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2

Résumé

Ça ne tient qu’à un fil. Il s’agit d’un travail autour des fils et des toiles d’araignées. Le sujet semble pouvoir

être traité de multiples façons. Nous avons choisi de l’aborder d’un point de vue scientifique, en cherchant à

mesurer dans un premier temps des caractéristiques de ces objets, puis en essayant de comprendre les

conséquences des valeurs de ces caractéristiques.

Ce n’est pas un travail qui a été simple à réaliser, car manipuler des matériaux quasi invisibles nous ont souvent

posé problème. Et d’autre part, les phénomènes que nous connaissons et qui s’observent en manipulant des

objets plus grands ne se manifestent pas toujours comme on l’attend, car d’autres choses, imperceptibles à

notre échelle, le sont beaucoup moins à celle d’un fil d’araignée.

C’est donc en faisant preuve d’abnégation que nous avons pu répondre à un certain nombre des questions que

nous nous posions. Et ça ne tient qu’à nous de vous le transmettre ici.

Sommaire

• Introduction

• I – Quelles sont les caractéristiques mécaniques étonnantes d’un fil de soie d’araignée ?

• II – Vibration des fils

• III – La toile d’araignée

• Conclusion

Introduction

Qui n’a jamais été étonné, voire émerveillé, en observant une toile d’araignée ? Une géométrie surprenante,

une fragilité à notre échelle, mais suffisamment solide pour répondre aux besoins vitaux de l’araignée.

Et que dire de la façon qu’a l’araignée de se projeter sur sa proie coincée dans la toile. Il est étonnant de voir

sa course rapide quand on sait que l’araignée est pratiquement aveugle.

Ceci soulève des questions.

Qu’est ce qui assure la solidité de la toile : Est-ce que ce sont les fils qui a eux seuls permettent d’aboutir à une

solidité suffisante, ou bien est-ce la structure de la toile ?

D’autre part, si comme on le sait, la majorité des araignées voient très mal, comment font-elles pour savoir où

se situe la proie coincée dans leur toile ?

Nous avons cherché à répondre à ces questions dans ce mémoire.

Par ailleurs, tout au long de notre travail, nous avons tellement appris sur les caractéristiques physiques des

fils de soie d’araignée, que nous avons tenu à en faire part dans ce mémoire. Ce sera alors l’occasion de faire

quelques digressions.

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I – Quelles dont les caractéristiques mécaniques étonnantes d’un fil de soie d’araignée ? Nous posons cette question car nous avons souvent entendu dire que l’araignée est capable de fabriquer des fils qui sont plus solides que les fils de dimension équivalente que les êtres humains savent fabriquer.

1 ) Différentes toiles et différents fils existants.

Il existe différents types de toiles, que l’on peut classer en deux grandes catégories : les toiles géométriques, et

les toiles irrégulières. Voici des exemples (figure 1) :

Figure 1 : à gauche : toile géométrique ; au milieu, toile irrégulière ; à droite, notre partenaire scientifique : la Néphile de Madagascar

Concernant les fils de soie d’araignée, il se trouve que la plupart ont des propriétés qui ne sont pas régulières tout

au long du fil, ce qui pourrait sérieusement compliquer notre étude, puisque la valeur d’une grandeur physique

trouvée lors d’une expérience ne serait pas réutilisable dans une autre expérience. Cependant, une araignée qui

visiblement fait parler d’elle pour la régularité du fil qu’elle produit est la Néphile de Madagascar (Nephila inaurata

madagascariensis – voir figure 1).

Comme le lycée n’a pas voulu financer un voyage à Madagascar pour récupérer quelques longueurs de fil de soie, nous avons cherché si on pouvait s’en procurer en France. Et nous avons alors trouvé au Vivarium du Moulin, près de Mulhouse. Après être entré en contact avec eux, nous avons pu recevoir du fil de toile qu’il a fallu démêler, ainsi que du fil prélevé directement aux filières et entourées autour d’un bâton. Dans la suite de cette partie, nous cherchons à évaluer la solidité d’un fil de soie d’araignée. Mais bien entendu, cette solidité est toute relative. Il est vrai qu’à notre échelle, le fil de soie n’est pas robuste. Mais à l’échelle du diamètre du fil, qu’en est-il ? Pour le savoir, nous allons commencer justement par mesurer le diamètre du fil de soie produit par l’araignée. Puis nous verrons comment nous pourrons décrire ce fil en termes de solidité.

2 – Diamètre du fil de soie produit par la Nephila inaurata madagascariensis Pour mesurer le diamètre du fil de soie, nous avons voulu utiliser le phénomène de diffraction. Dès que nous avons commencé cette première expérience, nous avons compris que toutes les expériences que nous allions réaliser seraient compliquées à mettre en place. En effet, un fil d’araignée est si fin, qu’il était souvent difficile de savoir si on en avait un dans la main. Lors de notre première expérience, nous avons obtenu non pas une tache centrale et des taches latérales comme nous l’attendions, mais un trait continu, que l’on pouvait observer jusqu’à un angle de 90° par rapport à la direction incidente du laser (voir figure 2). Ceci ne peut pas être dû au phénomène de diffraction. Nous pensons plutôt que c’est le phénomène de réfraction qui en est responsable.

Figure 2 : la lumière du faisceau laser incidente sur le fil d’araignée

et transmise dans un domaine angulaire de – 90 à + 90°

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En effet, le fil ayant un diamètre inférieur à la section du faisceau laser, il est éclairé sous tous les angles d’incidences, de 0 à 90°. On peut alors s’attendre à ce que les rayons soient fortement déviés, à condition toutefois que l’indice de réfraction du fil d’araignée ne soit pas proche de 1. Nous avons recherché si des valeurs de références d’indice de réfraction existaient et nous en avons trouvé un, mesuré par un laboratoire de recherche : n = 1,55 pour une araignée appelée Nephila edulis. Avec une telle valeur, une construction géométrique (figure 3) montre alors qu’effectivement, la réfraction est probablement le phénomène qui explique que le trait est continu, et que le phénomène de diffraction est alors sans doute présent, mais masqué par la réfraction. Même si a priori, cela nous éloigne un peu du sujet, nous nous sommes alors amusés à mesurer l’angle du rayon émergeant du fil d’araignée avec la plus grande déviation, de façon à en déduire l’indice de réfraction du fil de soie d’araignée. Pour cela, il faut un peu pivoter la diapositive autour de l’axe même du fil pour que le support de la diapositive ne bloque pas les rayons réfractés vers l’arrière (figure 4). Nous avons trouvé un angle d’environ D = 95°± 5° Or (voir figure 5) la déviation du rayon lumineux par le fil vaut en théorie

𝐷 = 𝐷1 + 𝐷2

Or 𝐷1 = 𝐷2 = 90 − 𝑟 donc 𝐷 = 180 − 2𝑟

Et comme au point J, la réfraction impose que 1 = 𝑛 × 𝑠𝑖𝑛𝑟, On obtient :

𝑛 =1

𝑠𝑖𝑛𝑟=

1

𝑠𝑖𝑛(180−𝐷

2) =1,48±0,08

Ce qui signifie que l’indice de réfraction vaut, pour la soie d’araignée :

1,48±0,08 Finalement, même si cette première expérience nous a fortement éloignés de notre but, elle a le mérite de nous indiquer ce qu’il nous reste à faire pour pouvoir mesurer le diamètre du fil par diffraction : on doit le rendre opaque. Et c’est alors ce que l’on a fait en coloriant le fil en noir. Et comme prévu, ceci a fait disparaître le long trait continu. Nous avons réalisé alors un premier dispositif afin de mesurer le diamètre par diffraction : Nous avons directement observé le phénomène de diffraction sur un écran placé à D = 2,26 mètres du fil.

