Sciences_industrielles_pour_lingénieur_tout-en-u

7/22/2019 Sciences_industrielles_pour_lingnieur_tout-en-u

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TOUT-EN-UNMP-PSI-PT

Jean-Dominique MosserProfesseur agrg en classes prparatoires

au lyce Klber (Strasbourg)

Jacques Tanoh

Professeur agrg en classes prparatoiresau lyce Klber (Strasbourg)

Pascal Leclercq

Professeur agrg en classes prparatoiresau lyce Klber (Strasbourg)

SCIENCES INDUSTRIELLESPOUR LINGNIEUR


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Dunod, Paris, 2010

ISBN 978-2-10-054636-7


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Duno

d.Laphotocopienonautoriseestundlit.

III

Table des matires

1 Thorie des mcanismes 11.1 Paramtrer un mcanisme 2

1.2 Approche cinmatique 9

1.3 Approche dynamique 15

1.4 Approche globale 211.5 Faut-il lisostatisme ? 26

Exercices dapplication 28

Exercices dapprofondissement 31

Solutions des exercices 33

2 Description des masses en mouvement 432.1 Masse Rpartition de la masse 44

2.2 Quantit de vitesse et quantit dacclration 52

2.3 nergie cintique 62




3 Dynamique des solides 833.1 Principe fondamental de la dynamique 84

3.2 Notion de puissance 90

3.3 Thormes nergtiques 93

3.4 Applications du PFD 99


Exercices dapprofondissement 107Solutions des exercices 112


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Table des matires

IV

4 Systmes asservis Stabilit des systmes 1214.1 Systmes commands,asservis - Perturbations 122

4.2 Stabilit des systmes asservis 130

4.3 Notion de ples dominants 139Exercices dapplication 142



5 Performances valuation et amlioration 1695.1 Performances des systmes asservis 169

5.2 Amliorer les performances en corrigeant la commande 182

5.3 Correction proportionnelle 184

5.4 Corrections action intgrale 186

5.5 Corrections action drive 191

5.6 Correction PID 193




6 Systmes squentiels Reprsentations Grafcet multigraphes 213

6.1 volution dun Grafcet et actions 214

6.2 Reprsentation Grafcet multigraphes 224

6.3 Grafcet et description structure 227





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3.1 Convergence, divergence

V

Dunod.

Laphotocopienonautoriseestundlit.

Avant-propos

Cet ouvrage sadresse aux tudiants en deuxime anne de classe prparatoire aux grandes coles et sinscrit dans lacontinuit du volume de premire anne. Il prsente lensemble des notions matriser pour lanalyse, le contrle etla commande des servomcanismes dans le cadre du programme officiel des trois filires PT, PSI et MP :

le premier chapitre expose les bases pour aborder lanalyse de la structure des mcanismes ;

les deux chapitres suivants dfinissent les outils pour la description des masses solides en mouvement et des ner-gies mises en jeu ;

les quatrime et cinquime chapitres sintressent la stabilit et aux performances des systmes asservis ;

le dernier chapitre apporte les complments requis pour prciser la commande des systmes squentiels.Ds que possible, le cours sappuie sur les notions acquises en sciences physiques et en mathmatiques. Il reste concis,avec des notations simples et transversales, construites de manire transmettre les notions abordes. Les exercicessont expliqus et corrigs de faon dtaille, avec des complments accessibles sur le site Internet http://www.jdotec.fr

Les systmes prsents cette occasion sont des ensembles dont une tude partielle a t mene lors des concoursdentre aux coles dingnieurs, X-Cachan, Centrale-Supelec, Mines-Ponts, CCP ou E3A par exemple.

La finalit de cet ouvrage est de donner outils et mthodes ncessaires lapproche de ralisations industriellesmodernes de plus en plus automatises. Au-del de cette finalit, lobjectif des auteurs est de soutenir ltudiant dansla construction dune attitude de recherche autonome, capacit qui offre ouverture desprit et enrichissement sur les

plans professionnel, social et humain.Les auteurs confient aux lecteurs la tche de retourner remarques et suggestions en adressant un courrier lectronique ladresse [email protected] un courrier postal aux bons soins des ditions Dunod. Ils souhaitent chacun de leurslecteurs de parvenir au niveau dexpertise leur permettant de prendre une place active dans la gestion des projets indus-triels complexes.

Jean-Dominique Mosser


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3.1 Convergence, divergence

VII

Dunod.


La rdaction de cet ouvrage a t l'occasion de nombreux changes autour des sciences de l'ingnieur au sein de l'qui-pe pdagogique du lyce Klber Strasbourg. Les auteurs tiennent remercier tous ceux qui, de prs ou de loin, ontcontribu ces dbats interdisciplinaires, et tout particulirement leurs deux collgues, actif ou retrait :

Robert Vinot, solidaire et attentif au quotidien ;

Jean-Franois Bonnard, pour son soutien et ses encouragements.

Remerciements


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Dunod.


1

1CHAPITRE 1Thoriedes mcanismes

Introduction

Les mcanismes sont des dispositifs constitus de solides assembls pourtransformer des mouvements, et pour lesquels on peut mener deuxapproches complmentaires :

une approche technologique, pour lart du choix et de lassemblage descomposants ;

une approche mcanique, pour les outils et les mthodes de calcul appliquer sur les modles associs.

La thorie des mcanismes est le domaine de la mcanique qui sintresse larchitecture des mcanismes et relve clairement dune approche mca-nique. Elle sappuie sur la thorie des graphes et sur les techniques de rso-lution des systmes dquations linaires pour atteindre trois objectifs :

aboutir une mise en quation ;

valuer les possibilits de rsolution ;

automatiser la recherche de linfluence de chacun des paramtres.

Aujourdhui, le gnie logiciel accompagne le mcanicien et on met en

consquence laccent plus sur la comprhension des phnomnes que surles mthodes de calcul, et on sollicite un travail dimagination de mouve-ments en parallle aux activits menes.

Prrequis

Notion de solide indformable.

Graphe de structure, graphe des liaisons.

Chanes ouvertes et chanes fermes.

Degr de libert.

Liaisons usuelles. Lois de composition des mouvements.

Techniques de rsolution des systmes dquations linaires.

Objectifs

Paramtrer un mcanisme.

Dnombrer les inconnues et les quations disponibles.

Diffrencier les structures isostatiques des structures hyperstatiques.

1.1 Paramtrerun mcanisme 2

1.2 Approchecinmatique 9

1.3 Approchedynamique 15

1.4 Approche globale 21

1.5 Faut-il lisostatisme ? 26


Exercicesdapprofondissement 31


Plan


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Chapitre 1 Thorie des mcanismes

2

La thorie des mcanismes sappuie sur ltude des chanes fermes de solides et apour buts :

lanalyse de la structure dun mcanisme, afin dmettre un avis sur la pertinencedes solutions adoptes pour remplir la fonction mcanique souhaite ;

la dtermination des diffrentes lois entre-sortie ;

lanalyse de la transmission dnergie en vue du dimensionnement des organesmcaniques.

1.1 Paramtrer un mcanismePour pouvoir analyser la structure dun mcanisme, il est ncessaire de comprendre ladescription gomtrique qui en est donne, la plupart du temps, sous forme de sch-mas plus ou moins dtaills.

DfinitionOn appelle paramtrer lactivit qui consiste dfinir variables et invariants.

Dune manire gnrale, lvaluation des variations sapprcie au cours du temps et ilnest pas inutile de prciser la dfinition prcdente :

les variables sont des quantits qui peuvent varier au cours du temps ; les invariants sont des quantits qui restent constantes au cours du temps.

Paramtrer est une activit qui concerne tous les domaines scientifiques, et le rsultatsexprime sur un schma. Dans le cas particulier des mcanismes, si le paramtrage esteffectivement donn sur un schma cinmatique, la rflexion qui accompagne son la-boration se mne partir du graphe des liaisons :

les variables se dnombrent partir de lanalyse des arcs, complte dans le cas desactions mcaniques par linventaire du milieu environnant ;

les invariants sont de nature gomtrique, savoir des longueurs ou des anglescaractristiques, mis en vidence partir de lanalyse des sommets.

1.1.1 Poser les variablesLes variables cinmatiques sont implicitement poses avec les modles de comporte-ment choisis, cest dire avec les liaisons proposes, et sont plus ou moins explicites

dans les torseurs cinmatiques.Cette proposition mrite dtre dtaille et illustre.Quand elle correspond au taux de variation dun paramtre gomtrique, une variablecinmatique est toujours interprtable.

Exemple

Une liaison pivot daxe (A,x1) pose entre deux solides 1 et 2 admet une possibilitde rotation que lon peut caractriser par un angle pos entre deux bases vectorielles.

V(2/1) =A

x10

La variable cinmatique est sans ambigut la drive parrapport au temps de langle , quantit observable et mesu-rable.

Qui dit transformation de mouvementsdit chanes fermes de solides !

On rappelle quune possibilit devariation ne suppose pas de variationseffectivement constates.

onierAl

gbreMonier

Gomtrie

AlgbreMo

nier

erAlgbre

Gom

omtrieM

onier

Dans cet ouvrage, on rappelle quuneliaison est un modle de comportementcinmatique, ne pas confondre avecle rel.

x 1 = x 2y1

z1

y2

z2

x 1 = x 2y1

z1

y2

z2


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1.1 Paramtrer un mcanisme

3

Quand elle ne dcoule pas dun paramtre gomtrique, la variable est souvent impos-sible interprter.

Exemple

Une liaison sphrique de centre Cpose entre deux solides 1 et 2 comporte troisdegrs de libert, que lon ne dtaille gnralement pas en posant le vecteur rota-tion.

V(2/1) =C

(2/1)0

Il est toujours possible dexprimer des coordonnes pour le vecteur rotation et deposer (2/1) =p21 x1 + q21 y1 + r21 z1, mais les variablesp21 ,q21 et r21 ne sontpas les drives par rapport au temps dangles poss respectivement autour de x1,y1 ou z1.

1.1.2 Rechercher les invariantsLes lois de comportement que lon met en vidence lors dune rsolution ne sont pasuniverselles et ne peuvent tre associes quaux mcanismes dont elles sont issues.Leur domaine de validitest exprimpar les caractristiques gomtriques propres la structure tudie. Celles-ci apparaissent sous deux formes :

soit clairement sous forme dinvariants identifis et nomms, savoir des lon-gueurs ou des angles chiffrs ;

soit de manire plus cache, lorsque les longueurs ou les angles concerns sontnuls, ce qui se traduit par des paralllismes ou des intersections par exemple.

