- Seconde · 2020. 1. 28. · Mathématiques, Cours de Mathématiques, Seconde, Trimestre 1 Année scolaire 2016 / 2017 ENSEIGNEMENT À DISTANCE 76-78 rue Saint -Lazare 75009 Paris

Mathématiques, Cours de Mathématiques, Seconde, Trimestre 1 Année scolaire 2016 / 2017

ENSEIGNEMENT À DISTANCE

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COURS

EXERCICES

DEVOIRS

1 e r T R I M E S T R E

Classe de

2nde

Mathématiques

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SOMMAIRE

2nde

MATHÉMATIQUES

1er TRIMESTRE SÉRIE 1

1ère leçon Les ensembles de nombres

2ème leçon Rappels sur les calculs dans ℝ

SÉRIE 2

1ère leçon Ordre dans ℝ

2ème leçon Les intervalles de ℝ

SÉRIE 3

1ère leçon Notion de fonction

2ème leçon Description d’une fonction

SÉRIE 4

1ère leçon Fonctions, équations, inéquations 2ème leçon Variations d’une fonction

SÉRIE 5

1ère leçon Géométrie dans le plan

2ème leçon Repérage et calculs dans le plan

SÉRIE 6

1ère leçon Fonctions affines 2ème leçon Equations, inéquations et problèmes du 1er degré

SÉRIE 7

1ère leçon Droites dans le plan repéré

2ème leçon Système de deux équations à deux inconnues

SÉRIE 8

1ère leçon La fonction carré 2ème leçon Rappels sur le calcul littéral



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Mathématiques

2nde

1ère Série

PREMIÈRE LEÇON

Les ensembles de nombres

DEUXIÈME LEÇON

Rappels sur les calculs dans ℝ



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1ère Série

PREMIÈRE LEÇON

Les ensembles de nombres

1. ℕ, ensemble des entiers naturels, est l’ensemble infini des nombres entiers positifs

ℕ= {0, 1, 2, 3,….} et ℕ∗ est l’ensemble ℕ privé de 0.

2. ℤ, ensemble des entiers relatifs, est l’ensemble de tous les entiers positifs et de leurs opposés,

négatifs. (ℤ est l’initiale de Zahl, nombre en allemand)

ℤ= {…., -3 ,-2 ,-1 , 0, 1, 2 ,……} et ℤ∗= ℤ – {0}, ensemble des entiers relatifs non nuls . Remarque : les

entiers naturels sont aussi des entiers relatifs ; on écrit « ℕ ⊂ ℤ », qui se lit « ℕ est inclus dans ℤ »

3. ⅅ, ensemble des nombres décimaux, est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la

forme d’un produit d’un entier relatif par une puissance de 10, c’est-à-dire sous la forme a ×10-n où

a ∈ ℤ et n ∈ ℕ et 10-n = 1

10ⁿ . ⅅ* = ⅅ - {0}

27,8073 =278 073× 10⁻⁴, par exemple.

Remarque : tout entier a peut s’écrire sous la forme a × 10⁻⁰ donc ℕ ⊂ ℤ ⊂ⅅ

4. ℚ, ensemble des rationnels, est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un

quotient de deux entiers relatifs, c’est-à-dire sous la forme 𝑎

𝑏 où a et b sont deux entiers relatifs avec

b ≠ 0 (ℚ est l’initiale de quotient, résultat de la division et 𝑎 ÷ 𝑏 =𝑎

𝑏)

-3,75 = - 375

100 = -

15

4 , par exemple

Remarque : tout décimal peut s’écrire sous la forme 𝑎

10ⁿ , donc ℕ ⊂ ℤ ⊂ⅅ ⊂ ℚ

5. ℝ est l’ensemble des réels. Il contient tous les nombres précédents ainsi que les irrationnels

comme √2, √19 par exemple mais aussi 𝜋….

On a donc les inclusions suivantes : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ⅅ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

ℝ* est l’ensemble de tous les nombres réels non nuls,

ℝ⁺ celui des nombres positifs, ℝ⁻ celui des nombres négatifs.

On a aussi ℝ⁺*, l’ensemble des réels strictement positifs et ℝ⁻*, celui des réels strictement négatifs.



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1ère Série

Le schéma suivant permet de visualiser ces différentes inclusions :

Tapez une équation ici.

Exercice 1

A =

1−5×3

24+(−1)

(√8+1)(√8−1)

(−3)2×2+3

; B est la moitié du tiers du carré de 5 ; C est l’aire exacte du disque de diamètre

4 cm et D est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit

mesurent respectivement 1 cm et 2√2 cm.

Calculer ces nombres et retrouver l’(les)ensemble(s) auxquels ils appartiennent.

√2 − √17

7

3

-9

22 -0,25

17

4

-3 -74

0 107

ℝ

ℚ

ⅅ

ℤ

ℕ



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1ère Série

Exercice 2

Soit le nombre X = 4,090909…..0909….Ce nombre n’est donc pas un décimal mais est-il rationnel ?

