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Dans ce chapitre, nous allons étudier la réponse temporelle

des systèmes élémentaires en automatique. Ces systèmes

sont décris par des équations différentielles ne dépassant

pas le 2nd ordre.

Leçon 3: Analyse Temporelle Des SystèmesFondamentaux

Introduction

Les grandeurs d’entrée typiques qui vont être exploitées

sont l’impulsion, l’échelon et la rampe.

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I. Etude de l’intégrateur

Un intégrateur est un système dont l’équation temporelle de sa réponse vérifie

(K constante réelle)

I.1 Réponses impulsionnelle

Lorsque l’entrée est une impulsion de Dirac, x(t) =(t), l’équation de l’intégrateur donne :

D’ou

I.2 Réponses indicielle

Lorsque l’entrée est un échelon, x(t)=u(t), l’équation de l’intégrateur donne :

D’ou

txKty

tKty

0

00

tsiKty

et

tsity ?

?

tuKty

0

00

tsitKty

et

tsity ?

?

11/04/23 3

II. Systèmes du premier ordre

Un système est dit du premier ordre ou "à constante de temps"

si la relation entre son entrée et sa sortie est une équation

différentielle du premier ordre, de la forme :

txKtyty

constante de temps du système

gain statique:

:

K

x

yK

11/04/23 4

II.1 Exemples de systèmes

* Circuit RC

avec K = 1 et = RC? ?

* Amortisseur ressort

x(t) et y(t) étant les variations respectives des positions des points X et Y

p

K

pV

pVpF

e

s

1

tytxYXl

FlketFdt

dyf

21

pfk

k

pX

pY

?

11/04/23 5

II.2 Réponse indicielle des systèmes du 1er ordreOn applique à l’entrée un échelon unitaire donc :

après décomposition en éléments simples on obtient:

d’où

Temps de réponse : Le temps de réponse à ±5% de k est tr = 3 .

Temps de montée : le temps de montée est le temps mis pour atteindre 90% de k.

pp

kpS

1

ppkpS

111?

tuektSt

1 ?

1,019,0

mm tt

etuekk

3,2mtd’où ?

11/04/23 6

II.3 Réponse à une rampe

Si l’entrée vaut e(t) = a.t alors:

après décomposition en éléments simples on obtient:

d’où remarquons que s(t) tend vers Ka(t − ) (rampe retardée de )

pp

akpS

12

1

12

pppkapS ?

tuetkatSt

?

11/04/23 7

II.4 Réponse impulsionnelle

La réponse à une impulsion de

Dirac e(t) =(t)

E(p) = 1 ce qui nous donne

La réponse temporelle devient La réponse impulsionnelle est

une impulsion. Au bout de 3 la

valeur résiduelle vaut 5%, le

système est stable

1

p

kpS

tuek

tSt

?

11/04/23 8

III. Systèmes du second ordre

Un système du second ordre est décrit par une équation différentielle de la forme

À conditions initiales nulles, la transformée de Laplace donne

d’où

k : gain statique

W0 : pulsation propre non amortie coefficient d’amortissement

tektsdt

tds

wdt

tsd

w

02

2

20

21

pEkpSppSw

pSpw

0

220

21

12

020

2

pww

p

k

pE

pSpH

?

11/04/23 9

III.1 Exemples de systèmes

circuit RLC

d’où

ce qui nous permet d’identifier

(pulsation propre d’un circuit oscillant LC)

(facteur d’amortissement proportionnel à R, plus R augmente plus l’énergie se dissipe vite)

tvdt

tdvRC

dt

tvdLCtv s

sse

2

2

1

12

pRCpLCpv

pvpH

e

s ?

LCw

10

CL

R

2

?

?

11/04/23 10

amortisseur + masse + ressort

Le théorème de la résultante dynamique nous permet d’écrire

Ainsi

xykdt

xydf

dt

xdM

2

2

20

2

0

2 21

1

1

1

wp

pw

p

pkM

pkf

pkf

pY

pX

?

Aveck

f

kM

f

2

Mkw 0? ? ?