La recherche des invariants gomtriques est mene partir du graphe des liaisons, ensintressant aux sommets et en faisant linventaire pour chaque solide des proprits

gomtriques issues des arcs le joignant.

Dunod.


Poser dans ce cas des coordonnes estune activit ne mener que dans des castrs particuliers, et surtout pas demanire systmatique !

Les invariants sont exprims par laposition relative des lmentsgomtriques sur un solide.

Solide 2

Solide

1

point droite plan

point sphrique sphre cylindre sphre plan

droite pivot glissant cylindre plan

plan appui plan

Les six liaisons les plus simples

Six liaisons usuelles permettent une apprhension aise de ces proprits gom-triques. En effet, elles ne font intervenir sur chaque solide quun seul des lments go-mtriques pris dans lensemble {point, droite, plan}. On rsume ces caractristiquesdans un tableau.

Quelles sont les caractristiques gomtriquesinduites par cette liaison ?

Ce tableau sexploite en pointant partir de la liaison la proprittrouver sur chacundes solides.


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4

Exemple

partir de la liaison cylindre-plan, on doit trouver une droite sur lun des solideset un plan sur le second.

cylindre plan

plan

droite

Les quatre autres liaisons usuelles

Les quatre autres liaisons usuelles mritent une attention particulire :

la liaison pivot autorise une seule rotation. Sur chacun des deux solides concernsest dfinie une droite :

ces deux droites restent confondues au cours du temps ;ces deux droites ne peuvent pas glisser lune le long de lautre.

On peut proposer comme caractristique gomtrique une demi-droite sur chacundes deux solides. Peu importe oest pris le point, mais une fois choisi, les deuxdemi-droites restent confondues au cours du temps.

la liaison glissire autorise une seule translation rectiligne oriente par un vecteur.Seule la direction est caractristique.

la liaison hlicodale autorise une rotation et une translation rectiligne conjuguespar la prsence dune hlice. On se contente dans le cadre de cet ouvrage de rele-ver laxe de rotation commun et la valeur du pas.

la liaison sphrique doigt pointe sur un des solides vers un point sur une droite,et sur le second vers un point sur un plan.

Exemple dutilisationOn considre un mcanisme de levage ralislaide dun vrin. Il est schmatissurla figure ci-dessous et composde quatre ensembles :

un chssis 1, auquel on associe un repre (A,x1, y1, z1) ; une benne 2, en liaison pivot daxe (A,x1) avec le chssis ; un vrin pour assurer la rotation de la benne par rapport au chssis :

le piston 3 est en liaison pivot daxe (C,x1) avec le chssis ;le corps de vrin 4 est en liaison pivot glissant daxe (B, x2) avec la benne ;on modlise le contact entre la tige et le corps de vrin par une liaison pivot glis-

sant daxe (BC).

Une demi-droite correspond unintervalle ferm dun ct par un pointP,infini de lautre [P,[

Le pas de lhlice,souvent notp,est undes invariants que lon retrouve dans lescalculs !

Un texte de prsentation est rarementexhaustif.Un schma cinmatique estrarement compltement paramtr.Lun et lautre sont labors de manire ce que lensemble des informationssoit accessible. En cas de doute, cestlabsence dinformation qui permet dechoisir la proposition la plus simple.

A

B

C

x1

y1

z1

2

4

3

1

Figure 1.1 Schma cinmatique du mcanisme.


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5

On se propose danalyser la structure dcrite afin de comprendre les informations don-nes, de faire apparatre les invariants, et enfin de complter le paramtrage.Le graphe des liaisons comporte quatre sommets et quatre arcs

Dunod.


1

2

4

3

P ( x 1)

PG ( x 2)PG (CB )

P ( x 1)

4 Corps de vrin3 Piston

2 Benne1 Chssis

P Pivot daxe (Dte )PG Pivot glissant daxe (Dte )

Ce mcanisme admet six variables cinmatiques, ce total tant la somme des degrs delibertdes diffrentes liaisons.La recherche des invariants se mne partir de chacun des sommets : on commence par le sommet attribuau corps de vrin 4, dopartent deux arcs :

la liaison pivot glissant vers 3 induit lexistence

dune droite d43 ;la liaison pivot glissant vers 2 induit lexistencedune autre droite d42 ;

On trouve donc sur le corps 4 deux droites d42 et d43. Labsence dinformationscomplmentaires concernant ces deux droites invite les considrer scantes etperpendiculaires. On nomme B le point dintersection et on associe la pice unebase vectorielle dont les directions x4 et y4 orientent les axes de rotation.Cette recherche est termine, et on fait la synthse de la gomtrie du corps devrin 4

2

4

3

PG (d42)PG (d43)

Le point dintersection est matrialis surle schma, et la perpendicularit estinduite par les directions traces.

Monier

AlgbreMon

ier

Gomtrie

erAlgb

reMonier

nierAlgbr

eGom

Gom

trie Monie

r

y4x 4

z4

(d43 )

(d42 ) B

on sintresse maintenant au sommet du piston 3, et aux deux arcs qui le joignent :

la liaison pivot glissant vers 4 induit lexistencedune droite d34 ;

la liaison pivot vers 1 induit lexistence dunedemi-droite dd31 ;

Lnonclaisse envisager sur 3 ces deux droites scantes et perpendiculaires. Onnomme en consquence Cle point dintersection,(C,x3) la demi-droite et (C,y3)la droite.

1

4

3

d34

dd31

y3x3

z3

(d34 )(dd31 )

C


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6

on poursuit par le sommet correspondant la benne 2 :

la liaison pivot glissant vers 4 induit lexistencedune droite d24 ;


Les deux droites trouves sur la benne 2 sont parallles : on les oriente avec le vec-teur x2 et on pose

AB = R y2 .

1

2

4

dd21

d24

y2

x 2

z2

(dd21 )

(d24 )

A

BR

on termine par le sommet du chssis 1 : la liaison pivot vers 3 induit lexistence dune

demi-droite dd13 ;


Les deux demi-droites trouves sur le chssis 1 sont parallles : on les oriente avecle vecteur x1, et on pose

AC=L z1 .

1

23

dd12dd13

y1x 1

z1

(dd12 )

(dd13 )

A

C

L

En conclusion, cette structure prsente deux invariants explicites, la longueurL sur lechssis et la longueur R sur la benne. Toutes les autres proprits sont implicites, sousforme de droites soit parallles, soit scantes et perpendiculaires.

1.1.3 Mobilit Degr de libertOn approfondit ici le lien qui existe entre les variables cinmatiques et gomtriques.Un degrde liberta tdfini dans louvrage de premire anne comme une possibi-litde mouvement entre deux solides, et il a tmis en vidence que dans lespacegomtrique de dimension 3, un solide volue dans un espace six degrs de libert.Lorsquune variable cinmatique est pose, cest quil existe une grandeur gom-trique qui peut varier au cours du temps :

soit elle varie effectivement, et le taux de variation est donnpar sa drive ;

soit elle ne varie pas, parce que la variable cinmatique correspondante est calcu-le nulle lors de la rsolution.

Ce nest pas parce quune variable est

constante quelle ne peut pas varier !


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7

On ralise ainsi quil est important de bien distinguer une possibilitde variation dunevariation effective, ce que permettent de faire les concepts mathmatiques de diffren-tielle et de drive.

Dfinition

On appelle mobilit la diffrentielle dun paramtre de mise en position.

On ne cherche pas valuer la variation effective dun paramtre, mais sa capacitvoluer. Le terme de mobilittant dfini ainsi, on peut proposer une nouvelle dfini-tion pour la notion de degrde libert.

Dfinition

On appelle degrde libert une mobilitnon nulle.

Cest ainsi que par rapport un repre donn: un solide possde six mobilits ; un solide possde au plus six degrs de libert.

1.1.4 laborer un schma cinmatiqueOn ne peut terminer cette section sans approfondir un petit peu la notion de schmacinmatique, afin de prendre en compte les nouveaux acquis.

Dfinition

Un schma cinmatique est une reprsentation graphique codifie des possibilitsde mouvements entre solides.

Un schma cinmatique est ralispartir de symboles, majoritairement normaliss,

agencs en respectant les caractristiques gomtriques du mcanisme modliser.Il est laboren trois tapes :

tracde lpure gomtrique ; mise en place des symboles ; habillage.

pure gomtrique

Cette premire tape est celle qui demande le plus de rflexion. Elle sappuie sur larecherche des invariants gomtriques mene partir du graphe des liaisons. Il sagittout dabord dinventorier les proprits gomtriques du mcanisme, ensuite de les

retranscrire sur la projection souhaite. Cette tape est illustre partir de lexemplesuivant :

Systme bielle manivelle (1/3)

On souhaite tracer dans le plan (x1,y1) le schma cinmatique dun systme bielle-manivelle modlispar le graphe des liaisons suivant :

Dunod.


Le motpureadmet deux sens,que lonretrouve simultanment ici.Dune part,cest une bauche. Dautre part, cestune projection dun objettridimensionnel sur un plan, avec lesrgles de trac induites.

1

2

3

4

P ( z1)

P ( z2)P ( z3)

PG ( x 1)

4 Piston

3 Bielle

2 Manivelle

1 Bti

P Pivot daxe (Dte )PG Pivot glissant daxe (Dte )


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8

On prcise de plus que :

les bases vectorielles attaches aux quatre solides 1, 2, 3 et 4 sont poses telles quez4= z3, z3= z2 et z2= z1 ;

le point Cappartient la droite (A,x1) ; la bielle est beaucoup plus longue que la manivelle.

Lanalyse successive des quatre sommets conduit aux propositions suivantes :

le bti 1 comporte au moins deux droites scantes au point A et orthogonales ; la manivelle 2 comporte deux demi-droites parallles et on pose

AB = R x2 ;

la bielle 3 comporte demi-deux droites parallles et on poseBC=L x3 ;

le piston 4 comporte au moins deux droites scantes au point Cet perpendiculaires.

Lpure gomtrique se construit alors en trois tapes :

1) on commence par le tracdu repre (A, x1, y1) pour positionner les deux droites(A,x1) et (A, z1) caractristiques du bti

(x 1)

(y1)

(A )

2) on trace avec un compas larc de cercle de rayon R caractristique de la manivelle

(x 2)

R

(B )

3) on reporte enfin au compas la longueur L de la bielle partir du point B, telle queL R , et on trouve la position du point Cpar intersection de larc tracavec ladroite (A, x1)

L

(C)

Mise en place des symboles

Les symboles se positionnent en commenant par les liaisons contraintes gom-triques les plus fortes, savoir dans lordre :

1) les liaisons centre, pour lesquelles le symbole est centrsur le point caractris-tique ;

2) les liaisons axe, pour lesquelles le symbole se positionne nimporte ole long dela droite caractristique ;

3) les liaisons direction, pour lesquelles le symbole se positionne nimporte odanslespace, avec comme seule contrainte de respecter lorientation caractristique.


