Répartition optimale des puissances dans un réseau ... · Commencé à peloter et fatigué et sont restés jusqu'à nuits, Aimer en présence d'Allah et Son Messager après ma mère

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA

Faculté des Sciences Appliquées

Département de Génie Electrique

Mémoire MASTER ACADEMIQUE

Domaine : Sciences et technologies

Filière : Electrotechnique

Spécialité : Réseaux électriques

Présenté par :

Benyaza Mohamed Salah

Thème:

Soutenu publiquement

Le : 31 /05/2016

Devant le jury :

Année universitaire 2015/2016

Mr Guehrar Youcef MA (A) Président UKM Ouargla

Mr Boudjella Houari MA (A) Encadreur/rapporteur UKM Ouargla

Mr Bouhadouza Boubekeur MA (A) Examinateur UKM Ouargla

Répartition optimale des puissances dans un

réseau électrique par l’algorithme génétique

En premier lieu, je tiens à remercier «DIEU» qui m’a aidé pour que ce

modeste travail soit achevé et pour que nous avons réussi. Et tenons à remercier

vivement tous ceux qui nous a orientées et nous a encouragées. Et pensons en

particulier à notre encadreur BOUDJELLA HOUARI, Ce qu'il nous a donné ses

conseils et directives valeur qui était de nous aider dans la réalisation de cette

mémoire.

Nos sincères remerciements et sa gratitude à tous ceux qui m'a aidé de

près ou de loin pour accomplir ce travail, un grand merci aussi à tous les

enseignants qui Contribution à notre enseignement en génie électrique

Université de Ouargla.

En fin, je remercie nos amis pour leur aide, leur soutien et leur compréhension.

Pour consacrer le fruit de ce travail humble :

Commencé à peloter et fatigué et sont restés jusqu'à nuits, Aimer en

présence d'Allah et Son Messager après ma mère bien-aimée.

Ce à quoi il a consacré sa vie et son argent dans mon éducation et de l'éducation

et que mes carquois cardiaques de la miséricorde de Dieu souvenir Abe.

Pour tenir dans les yeux de mes souvenirs d'enfance de ma jeunesse et mes

frères.

Pour mes amis qui habitent leurs images et des voix les plus beaux moments et

des jours que je vivais.

Pour tous ceux qui m'a aidé dans la réalisation de ce travail.

Symboles Acronymes

bij Susceptance des bronches ij

V i.V j

Tensions aux nœuds i et j

V*

i Conjugué de la tension au nœud i

miniV Module de la tension minimale au nœud i

maxiV Module de la tension maximale au nœud i

gij Conductance des bronches ij

GA Algorithme génétique jih old, L’ancienne valeur de l'opérateur de croisement heuristique du gène du parent

jih new, Dernière valeur de l'opérateur de croisement heuristique du gène du parent

jih ,max

Taille de pas maximale admissible

Ii Courant injecté au nœud i

I ij Courant transitant du nœud i au nœud j

I ij' Courant de fuite au nœud i

I Vecteur complexe des courants injectés au nœud

k1 Coefficient réglable entre kmax1 et kmin

1

k 2 Nombre aléatoire entre zéro et deux

k 3 Rapport de la meilleure condition physique

n Désigne le nombre de nœuds dans le réseau NC Nombre total des nœuds consommateurs NG Nombre total des nœuds producteurs novv Variables de tension noav Variables d’angle novloc Emplacements de tension noaloc Emplacements d'ange nop Taille de la population initiale P Production active participant au réglage tertiaire

Pi puissance active injectée au nœud i

GiP Puissance active injectée par le générateur i

jChP Puissance active consommée au nœud j

minGiP Puissance active minimale injectée au nœud i

maxGiP Puissance active maximale générée au nœud i

PL Pertes des puissances actives totales

iQ Puissance réactive injectée au nœud i

GiQ Puissance réactive génére au nœud i

Q Chj Puissance réactive consommée au nœud j

minGiQ Puissance réactive minimale injectée au nœud i

maxGiQ Puissance réactive maximale injectée au nœud i

QL: Pertes réactives totales dans le réseau RCGA Real-Code Algorithme Génétique

S*i Conjugué de la puissance apparente injectée au nœud i

maxjiS Puissance maximale transitée entre les nœuds i et j

t L'itération courante (génération) Numéro T Nombre maximum d'itérations

jit Rapport de transformation du transformateur

minjit Valeur minimale du rapport de transformation du transformateur

maxjit Valeur maximale du rapport de transformation du transformateur

V Vecteur complexe des tensions en chaque nœud

yij Admittance de ligne i – j

y Matrice admittance complexe

2

,yij

Admittance shunt des nœuds i et j

jiθ Phase du rapport de transformation du transformateur

minθ ji Valeur minimale de la phase de transformation du transformateur

maxθ ji Valeur maximale de la phase de transformation du transformateur

pλ Coût marginal horaire ou pénalité de la production active

Figure I.1 : Caractéristique entrée-sortie d’une unité de production…………………... -04-

Figure I.2 : Modèle d’un générateur de puissance…………………………………….. -06-

Figure I.3 : Modèle de transformateur de puissance…………………………………... -07-

Figure I.4 : Modèle équivalent en π de ligne de transport…………………………….. -08-

Figure I.5 : Modèle d’un élément shunt……………………………………………….. -09-

Figure I.6 : Structure étoile (les postes rouges représentent les apports d'énergie)……. -10-

Figure I.7 : Structure radiale ou bouclée (Les postes rouges représentent les apports d'énergie)………………………………………………………………………………..

-10-

Figure I.8 : Structure réseau maillée ………………………………………………….. -11-

Figure I.9 : Fonction coût linéaire par morceaux……………………………………… -14-

Figure I. 10 : Le réseau électrique sous la forme simplifié……………………………. -16-

Figure I.11 : Schéma d’une branche entre deux nœuds i et j………………………….. -17-

Figure I.12 : Représentation géométrique de la méthode de N-R…………………….. -25-

Figure II.1: Éléments indispensable…………………………………………………… -34-

Figure II.2: Les méthodes d’Optimisation……………………………………………... -35-

Figure II.3: Classement des méthodes de résolution…………………………………... -43-

Figure II.4: Minimum local et global d’une fonction………………………………… -43-

Figure III.1: Vue d'ensemble d'un algorithme génétique………………………………. -48-

Figure III.2: L’organigramme des AG standard……………………………………….. -49-

Figure III.3: Représentation d'une sélection par tournoi d'individus pour un critère de maximisation (chaque individu représente une solution possible)……………………..

-51-

Figure III.4: Représentation d’un croisement en un point de deux chaînes…………… -51-

Figure III.5: Représentation d’une mutation de bits dans une chaîne…………………. -52-

Figure III.6: Croisement en seul point…………………………………………………. -54-

Figure III.7: Représentation d’un croisement en deux points…………………………. -54-

Figure. IV.1 : Schéma du réseau de 14 jeu de barre………………………………….... -59-

Figure IV.2 : Puissances générées optimales par méthode MIPS …………………… -60-

Figure IV.3 : Puissances générées optimales par GA 14bus…………………………… -61-

Figure IV.4 : Résultats d’optimisation mono-objective ……………………………… -61-

Figure IV.5 : Réseau test IEEE 30 nœuds……………………………………………... -62-

Figure IV.6 : Puissances générées optimales par MIPS 30bus………………………… -64-

Figure IV.7 : Puissances générées optimales par GA 30bus…………………………… -65-

Figure IV.8 : résultats d’optimisation mono-objective (la fonction cout de

production)………………………………………………………………………………

-65-

Tableau I.1 : Classification des nœuds dans un réseau électrique……………………...

-16-

Tableau. III.1: Code de Gray et code binaire pour une chaîne à trois bits……………..

-52-

Tableau IV.1 : Coefficients de la fonction cout des générateurs………………………. -58-

Tableau IV.2 : Résultats OPF par MIPS 14 nœuds …………………………………… -59-

Tableau IV.3: Résultats OPF par AG sur réseau IEEE14 nœuds…………………….. -61-

Tableau IV.4 : Coefficients de la fonction cout des générateurs………………………. -63-

Tableau IV.5: Résultats OPF par MIPS IEEE 30 nœuds ……………………….. -63-

Tableau IV.6 : Résultats OPF par génétique algorithme IEEE 30 nœuds ……… -64-

Tableau IV.7 : Influence de la sélection……………………………………………….. -66-

Tableau IV.8 : Influence de la Croisement …………………………………………. -66-

Tableau IV.9 : Influence de la Mutation………………………………………………. -66-

Introduction générale………………………………………………………............. -01-

Chapitre I Ecoulement des puissances

I.1 Introduction………………………………………………………………………... -03-

I.2 Programme de marche des unités de production…………………………………… -03-

I.3 Modélisation des éléments de puissance d’un réseau électrique…………………... -06-

I.3.1 Générateurs de puissance…………………………………………………. -06-

I.3.2 Transformateurs de puissances…………………………………………… -06-

I.3.3 Modélisation de ligne de transport………………………………………… -07-

I.3.4 Charges électriques………………………………………………………... -08-

I.3.5 Eléments shunt…………………………………………………………….. -09-

I.4 Différentes structures des réseaux…………………………………………………. -09-

I.4.1. Réseau radial ou en étoile………………………………………………….. -09-

I.4.2. Réseau en boucle…………………………………………………………… -10-

I.4.3 Réseau maillé ou connecté………………………………………………….. -11-

I.5 Effet de réseau de transport sur la qualité du service……………………………… -11-

I.6 Niveaux de tensions des réseaux………………………………………………….. -12-

I.7 Formulation du problème d’écoulement des puissances………………………….. -12-

I.8 Analyse de l’écoulement des puissances………………………………………….. -15-

I.9 Modélisation du réseau……………………………………………………………. -16-

I.10 Détermination de la matrice admittances………………………………………… -17-

I.11 Détermination des courants……………………………………………………… -18-

I.12 Détermination des puissances……………………………………………………. -19-

I.13 Caractéristiques des équations d’écoulement statique des charges……………… -19-

I.14 Principe de base de la solution d’écoulement statique des charges……………… -20-

I.15 Méthodes numériques de solution d’écoulement statique des charges……......... -20-

I.15.1 Méthode de Gauss-Seidel…………………………………………………. -20-

I.15.2 Algorithme de Gauss-Seidel……………………………………………… -21-

I.15.3 Organigramme de la méthode Gauss-Seidel avec Ybus…………………. -22-

I.16 Méthode de Newton Raphson……………………………………………………. -24-

I.16.1 Représentation géométrique de la méthode de N-R………………………. -24-

I.16.2 Algorithme de N-R dans un système de dimension ‘n’…………………... -25-

I.16.3 Algorithme de N-R appliquée aux équations de l'écoulement de puissance -27-

I.16.4 Les coordonnées polaires…………………………………………………. -27-

I.16.5 Organigramme de la méthode Newton-Raphson………………………… -29-

I.17 Conclusion………………………………………………………………………… -30-

Chapitre II Méthodes d’optimisation appliquées a l’OPF

II.1 Introduction………………………………………………………………………... -31-

II .2 Problème de la répartition de puissance optimal OPF……………………………. -31-

II.3 Formulation de problème de l'écoulement de puissance optimal (OPF)………….. -32-

II.3.1 Fonction objective………………………………………………………….. -32-

II.3.1.1 Sous les contraintes d'égalité……………………………………… -33-

II.3.1.2 Sous les contraintes d'inégalité…………………………………… -33-

II. 4 Les éléments d’optimisation……………………………………………………… -34-

II.5 Optimisation combinatoire………………………………………………………... -35-

II.6 Méthodes d’optimisation déterministes…………………………………………. -36-

II.6.1 Méthode du gradient……………………………………………………….. -37-

II.6.1.1 Formulation mathématiques……………………………………….. -37-

II.6.1.2 Avantages et inconvénients………………………………………... -38-

II.6.2 Méthode de Newton……………………………………………………….. -38-

II.6.3 Programmation dynamique………………………………………………... -38-

II.6.4 Méthode du point intérieur………………………………………………… -39-

II.6.5 Technique de programmation quadratique ………………………………... -39-

II.7 Méthodes Heuristique…………………………………………………………….. -40-

II.8 Les méta-heuristiques……………………………………………………………... -41-

II.8.1 Minimum local et global d’une fonction………………………………………... -43-

II.8.2 Optimisation par algorithmes génétiques……………………………………….. -44-

II.9 Conclusion………………………………………………………………………… -45-

Chapitre III Algorithmes génétiques

III.1 Introduction………………………………………………………………………. -46-

III.2 Historique………………………………………………………………………… -46-

III.3 Définition…………………………………………………………………………. -46-

III.4 Principe…………………………………………………………………………… -47-

III.5 Présentation………………………………………………………………………. -47-

III.6 Paramètres d’un AG……………………………………………………………… -48-

III.7 Principe de base d’un AG standard………………………………………………. -49-

III.8 Les opérations d’un AG………………………………………………………….. -50-

III.8.1 Sélection…………………………………………………………………... -50-

III.8.2 Croisement………………………………………………………………… -51-

III.8.3 Mutation…………………………………………………………………... -52-

III.8.4 Codage…………………………………………………………………….. -52-

III.9 Processus d’évolution des générations : générationnel, stationnaire et élitiste….. -53-

III.10 Opérateurs de croisement……………………………………………………….. -53-

III.11 Pseudo code pour l'algorithme génétique………………………………………. -54-

III.12 Algorithme de charge des flux de solution……………………………………… -55-

III.13 Conclusion………………………………………………………………………. -57-

Chapitre IV Application des GA dans la répartition optimale des puissances

(Optimisation Mono-Objectif)

IV.1 Introduction………………………………………………………………………. -58-

IV.2 Optimisation mono-objectif……………………………………………………… -58-

IV.3 Calcul OPF……………………………………………………………………… -58-

IV.3.1Application sur le réseau IEEE 14 nœuds ………………………………… -58-

IV.3.1.1 Calcul OPF par application de la méthode Interior Point (MIPS)... -59-

IV.3.1.2 Application des algorithmes génétiques dans le calcul d’OPF…… -60-

IV.3.1.2.1 Valeurs des Paramètres d’un algorithme génétique…… -60-

IV.3.1.3 Comparaison entre les deux méthodes…………………………….. -60-

IV.3.2 Application sur le réseau IEEE 30 nœuds…………………………………. -60-

IV.3.2.1 Calcul OPF par application de la méthode Interior Point (MIPS)... -63-

IV.3.2.2 Calcul d’OPF par GA sur réseau IEEE 30 nœuds………………… -64-

IV.3.2.3 Comparaison entre les deux méthodes…………………………….. -65-

IV.3.2.4 Influence des paramètres AG sur le calcul OPF…………………… -66-

IV.3.2.5 Comparaison entre les trois opérations ……………………………. -67-

IV.4 Conclusion ……………………………………………………………………….. -67-

Conclusion générale…………………………………………………………………... -68-

Bibliographie

Annexe A

Annexe B

Introduction générale

1


L’énergie électrique occupe une place très importante dans les branches de l’économie

moderne et de la vie courante. La consommation de l’énergie électrique augmente

considérablement. Il est admis d’une manière générale, que depuis le début du dixneuvième

siècle l’énergie électrique consommée dans le monde double en moyenne tous les dix ans. Le

rôle des systèmes d’énergie électriques est de fournir aux utilisateurs le produit électricité au

moindre coût dans des conditions de qualité et de sécurité satisfaisantes.

