résumés_series_entieres

7/28/2019 rsums_series_entieres

1/6

Sries entires

I Rayon de convergence dune srie entire

I.1 Dfinitions

Dfinition 1. Soit (an)nN une suite de nombres complexes. On appelle srie entire associe la suite

(an)nN la srie de fonctions

un o pour tout z C, un(z) = anzn.Dans la suite, on notera par abus

anz

n une telle srie et f sa somme, dfinie pour tout z C pour lequella srie numrique

anz

n converge par :

f(z) =

n=0

anzn.

Remarque 1. Si (an)nN est une suite relle, on noteraanxn la srie entire associe.

Exemples 1.

zn, zn

n!sont des sries entires.

Toute fonction polynomiale est une srie entire associe une suite (an)nN nulle partir dun certainrang.

(1)nz2n est une srie entire lacunaire : la suite (an)nN est en effet telle que pour tout n N,

a2n = (1)n et a2n+1 = 0.

Proposition 1 (Lemme dAbel). Soient

anz

n une srie entire et r un rel strictement positif tel que

la suite (anrn

)nN est borne. Alors, pour tout complexe z tel que |z| < r, la srie numriqueanzn estabsolument convergente.

Remarque 2. On note D(0, r) = {z C, |z| < r}.

Dfinition 2. On appelle rayon de convergence de la srie entire

anzn, llment deR+{} dfini

par :R = sup {r R+ | (anrn)nN est borne} .

Remarque 3. On note E = {r R+ | (anrn)nN est borne }. E est non vide : 0 E, Si E est major, alors R

R, sinon R = ,

E est un intervalle.

Thorme 1. Soient

anzn une srie entire de rayon de convergence R tel que 0 < R R, alors la srie entire

anzn est grossirement divergente.

Remarques 4.

Si R = 0 :

anzn converge z= 0.

Si R = : anzn converge pour tout z C.Dfinition 3. Soitanzn une srie entire de rayon de convergence R.Si la variable est complexe, le disque D(0, R) est appel disque ouvert de convergence.Si la variable est relle, lintervalle ] R, R[ est appel intervalle ouvert de convergence.


2/6

2 Lyce Henri BERGSON - PSI

Remarque 5. Si |z| = R, on ne peut rien conclure de manire gnrale.

Exemples 2. Comportement des sries entires

zn,

nzn, zn

n, zn

n2,

n!zn et zn

n!.

I.2 Dtermination pratique du rayon de convergence

Proposition 2. Soientanzn une srie entire de rayon de convergence R et z0

C.

1. Si la suite (anzn0 )nN est borne, alors R |z0|.

2. Si la srie

anzn0

diverge, alors R |z0|.

Remarque 6. Il nest pas toujours possible de trouver un tel z0 satisfaisant ces deux conditions.

Caractrisation importante.

La dtermination du rayon de convergence R de la srie entire

anzn ne dpend que du comportement

de la srie numrique

|anzn| :

R est lunique rel tel que

|an|rn converge si 0 < r < R et diverge grossirement si r > R. On se ramne

alors ltude de sries terme rels positifs.

En pratique, on pourra entre autres utiliser :

un quivalent de |an|,

la rgle de dAlembert pour les sries numriques termes rels positifs.

Remarque 7. Attention : la rgle de dAlembert ne permet pas toujours daboutir et doit tre utilise avecprudence.

Exemples 3.

Rayon de convergence de la srie entire n!

nnzn.

Rayon de convergence de la srie entire

2nz2n.

Rayon de convergence de la srie entire anzn o pour tout n N, an est la ne dcimale de

2.

Proposition 3. Soient

anzn et

bnz

n deux sries entires de rayons de convergence respectifs Raet Rb.

1. Si an = bn, C, alors Ra = Rb.2. Si an bn, alors Ra = Rb.

3. Si |an| |bn|, alors Ra Rb.

4. Si an = nbn, alors Ra = Rb.

Exemples 4.

Rayon de convergence de la srie

f(n)zn, o f est une fonction rationnelle non nulle.

Rayon de convergence de la srie entire n3 + 3n

n2 + ln nanz

n en fonction de celui de anzn.I.3 Oprations sur les sries entires


anzn et

bnz

n deux sries entires de rayons de convergence respectifs Raet Rb. Alors, le rayon de convergence Ra+bde la srie entire

(an + bn)z

n vrifie :

Ra+b min (Ra, Rb) .

Si Ra = Rb, alors Ra+b = min (Ra, Rb).De plus, pour tout z C tel que |z| < min (Ra, Rb), on a :

n=0

(an + bn)zn =

n=0

anzn +

n=0

bnzn.


