Résistance des matériaux Compléments...Résistance des matériaux Compléments Liaisons extérieures –Cas plan Efforts internes et diagrammes RDM –3IC Institut National des

Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse – 135, Avenue de Rangueil 31077 Toulouse Cedex 4 – France / www.insa-toulouse.fr Stéphane LAURENS

PO Ingénierie de la construction – Semestre 5

Résistance des matériaux

ComplémentsLiaisons extérieures – Cas plan

Efforts internes et diagrammes

RDM – 3IC


• Rotule ou articulation

La rotule empêche 2 ddl de translation.

Pour cela, elle exerce 2 actions (ou réactions) de liaison sur la poutre,

soit 2 forces XA et YA

Liaisons extérieures

X

Y

YA

XA

YA

Poutre

Milieu

extérieur

A

XAA


• Appui simple

L’appui simple empêche 1 ddl de translation (ici, selon Y).

Pour cela, il exerce 1 action (ou réaction) de liaison sur la poutre, soit

une force YA

X

Y

YA

YA

Poutre

Milieu

extérieur


A

A


• Encastrement

L’encastrement empêche les 3 ddl possibles dans un cas plan, soit 2

ddl de translation et 1 ddl de rotation.

Pour cela, il exerce 3 actions (ou réactions) de liaison sur la poutre : 2

forces XA, YA et un moment MA, dit moment d’encastrement.

XY

XA

YA

PoutreMilieu

extérieur


MAYA

MA

A

A XA


• Glissière

La glissière plane empêche 2 ddl, soit 1 ddl de translation et 1 ddl de

rotation.

Pour cela, elle exerce 2 actions (ou réactions) de liaison sur la poutre :

1 force YA et un moment MA.

XY

Poutre

Milieu

extérieur


A

YA

MA

A

YA

MA


• Exemple 1


Poutre

YB

B

X

YF

�

�3�YA

MA

AXA

4 actions de liaison extérieures : XA, YA, MA et YB

1 poutre = 3 équations d’équilibre en plan

Le nombre d’équations d’équilibre

statique est insuffisant pour calculer les

actions de liaison…

... Cette structure est donc hyperstatique !Méthode de résolution présentée en fin de semestre.


• Exemple 2


3 actions de liaison extérieures : XA, YA et YB

1 poutre = 3 équations d’équilibre en plan

On dispose de suffisamment d’équations

d’équilibre statique pour calculer les

actions de liaison…

... Cette structure est donc isostatique !

XA

YA

Poutre

YB

BA

X

YF

�

�3�

Etape 1 : analyse préliminaire


• Exemple 2

Calcul des actions de liaison

Equilibre / X �� 0

Equilibre / Y �� 0

Equilibre en moment selon Z / point A � . � � �. �3� � 0 � �

1

3�

�� 2

3 �

XA

YA

Poutre

YB

BA

X

YF

�

�3�

Etape 2 : calcul des actions de liaison par l’écriture du PFS


• Exemple 2

Calcul des efforts internes

La présence de la force F nous oblige à décomposer le calcul des efforts internes en 2 zones, car les charges concentrées introduisent

des discontinuités. Il faut donc calculer ces efforts avant et après la position de la charge F :

0 � � � �3�

�3� � � � �

XA

YA

Poutre

YB

BA

X

Y F

�

�3�

Etape 3 : calcul des efforts internes par la méthode de la coupure

Zone 1 Zone 2

Zone 1

Zone 2

Remarques :

- Dans cet exemple, si on considère 2 charges concentrées, il faut définir 3 zones… 3 charges concentrées, 4 zones…

- une charge répartie n’induit pas de discontinuité et ne nécessite donc pas cette décomposition en zones.

�� 0 �� 2

3 � � �

1

3 �

Rappel :


• Exemple 2XA

YA

Poutre

YB

BA

X

YF

�

�3�

Zone 1 : 0 � � � ��⁄


XA

YA

A

�

� �

��

�

��

�

Equilibre amont (vs la coupure) :

• /X :

• /Y :

• Mnt en G /Z :

Coupure

� � �� 0 → � � � 0

�� 0 → �� 2

3 �

�� . � � 0 → �� 2

3 �. �

�� 0 �� 2

3 � � �

1

3 �

Rappel :


Remarque : sens positif des moments


• Exemple 2XA

YA

Poutre

YB

BA

X

YF

�

�3�

Zone 1 : 0 � � � ��⁄


� �

��

�

��

� Coupure

Equilibre aval (vs la coupure) :

• /X :

• /Y :

• Mnt en G /Z :

YB

F�� 0 → � � � 0

�� 0 → �� 2

3 �

��

3� � � . � � � � 0

→ �� 2

3 �. �

�3� � ��

� � �

�� 0 �� 2

3 � � �

1

3 �

Rappel :



• Exemple 2XA

YA

Poutre

YB

BA

X

YF

�

�3�

Zone 2 : � �⁄ � � � �


� �

��

�

��

� Coupure

Equilibre aval (vs la coupure) :

• /X :

• /Y :

• Mnt en G /Z :

YB

�� 0 → � � � 0

�� 0 → �� 1

3 �

�� . � � � � 0 → �� 1

3 �. ��

� � � �

�� 0 �� 2

3 � � �

1

3 �

Rappel :



