Simulation de phénomèneS intervenant en aStrophySique avec le nouveau code hydro-muScl

hung chinh nguyen1, 2, claire michaut1, laurent di menZa2 & cécile cavet1

1 LUTH, Observatoire de Paris, CNRS, Université Paris-Diderot, Meudon, France2 Laboratoire de Mathématiques, Université Paris-Sud, Orsay, France

Objectif : Nous avons implémenté le schéma MUSCL-Hancock et le solveur de Riemann HLLC permettant de résoudre les équations de l’hydrodynamique pour des jeux de paramètres physiquement réalistes. Nous avons testé deux exem-ples provenant des problèmes astrophysiques : la phase de la supernova de Sedov et le jet d’étoile jeune (simplifié) à un grand nombre de Mach en comparant les résultats numériques avec CLAWPACK(*). Le couplage avec les équations du

transfert radiatif sera effectué dans nos travaux ultérieurs.

ρt + div(ρV) = S1 ,

(ρV)t + div(ρV ⊗ V + p) = S2 ,

Et + div(V(E + p)

)= S3 ,

équations d’hydrodynamique

Soit Ω ∈ Rd et T > 0. ΩT = Ω × [0, T ]

Variables physiques (definies dans ΩT ) :ρ = la densite,p = la pression,V = le vecteur vitesse,E = l’energie totale par l’unite de masse,e = l’energie interne,γ = l’indice polytropique du gaz.

E =12ρV2 +

p

γ − 1

∂tU + ∇ · H(U) = S(U),

U =

ρ

ρVE

, H =

ρV

ρV ⊗ V + pIV(E + p)

Forme conservative :

La fermeture:

Condition initiale:U(·, 0) = U0

Conditions aux bords:Neumann

méthode numérique (2d)

sPLittinG ...

∂tU + ∇ · H = 0,d

dtU(·, t) = S(U(·, t)).

Splitting du second ordre (Strang):

G(tn)U0 ≈ (S(12∆t)Z(∆t)S(

12∆t))nU0 , tn = n∆t ∈ [0, T ]. .

G,Z,S: operateur de solution exact du probleme, de l’EDP et de l’EDO.

... du terme sourCe

En 2D, on suppose que H = (F,G).

∂U

∂t(x, y, t) +

∂F (U)∂x

= 0,∂U

∂t(x, y, t) +

∂G(U)∂y

= 0 .

X et Y deux operateurs de solution exacts respectivement. Alors

Z(tn)U ≈ (X (12∆t)Y(∆t)X (

12∆t))nU , tn = n∆t ∈ [0, T ] .

... en esPaCe

U = G(tn)U0 ≈(S(

12∆t)X (

12∆t)Y(∆t)X (

12∆t)S(

12∆t)

)n

U0

Fhllci+ 1

2=

FL si 0 SL

F∗L= FL + SL(U∗L

− UL) si SL 0 S∗

F∗R= FR + SR(U∗R

− UR) si S∗ 0 SR

FR si 0 SR

U∗K=

(SK − uK

SK − u∗

)

ρK

ρKu∗ρKvK

EK + ρKu∗(u∗ − uK) +( u∗ − uK

SK − uK

)pK

.

soLveur de riemann hLLC

ULi = Un

i −12∆i

URi = Un

i +12∆i

étaPe 1

Un+1i = Un

i −∆t

∆x[Fi+ 1

2− Fi− 1

2]

étaPe 4

Ut + F (U)x = 0 ,

U(x, 0) =

UR

i avec x < 0UL

i+1 avec x > 0

Fi+ 12

= Fhllci+ 1

2= F (Uhllc

i+ 12)

étaPe 3

ULi = UL

i −∆t

2∆x[F (UR

i ) − F (ULi )] ,

URi = UR

i −∆t

2∆x[F (UR

i ) − F (ULi )] .

étaPe 2

sChéma musCL-hanCoCk

MUSCL (en anglais «Monotone Upstream-centred Scheme for Conser-vation Laws») est une modfication de Godunov introduite par Van Leer. Il ne suppose pas que la solution soit constante mais linéaire sur chaque maille. Et puis, il reconstruit les données initiales du problème de Rie-mann. Hancock a introduit une correction de MUSCL pour obtenir un schéma totalement précis au second ordre.

∆i+ 12

= Ui+1 − Ui

∆i− 12

=N∑

k=1

∆(k)

i− 12; ∆i+ 1

2=

N∑

k=1

∆(k)

i+ 12

∆(k)i = ∆(k)

i (∆(k)

i− 12,∆(k)

i+ 12) .

ou

∆(k)i =

max[0,min(β∆(k)

i− 12,∆(k)

i+ 12),min(∆(k)

i− 12, β∆(k)

i+ 12)] avec ∆(k)

i+ 12

> 0

min[0,max(β∆(k)

i− 12,∆(k)

i+ 12),max(∆(k)

i− 12, β∆(k)

i+ 12)] avec ∆(k)

i+ 12

< 0

C F L = ∆t · max( max

i,jSn,x

i,j

∆x,

maxi,j

Sn,yi,j

∆y

) 1 .

Sn,xi,j = |un

i,j | + ani,j , Sn,y

i,j = |vni,j | + an

i,j

stabiLité du sChéma

vaLidation du Code

ProbLème de sedov 2d

Ce problème décrit le reste d’une supernova. Il consiste à une boîte homogène, sauf au centre où se situe un excès de pression. Alors, une onde de choc circulaire apparaît et se propage dans la boîte. Ce phénomène est régi par les équations d’hydrodynamique homogènes (le terme source s’annule).

