Embed Size (px)
Citation preview
1Automatique
Réponse temporelle : solution de l'équation d'état
UV Automatique
ASI 3
Cours 9
2Automatique
Contenu
! Réponse temporelle à partir de la fonction de transfert! Calcul de la réponse temporelle à partir du modèle d'état
" Résolution de l'équation d'état# Cas scalaire# Cas matriciel# Mise en évidence de la matrice de transition
" Calcul de la matrice de transition# Propriétés de la matrice de transition# Utilisation de la transformée de Laplace inverse# Développement en série de Taylor# Théorème de Caley-Hamilton# Diagonalisation de la matrice d'état
! Exemple récapitulatif
3Automatique
Réponse temporelle à partir de la FT
! Cas de la fonction de transfertConsidérons un système mono-entrée, mono-sortie décrit par une fonction de transfert H(s)
)()()( sU
sYsH = ( ) ( ))()()()( 11 sUsHsYty −− == LL
avec la transformée de Laplace inverse1−L
)()()( sUsHsY =
Ce calcul n'est valable que si les conditions initiales sont nulles
Exemple
)1)(1(1)(
21 sTsTsH ++=
ssU 1)( =
Réponse indicielle
ssTsTsY 1)1)(1(
1)(21 ++=
2121 21
1)( TTeTeTty
Tt
Tt
−−−=
−−d'après les tables de TL
4Automatique
Réponse temporelle à partir d'un modèle d'état
! Cas scalaire
" TL de l'équation d'état
" Evolution de l'état
Condition initiale :
(II))()()((I))()()(
tdutcxtytbutaxtx
+=+=& La connaissance de x(t)
permet celle de y(t)
x(0)
( ))()()( tbutaxtx +=&L )()()0()( sbUsaXxssX +=−
)()0()( sUasb
asxsX −+−=
$ Rappels
( ) aseat−= 1L
( ) )()()(*)( 2121 sFsFtftf =L
( )∫ −+= t taat dbuexetx 0 )()0()( τττ
Régime libre (u=0)
Régime forcé (x(0)=0)
convolution
#
#
5Automatique
Réponse temporelle à partir d'un modèle d'état
! Cas scalaire" Réponse temporelle
" Remarque
! Généralisation au cas matriciel
)()()( tdutcxty += ( ) )()()0()( 0 tdudbuecxcety t taat ++= ∫ − τττ
Si l'origine des temps est t0≠0, les équations précédentes ont la forme générale suivante
( ) )()()()(0
0 0)( tdudbuectxcety t
ttatta ++= ∫ −− τττ
( )∫ −− += tt
tatta dbuetxetx0
0 )()()( 0)( τττ
+=
+=
)()()(
)()(
tDUtCXtY
tBUtAXX& nnA ×∈ R
mnB ×∈ R
npC ×∈ R
mpD ×∈ R
ntX R∈)(mtU R∈)(ptY R∈)(
0tt >
6Automatique
Réponse temporelle à partir d'un modèle d'état
! Généralisation au cas matriciel" TL de l'équation d'état
" Réponse temporelle : généralisation
Conditions initiales : X(t0)
( ))()()( tBUtAXtX +=&L )()()()( 0 sBUsAXtXssX +=−
( ) ( ) )()()( 10
1 sBUAsItXAsIsX nn−− −+−= In : matrice identité d'ordre n
( ) )()()()(0
0 0)( tDUdBUeCtXCetY t
ttAttA ++= ∫ −− τττ
( )∫ −− += tt
tAttA dBUetXetX0
0 )()()( 0)( τττ
vecteur matrice matricevecteur vecteur
)()()( tDUtCXtY +=
( ) ( )( ))()()( 10
11 sBUAsItXAsItX nn- −− −+−= L
7Automatique
Matrice de transition
" Remarques
# La réponse temporelle dépend de l'exponentielle de matrice
# Pour U=0, on a . D'où
! Propriétés de la matrice de transition$ est une exponentielle de matrice.