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1.2 Approche cinmatique

9


Les trois axes des liaisons pivot tant perpendiculaires la feuille, il ny a pas le choixpour tracer les cercles correspondants. Par contre, le symbole pour la liaison pivot glis-

sant se positionne olon veut sur la droite (A,x1) .

Dunod.


Habillage

Lhabillage du schma consiste :

relier les symboles entre eux ; ajouter les numros des solides et la nomenclature ;

matrialiser les repres attachs aux solides ; poser les variables ou les invariants remarquables.


x 1

y1x 2y2

A

B

C

3 42 1

1.2 Approche cinmatiqueSoit le graphe des liaisons connu pour un mcanisme donn, ou propospour un mca-nisme concevoir. On note :

NP le nombre de sommets du graphe ; NL le nombre darcs du graphe.

1.2.1 Nombre de cycles indpendantsLa thorie des mcanismes sappuie sur ltude des chanes fermes de solides. La pre-mire proccupation est donc de les dnombrer. Soit ce nombre :

le plus petit des graphes ne comporte quun seul sommet et il ny a aucune chaneferme ;

Les symboles des liaisons sont bicolores,et les couleurs sont en relation aveccelles des solides concerns !

Les lettres choisies font rfrence aunombre de pices pourNP et au nombrede liaisons pourNL.

= 0

on ajoute un sommet et un arc pour obtenir la plus petite des chanes ouvertes ;

= 0


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10

partir de l, ajouter un sommet et un arc ne crpas de chane ferme ;

= 0

pour crer la plus petite des chanes fermes partir de la plus petite des chanesouvertes, il est ncessaire et suffisant dajouter un arc ;

= 1

Cest ainsi que lon constate quajouter un arc augmente le nombre de cycles duneunit, alors quajouter la fois un arc et un sommet ne le change pas.

Dfinition

On appelle nombre de cycles le nombre de chanes fermes indpendantes par-courir pour dcrire un graphe dans sa totalit.

Le nombre de cycles se calcule par la formule

=NL NP + 1 (1)

Pour la mmoriser, il suffit de se rappeler quil faut deux sommets et deux arcs pour laplus petite des boucles, dola ncessitdu +1 , et que le nombre de cycles aug-mente avec le nombre de liaisons, doles signes respectifs pour NL et NP .

Exemple

Soit un mcanisme dont le graphe de structure est donnci-dessous

1

2 3

45

On dnombre NP = 5 sommets et NL = 6 arcs, ce qui donne deux cycles ind-pendants

=NL NP + 1 = 2

Ces deux chanes fermes sont par exemple 1 2 5 1 et 2 3 4 5 2

1

2

5

2 3

45

La chane 1 2 3 4 5 1 est galement une chane ferme, mais elle sedduit des deux prcdentes.


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11

1.2.2 Nombre dquationsUne fois les chanes fermes indpendantes dnombres, il est possible dvaluer lenombre dquations scalaires disponibles pour la rsolution du problme. Soit Ec cenombre qui rsulte de lapplication de la loi de composition des mouvements sur cha-cune des chanes indpendantes.

Ec = 6

Exemple

En reprenant lexemple prcdent, les deux quations torsorielles considrersont, par exemple :

celle associe la chane ferme 1 2 5 1 ;

V(1/2) + V(2/5) + V(5/1) = O

celle associe la chane ferme 2 3 4 5 2.

V(2/3) +

V(3/4) +

V(4/5) +

V(5/2) =

O

On obtient ainsi 12 quations scalaires. On constate par ailleurs que si lon sommeles deux quations prcdentes, on obtient

V(1/2) + V(2/3) + V(3/4) + V(4/5) + V(5/1) = O

Cette quation correspond bien au parcours de la troisime boucle1 2 3 4 5 1.

1.2.3 Nombre dinconnues

On note Ic le nombre dinconnues cinmatiques scalaires.Ce nombre se dtermine par simple somme des degrs de libertde chacune des NLliaisons.

Remarque

Le nombre dinconnues cinmatiques scalaires dpend de la nature des modles adoptspour les liaisons.

1.2.4 Indice de mobilitLe problme du mcanicien est ainsi de traiter, voire de rsoudre un systme de Ecquations Ic inconnues. Ce systme est un systme linaire homogne que lon crit

sous une forme matricielle

Dunod.


Il y a six quations scalaires par cycle !

Changer de liaisons modifie ledcompte !

Ic colonnes

Ec lignesIc

=

...

...0

0


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12

Dfinition

On appelle indice de mobilit lentier relatif Ic Ec , diff rence entre le nombredinconnues cinmatiques et le nombre dquations cinmatiques.

Si lon suppose, comme le montre la figure ci-dessus, que Ic >Ec, on constate quelindice de mobilitdonne le nombre minimum dinconnues quil faut basculer dansle second membre pour pouvoir rsoudre :

lindice de mobilitse dtermine sans crire le systme dquations ; cet entier relatif est utile pour amorcer une rflexion globale.

1.2.5 Degr de mobilitLa rsolution du systme dquations prcdent prend en compte son rang, not rc.Dans le cas orc = Ic , la seule solution est la nullitde toutes les inconnues, donc detous les paramtres cinmatiques. Le mcanisme dfinit alors une structure rigide,aucun mouvement nest possible.Dans le cas contraire, on suppose connu le rang du systme et les quations disposesainsi

Le mot indice est entendre commelentend un dtective.Cest un nombrequi donne une indication,une tendance,et mme quelques certitudes...

Lors de la rsolution,on exprime toutesles inconnues gardes dans le membrede gauche en fonction des inconnuesprincipales !

m

Ic colonnes

Ec lignesIc

=

...

...0

0

Dfinition

On appelle degrde mobilit dun mcanisme le nombre de mouvements indpen-dants possibles. Cest un entier naturel notm et calculpar

m = Ic rc

Le degrde mobilitest toujours positif ou nul. En effet, le rang dun systme de Ecquations Ic inconnues est infrieur ou gal au plus petit de ces deux nombres, ce quiveut dire que le rang est toujours infrieur ou gal au nombre dinconnues Ic.

rc min(Ic,Ec) Ic

Remarque

La recherche du rang du systme dquations est trs instructive, car elle permet de diff-rencier les inconnues qui peuvent devenir inconnues principales de celles qui ne le peuventpas.

Le degr de mobilitm reprsente le nombre dinconnues quil faut passer dans lesecond membre. Toutes les rc autres inconnues du problme sexpriment ensuite enfonction de ces m inconnues principales.Cest ainsi que lon appelle loi entre-sortie dun mcanisme toute relation entre desinconnues cinmatiques qui peut sinterprter comme une inconnue exprime en fonc-tion dune ou plusieurs inconnues principales. Un mcanisme admet au plus rc lois

entre-sortie.

Le degr de mobilit est positif ou nul :m 0 !

Les inconnues principales ont un statutparticulier pour le mcanicien : ellescorrespondent aux mouvements quelon peut motoriser !


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13

1.2.6 Degr de statismeOn constate quun certain nombre dquations ne servent pas la rsolution.On pose alors le nombre h = Ec rc que lon appelle degrde statisme du mcanis-me :

si ce nombre est nul, on parle dune structure isostatique ;

sinon, on parle dune structure hyperstatique de degrh .Le degrde statisme est dfini lors de lapproche dynamique aborde la section sui-vante, page 15. Nanmoins, on peut en donner une premire interprtation cinmatique :il quantifie le nombre de degrs de libertmanquants pour garantir un montage sanscontrainte du mcanisme.En conclusion des diffrentes dfinitions, on peut complter la forme arrange du sys-tme dquations :

Dunod.


En gnral,les quations qui ne servent rien sont de la forme 0 = 0 .

Monier

AlgbreMon

ier

Gomtrie

er Algb

reMonier

nierAlg

breGom

Gom

trieMonie

r

Linterprtation cinmatique du degr destatisme est dveloppe sur lexemple quisuit.

m

Ic colonnes

Ec lignes

hIc

=

..

.

...0

0

}

1.2.7 ExemplePrsentation

On considre laxe intermdiaire repr2 dun rducteur engrenages. Il est guidparrapport un bti not1 par deux roulements billes contact oblique. Les contactssont modliss par des liaisons sphrique de centres respectifs A et B.

x1

y1

A B

2

1

On souhaite dterminer les degrs de mobilitet de statisme de cette structure.

Rsolution

Le graphe des liaisons comporte une chane ferme de solides, et on adopte la notationS(pt) pour la liaison sphrique de centrept.

1 2

S(A)

S(B )

Cette structure admet un indice de mobilitnulIc Ec = 0


22/272


14

On pose les deux torseurs cinmatiques pour caractriser les six inconnues cinma-tiques

V(2a/1) =A

(2a/1)0

V(2b/1) =B

(2b/1)0

En vue dcrire le systme dquations, on pose les composantes suivantes :

(2a/1) =pa x1 + qa y1 + ra z1(2b/1) =pb x1 + qb y1 + rbz1

AB = L x1

On crit la composition des vecteurs vitesse au point B pour obtenir le systme de sixquations six inconnues recherch

pa pb = 0qa qb = 0ra rb = 00 = 0raL = 0

qaL = 0

La rsolution est immdiate et on en dduit les diffrents rsultats sans avoir besoin depasser par lcriture matricielle :

le rang rc est gal 5 ; le degrde mobilitm est gal 1, avecpa oupb comme inconnue principale pos-

sible ;

le degrde statisme h est gal 1, avec une quation de la forme 0 = 0 pour lacomposition des vitesses au point B scalaire x1.

Interprtation

Sur les trois rotations possibles de chaque liaison sphrique, une seule le demeure ausein de la chane ferme.Concernant lhyperstatisme de degr1, la recherche des invariants donne linterprta-tion gomtrique complmentaire de lanalyse cinmatique :

les points A etB sont dfinis sur chacun des deux solides, ce qui est cachlorsquelon pose un peu rapidement

AB = L x1 ;

la prsence des deux points sur le bti 1 conduit dune part poserA1B1= L 1 x1

la prsence des deux points sur larbre 2 conduit dautre part poserA

2B

2= L

2x

2

les deux longueursL1 etL2 sont souhaites gales, mais proviennent de deux ori-gines diffrentes et nont aucune chance dtre effectivement gales ;

le fait de les imaginer diffrentes permet de comprendre le souci possible au mon-tage, ce quillustre la figure ci-dessous sur laquelle la longueur L1 est suprieure la longueur L2. Si on suppose les points Ai superposs, alors on a un souci entranslation suivant x1 pour superposer galement les points Bi.

