxièmement, le processus de conception basé sur lediagramme offre plus de possibilités d’adaptation face aux zones d’intervention. Tous leséléments contextuels – les structures latentes, les flux, les données statistiques, etc. – peuventêtre importés dans ce processus aux flancs ouverts. Par cette double ouverture, l’évolution duprojet est directement connectée à son environnement en vue de sa transformation. (d’aprèsSowa, (22), p45-46)

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Fig. 78 Juxtaposition de tous les diagrammes ayant servis au développement des projets d’UN-Studio(d’après Sowa, (22), p44)

Comme dans le modèle cybernétique, ce processus évolutif fonctionne d’unemanière récursive : causes et effets s’entremêlent dans une re-création, cette mise en relationproduisant à son tour d’autres relations. Mais, dans toute évolution, cette approche nécessitede prendre en compte la donnée temporelle, d’où la notion de deep planning (planification enprofondeur) forgée par Ben van Berkel et Caroline Bos, notion qui leur permet d’établir lesrapports spécifiques qu’entretiennent leurs œuvres avec le temps. (d’après Sowa, (22), p46)

2. Maison Möbius, ‘t Gooi, Pays-Bas, 93-97

Comme dans beaucoup de projets de UN-Studio, cette maison a été conçue surla base d’un diagramme. Dans ce cas précis, c'est le ruban de Möbius (surface à un seul bordet à un seul côté formée par la torsion d'une bande de papier sans fin) qui a été choisi commeoutil de négociation avec le client.

Fig. 79 Schémas d’organisation fonctionnelle

(d’après Sowa, (22), p.78)

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Sans vouloir traduire littéralement ce ruban par une œuvre construite, lesarchitectes se sont appuyés sur certaines caractéristiques de cette forme topologique en boucle.La propriété paradoxale du ruban de Möbius est que tous les points des deux surfaces –externe et interne – sont accessibles en un seul mouvement continu. Au cours de cemouvement, l'extérieur et l'intérieur, le dessus et le dessous alternent sans que l'on soit capabled'indiquer où se situent les points de changement. (d’après Sowa, (22), p78)

Commencer à travailler sur une maison individuelle avec une telle formepermettait aux architectes d'orienter leur recherche et d'enrichir leurs propositions. Cetteapproche, en modifiant la vision de la maison, impliquait de revoir sa disposition interne ainsique son rapport avec l'environnement. Dans la maison Möbius, le rapport entre les pièces – etla circulation qui les relie – sort des schémas classiques.

Fig. 80 Façade sud et Façade nord (d’après Sowa, (22), p82)

Fig. 81 Vues intérieures (d’après Sowa, (22), p85)

Les pièces de la maison perdent leur indépendance pour devenir des stationssur un trajet parcourant toute la maison. La boucle spatiale coïncide ici avec la boucletemporelle des vingt-quatre heures de la vie quotidienne. Les mouvements diurnes etnocturnes sont organisés comme un parcours le long duquel les habitants trouvent des espacesspécifiques. (d’après Sowa, (22), p78)

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Fig. 82 Vue de la maquette d’étude

(d’après Sowa, (22), p84)

Fig. 83 Répartitions des différents usages pendant une boucle de 24 heures

(d’après Sowa, (22), p49)

Afin d’accentuer l’ambiguïté spatiale, les architectes utilisent des parois vitréespour cloisonner certains espaces et intègrent des éléments porteurs en béton armé dansl’aménagement intérieur. Comme pour le ruban de Möbius, dont la surface est tantôtextérieure tantôt intérieure, le caractère des différentes parties de la maison change en fonctionde la communication visuelle avec l'environnement. Au cours de la promenade à travers lademeure, on aperçoit certains espaces aux parois entièrement vitrées, volontairement illimités,qui sont exposés au paysage extérieur. (d’après Sowa, (22), p78)

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Fig. 84 Plan du rez-de-chaussée

(d’après Sowa, (22), p79)

Fig. 85 Vues intérieures

(d’après Sowa, (22), p82-83)

Le choix de prendre la promenade comme thème principal est motivé par larichesse extraordinaire du site naturel dont l'aménagement paysager a été confié à l'agencenéerlandaise West 8. Par l'altération de parois opaques et transparentes, le trajet en boucle dela maison Möbius est conçu comme une promenade à travers le paysage. (d’après Sowa, (22), p78)

3. conclusion

On peut considérer ce tracé régulateur comme particulier mais il a cecid’intéressant qu’il est nouveau pour chaque création et pour chaque bâtiment.

