Flexion Plane Simple

RESISTANCE DES MATERIEUX

Séance du Mercredi 08 Mars 2020

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Chapitre 5: Sollicitations Simples

Flexion Plane Simple1- Définitions

2- Contrainte normale maximale

3- Contrainte tangentielle maximale

4- Equation de la déformée

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1- Définitions

Introduction expérimentale Considérons une poutre reposant sur deux appuis soumise à une charge concentréeverticale.

Après déformation, cette poutre accuse une flèche (déplacement vertical desdifférents points, d’où le nom de flexion ) et on constate que les fibres situées en partie

supérieure sont sollicitées en compression tandis que celles qui sont situées en partieinférieure sont sollicitées en traction.

Entre ces deux régions, il existe une fibre qui n’est ni tendue ni comprimée : c’est lafibre neutre.

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1- Définitions

Introduction expérimentale

On considère dans cette étude des poutres à plan moyen, c’est-à-dire pour lesquelles yest axe de symétrie de la section droite. En outre, toutes les forces sont appliquéesdans le plan (oxy). ( les couples et moments sont portés par z).

Les matériaux sont supposés homogènes. La fibre neutre est donc confondue avec laligne moyenne (c’est-à-dire que la fibre neutre passe par le centre de gravité de toutesles sections droites).

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1- Définitions

différents types de flexionOn définit différents types de flexion en fonction de la géométrie de la poutre, des actionsextérieures et des valeurs prises pour x.

Flexion pureUne poutre est soumise à une flexion pure lorsque :

𝝉𝒆𝒇𝒇 𝒊𝒏𝒕 𝒙=𝑻 = 𝟎𝑴𝒇𝒛𝒛 𝑮

Flexion plane simpleUne poutre est soumise à une flexion pure lorsque :

𝝉𝒆𝒇𝒇 𝒊𝒏𝒕 𝒙=𝑻𝒚

𝑴𝒇𝒛𝒛 𝑮

Remarque: toutes les forces extérieures sont perpendiculaires à ligne moyenne et elles sont confondues à un plan de symétrie.

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Flexion plane (composée)Une poutre est soumise à une flexion pure lorsque :

𝝉𝒆𝒇𝒇 𝒊𝒏𝒕 𝒙=𝑵𝒙 + 𝑻𝒚

𝑴𝒇𝒛𝒛 𝑮

Flexion déviéeUne poutre est soumise à une flexion pure lorsque

𝝉𝒆𝒇𝒇 𝒊𝒏𝒕 𝒙a la forme:

𝝉𝒆𝒇𝒇 𝒊𝒏𝒕 𝒙=𝑻𝒚 𝒚 + 𝑻𝒛 𝒛

𝑴𝒇𝒚 𝒚 +𝑴𝒇𝒛 𝒛 𝑮

Remarque: Le système des forces extérieures se réduit à unsystème coplanaire mais ce plan n’est pas un plan de symétrie.Toutes les forces sont perpendiculaires à la ligne moyenne.

1- Définitions

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1- Définition

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Hypothèses en RDM Le solide est composé d’un matériau homogène et isotrope, élastique Sa ligne moyenne est rectiligne, La section droite est constante et possède un plan de symétrie, Les actions extérieures dans les sections extrêmes sont modélisables par deux moments opposés contenus dans le plan de symétrie

Observation Les sections droites de la poutre ne se déforment pas, elles se déplacent en restant perpendiculaires à la ligne moyenne qui s’incurve mais ne s’allonge pas. Par conséquent, deux sections droites voisines tournent l’une par rapport à l’autre d’un angle élémentaire autour de l’axe z, normal au plan de symétrie

2) Contrainte normale maximale

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2) Contrainte normale maximale

Les contraintes normales se développent dans les sections transversales d’une poutresoumise à un moment fléchissant

La figure montre les fibres tendues et comprimées d’un tronçon de poutre fléchie

Dans la zone comprimée les fibres se raccourcissent tandis que dans la zone de tractionelles s’allongent

Ces deux zones sont séparées par un plan neutre ayant un rayon de courbure R et dontla longueur ne varie pas lors de la flexion.

L’allongement relatif d’une fibre se trouvant à une distance y de l’axe neutre peut être écrit:

D’où

avec𝜺 =𝒂′𝒃′ − 𝒂𝒃

𝒂𝒃=(𝑹 + 𝒚)𝒅𝜽 − 𝒅𝒙

𝒅𝒙𝒅𝒙 = 𝑹𝒅𝜽

𝜺 =𝒚

𝑹𝒆𝒕 𝜺 =

𝝈

𝑬→ 𝝈 =

𝑬

𝑹𝒚

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La condition d’équilibre qui lie les contraintes et les efforts internes dans la sectiontransversale d’une poutre est:

La contrainte normale en tout point de la section de la poutre distante de y de l'axe xa pour valeur:

Formule de Navier

Les contraintes sont proportionnelles au moment fléchissant et inversement proportionnelles au moment d'inertie Les contraintes varient linéairement avec la distance y de l'axe neutre La fibre la plus sollicitée (la contrainte de traction ou de compression maximale) est située au point le plus éloigné de l'axe neutre.

