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Lycée Naval, Spé 2.
Révisions physique ; table des matières
Avertissement : le temps disponible pour les révisions en classe ne permet pasune étude exhaustive du programme de chimie des deux années.
1. Air 2005. Détection par boucle inductive.Thématiques : ondes (ondes électromagnétiques), électromagnétisme (induc-tion), électricité (filtres, oscillateurs, traitement signal)
2. Mines, MP, 2007. Satellites de communication (extrait).Thématiques : mécanique (mouvement à forces centrales)
3. CS, TSI, 2017. Lunette astronomique (énoncé adapté).Thématiques : mécanique (troisième loi de Kepler), optique (lentilles, ins-truments d’optique, diffraction), phénomènes de transport (diffusion ther-mique)
4. CS, TSI, 2017. Couche anti-reflet (énoncé adapté).Thématiques : ondes (ondes électromagnétiques)
5. CS, TSI, 2016. Pompe à chaleur (énoncé complet).Thématiques : thermodynamique (machines thermiques), bilans, phéno-mènes de transport (diffusion thermique), conversion de puissance (conver-sion électromagnétique).
6. CS, PSI, 2015. Moteur à courant continu (extrait).Thématiques : conversion de puissance (conversion électromagnétique)
7. CCP, PC, 2014. Diffusion thermique.Thématiques : phénomènes de transport (diffusion thermique)
8. CS, PSI, 2012. Bolide traversant l’atmosphère (extrait).Thématiques : ondes (ondes acoustiques), bilans
9. Effet Magnus.Thématiques : phénomènes de transport (écoulement des fluides)
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Sujet 01. Détection boucle inductive (Air 2005)
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Circulation routiere :detection, trafic, pneumatique
Ce probleme est organise en trois parties totalement independantes. Le candidat prendra soin de nenegliger ni les arguments physiques qualitatifs, ni les applications numeriques. Il est imperatif de preciserpour chaque reponse le numero de la question correspondante.
I. DETECTION DE VEHICULE PAR BOUCLE INDUCTIVEEn milieu urbain, la detection des vehicules par boucle inductive s’est fortement developpee afin d’amelio-rer la gestion des feux de signalisation sur certains carrefours strategiques. On utilise egalement cescapteurs pour etudier la frequentation d’une route, cette detection etant parfois capable de discernerdifferents types de vehicules (poids lourds, voitures, et plus rarement les deux roues).
Le capteur est une boucle conductrice implantee dans la chaussee, formee de spires rectangulaires dont lataille est de l’ordre du metre. Cette boucle fait partie d’un circuit electronique oscillant dont la frequenceest fonction de son inductance. En presence d’un vehicule, l’environnement electromagnetique de laboucle est perturbe a cause des courants de Foucault induits dans les parties metalliques du vehicule.L’inductance du circuit est alors modifiee et la detection de la variation de frequence des oscillationspermet d’en deduire la presence du vehicule.
Dans cette partie, nous etudierons quelques proprietes relatives a l’induction, puis nous verrons un circuitelectronique de principe illustrant cette detection.
I.A. Courants de Foucault, effet de peau
On cherche a decrire les courants de Foucault induits dans une masse metallique en aluminium depermeabilite magnetique µ0 = 4π.10−7 H.m−1 egale a celle du vide et de conductivite γ = 4.107 S.m−1.On donne la permittivite dielectrique du vide ε0 = 8,85.10−12 F.m−1.
1) Evaluer simplement l’ordre de grandeur du rapport entre les courants de deplacement et lescourants de conduction dans l’aluminium pour la frequence f = 50 kHz utilisee dans le systeme dedetection des vehicules.
2) Ecrire les quatre equations de Maxwell dans l’approximation des regimes quasi-stationnaires et
la loi d’Ohm locale du metal. En deduire une equation locale verifiee par le champ magnetique ~B al’aide de la relation d’analyse vectorielle :
−→rot(
−→rot ~A) =
−−→grad(div ~A) − ∆ ~A
3) Qu’est-ce que l’effet de peau? Par analyse dimensionnelle, determiner l’ordre de grandeur del’epaisseur caracteristique de cet effet en fonction de µ0, γ, f . Effectuer l’application numerique.
4) On souhaite a present decrire precisement l’effet de peau dans une geometrie particuliere. Onintroduit une base orthonormee directe (~ex, ~ey, ~ez) et on suppose que le milieu metallique occupele demi-espace z > 0. A l’exterieur du metal, il regne un champ magnetique uniforme et fonctionsinusoıdale du temps, de pulsation ω = 2πf , d’amplitude B0, colineaire a ~ex. page 3/11
En notation complexe, on cherche a decrire le champ magnetique dans le metal sous la forme :
~B(M) = B0ej(ωt−k z)~ex
Determiner la constante complexe k en fonction de δ =√
2/(µ0ωγ).
5) Determiner, en notation reelle, la densite de courant ~ et la densite de charge ρ.
6) Exprimer la puissance moyenne dissipee par effet Joule par unite de surface du conducteur enfonction de B0, γ, ω, µ0.
I.B. Coefficients d’inductance
Le capteur est un dipole AB forme d’une boucle de courant d’intensite variable i1(t) et d’inductancepropre L1. Lorsqu’un vehicule se trouve a proximite de la boucle, des courants de Foucault sont induitsdans la masse metallique. On modelise ce phenomene par un deuxieme circuit d’inductance propre L2,parcouru par un courant d’intensite i2(t). On note M le coefficient d’inductance mutuelle et on negligerala resistance des circuits.
i i
L L
M1 2
1 2
A
B
u
boucle inductive véhicule
7) Montrer qu’en presence du circuit (2), le dipole AB est equivalent a une inductance propre L(q)de la forme :
L(q) = L1(1 − q)
On exprimera q en fonction du coefficient de couplage M/√L1L2.
I.C. Oscillateur electrique
On considere le montage suivant utilisant un potentiometre de resistance totale R′ et de coefficient0 ≤ x ≤ 1, une resistance R, la boucle detectrice d’inductance L(q), deux condensateurs de capacite Ca,Cb, et un amplificateur operationnel considere comme ideal fonctionnant en regime lineaire.
K
CL(q)
(1-x)R'
R
a
b
Cu
vwxR'
8) Lorsque l’interrupteur K est ouvert, calculer en regime sinusoıdal de pulsation ω la fonction detransfert H(jω) = W/U . On l’ecrira sous la forme :
H(jω) =H0
1 + jQ(ωΩ − Ω
ω )
On exprimera les constantes H0, Q, Ω en fonction de x, R, Ca, Cb, L(q).
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En notation complexe, on cherche a decrire le champ magnetique dans le metal sous la forme :
~B(M) = B0ej(ωt−k z)~ex
Determiner la constante complexe k en fonction de δ =√
2/(µ0ωγ).
5) Determiner, en notation reelle, la densite de courant ~ et la densite de charge ρ.
6) Exprimer la puissance moyenne dissipee par effet Joule par unite de surface du conducteur enfonction de B0, γ, ω, µ0.