Cest uniquement parce que lonsouhaite crire le systme completdquations que l on pose descomposantes pour les vecteursrotations : ce nest surtout pas unehabitude prendre !

crire la composition des vitesses aupointA donne un rsultat semblable,qui entrane bien videmment lesmmes conclusions.

MonierA

lgbreMonie

r

Gomtrie

erAlgb

reMonier

nierAlgbr

eGom

Gom

trie Monie

r

A2 B2

L2A1 B1

L1


23/272

1.3 Approche dynamique

15

1.3 Approche dynamiqueSoit le graphe des liaisons connu pour un mcanisme donn, ou le graphe propospourun mcanisme concevoir. On note :

NP le nombre de sommets du graphe ;

NL le nombre darcs du graphe.

1.3.1 Nombre dquationsUne tude dynamique systmatique est mene en tudiant le mouvement ou lquilibrede chacune des pices du mcanisme.Le mouvement ou lquilibre tant ncessairement relatif une de ces pices, prisecomme rfrentiel, on dnombre alors Np 1 mouvements considrer.Soit Es le nombre dquations scalaires obtenus aprs une tude exhaustive.

Es = 6(NP 1)

1.3.2 Nombre dinconnuesSoit Is le nombre dinconnues scalaires dactions mcaniques transmissibles par lesliaisons supposes parfaites du problme.On rappelle que la puissance dissipe par une liaison parfaite est nulle, ce qui se tra-duit par le comoment nul du torseur des actions mcaniques transmissibles par uneliaison et de son torseur cinmatique.

t, V(i/k) F(k i) = 0

Une des consquences lmentaires est que pour une liaison k inconnues cinma-

tiques, on a 6 k inconnues dactions mcaniques transmissibles par la liaison par-faite.

1.3.3 Indice de mobilitOn a donc traiter un systme de Es quations Is inconnues de liaison. Ce systmeest un systme linaire avec second membre qui peut tre prsentsous la forme matri-cielle suivante

Cette approche reprend videmment leplan de lapproche cinmatique !

Les lettres choisies font rfrence aunombre de pices pourNP et au nombrede liaisons pourNL.

En gnral,le bti est considr commeun repre galilen satisfaisant et tous lesmouvements considrer pour cettetude exhaustive lui sont relatifs !

Monier

AlgbreMon

ier

Gomtrie

erAlgb

reMonier

nierAlgbr

eGom

Gom

trie Monie

r

Le nombre dinconnues comptes neconcerne que les liaisons, et celles-cisont supposes sans jeu et sansfrottement !

Lexpression de la puissance sous formede comoment est dveloppe lors ducours de dynamique.

Is colonnes

Es lignes Is =

Second

membre

Le second membre comprend :

les composantes dactions mcaniques extrieures autres que les composantes deliaison, telles que les composantes dues la pesanteur, un lment dformable, un rcepteur ou un moteur ...

les composantes dynamiques.

Les composantes dynamiques sont misesen vidence avec le principe fondamental

de la dynamique.


24/272


16

En reprenant la dfinition de lindice de mobilit vue en cinmatique et en tenantcompte de la dualitentre cinmatique et actions mcaniques qui sexprime par lga-litIc +Is = 6NL, on obtient

Ic Ec = 6NL Is 6(NL NP + 1)= 6(NP 1) Is=Es Is

Lindice de mobilitdfini lors de lapproche cinmatique se dtermine galement lorsdune approche dynamique par soustraction du nombre dinconnues dactions mca-niques transmissibles par les liaisons parfaites au nombre dquations disponibles.

Ic Ec = Es Is

1.3.4 Degr de statismeLa rsolution du systme dquations prcdent prend en compte son rang, notrs .Dans le cas rs =Is, la seule solution du systme homogne associest la nullitdetoutes les inconnues, donc de toutes les composantes dactions mcaniques transmis-sibles par les liaisons. Cette constatation induit les deux dfinitions suivantes.

Dfinitions

Un mcanisme est dit isostatique si, en labsence de sollicitations extrieures, toutesles inconnues transmissibles par les liaisons supposes parfaites sont nulles.Un mcanisme est dit hyperstatique si, en labsence de sollicitations extrieures, ilexiste des inconnues dactions mcaniques transmissibles par les liaisons supposesparfaites indtermines.

Remarques

Isostatique et hyperstatique sont des adjectifs, dont les substantifs correspondantssont respectivement isostatisme ethyperstatisme.

Dans le cas de lhyperstatisme, les inconnues indtermines sont dans les faits leplus souvent non nulles.

On suppose les quations disposes ainsi

Considrer le systme homogneassoci veut dire que lon ne tient

compte daucune sollicitation extrieure.Seules les composantes transmissiblespar les liaisons sont envisages !

s h

Is colonnes

Es lignes Is =

Second

membre

Dfinition

On appelle degrde statisme dun mcanisme le nombre dinconnues principales dusystme dquations homognes ne comportant que les inconnues dactions mca-niques transmissibles par les liaisons parfaites. Cest un entier naturel noth et cal-culpar

h= Is rs

Le degr de statisme se retrouvesouvent sous lappellation degrdhyperstaticit .Cette expression estcomprhensible et donc possible,maiselle est difficile prononcer etabandonne le parallle avec le degr de

mobilit.

MonierA

lgbreMonier

Gomtrie

erAlgb

reMonier

nierAlgbre

Gom

Gom

trie Monie

r


25/272


17

Le degrde statisme est toujours positif ou nul. En effet, le rang dun systme de Esquations Is inconnues est infrieur ou gal au plus petit de ces deux nombres, ce quiveut dire que le rang est toujours infrieur ou gal au nombre dinconnues Is.

rs min(Is ,Es) Is

Un mcanisme isostatique admet un degrde statisme nul, et un mcanisme dont le

degrde statisme est strictement positif est hyperstatique de degrce nombre.On ne peut terminer cette section sans attirer lattention sur un point dlicat com-prendre. Dans les faits, deux systmes dquations sont envisager :

le systme tudijusquici, oil ny a que les inconnues de liaison dans le membrede gauche. Ce systme permet de calculer le degrde statisme de la structure tu-die ;

le systme dquations gnral, pour lequel on ramne dans le membre de gauchetoutes les inconnues dactions mcaniques que lon souhaite dterminer en plus desinconnues de liaison.

1.3.5 Degr de mobilitLors de lapproche dynamique, le degrde mobilitse trouve galement sur le syst-me dquations. Il correspond au nombre dquations superflues pour dterminer lescomposantes de liaison.

Remarque

Les quations ne servant pas la rsolution ne font pas intervenir de composantes dactionsmcaniques transmissibles par les liaisons parfaites.

On trouve m = Es rs et lensemble des propositions peut tre rsumsur la figureci-dessous

Dunod.


Les deux systmes dquations sontenvisags dans lexemple de la section1.3.6.

s h

I colonnes

Es lignes

m

Is =Second

membre

De par la dualitentre les deux approches, on peut formuler la proposition : Lo

nexiste aucune composante de liaison apparat une possibilit de mouvement. Ilreste remarquer que ces quations inutiles pour la dtermination des composantes deliaison ne sont pas de la forme 0 = 0, car le second membre contient toutes les com-posantes dactions mcaniques autres que celles de liaison.

1.3.6 ExempleOn reprend lexemple dvelopplors de lapproche cinmatique la page 13.

PrsentationOn considre laxe intermdiaire repr2 dun rducteur engrenages : il est guid par rapport un bti not 1 par deux roulements billes contact

oblique, dont les contacts sont modliss par des liaisons de type sphrique, de

centres respectifs A et B, paramtrs parAB = L x1 ;

Le second membre a t dtaill lasection 1.3.3 page 15.


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18

il comporte un pignon qui engrne avec un arbre moteur m au point C, localisparAC= c x1 +R y1 ;

il comporte galement une roue dente qui engrne avec un arbre rcepteur ren un

point D localisparAD= dx1 rz1 .

x 1

y1

A B

C

D

2

1

On nglige la masse et linertie de larbre 2 et le milieu environnant 2 retenu pourltude comporte alors :

le bti 1 ;

larbre moteur notm ; larbre rcepteur notr;

Comprhension du problme

On trace le graphe des liaisons de lensemble du rducteur pour mettre en vidence ladiffrence entre les inconnues de liaison garder dans le membre de gauche et lesinconnues passer dans le second membre.

1

2

S(A ) S(B )m rP P

P : Pivot

S : Sphrique: Engrenage

Dun point de vue cinmatique, cest le moteur qui impose le mouvement et serait dterminer une loi entre-sortie r1= f(m1), en appelant m1 et r1 les variablescinmatiques associes aux deux liaisons pivot.

r1

Rducteur

m

1

Dune point de vue dynamique, cest le rcepteur qui rclame de la puissance et seraitdterminer une loi entre-sortie Cm = f1(Cr), en appelant Cret Cm respectivementles couples rcepteur et moteur.

Cr CmRducteur

Pour le mcanisme dans son ensemble, les actions mcaniques transmissibles dans lesengrenages sont des actions de liaison.


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19

Maintenant, lobjet de ltude est ici la seule chane ferme 1 2 1, pour laquelleles actions mcaniques de liaison sont uniquement au niveau des liaisons de type sph-rique.

Dunod.


1

2

S(A ) S(B ) S : Sphrique

Approche dynamique

On crit les torseurs associs aux deux liaisons et on modlise par des glisseurs lesactions mcaniques transmissibles par les engrenages

F(1a 2) = A

R(1a 2)0

F(1b 2) = B

R(1b 2)0

F(m 2) =C

Fm um0

F(r2) =D

Frur0

Les deux directions um et ursont dans le plan ( y1,z1) et on les oriente sur la figure ci-dessous

y1

z1

C

D

um

ur

En vue dcrire le systme dquations, on pose les composantes des rsultantes quel-conques :

R(1a 2) =XA x1 + YA y1 +ZAz1R(1b 2) =XB x1 + YB y1 +ZB z1

Comme la masse et linertie de 2 sont ngliges, on applique le thorme de lqui-libre larbre 2 par rapport au repre 1 suppos galilen et on crit lquation demoment par exemple au point A pour obtenir le systme de six quations scalairesrecherch. Tous les termes concernant les engrenages sont passs dans le secondmembre.

