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Renforcer les acquis des élèves en mathématiques
Résoudre des problèmes relevant d’une
opération
Formation pédagogique - Bouilly - session 2 – cycle 2
Session 1 : Identifier les différentes réponses et difficultés des élèves dans la résolution des problèmes
CONTENUS DE LA FORMATION – Cycle 2
Session 2 : Faire progresser les élèves au regard des difficultés repérées
Session 3 : Organiser la continuité des apprentissages
Session 2 : Faire progresser les élèves au regard des difficultés repérées
1) Repérer les difficultés, les différents niveaux de réponses
Retour sur l’expérimentation : procédures ? difficultés ?
Rappels de la session 1
Synthèse: modèle d’analyse des procédures des élèves
2) Concevoir une séance d’apprentissage
Le choix des problèmes: typologie de problèmes
3) Conduire une séance d’apprentissage
Analyse d’extraits de séances
Proposition d’un outil : les boites référentes
4) Expérimentation
problème 1
Zoé a ramassé 25 beaux cailloux dans la nature. Elle les a mis dans une boite. Mais ce farceur d’Arthur en a pris 17 et les a mis dans sa poche. Combien de cailloux va-t-elle retrouver dans sa boîte?
Juste Faux
Classe 1 12 8
Classe 2 0 2
Classe 3 77%
Classe 4 5 7
Classe 6 4 16
Classe 7 6 10
problème 2 Arthur a collé des photos sur une grande feuille. Il a collé 4 rangées de photos. Dans chaque rangée, il a placé 5 photos. Combien de photos Arthur a-t-il collées?
CP
Juste Faux
Classe 1 6 14
Classe 2 4 18
Classe 3 88%
Classe 6 12 12
Classe 7 4 12
problème 3 Zoé a 8 billes et Arthur 12 billes. Arthur beut bien donner quelques unes de ses billes à Zoé. Comme cela, ils en auront exactement le même nombre. Combien Arthur doit-il donner de billes à Zoé?
Juste Faux
Classe 1 4 20
Classe 3 52%
Classe 5 3 6
Classe 6 4 19
Classe 7 3 12
problème 1
Adrien a 23 feutres Mais il n’a que 10 capuchons Combien de capuchons manque-t-il à Adrien?
Juste Faux
Classe 1 9 2
Classe 2 25 2
Classe 3 7 3
problème 2 Mme Leleu a 150€. Elle veut acheter un fauteuil à 89€ et un lampadaire à 67€. A-t-elle assez d’argent?
CE1
Juste Faux
Classe 2 18 9
Classe 3 1 9
Classe 4 2 11
problème 3 Combien d’œufs y a-t-il dans 17 boîtes de 10 œufs?
Juste Faux
Classe 2 18 9
Classe 3 6 4
problème 4 25 enfants sont en classe de neige. Il faut des bâtons de ski pour tous ces enfants. Combien faut-il de bâtons de ski?
Juste Faux
Classe 2 21 6
Classe 3 6 4
Pas de réponse (manque de temps, ne sais pas, ne comprends pas l’énoncé )
Dessin (inutile) mais pas ou peu d’exploitation du problème.
Schéma Schéma + opération
Opération seule
Manipulation et schéma
Pas de trace écrite et réponse exacte (verbalisation correcte)
Erreur de calcul
Erreur de schéma
Mauvaise formulation de la réponse
Réponses fausses
Réponses exactes
Effectue un calcul sur les données
Schéma Schéma + opération
Opération seule
Manipulation et schéma
Pas de trace écrite et réponse exacte (verbalisation correcte)
Réponses exactes
problème 2 - CP Arthur a collé des photos sur une grande feuille. Il a collé 4 rangées de photos. Dans chaque rangée, il a placé 5 photos. Combien de photos Arthur a-t-il collées?
Schéma Schéma + opération
Opération seule
Manipulation et schéma
Pas de trace écrite et réponse exacte (verbalisation correcte)
Réponses exactes
problème 1 – CE1
Adrien a 23 feutres Mais il n’a que 10 capuchons Combien de capuchons manque-t-il à Adrien?
Schéma Schéma + opération
Opération seule
Manipulation et schéma
Pas de trace écrite et réponse exacte (verbalisation correcte)
Réponses exactes
problème 1 - CP Zoé a ramassé 25 beaux cailloux dans la nature. Elle les a mis dans une boite. Mais ce farceur d’Arthur en a pris 17 et les a mis dans sa poche. Combien de cailloux va-t-elle retrouver dans sa boîte?