Changeant à chaque fois, il ne fige pas le bâtiment dans une trame, mais permetune évolution de la forme et de l’architecture.

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B. L’image du passé

1. La pyramide du grand Louvre de Pei (Paris)

Ieoh Ming Pei est architecte et urbaniste américain d’origine chinoise (Canton1917). Adepte du modernisme assoupli, il est établi à New York.

Fig. 86 Vue de nuit de la pyramide du Louvre

(travail de théorie 2002 de T. Grégoire)

C’est en 1981 que le Président de laRépublique décide d’affecter au musée la totalité dupalais du Louvre. Le projet est confié à Ieoh MingPei, qui propose la construction d’un vaste espacesouterrain sous la cour Napoléon. Celui-ci seraitilluminé par une pyramide de verre de 35m de côtésur 21,6m de haut (d’après J-P Grosjean « Le nombre d’or », p29).Celle-ci servirait à la fois d’entrée et d’éclairagepour le hall et les distributions. C’est à la fois unestructure transparente, mais aussi un monumentinvisible.

De nuit, éclairée de l’intérieur, elleoffre un spectacle grandiose grâce aux élémentsvitrés qui forment ses faces et mettent cette bellegéométrie remarquablement bien en valeur.

L’édifice devait représenter une prouesse aussi bien conceptuelle quetechnique, elle devait donc être un monument invisible. En effet, transparence, invisibilité etimmatérialité ont été les maitres-mots pendant les trois années qui servirent à Ieoh Ming Pei etses collaborateurs à élaborer le projet.

Fig. 87 Plan et façade de la pyramide du Louvre (AA, n°253, octobre 1987, p64)

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La partie du projet visible de la voie publique se constitue d’un objet simple :une pyramide à base carrée complètement vitrée pour répondre aux exigences d’immatérialité.

Une des questions couramment posées est la suivante : peut-on retrouver dansla pyramide du grand Louvre les proportions de la grande pyramide de Khéops ?

Prenons ses dimensions et comparons :

c/h = 27,8/21,6 = 1,287 (1,272 pour la grandepyramide)

c/a = 27,8/17,50 = 1,588 (1,618 pour la grandepyramide)

h/a = 21,6/17,5 = 1,234 (1,272 pour la grandepyramide)

Fig. 88 Perspective de la pyramide du Louvre (Grosjean, (9), p29)

On peut remarquer que les proportions des deux pyramides sont très proches.

Pei s’est-il inspiré des proportions de la grande pyramide ?

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C. Quand le programme l’exige !

1. Le stade de Bari de Renzo Piano

Le stade de Bari fut réalisé à l’occasion de la Coupe du monde de Football de1990.

Renzo Piano a voulu intégrer un bâtiment de grande ampleur sur une plaineplantée d’oliviers.

La première impression est celle d’une corolle aux pétales tournés vers le ciel.Les parois n’apparaissent pas comme des façades mais plutôt comme des enveloppesprotectrices.

Fig. 89 Photo extérieure du stade de Bari et implantation

(d’après http:\\www.rpwf.org\frame_works.htm et B.Buchanan, « Renzo Piano Building Workshop Complete Works », Vol.1)

« …Un stade est, par définition, un contenant : un espace destiné à être remplipar des évènements et des spectateurs. C’est pourquoi le projet du stade de Bari repose surun élément central -l’espace-, que nous avons traité à deux niveaux : tension entre les pleinset les vides, et tension entre la forme de la construction et la forme du lieu. Sous un certainaspect, ce projet est une recherche sur les possibilités expressives du vide : le stade estcaractérisé par des failles, des compressions et des expansions qui font de ce vide l’acteurprincipal du lieu… » (Renzo Piano)

(Renzo Piano , « Carnet de travail » , Edition du Seuil, Paris, 1997)

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Le stade, de 60.000 places assises, est construit sur un système rayonnant à 22 axes.Le complexe entier apparaît seulement dans la partie supérieure, raccordé au terrain au moyend’une couronne de verdure.