Figure 4 : rotation du support de la diapositive portant le fil d’araignée

autour de l’axe de celui-ci°

Figure 6 – Diffraction par un fil d’araignée, directement observée sur un écran placé à 2,26m du fil

Figure 5 – Rayon réfracté par une lentille cylindrique d’indice de réfraction 1,48 – Représentation de la déviation D du rayon incident.

LASER

Fil d’araignée

vertical

Ecran

5

Avec une telle distance D, nous obtenons une tache centrale de 11,5 cm. Compte tenu de la longueur d’onde du laser 650 nm, nous en déduisons que le fil d’araignée à un diamètre égal à :

𝑎 =2𝜆𝐷

𝐿= 25,6 µ𝑚

Cela dit, nous n’étions pas tout à fait satisfaits de cette mesure, car elle nous semblait peu précise au niveau de la mesure de la tache centrale. Nous avons alors essayé d’améliorer la mesure en faisant une courbe d’étalonnage à l’aide de fils de diamètres connus. Mais le problème reste le même : l’incertitude relative sur la mesure de la tâche centrale formée par le fil d’araignée nous semble trop importante pour valider son diamètre. En effet, même si la tache centrale obtenue avec les fils calibrés est bien plus délimitable, les contours de celle laissée par le fil d’araignée reste très approximatif visuellement. Nous avons alors cherché à améliorer cette expérience, et finalement, c’est là que les choses se sont sérieusement compliquées.

Expérience N°2 pour déterminer L : Nous avons alors utilisé une photodiode dont nous disposons au laboratoire, et qui peut être déplacé sur un axe horizontal, pour analyser la figure de diffraction (figure 6). Nous observons alors une tache centrale, et un léger pic latéral, mais pas d’autre tâche latérale symétrique. Peut-être que le fil d’araignée n’était pas alors parfait ? Comme nous doutions de la figure obtenue, nous avons fait pivoter le fil de 180° autour de l’axe du fil, et le pic observé précédemment à gauche sur l’écran se trouvait toujours à gauche. La conclusion de cette expérience était alors que le capteur comportait un biais. Il fallait alors trouver un autre capteur. Nous avons fini par nous procurer une caméra CCD. Expérience 3 : Utilisation d’un capteur CCD pour déterminer la largeur de la tache centrale (figure 7) :

L’utilisation de la caméra a été très fastidieuse. En effet, l’impact du faisceau laser sur le capteur CCD saturait celui-ci, ce qui rendait inutilisable la caméra. Nous devions alors limiter la quantité de lumière arrivant sur le capteur. Comme nous ne possédions pas de filtre, nous avons finalement utilisé un couple de polariseurs. Et comme cela ne suffisait pas, nous avons également dû occulter le faisceau laser incident juste avant qu’il ne touche le capteur.

Figure 7 : Dispositif pour visualiser la figure de diffraction utilisant une caméra CCD et deux polariseurs

Après toutes ces améliorations et ces corrections de notre dispositif expérimental, nous avons enfin pu observer une figure de diffraction… sans la tache centrale qui elle, était en partie occultée, et avec des taches latérales de tellement faible intensité, qu’il était délicat d’affirmer avec certitude où finissait la tâche centrale. Cela dit, en décalant le capteur CCD de telle sorte que le faisceau direct ne tape plus dessus, il a été possible de voir un minimum d’intensité entre la tache centrale et la première tâche latérale (figure 8)

Figure 6 – Mesure de la tache de diffraction avec une

photodiode déplaçable

LASER

Fil vertical

Polariseur

Polariseur Caméra CCD

6

Figure 8 : Premier minimum d’intensité entre la tâche centrale et une première tâche latérale.

La valeur trouvée ici est vraiment différente de celle obtenue directement en observant l’image de diffraction sur un écran. Il nous fallait un moyen pour trancher une fois pour toute la valeur de ce diamètre. L’idée était d’utiliser un microscope avec une graduation micrométrique, mais à notre grand étonnement, nous n’en disposions pas au lycée, pas même en SVT. Mais ce n’est pas ce qui allait nous arrêter ! Nous avons pu emprunter un appareil que l’on peut placer à la place de l’oculaire d’un microscope dans un autre lycée.

Epilogue sur la mesure du diamètre du fil de soie d’’araignée : Voici ce que l’on peut voir en observant alors le fil d’araignée au microscope :

Les graduations sont espacées tous les 10 µm. L’image obtenue montre alors que le diamètre du fil de soie d’araignée est de l’ordre de la dizaine de micromètre. De toutes les mesures que nous avons réalisées précédemment, c’est donc celle obtenue avec la caméra CCD, avec un protocole qu’il a fallu affiner à plusieurs reprises, qui s’en rapproche le plus.

Figure 9 : Mesure du diamètre du fil d’araignée au microscope – 1 graduation fait 10 µm

Remarque : sur l’image obtenue, on remarque plusieurs choses de très intéressantes : le fil est bien transparent, ce qui confirme que le phénomène de réfraction ne pouvait pas être ignoré. D’autre part, étant donné le très faible rayon du fil, celui-ci se comporte comme une lentille cylindrique très convergente. Tellement convergente, que même lorsque le fil est plaqué contre la lame qui comporte les graduations, on arrive à voir l’image des graduations réalisées par la lentille ainsi constituée. Et cela engendre en plus un grandissement de l’image dans une direction perpendiculaire au fil. Revenons à ce qui nous occupe… Nous venons de mesurer le diamètre du fil de soie d’araignée, ce qui va dans la partie suivante nous permettre d’enchaîner sur la solidité et l’élasticité du fil. Mais dès que nous abordons ces notions-là, il nous semble intéressant de comparer les valeurs obtenues avec le fil de soie par rapport à celles que l’on obtiendrait avec d’autres fibres présentant des qualités reconnues, tel que le kevlar. Nous nous sommes alors procurés du kevlar et nous avons mesuré son diamètre non pas par diffraction, mais avec le microscope, vraiment moins chronophage et plus précis :

Comme le montre l’image obtenue, le kevlar a un diamètre du même ordre de grandeur que celui du fil de soie d’araignée. C’est très intéressant car cela rendra peut-être les comparaisons des futures expériences plus faciles à interpréter.

La mesure réalisée a permis alors de trouver que le diamètre du fil d’araignée est égal à :

𝑎 =2𝜆𝐷

𝐿=2 × 650. 10−9 × 0,43

0,034

𝑎 = (16 ± 3) µ𝑚

Figure 10 : Mesure du diamètre d’une fibre de kevlar au microscope

1 graduation fait 10 µm

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2 ) Solidité du fil : Pour mesurer la solidité du fil, nous avons choisi de lui appliquer une contrainte, en lui tirant dessus, jusqu’à ce qu’il se casse. Pour déterminer la force avec laquelle nous lui tirions dessus, nous avons accroché le fil à une balance précise au millième de gramme.