I.B. Coefficients d’inductance
Le capteur est un dipole AB forme d’une boucle de courant d’intensite variable i1(t) et d’inductancepropre L1. Lorsqu’un vehicule se trouve a proximite de la boucle, des courants de Foucault sont induitsdans la masse metallique. On modelise ce phenomene par un deuxieme circuit d’inductance propre L2,parcouru par un courant d’intensite i2(t). On note M le coefficient d’inductance mutuelle et on negligerala resistance des circuits.
i i
L L
M1 2
1 2
A
B
u
boucle inductive véhicule
7) Montrer qu’en presence du circuit (2), le dipole AB est equivalent a une inductance propre L(q)de la forme :
L(q) = L1(1 − q)
On exprimera q en fonction du coefficient de couplage M/√L1L2.
I.C. Oscillateur electrique
On considere le montage suivant utilisant un potentiometre de resistance totale R′ et de coefficient0 ≤ x ≤ 1, une resistance R, la boucle detectrice d’inductance L(q), deux condensateurs de capacite Ca,Cb, et un amplificateur operationnel considere comme ideal fonctionnant en regime lineaire.
K
CL(q)
(1-x)R'
R
a
b
Cu
vwxR'
8) Lorsque l’interrupteur K est ouvert, calculer en regime sinusoıdal de pulsation ω la fonction detransfert H(jω) = W/U . On l’ecrira sous la forme :
H(jω) =H0
1 + jQ(ωΩ − Ω
ω )
On exprimera les constantes H0, Q, Ω en fonction de x, R, Ca, Cb, L(q).
1
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9) En deduire l’equation differentielle reliant u(t) et w(t) sous la forme :
d2w
dt2+ a
dw
dt+ bw = c
du
dtOn exprimera les coefficients a, b, c en fonction de Ω, H0, Q.
10) On ferme l’interrupteur K afin de boucler le systeme. Montrer que le circuit peut etre le sieged’une tension w sinusoıdale pour une valeur particuliere x0 de x que l’on exprimera en fonction deCa, Cb. Le coefficient q de l’expression L(q) = L1(1 − q) etant en pratique tres inferieur a l’unite,montrer que la pulsation des oscillations est au premier ordre par rapport a q de la forme :
ω(q) = ω0(1 +q
2)
On exprimera ω0 en fonction de L1, Ca, Cb.
11) En pratique, il est impossible de realiser exactement la condition x = x0. Observe-t-on l’appa-rition des oscillations pour x legerement superieur ou legerement inferieur a x0?
12) Quel phenomene determine l’amplitude des oscillations?
I.D. Detection electronique de la variation de frequence
L’oscillateur precedent genere la tension w d’amplitude E0 et de pulsation ω(q) qu’on applique entre lamasse et le point D du montage suivant :
1
1
RR
C
C
1R
1C
RC
ws
RD
EF
F'
G
G'
H
V0
-V0
2
2
3
yr
(1-y)r
2
2
Les quatre amplificateurs operationnels fonctionnent en regime lineaire et sont consideres comme ideaux.Le montage utilise egalement un ensemble de condensateurs de capacites C1, C2, un ensemble de resis-tances notees R1, R2, R3, un potentiometre de resistance totale r et de coefficient 0 ≤ y ≤ 1. Unealimentation continue symetrique delivre les potentiels ±V0. Les deux diodes, disposees en sens inverses,sont supposees ideales dans un premier temps.
13) Quelle est l’utilite du montage a amplificateur operationnel place entre les points D et E?
14) On pose ω1 = 1/(R1C1). Exprimer l’amplitude EF du potentiel sinusoıdal VF en fonction deω1, ω(q), E0.
15) Exprimer de meme l’amplitude EF ′ du potentiel sinusoıdal V ′F .
16) Quelle condition doit remplir le produit R2C2 pour qu’on puisse obtenir le potentiel constantVG = EF ? On supposera cette condition satisfaite par la suite.
17) Determiner le potentiel VG′ .
18) Determiner la tension de sortie s = VH en fonction de E0, ω1, ω(q) = ω0(1 + q2 ), R2, R3, r, y,
V0. Simplifier cette expression au premier ordre par rapport a q.
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9) En deduire l’equation differentielle reliant u(t) et w(t) sous la forme :
d2w
dt2+ a
dw
dt+ bw = c
du
dtOn exprimera les coefficients a, b, c en fonction de Ω, H0, Q.
10) On ferme l’interrupteur K afin de boucler le systeme. Montrer que le circuit peut etre le sieged’une tension w sinusoıdale pour une valeur particuliere x0 de x que l’on exprimera en fonction deCa, Cb. Le coefficient q de l’expression L(q) = L1(1 − q) etant en pratique tres inferieur a l’unite,montrer que la pulsation des oscillations est au premier ordre par rapport a q de la forme :
ω(q) = ω0(1 +q
2)
On exprimera ω0 en fonction de L1, Ca, Cb.
11) En pratique, il est impossible de realiser exactement la condition x = x0. Observe-t-on l’appa-rition des oscillations pour x legerement superieur ou legerement inferieur a x0?
12) Quel phenomene determine l’amplitude des oscillations?
I.D. Detection electronique de la variation de frequence
L’oscillateur precedent genere la tension w d’amplitude E0 et de pulsation ω(q) qu’on applique entre lamasse et le point D du montage suivant :
1
1
RR
C
C
1R
1C
RC
ws
RD
EF
F'
G
G'
H
V0
-V0
2
2
3
yr
(1-y)r
2
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Les quatre amplificateurs operationnels fonctionnent en regime lineaire et sont consideres comme ideaux.Le montage utilise egalement un ensemble de condensateurs de capacites C1, C2, un ensemble de resis-tances notees R1, R2, R3, un potentiometre de resistance totale r et de coefficient 0 ≤ y ≤ 1. Unealimentation continue symetrique delivre les potentiels ±V0. Les deux diodes, disposees en sens inverses,sont supposees ideales dans un premier temps.
13) Quelle est l’utilite du montage a amplificateur operationnel place entre les points D et E?
14) On pose ω1 = 1/(R1C1). Exprimer l’amplitude EF du potentiel sinusoıdal VF en fonction deω1, ω(q), E0.
15) Exprimer de meme l’amplitude EF ′ du potentiel sinusoıdal V ′F .
16) Quelle condition doit remplir le produit R2C2 pour qu’on puisse obtenir le potentiel constantVG = EF ? On supposera cette condition satisfaite par la suite.
17) Determiner le potentiel VG′ .
18) Determiner la tension de sortie s = VH en fonction de E0, ω1, ω(q) = ω0(1 + q2 ), R2, R3, r, y,
V0. Simplifier cette expression au premier ordre par rapport a q.page 5/11
19) On ajuste le coefficient y du potentiometre de compensation afin d’obtenir une tension de sortienulle en absence de vehicule. En deduire l’expression de s en presence d’un vehicule en fonction deE0, ω1, ω0, R2, R3, q.
20) Comment sont modifiees les tensions VG, VG′ , et s si l’on considere que les diodes presententune tension de seuil US ?
II. MODELES CONTINUS DU TRAFIC AUTOMOBILENous allons etudier ici quelques modeles du trafic automobile le long d’une route rectiligne (x′x) necomportant qu’une seule voie de circulation.
Par analogie avec l’hydrodynamique, nous decrirons le trafic routier comme un milieu continu a l’aidedes champs euleriens suivants :• n(x,t) : densite locale du trafic en x et a l’instant t, en nombre de vehicules par unite de distance ;• v(x,t) : vitesse locale du trafic ; on supposera que les vehicules se deplacent vers les valeurs croissantesde x ;• j(x,t) = n(x,t)v(x,t) : debit local du trafic en nombre de vehicules par unite de temps.