Le problème d’optimisation de l’écoulement de puissance (OPF) essaye de maximiser

le profit de la totalité des consommateurs de l’énergie électrique, de minimiser le coût total

des puissances actives générées de façon que les pertes de puissances actives et réactives sont

acceptables et les contraintes sur les transits des puissances dans les lignes de transport sont

satisfaites et de contrôler les puissances actives sortantes des générateurs ainsi que leurs

niveaux de tension.

L’étude de l’optimisation de l’écoulement de puissance (OPF) peut nécessite la

connaissance du transit des puissances dans un réseau électrique ainsi que les tensions aux

différents points remarquables du réseau (générateurs, transformateurs, charges). Ces

grandeurs sont nécessaires pour la conduite des réseaux et pour déterminer l’évolution du

réseau en cas de changement de configurations, telles que, l’adjonction de nouveaux

générateurs (énergies renouvelables), la croissance de la demande d’énergie, et l’implantation

de nouvelles lignes.

Plusieurs méthodes d’optimisation ont été appliquées pour les objectifs cités ci-dessus.

Dans notre travaille nous avons choisis la méthode des algorithmes génétiques qui est inspiré

par des analogies avec la biologie qui est très bien adapté au traitement d’un problème

d’optimisation mono-objectif (optimisation de coût de production) dans laquelle le réseau est

alimenté à partir du générateur. L’application a été consacrée aux réseaux test standard IEEE

14 nœuds et IEEE 30 nœuds.

Afin que notre travail soit accomplis et pour cerner tous les aspects de cette étude, ce

mémoire est organisé comme suit :

Le premier chapitre étude les principaux éléments constitue un réseau électrique et

traite en détaille l’analyse de l’écoulement de puissance, ainsi nous avons montré les


2

différentes méthodes de résolution d’un problème de répartition des puissances qui sont la

méthode de Newton-Raphson et la méthode de Gauss-Seidel.

Le deuxième chapitre est consacré à quelques définitions de base et formulation du

problème d’optimisation mono-objectif avec les conditions des limites d’égalité et d’inégalité,

ainsi que les méthodes d’optimisation.

Le troisième chapitre donne une vue théorique sur les algorithmes génétiques, comme

on a rédigé une illustration concernant la liaison entre les algorithmes génétiques et

l’optimisation mono-objectif dont l’application a été traduite par une programmation sur

Matlab en utilisant la boite à outil GA Toolbox. Le choix de la probabilité de croisement et de

mutation est un facteur typique qui permet d’évaluer la fonction objective.

Le quatrième chapitre est consacré à l’application des Algorithmes Génétiques dans la

répartition optimale des puissances actives dans un réseau électrique. Une simulation a été

faite sur les réseaux IEEE14 nœuds et IEEE 30 nœuds pour minimiser le coût de production.

Les résultats sont comparés avec celle obtenus par la méthode du point intérieur.

En fin nous clôturons ce travail par une conclusion générale.


3

I .1 Introduction

Le problème de l’écoulement de puissance optimal a eu une longue histoire pour son

développement. Il y a plus de quarante ans passés, Carpentier introduisit une formulation du

problème du dispatching économique comprenant des contraintes sur les tensions et d’autres

contraintes de fonctionnement. Dans son approche (connue par la méthode d’injection), il

posa le problème du dispatching économique comme un problème d’optimisation no linéaire,

et utilisa la technique du gradient réduit généralisé. En 1968, Dammel et Tinné introduiraient

un problème d’optimisation comprenant le dispatching économique classique contrôlé par les

équations de l’écoulement de puissance et des contraintes de fonctionnement, où ils ont utilisé

la technique du gradient réduit pour résoudre les conditions d’optimalité de Kuhn Tucker.

Cette formulation a été nommée plus tard problème de l’écoulement de puissance optimal

(OPF). Depuis lors, cette dernière a connu un essor considérable comme en témoigne la

littérature.

En général, il serait difficile de classer d’une manière précise et approfondie toutes les

approches parues dans la littérature, car beaucoup emploient une combinaison de

méthodologies spécifiques. Toutefois, nous allons essayer de donner dans ce chapitre, un

aperçu sur certaines méthodes qui nous paraissent importantes dans la résolution de ce

problème.

Les techniques classiques dites aussi mathématiques ou encore conventionnelles

appliquées au problème de l’OPF [1].

I.2 Programme de marche des unités de production

Les caractéristiques technico-économiques des centrales électriques sont

déterminantes pour leur exploitation. Trois types de caractéristiques ont une influence pour

l’exploitation d’une centrales électriques à court terme: son coût de production; ses

contraintes techniques et sa fiabilité. Le plus important de ces trois caractéristiques est le coût

variable de production. Pour les centrales thermiques, il reflète principalement le coût du

combustible utilisé et les autres coûts d’exploitation et de maintenance de la centrale. Le coût

du combustible est évalué en utilisant des valeurs de consommation spécifique de chaleur

(une quantité d’énergie thermique nécessaire pour produire de l’électricité) de la centrale et le

prix du combustible. La valeur de consommation spécifique de chaleur (CSC) est

proportionnelle à l’inverse du rendement énergétique: plus la CSC est grande, moins la

centrale est performante.


4

La fonction coût a une forme non linéaire qui peut être approximée à une courbe

quadratique du type

2GiiGiiiGii PcP.baPC (I.1)

Où GiP : puissance active injectée au jeu de barre i (figure I.1).

La constante ai est appelée coût de marche à vide, elle représente le coût pour

maintenir la marche d’une unité de production à production nulle. Le coût incrémental

(ou marginal) de production est le coût pour produire une unité supplémentaire d’énergie. Ce

coût est important pour prendre les décisions d’exploitation à court terme

pc2bdp

dcλ (I.2)

Figure I.1 : Caractéristique entrée-sortie d’une unité de production.

Outre le coût variable à court terme, d’autres caractéristiques spécifiques sont

importantes à mentionner pour la production d’électricité. C’est le cas notamment du coût

spécifique pour démarrer ou arrêter l’unité de production (coût de démarrage et d’arrêt).

Par exemple, le coût de démarrage correspond au coût de l’énergie nécessaire pour

mettre en fonctionnement toutes les installations permettant la production d’électricité

(chaudières, pompes, etc.). Ce coût dépend normalement de l’état de l’unité de production au

moment de l’appel à démarrer (démarrage à froid ou à chaud). Certaines contraintes

techniques sont aussi importantes pour l’exploitation.


5

Généralement, l’unité de production ne peut fonctionner de manière stable qu’à partir

d’un niveau de production minimal (capacité minimale de production) et jusqu’à un niveau

maximal de production (capacité maximale de production). L’inertie propre des moyens de

production limite la vitesse à laquelle les unités de production peuvent changer leur niveau de

production.

La vitesse maximale de changement du niveau de production pour une période de

temps donné est appelée contrainte de rampe. Il existe aussi un temps minimal pour le

démarrage (temps de démarrage).

Enfin, les unités de production présentent différents degrés de fiabilité et d’incertitude.

Ce degré de fiabilité peut être interprété comme le degré de précision dans la prévision de la

capacité de production d’une centrale. Les erreurs de prévision de capacité peuvent venir du

manque de prévision sur la force motrice (par exemple, courant d’eau ou vitesse du vent).

L’exemple le plus typique est ici la production éolienne, dont le niveau de production

dépend de la vitesse du vent. Cette vitesse est un phénomène climatique qui dépend de

plusieurs variables, et qui est très difficile à prévoir avec exactitude.

Les erreurs de prévision peuvent venir aussi de la défaillance forcée d’une unité de

production ou d’autres facteurs qui l’empêchent d’atteindre leur niveau normal de production.

Lucas le plus extrême est quand l’unité n’arrive pas à démarrer comme prévu, ou qu’elle doit

être arrêtée complètement pour des problèmes techniques.

Le caractère de flexibilité ou de souplesse de moyens de production à court terme

représente la vitesse à laquelle chaque moyen de production peut changer le niveau de sa

production après un signal donné. Nous trouvons des moyens de production plus flexibles,

comme les centrales hydrauliques (avec réservoir) et les centrales à combustion ou les

moteurs diesel (avec des temps de démarrage faibles et des contraintes faibles de rampe).

Par opposition, les centrales nucléaires et les centrales thermiques sont des moyens de

production peu flexibles. Il est important de remarquer que cette flexibilité doit être obtenue

rapidement après un ordre. Certains moyens de production peuvent avoir un caractère

flexible, mais nécessitent plus de temps pour préparer cette vitesse de changement. Par

exemple, certaines centrales nucléaires peuvent être programmées la veille pour réaliser des

variations assez grandes de production, mais, à une échelle de temps plus proche du temps

réel, les variations de production possibles pour ces centrales sont beaucoup moins élevées

[2].


6

I.3 Modélisation des éléments de puissance d’un réseau électrique

Lorsqu’on veut calculer l’écoulement de puissance ou bien l’écoulement de puissance

optimal dans un réseau électrique, il n’est pas nécessaire de modéliser tous les éléments qui

constituent ce réseau, mais on ne modélise que les éléments qui interviennent réellement, tels

que les générateurs de puissance, les charges électriques, les lignes de transport, les

transformateurs de puissance et les compensateurs statiques. Le modèle doit être

suffisamment simple tout en traduisant principalement la réalité du comportement [9]. Dans

cette section, on utilise des grandeurs réduites(en unité relative pu).

I.3.1 Générateurs de puissance

Dans l’analyse de l’écoulement de puissance, les générateurs sont modélisés comme

des injecteurs de courants. Dans l’état stationnaire, un générateur est généralement contrôlé de

sorte que la puissance active injectée au jeu de barres et la tension aux bornes de générateurs

soient maintenues constantes. La puissance active délivrée par le générateur est réglée à

travers le contrôle de la turbine, qui doit être dans les limites de la capacité du système turbine

générateur. La tension est liée principalement à l’injection de la puissance réactive au jeu de

barres de production, qui est contrôlée par le courant de l’excitation, et comme le générateur

doit fonctionner dans les limites de sa courbe de capacité réactive, il n’est pas possible de

régler la tension en dehors de certaines limites admissibles [5].

Figure I.2 : Modèle d’un générateur de puissance.

I.3.2 Transformateurs de puissances à prise variable :

Il ya deux types de transformateur à modéliser: le transformateur régulateur de tension

à changeur de prises de charges et le transformateur déphaseur. Dans la modélisation des

systèmes électriques, les rapports de déviations et les décalages de phase sont typiquement

représentés comme des modifications à la matrice admittance. La figure (1.3) présente le

schéma unifilaire équivalent d’un transformateur triphasé symétrique à changeur de prises de

charge et/déphaseur [3].


7

Figure I.3 : Modèle de transformateur de puissance. � : représente les pertes par effet joule et les inductances de fuite de transformateur ramenées

au secondaire.

La modélisation retenue suppose que les pertes sont séparées pour moitié au primaire

et pour l’autre moitié au secondaire. Le paramètre �� symbolise la ration de régleur de tension

en charge. Le paramètre �� symbolise le déphasage introduit par le transformateur entre les

jeux de barres i et j. Il est important de noter que la matrice admittance du réseau électrique

qui prend en considération ces variables va être donc ajustée à chaque itération.

Y: c’est la matrice admittance du transformateur qui s’écrit comme suit:

2

1

cap

2jiji

αjji

αjcap

2

1

V

V

2

Yy

t

1y

t

e

yt

e

2

Yy

I

IVYI

ji

ji

(I.3)

I.3.3 Modélisation de ligne de transport

Une ligne de transport moyenne est généralement modélisée par un modèle en π à

paramètres distribués (figure I.4). Ces paramètres, dont les valeurs dépendent de la nature et la

géométrie des conducteurs, sont définis pour une ligne connectée entre les jeux de barres i et

j, comme suit:

des paramètres linéaires séries, par phase, la résistance rij et la réactance xij ;

et des paramètres shunts, par phase, la susceptance capacitive bcij et la conductance gij0 ;

La conductance linéique est généralement négligée donc on a : gij0 = 0.

L'admittance série de la ligne de transmission i et j est donné par la relation:

jiji

jijijixr

1bjgy

(I.4)


8

L'admittance shunt de la ligne i j est donnée directement en fonction de la susceptance

et la conductance de la ligne, donc on a:

cijjiji0ji

0ji Bj2

bcj

2

bcj

2

gy (I.5)

Figure I.4 : Modèle équivalent en π de ligne de transport.

I.3.4 Charges électriques

La modélisation de la charge joue un rôle très important dans l’étude de l’écoulement

de puissances. Ces charges sont souvent des sous-stations qui alimentent les réseaux de

distribution, on les modélise statiquement comme des injecteurs négatifs de puissance dans

les jeux de barres. La connexion de la charge au réseau est réalisée par l’intermédiaire d’un

transformateur à prises de charge qui maintient le niveau de tension constant, cela signifie que

les puissances active et réactive de la charge peuvent être représentées par des valeurs

constantes. Il existe aussi la modélisation dynamique des charges qui est relativement

compliquée car la puissance consommée par la charge est en fonction de la tension et du

temps, et elle est utilisée généralement pour l’étude et l’analyse de la stabilité transitoire [4].

Les équations des puissances active et réactive de la charge en fonction de la tension de jeu de

barres peuvent s’écrire comme suit :

qn

00

pn

00

V

VQQ,

V

VPP

(I.6)

Où

�0 et �0: puissances active et réactive consommées à une tension de référence �0=1pu;


9

�� Et �� : constantes dépendant du type de la charge.

I.3.5 Eléments shunt

Dans la plupart des cas, les éléments shunts sont des dispositifs destinés à la

compensation de l’énergie réactive et la tenue de la tension, à savoir : batteries de

condensateurs et inductances fixes, compensateurs synchrones ou compensateurs statiques

(SVC) [6]. Chaque élément connecté au réseau sera modélisé, suivant le cas, par une

admittance équivalente ou une injection de puissance.

0i0i0i BjGY (I.7)

Figure I.5 : Modèle d’un élément shunt.

