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- 1 - Groupe départemental « Evaluation – 30 » - mars 2010
Sommaire :
Résultats aux évaluations 6
ème de 2006… p. 2
Les différents nombres… p. 3
Les décimaux : un peu d’histoire… p. 4
Progression des apprentissages… p. 5
Document A : séquence placée au début de l’enseignement des fractions (niveau
CM1)… p.6
Document B : matrices de travail… p.15
Document C : séquence consacrée à la comparaison de fractions décimales…
p.18
Document D : activités consacrées au passage des fractions décimales aux écritures à
virgule… p. 20
Règles implicites dans la comparaison des décimaux… p. 26
- 2 - Groupe départemental « Evaluation – 30 » - mars 2010
RESTITUTION DES RESULTATS AUX EVALUATIONS 6ème
- 2006
Etude des items les plus échoués sur 10 collèges du département, en math et en
français. Hypothèses sur les causes d’erreurs possibles… Comportement à
adopter en cycle 3 pour une remédiation possible…
Exemple du champ « Connaissance des nombres » : on peut identifier une
difficulté majeure sur les nombres décimaux et les fractions.
Champ N° de
l’item
Descriptif de
l’item
Cause(s)
d’erreur
Remédiation
possible CONNAISSANCE DES
NOMBRES
101 Parmi ces 4 nombres
(0 ,25 ; 0,4 ; 1,4 ; ¼), 2
sont égaux. Entoure-les.
Très souvent 1,4 et ¼ ont
été entourés (présence des
mêmes chiffres).
Problèmes de temps
(dernier exercice,
lassitude).
Travail sur le tableau de
numération, avec
déplacement de la virgule
dans la colonne de l’unité à intensifier.
Diverses écritures d’un
même nombre.
89 Encadre 385/10 par
deux nombres entiers
consécutifs.
Problème de vocabulaire :
entier, consécutif…
Les réponses sont de la
forme du nombre à
encadrer.
Transformation de la
fraction en nombre
décimal non faite.
Problème à étapes :
passage par le décimal.
Diverses écritures d’un
même nombre. 90 Encadre 12 + 5/100 par
deux nombres entiers
consécutifs.
36 Construire un segment
dont la longueur est 5/4
du segment donné.
¼ cela fait 4 carreaux ; 1/3
cela fait 3 carreaux… sans
vérification.
Problème des fractions
supérieures à 1.
Utiliser les mêmes
situations sans les carreaux.
Les fractions supérieures à
1.
Rappels : …/… La rupture essentielle entre nombres naturels et nombres décimaux est marquée par les propriétés
relatives à l’ordre sur ces nombres, donc à leur comparaison. Ainsi :
L’idée de successeur qui a un sens pour les naturels (après 7, il y a 8) n’a plus de sens chez les décimaux (quel nombre décimal vient après 2,75 ?..).
L’idée d’intercalation n’a pas le même type de solution : entre 2 nombres entiers naturels, il y a un
nombre fini de nombres entiers naturels ; entre 2 nombres décimaux, il y a une infinité de nombres
décimaux !... L’idée d’ordre sur les nombres n’a plus le même sens : chez les nombres naturels, 5 est plus petit que
438 mais chez les nombres décimaux 3,5 n’est pas plus petit que 3,438 parce que 5 est plus petit que 438,
ou parce qu’il n’y a qu’un seul chiffre après la virgule!...
L’enseignement proposé doit donc prendre explicitement en compte cette rupture entre naturels et
décimaux.
Un autre lieu important de difficultés concerne les opérations sur les nombres décimaux. Les erreurs sont essentiellement dues à une conception erronée de l’écriture à virgule. Celle-ci est traitée et vue comme un
couple d’entiers sur lesquels on agit séparément !... Ainsi, on rencontre des erreurs du type : 3,4 + 4,8 =
7,12 ou bien 5,4 x 3,6 = 15,24 …
Chacune des opérations (normalement maîtrisées pour les nombres entiers naturels) doit être reprise et adaptée à ces nouveaux nombres. Dans l’addition et la soustraction, il faudra gérer et justifier la disposition
des opérandes (place de la virgule) et traiter les cas où ceux-ci ont des parties décimales de longueurs
différentes… Pour la multiplication et la division, l’apprentissage sera poursuivi au collège… Il faut viser pour les nombres décimaux ce que l’on a obtenu avec les nombres entiers : une familiarité, une
aisance avec ces nombres face à différentes situations… Pour cela, il est nécessaire que les élèves
comprennent comment les écritures décimales ont été historiquement élaborées (cf. Les décimaux : un peu d’histoire !...), en travaillant sur le sens des écritures fractionnaires. …/…
- 3 - Groupe départemental « Evaluation – 30 » - mars 2010
D’après « Apprentissages numériques et résolution de problèmes » - ERMEL (Hatier)
L’ensemble des nombres entiers naturels : N
Cet ensemble est le premier dans la hiérarchie des ensembles de nombres, c’est le plus simple et le
premier à avoir été construit de manière rigoureuse (par le mathématicien italien Guiseppe Peano,
1858 - 1932). Il est constitué des nombres entiers positifs, y compris le zéro. Ce sont les nombres
admissibles par la nature (d’où leur nom, tiré de Naturale par Peano). Ce sont les nombres : 0, 1, 2, 3,
etc….
L’ensembles des nombres entiers relatifs : Z
Cet ensemble englobe le précédent : il contient donc tous les nombres de N. On y ajoute les nombres
entiers négatifs -1, -2, -3, etc… Son nom vient de l’allemand Zahlen qui signifie « compter ». C’est le
mathématicien allemand Richard Dedekind (1831 – 1916) qui a baptisé ainsi cet ensemble.