Schéma Schéma + opération
Opération seule
Manipulation et schéma
Pas de trace écrite et réponse exacte (verbalisation correcte)
Réponses exactes
problème 3 - CP Zoé a 8 billes et Arthur 12 billes. Arthur beut bien donner quelques unes de ses billes à Zoé. Comme cela, ils en auront exactement le même nombre. Combien Arthur doit-il donner de billes à Zoé?
Schéma Schéma + opération
Opération seule
Manipulation et schéma
Pas de trace écrite et réponse exacte (verbalisation correcte)
Réponses exactes
problème 3 – CE1 Combien d’œufs y a-t-il dans 17 boîtes de 10 œufs?
Schéma Schéma + opération
Opération seule
Manipulation et schéma
Pas de trace écrite et réponse exacte (verbalisation correcte)
Réponses exactes
problème 2 - CP Arthur a collé des photos sur une grande feuille. Il a collé 4 rangées de photos. Dans chaque rangée, il a placé 5 photos. Combien de photos Arthur a-t-il collées?
Schéma Schéma + opération
Opération seule
Manipulation et schéma
Pas de trace écrite et réponse exacte (verbalisation correcte)
Réponses exactes
problème 4 – CE1 25 enfants sont en classe de neige. Il faut des bâtons de ski pour tous ces enfants. Combien faut-il de bâtons de ski?
Schéma Schéma + opération
Opération seule
Manipulation et schéma
Pas de trace écrite et réponse exacte (verbalisation correcte)
Réponses exactes
Pas de réponse (manque de temps, ne sais pas, ne comprends pas l’énoncé )
Dessin (inutile) mais pas ou peu d’exploitation du problème.
Erreur de calcul
Erreur de schéma
Mauvaise formulation de la réponse
Réponses fausses
Effectue un calcul sur les données
Pas de réponse (manque de temps, ne sais pas, ne comprends pas l’énoncé )
Dessin (inutile) mais pas ou peu d’exploitation du problème.
Erreur de calcul
Erreur de schéma
Mauvaise formulation de la réponse
Réponses fausses
Effectue un calcul sur les données
Pas de réponse (manque de temps, ne sais pas, ne comprends pas l’énoncé )
Dessin (inutile) mais pas ou peu d’exploitation du problème.
Erreur de calcul
Erreur de schéma
Mauvaise formulation de la réponse
Réponses fausses
Effectue un calcul sur les données
problème 2 - CP Arthur a collé des photos sur une grande feuille. Il a collé 4 rangées de photos. Dans chaque rangée, il a placé 5 photos. Combien de photos Arthur a-t-il collées?
Pas de réponse (manque de temps, ne sais pas, ne comprends pas l’énoncé )
Dessin (inutile) mais pas ou peu d’exploitation du problème.
Erreur de calcul
Erreur de schéma
Mauvaise formulation de la réponse
Réponses fausses
Effectue un calcul sur les données
problème 1 - CP Zoé a ramassé 25 beaux cailloux dans la nature. Elle les a mis dans une boite. Mais ce farceur d’Arthur en a pris 17 et les a mis dans sa poche. Combien de cailloux va-t-elle retrouver dans sa boîte?
Dans la réalisation
Pas de réponse (manque de temps, ne sais pas, ne comprends pas l’énoncé )
Dessin (inutile) mais pas ou peu d’exploitation du problème.
Erreur de calcul
Erreur de schéma
Mauvaise formulation de la réponse
Réponses fausses
Effectue un calcul sur les données
problème 3 – CE1 Combien d’œufs y a-t-il dans 17 boîtes de 10 œufs?
Dans la conception
Pas de réponse (manque de temps, ne sais pas, ne comprends pas l’énoncé )
Dessin (inutile) mais pas ou peu d’exploitation du problème.
Erreur de calcul
Erreur de schéma
Mauvaise formulation de la réponse
Réponses fausses
Effectue un calcul sur les données
problème 1 - CP Zoé a ramassé 25 beaux cailloux dans la nature. Elle les a mis dans une boite. Mais ce farceur d’Arthur en a pris 17 et les a mis dans sa poche. Combien de cailloux va-t-elle retrouver dans sa boîte?
Pas de réponse (manque de temps, ne sais pas, ne comprends pas l’énoncé )
Dessin (inutile) mais pas ou peu d’exploitation du problème.
Erreur de calcul
Erreur de schéma
Mauvaise formulation de la réponse
Réponses fausses
Effectue un calcul sur les données
problème 1 - CP Zoé a ramassé 25 beaux cailloux dans la nature. Elle les a mis dans une boite. Mais ce farceur d’Arthur en a pris 17 et les a mis dans sa poche. Combien de cailloux va-t-elle retrouver dans sa boîte?