II.A. Equation de conservation
21) A l’aide d’un bilan, montrer que la conservation des vehicules implique la relation :
∂n
∂t+
∂j
∂x= 0
II.B. Diagramme fondamental d’un trafic en equilibre
Le trafic est en equilibre lorsque les champs de densite et de vitesse sont uniformes et stationnaires. Ilexiste alors des relations entre vitesse, debit et densite que nous noterons sous la forme :
v = f(n) , j = g(n) avec g(n) = nf(n)
On appellera diagramme fondamental le graphe de la relation j = g(n). Chaque route possede sonpropre diagramme fondamental qui depend des conditions locales du trafic (vitesse maximale autorisee,conditions de visibilite, ...).Des mesures effectuees sur des routes reelles donnent en general des diagrammes fondamentaux concavesayant l’allure suivante :
j
nmaxn
C
Cn
Cj
Le debit est maximal en C. Le trafic est qualifie de fluide pour n < nC et de sature pour n > nC .
22) Interpreter l’allure de la courbe j = g(n) pour n ¿ nC et donner une signification de la valeurde la pente.
23) Interpreter l’existence de la densite maximale nmax et proposer un ordre de grandeur.
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Sujet 02. Satellites de communication (Mines, MP, 2007)On se propose d’étudier quelques aspects du fonctionnement de satellites de télé-communication en orbite autour de la Terre. Sauf mention contraire, on considé-rera que la Terre est une sphère homogène de rayon RT , de masse MT de centreO, immobile dans l’espace, sans rotation propre.À la fin de cet énoncé, sont regroupées des valeurs de grandeurs physiques et unformulaire utilisables dans cette épreuve.
1. Pour un mouvement à force centrale, montrer que le vecteur moment ciné-tique et l’énergie mécanique du mobile sont conservés.
2. Un satellite de masse MS est en orbite circulaire de centre O, à une altitudeh de l’ordre de quelques centaines de kilomètres (orbite basse). Établir larelation entre la période de révolution T et h. Exprimer de même la relationentre la vitesse v = ‖~v‖ et h.
3. Soient Ec et Ep l’énergie cinétique du satellite et son énergie potentielledans le champ de gravitation de la Terre ; établir le « théorème du viriel » :2Ec + Ep = 0.
4. À chaque position P du satellite correspond un point Q sur la Terre à laverticale de ce point. L’ensemble des points Q définit la trace de la trajec-toire. Pour un observateur situé en Q, la durée de visibilité τ d’un satelliteest l’intervalle de temps entre son apparition sur l’horizon (point A de la
figure) et sa disparition sous l’horizon (point B). Exprimer τ en fonction deh, G, MT et RT .
5. Calculer T/τ . Pour les besoins de la téléphonie mobile, on place sur desorbites polaires (c’est-à-dire contenues dans un plan méridien terrestre) unensemble de satellites, identiques, appelé « train de satellites ». Ces satellitessont disposés régulièrement sur leur orbite polaire commune, à l’altitude de800 km. Calculer le nombre minimal de satellites nécessaires pour formerun « train » afin que tous les points au sol, dans le même plan méridien quel’orbite, voient au moins un satellite à tout instant.
6. Dans cette question, on prend en compte la rotation de la Terre. Calculerla période et l’altitude d’un satellite placé sur orbite géostationnaire. Lanotion de durée de visibilité garde-t-elle, dans ce cas, un sens ? Quels sontles avantages et les inconvénients d’un satellite géostationnaire comparé autrain de la question précédente ?
7. La Terre est entourée d’une atmosphère qui s’oppose au mouvement dusatellite. La force de frottement ~fa créée par l’atmosphère est proportionnelleau carré de la vitesse v du satellite et elle s’exprime par ~fa = −αMSv~v,où α a une valeur positive, constante dans cette question. Déterminer ladimension de α. Écrire le théorème de l’énergie cinétique en supposant quele théorème du viriel établi précédemment reste applicable en présence de~fa.Établir l’équation différentielle vérifiée par h.
8. Un satellite placé sur une orbite d’altitude 800 km subit une diminutiond’altitude d’environ 1 m par révolution ; sa vitesse est, en norme, très peuaffectée au bout d’une révolution. En déduire une estimation au premierordre de α.Calculer, avec la même approximation, ce qu’il advient de l’altitude au boutde 10 ans de fonctionnement du satellite. Comparer à la solution exacte. Lefait d’avoir une augmentation de la vitesse en présence d’une force opposéeau mouvement est-il paradoxal ?
Données :constante de gravitation G = 6, 67× 10−11 m3 · kg−1 · s−2 ;rayon de la Terre RT = 6400 kmmasse de la Terre MT = 6, 0× 1024 kg ; masse du satellite MS = 2, 0× 103 kg
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Sujet 03. Lunette astronomique (CS, TSI, 2017)On s’intéresse à quelques éléments du matériel d’un astronome amateur adeptede l’imagerie numérique et désirant photographier Jupiter lors d’une période fa-vorable à son observation. Dans un premier temps, on modélisera simplement leséléments optiques de son instrument d’observation, puis on abordera un dispositifantibuée équipant l’objectif de la lunette.
1 Lunette astronomique
1.1 Diamètre angulaire
1. Pour un observateur terrestre, Jupiter est vue sous un angle α qui variesuivant la distance Terre-Jupiter. Les orbites de la Terre et de Jupiter sontassimilées à des cercles dans un même plan, ayant pour centre le Soleil, derayons respectifs RT = 150 × 106 km et RJ = 780 × 106 km et décritsdans le même sens. Jupiter est modélisée par une sphère de diamètre dJ =140× 103 km.
Calculer, en seconde d’arc, sous quel angle maximal α0 on voit Jupiter depuisla Terre. On dit alors que Jupiter est en opposition.
2. On donne TT = 365, 25 jours, la durée de révolution de la Terre autour duSoleil. Déterminer TJ , la durée de révolution de Jupiter autour du Soleil.
3. Justifier que le mouvement sur les orbites circulaire est uniforme. Détermineralors le temps qui s’écoule entre deux oppositions de Jupiter.
À cause des imperfections du modèle, la valeur de α0 n’est pas exactementcelle trouvée à la première question, mais α0 = 50′′ (3600′′ = 1 degré).On adoptera cette valeur dans toute la suite du problème.
1.2 Mise au point
L’astronome amateur désire photographier la planète Jupiter vue depuis la Terreà l’opposition. Il utilise une lunette astronomique (figure ci-après) dont l’objectifest assimilé à une lentille mince convergente L1 de diamètre d1 = 235 mm et dedistance focale f ′1 = 2350 mm, monté sur un tube T1. Une caméra CCD est fixéesur un tube T2 appelé « porte oculaire ». La mise au point est faite en faisant
coulisser T2. Dans toute la suite (sauf question sur la diffraction), on se placeradans le cadre de l’optique géométrique et dans les conditions de Gauss.
(T1)
(T2)
capteu
r
(L1)
O1
Le fabricant de la caméra donne les caractéristiques techniques suivantes pourle capteur : modèle ICX618, type CCD, noir et blanc, rectangulaire de diagonaledc = 4, 48 mm, surface Sc = 9, 63 mm2, comptant N = 307200 pixels de formecarrée.