L’ensemble des nombres décimaux : D
Il regroupe tous les nombres précédents et d’une manière plus générale, tous les nombres qui peuvent
se mettre sous la forme d’une fraction où le dénominateur est une puissance entière de 10. Ce sont les
nombres à développement décimal fini. Vient du français Décimal.
L’ensemble des nombres rationnels : Q
Il regroupe tous les nombres précédents et d’une manière plus générale, tous les nombres qui peuvent
se mettre sous la forme d’une fraction (d’un quotient) de deux nombres entiers relatifs. On ajoute au
précédent ensemble, les nombres décimaux à développement décimal illimité et périodique (ex. :
23,3546354635463546….). Vient de l’italien Quotiente, par Peano.
L’ensemble des nombres réels : R
Il regroupe tous les nombres précédents auxquels on ajoute les nombres décimaux à développement
illimité et non périodique du type 2 , π ….. Vient de Real, par Dedekind.
L’ensemble des nombres complexes : C
C’est l’ensemble précédent avec l’introduction du nombre i tel que i 2 = - 1. Les nombres complexes
sont de la forme a + i b avec a et b réels. Ces nombres ont une partie réelle (a) et une partie
imaginaire (i b). Vient du français Complexe.
Ce ne sont donc pas les nombres tels que 6 h. 12 min. 35 s. Ces nombres sont appelés nombres
sexagésimaux (base 60) !!...
Et il y encore les quaternions (ou hypercomplexes), les octonions, les sédénions, les
p-adiques,… et j’en passe et des meilleurs….
Pour résumer, on pourrait écrire :
N Z D Q R C
- 4 - Groupe départemental « Evaluation – 30 » - mars 2010
L’invention des nombres décimaux se produit de façon indépendante au Moyen-Orient (Al-
Kasi, XVème
siècle) et en Europe (Bonfils, Viète et Stévin, XVIème
siècle).
Dans un ouvrage de 1427, « La clé de l’arithmétique », Al-Kasi expose la manière d’opérer
dans le système sexagésimal (base 60) de position utilisé par les astronomes. Cet ouvrage est
en 2 parties :
L’arithmétique des nombres entiers.
L’arithmétique des fractions.
Les fractions de l’unité s’appelaient : minutes, secondes, tierces, etc…Pour écrire un nombre,
on écrivait à la suite tous les chiffres qui le composaient (avec des espaces) et on indiquait à la
fin, l’ordre du dernier chiffre. Ainsi, l’expression « 2 43 9 8 57 secondes » correspondait au
nombre : 2 x 602 + 43 x 60 + 9 + 8 x 60
-1 + 57 x 60
-2.
Dans la partie de son livre consacrée aux fractions, Al-Kasi introduit, à partir des fractions
sexagésimales, les fractions décimales. On peut ainsi opérer sur les fractions comme on le fait
avec les nombres entiers qui, eux, s’expriment couramment en base dix. Pour écrire ces
fractions décimales, Al-Kasi plaçait (entre autres écritures possibles) un trait après la partie
entière : 45 68…
En Occident, la numération décimale de position se généralise au XVIème
siècle. Bonfils et
Viète utilisent eux aussi la barre verticale pour séparer la partie entière de la partie décimale…
En 1852, le mathématicien belge Simon Stévin dans son fascicule de dix pages « la Disme »,
introduit pour la première fois en occident, les fractions décimales sous une forme simplifiée.
Exemple : 100
8
10
645 s’écrit 45 6 8 et se lit : 45 commencements 6 primes
8 secondes.
Les nombres entourés d’un rond représentent le nombre de zéro(s) du dénominateur : Stévin
part du commencement noté , puis définit les primes (dixième partie de l’unité) notés ,
puis les secondes (centième partie de l’unité, dixième partie de la prime) notées , les tierces,
les quartes, etc…
Vers 1615, l’écossais John Napier remplace par une virgule et supprime les autres chiffres
entourés.
Donc, 100
8
10
645 qui s’écrivait 45 6 8 devient 45,68. Et c’est la naissance des
nombres décimaux tels que nous les connaissons aujourd’hui…
____________________
Activités de classe (dès le CM1) : on peut faire écrire des nombres décimaux selon les
écritures de Al-Kasi, de Stévin ou de Napier pour que les élèves comprennent qu’il s’agit
d’écritures différentes d’un même nombre et surtout, pour qu’ils comprennent la signification
de chacun des chiffres qui composent les nombres donnés.
____________________
D’après « Apprentissages numériques et résolution de problèmes » - ERMEL (Hatier) et Nouvel Objectif Calcul (Hachette).
- 5 - Groupe départemental « Evaluation – 30 » - mars 2010
Etude des fractions de type b
a
,
avec : b { 2, 3 , 4, 5, 10 } Fractions décimales de type b
a
,
avec : b { 10 , 100 , 1000 }
Ecriture à virgule
Séquence au CM1 : des
segments à mesurer avec
une « bande unité ».
Travaillez ensuite de
manière analogue avec des
aires.
La fraction est le résultat
d’une mesure.
On n’aborde que des
écritures additives ; on
peut faire des dictées de
fractions…
Document A
Travail de manipulation
avec différentes
graduations (segments,
aires).
Manipulation effective
des unités, dixièmes,
centièmes…
Puis, passez aux aires,
de manière analogue,
pour arriver au demi
carreau, au tiers de
carreau…
Document B
Ex. : 100
5
100
60
100
300
100
365
Veillez à ne pas simplifier et, donc,
à garder la même unité : le
centième…
Puis, abordez la comparaison de
fractions.
Modifier les exercices pour aller vers
les items de l’évaluation 6ème
.
Document C
Rappel sur les fractions
décimales : ordre, classement…
L’objectif est ici de mettre en
relation toutes les écritures vues
précédemment avec l’écriture à
virgule.
Document D
Groupe départemental évaluation 6
Exemple de séquence placée au début de l’enseignement des fractions (proposé par J.F. FAVRAT – PIUFM Nîmes)
NB : une telle séquence a été conduite dans des classes.