Fig. 90 Vue en plan

(B.Buchanan, « Renzo Piano Building Workshop Complete Works », Vol.1)

L’implantation sportive est générée par une géométrie qui optimise la courbede visibilité des spectateurs et se développe avec un système radial.

Renzo Piano a utilisé ici (directement ou indirectement) la théorie de K.Lloveras, ou théorie TK des proportions visuelles, c’est-à-dire la personne projectuelle et son« cône de vision ».

Dans ce cas, le tracé est imposé par l’exigence du programme. Les angles devue sont étudiés en fonction de l’homme et pour l’homme. La forme générale du stade dépendessentiellement de ces angles de vue.

Ce raisonnement devrait se retrouver dans tous les bâtiments ayant la mêmefonction : non seulement les stades de football mais aussi les salles de basket-ball, les courtsde tennis,…

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D. Tracé régulateur ?

1. Bernard Tschumi

Né en 1944 à Lausanne (Suisse). Architecte et théoricien établi à New-York età Paris. En 1969, Il est diplômé de l’école polytechnique fédérale de Zurich. En 1983, il est lelauréat du concours pour le parc de la Villette à Paris.

Pour Tschumi, l’architecture est à la fois mouvement, espace et événement.L’architecte a la maîtrise sur le mouvement et l’espace, mais il ne maîtrise pas l’événement. Ilne peut que produire les conditions de l’événement. L’espace et le mouvement sont vecteursdirecteurs d’un projet. Ce n’est pas de la sculpture, il n’y a pas de volonté de produire un belobjet, mais celle de produire des lieux que les gens pourront détourner et réinventer. C’est ladéfinition d’une vision fractale. Chaque bâtiment est conçu comme un fragment traduisantl’inachèvement et la complexité de la ville. L’espace aléatoire ou organisé résulte d’unemême logique : il y a un moment où un espace émerge autour duquel s’organisent lesfonctions solides du bâtiment

2. Le parc de La Villette (Paris)

a) Le concept

Jamais un parc urbain n’avait été projeté en combinant et en juxtaposantdiverses activités dans la ville. Le parc de la villette pose le problème des activités dans laville. Tschumi considère que la création d’événements fait autant partie de l’architecture quel’élaboration des formes ou styles. Il dit que l’architecte peut contrôler la composition desformes mais pas les événements qui vont s’y dérouler. Le programme du parc comprend desateliers, des gymnases, des terrains de jeux, des lieux d’exposition, de sport, de concerts etc..Cela en addition au Musée des Sciences et de l’Industrie et de la cité de la musique. Le parcpeut ainsi être considéré comme un des plus grands bâtiments jamais construit, un édificediscontinu mais possédant une structure unique, se superposant danscertaines de ses parties avec la ville et sa banlieue. Pour Tschumi, leconcept de parc urbain ne peut être dissocié du concept de la ville.Tschumi arrive à une solution structurelle simple: l’éclatement desbesoins programmatiques à travers l’ensemble du site en une grillerégulière de points d’intensité appelés “FOLIE”. Chaque foliesemble être isolée, nue, indifférenciée mais elle fait partie d’unestructure complexe composée de trois systèmes autonomes: lespoints, les lignes et les surfaces (cf. Kandinsky). (d’aprèshttp:\\www.tschumi.com)

Fig. 91 Tableau de W. Kandinsky : Lignes angulaires (Encyclopédie Hachette Multimédia 1999)

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Fig. 92 Le parc de La Villette (The Arch. Review, (24), p54)

POINTS : Les besoins programmatiques ont d’abord été éclatés en une série defragments répartis sur une grille.