Nous avons alors enroulé le fil autour d’une tige dont nous avons mesuré le diamètre, afin de savoir de combien on allongeait le fil (figure 11). En effet, à partir de ces mesures, il est possible de mesurer une caractéristique mécanique du fil, qui traduit son élasticité ou sa raideur. Il s’agit de son module d’Young E. Figure 11 : dispositif permettant de mesurer l’élongation du fil et la force de traction exercée à ses extrémités

Au cours de notre projet, nous avons fait évoluer ce dispositif expérimental, en enroulant le fil autour d’un cylindre relié à un moteur pas à pas dont la rotation est pilotée par une carte Arduino. La carte Arduino est commandée par des boutons poussoirs. Nous avons mis trois boutons poussoirs, et chacun d’entre eux permet de faire tourner le moteur avec un angle différent, pour adapter l’expérience aux matériaux étudié. Le programme que nous avons rédigé se trouve en annexe.

Voici typiquement, figure 12, un exemple de ce qui se passe lorsqu’on tire sur un matériau :

Nous avons représenté la contrainte 𝜎 sur l’axe des ordonnées. Cette contrainte est en unité de pression, et représente donc le rapport de la force de traction sur la surface de la section du fil. Sur l’axe des abscisses, nous avons représenté l’élongation

relative du fil : 𝛥𝐿

𝐿0

Figure 12 – Diagramme contrainte déformation d’un matériau

Quelle relation existe-t-il entre la contrainte et la déformation théoriquement ?

Figure 13 : représentation du fil sorti de la filière, de longueur L0, puis étiré, de longueur L

L0

L

S Surface de la

section du fil

après avoir tiré

dessus

S0 Surface de

la section du fil

avant d’avoir

tiré dessus

ΔL

8

On remarque, figure 12, que dans un premier temps, la contrainte est proportionnelle à la déformation. Cette zone du graphique linéaire témoigne du comportement élastique du fil de soie. Par contre, la deuxième partie montre une déformation appelée plastique. La partie élastique traduit une loi appelée loi de Hooke qui s’énonce de la façon suivante :

𝜎 = 𝐸∆𝐿

𝐿0

Ainsi, pour calculer E, il faut réussir à tracer 𝜎 en fonction de 𝛥𝐿

𝐿0.

Or 𝜎 =𝐹

𝑆

Mais la section S du fil diminue au fur et à mesure qu’on lui tire dessus (figure 13). On part d’un fil qui a une section S0 et une longueur L0. Lorsqu’on tire dessus, on l’alonge d’une quantité ΔL. Comme le volume du fil (S0L0) n’est pas modifié, sa section change : elle diminue en assurant toutefois la conservation du volume du fil, ce qui donne :

𝑆0𝐿0 = (𝐿0 + ∆𝐿)𝑆 On peut donc, lorsqu’on tire sur un fil, prévoir sa nouvelle section en fonction de son élongation. Quand on tire sur le fil, on exerce une force qui s’applique sur toute la surface de la section du fil de diamètre D. La surface du fil est

𝑆 = 𝜋 (𝐷

2)2

Enfin, quand on tire sur le fil accroché au plateau de la balance, la masse indiquée par la balance diminue, d’une quantité ∆𝑀 = 𝑀0 −𝑀. Si on multiplie alors cette quantité par la gravité g, on obtient la force avec laquelle le fil tire sur la masse, ce qui correspond aussi à la force exercée par la masse sur le fil. Le fait de mesurer la variation de la masse indiquée par la balance permet donc de connaître la force F de contrainte qui s’exerce sur la section du fil. Donc, au final, on a :

𝜎 =𝐹

𝑆=

𝐹

𝑆0(𝐿0

∆𝐿+𝐿0)=(𝑀0−𝑀)𝑔

𝑆0(𝐿0

∆𝐿+𝐿0) =

(𝑀0−𝑀)𝑔

𝑆0(

1∆𝐿𝐿0+1)

= 4(𝑀0−𝑀)𝑔

𝜋𝐷²(1

∆𝐿𝐿0+1)

Que donnent alors nos résultats expérimentaux ?

Figure 14 : diagramme

contrainte/déformation d’un fil

d’araignée

Avec de tels résultats ; le module d’Young (coefficient directeur de la partie linéaire entourée en vert) est égal à 5 GPa. Ce résultat est cohérent avec des valeurs trouvées dans la littérature, qui indiquent que le module d’Young des fils de soie d’araignée sont compris entre 1 et 10 GPa.

0

50000000

100000000

150000000

200000000

250000000

300000000

350000000

400000000

450000000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

σ (Pa)

∆𝐿/𝐿0

9

Voyons maintenant si ce fil est robuste. Pour le savoir, nous avons voulu le comparer à un fil réputé pour être solide : le kevlar. Nous avons donc réalisé des mesures identiques avec le fil de kevlar, qui rappelons-le a un diamètre, mesuré par microscope de 10 µm.

Le fil d’araignée est beaucoup plus facilement déformable. Par contre, le kevlar, contrairement au fil d’araignée, se casse rapidement après son domaine élastique. Cela provient très probablement du fait que le fil d’araignée soit composé de protéines organisées en partie en feuillet. Il est possible que ces feuillets se déploient lorsqu’on tire sur le fil. On entend souvent dire que les humains ne savent pas fabriquer des fils aussi solides que ceux que font les araignées à dimensions égales. Comme la fibre de kevlar, de même dimension que le fil d’araignée, est capable de soulever une masse environ 10 fois plus grande, nous pensons alors qu’on sous-entend par là que la robustesse des fils d’araignée traduit le fait qu’ils ne cassent pas, mais ont la capacité de s’allonger lorsqu’ils subissent pourtant de fortes contraintes. On peut aussi peut-être discuter de cela sur un plan énergétique : Le fait que le fil d’araignée soit déformable (avant rupture) sur une plus grande plage de longueur relative (ΔL/L0) que ne l’est le fil de kevlar, il est en mesure d’emmagasiner, et donc d’absorber, plus d’énergie que le fil de kevlar, malgré le fait que le module d’Young du fil de kevlar est plus grand que celui du fil d’araignée.

II – Vibration des fils

Comme nous l’avons souligné au début du mémoire, les araignées voient majoritairement très mal. Et pourtant, elles se dirigent vers leur proie avec une grande précision et très rapidement. Or, il s’avère que les araignées sont dotées de très nombreux capteurs de vibration, que ce soit au niveau des articulations de leurs membres, ou encore des poils qu’elles ont sur leurs huit pattes. Lorsqu’un insecte a eu la mauvaise idée de constituer un festin en se jetant dans une toile d’araignée, cela provoque des vibrations que l’araignée est capable de détecter. Nous nous sommes alors posés la question de savoir si l’araignée captait la vibration d’un fil, ou bien la vibration de la toile dans sa globalité. C’est ce à quoi nous avons tenté de répondre dans cette partie :

1 ) A quelle fréquence vibre un fil d’araignée ?

Pour le savoir, nous avons recherché les modes propres de vibration du fil, en accrochant une des extrémités à une membrane vibrante, tandis qu’à l’autre extrémité est accrochée une masse de 1g, suspendue au fil comme le montre le dispositif expérimental figure 15. Nous avons alors fait varier la fréquence de vibration de la membrane vibrante, à la recherche de ventres de vibration. Mais, nous commençons à avoir la fâcheuse habitude de ne rien observer là où on s’attend à observer quelque chose. Et nous n’avons rien observé. Nous avons fait

0

500000000

1E+09

1,5E+09

2E+09

2,5E+09

3E+09

0 0,01 0,02 0,03 0,04

∆𝐿/𝐿0

σ (Pa) On peut dire que dans le cas du kevlar, le régime élastique se fait dans un domaine plus restreint que dans le cas du fil de soie d’araignée. Durant ce régime, on mesure la pente de la droite qui pourrait modéliser la courbe, ce qui donne un module d’Young égal à :

𝐸 = 100 𝐺𝑃𝑎 Cette valeur est dans la limite haute des valeurs de référence que nous avons trouvées dans la littérature. Il faut donc appliquer une très grosse contrainte pour déformer le kevlar. Ce dernier est d’ailleurs utilisé pour cette propriété.