XA +XB = 0YA + YB =Fm sin + Fr cos

ZA +ZB = Fm cos Fr sin0 = RFm cos + r Fr cos

L ZB = cFm cos + d Fr sin+LYB = cFm sin + d Fr cos

La recherche des degrs de mobilitet de statisme se fait partir du systme homog-ne associ.

Langle est appel angle de pression.Une de ses valeurs courantes est 20.

Cest uniquement parce que lonsouhaite crire le systme completdquations que lon pose ici descomposantes pour les actionsmcaniques. Ce nest surtout pas unehabitude prendre sans ncessit !


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29/272

1.4 Approche globale

21

YA + YB Fm sin =Fr cosZA +ZB+ Fm cos = Fr sinRFm cos = r Fr cosL ZB cFm cos = d Fr sinLYB cFm sin = d Fr cos

parmi ces cinq quations, la troisime fournit la loi entre-sortie.

1.4 Approche globaleLes deux sections prcdentes ont permis de dfinir et de caractriser les degrs demobilitet de statisme dun mcanisme :

lors dune approche cinmatique ;

m =Ic rc

h =Ec rc lors dune approche dynamique.

h =Is rsm =Es rs

Quelle que soit lapproche, on soustrait les deux quations membre membre et ontrouve

m h= Ic Ec =Es rs Indice de mobilit

La diffrence entre les degrs de mobilitet de statisme est gal lindice de mobili-tdun mcanisme.

Dfinition

On appelle approche globale le raisonnement que lon peut mener partir de lin-dice de mobilit.

Lindice de mobilit se calcule partir des nombres dinconnues et dquations, etsinterprte avec les degrs de mobilitet de statisme. Le raisonnement mener dbu-te laide de lquation et des deux ingalits suivantes

m h = Ic Ecm 0h 0

Les deux situations les plus parlantes sont celles pour lesquelles lindice de mobilitnest pas nul :

un indice de mobilitpositif incite imaginer des mouvements ; un indice de mobilitngatif incite chercher des contraintes de montage ; un indice de mobilitnul ne donne aucune indication immdiate.

1.4.1 Synthse des propositionsLes diffrentes propositions nonces jusquici dans ce chapitre sont disposes dans letableau ci-aprs

La loi entre-sortie pouvait tredtermine directement.Elle est issuede lquation scalaire qui vite lesinconnues de liaison !

Les auteurs privilgient en toutecirconstance lapproche cinmatique !


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Nb. pices NPNb. liaisons NL

Nb. cycles =NL NP + 1

Nb. mouvements NP 1

Nb. quations scalaires Ec = 6 Es = 6(NP 1)

Nb. inconnues scalaires Ic IsRang rc rsIndice de mobilit Ic Ec Es IsDegrde mobilit m = Ic rc m = Es rsDegrde statisme h= Ec rc h = Is rs

Approche globale m h = Ic Ec m h = Es Is

Approche Approche

cinmatique dynamique


22

1.4.2 Quelle approche privilgier ?

Toute tude commence par une approche globale. En effet, il est inutile de se lancerdans des calculs qui deviennent trs rapidement complexes pour dboucher sur desconclusions triviales. Par ailleurs, il nest pas inutile davoir une ide prliminaire dece vers quoi on tend :

pour une recherche des degrs de mobilitet de statisme, lapproche cinmatiqueest privilgier, et ce pour deux raisons :les grandeurs manipules sont observables et mesurables ;le nombre dquations traiter est en gnral bien infrieur celui obtenu par

lapproche dynamique.

pour une recherche de la loi entre-sortie dun point de vue dynamique, lapprochenergtique est privilgier. Le thorme de lnergie cintique donne un rsultatimmdiat.

lapproche dynamique enfin est mener lorsque lon cherche dimensionner lescomposants dun mcanisme. Il est alors seulement ncessaire de connatre les tor-seurs dactions mcaniques transmissibles par les liaisons.

1.4.3 Les qualits dune approche globaleUne approche globale prsente limmense intrt dtre rapide et sans calcul prlimi-naire, ce que lon illustre immdiatement sur un exemple.

Exemple

La structure que lon se propose dtudier est le modle cinmatique dune pompepistons axiaux. Un moteur entrane le rotation de larbre 1. Le dbit est gnrpar la translation rectiligne alternative de cinq pistons 3 par rapport au bti 0. Leschma cinmatique donnne prsente quun seul des cinq pistons rgulirementrpartis autour de laxe de rotation de larbre moteur 1.

Ce tableau contient les expressions et lesformules connatre !

Lapproche nergtique est aborde dansle chapitre consacr la dynamique.


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23

La lecture et le dcodage du schma cinmatique permettent llaboration du

graphe des liaisons correspondant

x 0

y0

u1

v1

3

1 20

A B

C

Pompe

10 V30

3 5 Piston

2 1 Plateau

1 1 Arbre

0 1 Bti

Rep Nb Dsignation

1

2

3

0

P ( u1)

S(C)P (x 2)PG ( x 0)

P ( x 0) P (Dte ) : Pivot daxe (Dte )PG (Dte ) : Pivot glissant daxe (Dte )S(Pt) : Sphre de centre (Pt)P (V ec) : Plan de normale (V ec )

Ce graphe comporte une chane ferme de solides, ce qui permet de dnombrer les

quations scalaires disponiblesEc = 6

Le dcompte du nombre dinconnues donne

Ic = 9

On en dduit la valeur de lindice de mobilit

Ic Ec = 3

On interprte lindice de mobilitpartir des degrs de mobilitet de statisme, savoir m h= Ic Ec , et on en dduitm h = 3

m 3h 0

Sans faire aucun calcul supplmentaire, on est sollicit pour imaginer au moinstrois mouvements indpendants au sein de cette structure.

1.4.4 Les limites dune approche globaleIl est acquis que toute analyse commence par une approche globale. Mais il ne faut pas

oublier pour autant que cette dernire ne donne quun indice et que seul le systme

dquations donne des certitudes.On donne ci-dessous lexemple de trois structures admettant exactement le mmegraphe des liaisons, et pour lesquelles les conclusions divergent.

Mme si on a du mal imaginer lesmouvements, on est sr quils sontpossibles !

Sans crire le systme dquations,seulela recherche des invariants permet demettre en avant les diffrences. Mais

dans ce cas,leur exploitation relve duntravail dimagination, ce qui ne donnepas de certitudes !

onierAlg

breMonier

Gomtrie

Algbre M

onier

er Algbre

Gom

omtrie

Monier


32/272


24

On calcule un indice de mobilitnul, ce qui induit la proposition la moins significati-ve : m h = 0

m 0h 0

Soit la structure est rigide et isostatique, soit elle admet m mouvements et est hyper-statique dautant.

Premire disposition

1

2

3

P ( x 1)

S(C)

PG ( x 1)P (Dte ) : Pivot daxe (Dte )PG (Dte ) : Pivot glissant daxe (Dte )S(Pt) : Sphrique de centre (Pt)

A

C

Dz1

x 1

y1

1

2

3

Ltude des sommets met en vidence les proprits gomtriques propres chacundes solides :

sur le bti 1 sont dfinies deux droites confondues, savoir (A1, x1) et (D1, x1) ; on trouve sur larbre 2 le point C2 sur une demi-droite (A2,x2) ; on trouve sur larbre 3 le point C3 sur une droite (D3, x3) .

On arrive imaginer les deux rotations indpendantes des arbres dentre et de sortiepar rapport au bti. La structure semble alors hyperstatique de degr 2, ce que loninterprte ainsi : On imagine la liaison sphrique dmonte, et on utilise les degrs delibertde la chane ouverte 2 1 3 pour chercher confondre les points C2 et C3 :

la translation de 3 par rapport 1 suivant x1 est possible ; les deux contraintes sont en translation suivant y1 et z1.

Deuxime disposition

La liaison sphrique autorise les troisrotations entre 2 et 3,il ny a donc aucunecontrainte dorientation rechercher.

AC

D

z1

x1

y1

1

2 3


33/272


25

Deux diffrences sont observer par rapport la disposition prcdente :

le point C2 nest plus sur la demi-droite (A2,x2), il existe maintenant un premierinvariant explicite, la distance R2 du point la droite ;

le point C3 nest plus sur la droite (D3, x3) , mais une distanteR3, deuxime inva-riant explicite mis en vidence.

Les deux droites du bti tant confondues, il est ncessaire que les rayons R2 et R3soient gaux pour assurer la concidence des points C2 et C3. Pour imaginer cela, onconsidre nouveau la chane ouverte 3 1 2 avec la liaison sphrique dmonte :

la translation autorise par la liaison pivot glissant permet damener le point C3dans un plan perpendiculaire aux axes de rotation contenant le point C2 ;

la rotation autorise par la liaison pivot ou par la liaison pivot glissant permetdamener les deux points sur un mme rayon ;

aucune possibilitde mouvement ne permet de rapprocher les deux points suivantle rayon oon les a placs.

Cette agencement nautorise plus quun seul mouvement, la rotation de lensemble

{2, 3} par rapport au bti, et est hyperstatique de degr1.

Troisime disposition

AC

D

z1x1

y1

1

2

3

Les deux droites du bti ne sont dans ce cas plus confondues, mais parallles et spa-res dune distanteL1. On se place dans un plan parallle ( y1,z1) pour constater quilny a plus aucune contrainte sur les longueurs. Dans ce cas, on peut montrer que lastructure est effectivement isostatique et rigide.

y1

z1

L1

R 2

R3

D

A CIl nest envisag que des valeurs pour

lesquelles lintersection est possibleR2 R3 < L 1 < R2 +R3

Monier

AlgbreMon

ier

Gomtrie

er Algb

reMonier

nierAlgbr

eGom

Gom

trieMonie

r


34/272


26

1.5 Faut-il lisostatisme ?On termine ce chapitre en veillant le lecteur aux qualits respectives de lisostatismeet de lhyperstatisme :

pour une fonction mcanique souhaite, une structure isostatique est plus cono-

mique quune structure hyperstatique ; une structure hyperstatique est plus rigide quune structure isostatique.