Les points sont symboles de la fragmentations, de l’éclatement de la sociétécontemporaine et sont recombinables selon une série de permutations.

LIGNES : Les axes piétonniers sont formés par deux axes perpendiculaires,une promenade "cinématique" sinueuse reliant les différentes parties du parc et des alléesd’arbres reliant les différentes activités.

SURFACES : Les surfaces ont chacune leur propre structure encorrespondance avec les besoins du programme.

Fig. 93 Le parc de La Villette : un point (une folie) et une ligne (un des deux axes perpendiculaires) (TheArch. Review, (24), p56,57)

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b) Composition ou simulation de composition ?

A première vue, ces systèmes indépendants forment un ensemble structuré,mais comme le dit Bernard Tschumi : « Toute composition est rendue volontairementimpossible par la superposition des différents systèmes autonomes. Sans centre ou hiérarchie,la grille ponctuelle n’est rien d’autre qu’un simulacre de structure, une métaphore. » (AMC, n°17, octobre 1987, p22)

« Avec La Villette est recherchée une architecture qui ne signifie rien, qui soitune trace pure, un pur signifiant, sans signifié usuel. Que l’architecture ne soit plusl’articulation d’un symbole et d’une interprétation, mais qu’elle soit un libre jeu delangage. » (AMC, n°17, octobre 1987, p20)

Alors, cette structure est-elle malgré tout un élément de composition perçucomme tel, ou bien n’est-ce vraiment qu’un simulacre de structure, une métaphore ?

Fig. 94 Vue tridimensionnelle du système point-ligne-surface (The Arch. Review, (24), p59)

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E. Les principes de Philippe Samyn

1. La géométrie dans l’architecture

L’architecture se déploie dans un champ de préoccupations que l’on peut tenterde circonscrire. Elle est le résultat de plusieurs composantes qui entrent en relation et secombinent dans un espace à quatre dimensions : la géométrie, la psychologie, la matière et ladimension cognitive.

Elles sont toutes les quatre étroitement liées.

La géométrie

« Nous avons l'obligation de tenter de comprendre et de questionner enpermanence. La création va de pair avec l'invention et la découverte. On peut chercher uneraison à tout et il est important d'essayer de le faire, même au risque de l'erreur qui nousguette. Les réflexions sur la géométrie sont passionnantes. La géométrie, c'est l'abstraction,c'est Dieu. Les grands archétypes ont leur raison d'être. Par exemple, dans un article intituléPhysiological Beauty de Architectural Review d'avril 94, Brian Avery montre commentgéométrie et physiologie peuvent se rejoindre. L'œil au repos a une zone d'acuité parfaitequi est définie par un rectangle d'or pour la vue à distance et par le triangle de Pythagore3.4.5 pour la vision rapprochée. Ce genre de découverte est merveilleusement apaisante etpourrait expliquer l'existence de règles harmoniques. Il y a un réconfort de l'âme à ce genrede leçon. Comprendre, ou du moins avoir l'illusion de comprendre, est réjouissant.

Pour créer, il faut avoir la volonté de savoir. Il est dangereux d'échafauder desthéories fausses, d'œuvrer sur des idées secondaires. Il nous faut sans cesse continuer àapprendre, c'est notre devoir. Une autre réflexion dont j'ai tiré profit est celle que fait leDominicain Van der Laan dans Architectonic space. A partir de Platon, le nombre d'or acohabité avec le triangle de Pythagore, alors que celui-ci est en fait plus approprié pourproportionner un espace unidimensionnel. L'engouement de la Renaissance italienne pour lenombre d'or est venu de Platon et elle l'a appliqué aux deux dimensions. Le Corbusier avaitune motivation de peintre qui l'attirait naturellement vers le nombre d'or. Il l'a habilementcodifié dans le Modulor, en puisant notamment chez Matila Ghyka, pour son usage, àl'espace tridimensionnel, et à tort selon moi. Van der Laan part du volume, des troisdimensions directement et démontre magistralement l'évidence du triangle de Pythagore pourproportionner l'espace tridimensionnel. Pour le siège de la Compagnie Nationale àPortefeuille, le maître d'ouvrage m'a demandé de concevoir un bâtiment d'allure classique jel'ai proportionné selon le triangle de Pythagore, rencontrant les valeurs qu'il cherchait dansles grands modèles qu'il m'avait cités. » (P. Samyn, (18), p14)

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Exemples du Siège de la Compagnie Nationale à Portefeuille à Gerpinne.2603m². Projet de 1994-1997.