$ avec In : matrice identité d'ordre n
$
$
$
)( 0ttAe −
)(),()()( 000)( 0 tXtttXetX ttA Φ== −
)(0 0),( ttAett −=Φ est la matrice de transition du vecteur d'état
initial X(t0) au vecteur d'état X(t) pour U=0
)(0 0),( ttAett −=Φ nntt ×∈Φ R),( 0
nA Iett ==Φ ×0
00 ),(
( ))(0 0),( ttAedt
dtt −=Φ& )(0 0),( ttAAett −=Φ&
21),0(),0(),0( 2121AtAt eetttt =ΦΦ=+Φ
)(0
10 0),(),( ttAetttt −−− =Φ=Φ
( ) )()( 01 tXAsIsX n
−−=
),(),( 00 ttAtt Φ=Φ&
8Automatique
Calcul de la matrice de transition
! Utilisation de la transformée de Laplace inverse
" Procédure de calcul# Former la matrice sIn−A# Calculer l'inverse de sIn−A
# Prendre la transformée de Laplace inverse de chaque élément de (sIn−A)−1
La procédure est applicable à la main si l'ordre n de la matrice A n'est pas élevé
( ) 11 −− −= AsIe nAt L
Soit l'équation d'état
Exemple
)(1
0)(
02
13tUtXX
+
−
−=& Calculer la matrice
de transition
( ))(det
)(comatrice)( 1AsI
AsIAsIn
Tn
n −−=− −
9Automatique
Calcul de la matrice de transition : TL inverse
" Exemple (suite)
10Automatique
Calcul de la matrice de transition
! Développement en série de Taylor" Développement en série d'une fonction exponentielle scalaire
" Généralisation à une exponentielle de matrice
∑∞+
==++++=
0
3322
!!3!21i
iiat tiatataate L
∑∞+
==++++=
0
3322
!!3!2 i
iin
At tiAtAtAAtIe L
nnAt Ae ×∈ Ravec
nnAte ×∈ R
La matrice de transition est une somme pondérée des termes de puissance de la matrice A. On suppose que la somme est convergente
nn
i
i AAAA ×∈×××= R4434421 Lfois
Le calcul est simplifié si A est nilpotente
Définition : la matrice carré A est dite nilpotente d'ordre k s'il existe un entier k≥1 tel que pour tout entier r>k, Ar=0n =[0]
11Automatique
Calcul de la matrice de transition : dvl de Taylor
Soit le système caractérisé par l'équation différentielle )()( tutzJ =&&
21)(
JssH = Double intégrateur
)()(1 tztx =$ Etats : )()(2 tztx &= $ Equation d'état uJ
XX
+
=
1
0
00
10&
=
00
10A
$ Calcul de la matrice de transition
=
=
00
00
00
10
00
102A 200
00≥∀
= nAn
22 0++= AtIeAtPar conséquent teAt
+
=
00
10
10
01
=
10
1 teAt
$ Solution de l'équation homogène )(tAXX =&
)()( 0)( 0 tXetX ttA −=
−=
)(
)(
10
1)(
02
010
tx
txtttX
[ ]TtxtxtX )()()( 02010 =Conditions initiales
−+=
)(
)()()()(
02
02001
tx
txtttxtX
Exemple
12Automatique
Calcul de la matrice de transition
! Théorème de Caley-Hamilton
Soit A une matrice carrée d'ordre n. Son équation caractéristique est
∑∞+
==
0 !i
iiAt tiAe
Si la matrice A n'est pas nilpotente, le calcul est fastidieux. Le théorème de Caley-Hamilton permet de limiter ce calcul à un nombre fini de termes
Développement de Taylor
$ Equation caractéristique d'une matrice carrée
0)det()( 011
1 =++++=−= −− aaaAIP n
nn
A λλλλλ L
Théorème de Caley-HamiltonToute matrice carrée A satisfait son équation caractéristique c'est-à-dire
0)( 011
1 =++++= −− n
nn
nA IaAaAaAAP L
On déduit du théorème la relation suivante
nn
nn IaAaAaA 01
11 −−−−= −
− L ∑−
=−=
1
0
n
i
ii
n AaA
13Automatique
Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton
! Interprétation du théorème
Cette relation peut alors se mettre sous la forme suivante
Toute puissance k de A c'est-à-dire Ak tel que k>n−1 peut s'écrire comme la combinaison linéaire des n−1 premières puissances de A.
∑−
=−=
1
0
n
i
ii
n AaA ∑−
=
+ −=×=1
0
1n
i
ii
nn AAaAAA ∑∑=
−−
=
++ −=−=n
i
ii
n
i
ii
n AaAaA1
11
0
11
nn
n
i
ii
n AaAaA 11
11
1−
−
=−
+ −−= ∑ ∑∑−
=−
−
=−
+ +−=1
01
1
11
1n
i
iin
n
i
ii
n AaaAaA
∑∑−
=−−
−
=−
+ ++−=1
1101
1
11
1n
i
iinnn
n
i
ii
n AaaIaaAaA 001
1
111
1 )( AaaAaaaA nn
i
iiin
n−
−
=−−
+ +−= ∑
0avec)( 11
011
1 =−= −−
=−−
+ ∑ aAaaaAn
i
iiin
n )(avec 111
0
1−−
−
=
+ −== ∑ iinin
i
ii
n aaabAbA
On constate que An+1 est une combinaison linéaire de Ai (i=1, …, n−1)
De façon similaire, on peut calculer An+2, … en fonction des n−1 premières puissances de A
14Automatique
Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton
! Corollaire du théorème
Formule de Sylvester
On peut trouver des fonctions αi(t) dépendant du temps telles que
∑∑−
=
∞+
===
1
00)(!
n
i
ii
i
iiAt AttiAe α
Cette formule permet de limiter le calcul du développement de Taylor à un nombre fini de termes. Si on connaît les fonctions αi(t) , on obtient eAt
Justification du corollaire
D'après le théorème ∞== ∑−
=,,avec
1
0LnkAbA
n
i
ii
k
On en déduit ∞== ∑−
=,,avec!!
