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RÉSOLUTION DE PROBLÈMES Cycle 3
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POUR DES COMPLÉMENTS D’INFORMATIONS OU
DES SITUATIONS EN MATHÉMATIQUES ET
SCIENCES :
http://www2. ac-lyon.fr/etab/divers/preste69/spip
ou en tapant
Preste 69 sur un moteur de recherche
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PLAN
I. Constat et Question.pptx
II. Comment résout-on un problème?
III. Pistes pour « apprendre à résoudre »
IV. Des problèmes pour chercher
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1) QU’EST-CE QU’ UN PROBLÈME ?
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Selon Jean Brun
Une situation qui demande à l’élève d'élaborer une suite d'actions ou d'opérations pour atteindre un but (répondre à une question)
Il n'y a problème que si la solution n'est pas
disponible d'emblée.
Un problème pour un élève donné peut ne pas
être un problème pour un autre élève.
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2) POURQUOI RÉSOUDRE DES PROBLÈMES
EN CLASSE ?
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DANS LES PROGRAMMES
• « La pratique des programme développe le goût de la
recherche et du raisonnement, l’imagination et les
capacités d’abstraction, la rigueur et la précision »
• « Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du
programme, l’élève enrichit ses connaissances,
acquiert de nouveaux outils, et continue
d’apprendre à résoudre des problèmes »
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une culture
scientifique à l'école
acquérir des connaissances
des concepts, des objets, des
relations
développer des attitudes
• raisonnement, recherche
• pensée critique
savoirs
savoirs
faire
savoirs
être
construire des capacités
des méthodes, des
techniques 22
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1ère classification :
à partir des formes d’énoncés
2ème classification :
à partir des notions mathématiques
3ème classification :
à partir des objectifs pédagogiques
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Des catégories de problèmes…
A partir des formes d’énoncés 2
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L’énoncé, donné à l’oral, en partie ou entièrement
Texte et document(s) réel(s) : publicité, extrait de tarif…
Texte et image(s) : la photo, le dessin, la BD… sont
sources ou non d’informations pour la résolution de problèmes
Texte accompagné d’un tableau, d’un diagramme…
Texte écrit seul
A partir des notions mathématiques
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Etude des notions en terme de « champ conceptuel » : espace de
problèmes dont le traitement implique des concepts et des
procédures de plusieurs types en étroite connexion.
Vergnaud
Types de nombres / Opérations utilisées / Mesures /
Objets géométriques
typo
A partir des objectifs pédagogiques 22
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Un problème pour apprendre à chercher
(un problème ouvert)
Un problème pour apprendre une nouvelle notion
Un problème d’application ou de réinvestissement
d’une notion connue
LE RÔLE DU PROBLÈME EN MATHÉMATIQUES
Selon la situation d’apprentissage, un même problème peut avoir
différentes fonctions et correspondre à différents types de problèmes.
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Tâche de
l’élève
Modèle de résolution
disponible Problème inédit
Types
de
problèmes
Problème
d’application
directe
Problème de
réinvestissem
ent /transfert
Situation-
problème
Problème
ouvert
Problème
destiné à
s’entrainer à
maîtriser le sens
d’une
connaissance
nouvelle
Problème
complexe
nécessitant
l’utilisation de
plusieurs
connaissances
construites
dans différents
contexte
Problème dont
la résolution
vise la
construction
d’une nouvelle
connaissance ou
d’un nouvel
aspect d’une
connaissance
antérieure
Problème centré
sur le
développement
des capacités à
chercher: en
général, les élèves
ne connaissent
pas la solution
experte
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« J'ai 250 œufs.
Combien de boîtes
de 6 sont nécessaires
pour les ranger ? »
CE1: Problème Ouvert
Les élèves ne connaissent pas la
technique de la division. Ils sont face
à un défi intellectuel qu'ils doivent
relever.
Ils vont utiliser différentes
procédures personnelles: dessin,
calculs partiels…
CE2: Situation
Problème
Ils ne connaissent pas encore la
technique de la division.
Analyser les procédures utilisées et
leurs limites.
Identifier la procédure experte pour
introduire la technique opératoire de
la division.
CM2 : Problème
d'application
La division a été étudiée.