Pas de réponse (manque de temps, ne sais pas, ne comprends pas l’énoncé )
Dessin (inutile) mais pas ou peu d’exploitation du problème.
Erreur de calcul
Erreur de schéma
Mauvaise formulation de la réponse
Réponses fausses
Effectue un calcul sur les données
problème 1 - CP Zoé a ramassé 25 beaux cailloux dans la nature. Elle les a mis dans une boite. Mais ce farceur d’Arthur en a pris 17 et les a mis dans sa poche. Combien de cailloux va-t-elle retrouver dans sa boîte?
Pas de réponse (manque de temps, ne sais pas, ne comprends pas l’énoncé )
Dessin (inutile) mais pas ou peu d’exploitation du problème.
Erreur de calcul
Erreur de schéma
Mauvaise formulation de la réponse
Réponses fausses
Effectue un calcul sur les données
problème 2 - CP Arthur a collé des photos sur une grande feuille. Il a collé 4 rangées de photos. Dans chaque rangée, il a placé 5 photos. Combien de photos Arthur a-t-il collées?
Pas de réponse (manque de temps, ne sais pas, ne comprends pas l’énoncé )
Dessin (inutile) mais pas ou peu d’exploitation du problème.
Erreur de calcul
Erreur de schéma
Mauvaise formulation de la réponse
Réponses fausses
Effectue un calcul sur les données
Pas de réponse (manque de temps, ne sais pas, ne comprends pas l’énoncé )
Dessin (inutile) mais pas ou peu d’exploitation du problème.
Erreur de calcul
Erreur de schéma
Mauvaise formulation de la réponse
Réponses fausses
Effectue un calcul sur les données
Erreurs de compréhension, de représentation du problème
Pas de réponse (manque de temps, ne sais pas, ne comprends pas l’énoncé )
Dessin (inutile) mais pas ou peu d’exploitation du problème.
Erreur de calcul
Erreur de schéma
Mauvaise formulation de la réponse
Réponses fausses
Effectue un calcul sur les données
Erreurs de résolution du problème
problème 2 - CP Arthur a collé des photos sur une grande feuille. Il a collé 4 rangées de photos. Dans chaque rangée, il a placé 5 photos. Combien de photos Arthur a-t-il collées?
CP Réalisation d’un schéma
Problème 1 Problème 2 Problème 3
Classe 1 18% 53% 46%
Classe 2 85% 95% 80%
Classe 3 42% 100% 60%
CE1 Réalisation d’un schéma
Problème 1 Problème 2 Problème 3 Problème 4
Classe 1 60% 19% 70% 53%
Classe 2 100% 100%
Classe 3 40% 20% 90% 100%
L’utilisation des schémas
Quelles hypothèses peut-on formuler pour expliquer ces différences de réussites? Quelles pistes pour faire progresser les élèves?
Constats Des différences de réussites Des différences de procédures
selon les problèmes selon les classes
Quelques rappels de la session 1
Identifier les différentes réponses et difficultés des élèves dans la résolution des problèmes
Deux objectifs
Rendre les élèves capables de résoudre un problème avec des procédures
expertes
Inciter les élèves à utiliser des procédés moins élaborés mais pertinents,
plutôt que le contraire (par exemple utiliser les nombres sans réfléchir et s’en servir pour faire
des calculs irraisonnés), en particulier sur des problèmes pour lesquels ils n’ont pas ou
ne peuvent pas avoir acquis de procédures expertes
Le domaine le plus échoué aux évaluations en mathématiques : la résolution de problèmes
L’analyse des procédures des élèves permet de distinguer
Ceux qui résolvent le problème avec une solution experte
Ceux qui résolvent le problème avec des solutions personnelles (mettant en jeu
plus ou moins une compréhension du problème, des techniques de calcul ou de comptage)
Ceux qui échouent :
parce qu’ils ne comprennent pas l’énoncé
parce qu’ils échouent dans les procédures de comptage ou de calcul
Un modèle d’analyse
Enoncé du problème
Compréhension reconstruction
Résolution du problème
Données
Connaissances Savoirs
Solutions personnelles
Solutions Expertes
Faire progresser les élèves au regard des difficultés repérées
1. Repérer les difficultés, préciser les objectifs d’apprentissage. Préciser les enjeux.
2. Conception de la séance Le choix des problèmes, le parcours ,la progressivité.
3. Conception de la séance Les outils, supports utilisés, construits.
4. La conduite de la séance Les modalités, l’organisation: l’appropriation du problème: le vocabulaire, l’anticipation, la schématisation, la mise en commun, etc. Les attitudes, interventions
Typologie des problèmes G. Vergnaud
problème 1 Zoé a ramassé 25 beaux cailloux dans la nature. Elle les a mis dans une boite. Mais ce farceur d’Arthur en a pris 17 et les a mis dans sa poche. Combien de cailloux va-t-elle retrouver dans sa boîte?