3/6

Chapitre 9 - Sries entires 3

Dfinition 4. Soient

anzn et

bnz

n deux sries entires, on appelle produit de Cauchy de ces deux

sries entires la srie entire

cnzn o la suite (cn)nN est dfinie par :

cn =

nk=0

akbnk =

p+q=n

apbq.

Proposition 5. Le rayon de convergence Rab du produit de Cauchy de deux sries entiresanzn etbnz

n vrifie :Rab min (Ra, Rb) .

De plus, pour tout z C tel que |z| < min (Ra, Rb), on a :n=0

cnzn =

n=0

anzn

n=0

bnzn

.

Remarque 8. Attention : Si Ra = Rb, on na pas forcment Rab = min (Ra, Rb).

Exemples 5.

Produit de Cauchy de la srie entire zn par elle-mme. z, z C, exp(z+ z) = exp(z) exp(z).

II Somme dune srie entire

II.1 Nature de la convergence - continuit

Thorme 2. Soit

anzn une srie entire de rayon de convergence R > 0. La srie entire

anz

n

converge normalement sur tout disque ferm D (0, r), 0 < r < R, inclus dans le disque ouvert de convergence.

Remarque 9. Attention : en gnral, il ny a pas convergence normale sur le disque ouvert de convergence

tout entier.

Exemple 6. Convergence des sries

zn,n1

xn

n, R+.

Proposition 6. Soit

anzn une srie entire de rayon de convergence R > 0. Alors, la somme de la

srie entire est une fonction continue sur le disque ouvert de convergence D(0, R).

Remarques 10.

Si R = , alors la fonction somme est continue sur C tout entier. Dans le cas dune srie entire variable relle, la fonction somme est continue sur lintervalle ] R, R[

et sur R tout entier si R = .II.2 Intgration et drivation terme terme

Dans ce paragraphe, on se limite aux sries entires variable relle.

Proposition 7. Soit

anxn une srie entire de rayon de convergence R. Les sries entires

ann + 1

xn+1

et

nanzn1 ont le mme rayon de convergence R.

Thorme 3. Soient

anxn une srie entire de la variable relle et de rayon de convergence R > 0 et

f sa somme.

1. On peut intgrer terme terme sur tout segment [a, b]

] R, R[ :ba

n=0

antn

dt =

n=0

an

ba

tndt.


4/6


2. En particulier, on a :

x ] R, R[,x0

f(t)dt =

n=0

an

n + 1xn+1.

Exercice 1.

En utilisant la srie entiren0

(1)nx2n, montrer que : x ] 1, 1[, arctan x =n=0

(1)nx2n+1

2n + 1.

En utilisant la srie entiren0

xn, montrer que : x ] 1, 1[, ln(1 + x) =n=1

(1)n1

nxn.

Thorme 4. Soient

anxn une srie entire de la variable relle et de rayon de convergence R > 0 et f

sa somme. La fonction f est de classe C1 sur lintervalle ] R, R[ et la drive est obtenue sur cet intervalleen drivant terme terme :

x ] R, R[, f (x) =n=1

nanxn1 =

n=0

(n + 1)an+1xn.

Corollaire 1. Soient

anx

n une srie entire de la variable relle et de rayon de convergence R > 0 et

f sa somme. La fonction f est de classe C sur lintervalle ] R, R[ et : k N, x ] R, R[, f(k)(x) =

n=k

n(n 1) . . . (n k+ 1)anxnk

=

n=0

(n + k)(n + k 1) . . . (n + 1)an+1xn.

En particulier, pour tout k N, on a f(k)(0) = k!ak.

Remarques 11.

Toutes ces sries admettent R pour rayon de convergence.

La somme f de la srie entire anxn de rayon de convergence R > 0 admet un dveloppement limit

tout ordre : n N, x ] R, R[, f(x) =

nk=0

akxk + o(xn).

Exemple 7. On considre la srie entire

xn. On trouve :

k N, x R, |x| < 1, 1(1 x)k+1

=

n=0

n + k

k

xn.

II.3 Unicit dune srie entire


anzn et

bnz

n deux sries entires qui convergent sur un disque D(0, r),r > 0 et dont les sommes concident sur ]r, r[. Alors les suites (an)nN et (bn)nN sont gales.

Corollaire 2. Soit

anxn une srie entire de rayon de convergence R et de somme f.

f est paire a2n+1 = 0 n N. f est impaire a2n = 0 n N.