1. Calculer la largeur `c et la hauteur hc du capteur, ainsi que la largeur εcd’un pixel.
2. Expliquer pourquoi il est très raisonnable de considérer que Jupiter est situéeà l’infini, ce qu’on supposera pour toute la suite.
3. Quelle est alors la largeur, exprimée en nombre de pixels, de l’image deJupiter sur le capteur ?
4. Pour estimer la précision avec laquelle on doit faire la mise au point, on sup-pose que l’ensemble (T2-capteur) se trouve à une distance ε0 de la positionassurant une image parfaitement nette.
En raisonnant sur les rayons issus du point de Jupiter situé sur l’axe optiquede L1, expliquer physiquement (faire un schéma) que l’image de ce pointsur le capteur n’est plus ponctuelle et forme une tache de largeur εt. Ondistinguera les deux sens possibles de décalage du porte oculaire.
5. À quelle condition cette non ponctualité ne se remarquera pas sur le capteurutilisé ? En déduire la valeur maximale autorisée pour ε0 sans qu’il y aitd’incidence sur la netteté de l’image formée sur le capteur (tolérance sur lamise au point).
1.3 Lentille de Barlow
Pour obtenir une image plus grande de la planète, on intercale une lentille deBarlow, modélisée ici par une lentille mince (L2) divergente, de distance focale f ′2,placée à la distance D2c = 200 mm du capteur (figure ci-après).
1
La mise au point se fait en translatant l’ensemble (L2-capteur), fixé sur le tubeporte oculaire. On notera D12 la distance entre (L1) et (L2) et on admettra queF ′1 est situé entre (L2) et le capteur.
(T1)
(T2)
capteur
(L1) (L2)
O1 O2
1. Comment faut-il choisir f ′2 et à quelle valeur doit-on régler D12 pour que ledispositif produise sur le capteur de la caméra une image de Jupiter troisfois plus large que précédemment ?On rappelle la relation de conjugaison de Descartes pour une lentille mince1
OA′− 1
OA=
1
f ′.
2. Le dispositif de Barlow est alors qualifié de « tripleur de focale ». Proposerune justification à ce terme.
1.4 Diffraction
Jusqu’à présent, on a négligé les effets de la diffraction, qui produit un étalementdes images. En supposant que l’effet dominant est la diffraction à travers l’ouver-ture délimitant L1, estimer (ordre de grandeur) la largeur εd sur le capteur del’image d’un objet ponctuel situé à grande distance suivant l’axe optique, dans lecas de la lunette munie du tripleur de focale.On considérera que la mise au point est parfaite et que l’ensemble de la chaîneoptique est assimilable à une lentille de diamètre d1 et de focale 3f ′1.Commenter le résultat obtenu.
2 Dispositif anti-buée
Pour éviter la formation de buée sur l’objectif de la lunette lors des nuits humides,on utilise une résistance chauffante, constituée d’une fine bande conductrice élec-triquement, cerclant la lentille L1 au niveau de sa surface latérale. Il faut alorstrouver un compromis entre :
— chauffer suffisamment l’objectif pour éviter (ou éliminer) le dépôt de buée ;— ne pas créer une trop grande différence de température entre l’objectif et
l’air extérieur, ce qui serait générateur de turbulences déformant les images.
On assimile la lentille L1 à un cylindre de verre, de rayon r1 = d1/2 et d’épaisseure = 10 mm, de conductivité thermique λ = 1, 2 SI. La résistance transmet 10% desa puissance chauffante à la lentille au niveau de sa surface latérale (le reste étantperdu dans l’air et dans le tube de la lunette). Aux interfaces verre/air (faces supé-rieure et inférieure de la lentille sur le schéma), les échanges thermiques sont mo-délisés par la loi de Newton, avec un coefficient d’échange h = 5, 0 W ·m−2 ·K−1.On rappelle la loi de Newton relative aux échanges thermiques : ϕ = h(T (r)−T0)où ϕ est le flux thermique surfacique échangé entre une paroi à la températureT (r) et l’air à la température T0.
La température de l’air, quand on s’éloigne suffisamment de la lentille est uni-forme et vaut T0. On attend qu’un régime stationnaire de transferts thermiquess’établisse et on adopte le modèle d’une distribution de température T (r) dans lalentille.
Air (T0)
Résistance chauffante
Verre
Air (T0)
e
r1
O1
Ar
2.1 Bilan thermique
1. Rappeler la loi de Fourier dans le verre de la lentille. Dans quelles condi-tions est-elle utilisable ? Retrouver l’unité internationale de λ par analysedimensionnelle.
2. À l’aide du premier principe de la thermodynamique appliqué à la tranchede verre comprise entre r et r + dr, montrer que l’équation différentielle
vérifiée par θ = T (r)− T0 peut se mettre sous la forme :δ2
r
d
dr
(rdθ
dr
)= θ.
3. Calculer numériquement δ et en proposer une interprétation physique.
4. On effectue le changement de variables u = r/δ. Montrer que le champ detempérature θ(u) vérifie l’équation différentielle :
u2d2θ
du2+ u
dθ
du− u2θ = 0
2
5. On admet que I0 la fonction de Bessel modifiée d’ordre 0 est solution decette équation différentielle, son allure est donnée sur la figure ci-après :
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0u
0123456789
101112
I 0(u
)
L’équation étant linéaire, on cherche une solution de la forme θ(u) = BI0(u)
Pour limiter la formation de buée de manière suffisamment efficace, on sou-haite que la température du verre soit supérieure à T0 + 0, 5 K sur toutela surface de la lentille. Mais pour éviter des turbulences trop fortes, onsouhaite ne pas dépasser T0 + 5, 0 K dans la zone la plus chaude.
En déduire la valeur optimale de B, qu’on utilisera pour la question suivante.
2.2 Alimentation
La résistance est branchée sur une batterie délivrant une tension U = 12 V,supposée constante, et d’une capacité de 20 A · h.
1. Exprimer la puissance thermique reçue par la lentille sur sa surface latérale.On pourra exploiter graphiquement les informations de la courbe, la valeurde B et les données fournies numériquement.
2. La batterie alimente également, sous la même tension U , le moteur de lamonture qui porte la lunette et lui permet de suivre le mouvement appa-rent de la planète tout au long de l’observation. Utilisée exclusivement pouralimenter le moteur, la batterie peut fonctionner pendant 15 heures.
De quel temps de fonctionnement disposera t-on si on utilise en plus ledispositif anti-buée ?
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Sujet 04. Couche anti-reflet (CS, TSI, 2017)Dans cette partie nous allons nous intéresser à des milieux isolants non chargés,
transparents et non absorbants.On admet que les propriétés de ces milieux sont semblables à celles du vide enremplaçant la permittivité ε0 par ε0εr, εr désignant la permittivité relative dumilieu.
Propagation d’une onde électromagnétique dans un matériau isolantnon chargé
1. Établir l’équation de propagation du vecteur champ électrique dans le milieu.Exprimer la célérité de propagation de l’onde électromagnétique dans lemilieu et montrer que son indice est alors n =
√εr.
2. On considère une onde plane progressive monochromatique se propageantvers les x croissants de la forme
~E = E0 cos(ωt− kx)~uyDéterminer l’expression du vecteur champ magnétique associé.