1
0Lnktk
AbtkA k
n
i
ii
kk
D'où ∑−
=
−−=++−++++
1
0
1122)(!)!1(!2
n
i
ii
nnnnn Atn
tAn
tAtAAtI αLL
Ak tel que k>n−1 s'écrivant comme la combinaison linéaire des n−1 premières puissances de A, eAt est aussi une combinaison linéaire des n−1 premières puissances. Les coefficients sont dans ce cas des fonctions du temps
15Automatique
Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton
! Calcul des fonctions αi(t)" Cas 1
On suppose que la matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres distinctes njj ,,1L=λ
On montre que les fonctions sont solutions du système de n équations
1,,0)( −= niti Lα
+++=
+++=
+++=
−−
−−
−−
)()()(
)()()(
)()()(
11
10
11
120
11
110
22
11
ttte
ttte
ttte
nn
nt
nnt
nnt
nn αλαλα
αλαλα
αλαλα
λ
λ
λ
L
M
L
L
La méthode nécessite la détermination préalable des valeurs propres de la matrice A. On associe une équation à chaque valeur propre.
16Automatique
Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton
)(1
0)(
51
22tUtXX
+
−=&
Exemple
Calculer la matrice de transition
$ Valeurs propres de A : 4et 3 21 == λλ
$ Détermination des fonctions α i(t)
+=
+=
)()(
)()(
120
1102
1
tte
ttet
t
αλααλα
λ
λ
+=
+=
)(4)(
)(3)(
104
103
tte
ttet
t
αααα
=
)(
)(
41
31
1
04
3
t
t
e
et
t
αα
=
−
t
t
e
et
t4
31
1
0
41
31
)(
)(
αα
−
−=
t
t
e
et
t4
3
1
0
11
34
)(
)(
αα
+−=
−=tt
tt
eet
eet43
1
430
)(
34)(
αα
AtIteAt )()( 120 αα +=
$ Matrice de transition
−+
=
51
22)(
10
01)( 10 tteAt αα
+−−
+−−=
tttt
ttttAt
eeee
eeeee
4343
4343
2
222
17Automatique
Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton
! Calcul des fonctions αi(t)" Cas 2 : la matrice A a des valeurs propres non distinctes
Soit λj une valeur propre simple. On lui associe l'équation
)()()( 11
10 ttte nn
jt
jj
−−+++= αλαλαλ
L
Soit λk une valeur propre multiple, d'ordre de multiplicité r
On lui associe les équations suivantes
( )
( )
+++=
+++=
+++=
−−
−−
−−
)()()()()(
)()()(
)()()(
11
10
11
10
11
10
tttdd
ded
tttdd
dde
ttte
nn
krk
rr
k
tr
nn
kkk
tn
nk
t
k
k
k
kk
k
αλαλαλλ
αλαλαλλ
αλαλα
λ
λ
λ
L
M
L
L
En procédant ainsi pour toutes les valeurs propres simples ou multiples, on établit un système de n équations duquel on déduit les fonctions αi(t)
18Automatique
Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton
)(0
1)(
21
10tUtXX
+
−−=&
Exemple
Calculer la matrice de transition
$ Valeurs propres de A : 11 −=λ
$ Détermination des fonctions α i(t)
( )
+=
+=
)()(
)()(
11011
1101
1
ttdd
dde
ttet
t
αλαλλ
αλαλ
λ
=
+=
)(
)()(
1
1101
1
tte
ttet
t
ααλα
λ
λ
AtIteAt )()( 120 αα +=
$ Matrice de transition
−−+
=
21
10)(
10
01)( 10 tteAt αα
−−
+=
−−
−−
tt
ttAt
ette
teete
)1(
)1(
valeur propre double
=
+=−
−
t
t
tet
ett
)(
)1()(
1
0
αα
=
−=−
−
)(
)()(
1
10
tte
ttet
t
ααα
19Automatique
Calcul de la matrice de transition
! Matrice diagonale
! Matrice diagonalisable
Si la matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable c'est-à-dire
1−= TDTA avec
=
n
D
λ
λ
0
01
OT : matrice des vecteurs propres de A
On montre que 1−= TTee DtAt
Si la matrice carrée A d'ordre n est diagonale on a
=
n
A
λ
λ
0
01
O
=t
t
At
ne
e
eλ
λ
0
01
O
20Automatique
Réponse temporelle : exemple