I.4 Différentes structures des réseaux

Le concept de réseau englobe la totalité des installations, notamment les lignes

aériennes, câbles, transformateurs et les appareils avec leurs moyens de contrôle et de

sécurité, les interrupteurs, etc.., nécessaires ou transport et à la distribution de l’énergie

èlectrique.les réseaux électrique peuvent être organisés selon plusieurs types de structures

exposées ci-dessous [7]:

I.4.1. Réseau radial ou en étoile

Il représente le réseau sous sa forme la plus simple. Les lignes partent d'un point

central, par exemple une station de transformation locale, et rayonnent depuis celui-ci. Si une

perturbation se produit sur ce type de réseau, l'alimentation électrique de tous les clients

rattachés à ce rayon défectueux est interrompue, jusqu'à ce que la panne soit réparée. La

panne d'une station de transformation peut paralyser tout un quartier.


10

Figure I.6 : Structure étoile (les postes rouges représentent les apports d'énergie).

La sécurité d'alimentation est faible puisqu'un défaut sur la ligne ou sur le poste rouge

coupe l'ensemble des clients en aval.

I.4.2. Réseau en boucle

L'assemblage en boucle des lignes permet de mettre hors circuit une partie de la ligne

défectueuse grâce à ses points de séparation. L'alimentation électrique est interrompue

uniquement dans cette partie jusqu'à la réparation de la panne; le reste du réseau peut

continuer à fonctionner.

Figure I.7 : Structure radiale ou bouclée (Les postes rouges représentent les apports

d'énergie).

La sécurité d'alimentation, bien qu'inférieure à celle de la structure maillée, reste élevée.


11

I.4.3 Réseau maillé ou connecté

Lorsque des lignes en boucle sont regroupées pour relier des points très éloignés les

uns des autres, elles forment un réseau maillé. Ce type de réseau offre une très grande fiabilité

d'approvisionnement car chaque tronçon de ligne peut être alimenté via différentes voies.

Même une défaillance sur plusieurs tronçons n'engendre pas une grosse perturbation.

Figure I.8 : structure réseau maillée.

Les postes électriques sont reliés entre eux par de nombreuses lignes électriques,

apportant une grande sécurité d'alimentation.

Les réseaux maillés sont surtout construits et exploités là où la sécurité

d'approvisionnement d'un grand nombre de clients peut être compromise par une perturbation,

comme c'est particulièrement le cas pour les réseaux de transport et de distribution haute

tension.

I.5 Effet de réseau de transport sur la qualité du service

Les réseaux HTB/HTA contribuent donc de façon déterminante au maintien de

l’équilibre entre la demande et l’offre, ainsi qu’à la sécurité d’alimentation et à l’économie de

l’exploitation. Par ailleurs, la qualité du service est également un souci majeur de l’exploitant.

Sur le plan, cette qualité nécessite [8] :

de maintenir les caractéristiques du produit (tension, fréquence) dans les limites très

précises du cahier des charges.

De limiter, autant que faire se peut, les interruptions de service. Les réseaux

HTB/HTA jouent aussi un rôle très important pour respecter ces contraintes car, les


12

références de tension qui vont conditionner l’ensemble du plan de tension dans le

réseau sont fixées, pour l’essentiel, par les groupes de production raccordés aux

réseaux THT.

La fréquence est, de même, fixée par les groupes de production qui doivent rester

synchrones en régime permanent.

La sécurité d’alimentation des grands centres de consommation dépend très fortement

de la structure des réseaux de transport.

I.6 Niveaux de tensions des réseaux

D'une façon générale, la plupart des pays mettent en œuvre :

• Un réseau de transport HTB 220 …….. 800 KV ;

• Un réseau de répartition HTA 60 ……...170 KV ;

• Un réseau de distribution MT 5 ……... 36 KV (selon CEI) ;

• Un réseau de distribution et de livraison BT 400/230 V.

I.7 Formulation du problème d’écoulement des puissances

La gestion optimale des productions actives et réactives est une fonction de plus en

plus importante des centres de conduite des réseaux, dans le but d’accroitre la sécurité

d’alimentation et dans d’exploiter judicieusement les ressources existantes en minimisant les

coûts de production et les pertes.

Pour assumer pleinement cette tâche, il est important de bien définir les objectifs qui

serviront de critères d’optimisation. On peut dégager les buts suivants :

Proposer un programme de production qui respecte toutes les contraintes de courants

de branche et de tensions, dans un but de sécurité avant toute autre recherche de gain

économique (analyse de sécurité) ;

Minimiser le coût de productions actives et réactives incluant les pertes dans le réseau

(dispatching économique) ;

Réajuster les programmes de production lors de défaillance d’un ou plusieurs éléments

du réseau (groupe, ligne ou transformateur), afin de ramener le réseau de l’état d’alerte

à l’état sain [10].


13

Les objectifs précités peuvent être formulés tels quels pour résoudre les problèmes de

planification, soit :

Retarder le renforcement du réseau par une répartition judicieuse des puissances

transitées ;

Retarder l’investissement de nouveaux moyens de production ;

Le cas échéant, minimiser le coût des renforcements et des nouveaux moyens de

production.

La recherche d’un programme de production qui respecte toutes les contraintes suivant

diverses contingences et qui accroit de ce fait la sécurité d’alimentation est sans doute

l’objectif primordial. En effet, le coût des conséquences économiques en cas de défaillance est

beaucoup plus élevé que le cout de production.

La minimisation du coût de la production active est un problème qui intéresse

particulièrement les réseaux à prédominance thermique.

Les coûts absolus ou relatifs des productions actives et réactives ont été admis a priori

linéaire et positif en absorption comme en production. Toutefois, on peut les définir librement

selon les divers objectifs que l’on souhaite atteindre. La même hypothèse a été faite pour les

écarts des régleurs des transformateurs par rapport à leur position initiale. Les coûts

marginaux et les pénalités sont donc constants, si l’on exclut la correction apportée par les

facteurs de pénalité. A toute fin pratique, on peut admettre que la fonction coût de la

production active d’une centrale thermique est linéaire, mais on peut toujours approximer une

fonction convexe par plusieurs segments de droites (fonction linéaire par morceaux). On

associe alors à chaque segment une nouvelle variable (figure I.9), sans relation physique avec

les divers groupes d’une centrale.

Si le coût marginal de la production d’énergie active est une notion bien définie que

l’on peut quantifier avec précision (on affecte parfois un coût marginal à la production

hydraulique pour valoriser l’énergie accumulée), il n’en est pas de même pour le coût

marginal de l’énergie réactive qui est de 10 à 1000 fois inférieur a celui de l’énergie active

[10]. En effet, ce cout représente les pertes actives dues aux transits des puissances réactives

dans le réseau, qui sont prises en compte a l’aide de facteurs de pénalité dans la fonction

objectif. La même remarque est applicable à l’effet de la variation des rapports de

transformation sur les pertes actives. Comme le coût de la production d’énergie réactive est

considérablement plus faible que celui de l’énergie active, le gain économique réalisé par son


14

optimisation n’est pas spectaculaire, mais reste appréciable. Par contre, on tire

avantageusement parti de la diversité des moyens de production et de la souplesse de réglage

en qualité et rapidité.

Figure I.9 : Fonction coût linéaire par morceaux.

Dans le cas exceptionnel d’une fonction coût non convexe ou discontinue, les

méthodes de programmation linéaire ou non linéaire sont inexactes ou inapplicables, et il faut

recourir à d’autre méthodes, telles que la programmation dynamique [10].

Les courbes donnant le coût de production de chaque centrale en fonction de la

puissance qu’il débite ont été déterminées expérimentalement.

La formation analytique de ces courbes est celle d’un polynôme de degré « n » et qui

s’écrit sous la forme suivante :

pa n........papaaPC nG

2G2G10G (I.8)

Dans la pratique, la fonction coût se présente sous forme d’un polynôme du deuxième degré

[10] :

paPaaP2G2G10GC (I.9)


15

Les coefficients de ce polynôme sont calculés par les méthodes d’interpolation de Lagrange,

Newton,…etc.

pC Gi

NG

1iiF

(I.10)

Les puissances actives doivent être choisies de telle sorte à minimiser la fonction coût

de production totale en tenant compte de certaines contraintes. Le problème peut être posé de

la manière suivante :

Minimiser

NG

1iCi(Pgi) (I.11)

Sous les contraintes

ppp

pchpgc

maxGiGi

minGi

L

NC

1jji

NG

1ii 0P

(I.12)

I.8 Analyse de l’écoulement des puissances

Le calcul de l’écoulement de puissances dit aussi calcul de la répartition des charges

(load flow) permet de déterminer :

Les tensions complexes aux niveaux des différents nœuds ;

Les puissances transitées d’un nœud à un autre ;

Les puissances injectées à chaque nœud ;

Les pertes actives et réactives dans le réseau électrique.

Pour résoudre le problème de l’écoulement de puissances, il existe deux méthodes,

l’une dite des mailles, l’autre dite des nœuds. Cette dernière méthode est préférable car elle

prend en considération la matrice admittance [Y], qui est une matrice creuse, de même elle est

facile à introduire les données du problème. Le développement de l’outil informatique a

permis d’élaborer plusieurs méthodes, on peut citer les méthodes de Gauss Seidel et de

Newton - Raphson.


16

I.9 Modélisation du réseau

La résolution du problème de l’écoulement des puissances dans tout système

électrique nécessite un modèle mathématique pour calculer les différents paramètres du réseau

Électrique. [10].

Soit le réseau électrique donné par la forme simplifié comme montre la figure (I. 10).

Figure I. 10 : Le réseau électrique sous la forme simplifié

En régime permanent, l’équation linéaire du réseau est donnée par :

V.yI (I.13)

Le tableau ci-dessous résume les différents types de nœuds constituant le réseau électrique.

Tableau I.1 : Classification des nœuds dans un réseau électrique.

Type de Nœuds Données inconnues

Nœuds producteurs VetP etQ

Nœuds consommateurs P et Q etV

Nœud de bilan etV P et Q


17

I.10 Détermination de la matrice admittances

On considère le schéma d’une branche entre deux nœuds i et j :

Figure I.11 : Schéma d’une branche entre deux nœuds i et j.

L’utilisation de la méthode des nœuds nécessite la transformation des impédances des

branches du réseau en admittances ; pour cela, nous posons :

XR

Xj

jXR

R

jXR

1

Z

1y

2ij

2ij

ij

2ij

2ij

ij

ijijijij

(I.14)

D’où : jbgy ijijij (I.15)

Avec :

XR

Rg

2ij

2ij

ij

ij (I.16)

XR

Xb 2

ij2ij

ijij

(I.17)

Où gij : Appelée conductance ;

bij : Appelée susceptance ;

L’admittance propre du nœud i donnée par :

2

'

1Y

yy ij

ij

n

jii (I.18)

l’admittance mutuelle entre le nœud i et le nœud j : yY ijij


18

I.11 Détermination des courants

Les équations qui régissent le réseau par l’application de la loi des nœuds peuvent être

données par la formule suivante :

II ijij

n

j

'

1iI

(I.19)

L’expression du courant transmit du nœud i vers le nœud j :

VVy jiijIij

(I.20)

L’expression du courant de fuite à la terre :

Vy

I i

ij

ij 2

'

' (I.21)

On déduit donc l’expression du courant au nœud i :

Vy

VVy i

ij

jiij 2

'

iI (I.22)

D’où :

Vyy

yV jij

ij

ij

2.

'

iiI (I.23)

On trouve ainsi l’équation générale du courant :

n

ijj

jij VYV Y1

iiii.I (I.24)

D’une façon générale, on aura :

n

jjij VY

1iI (I.25)

D’où la forme matricielle du courant :

V.yI (I.26)


19

I.12 Détermination des puissances

La puissance apparente injectée au nœud i est donnée par :

IjQPS iiiii.V

(I.27)

On remplace l’équation (I.25) dans l’équation (I.27) on aura

VV jijiji

*

i.. YjQPS

(I.28)

Sachant que : iiifje V (I.29)

BjG ijijijY (I.30)

jfe iii

V (I.31)

Et l’équation de la puissance apparente sera :

)fje(.)BjG(.fjeQjpS jjij

n

1Jijiiiii

(I.32)

On en déduit les expressions des puissances actives et réactives :

G.eG.f.fB.fG.e.eP ijjijjiiijijj

n

1jii (I.33)

B.eG.f.eB.fG.e.fQ ijjijjiijjijj

n

1jii (I.34)

I.13 Caractéristiques des équations d’écoulement statique des charges

En observant les deux relations (I.33) (I.34), on constate que:

1. Les équations sont algébriques, car elles représentent un modèle statique du système, ou un

système opérant en régime permanent.


20

2. Les équations sont non linéaires, donc difficilement réservables de façon analytique, d'où la

nécessité d'utiliser une méthode numérique de solution par ordinateur.

3. Généralement, dans l'analyse des systèmes, les équations relient le courant et la tension, ces

équations relient la puissance et la tension.

Par conséquent, il s'agit de réduire le nombre d'inconnues, de 6N à 2N en spécifiant

4N variables afin d'égaler le nombre d'équations à celui des variables. En principe les 2N

variables restantes pourront être déterminées.

I.14 Principe de base de la solution d’écoulement statique des charges

Après avoir classifié les 6N variables, la solution du système d'équation formé par les

deux équations (I.33) (I.34) peut être obtenue en procédant comme suit:

Étape 1 :

A partir de la connaissance de la demande de la clientèle, on possède toutes les

informations requises sur les 2 N variables incontrôlables.

Étape 2 :

On spécifie alors 2 N variables de contrôle; par exemple les puissances générées.

Étape 3 :

Les 2 N variables qui restent constituent les inconnues. A l'aide de 2 N équations.

I.15 Méthodes numériques de solution d’écoulement statique des charges

Pour résoudre les équations d'écoulement statique des charges, un grand nombre de

techniques numériques ont déjà été utilisées.

Plusieurs méthodes itératives ont été appliquées, on peut citer : la méthode de Gauss-

Seidel, la méthode de Newton-Raphson, la méthode de relaxation...etc.

I.15.1 Méthode de Gauss-Seidel

Cette méthode permet de résoudre un système d’équations non linéaire en utilisant la

matrice admittance, on suppose initialement des tensions pour tous les nœuds excepté le nœud

de bilan où la tension maintenue constante.