Coefficients de transmission et réflexion en énergie à l’interface entredeux milieux
On s’intéresse à l’interface suivante entre deux milieux d’indices n1 et n2, séparéspar le plan x = 0.
x
y
0
Onde incidente Onde transmise
Onde réfléchie
Milieu d’indice n1 Milieu d’indice n2
On considère une onde électromagnétique incidente, le vecteur champ électriqueétant ~Ei = ~E1 = E0 cos(ωt− k1x)~uy.On note ~Er = ~E2 = ρE0 cos(ωt + k2x)~uy le champ électrique réfléchi et ~Et =~E3 = τE0 cos(ωt − k3x)~uy où ρ et τ désignent respectivement les coefficients deréflexion et de transmission en amplitude.
1. on admet que les champs électrique et magnétique sont continus à l’interface.
Traduire ces deux relations et en déduire que ρ =n1 − n2n1 + n2
et τ =2n1
n1 + n2.
2. À l’aide d’un bilan énergétique clairement défini, déterminer les expressionsdes coefficients de réflexion et transmission en énergie à l’interface, notésrespectivement R et T . L’énergie est-elle conservée ? Justifier.
Condition sur l’indice de la couche antireflet
Un rayon incident arrive sous incidence normale sur une couche antirefletd’épaisseur e et d’indice N ; celle-ci recouvrant un matériau d’indice n.Compte tenu des différentes interfaces, plusieurs rayons vont être réfléchis et trans-mis comme indiqué sur la figure. On supposera 1 < N < n.
rayon incidentrayons réfléchis
rayons transmis
Air (indice 1)
Couche antireflet (indice N)
Verre (indice n)
e
On note respectivement ρn1→n2 et τn1→n2 les coefficients de réflexion et trans-mission en amplitude pour une interface de type n1 → n2, n1 étant l’indice dumilieu associé à l’onde incidente.
1. Donner les expressions des coefficients ρ1→N , ρN→n, τ1→N , τN→1.
2. Soit E0 l’amplitude complexe du champ électrique associée à l’onde inci-dente.L’amplitude complexe de la première onde réfléchie s’écrit alors ρ1→NE0.
Justifier que l’amplitude complexe de la deuxième onde réfléchie estE0τ1→NρN→nτN→1 exp (jϕ) = a avec ϕ à déterminer en fonction de N ,e et λ, la longueur d’onde dans le vide.
3. En remarquant que τ1→NτN→1 = 1− ρ21→N , montrer que l’amplitude com-plexe résultante pour la totalité des ondes réfléchies est :
A = E0
ρ1→N + ρN→n exp (jϕ)
1 + ρ1→NρN→n exp (jϕ)
4. Montrer que l’intensité réfléchie peut s’annuler pour une valeur particulièrede N . Commenter.
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Sujet 06. Moteur courant continu (CS, PSI, 2015)L’autofocus, AF, ou mise au point automatique, permet de régler la netteté de
l’image que donne un instrument d’optique. On s’intéresse dans cette partie à lamotorisation d’un tel système.L’objectif EF 50 mm 1 :1.8 II, commercialisé fin 1990, possède un micromoteur àcourant continu à aimants permanents.
1 Principe d’une machine à courant continu à chargeconstante
Le rotor est constitué d’un noyau de fer doux, cylindrique, sur lequel sont enrou-lées N spires. Chaque spire, représentée sur la figure suivante, est rectangulaire,de longueur b suivant l’axe (Oz) vertical ascendant et de largeur a, et est enrouléesur le noyau parallèlement dans un de ses plans de symétrie. Les N spires sontréparties uniformément sur le périmètre du noyau. L’ensemble noyau + spiresconstitue le rotor. Chaque spire, de résistance Re, est reliée à un générateur detension continue U par l’intermédiaire de deux électrodes A et C et est parcouruepar un courant d’intensité i constante. La position du rotor est repérée par l’angle
θ de la base orthonormée directe cylindrique (~er, ~eθ, ~ez). On notera Ω =dθ
dtla vi-
tesse angulaire de rotation du rotor et J son moment d’inertie par rapport à (Oz).Le rotor est placé dans le champ magnétique stationnaire produit par les aimantspermanents constituant le stator. On admettra que, dans le volume situé entre lestator et le noyau du rotor, ce champ est radial et de la forme ~B = B0 cos θ~er (avecB0 > 0). Le fer doux sera assimilé à un matériau magnétique linéaire, de perméa-bilité magnétique µ = µrµ0. On négligera tout phénomène d’autoinduction. Lecouplage électromécanique est parfait.
On suppose que le rotor entraîne une charge dont le couple résistant est ~ΓR =−ΓR~ez où ΓR est une constante positive. À l’instant t = 0, on a θ(t = 0) = 0 etΩ(t = 0) = 0.On rappelle que la valeur moyenne d’une fonction f continue et positive sur un
intervalle [a, b] est1
b− a
∫ b
af(x)dx.
1. Dans un premier temps, on néglige les propriétés magnétiques du fer douxqui est alors assimilé à un milieu non magnétique.Déterminer, en moyenne sur un tour, le moment par rapport à l’axe (Oz)
du couple électromagnétique subi par le rotor, noté Γem.
2. En fait, un système permet la commutation de A et C à chaque demi-tourdu rotor, si bien que le courant i circule toujours dans le même sens. Quelest ce système ?Pour quelles valeurs de θ y a-t-il inversion du sens du courant parcourantune spire ?Montrer alors qu’on a Γem = K0i où K0 est une constante à déterminer enfonction de a, b, N et B0. Quelle est la dimension de K0 ?
3. Désormais on prend en compte les propriétés magnétiques du fer doux, quisera assimilé à un milieu magnétique linéaire de perméabilité magnétiqueµ = µrµ0 (avec µr > 1). À l’intérieur du noyau, le champ magnétique ~Bscréé par le stator est approximativement uniforme et est orienté selon ~ex ;on a ainsi ~Bs = Bs~ex où Bs > 0.Justifier que les courants rotoriques, parcourant les spires du rotor, induisentdans le noyau un moment magnétique ~Mr orienté selon l’axe (Oy). En pré-ciser le sens. Justifier que ce moment magnétique est proportionnel à l’in-tensité i du courant dans une spire du rotor. En déduire le couple électro-magnétique subi par le rotor, noté Γ′em et montrer qu’il est proportionnel ài.On pose Γ′em = Ki. Comparer les ordres de grandeur de K et de K0.
4. Déterminer la force contre-électromotrice moyenne e induite dans le rotoren fonction de K et Ω.
5. Déterminer, en fonction de K, Re et U , l’expression littérale de la caracté-ristique Ω = f(Γ′em) en régime permanent de fonctionnement et à tensiond’induit U constante.
1
6. Déterminer la loi d’évolution Ω(t) pour t ≥ 0. Faire de même pour la loi
θ(t). On posera τ =ReJ
K2et Ωlim =
U
K− ReΓR
K2.
7. À la date t = t0, un système d’asservissement vient annuler le courant :i(t = t0) = 0, de façon à ce que le moteur puisse s’arrêter. Déterminer leslois d’évolution Ω(t) et θ(t) pour t ≥ t0.
8. Pour faire la mise au point, le rotor initialement immobile doit tourner d’unangle θmp. À la date tmp, θ(t = tmp) = θmp et le rotor est à l’arrêt. Exprimerθmp et la durée de mise au point tmp en fonction de ΓR, J , t0, τ et Ωlim.