problème 2 Arthur a collé des photos sur une grande feuille. Il a collé 4 rangées de photos. Dans chaque rangée, il a placé 5 photos. Combien de photos Arthur a-t-il collées?
problème 3 Zoé a 8 billes et Arthur 12 billes. Arthur veut bien donner quelques unes de ses billes à Zoé. Comme cela, ils en auront exactement le même nombre. Combien Arthur doit-il donner de billes à Zoé?
problème 4 Adrien a 23 feutres. Mais il n’a que 10 capuchons. Combien de capuchons manque-t-il à Adrien?
problème 5 Mme Leleu a 150€. Elle veut acheter un fauteuil à 89€ et un lampadaire à 67€. A-t-elle assez d’argent?
problème 6 Combien d’œufs y a-t-il dans 17 boîtes de 10 œufs?
problème 7 25 enfants sont en classe de neige. Il faut des bâtons de ski pour tous ces enfants. Combien faut-il de bâtons de ski?
problème 8 Un carton contient une centaine de pâtes. Un paquet contient une dizaine de pâtes. Un marchand commande 320 pâtes. Combien de cartons pleins et de paquets recevra-t-il ?
Typologie des problèmes additifs/soustractifs G. Vergnaud
Des transformations d’états Des compositions d’états
Des comparaisons d’états Des compositions de
transformations
Paul a 5 billes en verre et 3 billes en acier. Combien a-t-il de billes en tout ?
Max avait 5 billes, il en gagne 3. Combien en a-t-il maintenant ?
Muriel a 3 billes. Sarah en a 8. Combien de billes Muriel a-t-elle de moins ?
Axel a joué deux parties de billes. A la première, il en a gagné 5 et à la seconde, il en a gagné 3. Combien en a-t-il gagné en tout ?
Des transformations d’états
Ei Ef T
La transformation peut-être positive ou négative
Ei T+
Ef ?
Ei
Ei ?
Ei ?
Ei
Ei
T-
T+
T-
T+ ?
T- ?
Ef ?
Ef
Ef
Ef
Ef
Des compositions de deux états
Partie 1 Partie 2
Tout
Partie 1 Partie 2 Tout ?
Partie 1 Partie 2 ? Tout
Des comparaisons d’états
E1 E2
Ecart
L’écart peut-être positif ou négatif
E1 E2 ? Ecart +
E1 E2 ? Ecart -
E1? E2 Ecart +
E1 ? E2 Ecart +
E1 E2 Ecart + ?
E1 E2 Ecart + ?
Des compositions de transformations
Ei E2 T
Les transformations peuvent-être positives ou négatives
Ef T
Recherche de la composition de la transformation Recherche de l’un des états
Typologie des problèmes multiplicatifs G. Vergnaud
Problèmes ternaires 2 données connues 1 donnée inconnue
Problèmes quaternaires 3 données connues 1 donnée inconnues
N fois plus ou n fois moins
Produit cartésien
Configuration rectangulaire
Multiplication
Division-quotition
Division-partition
Quatrième de proportionnelle (règle de trois)
Typologie des problèmes multiplicatifs G. Vergnaud
Problèmes ternaires 2 données connues 1 donnée inconnue
N fois plus ou n fois moins
Recherche de la quantité finale
Recherche de la quantité initiale
Recherche du nombre de fois
n Qi Qf X =
Pierre a 9 ans et son père est 4 fois plus âgé que lui. Quel âge a son père ?
J’ai 100 €. Mon frère a 4 fois moins d’argent que moins. Combien mon frère a-t-il d’argent ?
Anita veut s’acheter 2 bagues. L’une vaut 6€, l’autre vaut 18€. Combien de fois plus coûte la 2ème bague ?
n Qi Qf X =
n Qi Qf
n Qi Qf
X
X
=
=
Typologie des problèmes multiplicatifs G. Vergnaud
Problèmes ternaires 2 données connues 1 donnée inconnue
Produit cartésien
Il y a 4 filles et 3 garçons. Combien peuvent-ils former de couples de danseurs ?
A x B = X
Typologie des problèmes multiplicatifs G. Vergnaud
Problèmes ternaires 2 données connues 1 donnée inconnue
Configuration rectangulaire
La longueur de mon terrain est de 15 m. Sa largeur est de 9,50 m. Quelle est son aire ? Mon terrain a une aire de 142,50 m2 et une largeur de 15 m. Combien mesure la longueur ?