Séance n°1
Objectifs pour les élèves :
- Mesurer des segments à l’aide d’une unité quelconque et d’une demi unité.
- Exprimer ces mesures sous la forme d’un entier n ou d’un entier et demi n+1/2.
- Lire ces expressions.
Matériel à préparer :
- une fiche par élève pour la recherche,
- un rectangle unité par élève,
- une feuille réponse par groupe,
- un exercice d’application.
Fiche de recherche
A B
C D
E F
G H
I J
Attention : interdire
l’usage de la règle…
Groupe départemental évaluation 7
Exercice d’application
Organisation
Par groupes de 4 en deux temps :
- les mesures sont individuelles, chacun utilise sa stratégie.
- la feuille réponse doit être remplie collectivement par le groupe : les enfants doivent se
mettre d’accord pour donner une seule réponse par mesure.
Déroulement :
- Dévolution de la consigne : « Qu’est ce qu’il y a sur la feuille ? »
Il est préférable de donner la consigne avant de distribuer les feuilles afin d’éviter l’usage
spontané de la règle. Réponse attendue : des traits, des segments, un rectangle.
- Recherche : « Vous allez découper les rectangles. C’est la longueur qui servira
d’unité. Avec lui vous devez mesurer les segments. » Le maître n’intervient pas sur le fond, uniquement pour réguler, observer et donc anticiper la
mise en commun qui suit. Il veille à ce que les élèves mesurent bien uniquement la longueur
du rectangle et non pas la largeur.
- Mise en commun :
Chaque groupe reporte ses propositions de mesure sur un grand tableau affiché (ci-dessous). Il
s’agit en premier lieu de faire apparaître les solutions communes, proches ou divergentes puis
d’introduire la notation ½ et de faire remplacer la conjonction « ET » par le symbole +.
Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Groupe 4 Groupe 5 Groupe 6 Groupe 7
AB
CD
EF
GH
IJ
A quoi peut-on s’attendre ?
- Dans les cas où la mesure est entière : les élèves vont mettre le nombre entier suivi d’une
indication de l’unité ou non.
- Dans les cas où la mesure n’est pas entière : les élèves peuvent mettre la partie entière (c’est-
à-dire le nombre entier de fois qu’ils ont pu reporter l’unité) et compléter avec les mots
« demi », « moitié ».certains vont sans doute déjà utiliser la notation ½ (elle est tout de même
courante). Certains proposeront des écritures à virgule comme 0,5 ou 1,5. Il les signaler et les
mettre de côté pendant la mise en commun. Il ne faut pas chercher à les expliquer durant la
première séance, c’est impossible. Il suffit d’indiquer que de telles écritures seront travaillées
en fin d’année.
Après examen des diverses propositions, le maître introduit les écritures qui utilisent la
notation ½, apporte le mot « fraction » et dit ce que l’ont met à la place du mot « et ».
- Exercice d’application :
Travail individuel suivi d’une correction rapide. Le maître a pris soin de circuler dans la
classe pour relever les erreurs ou les maladresses.
A B
C D
Mesure ces deux segments en te servant de ton unité
Groupe départemental évaluation 8
Séance n°2 : structuration du demi :
Objectifs pour les élèves :
- Mesurer des segments à l’aide d’une unité quelconque et d’une demi unité.
- Exprimer ces mesures sous la forme d’un entier n ou d’un entier et demi n +1/2.
- Lire ces expressions.
Matériel à préparer :
- Pour la phase de rappel au début de la séance, une bande unité U et quatre segments de
mesures 3, ½, 5+1/2, 4+1/2 avec l’unité U.
- Par élève : une fiche contenant deux exercices de structuration et un rectangle d’unité.
Fiche de travail individuel
Organisation :
Des phases de travail collectif vont alterner avec des phases de travail individuel.
Déroulement :
- Rappel de la séance n°1 : Après l’évocation de ce qui a été réalisé pendant la séance
précédente, le maître demande à des élèves, l’un après l’autre, de venir mesurer la longueur
Exercice N° 1 : Avec l’unité U, mesure le segment et écris le résultat avec des chiffres.
A B
C D
E F
G H
Bande unité U
Exercice N° 2 : Trace des segments. Voici leurs mesures. Sers-toi de ton unité U.
AB = 212
CD= 2
EF= 1 + 21
GH= 21 +
21 +
21
A
C
E
G
Attention : Interdire
l’usage de la règle...
Groupe départemental évaluation 9
des segments dessinés au tableau. C’est l’occasion de donner quelques conseils
méthodologiques :
o faire des petites marques sur le segment pour bien contrôler le report de la
bande d’unité,
o visualiser le nombre de reports à l’aide d’arcs (appelés des « ponts ») tracés le
long du segment
et de structurer les liens entre l’écriture littérale et l’écriture fractionnaire chiffrée. Pour cela,
chaque mesure est reportée dans le tableau dressé par le maître.
Ecrire en mots Ecrire en chiffres
AB
CD
EF
GH
- Application individuelle
Les élèves réalisent le premier exercice de la fiche. Le maître s’assure que tout cela ne leur
pose pas trop de problèmes et s’occupe de ceux qui sont le plus en difficulté.
Pour la correction, il ne sera sans doute pas utile de faire venir à nouveau mesurer les élèves
au tableau. Il suffira de collecter les réponses : un élève dicte sa réponse à deux élèves au
tableau, le premier écrit en mots, le second en chiffres ; le maître sollicite la classe sur la
validité des réponses et la correction des écritures. Il faut faire attention à ce que les élèves ne
confondent pas l’écriture 3+1/2 attendue sur le premier segment et 3/2 écriture non introduite
et qu’ils n’oublient pas le symbole + séparant la partie entière de la partie fractionnaire (des
élèves peuvent vouloir écrire 3 ½ au lieu de 3+1/2).