2 Application au moteur à courant continu DN12M dela marque Canon R©
1. En vous aidant de la figure ci-dessous, déterminer K et Re pour le moteurmentionné ci-dessus.
0 0,5 1 1,5 2
Γ′em (mN · m)
0 0
2600 400
5200 800
7800 1200
10400 1600
13000 2000
Ω(t
r·m
in−1)
i(m
A)
Ω
i
2. Toujours en vous aidant de la figure précédente, déterminer le couple dedémarrage ΓD du moteur.
3. On donne J = 0, 24 g.cm2. Calculer U et τ .
4. Dans les conditions oùΓRΓD
= 0, 5 et U = 3, 1 V, déterminer Ωlim puis la
puissance du moteur en régime permanent.
5. Pour une durée de mise au point tmp de l’ordre de 100 ms (ordre de gran-deur du temps de réponse d’un micromoteur à courant continu associé à
un réducteur de vitesse installé dans un objectif Canon R©), quel angle θmppeut-on espérer ?
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Sujet 07. Diffusion thermique (CCP PC 2014)PROBLEME II
QUELQUES PROBLEMES DE DIFFUSION THERMIQUE
Donnees :− Laplacien a 3 dimensions d’une fonction f ne dependant que de la distance a l’origine r :
Δf(r) =2
r
d
drf(r) +
d2
dr2f(r).
II.1 Gradient de temperature
- II.1.1Soit un profil de temperature unidimensionnel T (x), ou x designe la coordonnee le long d’unaxe horizontal. La temperature est supposee uniforme, egale a Ti sur tout le domaine x ≤ 0 etuniforme, egale a Te sur tout le domaine x ≥ e, ou e represente une certaine longueur.L’espace situe dans l’intervalle 0 ≤ x ≤ e est occupe par un materiau homogene de conductivitethermique λ. Le profil de temperature est suppose stationnaire.En considerant un bilan d’energie en regime stationnaire, determiner la nature du profil T (x) pourtout x appartenant a l’intervalle [0, e], puis representer graphiquement la fonction T (x) dans lecas ou Ti > Te.
- II.1.2Donner l’expression du vecteur densite de courant thermique jQ et determiner le flux thermiqueΦ(A) traversant une section transversale normale a l’axe x, d’aire A, situee en x = e/2, en fonc-tion des donnees du probleme.Preciser la dimension ou l’unite du coefficient de conductivite λ.
- II.1.3
a
(b)(a)
Figure II.1 Assemblee de parallelepipedes representant des manchots
Un manchot se modelise par un parallelepipede rectangle, de section carree, de cote a et de hau-teur (figure II.1.a). Le manchot, animal a sang chaud, maintient sa temperature interne Ti aumoyen d’un apport metabolique P1 qui compense les pertes par conduction thermique au traversd’un revetement de plumes d’epaisseur e et de conductivite λ, face a une temperature exterieureTe.Le modele de transfert thermique propose a la question precedente est suppose valide dans le casd’un manchot de geometrie parallelepipedique et la fonctionΦ(A1) rend compte de la deperditionthermique d’un manchot d’aire corporelle A1.Determiner l’aire totale A1 du parallelepipede represente sur la figure II.1.a.
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- II.1.4Determiner la valeur de la conductivite thermique λ du revetement de plumes correspondant a unmetabolisme P1 = 50W, pour une temperature interieure Ti = 37 C, une temperature exterieureTe = − 20 C (y compris au niveau du sol), une epaisseur e = 1 cm, un cote a = 0, 10 m et unehauteur = 0, 50 m.
- II.1.5Pour faire face a ces temperatures extremes, neuf manchots se serrent comme represente sur lafigure II.1.b. Le pavage carre etant parfait, seules les faces superieures, inferieures et lateralesperipheriques sont sujettes aux pertes thermiques. Calculer l’aire A9 exposee a la temperature Te
et la puissance metabolique P9 totale necessaire au maintien de la temperature interne des neufmanchots.De combien le metabolisme necessaire au maintien de la temperature interne, rapporte a un man-chot, est-il reduit lorsque les neuf manchots se serrent les uns contre les autres (comportementsocial thermoregulateur) ?
II.2 Equation de la chaleur
Soit un corps homogene de masse volumique μ, de coefficient thermique massique cp et de conducti-vite thermique λ. Ces coefficients sont supposes independants de la temperature. Lorsque la conductionthermique est seule en jeu, il est possible de montrer que le champ de temperature obeit a l’equation dediffusion suivante (equation de la chaleur) :
∂T
∂t−DΔT = 0
ou D = λ/(μcp), coefficient de diffusion thermique, d’unite m2.s−1, s’exprime en fonction de μ, λ etcp.
- II.2.1Rappeler la difference entre la diffusion thermique par conduction et la diffusion thermique parconvection. Lequel des deux mecanismes est-il considere comme plus efficace ?
- II.2.2Verifier que la fonction TG(r, t) ci-dessous est une solution de l’equation de la chaleur, our =
√x2 + y2 + z2 est la distance euclidienne a l’origine du repere et C = nD, le produit de la
constante de diffusion par un nombre entier n a determiner.
TG(r, t) = (πCt)−3/2 exp
(− r2
Ct
).
- II.2.3La solution TG represente l’evolution temporelle d’une distribution de temperature initialementlocalisee autour du point O de coordonnees x = 0, y = 0 et z = 0.Determiner la fonction TO(t) representant l’evolution temporelle de la temperature TG(0, t) dupoint O.Determiner le comportement aux grandes valeurs de t de TG(0, t).Determiner le rayon R(t) de la sphere, centree sur l’origine O, des points dont la temperature estsuperieure ou egale a TO(t)/2.En deduire que l’energie thermique diffuse au bout d’un temps t sur une distance d’ordre (Dt)α,ou α est un exposant fractionnaire a determiner.
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1
II.3 Diffusion en presence de convection
Une sphere pleine metallique homogene de rayonRs est placee au contact d’un milieu a temperatureTe. La presence de convection assure le maintien au voisinage de la surface de la boule d’une temperatureconstante Te. La diffusion thermique a l’interieur de la boule se fait par conduction uniquement. Latemperature a la surface exterieure de la boule est notee Ts(t) = T (Rs, t). On admet que les pertesthermiques a la surface de la sphere vers le milieu exterieur verifient la loi :
Ψs(t) = h(Ts(t)− Te)
ou h est un coefficient de transfert thermique qui depend de l’etat de convection du fluide environnant,Ψs la puissance quittant la sphere par unite de surface et Ts(t) > Te.
- II.3.1Ecrire l’equation de la chaleur en un point r quelconque de l’interieur de la boule.
- II.3.2Justifier par un argument physique la relation ci-dessous :
−λ ∂T
∂r
∣∣∣∣r=Rs
= h× (Ts − Te).
- II.3.3Reecrire l’equation de diffusion et la condition de continuite en Rs pour la differenceΘ(r, t) = T (r, t)− Te. On pourra introduire la quantiteΘs = Ts − Te.
- II.3.4On recherche une solutionΘ(r, t) sous la forme d’un produit de variables separees f(r)g(t), ou fet g sont supposees partout non nulles. Montrer que :
D
f(r)
[2
rf ′(r) + f ′′(r)
]=
g′(t)
g(t).