𝝈𝒚𝒅𝒔 = 𝑴

En introduisant la valeur de 𝝈

𝑴 = 𝑬

𝑹𝒚𝟐𝒅𝒔 𝑴 =

𝑬 𝑰𝒛

𝑹

𝝈 =𝑴 𝒚

𝑰𝒛

2) Contrainte normale maximale

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a) Cas d'une section ayant un axe de symétrie horizontal

𝒚𝒎𝒂𝒙− = 𝒚𝒎𝒂𝒙

+ 𝝈𝒎𝒂𝒙− = 𝝈𝒎𝒂𝒙

+ = 𝝈𝒎𝒂𝒙 =𝑴𝒚𝒎𝒂𝒙𝑰𝒙

𝝈𝒎𝒂𝒙: 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐫𝐚𝐢𝐧𝐭𝐞 𝐧𝐨𝐫𝐦𝐚𝐥𝐞 𝐦𝐚𝐱𝐢𝐦𝐚𝐥𝐞

𝑾𝒚 =𝑰𝒙

𝒚𝒎𝒂𝒙: 𝐦𝐨𝐝𝐮𝐥𝐞 𝐫é𝐬𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐬𝐞𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧 (𝐦𝐨𝐝𝐮𝐥𝐞 𝐝𝐞 𝐟𝐥𝐞𝐱𝐢𝐨𝐧)

2) Contrainte normale maximale

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b) Cas d'une section n'ayant pas un axe de symétrie horizontaldans ce cas les contraintes de traction et de compression maximales sont différentes

2) Contrainte normale maximale

𝝈𝒎𝒂𝒙− =

𝑴𝒚𝒎𝒂𝒙−

𝑰𝒙𝝈𝒎𝒂𝒙− : 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒊𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏𝒎𝒂𝒙

𝝈𝒎𝒂𝒙+ =

𝑴 𝒚𝒎𝒂𝒙+

𝑰𝒙𝝈𝒎𝒂𝒙+ : 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒊𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒂𝒙

𝒚𝒎𝒂𝒙+ 𝒆𝒕 𝒚𝒎𝒂𝒙

− : Distances des fibres comprimées et tendues les plus éloignées

D’où on distingue 2 modules résistants de la section : 𝑰𝒙

𝒚𝒎𝒂𝒙+ et

𝑰𝒙

𝒚𝒎𝒂𝒙−

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c) Condition de résistance en flexionLa vérification d'une poutre en flexion se fait à partir de la condition de résistance par rapport aux contraintes normales maximales dans la section.

Pour une section symétrique:

𝝈𝒎𝒂𝒙 =𝑴 𝒚𝒎𝒂𝒙𝑰𝒁

≤ 𝒎𝒊𝒏( 𝝈− , 𝝈+ )

Pour une section non symétrique:

Si 𝝈− = 𝝈+ = 𝛔 on a 𝐦𝐚𝐱( 𝝈𝒎𝒂𝒙− , 𝝈𝒎𝒂𝒙

+ ) ≤ 𝝈

Si 𝝈− ≠ 𝝈+ on a 𝝈𝒎𝒂𝒙− ≤ 𝝈−

𝝈𝒎𝒂𝒙+ ≤ 𝝈+

2) Contrainte normale maximale

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Remarques sur le moment quadratique des sections :

On a: 𝑰𝑮𝒙 (𝑺) = 𝒚𝟐𝒅𝑺

Si 𝑰𝑮𝒙 est grand 𝝈 𝒙 est petit

Matière éloignée de la fibre neutre (ou ligne moyenne ) 𝑰𝑮𝒙 est grand

Résistance en flexion ↔ Placer la matière loin de la fibre neutre !

2) Contrainte normale maximale

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Quand une poutre est soumise à l'action simultanée d'un moment fléchissant et d'un effort tranchant, en plus des contraintes normales, des contraintes tangentielles apparaissent aussi au niveau des sections droites.

L'existence de ces contraintes suivant les couches horizontales de la poutre peut être démontré par superposition de deux poutres de hauteur h simplement appuyées aux extrémités et soumises à une force concentrée à mi- travée.

On constate qu'il y a un glissement des fibres inférieures ce qui signifie qu'il y a des contraintes tangentielles horizontales empêchant ce glissement dans le cas d'une poutre équivalente de hauteur 2h.

3) Contrainte tangentielle maximale

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Considérons un tronçon de poutre de longueur dx soumis à un effort tranchant constant T et un moment fléchissant variant de M à M+dM.