Pour le second exercice, les élèves travaillent seuls et l’enseignant circule dans la classe pour
valider les segments tracés.
- Consolidation
Il n’est pas indispensable de faire durer cette séance. Néanmoins, l'enseignant peut demander
à un élève de proposer une mesure à la classe. Tous dessinent sur leur cahier de brouillon un
segment dont la longueur correspond à cette mesure.
Il peut aussi dicter des nombres avec des demis ; « un demi », « deux plus un demi », « trois
et demi », «un demi plus un demi », « un et un demi », mélangeant ainsi les «et » et les
« plus ». Les élèves inscrivent le nombre avec des chiffres sur leur ardoise.
Séance n°3 : introduction du quart
Objectif pour les élèves
- Mesurer des segments à l’aide d’une demi unité quelconque, d’une demi unité et du
quart d’unité.
- Exprimer ces mesures sous la forme d’un entier ou d’un entier avec un demi et/ou un
quart…
- Lire ces expressions.
- Ecrire ces expressions sous la dictée
- NB : il n’est ni prévu d’introduire l’expression « trois quarts », ni prévu de rechercher
à montrer que deux demis valent un, ni que deux quarts valent un demi. Ne pas aller
trop vite, il y a d’autres séances.
1 1 1 21
1
Groupe départemental évaluation 10
Matériel à préparer :
- pour la première recherche, une bande d’unité U et un segment [AB] dessinés au
tableau,
- deux fiches photocopiées pour chaque élève ; les segments de la 1ère
ont été reproduits
en grand tableau.
Fiche de travail n°1
Avec l’unité U, mesure le segment et écris le résultat avec des chiffres.
I J
K L
A B
C D
G H
E F
Bande unité U
Groupe départemental évaluation 11
Fiche de travail n° 2
(Insérer l’image du bateau scanné)
Mesures Segments
1
41
41
21
411
21
Organisation : alternance de travail collectif et de travail individuel
Déroulement :
- Rappel des séances précédentes : il s’agit simplement de rappeler que l’on a mesuré
des segments avec des unités et que pour écrire la mesure, il a fallu utiliser parfois le nombre
½, appelé « fraction » (le mot est introduit et écrit au tableau).
- Recherche sur la manière d’écrire ¼ : l'enseignant distribue la première fiche, explicite
la consigne. Il va falloir mesurer les segments avec l’unité à découper. Mais, dans un premier
temps, il limite la recherche au seul cas du segment [AB].
Les élèves découpent leur unité et s’emploient à mesurer ce segment, sa mesure vaut un quart.
Beaucoup vont plier deux fois leur bande, trouver même que la mesure correspond à la moitié
de la moitié ou au quart, mais, en général ils ne sauront pas écrire la réponse avec des chiffres.
L'enseignant les invite alors à écrire leur réponse avec des mots s’ils ne peuvent pas le faire
avec des chiffres.
Trouve les segments qui correspondent aux mesures écrites dans le tableau ci-dessous et écris leur
nom dans ce tableau. Sers-toi de la bande unité.
Groupe départemental évaluation 12
L'enseignant collecte alors les propositions des élèves, les écrit au tableau. Un élève vient
montrer comment il a procédé pour trouver sa réponse ; un autre élève encore, s’il a utilisé
une méthode différente…
L'enseignant valide les réponses du type « un quart », « la moitié d’un demi », « la moitié de
la moitié » et indique comment écrire la fraction correspondant à la mesure de AB, c'est à dire
41 et confirme que « un quart » est bien égal à la « moitié d’un demi ».
- Premier réinvestissement individuel :
Sur la même fiche, les élèves doivent mesurer les autres segments. L'enseignant demande aux
élèves d’être précis et d’écrire leurs réponses en utilisant les nombres habituels et les fractions
connues ½ ou ¼ ou les deux quand c’est nécessaire.
Pour la mise en commun, l'enseignant collecte les réponses en se les faisant dicter par les
élèves ; il les reporte dans un tableau (cf. ci-dessous). Il en fait vérifier quelques unes à l’aide
des segments tracés au tableau et avec l’unité qu’il a préparée. Il ne sera sans doute pas utile
de refaire toutes les mesures s’il y a, comme c’est probable, unanimité dans la classe.
Mesures trouvées
AB 41
CD 1+ 41
EF 21 +
41 ou
41 +
41 +
41
GH
IJ
KL
Remarques :
- Bien relever et commenter les erreurs observées, les oublis du symbole « + » etc…
- Ne pas s’attarder sur une réponse juste, comme ¾ pour la longueur EF. Signaler que
de telles écritures où le nombre au dessus du trait de fraction est plus grand que 1,
seront bientôt travaillées.
- Second réinvestissement individuel
L'enseignant distribue la deuxième fiche de travail (le bateau), explicite la consigne en attirant
bien l’attention des élèves sur l’unité à utiliser et les emplacements des réponses. Pour chaque
mesure donnée, il peut y avoir plusieurs segments à reporter de manière claire. L’utilisation
des crochets est rappelée...
Après ce travail individuel, le maître récapitule les réponses au tableau avec l’aide de la
classe ; cette validation doit être menée assez vite.
- Consolidation :
L'enseignant rappelle les termes « un demi », « un quart », « deux quarts », « deux et demi »,
« un et un quart », « un et un demi » ; les élèves les écrivent sur leur ardoise. Chaque réponse
est validée avant de passer à la dictée du nombre suivant.
Groupe départemental évaluation 13
Séance n°4 : écritures fractionnaires avec des demis et des quarts
Objectif pour les élèves
- Mesurer des segments à l’aide d’une demi unité quelconque, d’une demi unité et du
quart d’unité
- Exprimer ces mesures sous diverses formes en utilisant des nombres entiers et des
fractions.