« Le principe de composition du plan est celui d’un carré divisé en rectanglesde Pythagore. » (P. Samyn, (18), p13)

Fig. 95 Photo extérieure

Fig. 96 Implantation et vue en plan du rez

Fig. 97 Façade Nord et façade ouest

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« On peut concevoir des bâtiments d'une très haute technologie, mais dontl'aspect repose sur une assise intellectuelle classique. Je crois plus que jamais que traditionet modernité, tradition et invention peuvent s'accorder. Je pense beaucoup depuis trois ans àla colonne qui est à la fois la structure et le volume parfaits ainsi qu'à son complément, lacorde tendue, qui est l'invention de la droite. II est important que les proportions de lacolonne soient justes. Elles ont souvent été maltraitées. Quand un pilier doit-il devenir unecolonne ? La colonne travaille à plein rendement et le flambage ne l'inquiète pas lorsque sonélancement géométrique est inférieur à 12. Plus élancée, la colonne utilise mal la matière. Lacolonne grecque présente précisément des élancements géométriques compris entre 8 et 12.La forme cylindrique est clairement associée à la notion de colonne dans ces proportions,quant à la forme parallélépipédique, elle est associée à la notion de pilier dont lesélancements géométriques sont inférieurs à 8. Le pilier du temple d'Hatchepsout à Deir ElBahari présente par exemple un élancement de 5. On retrouve cette proportion dans lestemples d'Ajanta en Inde. Une colonne d'un élancement supérieur à 12 se transformegraduellement en poutre sujette à flexion voire en mât. On maîtrise toujours mieux un outildont on essaye de saisir la genèse.

Espace et volume sont deux notions à distinguer. Le sculpteur peut s'employerà créer un volume seul. Pas l'architecte. Chez lui, l'espace a la primauté sur le volume, sontraitement et ses rapports avec la lumière sont complexes à maîtriser et constituent laspécificité même de l'architecture. Pour que celle-ci advienne, il faut nécessairement quecette partie vide qui est au cœur et à l'entour de toute construction fasse l'objet d'uneperception, et fasse appel aux sens. Et on rencontre la physiologie. » (P. Samyn, (18), p14)

Exemple du projet pour un Atelier de la menuiserie Pro-jet, avec espaced’exposition et bureaux pour M. Patrick Gubin. Zoning industriel de Wauthier-Braine.1000m². Projet de 1992.

Le tracé régulateur est ici poussé à l’extrême.Fig. 98 Façade

Fig. 99 Coupe avec tracé régulateur

Fig. 100 Vue de la maquette

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Conclusion

La plupart des architectes n'ont-ils pas oublié aujourd'hui que la grandearchitecture est aux origines même de l'humanité et qu'elle est fonction directe des instinctshumains ?

Quand on voit les maisonnettes de la banlieue de Paris, les villas des dunes deNormandie, les boulevards modernes et les expositions internationales, n'a-t-on pas lacertitude que les architectes sont des êtres inhumains, en dehors de l'ordre, loin de notre être etqui travaillent peut-être pour une autre planète ?

C'est qu'on leur a appris un bizarre métier qui consiste à faire accomplir par lesautres, - maçons, charpentiers ou menuisiers -, des miracles de persévérance, de soin etd'habileté, pour élever et faire tenir des éléments (toits, murs, fenêtres, portes, etc.) qui n'ontplus rien de commun entre eux et qui n'ont vraiment pas pour but, pour résultat, d'être utiles àquelque chose.