11/04/23 11

III.2 Analyse de la réponse

La fonctions de transfert du système du second ordre est

La décomposition de H(p) en fractions simples dépend des racines de (1 + 2/W0 p + p2/W0

2 ) ou bien (p2+ 2W0 p +W0

2 )

* si >=1 : il s’agit là de deux racines réelles et le système est hyper-amorti

* Si < 1 : Les deux racines sont complexes et conjuguées, le système est sous-amorti

1

2

020

2

pww

p

kpH

1220 w

1

1

202

201

wp

wp

? pp

kpH

21 11

11

20

1

w

Avec

2

0*1

201

1

1

jwp

jwp

?

11

20

2

w ??

11/04/23 12

III.3 Temps de réponse

On peut remarquer que le temps de réponse est minimum pour ≈ 0,7

?

On admet que:· si >> 1: tr = 6/w0

· si << 1: tr = 3/.w0

11/04/23 13

III.4 Réponse indicielle unitaire

Cas où > 1 La réponse du système est apériodique. La décomposition en éléments simples donne :

d’où

2

21

2

1

21

1

21

1

1

1

11

11

ppp

k

ppp

kpS

21

21

2

21

11

tt

eektS ?

?

11/04/23 14

Cas où = 1 Cas de l’amortissement critique, la réponse du système est toujours apériodique

ainsi la réponse temporelle est :

22

1 11

1

1 pppk

pp

kpS

t

et

ktS 11 ?

11/04/23 15

Cas où < 1 La réponse du système est oscillatoire amortie "pseudo-périodique". On a maintenant

d’où

selon que l’on choisisse

ou l’autre des cas

ou on aura l’un

ou

22

02

0

20

2220

20

0

1

1

11

1

wwp

w

wwp

w

pkpS

twtwektS aa

tw sin1

cos12

0

2

0 1 wwaAvec

sin cos

twe

ktS a

tw

cos1

12

0

twe

ktS a

tw

sin1

12

0

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Quatre paramètres sont intéressants :– le temps de montée tm– le temps du premier maximum tpic– le dépassement D exprimé en % de la valeur finale– la pseudo période Tp

La réponse indicielle est donc oscillatoire amortie

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Calcul du temps de montée

Le temps de montée tm est le temps que met le système pour atteindre, pour la 1ère fois, la valeur finale K:

A chaque valeur de k correspond un point d’intersection avec la droite y(t) = K. Le temps de montée correspond donc au 1er point d’intersection est:

KtWe

KtS m

tW m

2

021cos

11)(

0

21

12

0Wtm ?

11/04/23 18

Calcul du temps du premier maximum (ou temps de pic)

Les valeurs de t correspondant aux maxima et aux minima correspondent aux instant pour les quels la dérivée de y(t) s’annule. On obtient alors:

Le premier dépassement correspond au 1er maximum k=1

d’où

01sin11

1cos1

20

202

202

000

tWWe

tWeW tWtW

20

max1

W

kt

20 1

W

tPic ?

11/04/23 19

Calcul du dépassement :

21max1

eKSSD

Calcul de la pseudo période

C’est le temps observé entre deux maximums successifs

20 1

22

WW

Ta

P

Ainsi le dépassement pour cent est

21max1 100100%

e

S

SSD ?

?

11/04/23 20

IV. Le minimum à apprendre

txKty • Equation de l’intégrateur

• Système du premier ordre

pk

pH

1

- Temps de réponse à ±5%: tr = 3

- Temps de montée: (90% de k) tm = 2,3

Réponse à une rampe

?

?

?

?(Réponse indicielle)

- Fonction de

transfert- Allures des courbes Réponse

à une impulsion

11/04/23 21

• Système du second ordre

1

2

020

2

pww

p

kpH

- si 1 : système hyper-amorti.

- Si < 1 : système sous-amorti

La réponse est apériodique

La réponse est pseudo-périodique

??

?

?

?

- Fonction de transfert

- Temps de réponse

le temps de réponse est minimum pour ≈ 0,7

· si >> 1: tr = 6 /w0· si << 1: tr = 3/ .w0

?

?

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Temps du premier maximum (ou temps de pic)

20 1

W

tPic

Dépassements

21max1

eKSSD

Pseudo période

20 1

22

WW

Ta

P

21max1 100100%

e

S

SSD

?

? ?

?

Temps de montée

21

12

0Wtm ?