Les élèves sont censés reconnaître un
problème de division et utiliser la
technique opératoire pour le
résoudre.
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Quelles fonctions pour un énoncé donné?
par résolution de problème
de la résolution de problème
Apprentissage
3) QU’EST-CE QUE RÉSOUDRE UN
PROBLÈME ?
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Lecture de l’énoncé
Recherche d’une procédure
Instanciation de la procédure
Exécution de la procédure
Communication de la réponse 20
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4) UN CADRE POUR TRAVAILLER
SUR L’ORIGINE DES DIFFICULTÉS
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Schéma d’analyse sommaire – R.Charnay 2
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Exemple 1 : à la bonne place (éval. Ce2)
Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient
367 582 309
300 400 500 600
300 309 400 367 500 582 600
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Analysons les résultats obtenus à un exercice proposé à l’entrée en 6ème
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Exemple 3
Cet exercice obtient 59,3% de réussite.
Un enfant veut acheter des CD. Il possède 1 billet de 20€, 4 billets de
5€ et 8 pièces de 2€. Combien de CD à 9€ l’un peut-il acheter ?
Analyse des difficultés :
mots du lexique de la vie courante, situation simple
nombres familiers depuis le CP
possibilité d’utiliser des procédures personnelles représentant
plusieurs niveaux d’abstraction
-Maîtrise insuffisante de la langue ?
-Mauvaise connaissance des nombres ?
-Mauvaise maîtrise des méthodes de calcul ?
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Quand on interroge les élèves en difficulté dans la résolution de problèmes, on
obtient les réponses suivantes à ces questions :
Qu’est-ce qu’un problème ? Comment faire pour le résoudre ?
Seul le maître est capable de dire si le résultat est juste.
Un problème a toujours une solution.
Un problème fait toujours intervenir des nombres.
Il n’y a qu’une façon de résoudre un problème.
Un problème se présente toujours sous la forme d’un
énoncé qui se termine par une question.
C’est le résultat qui compte.
Pour résoudre le problème, il faut utiliser les dernières
notions étudiées en classe.
Pour trouver la solution, il faut déjà savoir.
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Raisons d’une telle difficulté ?
5) Quelques pistes pour
« apprendre à résoudre »
A. Pour s’approprier le problème
B. Pour élaborer ou rechercher une procédure
C. Pour exécuter la procédure et valider sa solution
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A. Pour s’approprier le problème
Contrat didactique
Varier les supports de présentation
Des problèmes :
Lecture de l’énoncé
Se représenter la situation
Se représenter la tâche
Vocabulaire
La forme et la place de la question
Les données du problème
Les étapes du problème
- Situations inhabituelles
- Absurdes
- Sans solution
- Numériques avec essais successifs
- Sans nombres : géométrie, logique
- Avec des nombres mais sans calcul
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LA SITUATION
Les obstacles
Les aides
l’élève doit se
représenter la situation
Aider les élèves à se représenter le
contexte
-Choisir des énoncés en rapport avec la
vie de la classe et la vie quotidienne
-Proposer des énoncés à l’oral
-Raconter l’énoncé avec ses propres mots
-Mimer l’énoncé
- Utiliser du matériel pour illustrer la
situation
-S’appuyer sur l’illustration
Lecture de l’énoncé 2
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LA TÂCHE
Les obstacles
Les aides
l’élève doit se
représenter la tâche
Aider l’élève à se représenter ce
qu’on cherche
- Identifier la catégorie* à laquelle
appartient le problème : reconnaitre
la structure du problème
- faire un schéma des données du
problème
- comparer un nouvel énoncé à celui de
l’énoncé du problème de référence
(affiche ou fiche outil)
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LE VOCABULAIRE
Les obstacles
Les aides
connaitre les
termes spécifiques
distinguer le
sens courant et le
sens en
mathématiques
Aider l’élève à s’approprier le vocabulaire
mathématiques -Travailler sur la polysémie des mots (langage courant /
langage mathématique )
ex : la différence = soustraire en maths et non pas ce qui
distingue une chose d’une autre
- Réaliser une affiche / dictionnaire math (dicomath)
classification des mots utilisés en mathématiques pour
désigner par exemple un changement : diminuer, ajouter,
partager… Mathématiques et maitrise de la langue
http://jl.bregeon.perso.sfr.fr/Mathetmaitrisedelalangue_fichier
s/frame.htm
- Favoriser l‘utilisation de synonymes exemple :
«136 –73 peut être remplacée par j’enlève 73 à 136 ou
je cherche la différence entre 136 et 73 ou ce qu’il faut
ajouter à 76 pour avoir 136»
-Travailler la maitrise des petits mots comme : l’un,
l’une, chacun , chaque…
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LA FORME ET LA PLACE DE LA QUESTION
Les obstacles
Les aides
La question est
le plus souvent
posée à la fin de
l’énoncé
La forme
injonctive
(impératif ou
infinitif) n’est pas
toujours reconnue
comme une
question ou une
tâche à effectuer
Aider les élèves à identifier le
questionnement
-Formuler la question en début d’énoncé permet
à l’élève d’anticiper ce qu’il faut faire et de
sélectionner plus facilement les données.