NB : il est prévu d’introduire les expressions « trois quarts », « deux quarts », « deux demis »
etc. et de dire comment de telles fractions s’écrivent.
Matériel à préparer :
- pour toute la séance, une bande unité U pour le tableau,
- une fiche photocopiée pour chaque élève ; les segments du premier exercice ont été
reproduits au tableau.
Fiche de travail
[AB] = 4
1
4
1 [CD]=
4
1
4
1
4
11 [EF]=
4
1
2
1
4
1
2
1
[AB] =
[CD] =
[EF] =
Autres écritures
2
1
4
1
4
1
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
4
11
4
1
2
1
Bande unité U
Exercice n°1. Trace les trois segments [AB], [CD], [EF]. Voici leurs longueurs
mesurées avec l’unité U.
A
C
E
Exercice n°2. Peux-tu trouver d’autres écritures mathématiques pour ces mesures ?
Exercice n°3.
Groupe départemental évaluation 14
Déroulement :
- Rappel à propos des fractions connues : ½ et ¼. Un élève vient montrer sur la bande
unité du tableau ce que représente la fraction ½ puis la fraction ¼.
L'enseignant distribue ensuite la fiche de travail et engage les élèves à réaliser la première
tâche qui consiste à tracer des segments dont la mesure, imposée, est donnée sous la forme de
sommes de fractions. Pendant ce temps un élève réalise ce travail au tableau. L'enseignant
circule dans les rangs pour observer si le travail se réalise sans erreur ; il aide et reprend les
élèves qui se trompent. Il est important pour la suite du travail que tous les élèves aient une
solution correcte.
- Recherche : l'enseignant explicite la consigne de l’exercice n°2. lLe travail est
individuel. Les élèves contrôlent mutuellement leurs réponses deux par deux.
L'enseignant collecte les réponses trouvées que les élèves viennent valider au tableau.
Il introduit ensuite les notations ¾, plus généralement a/4 et b/2 que l’on utilise pour
raccourcir des écritures comme ¼ + ¼ + ¼, ¼ + ¼+…(a fois) , ½ + ½ + ½… (b fois)
- Consolidation : C’est l’exercice n°3 qui en tient lieu. L'enseignant sollicite les élèves
qui ont des réponses différentes pour venir expliciter comment ils sont parvenus à les trouver.
NB : d’autres exercices de structuration étaient possibles. Par exemple :
- Proposer des dictées de fractions : « deux quarts », « trois quarts » etc…
- Faire tracer des segments dont la mesure est donnée sous forme fractionnaire réduite :
3/4; 5/4 ; 3/2 ; 6/2 etc… sans avoir forcément le souci de travailler tout de suite sur les
fractions équivalentes (ne pas parler trop vite de simplifications)…
- Faire mesurer des segments et écrire la mesure sous diverses formes : une seule
fraction ou un entier et des demis et/ou des quarts etc…
Groupe départemental évaluation 15
Matrice de travail pour graduations décimales
(travail sur le dixièmes)
Groupe départemental évaluation 16
Matrice de travail pour graduations décimales
(travail sur les dixièmes et les centièmes)
Groupe départemental évaluation 17
Planche de carrés quadrillés pour travailler sur les fractions décimales.
Groupe départemental évaluation 18
Exemple de séance consacrée à la comparaison de fractions décimales
NB : Cette séance est très proche de celle que X a construite et conduite pour ses élèves de
CM1 au moment (début mars) où elle souhaitait passer aux écritures à virgule. Elle s’était
aperçue après un premier essai qu’il fallait un rappel des décompositions car celles-ci
n’étaient plus disponibles chez les élèves ; plusieurs semblaient les avoir oubliées depuis le
moment où elles avaient été travaillées (fin janvier).
Objectifs pour les élèves :
- Comparer des fractions décimales.
- Expliciter des règles pour de telles comparaisons et leurs justifications.
Matériel à préparer :
- Un choix de six fractions (la première phase du déroulement ci-après) pour lesquelles la
remise en ordre n’est pas immédiate à cause de la présence de deux dénominateurs différents
10 et 100.
- Les habituels carrés quadrillés (les pochettes pour les élèves, les grands carrés pour le
tableau).
Attention ! Ce matériel n’est ni montré, ni même évoqué en début d’activité. C’est aux élèves
de penser à l’employer s’ils ne parviennent pas aux comparaisons sans lui.
Déroulement :
1. Passation du problème :
Rangez dans l’ordre croissant les fractions :
10
7
100
312
100
4
10
50
10
12
100
42
Cet énoncé est écrit au tableau. Il est rapidement commenté car vite compris. Le maître
indique qu’il faudra savoir expliquer et justifier la méthode employée.
2. Recherche :
Les élèves travaillent d’abord individuellement. Le maître veille à ce que les élèves n’oublient
aucune fraction, qu’ils les rangent bien dans l’ordre demandé et non l’inverse. Il ne donne
aucune indication de méthode, ne fait aucune suggestion de matériel. Il observe et relève pour
lui les rangements trouvés.
Ensuite, les élèves travaillent par deux, se contrôlent mutuellement et tentent de se mettre
d’accord.
Groupe départemental évaluation 19
3. Mise en commun :
Le maître collecte les solutions différentes. Elles sont écrites au tableau en gardant bien les
écritures de l’énoncé.
A titre d’exemple, voici les solutions proposées dans la classe observée :
100
4<
100
42<
10
7<
10
12<
10
50<
100
312
100
4<
100
42<
10
7<
10
12<
100
312<
10
50
100
4<
10
7<
10
12 <
100
42<
10
50<
100
312
100
4<
10
7 <
100
42<
10
12<
10
50<
100
312
Certains élèves ne sont pas parvenus à un rangement complet.
Le rôle du maître est alors d’engager un débat sur les solutions ; ce débat doit aboutir à
repérer la solution exacte, s’il y en a une, ou à relancer la recherche, s’il n’y en a pas.