Justifier que la fonction temporelle g(t) ainsi obtenue decroıt exponentiellement avec le temps,comme g(t) = g(0) exp(−t /τ ).
- II.3.5Rechercher une solution de l’equation precedente sous la forme :
f(r) =sin(αr)
r.
Montrer que l’on obtient bien une solution de l’equation obtenue en II.3.4, a condition de poserα2Dτ = 1.Quelle est la limite de f(r) lorsque r tend vers 0 ?
- II.3.6Exploiter la condition en Rs obtenue aux questions II.3.2 et II.3.3, et montrer que le produitx = αRs verifie l’equation transcendante :
1− xcos(x)
sin(x)=
hRs
λ= Nu
ou le produit sans dimension Nu est appele nombre de Nusselt.
8/9
- II.3.7Donner le premier terme du developpement limite en x = 0 de la fonction 1 − x cotan(x), puistracer l’allure de celle-ci. En deduire que, quelle que soit la valeur de Nu, il existe une racinepositive de l’equation obtenue a la question precedente.
- II.3.8La plus petite racine positive de l’equation ci-dessus controle le comportement asymptotique auxtemps longs de la temperature de la sphere. Montrer que le temps de decroissance exponentiellede la temperature de la sphere se comporte alors comme :
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
τ =R2
s
3DNusi Nu 1;
τ =R2
s
π2Dsi Nu 1.
- II.3.9Calculer numeriquement le temps caracteristique τ pour une sphere de plomb, caracterisee par lesgrandeurs suivantes :h = 5, 8W.K−1.m−2, Rs = 0, 1 m, cp = 130 J.K−1kg−1, μ = 1, 13× 104 kg.m−3, λ = 35 SI.
Fin de l’enonce
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Sujet 08. Bolide traversant l’atmosphère (CS PSI 2012)Cette partie aborde les aspects thermodynamiques de la traversée de l’atmo-
sphère par le bolide modélisé par une sphère pleine de rayon rb = 80 m et de massevolumique ρb = 2,5× 103 kg ·m−3. Les conséquences de la dissipation énergétiquedans l’atmosphère sont importantes :
— une onde de choc se développe à l’avant du bolide avec échauffement adia-batique intense de l’air qui traverse cette onde de choc ;
— la surface du bolide est chauffée par radiation du gaz chaud qui l’entoure,produisant une fusion et une vaporisation du matériau à sa surface ;
— la matière perdue par le bolide finit par transférer son énergie à l’atmosphèresous forme d’énergie interne.
1 Puissance dissipée
Calculer la puissance dissipée par la force de traînée Ft = 12Cρπr
2bv
2 au voisi-nage du sol. Comparer cette puissance à celle produite par une centrale nucléaireélectrique moyenne qui est de l’ordre de 1 GW.Données : coefficient de traînée C = 2, masse volumique de l’air ρ = 1,2 kg ·m−3et vitesse du bolide v = 20 km · s−1.
2 Vitesse du son dans l’air
L’air est considéré comme un gaz parfait, non visqueux, dont le rapport descapacités thermiques γ = Cp/Cv est constant. À l’équilibre, sa masse volumique,sa pression et sa température sont notées respectivement ρe, Pe et Te (grandeursuniformes). La propagation d’une onde acoustique représente une perturbation decet équilibre. On note ~u(M, t) le champ des vitesses associé à l’onde acoustique eton pose pour les champs de pression et de masse volumique
p(M, t) = Pe + pa(M, t) avec |pa(M, t)| Peρ(M, t) = ρe + ρa(M, t) avec |ρa(M, t)| ρe
La propagation de l’onde sonore s’accompagne d’une évolution isentropique del’air, caractérisée par le coefficient de compressibilité isentropique χS = 1
ρ
(∂ρ∂p
)S.
On se place dans le cadre de l’approximation acoustique et on néglige l’effet de lapesanteur sur la propagation de l’onde.
1. Que signifie l’approximation acoustique ? Établir, à partir de l’équation lo-cale de la conservation de la masse et de l’équation d’Euler, deux équationsdifférentielles reliant les grandeurs ρe, ρa(M, t), pa(M, t) et ~u(M, t).
2. Pour quelles raisons peut-on considérer que l’évolution de l’air est isentro-pique ? Exprimer χS en fonction de ρe, ρa et pa. Par ailleurs, montrer quel’on a également χS ' 1
γPe.
3. Établir et nommer l’équation de propagation vérifiée par la pression acous-tique pa(M, t). Montrer que la vitesse du son, notée ca, peut se mettre sousla forme
ca =√
γPe
ρe
4. Exprimer également la vitesse du son en fonction de γ, R (constante des gazparfaits), Mair (masse molaire de l’air) et Te. Faire l’application numérique.Données : Te = 290 K et γ = 7/5.
3 Lois de conservation de l’écoulement à travers l’ondede choc
On suppose à présent que le bolide traverse l’atmosphère à la vitesse constantev = 20 km ·s−1 et on se place dans un référentiel qui lui est lié. Dans ce référentiel,suffisamment loin du bolide, dans une région notée (1), l’écoulement de l’air estnon perturbé et il est caractérisé par une vitesse très élevée v1 = v, une pressionP1, une masse volumique ρ1, une température T1, une énergie interne massiqueu1 et une enthalpie massique h1. Toutes ces grandeurs sont uniformes.
1. Calculer numériquement le nombre de Mach dans la région (1) :M1 = v1/c1où c1 est la vitesse du son dans cette région. Données : T1 = 290 K etγ = 7/5. CommeM1 > 5 , l’écoulement est qualifié d’hypersonique.
À l’avant du bolide, mais proche de sa surface, la pression, la masse volu-mique et la température augmentent énormément à cause de l’accumulationde matière. Du fait de la conservation du débit massique, la vitesse de l’écou-lement diminue en s’approchant de la surface du bolide et l’écoulement finitpar devenir subsonique. Il existe donc une zone de transition étroite, appeléeonde de choc, où le gaz subit, de manière adiabatique, d’importantes modi-fications de sa pression, de sa masse volumique et de sa vitesse. La région enamont de cette zone de transition correspond à l’écoulement hypersonique(1) et la région en aval, appelée région du gaz choqué, correspond à unécoulement subsonique. Afin de simplifier l’étude de cette onde de choc, on
1
modélise la zone de transition par un plan perpendiculaire aux écoulements,séparant l’espace en deux régions bien distinctes (Cf. figure) :— la région non perturbée (1) décrite précédemment (écoulement hyperso-
nique) ;— la région du gaz choqué (2) caractérisée par une vitesse subsonique v2,
une pression P2, une masse volumique ρ2, une température T2, une éner-gie interne massique u2 et une enthalpie massique h2. Toutes ces gran-deurs sont uniformes dans la région du gaz choqué.
Insistons sur le fait que l’onde de choc est fixe dans le référentiel d’étude etque les écoulements sont stationnaires. L’objectif des questions qui suiventest d’établir des lois de conservation pour l’air qui traverse de manière adia-batique l’onde de choc. On pose γ1 = γ2 = γ = 7/5 pour le rapport descapacités thermiques des gaz, supposés parfaits, dans les régions (1) et (2).On néglige les effets de la pesanteur sur l’écoulement.