En effet, les contraintes gomtriques mises en vidence dans le cas de lhyperstatis-me induisent soit une qualit de fabrication plus grande, soit la mise en place derglages sur le mcanisme. On sait tout fait raliser et lun, et lautre, mais cela a uncot. En conclusion, on peut dire que lhyperstatisme est un choix rflchi quil estncessaire de financer quand les critres de performances ne sont pas atteints avec unestructure quivalente isostatique.Chercher rendre une structure isostatique est une activitqui sollicite limaginationet que lon illustre sur un exemple.

Exemple

On reprend le mcanisme de levage proposla page 4, lequel prsente un indicede mobilit nul. On souhaite rendre sa structure isostatique, sachant que lon nepeut pas toucher toutes les liaisons :

la liaison pivot entre la benne 2 et le chssis 1 doit rester robuste ; lactionneur reste le vrin propos.

Il est ncessaire dajouter des degrs de libertau niveau des accroches du vrin.On propose ainsi une liaison sphrique entre la tige 3 et le chssis 1 la place dela liaison pivot initiale.

Pour montrer la plus grande rigidit

dune structure hyperstatique, il estncessaire de mettre en uvre desoutils issus de la rsistance desmatriaux.

MonierA

lgbreMonier

Gomtrie

erAlgbr

eMonier

nierAlgbr

eGom

Gom

trieMonie

r

A

B

C

x1

y1

z1

2

4

3

1


35/272

Synthse

27

On a ajoutdeux degrs de libertau sein de la structure, pour passer dun indicede mobilitnul un indice de mobilitgal deux.

m h = 2m 2

h 0

Il y a au moins deux mouvements indpendants imaginer ...On peut poursuivre ce travail de rflexion en utilisant les degrs de libertde lachane ouverte 1 2 4 3 pour essayer de confondre les points C1 et C3. Cela

semble possible et on peut supposer la structure isostatique.

Dunod.


1

2

4

3

P ( x1)

PG ( x2)PG (CB )

S(C)

P Pivot daxe (Dte )PG Pivot glissant daxe (Dte )S Sphrique de centre (Pt)

SynthseSavoirs

Je sais dfinir les mots ou expressions :

sommets et arcs dun graphe ;

cycle ; paramtrer ; variables et invariants ; mobilit; indice de mobilit; degrde mobilit; degrde statisme ;

isotatisme et hyperstatisme ; approche globale.

Je connais :

les liaisons usuelles sous leurs aspects gom-trique, cinmatique et dynamique ;

la diffrence entre une approche cinmatique etune approche dynamique ;

la reprsentation matricielle dun systme dqua-tions.

Savoir-faire

Je sais :

tracer un graphe de structure sans que les arcs ne se croisent ; dnombrer les cycles ; paramtrer un mcanisme ; dterminer lindice de mobilitattachune structure ; proposer des minorants pour les degrs de mobilitet de statisme.


36/272


28

Exercices dapplication

1.1 Un espace six degrs de libertLespace gomtrique dans lequel voluent les objets estde dimension 3. La position dun point dans cet espace estainsi caractrise par trois coordonnes. Un solide est unensemble infini de points et une question se pose :

Combien faut-il de paramtres scalaires indpendantspour dfinir la position dun solide dans lespace ? Rpondre la question prcdente par une approche go-mtrique, partir de la dfinition dun solide indfor-mable.

1.2 Forme des systmes dquationsOn considre un mcanisme comportant une structuremobile et isostatique.

1. Donner la forme du systme dquations obtenu par une

approche cinmatique.2. Recommencer pour une approche dynamique.

1.3 Systme vis-crouOn se propose danalyser un systme de transformation demouvement utilisant lassociation dune vis et dun crou.

1.4 Un raccourci un peu trop rapide ?En parcourant un livre de mcanique, un tudiant dcouvreun noncqui commence ainsi : Beaucoup de mcanismes sappuient sur un triangledformable. On se propose daborder cette structure par-tir de lexemple proposci-dessous.

Ax1

y1

z1

1

32

Ce mcanisme comporte trois solides :

un support 1, auquel on associe un repre (A, x1, y1, z1) ;

un crou 3, guiden translation rectiligne par rapport ausupport par une glissire de direction x

1;

une vis 2, en liaison pivot daxe (A, x1) avec le supportet en liaison hlicodale de mme axe avec lcrou.

1. Paramtrer ce mcanisme.2. Un moteur entrane la vis par rapport au support etlcrou est accroch un rcepteur. Dterminer la loientre-sortie.3. On souhaite un dplacement suivant +x1 du rcepteurlors de la rotation positive du moteur. Dterminer le sens imposer lhlice de la liaison hlicodale.

4. valuer le degrde statisme de cette structure.

x3

x1

y1 x2y2

x

A

C

B

32 1

Ce mcanisme est composde trois solides :un bti 1 auquel on associe un repre (A, x1, y1, z1) . On

poseAB= b x1 ;

un bras moteur 2, en liaison pivot daxe (A, z1) avec lebti 1 :on lui associe un repre (A, x2, y2, z2) tel que z2 = z1

et la rotation possible est paramtre par langle ;

on dfinit le point CparAC= c x2 .

un bras rcepteur 3, en liaison pivot daxe (B, z1) avec lebti 1 :on lui associe un repre (C, x3, y3, z3) tel que z3 = z1

et la rotation possible est paramtre par langle ; il est aussi en liaison sphre cylindre de centre C et

daxe (B, x3) avec le bras 2, et on pose = (x2, x3) etBC=xx3.

Le problme ainsi pos comporte quatre paramtresdpendant du temps : , , etxLobjectif de cet exercice est de comprendre cette dernireaffirmation.

1. Raliser le graphe de liaison du mcanisme et dnom-brer les inconnues cinmatiques. Ce dernier nombre est-ilcompatible avec la donne de quatre paramtres gom-triques dpendant du temps ?

2. Que reprsente le vecteurBC ?

3. Dfinir les torseurs cinmatiques associs aux liaisons.

4. Justifier langle possur le schma cinmatique entreles vecteurs x2 et x3 et conclure.


37/272

Exercices dapplication

29

Dunod.


1.5 Pompe RV2On sintresse la pompe RV2, extraite du groupe hydrau-lique V2H40 dvelopp par la socit LECOMBLE ETSCHMITT. Cest une pompe volumtrique cylindrevariable, construite autour dun barillet tournant six pis-tons axiaux.

On sintresse au statisme de cette structure.

1. Calculer lindice de mobilitde cette structure.

2. Formuler un avis sur son statisme.

3. noncer les caractristiques gomtriques propres

chacun des solides.4. Dterminer la loi entre-sortie de la pompe.

Ce mcanisme est modlis par un ensemble de quatresolides lorsque lon ne tient compte que dun seul piston :

x1

y1 y2

x4

y4

C

A

B

D

1

2

3

4

le bti 1, auquel est associle repre (A, x1, y1, z1) , sur

lequel on dfinit un pointB caractrisparAB = R y1 .

le barillet 2, en liaison pivot daxe (A, x1) avec le bti :

une base (x2, y2, z2) est attache 2, telle que x2 = x1et on pose = (y1, y2) ;

on dfinit sur ce barillet un point D , tel queAD= R y2 .

un plateau 4, en liaison pivot daxe (B, z1) avec le bti ;

un des pistons 3, en liaison pivot glissant daxe (D, x3)avec le barillet 2 :

on pose un point C dont la position par rapport aubarillet est exprime par

DC= x3.

ce piston 3 est galement liau plateau 4 par une liai-

son sphre-plan de centre Cet de normale x4.

Pompe RV2

.

.

.

1.6 Pompe de prparationOn considre le schma cinmatique de la pompe de pr-paration dun systme de dialyse. La rotation de larbre

moteur 2 est transforme en translation rectiligne alternati-ve du piston 3 sans pice intermdiaire.

CA

y1

x1

z1

w1

y3

y2

2

1

3

B

Ce mcanisme comporte trois ensembles solides :

Le bti 1, auquel est associle repre (A, x1, y1, z1) . Ondfinit dans le plan (A, y1, z1) la droite (A, w1) oriente

par langle = (z1, w1).

Larbre moteur 2, en liaison pivot daxe (A, z1) avec le

bti. Une base (x2, y2, z2) est attache 2 tel que z2 = z1et on pose = (x1, x2). Enfin, on dfinit sur cet arbre unpoint C, situla distance rde laxe de rotation, dont leprojetorthogonal sur laxe de rotation est notK.

Le piston 3, en liaison pivot glissant daxe (A, w1) avecle bti 1. Ce piston 3 est galement lilarbre 2par uneliaison sphre-cylindre de centre C et daxe scant aupoint B et perpendiculaire avec laxe de la liaison pivotglissant.

corch de la pompe.

Schma cinmatique de la pompe de prparationPhotos et rfrences complmentaires disponibles

sur www.jdotec.net.


38/272


30

1. Calculer lindice de mobilitde cette structure.

2. Formuler un avis sur son statisme.

3. Rechercher les invariants gomtriques et noncer lescaractristiques gomtriques propres chacun dessolides.

4. Proposer lpure dun schma cinmatique dans le plan(A, y1, z1) dans les deux cas suivants :

les points A et Ksont confondus ;les points A et Ksont disjoints.

1.7 Ponceuse portative vibranteOn considre une ponceuse portative vibrante dont le fonc-tionnement est modlis par le schma cinmatique ci-dessous. La rotation continue 3000 tr/mn de larbremoteur 2 par rapport au bti 1 est transforme en rotationalternative du patin 4 par rapport 1.

1. Tracer le graphe des liaisons et dterminer lindice demobilitde la structure propose.

2. Sachant que le modle cinmatique est propospartirdun outillage lectro-portatif qui fonctionne, que peut-ondire du degrde statisme du mcanisme ?

3. Suite un inventaire des invariants gomtriques, prci-ser sur quels solides sont dfinis les points A et B . En

dduire deux manires de dcrire le vecteurAB .

4. crire les torseurs cinmatiques associs aux diffrentesliaisons.

5. Calculer les degrs de mobilitet de statisme.

6. Dduire du travail prcdent la loi entre-sortie

f(, , , ) = 0.