L'architecture est la première manifestation de l'homme créant son univers, lecréant à l'image de la nature, souscrivant aux lois de la nature, aux lois qui régissent notrenature, notre univers. Les lois de pesanteur, de statique, de dynamique s'imposent par laréduction à l'absurde : tenir ou s'écrouler.

Un déterminisme souverain éclaire à nos yeux les créations naturelles et nousdonne la sécurité d'une chose équilibrée et raisonnablement faite, d'une chose infinimentmodulée, évolutive, variée et unitaire.

Les lois physiques primordiales sont simples et peu nombreuses, tout commeles lois morales.

L'homme d'aujourd'hui rabote à la perfection une planche avec une raboteuse,en quelques secondes. L'homme d'hier rabotait une planche assez bien avec un rabot.L'homme très primitif équarrissait fort mal une planche avec un silex ou un couteau, mais ilemployait un module et les tracés régulateurs pour rendre sa besogne plus facile. Le Grec,l'Égyptien, Michel-Ange, ou Blondel employaient les tracés régulateurs pour la correction deleurs ouvrages et la satisfaction de leur sens artistique, de leur pensée mathématique.L'homme d'aujourd'hui n'emploie rien du tout et fait le boulevard Raspail. Mais il proclamequ'il est un poète libéré et que ses instincts suffisent ; mais ceux-ci ne s'expriment qu'aumoyen d'artifices acquis dans les écoles. Un lyrique déchaîné avec carcan au cou, quelqu'unqui sait des choses, mais des choses qu'il n'a ni inventées ni même contrôlées, qui a perdu aucours des enseignements reçus cette candide et capitale énergie de l'enfant questionnantinlassablement : « pourquoi ? ».

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Un tracé régulateur est une assurance contre l'arbitraire : c'est l'opérationde vérification qui approuve tout travail créé dans l'ardeur, la preuve par neuf de l'écolier, leC.Q.F.D. du mathématicien.

Le tracé régulateur est une satisfaction d'ordre spirituel qui conduit à larecherche de rapports ingénieux et de rapports harmonieux. Il confère à l'oeuvre l'eurythmie4.

Le tracé régulateur apporte cette mathématique sensible donnant laperception bienfaisante de l'ordre. Le choix d'un tracé régulateur fixe la géométriefondamentale de l'ouvrage ; il détermine donc l'une des impressions fondamentales. Le choixd'un tracé régulateur est un des moments décisifs de l'inspiration, il est l'une des opérationscapitales de l'architecture. (d’après Le Corbusier, cité dans Poïesis, (15), p147)

Ces paroles de Le Corbusier donnent à elles seules l’importance et l’utilité destracés régulateurs, quels qu’ils soient. C’est par ce tracé que le bâtiment prend sa formeinitiale qui deviendra par la suite sa forme finale.

L’architecte ne peut pas se fier uniquement à son instinct pour créer, mais ildoit utiliser tous les outils en sa possession, tant pour s’assurer que son œuvre est belle etagréable à regarder, que pour s’assurer du bien-être des personnes.

Les quelques exemples étudiés dans la dernière partie de ce mémoire montrentcomment et pourquoi les architectes modernes utilisent les tracés régulateurs. Certains encréent des nouveaux grâce aux techniques actuelles, d’autres utilisent les tracés étudiés par lesanciens, d’autres encore utilisent un semblant de structure.

Mais tous les architectes qui utilisent des tracés le font pour l’homme qui estomniprésent lors de l’élaboration d’un projet.

Les techniques anciennes de tracés n’ont donc pas disparu, elles ont évolué etse sont multipliées pour une plus grande diversité d’espaces, d’ambiances et d’architectures.

Evidemment, certains tracés ont été omis (volontairement ou non) pour desraisons de clarté et de compréhension. Pour compléter le sujet, il faudrait une étude plusapprofondie ainsi que quelques volumes de plus.

