• Réseau :• Ensemble de points (nœuds) de positions :
Ruvw = u a +v b + w c(a, b, c) vecteurs de base, (u, v, w) entiers.
• Maille :• Volume qui pave l’espace sans vide ni recouvrement, en gal parallélépipédique (a,b,c)
• Maille primitive (un nœud), multiple (symétrie) : élémentaire (unit cell)
• Mailles conventionnelles :
Symétrie de position :
Ordre périodique
P : primitif F : Faces centrées I : Corps centré A,B,C : Face centrée
a
b
c
• Seules les rotations d’ordre 1, 2, 3, 4, 6sont compatibles avec la périodicité• Tout axe de symétrie An est orthogonal à un plan
réticulaire
• Symétrie d’un plan orthogonal à l’axe An
• BB’ vecteur du réseau
• BB’=T-2Tcos=mT
cos=p/2
Symétrie ponctuelles dans les réseaux
An
/n
T
A2 A’2
T
An
B B’
A’n
T
An(T) A-n(-T) p cos n=2/ BB'
- 2 - 1 2 3T
- 1 - 0.5 2/ 3 3 2T
0 0 / 2 4 T
1 0.5 / 3 6 0
2 1 0 1 0
• Pavage du plan• Sans vide ni recouvrement
• Découvert par Kepler en 1619 : « Harmonices Mundi »
2 3
4 6
Seules symétries compatibles avec la translation : 1, 2, 3, 4, 6
5 8
Vers un pavage de Penrose
1
Réseaux 2D
Oblique : p Rectangulaire : p Rectangulaire : c Carré : p Hexagonal : p
•À 2D• 4 systèmes (systèmes)
• 5 modes de réseau
•À 3D• Empilement de réseaux 2D respectant la symétrie (Ex.
carré)
P I
Les réseaux
de BravaisTricliniquea b c
Monoclinique
a b c==
90°
Orthorhombiquea b c
= ==90°
Tétragonala = b c
===90°
Rhomboédriquea = b = c
==
Hexagonala = b c
==90°;=120°
Cubiquea = b = c
===90°
P I F C
1
2/m
2/mmm
4/mmm
3m
6/mmm
m3m
_
_
_
• À 3D• 7 systèmes (symétrie) • 14 modes de réseau
• Les systèmes de Bravais
32 classes de symétrie
d’orientation
m3 43m m3m
3 4 6=3/m2=m1
32 422 622222
_ _ _ _ _
3 4 621
4/m 6/m2/m
3m 4mm 6mm2mm
3m 42m (4m2) _ _ _
62m (6m2) _ _
4/mmm 6/mmmmmm
43223
_ _ _
Tri
clin
iqu
e
Mon
oclin
iqu
e
Ort
horh
om
biq
ue
Tri
gon
al
Tétr
ag
on
al
Hexag
on
al
Cu
biq
ue
• Groupes ponctuels
cristallographiques
• Les 7 systèmes cristallins
• Classe holoèdre :ayant la symétrie du
réseauEx : Tétragonal (4/mmm)
... hémièdres, tétartoèdres
Maille de Wigner-Seitz
• Ensemble des points plus proches de l’origine que de n’importe quel autre
point• Maille primitive, ayant la symétrie ponctuelle du réseau
• Dans l’espace réciproque : Zone de Brillouin
Maille conventionnelle
Maille de W-S
Relations entre les 7 systèmes
Hexagonal
Trigonal
Cubique
Tétragonal
Orthorhombique
Monoclinique
Triclinique
• Relations groupe/sous-groupe
• Brisure de symétrie • Transitions de phases du 2e
ordre
4 2L
L
L
L+
6 3L
L
L
L-
Symétrie de position : groupe d’espace
• Mauritz Cornelis Escher• Graveur néerlandais
(1898-1972)
.Groupe P4
Nouvelles symétries
Réflexions
Réflexionsavec glissement
Réflexionsavec glissement
Groupe P4gm
Opérations de symétrie
non-symorphiques
T
T/2
M
21 41 42 61 64
• Réflexion avec glissement (M,t)
• Après deux opérations M, périodicité T• t=T/2
• Translations hélicoïdales (AN, t)• Après N translations t on retrouve la périodicité : mc• t = mc/N
• Combinaison (O, t) O : Rotation, Réflexion
rotatoireT : translation
• Notation :a, b, c, n, d, g
• Notation :Nm
(AN, mc/N)
Opération de symétrie de position
• Rotations• Réflexions rotatoires
•Translations hélicoïdales
• Réflexion• Réflexions avec glissement
Groupes d’espace• 230 groupes d’espace
• 7 systèmes cristallins
• Notations• Directions primaire secondaire et
tertiaires• Mode de réseau
• Éléments générateurs
• Groupe ponctuel du cristal
• Sans translation
I41/amd
4mmm
Tétragonal corps centré
Symétrie
• Symétries de position
• Translations• T= u a + v b + w c
• Symétries autorisées
• 1, 2, 3, 4, 6 ( 3, 4, 6)• M, C
• 14 réseaux de Bravais
32 Classes de symétrie d’orientation
• 7 systèmes cristallins
• Translations• Rotations
• Réflexions rotatoires
+• Translations hélicoïdales
• Réflexion avec glissement
230 Groupes d’espace
( 7 systèmes )
• Symétries d’orientation
• Rotations• Réflexions rotatoires
• Conventionnellement
• Rotations (An)• Réflexions (M)• L’inversion (C)
• Inversions rotatoires (An)
Groupes ponctuels
• 7 Groupes limites de Curie
_
_ _ _