8/14/2019 Rsum fctions holomorhes, rsidus

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Dfinition : Connexe

Un sous-ensemble U de C est connexe si deuxpoints quelconques de U peuvent trerejoints par une courbe seinclusedans U.Si de plus U est ouvert alors il est appel domaine.

Si toute courbe ferme dans un domaine U peut tre rduite par dformation continue aun point sans quitter U, le domaine est dit simplement connexe, sinon, on lappellemultiplement connexe.Intuitivement, un domaine simplement connexe na pas de trous, un domainemultiplement connexe en possde

Conditions de Cauchy-Riemann

Proposition : Soit f(z) = u(x, y) + j v(x, y) une fonction dfinie et continue sur unvoisinage de z0. Si f est drivable en z0 = x0 + i y0, alors u et v admettent en (x0,y0) desdrives partielles premires par rapport chacune de leurs variables, et on a :

u/x= v/y et u/y= v /x

Proposition : Si les fonctions u et v admettent des drives partielles premirescontinues sur un voisinage de z0 et si ces drives satisfont aux relations de Cauchy-Riemann en z = z0, alors f est drivable en z0.

Conditions de Cauchy-Riemann en coordonnes polaires

u/r= (1/r)(v/) et v/r= (1/r)(u/)

Proposition : En pratique, pour calculer lexpression de f(z) quand f est donne partirde u et v, on utilise lune des formules dduites de la dmonstration des relations deCauchy-Riemann :

f(z) =u/x+iv/x(=v/y-iu/y=u/x-iu/y=v/x+iv/y)

Fonctions analytiques (ou holomorphes)

Dfinition : On dit dune fonction f quelle est analytique dans un ouvert U du plancomplexe si et seulement si elle est drivable en tout point de U.

Proposition : Soit f analytique sur un domaine. Si u (et v) est de classe C2 sur, alors u(et v) satisfait lquation de LAPLACE dans U :

2u/x2 + 2u/y2 = 0 (et 2v/x2 + 2v/y2 = 0)u vrifiant lquation de LAPLACE est dite harmonique.

Transformations conformes

Dfinition :(Transformation conforme) Une transformation dun domaine U quiconserve tous les angles en grandeur et en sens est dite transformation conforme de U.

Thorme : Soit w = f(z) une fonction analytique dans un domaine U telle que f(z) 0en tout point de U.Alors la transformation ralise par cette fonction est une transformation conforme de U.

INTGRATION DANS LE PLAN COMPLEXE

Si, quand n de manire ce que |z(k) z(k1)| 0 pour tout k de [1,n], Alorslintgrale curviligne de f(z) le long de la courbe est dfini par :

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Proposition : Soit f intgrable le long de la courbe de longueur curviligne L.Soit M = sup(|f|) (on suppose que M est fini). Alors on a :

Thorme :(Formule de Green dans le plan) Soient P(x, y) et Q(x, y) deux fonctionscontinues et a drives partielles continues dans un domaine et sur sa frontire .

Alors, la formule de Green tablit la relation suivante :

O lintgration le long de est a effectuer dans le sens direct. La formule est vraie pourles domaines simplement connexes ou multiplement connexes.

Thorme de Cauchy

Thorme 3.2 (Thorme de Cauchy) Soit f(z) une fonction analytique dans undomaine simplement connexe et soit une courbe ferme contenue dans . Alors

Corollaire 3.1 (Proprit dhomotopie) Soit f(z) une fonction analytique dans undomaine simplement connexe . Si a et b sont deux points quelconques de , alorslintgrale curviligne

est indpendante de la courbe dans qui joint les points a et b.

Formule intgrale de Cauchy

Proposition : Soit f analytique sur un domaine simplement connexe , et aappartient . Alors on a, pour tout contour de orient positivement et entouranta :

Proposition : Soit f analytique sur un domaine , alors f est de classe C sur .Si de plus est simplement connexe, pour tout contour entourant a on a :

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Thorme du maximum : Soit f une fonction analytique sur un domaine . Le module |f| ne peut prsenter de maximum local strict en un point z0 appartient .

Proposition : Soit f analytique sur un domaine . Si en un point z0 appartient , |f|prsente un maximum local relatif, alors f est constante sur .

Thorme (Morera) : Soit f une fonction continue dans un domaine simplementconnexe. Si pour tout contour appartient C on a :

alors f est analytique sur .

Fonctions entires : On appelle fonction entire une fonction analytique sur tout C.

Thorme (Liouville) : Soit f une fonction entire.Si f est borne (i.e. M appartient IR+ tel que z appartient C |f(z)| M), alors f estconstante.

Points singuliers Soit z0 un point au voisinage duquel f nest pas analytique. On dit que z0 est un pointsingulier de f. Soit z0 un point singulier de f. Sil existe un disque ouvert point (i.e. priv de z0) decentre z0 et de rayon r > 0 dans lequel f est analytique, alors on dit que z0 est un pointsingulier isol.

Thorme des rsidusSoit un domaine simplement connexe de C et soit (z1,...,zn) un nombre fini de points de isols et distincts.Soit de plus f analytique dans \{z1,...,zn}. Si on prend un contour contenu dans etentourant les zi,i appartient [1,n], sans rencontrer ces points, et orient positivement,alors :

Si z0 est un ple simple

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Si z0 est un ple dordre m

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Introduction aux variations

Equation dEuler dans le cas simple

Problmes isoprimtriques

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