• Réseau :• Ensemble de points (nœuds) de positions :

Ruvw = u a +v b + w c(a, b, c) vecteurs de base, (u, v, w) entiers.

• Maille :• Volume qui pave l’espace sans vide ni recouvrement, en gal parallélépipédique (a,b,c)

• Maille primitive (un nœud), multiple (symétrie) : élémentaire (unit cell)

• Mailles conventionnelles :

Symétrie de position :

Ordre périodique

P : primitif F : Faces centrées I : Corps centré A,B,C : Face centrée

a

b

c

• Seules les rotations d’ordre 1, 2, 3, 4, 6sont compatibles avec la périodicité• Tout axe de symétrie An est orthogonal à un plan

réticulaire

• Symétrie d’un plan orthogonal à l’axe An

• BB’ vecteur du réseau

• BB’=T-2Tcos=mT

cos=p/2

Symétrie ponctuelles dans les réseaux

An

/n

T

A2 A’2

T

An

B B’

A’n

T

An(T) A-n(-T) p cos n=2/ BB'

- 2 - 1 2 3T

- 1 - 0.5 2/ 3 3 2T

0 0 / 2 4 T

1 0.5 / 3 6 0

2 1 0 1 0

• Pavage du plan• Sans vide ni recouvrement

• Découvert par Kepler en 1619 : « Harmonices Mundi »

2 3

4 6

Seules symétries compatibles avec la translation : 1, 2, 3, 4, 6

5 8

Vers un pavage de Penrose

1

Réseaux 2D

Oblique : p Rectangulaire : p Rectangulaire : c Carré : p Hexagonal : p

•À 2D• 4 systèmes (systèmes)

• 5 modes de réseau

•À 3D• Empilement de réseaux 2D respectant la symétrie (Ex.

carré)

P I

Les réseaux

de BravaisTricliniquea b c

Monoclinique

a b c==

90°

Orthorhombiquea b c

= ==90°

Tétragonala = b c

===90°

Rhomboédriquea = b = c

==

Hexagonala = b c

==90°;=120°

Cubiquea = b = c

===90°

P I F C

1

2/m

2/mmm

4/mmm

3m

6/mmm

m3m

_

_

_

• À 3D• 7 systèmes (symétrie) • 14 modes de réseau

• Les systèmes de Bravais

32 classes de symétrie

d’orientation

m3 43m m3m

3 4 6=3/m2=m1

32 422 622222

_ _ _ _ _

3 4 621

4/m 6/m2/m

3m 4mm 6mm2mm

3m 42m (4m2) _ _ _

62m (6m2) _ _

4/mmm 6/mmmmmm

43223

_ _ _

Tri

clin

iqu

e

Mon

oclin

iqu

e

Ort

horh

om

biq

ue

Tri

gon

al

Tétr

ag

on

al

Hexag

on

al

Cu

biq

ue

• Groupes ponctuels

cristallographiques

• Les 7 systèmes cristallins

• Classe holoèdre :ayant la symétrie du

réseauEx : Tétragonal (4/mmm)

... hémièdres, tétartoèdres

Maille de Wigner-Seitz

• Ensemble des points plus proches de l’origine que de n’importe quel autre

point• Maille primitive, ayant la symétrie ponctuelle du réseau

• Dans l’espace réciproque : Zone de Brillouin

Maille conventionnelle

Maille de W-S

Relations entre les 7 systèmes

Hexagonal

Trigonal

Cubique

Tétragonal

Orthorhombique

Monoclinique

Triclinique

• Relations groupe/sous-groupe

• Brisure de symétrie • Transitions de phases du 2e

ordre

4 2L

L

L

L+

6 3L

L

L

L-

Symétrie de position : groupe d’espace

• Mauritz Cornelis Escher• Graveur néerlandais

(1898-1972)

.Groupe P4

Nouvelles symétries

Réflexions

Réflexionsavec glissement

Réflexionsavec glissement

Groupe P4gm

Opérations de symétrie

non-symorphiques

T

T/2

M

21 41 42 61 64

• Réflexion avec glissement (M,t)

• Après deux opérations M, périodicité T• t=T/2

• Translations hélicoïdales (AN, t)• Après N translations t on retrouve la périodicité : mc• t = mc/N

• Combinaison (O, t) O : Rotation, Réflexion

rotatoireT : translation

• Notation :a, b, c, n, d, g

• Notation :Nm

(AN, mc/N)

Opération de symétrie de position

• Rotations• Réflexions rotatoires

•Translations hélicoïdales

• Réflexion• Réflexions avec glissement

Groupes d’espace• 230 groupes d’espace

• 7 systèmes cristallins

• Notations• Directions primaire secondaire et

tertiaires• Mode de réseau

• Éléments générateurs

• Groupe ponctuel du cristal

• Sans translation

I41/amd

4mmm

Tétragonal corps centré

Unité asymétrique

http://escher.epfl.ch/escher/

Symétrie

• Symétries de position

• Translations• T= u a + v b + w c

• Symétries autorisées

• 1, 2, 3, 4, 6 ( 3, 4, 6)• M, C

• 14 réseaux de Bravais

32 Classes de symétrie d’orientation

• 7 systèmes cristallins

• Translations• Rotations

• Réflexions rotatoires

+• Translations hélicoïdales

• Réflexion avec glissement

230 Groupes d’espace

( 7 systèmes )

• Symétries d’orientation

• Rotations• Réflexions rotatoires

• Conventionnellement

• Rotations (An)• Réflexions (M)• L’inversion (C)

• Inversions rotatoires (An)

Groupes ponctuels

• 7 Groupes limites de Curie

_

_ _ _