CLa

WPa

Ck

Top view of density, t=3.0, meshes 400x400 Side view of density, t=3.0, meshes 400x400 3D profile of density, t=0.35, 400x400, energy 105

hy

dr

o-m

usC

L

Top view of density, t=3.0, meshes 400x400 Side view of density, t=3.0, meshes 400x400 3D profile of density, t=0.35, 400x400, energy 105

simuLation à un nombre de maCh éLevé

En astrophysique, un jet est un flux collimaté de matière éjecté par un objet céleste. Il existe plusieurs types de jets qui proviennent de dif-férents objets mais nous ne considérons que les jets provenant d’une étoile jeune. Nous voudrions modéliser le jet d’étoile jeune, car il entre dans le cadre des simulations hydro-dynamiques, pour mieux comprendre son évolution dans le temps, sa morphologie et sa stabilité.

Jet d’étoiLe Jeune

ParaLLéLisation du Code PersPeCtivesmodèLe du transFert radiatiF

Supernova Kepler © NASA-HST

Jet astrophysique © NASA-HST

* Nous poserons que l’onde se propage dans un gaz polytropique. La solution de ce problème a été obtenue d’une part par L. Sedov (1946) et d’autre part par J. von Neumann (1947). * La loi du déplacement de l’onde de choc en fonction du temps se trouve déterminée dans la formule ci-contre.

RS = β(γ)

(Et2

ρe

) 12+d

Jet astrophysique © HH111 (1994)

Ut + F (U)r + G(U)z = S(U) ,

U =

ρρuρvE

, F =

ρuρu2 + p

ρuvu(E + p)

, G =

ρvρuv

ρv2 + pv(E + p)

, S = −1r

ρuρu2

ρuvu(E + p)

.

Taille du domaine : 1 x 0.36

Maillage : 1500 x 360

Nombre de Mach : 170

Profi

ls d

e de

nsité

à d

iffér

ents

inst

ants

Nous considérons le couplage entre l’hydrodynamique et le transfert radiatif pour traiter les échanges d’énergie entre le rayonnement et la matière. Il existe plusieurs modèles pour le transfert radiatif (P1, cinétique, M1-gris, M1-multigroupe, etc.). Dans notre cas (hydrodynamique radiative), le modèle M1-multigroupe est un bon choix car il respecte les propriétés physiques fondamentales et il permet des temps de calculs raisonnables.L’idée de ce modèle est de décomposer le spectre des fréquences en plusieurs groupes d’indice q comme ci-après.

(1c∂t + Ω ·∇)I(ν, Ω) = κ(ν)B(ν, T ) − χ(ν)I(ν) +

σ(ν)4π

∫

S2pν(Ω′ · Ω)I(ν, Ω′)dΩ′

équation du transFert radiatiF

E(ν) =1c

∫

S2I(ν, Ω)dΩ

F (ν) =1c

∫

S2cΩI(ν, Ω)dΩ

P (ν) =1c

∫

S2(Ω ⊗ Ω)I(ν, Ω)dΩ

moments de L’intensité

Eq =∫ ν

q+ 12

νq− 1

2

E(ν)dν, ∀q

Fq =∫ ν

q+ 12

νq− 1

2

F (ν)dν, ∀q

Pq =∫ ν

q+ 12

νq− 1

2

P (ν)dν, ∀q

à Chaque GrouPe

∂tEq + ∇ · Fq = c(σe

qaθ4(T ) − σaq Eq

), ∀q

1c∂tFq + c∇ · Pq = −

(σf

q + σdq (1 − gq)

)Fq, ∀q

modèLe m1-muLtiGrouPe

< · >q=1c

∫

S2

∫ νq+ 1

2

νq− 1

2

·dνdΩ

σeq =

< κB(T ) >q

aθ4q

, σaq =

< κI >q

Eq, σf

q =< κΩI >q

Fq.

oPaCités

H(I) = minI

∑

q

< h(I) >q /∀q :< I >q= Eq, c < ΩI >q= Fq

h(I) =2hν2

c3

[nI lnnI − (nI + 1) ln(nI + 1)

]

ou nI =c2

2hν3I.

Fermeture du système

Spectre d’un plasma d’airP0P1....

Pm

∂ U∂ t

( x , y , t) +∂ F (U )

∂ x= 0

P0 P1 .... Pn

∂ U∂ t

( x , y , t) +∂ G (U )

∂y= 0

Ce travail est en collaboration avec F. roy, ingénieur de recherche Calcul scientifique (LUTH - Observatoire de Paris). Le code hydro-musCL a été parallélisé en se basant sur le modèle ci-contre.

(*) R . J. L eveque, C L AW PA C K : A software package for conservation lawsand hyperbol ic systems.ht t p: / / www.amat h.washington.edu /∼rjl / clawpack / (2002)

Ce cluster est actuellement constitué de * 3 machines quadri-processeurs Opteron 64 bits bi-coeurs * 6 machines quadri-processeurs Opteron 64 bits mono-coeur * 7 machines bi-processeurs Xeon 64 bits quad-coeurs * Une machine «frontale» pour la soumission de jobles noeuds de calcul disposent de 16Go.

Nos premiers tests (n’utilisent que 4 processeurs) ont montré que le temps du calcul réduit 50% environ. Cela donne l’intérêt pour l’étude des instabi-lités hydrodynamiques (ex. instabilité de Vishniac) qui ont forcément besoin du calcul avec un maillage très fin.De plus, le calcul du couplage hydro-radiatif qui est coûteux exige naturelle-ment la parallélisation du code.

tests sur Le CLuster