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PARTIE I LEMME DE BEZOUT DANS K[X].

Q1 Sest un sous-espace vectoriel de K[X] non reduit au vecteur nul et verifiantP K[X], S S, P S S ().

a) On pose s0= Min{deg S, S S {0K[X]}}. S0 est un element de Stel que deg S0= s0.

Justifier lexistence de s0 et S0.

On note S lensemble des multiples de S0. Montrer que S S.

Soit Pun element deS. Montrer que le reste R dans la division de P par S0 appartient encore aS. En deduire alors

que R= 0K[X] et que P S

AinsiSest lensemble des multiples de S0.

b) Utiliser ce qui precede pour montrer quil existe un unique polynome unitaire ou normalise S1 de K[X] tel que S

soit lensemble des multiples de S1.

Au choix Q2 (et on admet le resultat de Q2) ou Q2 (en sinspirant de Q2 ...)

Q2 Dans cette question on suppose queAetB sont deux elements non nuls de K[X] dont les seuls diviseurs communs

sont les polynomes de K[X] de degre 0, cest a dire les polynomes constants et non nuls. On dit alors que A et B sont

premiers entre eux.

On se propose de montrer quil existe deux elements U et V de K[X] tels que AU+ BV = 1.

On poseR = {AP+ BQ, (P, Q) K[X]2}.

a) Montrer que R est un sous-espace vectoriel de K[X] qui contient Aet B et qui verifie la propriete ().

b) Soit R1 lunique polynome unitaire ou normalise R1 de K[X] tel que R soit lensemble des multiples de R1.

Montrer, en utilisant les hypotheses sur A et B que R1 = 1. En deduire quil existe deux elements U et V de K[X]

tels que AU+ BV = 1.

c)Facultatif Soit (U2, V2) un couple delements de K[X].

Montrer que AU2+ BV2= 1 si et seulement si il existe un element Q de K[X] tel que : U2= U+ QBet V2= V AQ.

d) Facultatif On suppose queA et B ne sont pas tous les deux constants. Montrer quil existe un couple (U1, V1)

delements de K[X] et un seul tel que : AU1+ BV1= 1, deg U1

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PARTIE II LEMME DES NOYAUX.

Il ne sera tolere aucune confusion entre polynomes et polynomes dendomorphismes ou entre endo-

morphismes et vecteurs.

Dans cette partie fest un endomorphisme dun K-espace vectoriel E.

Q1 Dans cette question on suppose que Aet B sont deux elements non nuls de K[X] premiers entre eux.

U et V sont deux elements de K[X] tels que AU+ BV = 1.

Ainsi IdE=A(f) U(f) + B(f) V(f) =U(f) A(f) + V(f) B(f). Alors :

x E , x= A(f)

U(f)(x)

+ B(f)

V(f)(x)

(1)

x E , x= U(f)

A(f)(x)

+ V(f)

B(f)(x)

(2).

On pose F= Ker A(f), G= Ker B(f) et H= Ker(AB)(f) = Ker

A(f) B(f)

= Ker

B(f) A(f)

.

On se propose de montrer que H=F G.

a) Montrer que F G= {0E} et que F(resp. G) est contenu dans H.

b) Utiliser (1) pour montrer que HF+ G. Conclure.

Q2 r un element de N. 1, 2, ..., r sont r elements deux a deux distincts de K. p1, p2, ..., pr sont r elements

non nuls de N.

On pose pour tout element k de [[1, r]], Gk = Ker(f k IdE)pk et Pk = (X 1)

p1 (X 2)p2 (X k)

pk .

Montrer que pour tout element k de [[1, r]], Ker Pk(f) = G1 G2 Gk.

Q3 Facultatif r est un element de [[2, +[[. S1, S2, ..., Sr sont r elements non nuls de K[X] deux a deux

premiers entre eux.

Montrer que Ker(S1 S2 Sr)(f) = Ker S1(f) Ker S2(f) Ker Sr(f).

PARTIE III SOUS-ESPACES STABLES PAR UN ENDOMORPHISME DIAGONALISABLE.

Dans cette partie f est un endomorphisme diagonalisabledun K-espace vectoriel Ede dimension nnon nulle.

On note1, 2, . . . , rles valeurs propres (distinctes) de fet F1, F2, . . . , F rles sous-espaces propres de frespectivement

associes. Rappelons que E=F1 F2 Fr =r

i=1

Fi.

Q0 Soit Pun element de K[X]

a) un element de K et x un element de Etel que f(x) =x. Montrer que P(f)(x) = P() x.

b) Montrer que siFest un sous-espace vectoriel de Estable parf, Fest stable par P(f) (ceci est independant de a)).

Q1 U= (X 1)(X 2) (X r).

a) Dans ce a) on suppose r 2.

Pour tout element k de [[1, r]], Uk est le quotient de U par X k et Lk = 1

Uk(k)Uk.

Soit (k, j) [[1, r]]2. Montrer que pour tout element xde Fj: Lk(f)(x) =

0E si k=j ,

x si k= j ..