1.8 Robot TRIPTERON

On considre le robot schmatis ci-dessous. Il prsenteune architecture originale pour grer de manire indpen-dante les trois translations dun poignet 11 par rapport aubti 1. Les recherches thoriques permettent souvent de fairedes dcouvertes fascinantes. Cest le cas pour leTRIPTERON, un mcanisme parallle translations 3DDL. Le prototype a dabord vu le jour travers les for-mules mathmatiques et la thorie des visseurs. Robotunique et brevet, il permet de raliser des dplacementslinaires dans toutes les directions. Cest en fait lquiva-lent des robots cartsiens sriels. Mais, puisquil est paral-lle, il possde de nombreux autres avantages, notammentle positionnement des actionneurs sur la base, qui allge lapartie mobile et permet ainsi des mouvements rapides et

une rduction du gauchissement. (Extrait dehttp://robot.gmc.ulaval.ca/fr/recherche/theme104.html UniversitLaval)

x1 y1

z1z2

x4 y4

z4

AB

1

2

3

4

Ce mcanisme est composde quatre ensembles solides :

le bti 1, auquel on associe un repre (A, x1, y1, z1) ;

le patin 4, en liaison pivot daxe (A, z1) avec le bti 1.On lui associe un repre (A, x4, y4, z1) et on pose= (x1, x4) . Sur cet arbre est dfinie une droite (B, z4)

parallle la droite (A, z1) et distante dune valeurnoteL ;

larbre moteur 2, en liaison pivot daxe (A, y1) avec le

bti. On lui associe un repre (A,x2, y1,z2) et on pose= (x1,x2) . Sur cet arbre est dfinie une droite (B, y2)

parallle la droite (A, y1) et excentre dune valeurnote e.

On constate la valeur de lexcentration e petite devant lalongueur du brasL :

e L

un piston 3, en liaison pivot glissant daxe (B,y1) aveclarbre moteur et en liaison pivot glissant daxe (B,z1)avec le patin ;

x y

z

1

2

3

4

11

5

6

7

89

10

Ce robot comporte ainsi trois actionneurs linaires attachsau bti. On se propose dimaginer quelques caractris-tiques.


39/272

Exercices dapprofondissement

31

Dunod.


1. Tracer le graphe de structure de ce robot et associer chaque arc une liaison, soit de type pivot, soit de type

glissire.

2. Calculer lindice de mobilitassocila structure.

3. Imaginer le mouvement du poignet 11 par rapport au

bti, lorsque lon pilote le seul actionneur 2.

4. Expliquer alors le rle de chacun des actionneurs.

5. mettre un avis sur le statisme de ce modle.

Exercices dapprofondissement

1.9 Train picyclodalLa figure ci-dessous propose le schma cinmatique duntrain picyclodal simple sous sa forme la plus gnrale.Ce mcanisme comprend :

un bti 0 ;

un plantaire 1 ;

un porte satellite 2 ;

une couronne 3 ;

un ou plusieurs satellites 4, rpartis rgulirement sur leporte-satellite.

1.10 Bielle-manivelleLes mcanismes de transformation de mouvements basssur une architecture bielle-manivelle sont trs nombreux.La figure ci-dessous propose un schma cinmatique deson principe de fonctionnement, semblable celui

construit la section 1.1.4

1

0

4

2 3

1. Dterminer le nombre de degrs de libertncessaires auniveau du contact entre les pignons pour avoir une structu-

re isostatique dans le cas dun train picyclodal compor-

tant un seul satellite.2. Gnralement, un tel mcanisme comporte trois satel-lites monts en toile sur le porte-satellites.

Montrer que la structure est alors hyperstatique.

x1

y1

z1

y2

x2

x3

A

B

O

1

2

3

4

Ce mcanisme est composde quatre ensembles :

un bti repr 1, auquel on associe un repre(O, x1, y1, z1) ;

une manivelle, repre 2, en liaison pivot daxe (O, z1)avec le bti :un repre (O, x2, y2, z2) lui est associen choisissantz2= z1 ;

on pose langle = (x1, x2) ;

on considre un point A caractrisparO A =R x2 .

un piston, repr 4, en liaison pivot glissant daxe(O, x1) avec le bti :

on exprime la position dun point B parO B = x1.

une bielle repre 3, en liaison pivot daxe (A, z2) avecla manivelle, et en liaison pivot daxe (B, z3) avec le pis-

ton 4 :

on poseAB= L x3 et on constateL R .

Schma cinmatique dun systme bielle-manivelle.


40/272


32

Lobjectif de cette tude est danalyser la structure afin dela faire voluer.

1. Calculer et interprter lindice de mobilitde ce mca-nisme.

2. Proposer si ncessaire des modifications pour que len-

semble soit isostatique.Cette structure est frquemment utilise avec la rotation de2 par rapport 1 en mouvement dentre et la translationde 4 par rapport 1 en mouvement de sortie.

Ce mcanisme comporte trois pices :

le bti 1, auquel on attache un repre (A, x1, y1, z1) ;

une came 2, cylindrique de rvolution de rayon R , enliaison pivot daxe (A, z1) avec le bti 1 :on lui associe un repre (A, x2, y2, z2) en choisissant

z2 = z1 et on dfinit langle = (x1, x2) ;

on pose un point CcaractrisparAC= ey2 de telle

sorte que la droite (C, z2) matrialise laxe de rvolu-tion de cette came.

un coulisseau 3, en liaison pivot glissant daxe (A, y1)avec le bti 1 :

on pose un point B caractrisparAB = y1 ;

on associe ce coulisseau un repre (B, x3, y3, z3) en

choisissant y3 = y1 et on dfinit langle = (x1, x3) ;

un plan de normale y3 est en contact chaque instant

avec la came 2.

1. mettre un avis sur le statisme de cette structure.

2. Paramtrer ce mcanisme.

3. Calculer et interprter les degrs de mobilitet de sta-tisme.

On considre maintenant sur le piston 3 laxe de la liaisonpivot glissant non perpendiculaire au plan de la liaison

cylindre-plan :

on conserve le vecteur y3 orientant laxe de la liaisonpivot glissant ;

on pose un vecteurv

3 orientant la normale au plan, telque y3 v3 = 0.

4. Modifier le paramtrage prcdent en consquence.

5. Calculer et interprter les nouveaux degrs de mobilitet de statisme.

6. Proposer un schma de cette configuration dans le plan(A,x1,y1).

21

BIELLE-MANIVELLE

u41

Cest pourquoi on garde pour la suite les modles de liai-son correspondant ces deux mouvements.Parmi les propositions faites en rponse la question pr-cdente, on choisit celle pour laquelle on remplace la liai-son pivot entre la bielle 2 et la manivelle 3 par une liaison

sphrique de centre A.

3. Paramtrer le mcanisme avec cette nouvelle configura-tion.

4. Tracer le schma cinmatique correspondant dans leplan (O, x1, y1) .

5. Calculer les degrs de mobilitet de statisme.

6. Conclure quant la pertinence de cette proposition.

1.11Pompe

excentrique

On sintresse larchitecture dune pompe volumtriqueexcentrique schmatise ci-dessous. La rotation continuede larbre 2 est transforme en translation rectiligne alter-native du piston 3, ces deux mouvements tant dfinis parrapport au bti 1.

z1 x1

y1

x3z3

y2

AC

B

1

2

3

Schma cinmatique dune pompe volumtrique excentrique


41/272

Soit un solide S, ensemble de points Pi deux deux quidis-tants au cours du temps, et R un repre attachun autresolide.

Pour dfinir la position dun point P1 dans R , il faut et ilsuffit de trois paramtres scalaires, appels coordonnes dupoint P1 dansR ;

P1

Rx1

y1

z1

Dfinir la position dun deuxime point P2, diffrent de P1,ajoute trois paramtres scalaires, savoir ses trois coordon-nes.

P1

R

x1

y1

z1

P2

R

x2

y2

z2

Les deux points P1 et P2 restent quidistants au cours dutemps, ce qui induit une relation scalaire de dpendanceentre ces six paramtres.

(x2 x1)2 + (y2 y1)

2 + (z2 z1)2 = d212

Dfinir la position dun troisime point P3 ajoute ses troiscoordonnes et on obtient au total neuf paramtres.

P1

R

x1

y1

z1

P2

R

x2

y2

z2

P3

R

x3

y3

z3

Ajouter ce troisime point introduit deux nouvellesrelations de dpendance lorsque ces trois points ne sont pasaligns

(x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2 = d212(x3 x1)

2 + (y3 y1)2 + (z3 z1)

2 = d213(x3 x2)

2 + (y3 y2)2 + (z3 z2)

2 = d223

Dfinir la position dun quatrime point P4 ajoute gale-ment ses trois coordonnes, ainsi que trois relations dedpendance, donc aucun paramtre supplmentaire.

En conclusion, la mise en position dun solide Spar rapportun repre R ncessite la donne de six paramtres scalairesindpendants.On peut mener en complment lapproche cinmatique cor-respondant au raisonnement gomtrique men:

un solide libre de tout mouvement possde six degrs delibertpar rapport au repre de rfrence ;

fixer la position dun point en annule trois et il ne subsisteque les trois rotations autour de ce point ;

fixer la position dun deuxime point diffrent du premierannule deux rotations et il ne subsiste que la rotation dusolide autour de la droite joignant ces deux points ;

la dernire rotation est annule en fixant la position duntroisime point pris en dehors de la droite prcdente.

propos des relations de dpendance

On constate que considrer un cinquime point introduit troisnouveaux paramtres, ainsi que quatre relations de dpen-dance. Ce qui tend montrer que les relations de dpendancene sont plus indpendantes !

Un mcanisme mobile et isostatique admet un degrde mobi-litm strictement positif et un degrde statisme h nul.

1. Lors de lapproche cinmatique, on constate alors plusdinconnues que dquations, et le rang du systme dqua-tions est gal au nombre dquations.

33

Solutions des exercices

Exercices

dapplication

1.1

1.2

rc m

Ic colonnes

Ec lignes

Ic

=

...

.

..0

0

2. Concernant lapproche dynamique, on constate plusdquations que dinconnues et le rang est gal au nombredinconnues.

Is colonne

Es lignes

m

Is=

Second

membre

rs

Ce mcanisme comporte une chane ferme de trois solides.1.3

1

2

3

P ( x1)

G(x1)

H( x1)

P Pivotdaxe (Dte)

G Glissiresuivant (Vec)H Hlicodaledaxe (Dte)


42/272

On crit les trois torseurs cinmatiques pour poser les troisvariables cinmatiques

V(2/1) =A

x10

V(3/1) =

0

x1

V(2/3) =A

23 x1u23 x1, avecu23 = p 23

Lanalyse des sommets permet de faire ressortir les propri-ts gomtriques propres cette structure :

la vis 2 comporte deux droites confondues et une hlice depasp ;

sur le bti 1 sont dfinies une droite et une directionparal-lles ;

lcrou 3 comporte galement une droite et une directionparallles, ainsi quune hlice de pasp.

Le pas de lhlice est la seule valeur non nulle caractristiquede la gomtrie du mcanisme.