Exemple
[ ]
=
+
−
−=
)(10
)(1
0)(
02
13
tXy
tUtXX&Calculer la réponse indicielle du système
21Automatique
Linéarisation du modèle d'état
! Linéarisation autour du point ),( UX
On réalise un développement de Taylor au 1er ordre de f et g
∂∂
++∂∂
+∂∂
++∂∂
+≈++=
∂∂++∂
∂+∂∂++∂
∂+≈++=
UXm
p
UX
p
UXn
p
UX
pppp
UXmUXUXnUX
Ug
Ug
Xg
Xg
UXgtuUtxXgY
Ug
Ug
Xg
XgUXgtuUtxXgY
,,1,,1
,
1
,11
,
1
,11
111
),())(),((
),())(),((
LL
M
LL
$ Equations d'état
$ Equations de sortie
∂∂++∂
∂+∂∂++∂
∂+≈++=
∂∂++∂
∂+∂∂++∂
∂+≈++=
UXmn
UX
n
UXnn
UX
nnnn
UXmUXUXnUX
Uf
Uf
Xf
XfUXftuUtxXfX
Uf
Uf
Xf
XfUXftuUtxXfX
,,1,,1
,
1
,11
,
1
,11
111
),())(),((
),())(),((
LL&M
LL&
22Automatique
Linéarisation du modèle d'état
$ Forme matricielle
++≈+=
++≈+=
)()(),()()()(
)()(),()()()(
tuGtxGUXgtytYtY
tuFtxFUXftxtXtX
UX
UX&&&
+=
+=
)()()(
)()()(
tuGtxGty
tuFtxFtx
UX
UX&
Modèle d'état linéarisé
UXnnn
n
UXX
Xf
Xf
Xf
Xf
XfF
,1
111
,
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂=
L
MM
L
UXnnn
m
UXU
Uf
Uf
Uf
Uf
UfF
,1
11
1
,
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂=
L
MM
L
UXnpp
n
UXX
Xg
Xg
Xg
Xg
XgG
,1
111
,
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂=
L
MM
L
UXm
pp
m
UXU
Ug
Ug
Ug
Ug
UgG
,1
111
,
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂=
L
MM
L
FX, FU, GX et GU sont les matrices jacobiennes des dérivées partielles de f et g respectivement par rapport à X et U et évaluées au point ),( UX
UXUX GDGCFBFA ==== ,,,Matrices du modèle :
23Automatique
Linéarisation d'un modèle d'état
! Exemple : ressort à comportement non-linéaire
m
z
ress
ort
F Equation différentielle3
21 zkzkFzm ++=&&
Modèle d'état
$ Modèle non-linéaire
$ Etats du système )()(1 tztx = )()(2 tztx &=
)()(1 tztx = )()()( 21 txtztx == &&
Fzkzkzm ++= 321&&
mFxm
kxmktx ++= 3
12
11
2 )(&
( )
++==
mtutxm
ktxmk
txtutxtxf
tx
tx)()()(
)()(),(),(
)(
)(3
12
11
221
2
1&
&
$ Entrée Ftu =)( $ Sortie )()( tzty =
)())(),(),(()( 121 txtutxtxhty ==
24Automatique
Linéarisation d'un modèle d'état
! Exemple$ Détermination du point de fonctionnement ),( UX
On choisit comme point de fonctionnement, un point stationnaire c'est-à-dire tel que
( ) 0)(),(),( 21 =tutxtxf
0))(),(( == tUtXfX&
=
++ 0
031
21
12
muxm
kxmk
x
02 =x
031
21
1 =+ xmkxm
k
De plus, on prendra .0=u On a alors
01 =x 211 kkx −±=ou
Points de fonctionnement :
0,
0
0ou
−±0,
0
21 kk),( UX
25Automatique
Linéarisation d'un modèle d'état : exemple
$ Premier point :
0,
0
0
UXUX
mxkkxf
xf
xf
xf
A,
2121
,22
12
22
11
0)3(
10
+=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
=
∂∂∂∂
=m
ufuf
B
UX1
0
,2
1
]01[,21
=
∂∂
∂∂=
UXxh
xhC
=
0
10
1kA
0,
=
∂∂=
UXuhD
$ Matrices
$ Deuxième point :
−±0,
0
21 kk
−=
02
10
1kA
Seule la matrice de commande A change selon les points de fonctionnement
![Représentation des Signaux en Fréquence - [Verimag]tdang/Teaching/Slides_06/Cl-5/fourier.pdf · 3 Justification • Représentation temporelle –Évolution temporelle des signaux](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5b9977d309d3f294728bf2e6/representation-des-signaux-en-frequence-verimag-tdangteachingslides06cl-5fourierpdf.jpg)