S
région (1) région (2)
cylindre imaginaire onde de choc
v1
P1T1ρ1u1h1
v2
P2T2ρ2u2h2
2. On considère la surface de contrôle constituée d’un cylindre de révolutionimaginaire, de section droite d’aire S, centré en un point du plan de l’ondede choc et dont les génératrices sont perpendiculaires à ce plan (Cf. figure).On envisage le système ouvert et fixe Σ constitué à chaque instant du gazà l’intérieur du cylindre précédent. En effectuant un bilan de masse sur unsystème fermé Σ∗ que l’on définira précisément, établir une relation, notée(R1), entre ρ1, ρ2, v1 et v2.
3. En effectuant un bilan de quantité de mouvement, établir une relation, notée(R2), entre P1, P2, ρ1, ρ2, v1 et v2.
4. En effectuant un bilan d’énergie, établir une relation, notée (R3), entre v1,v2, h1 et h2.
5. L’air se comportant comme un gaz parfait, exprimer la différence des en-thalpies massiques h2 − h1 en fonction de la masse molaire Mair, R, de ladifférence des températures T2−T1 et de γ = γ1 = γ2. Exprimer enfin h2−h1
en fonction de P1, P2, ρ1, ρ2 et γ (relation (R4)).
6. À partir des relations (R3) et (R4), établir une nouvelle relation, notée (R5),entre les variables P1, P2, ρ1, ρ2, v1, v2 et γ.
4 Caractérisation thermodynamique du gaz choqué
CommeM21 1, les lois de conservation (R1), (R2) et (R5) permettent d’ob-
tenir les relations simplifiées suivantes (résultats admis) :
v2v1
=γ − 1
γ + 1;
ρ2ρ1
=γ + 1
γ − 1et P2 =
2ρ1v21
γ + 1
Nous allons à présent exploiter ces relations pour déterminer les caractéristiquesthermodynamiques du gaz choqué dans la région (2).
1. Exprimer le nombre de MachM2 dans la région du gaz choqué en fonctionde γ. Faire l’application numérique et commenter votre résultat.
2. Exprimer la température T2 du gaz choqué en fonction de Mair, R, γ et v1.Faire l’application numérique.
3. À une telle température, les molécules du gaz choqué sont en fait dissociéesen atomes ionisés qui forment un plasma. Le modèle précédent est doncincomplet et un traitement rigoureux sort du cadre de ce problème. Peut-onréellement poser γ1 = γ2 = 7/5 ? La température réelle du gaz choqué doit-elle être inférieure ou supérieure à celle calculée à la question précédente ?
5 Masse perdue et échauffement du bolide
Le gaz choqué est la source principale de l’émission de lumière lors de la traverséede l’atmosphère par le bolide. Ce gaz très chaud, d’une température de l’ordrede T ′2 ' 20 × 103 K (résultat obtenu avec un modèle plus réaliste et completque celui étudié précédemment) « enveloppe uniformément » le bolide et émetun rayonnement thermique. Une partie de ce rayonnement est ainsi reçue par lebolide. La puissance thermique totale reçue par le bolide s’écrit alors (résultatadmis)
Pr = 4πr2bcaσT′24
où ca est appelé coefficient d’absorption (0 < ca ≤ 1) et σ = 5,67×10−8 W ·m−2 ·K−4 est une constante universelle. L’énergie reçue échauffe la surface du bolide,une partie du matériau constitutif entre en fusion puis se vaporise. L’enthalpiemassique de vaporisation du matériau rocheux est prise égale à hv = 8,0 MJ·kg−1.
2
1. La température de surface du bolide peut-elle dépasser sa température devaporisation ? Déterminer l’expression de la quantité de masse du bolidevaporisée par unité de temps.
2. Le bolide décrit une trajectoire rectiligne inclinée d’un angle θ par rapportà la verticale à la vitesse constante v. Exprimer le temps nécessaire ta pourqu’il traverse l’atmosphère de hauteur effective Ha. En déduire une estima-tion de la masse maximale du bolide, notée ∆mmax, perdue par vaporisation.Le résultat sera exprimé en fonction de σ, T ′2, ta, rb et hv.
3. Applications numériques. Calculer ta et ∆mmax. Était-il légitime de consi-dérer que le bolide conserve sa masse lors de la traversée de l’atmosphèrecomme cela a été supposé dans la première partie ? Données : Ha = 8,5 km,θ = 45 et v = 20 km · s−1.
4. Estimer, par analyse dimensionnelle, jusqu’à quelle profondeur δb diffusel’énergie thermique reçue par le bolide. Faire l’application numérique etcommenter. Données concernant le bolide : capacité thermique massiquecb = 800 J ·K−1 · kg−1, conductivité thermique λb = 5,0 W ·m−1 ·K−1.
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Sujet 09. Effet MagnusOn considère que l’air est un fluide parfait, incompressible, de masse volumique ρen écoulement permanent autour d’un cylindre de rayon R.
x
y
O
Rr M
θ
A B
À très grande distance, sa vitesse est uniforme et constante : ~v∞ = v∞~ux et lapression est P0.On ne tient pas compte des effets de la pesanteur et on suppose le problèmeinvariant selon Oz.
L’écoulement est supposé irrotationnel −→rot(~v) = ~0, il existe donc un potentiel desvitesses Φ tel que ~v =
−−→gradΦ.
On rappelle enfin l’expression du laplacien en coordonnées cylindriques :
∆Φ(r, θ) =1
r
∂
∂r
(r∂Φ
∂r
)+
1
r2∂2Φ
∂θ2
1 Cylindre immobile
1. L’écoulement étant supposé incompressible, montrer que le potentiel desvitesses vérifie une équation de Laplace.
2. Montrer qu’une solution du type Φ(r, θ) = Ar cos (θ)+Bcos (θ)
rest solution
de l’équation aux dérivées partielles.
3. En tenant compte des conditions aux limites à l’infini et à la surface ducylindre (le fluide ne pénètre pas dans le cylindre), déterminer complètementl’expression ~v1 du champ des vitesses.
2 Cylindre en rotation
Le cylindre est maintenant en rotation de vitesse angulaire ~Ω = ω~uz autour de sonaxe (Oz). En raison de la viscosité dont on néglige les autres effets, cette rotation
induit à l’extérieur du cylindre un champ de vitesse supplémentaire ~v2 =ωR2
r~uθ.
1. Donner la nouvelle expression du champ des vitesses.
2. Les lignes de courant sont représentées pour ω =v∞2R
(figure de gauche) et
ω =2, 2v∞R
(figure de droite).
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.02.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.02.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
On pose ωc =2v∞R
. À l’aide de l’expression du champ des vitesses, montrerqu’en fonction de la valeur de ω par rapport à ωc, il y a soit deux pointsd’arrêt sur le cylindre soit un unique point d’arrêt en dehors du cylindre.
3. Donner l’expression de la pression P (θ) en tout point de la surface du cy-lindre.
4. Exprimer la force résultante ~F exercée par le fluide sur une longueur ` decylindre.Interpréter la direction et le sens de la force en terme de régions de hautevitesse ou de basse vitesse (on pourra s’aider des figures ci-dessus).
5. En appelant V = ` × πR2 le volume de cylindre considéré, montrer que laforce résultante prend la forme :
~F = KρV ~Ω ∧ ~v∞avec K un nombre sans dimension.
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