2. La loi entre-sortie cherche intresse deux des trois incon-nues cinmatiques

1. Le mcanisme comporte une chane ferme de trois solides

34

Vis-crou

. .

La composition des mouvements sur la chane ferme donnequatre quations scalaires de la forme 0 = 0 et deux qua-tions non nulles :

quation des rsultantes scalaire x1 ;

23= 0

quation des moments au point A scalaire x1.

+p 23= 0

On limine linconnue indsirable pour crire finalement

= p

3. On souhaite 0 pour 0, il est donc ncessairedutiliser une hlice gauche pour la liaison hlicodale. Onrapelle quune hlice gauche admet un pas ngatifp < 0.

4. Les calculs effectus la question 2 permettent derpondre avec certitude :

on dispose de six quations pour trois inconnues, donc lastructure admet un indice de mobilitIc Ec = 3 ;

quatre quations sont de la forme 0 = 0 , donc le rang estinfrieur ou gal 2 et la structure admet au moins un degrde mobilit;

les deux quations crites permettent daffirmer que le rangvaut rc = 2 et on peut donner les valeurs des degrs demobilitet de statisme.

m = 1h = 4En conclusion, la structure est hyperstatique de degr4.

1.4

1

2

3

P ( z1)

P ( z1)

S(C)C( x3)

P Pivotdaxe (Dte)S Sphrede centre (Pt)C Cylindredaxe (Dte)

On compte six inconnues scalaires lors dune approche cin-matique. Lnoncparle de quatre paramtres gomtriquesdpendant du temps. La seule interprtation possible est laprsence non dmontre de deux inconnues cinmatiquesnulles.

On note au passage que la composition des mouvements sur

la chane ferme de solides 1 2 3 1 donne six qua-tions scalaires pour les six inconnues scalaires comptes.Lindice de mobilitde cette structure est nulle.

Ic Ec = 0

Sil existe un ou plusieurs mouvements possibles, la structu-re est hyperstatique de degrau moins 1.

2. Une rapide recherche des invariants gomtriques permetde rpondre la question :

sur le bti 1 sont dfinies au moins deux droites parallles,distantes de la longueur b ;

sur le bras moteur 2 sont dfinis une demi-droite et le pointnommC, distant du rayon c ;

on trouve sur le bras rcepteur 3 deux droites scantes aupoint B et perpendiculaires.

Le point Cest immobile sur le bras moteur, le pointB immo-

bile sur le bras rcepteur. On interprte ainsi le vecteur BCcomme un vecteur position du point Cdans le mouvement

2/3.

3. On pose les trois torseurs cinmatiques, en exploitant le

vecteur positionBC=xx3 pour le mouvement 2/3.

V(2/1) =A

z10

V(3/1) =B

z10

V(2/3) =C

(2/3)

xx3

BC=xx3

z1 = z2x1

y1

x2

y2

z1 = z3x1

y1

x3

y3

4. On utilise deux des six quations de fermeture cinmatiquedisposition :

quation de rsultante scalaire x1 ;

(2/3).x1 = 0


43/272

quation de rsultante scalaire y1.

(2/3).y1= 0

On en dduit que la seule composante non nulle du vecteur

rotation (2/3) est suivant le vecteur z1 et on pose alors

(2/3) =z1

sur le piston 3 est dfini un point sur une droite ;

35

z1x3

y3

x2

y2

Le problme admettait la premire analyse six quationspour six inconnues, il reste aprs une rsolution partiellequatre quations pour quatre inconnues cinmatiques, doncquatre paramtres gomtriques dpendants du temps.

1. La lecture du schma cinmatique permet llaboration du

graphe des liaisons correspondant

1.5

1

2

3

4

P ( x1) PG ( x3)

S(C)P (x4)P ( z1)

P(Dte ) : Pivot daxe (Dte )

PG(Dte ) : Pivot glissant daxe (Dte )

S(Pt)P(V ec) : Sphrede centre(Pt)

: Plan de normale (V ec )

Ce graphe comporte une chane ferme compose de 4solides et de 4 liaisons pour un total de 9 degrs de libert.Une approche cinmatique globale met en vidence un indi-

ce de mobilitgal 3.I c Ec = 9 6 = 3

2. Comme lindice de mobilitI c Ec sinterprte commela diffrence des degrs de mobilitet de statisme m h, onpeut proposer comme ingalit

m h = 3

m 0

h 0

m h= 3

m 3

h 0

Ce mcanisme admet au moins trois mouvements indpen-dants, que lon essaie dimaginer :

la rotation du seul piston 3, autour de laxe (C, x3), toutesles autres pices tant immobiles par rapport au bti ;

la rotation du plateau 4 par rapport au bti 1, entranant latranslation du piston 3 par rapport au barillet 2 alors que le

barillet reste immobile par rapport au bti ;

la transformation du mouvement correspondant la loientre-sortie, le plateau 4 restant immobile par rapport aubti.

On nimagine pas de contrainte lors de lassemblage de cettechane ferme, notamment au niveau de la liaison sphre-plan. On peut parier en consquence sur une structure isosta-tique.

3. Lanalyse des sommets du graphe et les donnes de lnon-c permettent de faire merger les caractristiques gom-triques propres chacun des solides :

x3C

sur le barillet 2 sont dfinies une demi-droite et une droiteparallles ;

x2

y2

A

D

R

le rayon R= AD est un invariant gomtrique explicite

sur le barillet 2.

sur le bti sont dfinies deux demi-droites perpendiculaireset distantes de R .

x1

y1

A

B

R

sur le plateau sont dfinies une demi-droite et une directionperpendiculaires.

Il existe ainsi deux rayons R diffrents, lun dfini sur le bti,lautre sur le barillet.

4. Pour dterminer la loi entre-sortie demande, on crit lesquatre torseurs pour poser les variables cinmatiques

V(2/1) =A

x1

0

V(4/1) =B

z10

V(3/2) =C

32 x3x3

V(3/4) =

(3/4)V(C, 3/4), avec V(C, 3/4).x4= 0

x1 = x2y1

z1

y2

z2

z1 = z4x1

y1

x4

y4

Lors du fonctionnement, langle ne varie plus une fois rgl,

la variable est donc nulle chaque instant. Il sagit alorsdviter six inconnues sur les huit qui restent, ce qui est obte-nu en crivant la composition des vecteurs vitesse au point Cscalaire x4

x1

AC

. x4 + x3.x4 = 0

Au vu des proprits gomtriques nonces :les vecteurs x3 et x1 sont chaque instant gaux ;

x3.x4 = x1.x4 = cos


44/272

le calcul du produit mixte se fait en posantAC= R y2 + x3 .

(x4, x1,R y2 + x3) = R (x4, x1, y2)

= R sinz1.y2= R sin sin

On trouve en dfinitive comme expression de la loi entre-sortie

= R tan sin

1. La lecture du schma cinmatique permet llaboration dugraphe des liaisons correspondant

sur le bti sont dfinies une droite et une demi-droitescantes.

36

1.6

1

2

3

P (A,z1)

S(C)C( y3)

PG( w1)

P(Dte ) : Pivot daxe (Dte )

PG(Dte ) : Pivot glissantd axe (Dte )

S(Pt)C(Dte ) : Sphrede centre(Pt)

Cylindred axe (Dte )

Ce graphe comporte une chane ferme de solides pour untotal de sept degrs de libert. Une approche globale cinma-tique permet de trouver alors un indice de mobilitgal 1.

I c Ec = 7 6 = 1

2. Comme lindice de mobilitI c Ec sinterprte commela diffrence des degrs de mobilitet de statisme m h, onpeut proposer comme ingalit

m h = 1

m 0

h 0

m h= 1

m 1

h 0

Cette structure admet au moins un degrde mobilit. De plus,en immobilisant larbre dentre par rapport au bti, il est dif-ficile dimaginer un mouvement possible supplmentaireailleurs. Il est ainsi raisonnable de parier sur une structure iso-

statique.

3. Lanalyse des sommets du graphe et les donnes de lnon-c permettent de faire merger les caractristiques gom-triques propres chacun des solides :

sur le piston 3 sont dfinies deux droites poses scantes etorthogonales ;

y3

z3

B

On appelle B le point dintersection de ces deux droites.

sur larbre moteur 2 sont dfinis une demi-droite et unpoint ;

z2

K C

On appelle K le projetorthogonal du point C sur la droi-te considrer, et le rayon r=

KC est un invariant go-

mtrique explicite sur larbre moteur 2.

z1w1

A

On appelle A le point dintersection des deux droites, etlangle est un invariant gomtrique explicite sur le bti 1.

4. On peut alors proposer les deux pures demandes :

les deux points A et Ksont confondus ;

y1

z1

y3

w1

B

r

AK

C

les deux points A et Ksont disjoints.

y1

z1

y3

B

w1

r

A

KC

1. Le graphe des liaisons comporte un chane ferme avec 4sommets et 4 arcs

1.7

1

4

3

2

P(A,z1)

PG(B,z3)PG(B,y3)

P(A,y1)

P Pivotdaxe (Dte)PG Pivot glissantdaxe (Dte)

On compte six inconnues scalaires cinmatiques pour sixquations scalaires, soit un indice de mobilitnul.

Ic Ec = 0

2. Le mcanisme fonctionne, on peut donc supposer au moinsun mouvement et on propose

m 1h 1Cette structure est a priori hyperstatique de degrau moinsun.


45/272

3. On sintresse aux sommets du graphe des liaisons pourexpliciter les invariants gomtriques :

sur la bti 1 sont dfinies deux demi-droites scantes aupoint A et perpendiculaires. Le point A se trouve sur cet

ensemble.

le piston 3 comporte deux droites scantes au point B etperpendiculaires. Le pointB qui mrite attention est sur cesolide.

larbre moteur 2 comporte une demi-droite et une droiteparallles, distantes de lexcentration e.

le patin 4 comporte une demi-droite et une droite parallles,distantes de la longueurL.

On dduit de cette analyse que le vecteurAB est un vecteur

position du point B dans le mouvement 3/1 :

on peut lexpliciter partir de la chane ouverte 1 2 3 ;

AB= ez2 + 32 y3

on peut lexpliciter galement partir de la chane1 4 3.

AB = L y4 + 34z3

4. Pour crire les torseurs cinmatiques, on exploite les deuxangles paramtrs et on complte en posant des inconnuescinmatiques sans chercher dfinir les paramtres gom-triques correspondants. Nanmoins, on constate que les deuxliaisons pivot glissa

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