SaintCyr 1992 M1 Corrige

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  • 7/22/2019 SaintCyr 1992 M1 Corrige

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    SESSION 1992

    SAINT-CYR

    MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune

    Options M, P, T, TA

    PREMIERE PARTIE

    1) a) Pour x R et n N, |un(x)| 1

    n2. Donc, n N, un 1

    n2. Comme la srie de terme gnral

    1

    n2converge,

    la srie de fonctions de terme gnral un converge normalement et donc uniformment et simplement sur R.

    f est dfinie sur R.

    b) Chaque fonction un est continue sur R, et la srie de fonctions de terme gnral un converge uniformment vers fsur R. Par suite, f est continue sur R.

    Pour x R,

    f(x) =

    +

    n=1cos(nx)

    n2

    =

    +

    n=1cos(nx)

    n2

    = f(x)

    et

    f(x + 2) =

    +n=1

    cos(nx + 2n)

    n2=

    +n=1

    cos(nx)

    n2= f(x).

    f est donc paire et 2-priodique.

    f est dfinie et continue sur R, paire et 2-priodique.

    c) f est continue sur le segment [0, ] et donc I existe. De plus, puisque la srie de terme gnral un converge uniformmentvers f sur ce segment, le thorme dintgration terme terme sur un segment permet dcrire :

    I =+n=1

    1

    n2

    0

    cos(nx) dx =+n=1

    1

    n2

    sin(nx)

    n

    0

    = 0.

    0

    f(x) dx = 0.

    d) Soit p N.

    Puisque pour tout rel x et tout entier non nul n, on a |un(x) cos(px)| 1

    n2, la srie de fonctions de terme gnral

    x un(x) cos(px) est aussi uniformment convergente sur [0, ] et donc,Ip =

    +

    n=1

    1

    n2

    0cos(nx) cos(px) dx =

    +

    n=1

    1

    2n2

    0(cos((n + p)x) + cos((n p)x) dx.

    Mais, si n = p,

    0

    (cos((n + p)x) + cos((n p)x) dx = 0, et si n = p,

    0

    (cos((n + p)x) + cos((n p)x) dx =

    0

    (1 +

    cos(2nx)) dx = . Ainsi,

    Ip =

    +n=1

    2n2n,p =

    2p2.

    p N,

    0

    f(x) cos(px) dx =

    2p2.

    http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits rservs.

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