On peut exprimer les courants pour chaque nœud par la relation suivante :


21

VV

*

i

ii

*

i

*

i

i

jQPSI

i=1,2,..., n (I.35)

En remplace la valeur du courant dans l’équation (I.35) on aura :

VYVYV

jij

iii*

i

ii

i

jQPI i s (I.36)

L’expression de la tension pour chaque nœud est :

EYEYV jijjij

E

jQPY

*

i

ii

ii

i

1 (I.37)

On pose :

Y

jQPKL

ii

iii

(I.38)

Y

YYL

ii

ijij (I.39)

D’où l’expression de la tension pour chaque nœud :

VYVYV

Vk

j

n

1ijij

1k

j

1i

1jij

i1k

i LL][

KLki

(I.40)

Pour accélérer la convergence de la méthode, on introduit un facteur d’accélération α:

VVV Δk

i

k

i

1k

iα

(I.41)

Avec : VVVk

i

1k

i

k

iΔ

(I.42)

I.15.2 Algorithme de Gauss-Seidel

Etape1 :

Formation de la matrice admittance [Y]

Etape2 :

Estimation des valeurs initiales des tensions nodales V i

0 i=1,2,……, n

Etape3 :


22

Détermination des paramètres KLi et YLij

nj

ni

,......,2,1

,.......,2,1

Initiation des itérations k = 0 Etape4 :

Calcul itératif des tensions pour chaque nœud suivant la relation :

VYLVYLV

VK

jij

K

jij

1i1k

i

][KL

ki

(I.43)

On calcul l’écart entre les valeurs d’une même tension trouvée aux itérations qui se suivent :

VVV(k)

i

1)(k

i

k)'

iΔ

(I.44)

On introduit le facteur d’accélération pour réduire le nombre d’itérations.

Etape 5 :

Une fois le test de convergence est vérifie (max ΔE(k) ≤ ε), les valeurs des tensions de

la dernière itération sont retenues, on calcul :

les puissances transitées 2

.)(y

Sij

iiijjiiij VVYVVV

les puissances injectées : S ij

n

j

1

iS

les pertes : SS ijjiS L

Si non aller à l’étape 4.

I.15.3 Organigramme de la méthode Gauss-Seidel avec Ybus

On pose quelques remarques pour l’organigramme :

i= 1 : Nœud de référence.

i = 2, …, m : Nœuds du contrôle.

i = m + 1, …, n : Nœuds de charge.

On voit que l’itération sont continue jusqu'à la tolérance (ε) est vérifiée


23


24

I.16 Méthode de Newton Raphson

La technique itérative de Newton Raphson converge avec une même vitesse, mesurée

par le nombre d'itérations, pour les larges et courts systèmes, en moins de quatre à cinq

itérations en général. C'est pour cette raison que la méthode de N-R est la plus utilisée pour

l'étude des larges systèmes.

I.16.1 Représentation géométrique de la méthode de N-R


25

Elle est basée sur la détermination de la tangente à la courbe F(x) en chaque point

(x(k), F(x(k))). L'intersection de cette tangente avec l'axe des x fournit le point xk+1.

Δ x(k) Étant une approximation de l'erreur commise sur x à l'itération(k)) [4].

Figure I.12 : Représentation géométrique de la méthode de N-R.

I.16.2 Algorithme de N-R dans un système de dimension ‘n’

Soit la fonction 0xf de dimension n, tel que

xf

xf

xf

xf

n

.

.

.2

1

x

x

x

x

n)0(

)0(2

)0(1

)0(

.

.

.

Estime que, x,....,x,x (0)n

(0)2

(0)1 sont les solutions de ces n équations. L'exposant )0(

indique que ces valeurs sont des estimations initiales.

On désigne par Δx,....,Δx,Δx (0)n

(0)2

(0)1 les valeurs à ajouter à x,....,x,x (0)

n(0)2

(0)1 pour trouver

les solutions correctes.

Lorsqu'on développe toutes les fonctions en série de Taylor au voisinage du point

d'estimation initiale on aura :

01....

2

1

1

1 )0(

)0(

)0(

2

)0(

)0(

1

)0(

)0(

1

x

x

Fx

x

Fx

x

FxF n

n

(I.45)


26

02

....

2

2

1

2 )0(

)0(

)0(

2

)0(

)0(

1

)0(

)0(

2

xF

x

Fx

x

Fx

x

FxF n

n

(I.46)

0....

21

)0(

)0(

)0(

2

)0(

)0(

1

)0(

)0(

xx

x

Fx

x

Fx

x

FxF nn

n

nnn (I.47)

On peut écrire le système de n équations linéaires comme suit :

0

...

0

0

Δx

...

Δx

Δx

.

xn

f n...f 2

f n

x1

f n

............

xn

f 2...x2

f 2

x1

f 2

xn

f1...x2

f1

x1

f1

xf

.

.

xf

xf

(0)n

(0)2

(0)1

000

000

000

(0)n

(0)2

(0)1

(I.49)

Les termes

x n

f n,.......,x1

f 1

00

correspondent à la dérivée partielle évaluée avec les

valeurs x,......,x,x (0)n

(0)2

(0)1 .

Ou dans une notation compacte : 0Δxjxf (0)(0)(0)

La matrice carrée dite Jacobéenne : J(0)

De cette dernière équation on tire ensuite le vecteur d'erreur x(0)

a.xfj(0)Δx (0)1(0) (I.50)

mais :

xxx )0()1()0( Donc xfjxx )0(1)0()1( )0( (I.51)

en générale

xfj(k)xx (k)1(k)1)(k (I.52)

Arrêt des opérations

On a vu que théoriquement la solution n'est atteinte qu'après une infinité d'itérations. En

pratique, on arrête les opérations pour l'un des tests suivants:

1. Si F(x(k)) est quasiment nulle.


27

2. Si l'amélioration de (x(k)) d'une itération à la suivante ne justifie pas l'effort de calcul

supplémentaire.

3. Si la convergence n'est pas obtenue avant un nombre d'itération fixe. Le processus est

considéré comme non convergent pour l'estimation initiale (x(0)) donnée.

I.16.3 Algorithme de N-R appliquée aux équations de l'écoulement de puissance

Le problème de l'écoulement de puissance peut être résolu par la méthode de N-R, qui

utilise des équations non linéaires pour exprimer les puissances actives et réactives en

fonction des tensions. Le problème peut être résolu en utilisant soit les coordonnées

rectangulaires soit les coordonnées polaires. On choisit les coordonnées polaires.

I.16.4 Les coordonnées polaires

En coordonnées polaires on a : jYYjθvv ijijijiiiexp.etexp.

vvjQP j

*

iii..Y ij

(I.53)

La puissance au jeu de barres i est :

θθjQP jiijiijexp. YvV ijji

(I.55)

Sachant que : θθθθθθ jiijjiijjiijjsincosjexp

Les composantes actives et réactives de la puissance sont :

θθP jiijicos Yvv ijji

(I.56)

θθQ jiijisin Yvv ijji

(I.57)

Les éléments de la matrice Jacobéenne qui sont calculées à partir des équations du système

sont :

Pour j1 :

θθYvvp

jiijijji

j

i sin..

(I.58)

θθp

jiij

j

i sin

Yvv ijji (I.59)

Pour j2 :


28

θθY.vv

pjiijiji

j

i cos

(I.60)

θθYvv

pjiijijiii

i

i coscos...2

Yv iji

(I.61)

Pour j3 :

θθYvvQ

jiijijji

j

i cos

(I.62)

θθQ

jiij

i

i cos

Yvv ijji

(I.63)

Pour j4 :

θθv

Qjiij

j

i sin

Yv iji

(I.64)

θθYvv

Qjiijijiii

i

i cos.sin...2

Yv iji

(I.65)

L'équation liant les variations des puissances aux variations des amplitudes de la

tension et les angles de phase pour la méthode de N-R est donnée par :

vΔ

...

Δθ

J...J

.........

J...J

ΔQ

...

Δp

43

21


29

I.16.5 Organigramme de la méthode Newton-Raphson


30

I.17 Conclusion

Le problème d'écoulement statique des charges dans un réseau électrique peut être

formulé avec ou sans contraintes. Le développement des relations de tout modèle conduit à

des équations non linéaires. Compte tenu de la complexité des systèmes (nombre de barres et

de lignes élevé), les méthodes de solution sont toujours itératives.


31

Dans le chapitre prochain nous allons présenter plusieurs méthodes d’optimisation

pour le calcul OPF.

Chapitre II Méthodes d’optimisation appliquées à l’OPF

31

II.1 Introduction

Les problèmes d’optimisation occupent actuellement une place importante dans la

communauté scientifique. Les problèmes peuvent être combinatoires (discrets) ou à variables

continues, avec un seul ou plusieurs objectifs (optimisation multi-objectif), statiques ou

dynamiques. Cette liste n’est pas exhaustive et un problème peut être à la fois continu et

dynamique.

La résolution d’un problème d’optimisation et un problème complexe, car de

nombreux facteurs interviennent et interagissent entre eux. Néanmoins, l’optimisation

appliquée au domaine d’électrotechnique permet de résoudre des problèmes qui étaient

insolubles auparavant et aboutit souvent à des solutions originales.

Dans ce chapitre, nous présentons différentes méthodes de résolution. L’ensemble de

ces méthodes est tellement vaste qu’il est impossible de tout exposer. Ainsi, nous présentons

les principales méthodes de résolution.

II .2 Problème de la répartition de puissance optimal OPF

Comme tout secteur productif, la production et le transport d’énergie électrique sont

sujet aux lois du marché. En plus de la dérégulation du développement des interconnexions et

des fluctuations des prix des combustibles, l’aspect économique force les opérateurs à la

gestion des différentes sources de production et acheminer le plus d’énergie possible à travers

leurs réseaux de la manière la plus rentable possible. [12]

Gestion de la puissance produite et transmise à travers le réseau n’est pas le seul souci

des opérateurs. L’amélioration de la qualité et la réduction des coûts de fonctionnement tout

en respectant les contraintes du réseau, sont considérées comme des problèmes majeurs de

l’écoulement de puissance optimal.

A court terme, le problème de la répartition optimale des puissances (OPF) est un

problème d’optimisation dont l’objectif consiste à déterminer la contribution de chaque

centrale électrique en service pour satisfaire la demande des consommateurs de l’énergie

électrique de sorte que le coût de production de l’énergie totale soit le plus faible possible et

satisferaient les différentes contraintes imposées au réseau. Ce problème est

mathématiquement large, vu le nombre de variables et de contraintes qu’il fait intervenir. Les

domaines d’application de l’écoulement de puissance optimal peuvent être classés comme

suit :


32

Minimisation du coût de combustible;

Minimisation des pertes; Amélioration du profil et la stabilité de la tension;

Maximisation de la puissance transmissible.

II.3 Formulation de problème de l'écoulement de puissance optimal (OPF)

Le problème de la répartition optimale des puissances est un problème d’optimisation

dont l’objectif est de minimiser le coût total de la production de la puissance active d’un

réseau électrique [13].

Minimiser : ux,f

Sujet à : 0ux,g

0ux,h

Tels que :

uxf , : Fonction objective ;

uxg , : Contraintes d’égalités ;

uxh , : Contraintes d’inégalités ;

x : Vecteur de variables d’état ;

u : Vecteur de variables à contrôler ;

Variables de contrôle : les variables de contrôle sont en général les modules de

tensions ou les puissances réactives générées aux jeux de barres générateurs, les

rapports de transformation des régleurs en charge, les phases des transformateurs

déphaseurs, est les puissances réactives générées par les différents compensateurs

d’énergie réactive.

Variables d’état : sont les modules des tensions des jeux de barres des charges et les

angles de toutes les tensions sauf le jeu de barres de référence.

II.3.1 Fonction objective

Généralement l'objectif le plus utilisé dans la formulation de problème d'OPF est

minimisation du coût total de puissance active générée par des unités de productions, dont les

caractéristiques sont complexes et fortement non-linéaire en satisfaisant les contraintes

d’égalités et d’inégalités. La fonction objective totale du système électrique peut alors être

écrite comme la somme du modèle quadratique de coût de chaque générateur [14].


33

NG

1iiGii

2Gii

NG

1iGi /h)($cPbPaPFiFMinimiser (II.1)

Tels que ��, b� et �� représentent les coefficients de coût de la �è�� unité de production.

II.3.1.1 Sous les contraintes d'égalité

Les contraintes d'égalité de l'OPF reflètent à des lois physiques gouvernant le système

électrique. Elles sont représentées par les équations non-linéaires de l’écoulement de

puissance qui exigent que la somme de l’injection nette des puissances actives et réactives

dans chaque jeu de barres soit nulle [13] [14].

00

0

11

11

xg

QQQ

PPP

L

NC

jchj

NG

iGi

L

NC

jchj

NG

iGi

(II.2)

II.3.1.2 Sous les contraintes d'inégalité

Les contraintes d'inégalités habituelles peuvent inclure les limites sur les dispositifs

physiques dans le système électrique tels que, les générateurs, les transformateurs à prises de

charge, et les transformateurs déphaseurs, ainsi que les limites créées pour assurer la sécurité

de système, en plus d'autres contraintes d'inégalités comme les limites des puissances

réactives de compensations. Les limites sur les générateurs concernent les limites des

puissances actives et réactives qui doivent être maintenues dans les limites admissibles:

0

0

θθθ

maxmin

2max2

maxmin

maxmin

maxmin

maxmin

maxmin

xh

QQQ

SS

ttt

VVV

QQQ

PPP

CiCiCi

jiji

jijiji

jijiji

iii

GiGiGi

GiGiGi

(II.3)


34

II. 4 Les éléments d’optimisation

L’optimisation est une des mathématiques consacré à l’étude du (ou des)

minimum(s)/maximum(s) d’une fonction à une ou plusieurs variables sur un certain domaine

de définition, de l’étude de leur existence à leur détermination, en général par la mise en

œuvre d’un algorithme et par suite un programme. Pour mener à bien une opération, plusieurs

éléments sont indispensables et conditionnent la solution trouvée. Figure (II.1) présente les

quatre éléments essentiels à la résolution d’un problème d’optimisation.

Figure II.1: Éléments indispensable.

En général, un grand nombre de paramètres sont indispensables, il faut être capable de

définir les paramètres utiles à l’optimisation. Certains paramètres ont une influence sur la

fonction choisie, d’autres pas. Etant donné le coût des simulations, seul les paramètres

influents sont à retenir :

Une fonction objective : définie l’objectif à atteindre. La définition de cette fonction est en

fait un problème délicat. Car le problème est formule en un problème d’optimisation par

l’intermédiaire de la fonction objective. C’est elle qui est au centre de l’optimisation, c’est

donc elle dépend que la pertinence de la solution.

Un modèle : précis, robuste et malléable du système étudié est indispensable. Ce modèle doit

être utilisable sur un domaine d’étude le plus large possible.

Un algorithme d’optimisation : permet de trouver la solution. Différentes méthodes

d’optimisation existent et en sont présentées.

Optimum

Chercher

Définir les

Paramètres

Choix de

l’Algorithme

d’Optimisation

Choix de la

Fonction Objectif

avec ces Contraintes

Choix du Modèle


35

Figure II.2: Les méthodes d’Optimisation.

II.5 Optimisation combinatoire

L'optimisation combinatoire [20] occupe une place très importante en recherche

opérationnelle, en mathématiques discrètes et en informatique. Son importance se justifie

d'une part par la grande difficulté des problèmes d'optimisation et d'autre part par de

nombreuses applications pratiques pouvant être formulées sous la forme d'un problème

d'optimisation combinatoire.