Figure 14 : diagramme contrainte/déformation d’une fibre de kevlar

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des balayages en fréquence, vérifié les points d’attache du fil d’araignée, modifié la longueur du fil, diminué la masse en passant de 1g à 0,5g. Toujours rien. Cela fait poser des questions. Est-ce que le fait de ne pas observer de ventre de vibration vient de la grande extensibilité du fil ? Mais comme pour la diffraction, on ne s’est pas arrêté là. Nous avons cherché ce qui pourrait améliorer l’expérience. Pensant que ses amplitudes de vibration étaient trop faibles, nous avons alors commencé par changer le vibreur par un vibreur du laboratoire. Mais l’amplitude des vibrations du vibreur étaient toujours trop faibles. Nous avons alors emprunté un vibreur plus puissant, capable de vibrer à des amplitudes bien plus importantes, même pour des grandes fréquences. Et cela n’a toujours rien donné. Sauf qu’à un moment, lors d’un balayage de fréquence du vibreur, un morceau de fil d’araignée qui dépassait du vibreur et qui pendait dans l’air avec un petit morceau de scotch nonchalamment collé dessus s’est mis à vibrer en montrant un ventre de vibration… Nous ne pouvions pas rater cette chance ! Alors, même si cela nous paraissait étrange, nous avons cherché à faire vibrer le fil d’araignée en adoptant cette nouvelle configuration : le vibreur vibre selon une direction verticale, et le fil est suspendu à la membrane, ce qui fait que son extrémité est agitée selon cette même direction verticale. Et à l’extrémité du fil, nous avons mis un morceau de scotch qui pendait dans l’air. Nous étions nous-mêmes sceptiques par rapport à ces choix faits, puisque l’extrémité du fil n’allait plus constituer un point fixe… Mais nous l’avons tout de même fait…. Voici alors ci-contre (figure 16) cette nouvelle disposition :

Et la vidéo de l’expérience se visualise en suivant le lien : https://youtu.be/r6jq16Kg5hg

Dans la vidéo, nous voyons au début que le fil vibre selon un mode qui présente 1 ventre, puis 2 ventres, avant de repasser à 1 ventre de vibration. Cette succession n’est à priori pas logique selon nos connaissances. Cela dit, le fil est si faiblement tendu, qu’il a alors beaucoup plus de facilité pour vibrer. Et il n’est alors pas impossible que certaines vibrations générées par le vibreur engendrent la vibration d’une pièce mécanique à une autre fréquence qui, même de faible amplitude, peut correspondre à la fréquence de résonance de vibration du fil, conduisant alors à sa vibration selon l’un de ses modes propres. Nous pensons d’autant plus à cette explication que la vibration du fil pour ces fréquences-là n’est pas très stable. Par contre, pour une fréquence comprise entre 290 et 360 Hz, le fil vibre de façon très stable en présentant 1 seul ventre de vibration (figure 17). Nous pensons que cette fréquence correspond à la fréquence fondamentale de la vibration du fil. Un moyen de le vérifier est de mesurer la fréquence du deuxième mode propre de vibration du fil. Nous avons trouvé une fréquence entre 460 et 480 Hz.

Figure 17 Mode propre N1 Mode propre N2

Image agrandie 2 fois horizontalement pour mieux voir les ventres du

deuxième mode

Plage de fréquence (en Hz) pour laquelle

on observe la vibration dans le mode 290 < F1 < 360 Hz 440 < F2 < 480 Hz

Comment se fait-il que la fréquence du mode N2 ne soit pas 2 fois la fréquence du mode N1 ? Nous avons pensé à trois possibilités :

Figure 16 : nouveau dispositif pour observer les modes propres de vibration du fil d’araignée, positionné verticalement, et à l’extrémité duquel se trouve un morceau de scotch suspendu dans l’air.

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Hypothèse 1 : Allongement du fil durant la vibration ? Nous nous sommes alors dit que le fil de soie d’araignée, de par son aptitude à s’allonger, pouvait avoir des caractéristiques géométriques qui pouvaient changer lors de la vibration. Par exemple, dans le mode de vibration N1, le gros ventre observé peut avoir allongé le fil. Le fil étant plus long, il vibrerait alors selon son mode N2 à une fréquence plus faible que 2xF1. En effet, selon la théorie, les fréquences 𝐹𝑛 des modes propres de vibration d’un fil fixé à ses deux extrémités répondent à la relation :

𝐹𝑛 =𝑛

2𝐿× √

𝑇

µ

Ou n est le numéro du mode propre, L la longueur du fil, T sa tension, et µ sa masse linéique. Mais si tel est le cas, on affirme alors qu’entre la vibration avec le mode N1 et la va vibration du mode N2, le fil s’est allongé de façon irréversible, et qu’il serait alors passé dans sa partie plastique (du diagramme contrainte déformation). Du coup, si on cherche à nouveau à le faire vibrer selon son mode N1, la fréquence F1 devrait avoir diminué par rapport à la première mesure. Or ce n’est pas le cas ! Donc, le fil ne s’allonge pas, en tout cas pas de façon conséquente pour expliquer un tel écart de fréquence pour le mode N2, entre la fréquence mesurée, et la fréquence réelle. Et en plus, si une modification de la longueur devait être la raison pour laquelle la fréquence F2 n’est pas égale à 2F1, il faudrait que le fil se soit allongé de 200% de sa longueur initiale L0, ce qu’on n’aurait pas pu ne pas voir ! Preuve : pour le mode 2, si on note F2 = 650 Hz la fréquence attendue du mode 2, et F’2 = 440 Hz celle mesurée, une élongation ΔL du fil doit conduire à cette différence ΔF2 = 210 Hz de fréquence telle que :

𝑣 = 𝐹2𝜆2 = 𝐹2𝐿0 = (𝐹2 + Δ𝐹2)(𝐿0 + ΔL) Donc Δ𝐿 = 𝐿0 (𝐹2

𝐹2+Δ𝐹2− 1) = 2𝐿0

L’écart entre la fréquence propre de vibration du mode N2 attendu et celle mesurée n’est donc pas dû à une élongation du fil. Hypothèse 2 : Frottements responsables de la diminution de la fréquence de résonance ? Nous avons pensé aussi que les frottements pouvaient être responsables du rapport entre les valeurs des fréquences de ces deux modes de vibration. En effet, nous avons pu lire que la présence de frottement pouvait diminuer la fréquence de résonance d’un système vibrant. Cette diminution de fréquence est d’autant plus grande que le facteur de qualité Q du système vibrant est faible. Si on note F la fréquence de résonance sans frottement, et F’ avec frottement, la fréquence de résonance avec frottement F’ doit alors être égale à

𝐹′ = 𝐹√1 − (1

2𝑄)2

Nous avons alors cherché à mesurer Q à l’aide de la vidéo : nous avons mesuré l’amplitude de la vibration en faisant des arrêts sur image, en fonction de la fréquence (que nous avons mesuré en faisant une analyse spectrale de la bande sonore de la vidéo). Dans les mesures ci-dessus, on voit la largeur maximale du fuseau dans le mode fondamental, en fonction de la fréquence de l’excitateur. D’où la courbe de résonance :

Amplitude de vibration au centre du fuseau

Fréquence de vibration

de la membrane (Hz) 206 272 283 287 310 335 345 353 359 366 378

On trouve un facteur de qualité Q = 4,7

Avec tous ces renseignements, nous obtenons :

𝐹′ = 𝐹√1 − (1

2𝑄)2

= 0,98 𝐹

Autrement dit, compte tenu de la précision de nos mesures, on peut dire que les frottements, même s’ils sont bien présents, ne sont pas assez forts pour diminuer la fréquence de résonance comme nous l’observons entre les deux modes de vibration du fil.