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Preciser la nature et les elements de lendomorphisme Lk(f).

b) Montrer que Uest un polynome annulateur de f scinde a racines simples (on pourra etudier U(f) sur Fk).

Q2 Pour tout element k de [[1, r]] on considere un sous-espace vectoriel Fk de Fk. Montrer que F =F1+ F

2 + F

r

est stable par f. Notons que la somme qui definit Fest clairement directe.

Q3 Reciproquement soit Fun sous-espace de E stable par f.

a) Soit xun element de F. Il existe (x1, x2, . . . , xr) F1 F2 Fr, x= x1+ x2+ + xr.

Utiliser ce qui precede pour montrer que k [[1, r]], xk F.

b) On pose k [[1, r]], Fk = F Fk. Montrer que F =F1+ F

2+ + F

r = F

1 F

2 F

r.

c) Conclure letude precedente.

d) On suppose que F nest pas reduit au vecteur nul. Soit h lendomorphisme de F definit par x F, h(x) = f(x).

Montrer que hest diagonalisable (construire une base de vecteurs propres).

Q4 Soit g un second endomorphisme diagonalisable de E.

a) On suppose que g f=f g. Montrer que les sous-espaces propres de g sont stables par f.

Utiliser alors d) pour montrer lexistence dune base de Econstituee de vecteurs propres pour fet pour g .

b) Enoncer et demontrer une reciproque.

PARTIE IV POLYNOME MINIMAL. DECOMPOSITION DE DUNFORD.

Dans cette partie fest un endomorphisme dun K-espace vectoriel Ede dimension n non nulle. On rappelle quef

possede au moins un polynome annulateur non nul.

Q1 On poseA = {P K[X]| P(f) = 0L(E)}.

Montrer queAest un sous-espace vectoriel de K[X] non reduit au polynome nul qui verifie ().

On note Pf lunique polynome unitaire de K[X] tel que A soit lensemble des multiples de Pf.

Q2 a) Soit une racine dePf. On suppose que fIdEest un automorphisme de E. Montrer alors que le quotient

de Pf parX est encore un polynome annulateur de fet en deduire une contradiction.

b) Montrer que le spectre de fest lensemble des zeros de Pf.

Q3 a) Montrer que Pfest scinde si et seulement si fadmet un polynome annulateur scinde.

b) Montrer que Pf est scinde a racines simples si et seulement si f admet un polynome annulateur scinde a racines

simples.

c) Montrer que si f est diagonalisable alors Pfest scinde a racines simples (on pourra utiliser III Q1 b)).

Dans la suite, sauf mention du contraire, nous supposerons que Pfest scinde.

Observons quil en est ainsi si K = C .

Alors il existe un elements r de N, r elements 1, 2, ..., r de K deux a deux distincts et r elements p1, p2, ...,

pr de N tels que : Pf = (X 1)

p1(X 2)p2 (X r)

pr =

ri=1

(X i)pi .

On pose pour tout element k de [[1, r]], Gk = Ker(f k IdE)pk .

Q4 a) Montrer que E= G1 G2 Gr.

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b) Montrer que pour tout element k de [[1, r]], Gk nest pas reduit au vecteur nul (utiliser Q2).

c) Montrer que si les racines de Pf sont simples, fest diagonalisable.

Ainsi f est diagonalisable si et seulement si Pf est scinde a racines simples ou si et seulement si f admet un

polynome annulateur scinde a racines simples.

d) ici r est element de [[2, +[[. Pour tout element k de [[1, r]], on note Qk le quotient de Pf par (X k)pk .

Montrer quil existe r elements U1, U2, ..., Ur de K[X] tels que :r

i=1Qi Ui = 1.

e)r appartient a [[2, +[[ etk est un element de [[1, r]]. Montrer que (QkUk)(f) est la projection sur Gk parallelement

a

ri=1

i=k

Gi.

Dans la suite nous noterons qk cette projection. Montrer que qk commute avec f.

Si r = 1, on pose q1= IdE; q1 commute avec f, q1 est un polynome de f et q1 est la projection sur G1 parallelement

a {0E}.

On se propose de montrer quil existe un couple ( d, v) dendomorphismes de Eet un seul tel que :

f=d + v; dest diagonalisable ; v est nilpotent ; d v= v d.

Q5 Existence On posed =r

i=1i qi et v= f d. Notons que f=d + v.

a) Soit k un element de [[1, r]] et x un element de Gk. Calculer d(x).

Montrer que dest diagonalisable

b) Montrer que d et v sont des polynomes de f. Prouver alors que d et v commutent.

c) Soit k un element de [[1, r]]. Montrer que Gk est stable par v .

On considere alors lendomorphisme vk de Gk defini parx Gk, vk(x) = v(x). Montrer que v

pk

k = 0L(Gk).Montrer alors que v est nilpotent.

Q6 Unicite Soit (d, v) une seconde solution du probleme.

a) Montrer que d et v commutent avec f.

b) Montrer quil existe une base de E constituee de vecteurs propres pour d et pour d. En deduire que d d est

diagonalisable.

c) Montrer que v v est nilpotent.

d) Montrer que d =d et v =v.