Typologie des problèmes multiplicatifs G. Vergnaud
Problèmes quaternaires 3 données connues 1 donnée inconnue
Multiplication
Recherche d‘un nombre d’éléments
J’ai 3 paquets de yaourts. Il y a 4 yaourts dans chaque paquet. Combien ai-je de yaourts ?
Typologie des problèmes multiplicatifs G. Vergnaud
Problèmes quaternaires 3 données connues 1 donnée inconnue
Division-quotition
Pierre a 12€. et veut acheter des paquets de bonbons à 3€ le paquet. Combien de paquets peut-il acheter
Recherche d‘un nombre d’éléments
Typologie des problèmes multiplicatifs G. Vergnaud
Problèmes quaternaires 3 données connues 1 donnée inconnue
Division-partition
J’ai payé 40€ pour trois bouteilles de sirop. Quel est le prix d’une bouteille ?
Typologie des problèmes multiplicatifs G. Vergnaud
Problèmes quaternaires 3 données connues 1 donnée inconnue
Quatrième de proportionnelle (règle de trois)
4 albums coûtent 6€. Combien coûtent 10 albums ?
=> Stratégie personnelle
=> Stratégie experte
Faire progresser les élèves au regard des difficultés repérées
1. Repérer les difficultés, préciser les objectifs d’apprentissage. Préciser les enjeux.
2. Conception de la séance Le choix des problèmes, le parcours ,la progressivité.
3. Conception de la séance Les outils, supports utilisés, construits.
4. La conduite de la séance Les modalités, l’organisation: l’appropriation du problème: le vocabulaire, l’anticipation, la schématisation, la mise en commun, etc. Les attitudes, interventions
Un modèle d’analyse
Enoncé du problème
Compréhension reconstruction
Résolution du problème
Données
Connaissances Savoirs
Solutions personnelles
Solutions Expertes
Analyse d’extraits vidéos
Que conserveriez-vous, au niveau de la conduite, dans chacune des séances? Que modifierez-vous?
Vidéo 1
Mme Leleu a 150€.
Elle veut acheter un fauteuil à 89€ et un
lampadaire à 67€.
A-t-elle assez d’argent?
Analyse d’extraits vidéos
Que conserveriez-vous, au niveau de la conduite, dans chacune des séances? Que modifierez-vous?
Vidéo 2
Un carton contient une centaine de pâtes.
Un paquet contient une dizaine de pâtes.
Un marchand commande 320 pâtes.
Combien de cartons pleins et de paquets recevra-t-il ?
Faire progresser les élèves au regard des difficultés repérées
1. Repérer les difficultés, préciser les objectifs d’apprentissage. Préciser les enjeux.
2. Conception de la séance Le choix des problèmes, le parcours ,la progressivité.
3. Conception de la séance Les outils, supports utilisés, construits.
4. La conduite de la séance Les modalités, l’organisation: l’appropriation du problème: le vocabulaire, l’anticipation, la schématisation, la mise en commun, etc. Les attitudes, interventions
L’enjeu d’un outil
1. Permettre une référence explicite à des connaissances ou des travaux antérieurs
2. Etablir des liens entre les différentes représentations: mots, schémas, opérations
3. Aller vers une modélisation
4. Permettre aux élèves de prendre conscience de la diversité des procédures et de situer la sienne
Exemple d’un outil
Schémas de référence les modèles
Enoncé du problème
Représentations des différents modes de résolutions
Enoncé du problème
Représentations des différents modes de résolutions
Mme Leleu a 150 € Elle veut acheter un fauteuil à 89€ et un lampadaire à 67€. A-t-elle assez d’argent?
?
150 – 89 – 67 = ?
89 + 67 ____ 156 Mais comme elle n’a que 150€, elle n’a pas assez d’argent
L’évolution du modèle
Problème de compositions d’états
avec références aux données ? 18 37 + =
sans références aux données
Expérimentation
Sur un ou plusieurs types de problèmes simples, mettre en place une ou des boites référentes Utiliser cet outil dans les séances ultérieures Formuler des remarques quant à l’utilisation de l’outil: - Au regard des enjeux
Permettre une référence explicite à des connaissances ou des travaux antérieurs Etablir des liens entre les différentes représentations: mots, schémas, opérations Aller vers une modélisation Permettre aux élèves de prendre conscience de la diversité des procédures et de
situer la sienne - Au regard des difficultés de mise en œuvre Envoyer une photo des boites référentes et les remarques à [email protected] avant
la session 3.