4 Harmonie dans la composition d’une œuvre artistique.

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Table des matières

Remerciements

Introduction

I. Théorie : les différents tracés régulateursA.Généralités sur les formes

1.L’évolution (Ghyka, (8), p31)2.Notion du beau selon Kant 3.Symbolisme de la forme

B.Le nombre d’or, section dorée, proportion divine, …1.Détermination du nombre d’or et définition (Ghyka, (8), p31)2.La valeur numérique3.Le nombre d’or et l’esthétique4.Conclusions sur le nombre d’or

C.Autres tracés régulateurs harmoniques1.Le pentagone : omniprésence du nombre d’or2.Autres rectangles dynamiques3.Les triangles

a)Le triangle 3, 4, 5b)Un autre triangle « égyptien »c)Le triangle présenté comme « égyptien » par Viollet-le-Ducd)Le triangle du pentalphae)Le triangle dont la hauteur est égale à la base

4.La spirale ou croissance harmonieuse

D.Le Modulor (Le Corbusier, (6 et 7))1.Ambiance, milieu, circonstances et déroulement de la recherche

a)Préambule :b)Chronologiec)Mathématique

2.Réalités pratiques (Le Modulor : simple outil)

E.L’héritage roman 1.Une question2.Les références des bâtisseurs3.Un tracé fondamental

F.La théorie TK des proportions visuelles1.Argument2.Les chemins de la proportion

a)Les chemins de baseb)Les chemins profonds

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3.Le pourquoi de la théorie TK4.La composition visuelle5.La géométrie de la perception visuelle et l’époque médiévale.6.La perception visuelle aujourd’hui

II. Les proportions dans l’histoireA.L’art des Egyptiens

1.La pyramide de Chéops (Ghyka, (8), p339-368)a)Son orientationb)Son emplacement sur la terrec)Sa dimension par rapport au système solaired)Ses particularités géométriquese)La Chambre du Roif)La Chambre de la Reineg)L’hypothèse de Jarolimek et de Kleppish

2.Un bas-relief du temple de Séti Ier à Abydos3.Un bas-relief représentant Ramsès II

B.L’art des Grecs1.Le Parthénon

a)Le schéma dynamique de Hambidgeb)Le rectangle Parthénon de Mlle Elisa Maillard (Grosjean, (9) p23-26,

p44)

C.L’architecture romane1.L’abbaye de Boscodon (Poïesis, (15), p25)2.Abbaye de Chaalis (près de Paris) (Le Corbusier, (6), p194)

D.L’architecture gothique1.Notre-Dame et la cathédrale de Nidaros2.La cathédrale de Strasbourg (Grosjean, (9), p30-31)

E.La Renaissance1.L’entre-colonnement de Vitruve

F.Le baroque1.Saint-André du Quirinal de Le Bernin

G.L’architecture classique française1.Le petit Trianon

H.Le Corbusier et Le Modulor1.L’unité d’habitation de Marseille (Le Corbusier, (7), p134-155)

a)Plan et coupe d’un appartementb)La stèle des mesures et le mur du hall d’entrée

2.La chapelle de Notre-Dame-du-Haut ; Ronchamps

III. Les proportions et les tracés régulateurs sont-ilstoujours utilisés dans l’architecture contemporaine ?

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A.Un tracé régulateur particulier au programme1.UN-STUDIO / Ben van Berkel & Caroline Bos

a)Point de départ du projet, le diagramme est aussi un outil denégociation

2.Maison Möbius, ‘t Gooi, Pays-Bas, 93-973.conclusion

B.L’image du passé1.La pyramide du grand Louvre de Pei (Paris)

C.Quand le programme l’exige !1.Le stade de Bari de Renzo Piano

D.Tracé régulateur ?1.Bernard Tschumi2.Le parc de La Villette (Paris)

a) Le concept b)Composition ou simulation de composition ?