Dans la classe observée, il y a unanimité sur la place de 4/100, le premier enjeu a été de savoir
quelle fraction mettre ensuite : 7/10 ? 42/100 ? une autre ? Les arguments ont été riches et
variés :
-par exemple : 7 /10=70/100 comme 70/100>42/100 donc 7/10>42/100
-ou 42/100, c’est moins que la moitié d’un entier et 7/10, c’est plus que la moitié d’un entier
(ici, cet argument fait assez directement référence aux carrés quadrillés)
-ou encore il faut comparer 7/10 et 42/100, comme 42/100=4/10+2/100, donc 42/100 est près
de 4/10, avec 2/100, cela ne peut pas dépasser 7/10 (ici aussi, on sent la référence aux carrés
quadrillés).
Ensuite ces arguments ont été réutilisés pour les autres fractions.
Bien sûr le déroulement de la mise en commun dépend des solutions des élèves et des
arguments qu’ils avancent spontanément. En cas de panne, le maître pourra relancer la
recherche en suggérant d’utiliser les carrés quadrillés et fera ressortir les pochettes si personne
n’y a pensé.
4. Consolidation :
Le maître propose une nouvelle liste de fractions décimales à ranger dans l’ordre croissant en
utilisant les décompositions canoniques (éventuellement assistées des carrés quadrillés).
Voici à titre d’exemple une telle liste :
10
3
100
213
10
102
10
26
10
206
100
5
Comme dans la série utilisée dans la séance, deux procédures sont mises en défaut :
- celle qui consiste à ordonner les numérateurs sans tenir compte des dénominateurs,
- celle qui consiste à séparer les fractions ayant le dénominateur égal à 10 des autres et
ordonner les deux sous-listes séparément.
Groupe départemental évaluation 20
Exemples d’activités sur le passage des fractions décimales aux écritures à virgule
A - Séquence de rappel sur les diverses écritures fractionnaires d’un nombre décimal.
Activité n°1. But : représenter des nombres décimaux (écritures fractionnaires diverses) à
l’aide d’un ou deux matériels.
Tâche proposée aux élèves : leur faire représenter sur une bande graduée et/ou à l’aide de
surfaces (carrés, bandes, carreaux) les nombres suivants :
2/10 8/100
1 + 6/10 + 7/100 2 + 3/100
35/100 13/10
150/100 274/100
Organisation : le travail est fractionné, individuel ou à deux, corrigé collectivement sur un
matériel analogue à celui des élèves mais agrandi au tableau, de manière à ce que, surtout
pour les derniers nombres, les décompositions soient bien verbalisées en utilisant les mots
« unités, dixièmes, centièmes ».
Activité n°2. But : se rendre compte qu’un nombre décimal peut avoir plusieurs écritures
fractionnaires différentes.
Consigne : J’ai écrit une liste de nombres. Ils sont tous égaux sauf un. Lequel ?
[Tu peux te servir de ta bande graduée ou des surfaces (carrés, bandes, carreaux)] : aide éventuelle…
1 + 3/10 13/10 1 + 3/100 130/100
Même consigne avec les listes suivantes :
1 + 17/100 117/100 1 + 1/10 + 7/100 1 + 1/100 + 7/100
246/100 2/100 + 4/100 + 6/100 200/100 + 40/100 + 6/100 2 + 46/100
Organisation : semblable à la précédente.
Groupe départemental évaluation 21
Activité n°3. But : produire plusieurs écritures fractionnaires d’un nombre représenté avec du
matériel (bande graduée ou surfaces).
Consigne : J’ai représenté un nombre sur la bande graduée et avec des surfaces. A toi
d’écrire ce nombre avec des fractions ; trouve plusieurs écritures.
………I………I………I………I………I………I………I………I………I………
X
………I………I………I………I…
Même consigne avec : 315/100 204/100 150/100 ; multiplier les exemples avec
ou sans le chiffre 0 ; terminer par 1 1/10 7/10.
Organisation : travail fractionné individuel ou à deux. Le maître collecte les décompositions
au tableau. Au début les réponses sont corrigées collectivement au tableau. Au fur et à mesure
des exemples, une telle correction ne s’imposera plus, la collecte suffira.
Activité n°4. But : identique au précédent.
Tâche proposée aux élèves : demander à un élève de proposer un nombre de centièmes à la
classe, les autres élèves doivent en trouver des écritures développées.
Organisation : il s’agit d’une activité d’entraînement ; elle doit donc être menée assez
rapidement et devrait être reprise périodiquement en guise d’entretien.
B - Séquence sur l’utilisation de la virgule pour écrire des dixièmes.
Activité n°1. But : montrer comment lire des nombres à un chiffre après la virgule et les
représenter avec des écritures fractionnaires.
Annoncer aux élèves qu’ils vont apprendre comment écrire autrement les nombres décimaux ;
au lieu de les écrire avec des fractions, ils vont les écrire sur une seule ligne avec une virgule.
Tâche donnée aux élèves : proposer une bande graduée où certains points sont repérés par un
nombre avec un chiffre après la virgule. Solliciter des remarques, une légende pour ce
nouveau moyen de repérer les points de la droite ; faire compléter la graduation et écrire les
fractions correspondant aux nombres non encore marqués.
Groupe départemental évaluation 22
0,1 0,2 0,3 0,4 0,7 1
………I………I………I………I………I………I………I………I………I………
1,3 1,4
………I………I………I………I
(Aller au-delà et mettre 1,9 ; 2 ; 2,1…).
Organisation : groupe-classe au complet pour la formulation et la collecte de remarques puis
travail individuel avec correction collective pour la suite.