- Lire l’énoncé sans lire la question : demander à
l’élève de « dessiner » ou d’écrire ce qu’il a
compris de l’énoncé, demander d’écrire la
question que l’élève a en tête.
-Reconnaitre la forme interrogative: reformuler
la question avec inversion du sujet.
-Rédiger une question pour chaque catégorie de
problèmes.
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LES DONNEES DU PROBLEME
Les obstacles
Les aides
Les données
doivent être
accessibles
Distinguer les
données utiles et
inutiles
Connaitre les
techniques et
automatismes pour
traiter les données
Aider les élèves à s’approprier les données
- Simplifier les données numériques : utiliser
des nombres plus petits, des nombres entiers
- Pratiquer des séances de calcul mental ; calcul
automatisé et calcul réfléchi
- Utiliser des données avec des relations
maitrisées : les doubles, les multiples, l’angle
droit…
- Choisir les unités maitrisées
- Réduire / augmenter le nombre de données
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LES ETAPES DU PROBLEME
Les obstacles
Les aides
Elles
correspondent à
l’ordre des
informations
contenues dans
l’énoncé.
Elles peuvent
être explicites
(présence d’une
question) ou
implicites
Identifier les informations explicites et les
informations implicites :
-Trouver la / les question(s )intermédiaire(s)
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B. Pour élaborer ou rechercher une procédure
Des blocages psychologiques
La faible richesse des réseaux de connaissances stockés en mémoire
La non maîtrise de certaines techniques opératoires
Favoriser la diversité des procédures : problèmes ouverts, en groupe
Exploiter cette diversité : problème/procédure de référence…
Aider à progresser vers les résolutions expertes :
Prise de conscience lors de la mise en commun,
Mise en lien entre des « résolutions » en apparence différentes
Choix des variables : favoriser ou bloquer certaines procédures
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Problèmes ouverts, travail en groupe
Autoriser la calculatrice, les tables, …
ex.
C. Pour exécuter la procédure et valider sa solution
Difficultés à exécuter la procédure de résolution
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Difficultés à contrôler la représentation du problème, la
procédure de résolution ou le résultat
Entrainement : calcul posé, mental, procédures
Demander une justification écrite ou orale
Travail en groupe avec une réponse unique
150 personnes se répartissent en équipes de 6 personnes.
Combien y a-t-il d’équipes ?
150 personnes se serrent la main.
Combien de poignées de mains sont échangées ?
Deux exemples…
6) APPRENDRE CE QU’EST CHERCHER
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Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées.
Un mot à double sens
Chercher, c’est…
Chercher, une solution nouvelle, originale, personnelle.
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Un problème pour chercher, c’est…
Exemple …
Cap Maths- CM1
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Caractéristiques principales d’un
problème pour chercher…
Un défi
Une consigne simple et courte
Un problème « consistant »
Une solution auto-validante possible
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ACTION
VALIDATION
FORMULATION
INSTITUTIONALISATION
expériences et
manipulations
mettre en mots pour faire des hypothèses, des anticipations
argumenter
prouver
stabilisation du savoir
agir
dire
prouver
retenir
Comment faire?