Equation d'équilibre:

En supposant que les contraintes tangentielles sont constantes dans la section bdx:

3) Contrainte tangentielle maximale

𝝈𝒅𝒔 − (𝝈 + 𝒅𝝈)𝒅𝒔 + 𝝉 𝒃 𝒅𝒙 = 𝟎

𝝉 𝒃 𝒅𝒙 = 𝒅𝝈 𝒅𝒔 = 𝒅𝑴

𝑰𝒚 𝒅𝒔 =

𝒅𝑴

𝑰 𝒚 𝒅𝒔 =

𝒅𝑴

𝑰𝑺𝟏∗

𝝉 =𝒅𝑴

𝒅𝒙

𝑺𝟏∗

𝒃 𝑰=𝑻𝑺𝟏∗

𝒃 𝑰

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En un point arbitraire d'une section droite d'une poutre soumise à l'action simultanée d'un effort tranchant et d'un moment fléchissant, la valeur de la contrainte tangentielle est déterminée par:

3) Contrainte tangentielle maximale

𝝉 =𝑻 𝑺𝒛𝒃 𝑰𝒛Avec :

𝝉 : Contrainte tangentielle

𝒃 : Largeur de la section dans la couche considérée

𝑰𝒛 : Moment d’inertie

𝑻 : L’effort tranchant

𝑺𝒛∗ : Moment statique de l’aire située soit au-dessous soit au-dessus de la couche

considérée.

La contrainte tangentielle varie avec l’ordonné y comme le rapport 𝑺𝒛

𝒃.

𝝉 est nul aux points les plus éloignés du centre de gravité et passe par un maximum

pour l’ordonné correspondant au maximum de 𝑺𝒛

𝒃.

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Exemple: Poutre à section rectangulaire

Dans le cas d'une section rectangulaire, la largeur b est constante. A une distance y de l'axe z-z on détermine le moment statique S* et le moment quadratique Iz.

3) Contrainte tangentielle maximale

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Exemple: Poutre à section rectangulaire

Dans le cas d'une section rectangulaire, la largeur b est constante. A une distance y de l'axe z-z on détermine le moment statique S* et le moment quadratique Iz.

La formule devient précédente :

3) Contrainte tangentielle maximale

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Calcul de résistance en flexion simple

D'habitude on vérifie les contraintes normales et tangentielles séparément

Comme le cas d'une flexion pure, la condition de résistance s'écrit:

On devra aussi vérifier:

Dans des sections de poutre, il existe des points supportant l'action simultanée de contraintes normales et tangentielles, Il convient de vérifier la résistance de la poutre par rapport aux contraintes principales, en utilisant les diverses théories de résistance.

3) Contrainte tangentielle maximale

𝝈𝒎𝒂𝒙 =𝑴 𝒚𝒎𝒂𝒙𝑰≤ 𝝈

𝝉𝒎𝒂𝒙 =𝑻𝒎𝒂𝒙 𝑺𝒎𝒂𝒙

∗

𝑰≤ 𝝉

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4- Equation de la déformée

Etude de la déforméeSous les actions de flexion, la ligne moyenne se déforme

On appelle déformée, l’équation v(x) de la courbe de la ligne moyenne

La valeur de la déformée en un point est appelée flèche :

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4- Equation de la déformée

Etude de la déformée (flèche)

Nous avons montré que : 𝝈 =𝑬

𝑹𝒚

L’expression analytique du rayon de courbure d’une courbe d’équation y=f(x) est :

𝑹 =(𝟏 + 𝒚′𝟐)𝟑/𝟐

𝒚′′

Comme 𝒚′ est petit (petites déformations), 𝒚′𝟐 négligeable / 1,

il vient : 𝑹 ≈𝟏

𝒚′′

On obtient donc l’équation différentielle de la déformée

𝒚′′ =𝑴

𝑬𝑰𝒛(1)

Par intégration, et avec les conditions aux limites, on obtient la déformée y(x).

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4- Equation de la déformée

Processus d’intégration

En intégrant une première fois l’équation (1), on obtient la pente ou la rotation de la déformée à l’abscisse x qui est égale a :

𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒕𝒈𝜽 = 𝜽 (car 𝜽 est petit) (2)

l’équation (2) on peut écrire : 𝒅𝜽

𝒅𝒙=𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐=𝑴

𝑬𝑰donc 𝒅𝜽 =

𝑴

𝑬𝑰𝒅𝒙

En intégrant une deuxième fois l’équation (1), on obtient la flèche y de la déformée à l’abscisse x .

4- Equation de la déformée

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On considère une poutre droite qui repose sur deux appuis simples et soumise à une charge uniformément répartie q :Déterminer les équations de la déformée et sa pente, puis calculer la rotation θA de la déformée à l’appui A et la valeur de la flèche Δc à mi- portée de la poutre .(on suppose que EI est constante ). En A , pour x = 0, yA =y(0) = 0 En B, pour x = l, yB =y(l) = 0,

Applications

Application 1:

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Applications

Application 1:

Vérifier la résistance de la poutre ci-dessous si la contrainte admissible [σ]=160 N/mm².

Les démarches:

1) Construire le diagramme des moments

2) Déterminer la section dangereuse

3) Calculer la contrainte maximale

4) Comparer cette contrainte avec [σ]

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Applications

Application 3:

Les démarches:

1) Construire le diagramme des moments

2) Déterminer la section dangereuse

3) Calculer la contrainte maximale

4) Comparer cette contrainte avec [σ]

Applications

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