Structuration : confirmer que
0,1 = 1/10
0,4 = 4/10
1,3 = 1 + 0,3 = 1 + 3/10 = 13/10
Entraîner les élèves à lire les nombres (n’importe quel nombre repéré sur la bande, les élèves
étant pris au hasard)…
« 0,4 » se lit « zéro unité quatre dixièmes »
« quatre dixièmes »
« zéro virgule quatre »
« 1,6 » se lit « une unité six dixièmes »
« seize dixièmes »
« un virgule six »
Ces deux exemples peuvent être affichés.
Activité n°2. But : représenter un nombre écrit avec zéro ou un chiffre après la virgule, à
l’aide du matériel habituel : bande graduée, surfaces quadrillées.
Tâche pour les élèves : leur donner des nombres décimaux écrits avec une virgule (cf. par
exemple la liste ci-dessous), à eux de les placer sur une bande graduée, de les représenter avec
des surfaces quadrillées et de produire une ou plusieurs écritures associées.
0,7 2,1 3 2,5 1,9 2,0
Organisation : travail individuel, correction mutuelle à deux, correction collective au tableau
avec du matériel analogue à celui des élèves mais agrandi. En guise de récapitulation,
quelques élèves sont sollicités pour lire (de plusieurs façons) les nombres proposés (cacher les
écritures fractionnaires pendant la lecture, elles sont découvertes pour valider la lecture).
Activité n°3. But : identique à celui de l’activité n°2.
Tâche : semblable à la précédente, mais c’est un élève (à tour de rôle) qui propose le nombre
aux autres élèves.
Organisation : semblable à la précédente, mais la correction peur aller plus vite s’il n’y a pas
de graves incompréhensions.
Activité n°4. But : écrire, lire des nombres décimaux.
Tâche : le maître dicte un nombre, les élèves l’écrivent soit directement avec une virgule, soit
d’abord sous l’une des formes fractionnaires puis avec une virgule.
Exemples de tels nombres :
1ère
série : « zéro virgule sept », « deux virgule cinq », « dix virgule trois », etc…
Groupe départemental évaluation 23
2ème
série : « zéro unité quatre dixièmes », « trois unités six dixièmes », « deux unités zéro
dixième », etc…
3ème
série : « quinze dixièmes », « vingt et un dixièmes », etc, « dix dixièmes », « trente
dixièmes », etc…
Organisation : travail individuel sur ardoise, correction au tableau en cas d’erreur, surtout
pour les deux dernières séries : revenir à la bande graduée pour faire retrouver la bonne
réponse.
En profiter pour ajouter sur l’affiche :
Dix dixièmes = 1,0 = 1
Trente dixièmes = 3,0 = 3
Cette activité sert d’entraînement, elle sera reprise régulièrement dans les séances ultérieures.
C - Séquence sur l’utilisation de la virgule pour écrire des dixièmes et des centièmes.
Activité n°1. But : montrer comment lire des nombres à un ou deux chiffres après la virgule et
les représenter avec des écritures fractionnaires.
Annoncer aux élèves qu’ils vont faire un travail semblable à celui de la séquence précédente,
mais avec des nombres qui pourront avoir 0, 1 ou 2 chiffres après la virgule.
Tâche donnée aux élèves : proposer une bande graduée, où certains points sont repérés par un
nombre avec un ou deux chiffres après la virgule. Solliciter des remarques, une légende pour
ce nouveau moyen de repérer les points de la droite ; faire compléter la graduation là où des
flèches ont été portées et écrire les fractions correspondant à ces nouveaux nombres.
? ? ? ? ? ? ?
A B C D E F G
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
….I….I….I….I….I….I….I….I….I….I….I….I….I….I….I….I….I….I….I….
? ? ? ? ?
H I JKL
↓ ↓ ↓↓↓
….I….I….I….I….I….I….I….
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
0,01 0,1 0,15 0,2 0,36 0,6 0,92 1 1,08 1,18 1,23
0,04
Organisation : comme pour l’activité n°1 de la séquence précédente.
Structuration : confirmer que
0,01 = 1/100
0,04 = 4/100
0,36 = 0,3 + 0,06 = 3/10 + 6/100 = 36/100
1,23 = 1 + 0,2 + 0,03 = 1 + 2/10 + 3/100 = 123/100
Entraîner les élèves à lire les nombres (n’importe quel nombre repéré sur la bande, les élèves
étant pris au hasard) ; les écritures fractionnaires servent d’appui, légitiment les diverses
lectures possibles. Il ne devrait pas être nécessaire d’introduire le tableau de numération
« prolongé » (cad unités, dixièmes, centièmes)
« 0,04 » se lit « zéro unité quatre centièmes »
« quatre centièmes »
« zéro virgule zéro quatre »
« 2,06 » se lit « deux unités six centièmes »
« deux cent six centièmes »
« deux virgule zéro six »
« 1,57 » se lit « une unité cinquante-sept centièmes »
« une unité cinq dixièmes sept centièmes »
Groupe départemental évaluation 24
« cent cinquante-sept centièmes »
« un virgule cinquante-sept »
Ces divers exemples peuvent être affichés.
Activité n°2. But : représenter un nombre écrit avec zéro, un ou deux chiffres après la
virgule, à l’aide du matériel habituel : bande graduée, surfaces quadrillées.
Tâche pour les élèves : donner des nombres décimaux aux élèves (cf. par exemple les listes ci-
dessous), à eux de les placer sur une bande graduée, de les représenter avec des surfaces
quadrillées et de proposer des écritures fractionnaires associées.
1ère
liste : 1,36 2,91 0,55 0,99 etc…
2ème
liste : 0,08 1,03 2,05 1,09 etc…
3ème
liste : 1,00 3,4 1,50 2,1 etc…
Organisation : semblable à celle pour l’activité n°2 de la séquence précédente, en particulier
ne pas oublier ce qui est proposé pour la lecture.
Activité n°3. But : identique à celui de l’activité n°2.