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Mise en œuvre
1. Contrat didactique
2. Présentation du problème
3. Temps de recherche individuelle ou en groupe
4. Mise en commun
5. Synthèse
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La tâche de l’élève doit être clairement identifiée par lui
S’assurer que tous les élèves ont bien identifié ce qui est cherché
L’élève doit être responsable de sa recherche
CORRECTION OU MISE EN COMMUN ?
Correction
Mise en commun
«résolution » unique dont
il faut s’approcher le plus
possible
Aboutir au corrigé,
à LA solution
la diversité est
possible
Les comparer
Débattre de leur validité
Inventorier les résolutions
Conséquences
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SYNTHÈSE
Un montage de différentes «résolutions» correctes
• « écrit de référence » collectif
• Une «résolution» correcte, au choix de chaque élève
Trace écrite ?
Cap Maths CE1
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7) ENSEIGNER DES STRATÉGIES
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ESSAIS ET AJUSTEMENTS Valid.
Nicolas : 5 Lilli : 20 Total : 25 C’est plus
Nicolas : 10 Lilli : 40 Total : 50 C’est un peu plus
Cap Maths CM1
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ETUDE EXHAUSTIVE DES CAS
Dans un restaurant, on propose :
Deux entrées
Trois plats
Deux desserts
Combien de menus entrée+plat+dessert peut-on composer?
Défi Maths CM1 RETZ
Valid.
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GÉNÉRALISATION Val. 2
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30 personnes. Combien de poignées de main?
CHANGEMENT DE CADRE
(SCHÉMATISATION)
Cap Maths CM1
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CONCLUSION (S)
Conclusion 1 Résoudre des problèmes suppose…
Des connaissances (sens et techniques)
Un contrat (il y a plusieurs modes de résolution)
Des stratégies disponibles
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Conclusion 2
La pratique des problèmes pour chercher est essentielle.
Cependant, elle ne dispense pas :
Des exercices de structuration : techniques de calculs,
de tracés géométriques
Des problèmes d’application : reprise, entraînement
Des séances « institutionnelles » où le maître dégage des
traces écrites
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CONCLUSION 3
La résolution de problèmes vise des enjeux d’apprentissages différents en
fonction de la nature de la tâche proposée à l’élève.
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ne doit pas se limiter à la formulation des résultats et des méthodes ;
elle doit permettre de faire émerger les apprentissages
conceptuels, techniques ou méthodologiques.
-la mise en commun
- « Qu’est-ce que je dois faire ? » ou « Est-ce que j’ai bon ? »
- réduire l’activité mathématique de l’élève
Ecueils :
Le maître doit se donner des objectifs pour ses élèves, anticiper les
apprentissages possibles et souhaités
les élèves doivent identifier les apprentissages qu’ils viennent
d’effectuer.
Apprendre à chercher et à contrôler sa production
Merci pour votre
attention
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RESSOURCES
Programmes 2008
Documents d’accompagnement des programmes
Le nombre au cycle 3
Revue Grand N numéro spécial « Point de départ » 2003 propose des « Activités et
problèmes mathématiques pour les élèves de cycle 3 »
Rallyes : énoncés et analyses a priori du RMT : armtint.org
ARSAC G., MANTE M., Les Pratiques du problème ouvert, CRDP Lyon, 2005.
ERMEL, Apprentissages numériques et résolution de problèmes GS, CP, CE1,CE2,
CM1, CM2, INRP, Paris, Hatier, 2005.
FROMENTIN J., TOUSSAINT N., Fichier Évariste École, APMEP, 2006.
RICHARD J.-F., Les Activités mentales. Comprendre, raisonner, trouver des
solutions, Paris, Armand Colin, 1991.
Recueil de problèmes organisés selon la catégorisation de Vergnaud
http://mathematiques21.ac-
dijon.fr/spip.php?article16#des_problemes_pour_chercher
http://pagesperso-orange.fr/daest/Pages%20perso/Brousseau.htm
Fichier Lecture et mathématiques au cycle 3 CDDP Perpignan 2004
77 jeux de logique (dont évaluations) http:/www.acces-editions.com
83 problèmes de logique http:/www.acces-editions.com
DEFI Maths, RETZ
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