• Exemple 2XA

YA

Poutre

YB

BA

X

YF

Etape 4 : diagrammes

�� 0 �� 2

3 � � �

1

3 �

Rappel :

Diagrammes des efforts internes

� � � 0

�� 1

3 �

�� 1

3 �. ��

Zone 1 Zone 2

Zone 1 Zone 2

�� 2

3 �

� � � 0

�� 2

3 �. �

��

��

�

�

� !" �2

9 �. �

1

3 �

�2

3 �

Vérifier, pour tout � que :

$��

$��


• Exemple 2XA

YA

Poutre

YB

BA

X

YF

Etape 5 : déformée de flexion

�� 0 �� 2

3 � � �

1

3 �

Rappel :

Déformée de la poutre

Zone 1 Zone 2

Zone 1 �� 2

3 �. � � %. &'� ( )*

++ �

)*++ � �

��

%. &'��

2

3. %. &'� �. �

)*+ � �

2

3. %. &'��

�,

2 -

-, / : constantes d’intégration à calculer en exprimant les conditions aux limites en déplacement de la poutre

Intégration 1

)* � �2

3. %. &'��

��

6 -. � /

Intégration 2

�3�

)* � ), �


• Exemple 2XA

YA

Poutre

YB

BA

X

YF


�� 0 �� 2

3 � � �

1

3 �

Rappel :

Zone 1 Zone 2

Zone 2 �� 1

3 �. �� %. &'� ( ),

++ �

),++ � �

��

%. &'��

1

3. %. &'��. ��

),+ � �

1

3. %. &'�� . � �

�,

2 1

1, 2 : constantes d’intégration à calculer en exprimant les conditions aux limites en déplacement de la poutre

Intégration 1

Intégration 2), � �

1

3. %. &'�� .

�,

2�

��

6 1. � 2

�3�


)* � ), �


• Exemple 2XA

YA

Poutre

YB

BA

X

YF


�� 0 �� 2

3 � � �

1

3 �

Rappel :

Zone 1 Zone 2

-, /, 1, 2 : 4 constantes d’intégration à calculer…

… il faut donc exprimer 4 conditions aux limites en déplacement de la poutre

Conditions aux limites de cette poutre

�3�

Rotule en A• )* � � 0 � 0

• ), � � � � 0

• )* � � �/3 � ), � � �/3

• )*′ � � �/3 � ),′ � � �/3

Appui simple en B

Continuité du déplacement

Continuité de la rotation

Calculer 5, 6, 7, 8 !!!


)* � ), �


• Exemple 3XA

YAYB

BA

X

Y

F

Questions :

En vous inspirant de l’exemple 2 :

- Calculer les actions de liaison

- Calculer les efforts internes et tracer les diagrammes associés

- Ecrire les conditions aux limites en déplacement nécessaires pour le calcul de ) �

- Dans quel état se trouve cette poutre ? Flexion pure ? Simple ? Composée ? Déviée ?

Zone 1 Zone 3

�3�


)* � ), �

EIGz

Zone 2 F

�3� �

3�

)� �


XA

YAYB

BA

X

Y

Questions :

En vous inspirant de l’exemple 2 :


- Calculer les efforts internes et donner la valeur du moment maximal.

- Tracer les diagrammes d’efforts internes

- Calculer et tracer le champ de déplacement

- Que vaut le déplacement maximal ) !" de la poutre ?

Zone 1 Zone 2

2�


)* � ), �

EIGz

F

�

• Exemple 4

Remarque : la réaction YB est une charge extérieure

concentrée, au même titre que F. La présence de YB

impose donc aussi un découpage en 2 zones ici.

)* � � 0 � 0

)* � � 2� � 0

), � � 2� � 0

)*′ � � 2� � ),′ � � 2�


Exercice

Soit une poutre de section rectangulaire (9 ( ℎ) et de longueur � sollicitée en flexion par une charge répartie ;selon la configuration suivante (essai 1). Le matériau est élastique linéaire de module %.

Rotule

Appui simple

<

=

�

;

9

ℎ�

Essai 1

• Mise en évidence de l’effet de rigidité géométrique


Exercice

• Mise en évidence de l’effet de rigidité géométrique

On reprend la même poutre, on la sollicite par la même charge répartie mais dans la configuration ci-dessous

(essai 2).

Essai 2

;

<

=

�

Chacun d’entre vous comprend intuitivement que, pour la même sollicitation extérieure appliquée, la poutre se

déforme davantage dans la configuration de l’essai 2.

Question : on demande ici de démontrer ce résultat intuitif par un calcul RDM.


Exercice

• Flexion composée

BA

X

YF2

3�

%. &'�

�

45°

Questions :


- Calculer les sollicitations internes

- Tracer les diagrammes des sollicitations internes

- Calculer la contrainte normale maximale dans la poutre en tenant compte du fait que la poutre est en flexion

composée

- Calculer la variation de longueur de la poutre sous l’effet de l’effort normal.

Poutre de section rectangulaire (9 ( ℎ)

Indice : décomposer la force en une composante longitudinale

et une composante transversale (= orthogonale)

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