Tâche : semblable à la précédente, mais c’est un élève (à tour de rôle) qui propose le nombre
aux autres élèves.
Organisation : semblable à la précédente, mais la correction peut aller plus vite s’il n’y a pas
de graves incompréhensions.
Activité n°4. But : se rendre compte qu’un nombre décimal peut avoir plusieurs écritures à
virgule différentes.
Consigne : J’ai écrit une liste de nombres. Ils sont tous égaux sauf un. Lequel ? Tu
peux te servir de ta bande graduée ou des surfaces quadrillées.
1,3 1,30 1,03
Même consigne avec les listes suivantes.
2,05 2,05 2 + 0,05
3,0 3 0,3 3,00
1,4 1 + 0,4 1 + 0,40 1 + 0,04
(Rajouter des fractions)
Organisation : travail fractionné, individuel suivi d’abord d’une correction mutuelle deux par
deux et d’une correction collective à l’aide d’une bande graduée en cas de désaccord
persistant.
Ajouter sur l’affiche quelques égalités caractéristiques, comme :
1 = 1,0 = 1,00
2 = 2,0 = 2,00
0,1 = 0,10
0,2 = 0,20
3,4 = 3,4
Groupe départemental évaluation 25
Activité n°5. But : écrire, lire des nombres décimaux.
Tâche : le maître dicte un nombre, les élèves l’écrivent soit directement avec une virgule, soit
d’abord sous l’une des formes fractionnaires puis avec une virgule.
Exemples de tels nombres :
1ère
série : « zéro virgule dix-sept », « trois virgule vingt et un », « deux virgule zéro six »,
« trois virgule dix », etc…
2ème
série : « zéro unité quatre dixième trois centièmes », « une unité deux dixièmes cinq
centièmes », « une unité soixante-treize centièmes », « deux unités cinq dixièmes », « trois
unités soixante centièmes », « une unité huit centièmes », etc…
3ème
série : « deux dixièmes », « vingt dixièmes », « trente et un dixièmes », « quatre
dixièmes » etc…
4ème
série : « deux centièmes », « vingt centièmes », « cent vingt-cinq centièmes », « dix-neuf
centièmes », « quatre vingt dix-neuf centièmes », « cent centièmes », etc…
Organisation : travail individuel sur ardoise, correction au tableau en cas d’erreur, surtout
pour les deux dernières séries. Revenir à la bande graduée pour faire retrouver la bonne
réponse.
Il sera peut-être opportun d’introduire le tableau de numération « prolongé » et de compléter
l’affiche avec des exemples de son utilisation.
unités
1/10
dixièmes
1/100
centièmes
Une unité huit centièmes
Cent vingt-cinq centièmes
1,
1,
0
2
8
5
Cent huit centièmes
Une unité vingt-cinq centièmes
Cette activité sert d’entraînement, elle sera reprise régulièrement dans les séances ultérieures
en mélangeant les séries et en revenant aux graduations avec des écritures fractionnaires dès
que nécessaire.
Groupe départemental évaluation 26
RESURGENCE DE REGLES IMPLICITES
DANS LA COMPARAISON DE NOMBRES DECIMAUX
D’après C. Grisvard et F. Léonard (laboratoire de Psychologie expérimentale de l’université de Nice).
Il est apparu que beaucoup d’élèves, qui ne se trompent pas dans des comparaisons
simples, utilisent des « règles fausses » lorsque les comparaisons deviennent plus complexes.
On comprendra l’importance de la connaissance de ces règles en constatant qu’elles
fournissent souvent la bonne réponse. Ainsi, l’élève qui les utilise a rarement l’occasion de
découvrir qu’il se trompe, de même que le professeur a peu l’occasion de constater que
l’élève n’utilise pas la bonne procédure.
Les trois règles mises en évidence s’appliquent lorsque les nombres décimaux
considérés ont la même partie entière.
REGLE n°1
Elle applique la règle de comparaison des entiers aux parties décimales considérées
seules.
12,8 < 12,17 ………………. « car »………….8 < 17
12,1 < 12,02 ………………… « car »…………..1 < 2
12,18 < 12,289………………. « car »…………18 < 289
REGLE n°2
Elle range les décimaux en ordre inverse de la longueur de leur partie décimale.
12,17 < 12,8
12,02 < 12,1
12,289 < 12,18
Lorsqu’il n’y a que deux décimaux à comparer, il n’y a que deux réponses possibles
dont une est la bonne réponse. Lorsque les règles 1 et 2 sont toutes les deux susceptibles
d’être appliquées, elles sont contradictoires et l’une d’elles donne la bonne réponse. Par
contre, lorsque l’une d’elles ne peut être appliquée (par exemple R1 pour 19,02 et 19,2 ou R2
pour 12,17 et 12,81) celle qui s’applique donne toujours la bonne réponse.
REGLE n°3
Le plus petit des nombres est celui dont la première décimale est zéro, les autres étant
rangés par ailleurs selon la règle n°1.
Elle apparaît de façon nette dans les réponses des élèves lorsque la comparaison porte
sur plus de deux décimaux et concerne les séries dont un des nombres a pour première
décimale un zéro ; illustration de la règle :
Les différentes règles donnent pour un ordre croissant :
Bonne réponse 4,06 < 4,249 < 4,3
Règle 1 4,3 < 4, 06 < 4, 249
Règle 2 4,249 < 4,06 < 4,3
Règle 3 4,06 < 4,3 < 4,249
Il s’agit d’un progrès puisque cette nouvelle règle inclut la n° 1 et qu’elle prend en compte
une donnée supplémentaire.
La tâche de sériation de listes plus longues (qu’un couple !) est susceptible de faire apparaître
de nouvelles régularités dans la réponse des élèves et donc de permettre l’identification de
règles implicites qui, dans le cas de la comparaison de couples, ne pourraient être distinguées
de celles déjà connues.
