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Retour sur la dynamique de rotationMoment de force;Moment d’inertie;
Approximation des petits angles
Énergie dans un pendule simple
Travail personnel
En utilisant:
On trouve:
alors:
0 I
mgsin L I
(car si 0, alors 0)
I mL2
− mgsinθ × L = mL2α
(car: d2dt2
)d 2dt2
+gLsin 0
alors:
équation du genre:
Solution: (en radian)
avec: et
sin ( est exprimé en radian)
T 2 L
g
g
L
max
sin t + )
d 2x
dt 2 + 2x0
d 2dt2
+gL 0
1. La période T est indépendante de l’amplitude (max) pour des petits angles.
2. La période T est indépendante de la masse m.
L
h
m
m
Énergie totale E = K + Ug
Énergie potentielle gravitationnelle:
Énergie cinétique de rotation:
avec le moment d’inertie: I = m L2
Ug mghmgL1cos)
K 12
Iddt
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ 2
On sait que: (en radian)
alors: (en radian/s)
et: (en Joule)
Pour des petits angles: cos 1 - ½ 2 …
(en radian)(réf. p. 404)
alors:
soit: Ug mgL ×max
2 sin2 t + φ⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
2
max
sin t + )
ddt
max cos t + )
K 12
mL2max2
2 cos2 t+φ⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
En prenant:
on obtient:
Remarque: L’énergie dans un mouvement harmonique simple est proportionnelle au carré de l’amplitude !
2 g
L
E 12×mgL × max
2
Exercice 31 (page 30)
La masse de 20 g d’un pendule simple de longueur 0,8 m est lâchée lorsque le fil fait un angle de 30° avec la verticale.a)Trouvez la période;b)La position angulaire (t);c)L’énergie mécanique;d)Le module de la vitesse de la masse à = 15°
Exercice 31 (suite)
a) On sait que
b) Pour la fonction position
alors T =2lg=1,79 s
=g
l= 3,50 s−1
Exercice 31 (suite)
c) On peut calculer l’énergie mécanique totale au point de départ, c’est-à-dire, lorsque le pendule se trouve à la position angulaire = 30°. À ce moment, toute l’énergie se retrouve sous forme d’énergie potentielle gravitationnelle, soit:
d) Pour obtenir la vitesse à = 15°, on utilise la
fonction vitesse:
E =K +U =0 joule + mgh=mgL(1−cos) =21,5 mJ
d t( )
dt=3,50 ×
6
cos 3,50t+2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Exercice 31 (suite)
d) Pour obtenir la phase à = 15°, on utilise la fonction position:
t( ) =π
6sin 3,50t +
π
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=π
12
On trouve , si l’on désire un temps positif, on ajoute 2 à l’angle. Il ne faut pas oublier qu’il y a deux vitesses possibles pour une position donnée. Alors les valeurs possibles de la phase sont:
3,50t +2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=6
56
et 136
Exercice 31 (suite)
Soit: d t( )
dt=3,50 ×
6
cos56
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ et 3,50 ×
6
cos136
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Pour obtenir la vitesse tangentielle, on multiplie par le rayon du mouvement (ici la longueur du pendule), alors:
v =1,80 ×3,50 ×6
cos56
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ et 1,80 ×3,50 ×
6
cos136
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
On obtient v = ± 1,27 m/s. Puisqu’on demande le module de la vitesse, alors v = 1,27 m/s!
Faire l’exemple: 1.9.
La question: 4.
Les exercices: 27, 31 et 79.
Les problèmes 5 et 13