Bien que les problèmes d'optimisation combinatoire soient souvent faciles à définir, ils

sont généralement difficiles à résoudre. En effet, la plupart de ces problèmes appartiennent à

la classe des problèmes NP-difficiles et ne possèdent donc pas à ce jour de solution

algorithmique efficace valable pour toutes les données. L’optimisation combinatoire est

minimiser (ou maximiser) une fonction souvent appelée fonction coût, d’une ou plusieurs

variables soumises à des contraintes.

Le sujet de l’optimisation combinatoire dans un domaine discret. Il faut trouver parmi

toutes les possibilités, souvent en nombre fini, la possibilité optimale. Ceci parait facile mais

devient infaisable dès que la taille du problème est suffisamment grande. La taille pour


36

laquelle la recherche d’un optimum devient infaisable est petite, très souvent plus petite que la

taille des problèmes pratiques.

En général, la difficulté d’un problème grandit très vite avec le nombre des variables.

Il n’est pas alors faisable d’examiner toutes les possibilités. Les méthodes d’optimisation

peuvent être reparties en deux catégories :

Méthodes exactes.

Méthodes approchées.

Les méthodes exactes fournissent systématiquement une solution (optimale) au

problème traité si une telle solution existe. Dans le cas contraire, ce type de méthode permet

d’affirmer qu’il n’existe pas de solution au problème traité.

Les méthodes approchées fournissent une solution approchée au problème traité. Elles

sont en général conçues de manière à ce que la solution obtenue puisse être située par rapport

à la valeur optimale : de telles méthodes permettent d’obtenir des bornes inférieures ou

supérieures de la valeur optimale tel que :

Méthodes Heuristiques ;

Méthodes Méta heuristiques

II.6 Méthodes d’optimisation déterministes

Dans la littérature, nous trouvons de nombreuses méthodes d’optimisation

conventionnelles (déterministes). Il est possible de classer ces méthodes en deux grandes

catégories : programmation linéaire et programmation non-linéaire.

Le premier groupe traite de la résolution des problèmes parfaitement représentés par

un système d’équations linéaires, tandis que la programmation non-linéaire traite les

problèmes non-linéaires. Les méthodes déterministes sont basées sur le calcul de la dérivée du

problème, ou sur des approximations de cette dernière. Elles nécessitent donc quelques

informations sur le vecteur gradient.

Beaucoup de techniques d'optimisation classiques tels la programmation linéaire et

non linéaire [21], la méthode de gradient, la méthode de newton [1], la programmation

quadratique [22, 23], et la méthode de point intérieur [23, 24] ont été appliquées pour

résoudre le problème d’optimisation liés à la planification et le control des réseaux

électriques, en particulier l’optimisation de la puissance réactive. Ces méthodes ayant la


37

propriété de converger vers la solution mathématique exacte « réelle » tout en respectant

certaines conditions liées au bon fonctionnement du processus envisagé, ces dernières

appelées contraintes d’égalités et d’inégalités.

II.6.1 Méthode du gradient

Historiquement, les méthodes de gradient sont les plus anciennes. Elles permettent de

résoudre des problèmes non linéaires et sont basées sur une hypothèse forte sur la

connaissance de la dérivée de la fonction objective en chacun des points de l’espace [3].

Cette méthode peut être classée en deux catégories de premier ordre et de deuxième

ordre, le premier ordre basé sur une approximation linière en séries de Taylor avec

initialisation de gradient, et le deuxième ordre base sur l’approximation quadratique en séries

de Taylor avec initialisation de gradient en utilisant l’Hessien H.

II.6.1.1 Formulation mathématiques

On choisit un point de départ xR0 Ret on calcule le gradient 0xf en x0. Comme le

gradient indique la direction de plus grand augmentation de f, on se déplace d’une quantité λ0

dans le sens opposé au gradient et on définit le point x1 :

0

0001

xf

xfxx

(II.4)

Cette procédure est répétée et engendre les points x 0, x1,..., xk . Ainsi, pas a pas, la distance

ente le point d’indice k et l’optimum diminue

0>,1 k

k

kkkk k

xf

xfxx

(II.5)

λ0 : c’est le déplacement à chaque itération.

Si k est fixé, on parle de méthode de gradient à pas prédéterminé. L'inconvénient de

cette procédure est que la convergence est très dépendante du choix du pas de déplacement.

La convergence peut être très lente si le pas est mal choisi. L'intérêt principal de cette

méthode est de pouvoir se généraliser aux cas de fonctions ne sont pas différentiables.


38

II.6.1.2 Avantages et inconvénients

L’inconvénient de ces méthodes est que la convergence est ralentie pour certains types

de fonctions : les déplacements successifs sont orthogonaux, donc l’algorithme va être piégé

si les vallées (s’il s’agit d’une minimisation) sont étroites. Dans le cas des fonctions non

convexes, la méthode risque de converger vers un optimum local dépendant du point de

départ choisi. Dans des régions plates, ou raides, la convergence sera fortement ralentie.

II.6.2 Méthode de Newton

La méthode de Newton est une méthode très puissante à cause de sa convergence

rapide, en particulier si l’estimation initiale de la solution x(0) est suffisamment proche de la

solution optimale x(*). L’idée de cette méthode est de minimiser, à chaque itération k, une

approximation quadratique de la fonction objective originale f (x) au voisinage de

l’estimation actuelle de la solution x(k) L’approximation quadratique de f (x) est obtenue à

partir du développement en série de Taylor à l’ordre 2 [1] [15].

f( x (k+1) ) = f (x (k) )+[ ∇f(x(k))]T [ Δx (k+1) ]+[Δx (k+1) ] T [∇2f(x(k)[ Δx (k+1) ] ] T (II.6)

7TOu: F: 7TRn →Rn est régulière (au moins différentiable). On cherche donc x(*) tel que F(x) = 0

Pour toute i = 1,….n.

II.6.3 Programmation dynamique

La programmation dynamique est une technique classique de conception

d’algorithmes pour résoudre des problèmes en temps polynomial. L’idée générale est de

résoudre un problème en utilisant des solutions à des sous-problèmes précédemment résolus.

Pour ce faire, la programmation dynamique applique une approche dite « du bas vers le haut

», c’est-à-dire qu’on commence par résoudre les sous-problèmes les plus petits, et donc les

plus faciles, pour ensuite résoudre des problèmes de plus en plus grands, jusqu’à finalement

déterminer une solution du problème initial. Bien souvent, comme la programmation

dynamique nécessite de stocker les solutions de tous les sous-problèmes résolus, il est

également nécessaire de disposer d’un espace exponentiel [16].


39

II.6.4 Méthode du point intérieur

L’origine, les méthodes de type « Point Intérieur » ont été conçues pour résoudre les

problèmes de programmation non linéaire. Des recherches plus approfondies sur ces

méthodes ont montré qu’elles donnaient de très bonnes performances en termes de vitesse de

convergence pour les problèmes de grande échelle. L’algorithme présenté dans cette section,

connu sous le nom d’ « algorithme primal-dual » est l’un des plus utilisé. Le principe de cette

méthode est de rajouter à la fonction objective une fonction logarithmique « barrière »

incluant des contraintes et qui décroît progressivement au fil de l’optimisation pour tendre

vers 0. Typiquement, considérons un problème de la forme [1]:

0min xhavecxf (II.7)

On peut théoriquement transformer ce problème contraint, en incorporant les

contraintes d’inégalités dans la fonction objective, en un problème non contraint:

i ikk

uk

u xhxfxfavecxf ln,,min (II.8)

Où �� > 0 est un paramètre de pénalisation qui tend vers 0 au fil des itérations par

remise à jour appropriée. Le choix de la valeur initiale de μ0 ainsi que sa procédure de remise

à jour doivent être choisis de manière judicieuse pour éviter les problèmes de divergence.

II.6.5 Technique de programmation quadratique

Cette technique est une classe spéciale de la programmation non linéaire où la fonction

objective est une approximation quadratique avec des contraintes linéaires. Ces techniques

utilisent les dérivées du deuxième ordre pour améliorer la vitesse de convergence ainsi que la

procédure quasi- Newtonienne, ou une approximation du Hessien est faite. Cependant, dans

les méthodes quasi- Newtoniennes la matrice Hessien réduite construite itérativement est une

matrice pleine, ce qui peut rendre ces méthodes trop lentes si le nombre de variables est

important [1].

Soit Rn

x .n s’agit de minimiser une fonction objective de la forme suivante :

xcxxqxxf i

n

iiji

n

i

n

jijn

11 11 ,......., (II.9)


40

Sous les contraintes :

01

xaxg i

n

iijk mk ,,.........1 (II.10)

Ce problème s’exprime sous forme matricielle :

xQxxf cxTT

2

1 (II.11)

0 Axxg k mk ,,.........1 (II.12)

Q est une matrice symétrique. Dans le cas où elle est semi-définie positive, la fonction

f est convexe et le problème a au moins une solution (s'il existe un point satisfaisant les

contraintes). Si Q est définie positive, f est strictement convexe et il existe une unique

solution.

II.7 Méthodes Heuristique

(Du grec heuriskêin, « trouver ») est un terme de didactique qui signifie l'art

d'inventer, de faire des découvertes (Littré). C'est en sociologie, une discipline qui se propose

de dégager les règles de la recherche scientifique (Larousse).

En optimisation combinatoire, Théorie des graphes et Théorie de la complexité, une

heuristique est un algorithme qui fournit rapidement (en temps polynomial) une solution

réalisable, pas nécessairement optimale, pour un problème d'optimisation NP-difficile. Une

heuristique, où méthode approximative, est donc le contraire d'un algorithme exact qui trouve

une solution optimale pour un problème donné. Les algorithmes de résolution exacts étant de

complexité exponentielle, il est généralement plus judicieux de faire appel à des méthodes

heuristiques pour des problèmes difficiles. On retiendra cependant que des méthodes de

résolution exactes (comme le simplexe) sont de complexités exponentielles mais parfois plus

efficaces en pratique qu'une méthode heuristique. L'usage d'une heuristique est pertinent pour

calculer une solution approchée d'un problème et ainsi accélérer le processus de résolution

exacte.

Généralement une heuristique est conçue pour un problème particulier, en s'appuyant

sur sa structure propre, mais les approches peuvent contenir des principes plus généraux. On

parle de méta-heuristique pour les méthodes approximatives générales, pouvant s'appliquer à

différents problèmes (comme le recuit simulé par exemple). La qualité d'une heuristique peut

s'évaluer selon deux critères scientifiques :


41

Critère pratique, ou empirique : on implémente l'algorithme approximatif et on évalue

la qualité de ses solutions par-rapport aux solutions optimales (ou aux meilleures

solutions connues). Ceci passe par la mise en place d'un benchmark (ensemble

d'instances d'un même problème accessible à tous).

Critère mathématique : il faut démontrer que l'heuristique garantit des performances.

La garantie la plus solide est celle des algorithmes approchés, sinon il est intéressant

de démontrer une garantie probabiliste, lorsque l'heuristique fournit souvent, mais pas

toujours, de bonnes solutions.

C'est un fait que ces deux critères peuvent être contradictoires. Un exemple frappant

est celui du transversal minimum. L'algorithme 2-approché pour ce problème est dans une

imposante majorité des cas nettement moins efficace que l'heuristique des plus hauts degrés.

Celle-ci consiste à former une solution réalisable en sélectionnant à chaque itération le

sommet couvrant un maximum de sommets. Cette heuristique peut pourtant fournir des

solutions aussi mauvaises que l'on veut, dans le sens que pour tout ρ> 1 on peut construire

une instance pour laquelle l'heuristique donne une solution dont la valeur est supérieure à

ρfois celle de l'optimum.

Ironiquement, la principale difficulté de la résolution exacte d'un problème

d'optimisation combinatoire est non pas de trouver une solution optimale, ce qui souvent

arrive assez rapidement lors du processus de résolution, mais de démontrer qu'une solution est

bien la meilleure possible, c'est-à-dire de réaliser que l'on a la solution optimale. Le critère

mathématique est surtout important car l'information qu'il donne est exploitable dans un

processus de résolution exacte. Par-exemple, si l'heuristique 2-approchée pour le transversal

minimum donne une solution réalisable de valeur 100, on sait que la valeur de la solution

optimale est au minimum 50, on peut donc stopper un processus d'énumération (par-exemple

séparation et évaluation) dès que l'on possède une solution réalisable atteignant cette borne.

Dans ce contexte il devient motivant d'élaborer l'algorithme 2-approché le plus

mauvais qui soit, donnant la solution la plus éloignée de l'optimum, pour prouver une

meilleure borne. On utilise donc un couplage maximum, alors qu'un couplage maximal suffit,

pour cette algorithme 2-approché.


42

II.8 Les méta-heuristiques

Les méthodes d’optimisation globales connues souvent par le nom méta-heuristiques

sont inspirées parfois de la théorie d’évolution chez les sociétés d’animaux et d’insectes dans

laquelle on trouve les algorithmes génétiques (AG), parfois sont inspirées de la théorie

d’éthologie de ces sociétés dans laquelle on cite les algorithmes d’optimisation par essaims

particulaires PSO, les colonies de Fourmies (ACO).etc. Ces algorithmes sont basés sur

l’exploration aléatoire probabiliste d’une ou plusieurs régions de l’espace de recherche, cette

exploration aléatoire guidée parfois par des fonctions probabiliste permet d’éviter les

optimum locaux lors de l’exploration contrairement aux méthodes déterministes qui se bloque

en général dans un optima local ou bien si la fonction objective présente certaine complexité

mathématique grandissante.

Les premières méta-heuristiques datent des années 1980, et bien qu’elles soient

d’origine discrète, on peut les adapter à des problèmes continus. Elles sont utilisées

généralement quand les méthodes classiques (mathématiques) ont échoué de trouver la

solution souhaitée, leur efficacité n’est pas toujours garantie, elle dépond, de la nature de

problème envisagé et les paramètres de l’algorithme. Ces méthodes sont largement appliquées

aux différents domaines notamment dans le domaine de l’optimisation de l’énergie électrique

[16].

Un très grand nombre de résolution existent en Recherche Opérationnelle et en

Intelligence Artificielle pour l’optimisation combinatoire et l’affectation sous contraintes. La

figure (II.3) met en parallèle les méthodes représentatives développées en RO et en IA, avec à

titre indicatif la date approximative d’apparition de chaque méthode.


43

Figure II.3: Classement des méthodes de résolution.

II.8.1 Minimum local et global d’une fonction

L’utilisation d’un algorithme de type gradient pour minimiser une fonction f non

convexe peut donner des résultats non satisfaisants. Le point de départ pour la recherche de la

solution peut beaucoup influencer la convergence de l’algorithme vers le minimum global.