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Hypothèse 3 : Le fil d’araignée est un milieu dispersif ? Mais finalement, une autre explication possible pour expliquer l’écart entre la fréquence propre de vibration du mode N2 attendu et celle mesurée, c’est que le fil d’araignée peut être un milieu dispersif pour les ondes transversales qui s’y propagent dessus. La célérité des ondes dans le mode 1, pour une fréquence F1, serait alors :

𝑣1 = 𝜆1 × 𝐹1 = 2𝐿 × 𝐹1 Et la célérité dans le mode 2 serait :

𝑣2 = 𝜆2 × 𝐹2 = 𝐿 × 𝐹2 On aurait alors

𝑣1𝑣2= 2

𝐹1𝐹2

Et comme on mesure que 𝐹2 < 2𝐹1 , 𝑣1 > 𝑣2 . On aurait d’ailleurs, d’après nos mesures, 𝑣1 = 1,43𝑣2 Il s’agit alors de l’hypothèse la plus probable des trois formulées, puisque les deux précédentes ont été invalidées.

Remarque : grâce à l’expérience de vibration du fil d’araignée, nous sommes en mesure de déterminer 2 caractéristiques du fil de soie d’araignée :

- L’ordre de grandeur de sa masse linéique : µ =𝑇

(2𝐿𝐹1)2

Pour cela nous avons mesuré la masse accrochée à l’extrémité du fil de soie : m = 0,060g, ce qui permet de connaître la tension T du fil, puisque T = P = mg. Nous avons en outre mesuré sa longueur : 9,8 cm. Pour une fréquence moyenne F1 = 325 Hz, cela donne :

µ = 1,5.10-7 kg/m - Les vitesses auxquelles se propagent les ondes dans le fil lorsqu’il est ainsi tendu :

𝑣1 = 𝜆 × 𝐹 = 2𝐿 × 𝐹1 = 64 𝑚/𝑠

𝑣2 =𝑣11,43

= 45 𝑚/𝑠

La vitesse à laquelle se propagent les ondes transversales sur le fil d’araignée est donc immense ! On peut alors prévoir que l’araignée sera informée dans un temps extrêmement bref de ce qui se trame sur sa toile…

Fin de la remarque

Nous avons voulu comparer la vibration du fil d’araignée à celle d’une fibre de kevlar (figure

18), mais nous n’avons trouvé que le premier mode de vibration. Nous avons modifié des

paramètres : tension et longueur de la fibre de kevlar pour trouver le deuxième mode, sans

succès.

Nous avons tout de même exploité notre expérience pour en déduire des caractéristiques du kevlar : Le mode N1 de vibration du kevlar est ici obtenu pour une fréquence égale à 234 Hz, pour un fil de longueur 14,4 cm, et une masse accrochée à son extrémité égale à 0,030 g.

Figure 18 : mode propre de vibration N1 du kevlar

Avec de telles valeurs, la fibre de kevlar a une masse linéique égale à : µ = 6,5.10-8 kg/m Mais cette valeur n’a pas vraiment d’intérêt (si ce n’est que pouvoir comparer les caractéristiques mécaniques avec le fil d’araignée) puisque les fibres de Kevlar ne sont pas utilisées seules : on en tresse un très grand nombre ensemble. Pour répondre à la question posée en introduction de cette partie, nous ne pensons finalement pas que l’araignée soit capable de détecter la vibration d’un fil en particulier. Car alors que la théorie prévoit qu’une corde vibre à des fréquences précises, qui dépendent en particulier de la longueur de la corde, ici, la résonance se fait sur une trop grande gamme de fréquence pour que l’araignée puisse attribuer une fréquence à un fil de longueur donnée.

13

Même si nous imaginons encore des expériences très intéressantes à réaliser avec ces fils, faisant intervenir leur vibration, nous allons passer à une autre partie, dans laquelle les notions abordées dans les parties précédentes seront très utiles. Nous allons maintenant nous intéresser à la toile d’araignée. Il s’agit d’un édifice qui lui aussi est capable de vibrer. Et justement, en parlant de cela, que capte l’araignée au juste ? La vibration d’un fil, ou celle de la toile dans sa globalité ? Ou encore, vu sous un autre angle, la vibration de la toile est-elle voulue, et si oui, est-ce pour des questions de robustesse ou pour des questions de détection de proies ? Sans savoir si nous pourrons aller jusqu’à répondre à ces questions, nous avons essayé d’avancer sur ce terrain.

III – La toile d’araignée

La toile (figure 19) est composée de fils qui partent du centre et qui vont supporter la toile, auxquels sont accrochés les fils qui vont capturer la proie. On peut affirmer cela car lorsqu’on observe une araignée sur une toile, les fils en étoile ne sont pas détruits, ni utilisés par l’araignée, contrairement aux fils en spirale. Nous nous posons en fait 2 questions à propos de la toile. Tout d’abord, même si elle est d’apparence fragile, la toile semble pouvoir soutenir une masse bien plus grande que sa masse elle-même. Ensuite, la toile, dans sa globalité, est élastique. C’est ce qu’on constate lorsqu’on la secoue : elle vibre, et ce qui est intéressant de constater, c’est que suite à une secousse, le nombre d’oscillations qu’elle va faire est assez conséquent. Il est en tous cas plus grand que le nombre d’oscillations d’un seul des fils. Est-ce que le caractère élastique de la toile est nécessaire, soit pour des raison de solidité, ou bien est ce que la fréquence des oscillations de la toile apporte des informations capitales à l’araignée ? Ces deux questions nécessitent finalement de connaître la fréquence de vibration d’une toile d’araignée. Et comme nous ne possédons pas de toile de l’araignée dont nous étudions les fils, nous avons cherché une méthode, plutôt basée sur la modélisation pour la déterminer.

1) Essai d’une modélisation expérimentale Comme nous l’expliquions en préambule de cette partie, nous faisons l’hypothèse que la solidité et l’élasticité de la toile est gérée par les fils en étoile. Chacun de ces fils a un module d’Young que nous avons mesuré. Il serait alors pratique de trouver une relation permettant de déduire le module d’Young de la toile à partir du module d’Young d’un fil. Notre idée a alors été de modéliser les fils par des ressorts (figure 20). Chaque ressort a une élasticité qui se traduit par sa constante de raideur k. Si on assemble les ressorts en étoile, nous obtenons une structure qui aura une constante de raideur K, forcément reliée aux constantes de raideur de chacun des ressorts. Mais encore faut-il trouver cette relation. D’autre part, pour que cette démarche aboutisse au calcul du module d’Young de la toile, nous devons compter sur l’existence d’une relation entre la constante de raideur et le module d’Young. Cette relation doit bien exister car au fond, ces deux grandeurs traduisent la même chose : une relation entre la contrainte et la déformation. Nous avons alors trouvé cette relation sur internet :

𝑘 =𝑆𝐸

𝐿

L’existence de cette relation nous pousse à réussir à trouver une relation entre k et K, car nous pourrons alors en déduire le module d’Young de la toile. Pour faire cela, voici ce que nous avons fait :

Figure 19 : fil en étoile, et

fil en spirale dans une toile

géométrique

- S est l'aire de la section de la barre ou de la poutre (dans notre cas, du fil), - E est le module d'élasticité en traction-compression (ou module de Young), - L est la longueur de la barre ou de la poutre (ou du fil dans notre cas).