E.Les principes de Philippe Samyn1.La géométrie dans l’architecture

Conclusion

Table des matières

Bibliographie

Revues

Autres sources

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Bibliographie

1) Barbara L. Begelsbacher-Fischer, photos de Maximilien Bruggmann, « Arts etcivilisations, l’Egypte », Editions Artis-Historia, Bruxelles, 1987, 158 pages

2) Auguste Choisy, « Histoire de l’architecture », Tome I (482 pages), librairie GeorgesBaranger, Paris, rue des Saints-Pères, 5

3) Auguste Choisy, « Histoire de l’architecture », Tome II (593 pages), librairie GeorgesBaranger, Paris, rue des Saints-Pères, 5

4) Focus Bordas, « Nouvelle Encyclopédie Internationale », Volume VI, Paris, 1975, 4028pages

5) L. Cloquet, « Traité d’architecture », Tome V, Esthétique, composition et décoration,Paris et Liège, Librairie polytechnique, CH. Béranger, éditeur, Paris, rue des St-Pères 15,Liège, rue de la Régence 21, 1901, 609 pages

6) Le Corbusier, « Le modulor », Tome I (240 pages), L’architecture d’aujourd’hui, Paris,1983

7) Le Corbusier, « Le modulor », Tome II (344 pages), L’architecture d’aujourd’hui, Paris,1983

8) Matila C. Ghyka, « Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts », éd.Gallimard (NRF), Paris, 43, rue de Beaune, 1927, 452 pages

9) J.-P. Grosjean, « Le nombre d’or, 1.618 », Mode d’emploi en design et esthétiqueindustrielle, éditions H. Vial, décembre 1999, 195 pages

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10) Georges Gromort, « Essai sur la théorie de l’architecture », cours professé à l’écolenationale des Beaux-Arts de 1937 à 1940, Paris, éd. Vincent, Fréal et cie, rue des Beaux-Arts 4, 1946, 396 pages

11) René Huyghe, « Formes et forces », de l’atome à Rembrandt, Flammarion, 1971, 431pages

12) André Lurçat, « Formes, composition et lois d’harmonie », Tome V, éléments d’unescience de l’esthétique architecturale, éd. Vincent, Fréal et cie, Paris, Rue des Beaux-Arts4, 420 pages

13) Andrea Palladio, « Les quatre livres de l’architecture », imprimerie d’Edme Martin, RueSt-Jacques, au soleil d’or, éd. Arthaud, 1980, œuvre originale de 1650 traduite par Freartde Chambray, 436 pages

14) « Poïesis », Architecture, arts, sciences et philosophie, n°1 : « La mesure de l’homme »,juin 1994, 190 pages, éd. AERA, 1995

15) « Poïesis », Architecture, arts, sciences et philosophie, n°2 : « La proportion et lacomposition », janvier 1995, 198 pages, éd. AERA, 1995

16) Amos Rapoport, « Pour une anthropologie de la maison », Dunod, Collection Aspects del’Urbanisme, Paris, 1972, 187 pages

17) Colin Rowe, « The mathematics of the ideal villa and others essays », The MIT press,Cambridge, Massachusetts, and London, England, 1976, 223 pages

18) Philippe Samyn et Pierre Loze, « Devenir moderne ? Entretiens sur l’art de construire »,Pierre Mardaga éditeur, Liège, 1999, 198pages

19) Curt Siegel, « Formes structurales de l’architecture moderne », Eyrolles éditeur,Boulevard St-Germain 61, Paris Vè, 1965, 485 pages

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20) Vitruve, « Les dix livres d’architecture » corrigés et traduits en 1684 par Claude Perrault,Pierre Mardaga éditeur, 1979, 354 pages

21) B.Buchanan, « Renzo Piano Building Workshop Complete Works », Vol.1, Londres,Phaïdon press, 1993

Revues

22) SOWA Axel, L’Architecture d’Aujourd’hui, « UN-Studio : les outils de projétation »,n° 321, mars 1999, Paris, p44-85

23) AMC, « Les travaux de Bernard Tschumi », n°17, octobre 1987, p2-50

24) The architectural review, article de Peter Blundell Jones, « La Villette », n°1110, août1989, p54-59

Autres sources

25) Emile Pequet, mathématicien géomètre, collaborateur de l’université, séminaire debibliographie historique du 23 janvier 2002, présence du nombre d’or en géométrie, dansles arts et chez les mystiques.

26) Internet : http:\\ www.tschumi.com

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