En effet, l’algorithme est d’autant plus susceptible de rester bloqué dans un minimum

local si la fonction possède plusieurs optima locaux [17].Cette difficulté est illustrée dans la

figure (II.4).

Figure II.4: Minimum local et global d’une fonction.


44

Pour éviter de rester bloqué dans un optimum local que présentent les méthodes

classiques, les algorithmes d’optimisations globales adoptent une stratégie qui consiste à

effectuer une exploration aléatoire de l’espace de recherche de la fonction objectif. Ils sont

basés sur les principes de la théorie évolutionnaire. Ils simulent l’évolution naturelle des

structures individuelles afin de trouver une solution optimale.

Dans chaque génération, une nouvelle approximation de solution optimale se produit

par des processus de sélection des individus selon leurs performances dans le domaine du

problème. Les individus sélectionnés vont être reproduits en utilisant les mécanismes de

recherche par exemple des opérateurs empruntés aux génétiques naturelles dans le cas d’un

algorithme génétique. Ces processus mènent à l’évolution de la population des individus les

mieux adaptés à leur environnement.

Ces méthodes reçoivent de plus en plus d’intérêt en raison de leurs capacités

potentielles à résoudre des problèmes complexes. Un des avantages bien connu des méta-

heuristiques est leur capacité à résoudre les problèmes sans connaissance a priori des

formulations mathématiques de ces derniers.

Les méta-heuristiques sont souvent employées pour leur facilité de programmation et

de manipulation. Elles sont en effet facilement adaptables à tout type de problème

d’optimisation. Parmi les méta-heuristiques les plus connues on cite :

1. les algorithmes génétiques GA.

2. Les algorithmes d’optimisation par essaims de particules PSO.

3. les algorithmes de colonies de fourmis ACO.

4. les algorithmes à évolution différentielle.

5. les stratégies d’évolution.

II.8.2 Optimisation par algorithmes génétiques

Les algorithmes génétiques (AG) sont des méthodes d’optimisation stochastiques

maintenant bien connues, sont inspires des mécanismes de la sélection naturelle et de la

génétique. Ils utilisent les principes de survie des individus les mieux adaptés. C’est J.

Halland [1], qui a posé les fondements théoriques des algorithmes génétiques, passant du

paradigme darwinien de l’évolution naturelle à celui de l’évolution artificielle. Une nouvelle

étape est franchie de lorsque les travaux de G. Goldberg [18] vers le milieu des années quatre-

vingt, donnent aux algorithmes génétiques leurs lettres de noblesse en tant que méthode

d’optimisation viable, efficace et non spécifique [19].


45

Le premier pas dans l'implantation des algorithmes génétiques est de créer une

population d'individus initiaux. En effet, les algorithmes génétiques agissent sur une

population d'individus, et non pas sur un individu isolé. Par analogie avec la biologie, chaque

individu de la population est codé par un chromosome ou génotype. Une population est donc

un ensemble de chromosomes. Chaque chromosome code un point de l'espace de recherche.

L'efficacité de l'algorithme génétique va donc dépendre du choix du codage d'un

chromosome Dans l'algorithme génétique de John Holland, un chromosome était représenté

sous forme de chaînes de bits contenant toute l'information nécessaire à la description d'un

point dans l'espace ce qui permettait des opérateurs de sélection, croisement et de mutation

simple.

II.9 Conclusion

Dans ce chapitre, on a illustré le concept de l’écoulement optimal des puissances et

plus particulièrement le dispatching économique dont la fonction objective est une fonction

quadratique de la puissance générée. Plusieurs méthodes d’optimisation pour le calcul OPF

ont étés développés avec la prise en considération de leur évolution historique. On a décrit les

méthodes d’optimisation déterministes. L’une des méthodes mathématiques d’optimisation

qui s’appelle la méthode d’algorithme génétique est appliquée pour le calcul de la répartition

optimal des puissances, représente l’outil d’analyse et d’application dans le chapitre prochain.

Chapitre III l’Algorithmes génétiques

46

III.1 Introduction

Les algorithmes génétiques (AG) sont des techniques de recherche et d’optimisation

stochastique dérivées de la génétique et des mécanismes de la sélection naturelle et de

l’évolution. Leurs champs d’application sont très vastes : éco, optimisation de fonctions (cout

ou les pertes), planification, et bien d’autres domaines. La raison de ce grand nombre

d’application est claire, la simplicité et l’efficacité [25].

III.2 Historique

Les algorithmes génétiques, initiés dans les années 1970 par John Holland, sont des

algorithmes d’optimisation s’appuyant sur des techniques dérivées de la génétique et des

mécanismes d’évolution de la nature : croisement, mutation, sélection.

Les premiers travaux sur les algorithmes génétiques ont été initialement développés

par John Holland (1975) qui a développé les principes fondamentaux des algorithmes

génétiques dans le cadre de l’optimisation mathématique.

A cette époque, l’informatique n’avait pas encore connu de développement et ses

travaux n’ont pas pu être appliqués sur des problèmes réels de grande taille. La parution en

1989 de l’ouvrage de référence écrit par D.E Goldberg, qui décrit l’utilisation de ces

Algorithmes dans le cadre de résolution de problèmes concrets, à permis de mieux faire

connaître ces derniers dans la communauté scientifique et à marqué le début d’un nouvel

intérêt pour cette technique d’optimisation, notamment après la parution de puissants

calculateurs dans les années 90.

III.3 Définition

Les algorithmes génétiques sont des algorithmes d'optimisation s'appuyant sur des

techniques dérivées de la génétique et des mécanismes d'évolution de la nature : sélections,

croisements, mutations, etc. Ils appartiennent á la classe des algorithmes évolutionnaires. On

peut dire que l'algorithme génétique est une méthode de programmation qui repose sur le

principe de l’évolution pour effectuer la recherche d'une solution adéquate à un problème.


47

III.4 Principe

Les algorithmes génétiques (AG) sont des méthodes utilisées dans les problèmes

d’optimisation. Tirent leur nom de l’évolution biologique des êtres vivants dans le monde

réel. Ces algorithmes cherchent à simuler le processus de la sélection naturelle dans un

environnement défavorable en s’inspirant de la théorie de l’évolution proposée par C. Darwin.

Dans un environnement, « les individus » les mieux adaptés tendent à vivre assez longtemps

pour se reproduire alors que les plus faibles ont tendance à disparaître.

Dans un problème d’optimisation à ‘n’ variables, nous faisons correspondre un gène à

Chaque variable cherchée. Chaque gène est représenté par une chaîne de caractères choisis

Dans un alphabet fini (souvent binaire).

Les gènes s’enchaînent ensemble "bout à bout" pour construire un chromosome,

chaque chromosome représentant une solution potentielle sous une forme codée. Ces

chromosomes constituent les briques de base contenant les caractéristiques héréditaires des

individus.

Un chromosome (ou plusieurs) forme un individu qui représente à son tour une

solution potentielle dans l’espace de recherche correspondant du problème. Etant donné que

les algorithmes génétiques travaillent sur un ensemble de points de l’espace de recherche,

nous appelons l’ensemble des points choisis (à savoir les individus) une population. Au fur et

à mesure des générations (itérations), une population des individus mieux adaptés va être

créée.

III.5 Présentation

Les techniques de recherche et d’optimisation sont en général classées en trois

catégories. Énumératives, déterministes et stochastiques. Les AG font partie de la troisième

catégorie et quatre caractéristiques les distinguent des autres techniques d’optimisation :

Ils utilisent un codage des paramètres et non les paramètres eux-mêmes.

Ils travaillent sur une population d’individus (ou de solutions).

Ils n’utilisent que les valeurs de la fonction à optimiser, pas sa dérivée, ou une autre

connaissance auxiliaire.

Ils utilisent des règles de transition probabilistes et non déterministes.


48

Figure III.1 : Vue d'ensemble d'un algorithme génétique.

III.6 Paramètres d’un AG

Pour appliquer un la méthode des AG à un problème réel, on doit posséder les

éléments suivants :

Un codage des éléments appartenant à la population, le codage des solutions du

problème à résoudre doit être choisi avec soin;

un processus d’évolution des générations;

des opérateurs pour modifier les individus d’une population de la génération t à la

génération 1t comme le croisement et la mutation;

1. des paramètres de l’AG : les opérateurs précédents dépendent de plusieurs paramètres

qui sont fixés à l’avance et dont dépend fortement la convergence de l’algorithme :

2. taille de la population : c’est-à-dire le nombre d’individus dans la population. Si la

taille est trop petite, l’AG peut ne pas converger, par contre si elle est trop grande,

l’évaluation des individus peut être très longue;

3. probabilité de croisement et de mutation. Les valeurs de ces probabilités peuvent

varier d’une application à l’autre. Par exemple, dans l’étude des AG pour

l’optimisation de cinq fonctions mathématiques, De Jong (1975) a suggéré de choisir

une probabilité de croisement élevée, une probabilité de mutation faible (inversement

proportionnelle à la taille de la population), et une population de taille modérée. La

probabilité de mutation est en général très faible, inférieure à 0,1, une probabilité trop

grande, peut modifier les meilleurs individus;

4. critère d’arrêt : c’est-à-dire le nombre maximal de générations à effectuer.

Chapitre III

III.7 Principe de base d’un AG standard

Un AG standard nécessite en premier le codage de l’ensemble des paramètres du

problème d’optimisation en une chaîne de longueur

s’agit de simuler l’évolution d’une population d’individus jusqu’à un critère d’arrêt. On

commence par générer une population initiale d’individus (solutions) de façon aléatoire. Puis,

à chaque génération, des indi

d’une fonction objectif appelée fonction d’adaptation. Puis, les opérateurs de croisement et de

mutation sont appliqués et une nouvelle population est créée. Ce processus est itéré jusqu’à un

critère d’arrêt. Le critère le plus couramment utilisé est le nombre maximal de générations

que l’on désire effectuer. La figure (

Figure III.2

L’AG débute par la génération

d’adaptation de tous les individus qui composent cette première population. Puis, des

individus sont sélectionnés aléatoirement pour la reproduction selon le principe de la survie

du plus adapté.

l’Algorithmes génétiques

49

Principe de base d’un AG standard


problème d’optimisation en une chaîne de longueur finie. Le principe d’un AG est simple, il



à chaque génération, des individus sont sélectionnés, cette sélection est effectuée à partir




désire effectuer. La figure (III.2) présente le principe de l’AG standard.

Figure III.2 : Organigramme des AG standard.

L’AG débute par la génération d’une population initiale et l’évaluation de la fonction



l’Algorithmes génétiques


finie. Le principe d’un AG est simple, il



vidus sont sélectionnés, cette sélection est effectuée à partir




présente le principe de l’AG standard.

rganigramme des AG standard.

d’une population initiale et l’évaluation de la fonction




50

Ensuite, des individus « enfants » (ou les descendants) sont générés en appliquant les

deux opérateurs génétiques suivants : le croisement et la mutation. Ces enfants sont placés

dans une nouvelle population p(t) et vont se substituer, en tout ou en partie, à la population de

la génération précédente. De nouvelles populations d’individus vont ensuite se succéder,

d’une génération (t) à la génération (t+1), chaque génération représentant une itération jusqu’à

l’atteinte du critère d’arrêt. L’AG présenté ci-dessus est dit générationnel car tous les

individus enfants générés sont placés dans une population et vont remplacer entièrement la

population des individus parents.

III.8 Les opérations d’un AG

III.8.1 Sélection

La sélection a pour objectif d’identifier les individus qui doivent se reproduire. Cet

opérateur ne crée pas de nouveaux individus mais identifie les individus sur la base de leur

fonction d’adaptation, les individus les mieux adaptés sont sélectionnés alors que les moins

bien adaptés sont écartés. La sélection doit favoriser les meilleurs éléments selon le critère à

optimiser (minimiser ou maximiser). Ceci permet de donner aux individus dont la valeur est

plus grande une probabilité plus élevée de contribuer à la génération suivante (figure III.3).

Il existe plusieurs méthodes de sélection, les plus connues étant la « roue de la fortune » et la

« sélection par tournoi » :

La « roue de la fortune » est la plus ancienne, où chaque individu, de la population de

taille maximale jmax, occupe une section de la roue proportionnellement à sa fonction

d’adaptation Fitness( j ), la probabilité de sélection d’un individu ( j ) s’écrit :

jmax

1j jFitness

jFitnessjprob (III.1)

À chaque fois qu’un individu doit être sélectionné, un tirage à la loterie s’effectue et

propose un candidat, les individus possédant une plus grande fonction d’adaptation ayant plus

de chance d’être sélectionnés. À chaque fois qu’il faut sélectionner un individu, la « sélection

par tournoi » consiste à tirer aléatoirement (k) individus de la population, sans tenir compte de

la valeur de leur fonction d’adaptation, et de choisir le meilleur individu parmi les k individus.

Le nombre d’individus sélectionnés a une influence sur la pression de sélection, lorsque k = 2,

la sélection est dite par «tournoi binaire».


51

Figure III.3 : Représentation d'une sélection par tournoi d'individus pour un critère

de maximisation (chaque individu représente une solution possible)

III.8.2 Croisement

Le croisement permet de créer de nouvelles chaînes en échangeant de l’information

entre deux chaînes (figure .III.4). Le croisement s’effectue en deux étapes. D’abord les

nouveaux éléments produits par la reproduction sont appariés, ensuite chaque paire de chaînes

subit un croisement comme suit : un entier k représentant une position sur la chaîne est choisi

aléatoirement entre 1 et la longueur de chaîne (l) moins un (l -1). Deux nouvelles chaînes sont

créées en échangeant tous les caractères compris entre les positions k +1 et l inclusivement.

L’exemple suivant (figure III.4) montre deux chaînes (A1 et A2) de longueur l = 5

appartenant à la population initiale. Les deux nouvelles chaînes (A3 et A4) appartenant à la

nouvelle population sont obtenues par croisement à la position k = 5 :

Figure III.4 : Représentation d’un croisement en un point de deux chaînes.

A1 0110|1

A2 1100|0 A4 1100|1

A3 0110|0

Avan

tTt Croisement Après


52

III.8.3 Mutation

La mutation est exécutée seulement sur une seule chaîne. Elle représente la

modification aléatoire et occasionnelle de faible probabilité de la valeur d’un caractère de la

chaîne, pour un codage binaire cela revient à changer un 1 en 0 et vice versa (figure .III.5).

Cet opérateur introduit de la diversité dans le processus de recherche des solutions et peut

aider l’AG à ne pas stagner dans un optimum local.

Figure III.5: Représentation d’une mutation de bits dans une chaîne.