Figure 20 : modélisation des fils en étoile de l’araignée avec des ressorts

14

Notre idée a été d’accrocher 2 ressorts entre eux, puis 3, 4, 5 puis 6 ressorts entre eux, et de voir comment la structure ainsi formée vibrait. La mesure de la fréquence de vibration de la structure permettrait alors de remonter à la valeur

de K, la constante de raideur du ressort équivalent, (grâce à la relation 𝐹 =1

2𝜋√𝐾

𝑚⇒ 𝐾 = 4𝜋²𝐹²𝑚 ) en fonction du

nombre de ressort utilisés pour faire la toile. Pour exploiter les mesures, nous avons ensuite calculé le rapport entre K et k pour chaque nombre de ressorts accrochés entre eux, et essayé de voir si une loi découle de cela. Nous avons alors accroché une masse au centre de la structure d’élastiques, puis nous avons fait vibrer cette structure tout en filmant la scène, pour mesurer la fréquence des oscillations.

Voici alors, figure 21, les résultats obtenus sur ce graphique, dans lequel on a représenté la constante de raideur équivalente des différents pièges réalisés, en fonction du nombre de ressort utilisés. Mais finalement, nos résultats n’ont rien donné d’exploitable. Ou

disons plutôt que les exploitations que nous avons voulues en faire ne

nous ont pas permis d’aboutir à un module d’Young de la toile.

Figure 21 : évolution de la constante de raideur équivalente K de la toile modélisée, en fonction du nombre de ressorts n utilisés pour la modélisation.

Que faire ?

2) Modélisation analytique

Nous avons eu la chance de pouvoir discuter de notre projet à un ancien élève du lycée, Elie Merlière actuellement à l’ENSAM à Bordeaux, ce qui nous a permis de reconsidérer le problème de façon analytique. Gardons notre modèle de ressort. Pour pouvoir dire ce qui fait la solidité du piège, nous devons comparer la solidité du fil de soie par rapport à la solidité de la toile. Et une façon de faire cela, c’est de comparer la force à exercer pour déformer un fil par rapport à la force qu’il faut exercer pour déformer la toile d’une même quantité. Pour déterminer la force à exercer sur la toile pour la déformer, on modélise la situation par 6 ressorts, comme présenté sur la figure 20. Imaginons alors que nous exerçons une force au centre de la structure. Si on représente la situation avec 2 ressorts uniquement, voilà ce que cela donne : figure 22

Figure 22 : lorsqu’on exerce une force �⃗� au centre de la toile modélisée par des ressorts, le centre se déplace d’une quantité x. On a alors représenté ci-dessus uniquement 2 des 6 ressorts dans le cas de la toile déformée. Chacun des 6 ressorts s’est incliné d’un angle α par rapport la direction initiale de son axe. D’un point de vue mécanique, le système étant en équilibre, toutes les composantes horizontales des forces vont se compenser, et la résultante des forces dans un plan horizontal sera nulle. Par contre, selon la direction verticale, on aura, via l’application de la première loi de Newton, pour 6 ressorts :

𝐹 = 6𝐹1 × 𝑠𝑖𝑛𝛼

Or 𝐹1 est la force de rappel du ressort, de valeur 𝐹1 = 𝑘|𝐿 − 𝐿0|

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8

K

α

�⃗�

𝐹1ሬሬሬ⃗

𝐹2ሬሬሬሬ⃗

L0

x

n

15

k est la constante de raideur du ressort qui modélise un des fils de l’étoile de la toile d’araignée. L0 est la longueur à vide du ressort (la longueur du fil), et L la longueur du ressort étiré (longueur du fil étiré)

Or 𝐿2 = 𝐿02 + 𝑥2 ⇔ 𝐿 = (𝐿0

2 + 𝑥2)12⁄ = 𝐿0 (1 + (

𝑥

𝐿0)2

)

12⁄

Et comme il faut avoir en tête que dans la réalité, la toile ne se déforme que sur une très faible distance x comparée à la longueur L0 des fils, cela s’approxime par :

⇔ 𝐿 = 𝐿0 (1 +𝑥

2𝐿0)

Ainsi,

𝐹1 = 𝑘|𝐿 − 𝐿0| = 𝑘𝑥

2

et

𝐹 = 6𝑘𝑥

2× 𝑠𝑖𝑛𝛼

Comme l’angle 𝛼 est très faible, on peut écrire sin𝛼 = 𝛼 = tan𝛼 = 𝑥

𝐿0, donc 𝐹 = 6𝑘

𝑥²

2𝐿0

Nous nous souvenons qu’il existe une relation entre k et E (en bas de la page 17). C’est donc ici que l’on fait le lien entre le modèle et la toile d’araignée :

𝑘 =𝑆𝐸

𝐿0

Ce qui donne finalement :

𝐹 = 6𝑆𝐸𝑥²

2𝐿02

Remarque : Cette relation nous permet de revenir sur la première méthode expérimentale que nous comptions suivre pour modéliser la toile… Elle ne pouvait pas donner de résultats, car on cherchait un module d’Young de la toile. Or on remarque avec la relation établie ci-dessus, que la force de contrainte n’est pas proportionnelle à la déformation, mais plutôt à la déformation au carré. Autrement dit, on ne peut pas définir de module d’Young. Donc, pour résumer cette partie analytique, nous allons exploiter 2 relations :

• Une relation qui fait le lien entre la force de traction exercée sur un fil et l’élongation ∆𝐿 de ce fil : 𝐹

𝑆= 𝐸

∆𝐿

𝐿0

• Une relation qui fait le lien entre la force exercée au centre de la toile et la déformation x de la toile :

𝐹 = 6𝑆𝐸𝑥²

2𝐿02

➢ Prenons la première relation et voyons la force maximale que l’on peut exercer pour rester dans le mode élastique

du fil : d’après la figure 14, on aurait alors ∆𝐿

𝐿0= 0,05, donc 𝐹 = 𝑆𝐸

∆𝐿

𝐿0 avec 𝑆 =

𝑆0

1+Δ𝐿

𝐿0

, ce qui donne 𝑭 = 𝟒. 𝟏𝟎−𝟑 𝑵

➢ Avec une telle force appliquée au centre de la toile, quelle sera la déformation x de la toile ?

𝐹 = 6𝑆𝐸𝑥²

2𝐿02 ⇔ 𝑥 = √

2𝐿02𝐹

6𝑆𝐸= √

2.0,22. 0,004

6.𝜋 (5.10−6)2. 5. 109

= 𝒙 = 𝟏.𝟐.𝟏𝟎−𝟐𝒎

Ce qui provoque alors une élongation des fils d’une valeur de : 𝐿 − 𝐿0 = √𝐿02 + 𝑥2 − 𝐿0 = 𝚫𝑳 = 𝟑, 𝟒. 𝟏𝟎

−𝟒 𝒎

On est donc très loin du régime plastique, et on peut dire que la toile garde alors une élasticité assurée par les fils en

étoile.