III Dveloppements en sries entires

III.1 Fonctions dveloppables en srie entire

Dfinition 5. Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I de R et valeurs dansC. On dit que f est

dveloppable en srie entire en 0 sil existe r > 0 et une suite de complexes (an)nN tels que :

] r, +r[ I et x ] r, +r[, f(x) =n=0

anxn.


5/6

Chapitre 9 - Sries entires 5

Remarques 12.

f est de classe C sur ] r, r[ et an = f(n)(0)

n!pour tout n N.

Le rayon de convergence de la srie ainsi obtenue vrifie : 0 < r R.

Dfinition 6. Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I de R et valeurs dansC. On dit que f est

dveloppable en srie entire en x0 si la fonction x f(x + x0) est dveloppable en srie entire en 0.Dfinition 7. Soit f une fonction de classe C sur un intervalle ] r, r[ avec r > 0. On appelle srie deTaylor de f la srie entire

f(n)(0)n!

xn.

Proposition 9. Si f est dveloppable en srie entire en 0, ce dveloppement est unique : cest la srie deTaylor de f.

Remarque 13. Attention : il existe des fonctions de classe C qui ne sont pas dveloppables en srie entire(un exemple sera vu en TD).

Thorme5.

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ]r, r[ avec r > 0. La fonction f est dveloppableen srie entire sur ] r, r[ si et seulement si f est de classe C sur ] r, r[ et x ] r, r[, lim

nx0

(x t)n

n!f(n+1)(t)dt = 0.

Remarques 14.

Souvent, lingalit de Taylor-Lagrange suffira montrer ce rsultat.

En rsum, une fonction f est dveloppable en srie entire sur ] r, r[, r > 0 si et seulement si :

1. f est de classe C,2. la srie de Taylor de f est convergente sur ] r, r[,

3. f est la somme de sa srie de Taylor (le reste dordre n tend vers 0).

III.2 Mthodes de dveloppement en srie entire

Etude du reste dordre n de la srie de Taylor

Exemple 8. Dveloppement en srie entire en 0 de :

f : x ] 1, +[ (1 + x). Intgration ou drivation de dveloppements connus

Exemples 9. Dveloppements en srie entire de ln(1 + x), arcsin x, arccos x, arctan x, . . .

Produit de Cauchy de dveloppements connus

Utilisation dune quation diffrentielle

Exemple 10. Dveloppement en srie entire en 0 de :

f : x ] 1, +[ (1 + x). Cas des fonctions rationnelles

On commence par dcomposer la fonction rationnelle en lments simples : elle est alors combinaison linaire

de termes de la forme :1

(z a)k. Pour a = 0, on crit :

1

(z a)k =

1

(a)k 1

1 z

a

k ,

puis on utilise les sries drives de la srie

zn (cf. exemple 7 : formules valables pour z C galement).


6/6


Proposition 10. Toute fonction rationnelle nadmettant pas 0 pour ple est dveloppable en srie entireet son rayon de convergence est le plus petit des modules des ples.

Exercice 2. Soient a et b deux complexes non nuls distincts, dvelopper en srie entire la fonction :

f : z C\{a, b} 1(z a)(z b)

.

III.3 Dveloppements en srie entire classiques

Exponentielle complexe

Dfinition 8. On pose : z C, exp z=n=0

zn

n!.

Proposition 11. Soit z C, la fonction t R exp tz est gale la fonction t R etz. Onobtient ainsi un dveloppement en srie entire de t etz de rayon de convergence R = .Corollaire 3. Soit z= x + iy C, on a : exp z= ex(cosy + i siny).

Corollaire 4. On a les dveloppements en srie entire avec rayon de convergence R = suivants : x R, ch x =

n=0

x2n

(2n)!et sh x =

n=0

x2n+1

(2n + 1)!,

x R, cos x =n=0

(1)nx2n

(2n)!et sin x =

n=0

(1)nx2n+1

(2n + 1)!.

Quelques dveloppements en srie entire classiques

1

1 z = n=0

zn

R = 1

1

1 + z=

n=0

(1)nzn R = 1

ln(1 + x) =n=1

(1)n1xn

nR = 1

exp(z) =n=0

zn

n!R =

cos z=n=0

(1)nz2n

(2n)!R =

sin z=

n=0

(1)nz2n+1

(2n + 1)!R =

ch x =

n=0

x2n

(2n)!R =

sh x =

n=0

x2n+1

(2n + 1)!R =

arctan x =

n=0

(1)nx2n+1

2n + 1R = 1

Argth x =n=0

x2n+1

2n + 1R = 1

(1 + z) = 1 +n=1

( 1) . . . ( n + 1)

n!zn R = 1

Documents

résumés_series_entieres