III.8.4 Codage

Le codage utilisé par un AG est représenté sous forme d’une chaîne de bits qui

contient toute l’information nécessaire pour représenter un point de l’espace de recherche. Le

codage binaire est le plus utilisé, l’inconvénient majeur du code binaire étant que deux points

proches dans l’espace des variables (colonne 1 du Tableau III.1) ne sont pas nécessairement

codés par deux chaînes de bits voisines (colonne 2). On remédie en général à ce problème en

utilisant le codage de Gray qui conserve une distance de Hemming de 1 entre deux chaînes

(colonne 3). La distance de Hemming entre deux chaînes de bits est le nombre de bits qui

diffère de l’une à l’autre. Pour les deux chaînes suivantes: 111 et 100, la distance est de 2.

Le Tableau (III.1) montre un exemple du code binaire et le code Gray pour des

variables entières allant de 0 et 7. On voit que la distance de Hemming est de 1 pour chaque

entier dans le code Gray, alors que pour les nombres binaires, pour passer de 3 à 4, la distance

de Hemming est de 3.

Tableau III.1: Code de Gray et code binaire pour une chaîne à trois bits.

Variables entières Code binaire Code Gray 0 000 000 1 001 001 2 010 011 3 011 010 4 110 110 5 101 111 6 110 101 7 111 110


53

III.9 Processus d’évolution des générations : générationnel, stationnaire et élitiste

Traditionnellement, les AG sont générationnels. Les individus de chaque génération

sont testés et une nouvelle population en entier est générée, le nombre de descendants

produits est donc égal au nombre d’individus parents.

Les deux populations ne se chevauchent pas. La nouvelle population d’individus

enfants est formée à chaque génération. Cependant, certains individus enfants peuvent être

une copie conforme des parents qui n’ont pas été perturbés ni par un croisement ni par une

mutation.

La stratégie de remplacement stationnaire (steady-state) diffère de l’AG générationnel.

Dans cette approche, il y a seulement un ou deux individus qui sont générés à la fois [28]. Il

peut y avoir différentes façons de sélectionner « l’individu victime » à supprimer de la

population. Par exemple, on 11 peut sélectionner un individu aléatoirement ou sélectionner

celui qui a la plus petite fonction d’adaptation. Dans ce type d’AG, les nouveaux individus

générés sont ajoutés à la population et peuvent immédiatement être sélectionnés comme

parents de nouveaux individus.

Approche élitiste (élitiste model) : Les opérateurs de croisement et de mutation peuvent

affecter le meilleur individu d’une génération. Le modèle élitiste a pour avantage d’écarter la

possibilité de perdre cet individu. Ce modèle copie le meilleur individu de chaque génération

dans la population de la génération suivante. Ce modèle peut accélérer la vitesse de

domination exercée par ce super individu sur la population.

III.10 Opérateurs de croisement

Il existe d’autres opérateurs de croisement :

1. Croisement en un seul point: dans ce type de croisement, un point de croisement est

choisi Aléatoirement pour le couple la position de ce point M est définie par:

1.,,.........3,2,1 lSM

lS : La longueur de chromosome (nombre de bits dans le chromosome).


54

Le croisement en un seul point a l’avantage d’être simple et facile à appliquer. De

plus, ce type de croisement donne de bons résultats dans des applications où certaines

informations importantes sur le problème sont déjà connues. Enfin, pour des problèmes

d’optimisation en temps réel ou des problèmes ayant un grand nombre de variables, cette

méthode peut donner une convergence rapide vers une solution optimale.

Avant Apre

Figure III.6 : Croisement en seul point.

2. Croisement en deux points: on choisit au hasard deux points de croisement et on échange

les parties de chaîne situées entre ces deux points fig. (III.6).

Figure III.7 : Représentation d’un croisement en deux points.

III.11 Pseudo code pour l'algorithme génétique [26]

Input: population (size), problem (size), P (crossover), P (mutation)

Output ; S (best)

A1 00|0100|111

A2 11|1011|000 A4 10|0100|100

A3 01|1011|011

Avant Croisement en deux points Après


55

1. Population initialize population (population (size), problem (size)) ;

2. Evaluate population (population) ;

3. S (best) Get Best solution (population) ;

4. While stop condition () do ;

5. parentsSelect parents (population, population (size)) ;

6. Children ;

7. For each Parent1, Parent2 Parent do;

8. crossoverPParentParentCrossoverChildChild ,,(, 2121 ;

9. MutateChildren mutationPChild ,1 ;

10. Mutatechildren mutationPChild ,2 ;

11. end

12. Evaluate population ;Children

13. S (best) Get Best Solution (Children) ;

14. Population Replace (Population, Children) ;

15. end

16. return S (best)

III.12 Algorithme de charge des flux de solution [27]

Étape 1:

Lire les données en ligne data, bus data et obtenir Ybus .

Étape 2:

Initialiser les paramètres de RCGA. Ils sont nop, noaloc, novloc, et noav.

Étape 3 :

novvnop Population initiale pour amplitude de tension est générée de façon

aléatoire entre les limites minimales et maximales.

Étape 4 :

noavnop Population initiale pour les angles de tension est générée de façon

aléatoire entre les limites minimales et maximale.


56

Étape 5 :

Calculé : ikikik

n

1kkii

cos... YVVp

(III.2)

ikikik

n

1kkii

sin... YVVQ

(III.3)

Étape 6 :

Découvrir la :

ppΔp Cali

SPECii (III.4)

QQΔQ Cali

SPECii (III.5)

Étape 7 :

Calculé l'erreur en utilisant l'équation

ΔQΔpe 2i

2i (III.6)

Étape 8 :

Connaître la valeur de remise en forme de chaque population en utilisant l'équation :

iFit11iFit

(III.7)

ΔQΔpiFit 2i

2i (III.8)

Étape 9 :

Disposer la population en ordre décroissant en fonction de leurs valeurs de remise en forme.

Étape 10 :

Les meilleurs chromosomes sont directement copiés dans la population suivante de

génération pour réaliser l'élitisme avec une probabilité de Pe pour les deux variables de

tension et de variables d'angle.

Etape 11:

Les parents sont sélectionnés par paires en utilisant la technique de sélection de roue

de la roulette en fonction de leurs valeurs de remise en forme.


57

Etape 12:

Technique de croisement Arithmétique combine linéairement deux chromosomes

parents pour produire deux nouveaux descendants. Deux descendants sont créés

conformément aux équations suivantes :

parentaparentaoffspring 211 1 (III.9)

parentaparentaoffspring 211 1 (III.10)

Où a est un nombre aléatoire entre zéro et un, qui est généré avant chaque opération de

recouvrement.

jiparentjparentkkjihkjih oidnew ,,1,, 321 (III.11)

Ttkkkk

jihjihjih new

min1

max1

max11

maxmax ,,,

(III.12)

jihjiparentjioffspring new,,, (III.13)

Étape 13:

Vérifier le nombre d'itérations est supérieure à l'itération maximale ou non. Si elle est

supérieure à nombre d'itérations, puis passez à l'étape 14.

Étape 14:

Après avoir effectué les opérateurs de l'élitisme et de croisement, la nouvelle

population est générée à partir de la population âgée. Dans cet opérateur présent la mutation

de travail est éliminée. Passez à l'étape 6 de répéter la même procédure .Arrêtez la procédure

et d'imprimer les résultats.

III.13 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons présenté tout d'abord une vue générale sur les algorithmes

génétiques, leurs paramètres et les principaux opérations et principe de basse de AG standard

ainsi quelques concepts concernant l’application des algorithmes génétiques sur

l’optimisation mono objectif.

Application de l’algorithme génétique (AG) dans le calcul de la répartition optimale

des puissances actives sera traité sur le chapitre suivant.


58

IV.1 Introduction

Ce chapitre est réservé à l’application de l’optimisation mono objective sur la fonction

coût de génération, méthode d’algorithme génétique est appliquée sur deux modèles de

réseaux électriques standards tels que IEEE 14 et IEEE 30 nœuds, en se basant sur le calcul de

l’écoulement de puissance. Le programme à été développé sous l’environnement Matlab pour

optimiser la fonction coût.

IV.2 Optimisation mono-objectif

En appliquant une optimisation mono-objective sur la fonction coût de génération

(FC), tout en respectant les limites des puissances générées actives et réactives, ainsi que

l’amplitude de la tension pour chaque jeu de barre du réseau électrique qui est déterminée par

le programme de l’écoulement de puissance afin de comparer les résultats et tirer des

conclusions. La fonction coût peut s’écrire sous la forme :

2GiiGiii

NG

1iGii PP.bminPFC GGG ca

(IV.1)

Où ; aGi, bGi, cGi sont les coefficients de la fonction coût de générateur i.

IV.3 Calcul OPF

IV.3.1 Application sur le réseau IEEE 14 nœuds

Pour obtenir l’objectif de notre travail, on a choisi réseau électrique IEEE 14 jeu de

barres, avec 5 centrales électriques de production et 20 lignes représenté par la figure (IV.1).

Tableau IV.1 : Coefficients de la fonction cout des générateurs.

PGi (MW) Coefficients de coût ($MW2)

Générateur

Min

Max

aGi bGi cGi

1 22 110 151.8 22.50 0.1518

2 16 80 606.6 27.30 0.2274

3 14 70 303.6 22.74 0.1518

6 18 90 397.2 30.36 0.0756

8 12 60 454.8 22.74 0.2274


59

Figure IV.1: Schéma du réseau IEEE 14 nœuds.

IV.3.1.1 Calcul OPF par application de la méthode Interior Point (MIPS)

Les résultats de calcul OPF obtenus par l’application de la méthode d’optimisation

MIPS sont données par le Tableau (IV.2), le coût de production optimale est de 8081,53 $/h,

les pertes actives totales à une valeur de 9,287 MW.

Tableau IV.2 : Résultats OPF par MIPS 14 nœuds.

N° de Jeu de Barres Puissances générées PGi (MW)

1 194,33

2 36,72

3 28,74

6 0

8 8,46

Coût de production ($/h) 8081,53

Pertes Active Total (MW) 9,287


60

Figure IV.2 : Puissances générées optimales par méthode MIPS.

IV.3.1.2 Application des algorithmes génétiques dans le calcul d’OPF

IV.3.1.2.1 Valeurs des Paramètres d’un algorithme génétique

Pour les algorithmes génétiques, il faut faire un choix des valeurs des paramètres

introduits dans le code de calcul, ce choix est basé sur l’expérience de l’application des AG

dans le domaine de l’optimisation de l’écoulement de puissance. On a pris le choix suivant

dans notre travail :

Le nombre des générations=150.

Population size (le nombre d’individus dans la population) =200.

Sélection=0.5.

Croisement=0.5.

Mutation=0.5.

Les résultats de calcul OPF obtenus par l’application de la méthode d’optimisation GA

sont données par le Tableau (IV.3), le coût de production optimale 711.8460 ($/h), les pertes

actives totales à une valeur de 5.2342(MW).


61

Tableau IV.3: Résultats OPF par AG sur réseau IEEE14 nœuds.


1 175.8863

2 48.3762

3 19.5004

6 10.1338

8 10.3376

Coût de production ($/h) 711.8460

Pertes Active Total (MW) 5.2342

Figure IV.3 : Puissances générées optimales par GA.

Figure IV.4 : Résultats d’optimisation mono-objective.


62

IV.3.1.3 Comparaison entre les deux méthodes

On remarque que les résultats de calcul OPF obtenus par la méthode GA exprime un

très bon résultat de minimisation de coût de production 711.8460 ($/h) et les pertes 5.2342

MW par rapport aux résultats obtenus par la méthode MIPS qui donne un coût de génération

8081, 53($/h) et pertes 9,287MW.

IV.3.2 Application sur le réseau IEEE 30 nœuds

Le réseau de transport qui va servir de base à notre étude est issu d'un réseau réel

simplifié qui est le réseau test IEEE 30 nœuds représentant une portion du système de

puissance électrique américain. Ce réseau électrique est constitué de 30 jeu de barres, 6

générateurs connectées aux jeux de barres (n=° 1, 2, 5, 8,11, et 13) injectant leurs puissances

à un système alimentant 20 charges à travers 41 lignes de transport (figure IV.1). La tension

de base pour chaque jeu de barres est de 135 kV, puissance de base 100 MVA.

Figure IV.5: Réseau test IEEE 30 nœuds.


63

Tableau IV.4 : Coefficients de la fonction cout des générateurs.

IV.3.2.1 Calcul OPF par application de la méthode Interior Point (MIPS)

Les résultats de calcul OPF obtenus par l’application de la méthode MIPS sur réseau

IEEE 30 nœuds sont données par le Tableau (IV.5), le coût de production optimale est de

8906.14$/h, les pertes actives totales à une valeur de 11.742MW.

Tableau IV.5: Résultats OPF par MIPS IEEE 30 nœuds.

(MW) Coefficients de coût ($MW2hr)

Nœud

Min

Max

aGi bGi cGi

1 50 200 0.00 2.00 0.00375

2 20 80 0.00 1.75 0.0175

5 15 50 0.00 1.00 0.0625

8 10 35 0.00 3.25 0.0083

11 10 30 0.00 3.00 0.0250

13 12 40 0.00 3.00 0.0250


1 212.23

2 36.23

5 29.35

8 12.94

11 4.40

13 0.00




64

Figure IV.6 : Puissances générées optimales par méthode MIPS.

IV.3.2.2 Calcul d’OPF par GA sur réseau IEEE 30 nœuds

Les résultats de calcul OPF obtenus par l’application de la méthode GA sur réseau

IEEE 30 nœuds sont données par le Tableau (IV.6), le coût de production optimale est de

801.8551$/h, les pertes actives totales à une valeur de. 9.3694MW.

Tableau IV.6 : Résultats OPF par génétique algorithme IEEE 30 nœuds.


1 176.4562

2 49.1225

5 20.9848

8 22.1436

11 12.6509

13 11.4115




65

Figure IV.7 : Puissances générées optimales obtenus par GA.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200500

1000

1500

2000

2500

Generation

Fitn

ess

va

lue

Best: 801.8551 Mean: 1240.4648

1 2 3 4 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Number of variables (5)

Cu

rre

nt b

est

ind

ivid

ua

l

Current Best Individual

Best f itness

Mean fitness

Figure IV.8 : Résultats d’optimisation mono-objective (la fonction coût de production)

IV.3.2.3 Comparaison entre les deux méthodes

On remarque que Les résultats de calcul OPF obtenus par la méthode GA exprime un

très bon résultat de minimisation de coût de production 801.8551 ($/h) et les pertes

9.3694MW par rapport Les résultats de calcul OPF par la méthode MIPS le coût de

production 8906.14 ($/h) et les pertes 11.742MW.


66

IV.3.2.4 Influence des paramètres AG sur le calcul OPF

Tableau IV.7 : Influence de la sélection.

Paramètres AG Grandeurs

Sélection 0.5 0.6 0.7 0.8

Croisement 0.5 0.5 0.5 0.5

Mutation 0.5 0.5 0.5 0.5

Coûts de génération 801.8551 817.60 822.7449 840.6827

Pertes actives totales 9.3694 9.7403 9.2656 6.7350

D’après le tableau (IV.7) on remarque qu’il y a une relation proportionnelle entre la

sélection et les valeurs OPF obtenus, chaque fois qu’en augmente la sélection le coût s’élève

et les pertes actives diminuent.