16

➢ On peut s’amuser à calculer la force maximale que l’on peut exercer sur la toile d’araignée avec une étoile à 6 branches, pour que les fils en étoile restent dans le mode élastique :

𝐹 = 6𝑆𝐸𝑥²

2𝐿02 avec 𝑆 =

𝑆0

1+Δ𝐿

𝐿0

et 𝑥 = √𝐿02 [(1 +

Δ𝐿

𝐿0)2− 1], ce qui donne une force 𝑭 = 𝟏, 𝟐. 𝟏𝟎−𝟏𝑵

Cela reviendrait à poser une masse de 12 g au centre d’une toile disposée dans un plan horizontal, ce qui est considérable ! Au-delà de cette masse, la toile ne se cassera pas, mais perdra son élasticité. Ces calculs montrent clairement que c’est la structure de l’étoile qui permet à l’araignée de disposer d’un édifice capable de résister à de fortes contraintes, et non le fil lui-même. Soulignons tout de même qu’ici, nous avons modélisé de façon très simple la toile d’araignée, sans se soucier des fils en spirale. Nous avons voulu savoir si le fait de ne pas les prendre en compte était effectivement pertinent.

3 ) Conséquence des fils latéraux sur les propriétés mécaniques de la toile

Nous avons eu la chance de présenter notre projet à Monsieur Pacaud, maître de conférences (UFR Sciences fondamentales et appliquées /SFA-Laboratoire Pprime) qui, dans le cadre de ses recherches, travaille sur l’élasticité des films plastiques. Suite à cette rencontre, nous avons tenté d’en savoir davantage sur l’influence que peuvent avoir les fils en spirale dans la toile d’araignée. Pour cela, nous avons commencé par modéliser les toiles avec des films plastiques étirables. Nous avons alors réalisé 3 toiles : Une ne comportant que des fils radiaux, une autre comportant des fils radiaux et des fils latéraux, et pour finir, une toile composée uniquement d’un film plastique rempli (figure 23). Nous avons alors tiré la toile au centre, avec une certaine force, et nous avons mesuré la déformation produite en fonction de la force exercée. Nous avons alors recherché dans nos résultats, la force qu’il fallait exercer au centre de chacune de celles-ci pour que leur centre se déplace de la même quantité. Voici alors par exemple les forces en question pour obtenir un déplacement du centre de la toile de 4,9 cm :

Type de toile Toile composée que de fils

radiaux Toile composée de fils

radiaux et latéraux Toile pleine

Aspect

Ecart au centre 4,9 cm 4,9 cm 4,9 cm

Force exercée 2,5 N 2,5 N 9 N

Figure 23 : Modélisation de toiles sans bandes latérales, avec bandes latérales, et toile pleine- Les images ne sont pas à l’échelle.

Les résultats tendent à montrer que les fils latéraux n’empêchent pas la toile de se déformer, puisqu’une même force appliquée au centre de la toile provoque le même écartement de la toile. Ce résultat n’est finalement pas étonnant. En effet, même si en tirant au centre de la toile, chaque triangle isocèle formé par deux bandes radiales voisines de plastique a un angle au sommet qui devient de plus en plus faible (figure 24), les positions relatives des bandes latérales par rapport aux bandes radiales est telle que les longueurs des bandes latérales ne sont pas modifiées. De ce fait, les bandes de plastique latérales n’empêchent donc pas, et ne contribuent pas à la déformation de la toile.

Figure 24 – Longueur des bandes latérales inchangée lorsqu’on tire la toile au centre

17

En ce qui concerne la toile pleine, les choses ne doivent pas se passer de la même manière, car en tirant au centre de la toile, il est probable que l’extension du film plastique dans la direction de la contrainte exercée, provoque une déformation du film dans une direction perpendiculaire à celui-ci. On peut penser que l’extension dans la direction radiale provoque en particulier un rétrécissement dans la direction latérale, ce qui expliquerait la courbure de la surface plastique du cône que la toile a tendance à former. Mais chose étonnante, on observe aussi une courbure du cône dans le cas de la toile comportant les bandes latérales, même si cette courbure est bien moins importante que celle obtenue avec la toile pleine. L’extension des bandes radiales engendrerait-elle alors des contraintes sur les fils latéraux ? C’est ce que nous avons voulu savoir, en travaillant en particulier en lumière polarisée (figure 25).

Figure 25 – Observation de la toile au niveau de 2 jonctions entre bande radiale et bande latérale. a ) et c) toile au repos – b) et

d), toile appuyée au centre.

L’expérience montre alors qu’au niveau des jonctions entre les bandes radiales et les bandes latérales, des contraintes mécaniques complexes s’établissent, ce qui n’est finalement pas si anormal que cela. En effet, en tirant sur la toile, on allonge les bandes radiales en tout point, y compris au niveau des jonctions entre les bandes radiales et latérales. Les bandes latérales doivent alors subir à leur tour une contrainte qui tend à les élargir. Nous ne savons pas exactement ce qui se passe au niveau de ces jonctions, Mais nous pensons que même si les bandes latérales n’apportent pas plus de solidité à la toile, elles ont tout de même une influence sur la mécanique de la toile, et sont à l’origine de la légère courbure de la toile observée. Nous avons tenu à savoir si le fait de travailler avec des bandes de plastique au lieu de fils fins pouvait avoir une conséquence sur nos conclusions. Nous avons alors pour cela réalisé des toiles d’araignées imprimées à l’aide d’une imprimante 3D et d’un fil plastique très élastique (capable d’être étiré à 700% de sa longueur). Il nous a fallu préalablement réaliser la toile sur SolidWorks (figure 26) (ce qui a pris un temps non négligeable), pour ensuite envoyer le fichier dans l’imprimante 3D.

Figure 26 : Image d’une toile d’araignée réalisée avec

SolidWorks pour envoyer vers l’imprimante 3D

Nous avons alors tiré au centre de la toile, à l’aide d’un dynamomètre pour contrôler la force de traction exercée (figure 27), et nous n’avons observé aucune courbure des fils radiaux. Tout en laissant ainsi tendue la toile, nous avons coupé les fils latéraux, et cela n’a absolument rien changé en ce qui concerne la déformation de la toile. Figure 27 – Toile imprimée 3D tirée au centre

a ) b ) c ) d )

18

Cela dit, peut-être que le fait d’avoir fait une toile d’araignée avec des fils latéraux formant des polygones réguliers au lieu de fils formant davantage une spirale, comme c’est le cas dans les vraies toiles d’araignées, ne permet pas d’arriver aux bonnes conclusions. En effet, si le fil latéral n’est pas parallèle à la base du triangle formé par les fils radiaux (figure 28), une construction géométrique montre que dans ce cas, en tirant sur la toile, l’allongement des 2 fils radiaux provoque une variation de la longueur du fil latéral.

Pour faire une toile avec des fils latéraux sous forme de segments en spirale, nous avons cette fois-ci utilisé un stylo 3D (figure 29). Nous avons alors tiré au centre de la toile pour voir l’influence des fils latéraux sur l’allure de la toile étirée (figure 30).