Tableau IV.8 : Influence de la Croisement.


Sélection 0.5 0.5 0.5 0.5

Croisement 0.5 0.6 0.7 0.8

Mutation 0.5 0.5 0.5 0.5



Tableau (IV.8) montre que la meilleure grandeur obtenue (coût et pertes actives)

correspond à une valeur de croisement de 0.5.

Tableau IV.9 : Influence de la Mutation.


Sélection 0.5 0.5 0.5 0.5

Croisement 0.5 0.5 0.5 0.5

Mutation 0.5 0.6 0.7 0.8




67

On remarque que chaque fois nous élevons la valeur de mutation, les valeurs des coûts

et des pertes s'élève.

IV.3.2.5 Comparaison entre les trois opérations

On remarque que la variation de mutation donne bon résultats par rapport à la

variation de la sélection et de croisement. Finalement on peut conclu que le choix optimal des

paramètres de ces méthodes reste comme problème principal.

IV.4 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons présenté les résultats de calcul d’OPF obtenus par

l’application des algorithmes génétiques comparées avec celle obtenus par la méthode

classique MIPS sur fonction mono-objective (coût de production). Ces méthodes (AG et

MIPS) sont appliquées sur deux modèles IEEE 14 et IEEE 30 nœuds, nous avons conclu que

la méthode AG est beaucoup mieux par rapport de la méthode MIPS dans le calcul OPF.

Conclusion générale .

68

Conclusion générale

Dans le premier chapitre, nous avons étudié les principaux éléments constitue un

réseau électrique et traite en détaille l’analyse de l’écoulement de puissance.

Dans le deuxième chapitre, on a donné un aperçu général sur les différentes méthodes

d'optimisation déterministe et évolutionnaire.

Dans le troisième chapitre nous avons présenté tout d'abord une vue générale sur les

algorithmes génétiques, et comment appliquer pour calculer la répartition optimale des

puissances.

Dans le quatrième chapitre, nous avons appliqué l’algorithme génétique par

l’optimisation de coût de génération, qui est la tache principale de ce mémoire, il était

primordial de procéder à un choix judicieux des différents paramètres de l’algorithme

génétique. On a abordé l’optimisation de la répartition des puissances en se basant sur la

recherche du point de fonctionnement optimal en minimisant le coût sous les différentes

contraintes d’égalité et d’inégalité reflétant respectivement l’équilibre Demande- Génération

et sécurité de fonctionnement.

Deux modèles du réseau test de tailles différentes ont été choisis pour valider notre

algorithme, IEEE 14 et IEEE 30 nœuds. Le programme est développé sous l'environnement

de MATLAB version 8.5 (2015a).

Bibliographie [1] Momoh JA, EL-Hawary ME, Adapta R, «A review of selected optimal power flow

littérature to 1993, Part I:nonlinear quadratique programming Approach» .IEEE trans Power

Sys;14(1):96-111.1999.

[2] Martin Hennebel, «Valorisation des services système sur un réseau de transport

d’électricité en environnement concurrentiel», thèse de doctorat, u-paris sud 11, 2009.

[3] Alain Berro, «Optimisation multiobjectif et stratégies d'évolution en environnement

dynamique», thèse présentée à l'université des sciences sociales toulouse I 2001.

[4] S Sayah, «Application de l’intelligence artificiel pour le fonctionnement optimal des

systèmes électriques »Université de Sétif thèse de doctorat, 2010.

[5] Philipe Barret, «Régime transitoire des machines tournantes électriques» Edition eyroles ;

1982.

[6] Hingorani NG, Gygyi L .Understanding facts, « Concept and technology of flexible ac

Transmission Systems». New York : IEEE Prés ; 1999.

[7] Pierre Bornard, «Conduite d’un système de production-transport», EDF. 10 nov. 2000

[8] Persoz H. et Adjemian R, « Interconnexions et échanges d’énergie électrique en Europe »,

EDF.2009

[9] L. Slimani, «optimisation de l’écoulement de puissance par une méthode de colonie de

fourmis », Université de Sétif mémoire de Magister, 2006.

[10] Naama, Bakhta, « Contribution à l’évaluation et au perfectionnement des méthodes méta-

heuristiques d’optimisation contribution application a l’optimisation des puissances actives

d’un réseau d’énergie électrique», mémoire doctorat, sidi bel Abbes,2015

[11] Himakar Udatha et al Int, « Journal of Engineering Research and Applications ISSN»,

2248-9622, Vol. 4, Issue 2(Version 1), pp.522-527, February 2014.

[12] A. Ladjici, «calcul évolutionnaire application sur l’optimisation de la planification de la

puissance réactive », école national polytechnique d’Alger Mémoire de Magister.sep 10 2015

[13] Angar yahia et Allaoua slimane, «Minimisation des pertes actives par Algorithme

génétique appliquée au réseau électrique Algérien», Université de Med khider Biskra, Master

en réseaux électriques 2011.

[14] Ankit Yadav, «Multiobjective optimal power flow» Memoir Master, University, Patiala,

July 2010.

[15] Mathieu Liedloff, « Algorithmes exacts et exponentiels pour les problèmes NP-difficiles

: domination, variantes et généralisations», l’université Paul Verlaine – Metz 2007.

[16] Walid Tfaili, «Conception d’un algorithme de colonie de fourmis pour l’optimisation

continue dynamique» de l’université paris 12-val de marne 2007.

[17] Jean Dipama, «optimisation multi-objectif des systèmes énergétiques», Université de

montréal 2010

[18] D .E. Goldberg,«genetic algorithm optimization and Machine learning» Addison Wesley

publishing company, Ind .USA, 1989.

[19] Belkacem SID, «optimisation topologique de structures par algorithmes génétiques»,

l'université de technologie de Belfort-Montbéliard 2006.

[20] M. Yehia, R. Ramadan, Z. El-Tawail, K. Tarhini, «An Integrated Technico- Economical

Methodology for Solving Reactive Power Compensation Problem», IEEE Trans. on PAS, vol.

13, No. 1, pp. 54–59, Feb. 2004.

[21] N. Deeb, S.M. Shahidepour, «Linear reactive power optimization in a large power

network using the decomposition approach», IEEE Trans. Power Syst. 428–4355, (2) (1990).

[22] Quitana VH, santos-Nieto M, «Reactive-power dispatch by successive quadratic

programming», IEEE Trans Energy convers, pp.425-435 (3) (4)1989.

[23] J.A. Momoh, S.X. Guo, E.C. Ogbuobiri, R. Adapa, «The quadratic interior point method

solving power system optimization problems», IEEE Trans .Power Syst. 1327–1336. (9) (3)

(1994).

[24] S. Granville, « Optimal réactive dispatch through interior point méthodes, IEEE Trans.

Power Syst», (9) (1) (1994) 136–146. (9) (1) (1994).

[25] Bouabdallah A, «application des algorithmes génétiques au dispatching économique et

environnemental», thème mémoire master Université Mohamed Khider Biskra juin 2012.

[26] Jason Brownlee, «clever Algorithmes nature-inspired programming recipe», Book

Copyright .p97.2011.

Annexe A

Genetic Algorithm Programming

def onemax(bitstring)

sum = 0

bitstring.size.times {|i| sum+=1 if bitstring[i].chr=='1'}

return sum

end

def random_bitstring(num_bits)

return (0...num_bits).inject(""){|s,i| s<<((rand<0.5) ? "1" : "0")}

end

def binary_tournament(pop)

i, j = rand(pop.size), rand(pop.size)

j = rand(pop.size) while j==i

return (pop[i][:fitness] > pop[j][:fitness]) ? pop[i] : pop[j]

end

def point_mutation(bitstring, rate=1.0/bitstring.size)

child = ""

bitstring.size.times do |i|

bit = bitstring[i].chr

child << ((rand()<rate) ? ((bit=='1') ? "0" : "1") : bit)

end

return child

end

def crossover(parent1, parent2, rate)

return ""+parent1 if rand()>=rate

point = 1 + rand(parent1.size-2)

return parent1[0...point]+parent2[point...(parent1.size)]

end

def reproduce (selected, pop_size, p_cross, p_mutation)

children = []

selected.each_with_index do |p1, i|

p2 = (i.modulo(2)==0) ? selected[i+1] : selected[i-1]

p2 = selected[0] if i == selected.size-1

child = {}

child[:bitstring] = crossover(p1[:bitstring], p2[:bitstring], p_cross)

child[:bitstring] = point_mutation(child[:bitstring], p_mutation)

children << child

break if children.size >= pop_size

end

return children

end

def search(max_gens, num_bits, pop_size, p_crossover, p_mutation)

population = Array.new(pop_size) do |i|

{:bitstring=>random_bitstring(num_bits)}

end

population.each{|c| c[:fitness] = onemax(c[:bitstring])}

best = population.sort{|x,y| y[:fitness] <=> x[:fitness]}.first

max_gens.times do |gen|

selected = Array.new(pop_size){|i| binary_tournament(population)}

children = reproduce(selected, pop_size, p_crossover, p_mutation)

children.each{|c| c[:fitness] = onemax(c[:bitstring])}

children.sort!{|x,y| y[:fitness] <=> x[:fitness]}

best = children.first if children.first[:fitness] >= best[:fitness]

population = children

puts " > gen #{gen}, best: #{best[:fitness]}, #{best[:bitstring]}"

break if best[:fitness] == num_bits

end return best

end

if __FILE__ == $0

# problem configuration

num_bits = 64

# algorithm configuration

max_gens = 100

pop_size = 100

p_crossover = 0.98

p_mutation = 1.0/num_bits

# execute the algorithm

best = search(max_gens, num_bits, pop_size, p_crossover, p_mutation)

puts "done! Solution: f=#{best[:fitness]}, s=#{best[:bitstring]}"

end

Annexe B

Tensions nodaux du réseau IEEE 30 nœuds obtenus après OPF

nœud Tensions nœuds

MIPS GA 1 1.060 1.0600

2 1.039 1.0430

3 1.021 1.0251

4 1.012 1.0168

5 1.013 1.0100

6 1.011 1.0146

7 1.004 1.0049

8 1.013 1.0100

9 1.042 1.0529

10 1.038 1.0468

11 1.060 1.0820

12 1.050 1.0596

13 1.060 1.0710

14 1.035 1.0447

15 1.031 1.0400

16 1.038 1.0470

17 1.033 1.0416

18 1.021 1.0303

19 1.019 1.0277

20 1.023 1.0317

21 1.026 1.0345

22 1.027 1.0351

23 1.021 1.0294

24 1.016 1.0237

25 1.014 1.0203

26 0.996 1.0027

27 1.022 1.0269

28 1.008 1.0127

29 1.002 1.0071

30 0.990 0.9957

Tensions Nodaux du réseau IEEE 14 nœuds obtenus après OPF

Gencost14bus

gi P min P max 1 10 250 2 20 140 3 15 100 6 10 120 8 10 45

Gencost IEEE 30bus

gi P min P max 1 50 200 2 20 80 5 15 50 8 10 35 11 10 30 13 12 40

nœud Tensions nœuds MIPS GA

1 1.060 1.060 2 1.041 1.045 3 1.016 1.010 4 1.014 1.0 5 1.016 1.0 6 1.060 1.070 7 1.046 1.0 8 1.060 1.090 9 1.044 1.0 10 1.039 1.0 11 1.046 1.0 12 1.045 1.0 13 1.040 1.0 14 1.024 1.0

Résumé

L'idée de base, sur laquelle centré ce travail, est la résolution du problème de la répartition optimale de l’énergie

électrique pour avoir le minimum de coût de production d’énergie par les centrale de production d’énergie et cela par

l’application de la méthode d’optimisation qui est la méthode des algorithmes génétique et qui à son tour occupe une large

application dans la recherche scientifique en vu de son efficacité et rentabilité pour l’application en génie électrique .

De ce point de vue et en se basant sur les méthodes d’optimisation classique et méta-heuristique, nous avons

propose ce travail qui est destiné à élaborer un programme qui fait le calcul pour trouver le minimum de coût de production,

nous avons appliqué ce code de calcul sur les réseaux test connus qui sont IEEE14 et IEEE 30 nœuds. L’exécution du

programme a été faite sous l’environnement MATLAB.

Il a été faire de très bons résultats concernant la minimisation de la fonction coût de production d'énergie électrique.

Mots clés: Optimisation, OPF, Algorithme Génétique.

الملخص

ل من أقمثل للقدرة الكھربائیة قصد الحصول على انتاج طاقة ا العمل ھي كیفیة حل مشكلة التوزیع االقتصادي األذساسیة التي یتمحور علیھا ھن الفكرة األإ

ثلة و خواص الخوارزمیات الجینیة والتي تشغل بدورھا حیز كبیر في مجال البحث العلمي موذلك بانتھاج طرق األ نتاج الطاقةإحیث كلفة السعر من طرف محطات

.تبعا لما تتمیز بھ من مردودیة وفعالیة في مجال الھندسة الكھربائیة

قل قیمة لتكلفة أجل ایجاد أم بالحساب من المنجز وھو برنامج یقو مثلة الكالسیكیة منھا والحدیثة اقترحنا ھذا العملمن ھذا المنطلق واستنادا الى طرق األ

IEEE 30, IEEE 14 : وھي أالالشبكات الكھربائیة المعروفة عالمیا نماذج على القدرة الكھربائیة المنتجة ولقد اعتمدنا في دراستنا ھذه على تطبیق ھذا البرنامج

MATLAB.الدراسة بواسطة ھده انجزت

.الكھربائیة الطاقة إنتاج تكلفة تقلیل یتعلق ما في اجد جیدة نتائج على الحصول تم وقد

.الكھربائیة القدرة تدفق,الجینیة الخوارزمیة , األمثلة : الرئیسیة الكلمات

Abstract

The basic idea, which centered sweat this work is solving the problem of the optimal distribution of electric power

for the minimum energy production cost by the central power generation and that by the application of optimization method

which is the genetic algorithms and methods which in turn holds a wide application in scientific research in view of its

efficiency and profitability for the electrical engineering application.

From this point of view and based on the methods of classical and metaheuristics optimization, we offer this work

is to develop a program that does the calculation to find the minimum cost of production, we applied this computer code

known test on networks that are IEEE-30, IEEE-14 nodes, program delivery was made under the MATLAB environment.

It has been getting very good results regarding the minimization of the cost of producing electric energy function.

Keywords: Optimization, OPF, Genetic Algorithm

Documents

Répartition optimale des puissances dans un réseau ... · Commencé à peloter et fatigué et sont restés jusqu'à nuits, Aimer en présence d'Allah et Son Messager après ma mère