Figure 29 – Toile en spirale réalisée au stylo3D Figure 30 – Toile en spirale tirée en son centre

Nous n’avons observé aucune différence avec l’allure de la toile imprimée régulière. En particulier, les fils radiaux sont bien linéaires et non courbés. Les fils latéraux n’intervenant donc pas, ils ne semblent donc pas jouer un rôle quant à la solidité de la toile. Cela dit, là encore, dans le cas de la toile réalisée avec le stylo 3D, on s’aperçoit qu’au niveau des jonctions entre les fils latéraux et radiaux, il y a des contraintes particulières, qui provoquent une déformation permanente de la toile lorsqu’on cesse de l’étirer (figure 31).

En fait, l’expérience montre qu’au niveau des

jonctions en question, le fil est passé dans son

domaine plastique, car globalement, telle que la

toile a été étirée, la longueur des fils radiaux n’était

pas assez grande pour sortir du régime élastique

(nous avons mesuré le module d’Young du fil utilisé

pour nous en assurer).

Figure 31 : déformation permanente de la toile qui est

donc passée dans son domaine plastique au niveau des

jonction entre fils radiaux et latéraux.

Pour finir cette étude sur l’importance des fils radiaux au niveau de la solidité de la toile, nous sommes sortis du cas particulier avec lequel nous avons travaillé jusqu’à présent. En effet, nous avons toujours étiré la toile en son centre, simulant l’impact d’un insecte se jetant délibérément au centre de la cible. Mais statistiquement, il est plus probable que l’insecte percute la toile partout ailleurs qu’au centre.

Figure 28 – variation de la longueur du fil latéral en tirant la toile au centre

19

Cas d’une contrainte exercée ailleurs qu’au centre de la toile.

Si un insecte percute le centre de la toile, on comprend bien que seuls les fils radiaux assurent le maintien de la toile. Mais partant du principe que l’insecte ne vise pas le centre de la toile, il a statistiquement plus de chance de la percuter partout ailleurs qu’au centre. Nous avons alors visualisé l’allure qu’aurait la toile percutée en un point quelconque (figure 32). Nous constatons que cette fois-ci, la déformation de la toile est limitée en partie par les fils latéraux car ils sont alors très tendus, et empêchent les fils radiaux proches de l’impact de s’étirer plus que cela.

Figure 32 – Toile imprimée tirée en un point quelconque

Conséquence : cas d’une force répartie sur l’ensemble de la toile :

Pour finir cette discussion, nous pouvons aussi parler du fait que la déformation de la toile peut être due à l’impact d’un insecte, mais aussi aux bourrasques de vent. La différence est que, alors que l’impact est localisé, la bourrasque se répartit sur toute la surface de la toile. Comme alors chaque point de la toile subit une force de pression, tous les fils radiaux et latéraux vont participer à la solidité de la toile et vont sans doute faire en sorte que la déformation de la toile reste dans un domaine élastique et non plastique. En discutant de cela avec Jérôme Pacaud, il s’est donc avéré que puisque les contraintes mécaniques au sein de la toile se font alors selon deux directions différentes (la direction radiale et latérale) à chaque jonction entre les fils, l’élasticité de la toile n’est plus décrite par un module d’Young, mais par son bimodule d’Young, car le système subit des contraintes biaxiales. Nous avons alors voulu déterminer le bimodule d’Young de la toile imprimée, avant de le faire sur une vraie toile d’araignée que nous avons soigneusement dérobée à son orfèvre (nous nous en excusons auprès d’elle). Comment mesurer un bimodule d’Young ? En toute rigueur, le bimodule d’Young d’un film plastique se détermine de la façon suivante (figure 33) :

¨Figure 33 – expérience permettant de déterminer le bimodule d’Young d’un film plastique

Le film est tendu et fixé sur une boîte percée d’un trou circulaire. Du gaz est injecté dans la boîte, exerçant une force de pression sur l’ensemble de la surface du film. La mesure de la déformation du film en fonction de la pression permet alors la mesure du bimodule d’Young, selon une démarche similaire à celle du module d’Young réalisée dans première partie de notre mémoire. La différence est qu’ici, le film se déforme selon 2 axes. La relation utilisée pour déterminer le module d’Young prend alors la même allure :

Injection de gaz Pression P

20

𝑃 = 𝐸𝐵∆𝐿

𝐿0

Où 𝐸𝐵 est le bimodule d’Young du film plastique, et ∆𝐿

𝐿0 est l’allongement relatif du film selon une direction

donnée. La difficulté en ce qui nous concerne consiste alors à déformer la toile au niveau de chacune des jonctions, avec une force uniformément répartie, pour pouvoir ensuite faire des mesures de déformation. Nous en sommes là, en espérant trouver la solution. Nous aurons les moyens en plus de vérifier que la méthode que nous cherchons à mettre en place sera valable ou pas, car suite aux échanges que nous avons eu avec Jérôme Pacaud, il s’avère que le bimodule d’Young et le module d’un film plastique sont reliés de la façon suivante :

𝐸𝐵 = 𝐸𝑌1

1 − 𝜈

Où 𝜈 est le coefficient de poisson du plastique, et 𝐸𝑌 son module d’Young et 𝐸𝐵 le bimodule d’Young. Si nous réussissons à faire ce travail sur la toile imprimée, nous pourrons alors appliquer notre démarche sur la toile naturelle que nous avons réussi à prélever de notre jardin.

Conclusion :

Ce projet est passionnant ! Il nous a donné l’impression de jouer avec des fils presque invisibles dont il a fallu percer

les mystères. Outre les questions de vibration et de solidité que nous nous posions, nous avons été amenés à

découvrir d’autres caractéristiques des fils dont nous vous avons fait part dans ce mémoire, tels que l’indice de

réfraction du fil, sa masse linéique, la vitesse de propagation des ondes. Cela paraissait tellement extraordinaire de

pouvoir accéder à ces données que nous les avons ainsi partagées. Et nous ne pensions pas que les mesures réalisées

tout au long de notre projet nous serviraient par la suite, par exemple lorsque nous avons étudié la solidité de la

toile.

Nous tenons à préciser qu’il n’a pas été facile de manipuler les fils d’araignées, et les fibres de kevlar. Il n’était même

pas évident parfois de savoir si le fil que l’on voulait utiliser était encore entre nos doigts. Le fait que ces objets ait

une dimension si faible n’est sûrement pas sans conséquence sur la précision de nos mesures. Nous pensons

d’ailleurs qu’il s’agit davantage d’ordres de grandeurs. Par ailleurs, il semble qu’à l’échelle de fils aussi fins, les

systèmes étudiés ont des interactions avec le milieu extérieur qui conduisent à des comportements différents de

ceux qui ont des dimensions plus humaines. Les fils subissent la gravité, mais peuvent facilement flotter dans l’air.

Quand on approche le fil d’un autre objet, il est attiré ou repoussé, cela dépend de l’objet en question. On n’observe

pas cela avec un fil à coudre alors qu’on l’observe aussi bien avec le fil d’araignée qu’avec la fibre de kevlar. Cela

donne envie de poursuivre en essayant de connaître encore davantage toutes les propriétés d’un fils d’araignée, et

pas seulement mécaniques.

Nous remercions les araignées qui ont bien voulu nous céder leurs fils, le vivarium du Moulin, Elie Merlière, Jérôme

Pacaud, les Olympiades de Physique, ainsi que M. Meyer pour avoir joué à voir l’invisible avec nous, et pour nous

avoir permis de poursuivre ce projet au lycée même pendant les vacances.

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Annexe - Programme pour le moteur

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