On posera 𝑥 = 0,0909 … 09.., on calculera 100𝑥 pour trouver une équation dont la résolution permettra

de répondre à la question.

Exercice 3

a) Prouver que les nombres suivants sont des nombres rationnels en les mettant sous la forme

𝑎

𝑏, où a ∈ ℤ et b ∈ ℕ* :

−3 × 0,01 ; 10⁴ ; −√0,36

7 ;

3

4 10-2 et −

3

25

b) Montrer que les nombres suivants sont des nombres décimaux en les écrivant sous la forme 𝑎 ×

10−𝑛 où a ∈ ℤ et n ∈ ℕ∗ :

0,012 5 ; (−6,2)3 ; 0,125

62,5 ; 13,654 et

−7

5



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1ère Série

DEUXIÈME LEÇON

Rappels sur les calculs dans ℝ

Il est important, avant tout calcul, de se rappeler l’ordre des opérations :

1. Calcul à l’intérieur des parenthèses

2. Calculs de racines carrées ou de puissances

3. Multiplications ou divisions

4. Additions ou soustractions

Quelques rappels utiles sur le calcul littéral sont faits dans la 8ème série, 2ème leçon.

Quelques règles de calcul connues ou à revoir :

1. Avec les quotients :

a, b, c et d sont des réels tels que cd ≠0 (donc 𝑐 ≠ 0 𝑒𝑡𝑑 ≠ 0)

Somme 𝑎

𝑐+

𝑏

𝑐=

𝑎+𝑏

𝑐 et

𝑎

𝑐+

𝑏

𝑑=

𝑎𝑑

𝑐𝑑+

𝑏𝑐

𝑐𝑑=

𝑎𝑑+𝑏𝑐

𝑐𝑑

Produit 𝑎

𝑐×

𝑏

𝑑=

𝑎𝑏

𝑐𝑑

Quotient

𝑎

𝑐𝑏

𝑑

=𝑎

𝑐÷

𝑏

𝑑=

𝑎

𝑐×

𝑑

𝑏 avec 𝑏 ≠ 0

Soit a un nombre différent de 0 et de -1 et soit Q = 1

𝑎+1−

1−1

𝑎

1+1

𝑎

Écrivons Q sous forme d’un quotient : Q = 1

𝑎+1−

𝑎−1

𝑎𝑎+1

𝑎

=1

𝑎+1−

𝑎−1

𝑎+1=

2−𝑎

𝑎+1



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1ère Série

2. Avec les puissances :

Définition : si 𝑎 ∈ ℝ et 𝑛 ∈ ℕ avec n ≥ 2 ,

alors 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎 , produit de n facteurs égaux à 𝑎

et 𝑎1 = 𝑎.

De plus, si 𝑎 ≠ 0 et n un entier, alors 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛 et 𝑎0 = 1

Règles de calcul : Soient n et p des entiers, a et b des réels,

𝑎𝑛 × 𝑎𝑝 = 𝑎𝑛+𝑝

(𝑎𝑛)𝑝 = 𝑎𝑛𝑝

𝑎𝑛

𝑎𝑝 = 𝑎𝑛−𝑝, avec 𝑎 ≠ 0

𝑎𝑛 × 𝑏𝑛 = (𝑎𝑏)𝑛

𝑎𝑛

𝑏𝑛 = (𝑎

𝑏)𝑛 avec 𝑏 ≠ 0

Par exemple, simplification des expressions A, B et C :

A = 𝑎2×(𝑎2)−5×𝑎4

(𝑎3)2×𝑎−4× (

𝑎

𝑎−2)2 pour 𝑎 ≠ 0

A = 𝑎2+4×𝑎2×(−5)

𝑎3×2×𝑎−4×

𝑎2

𝑎−2×2=

𝑎6×𝑎−10+2

𝑎6×𝑎−4−4 =

𝑎−2

𝑎−2 = 1

B = 66

45×97=

(3×2)6

(2×2)5×(3×3)7=

36×26

25×25×37×37=

1

24×38

C= 1625

2100=

(24)25

2100 = 1

3. Avec les racines carrées

Définition : Si a est un nombre positif, la racine carrée de a est l’unique nombre réel positif noté √𝑎 ,

tel que (√𝑎)2 = 𝑎

Règles de calcul : si a est positif, alors √𝑎2 = 𝑎 et si a est négatif, alors √𝑎2 = −𝑎

si a et b sont deux nombres positifs, alors √𝑎 × √𝑏 = √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏

𝑠𝑖 𝑏 ≠ 0 , alors √𝑎

𝑏=

√𝑎

√𝑏



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1ère Série

Par exemple, soit 𝐷 = √5 − √7 ; le calcul de 𝐷2 permet de simplifier l’écriture de 𝐸 = √12 − 2√35

car 𝐷2 = (√5 − √7)2 = √52

− 2√35 + √72

= 12 − 2√35 ( (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²))

√5 − √7 < 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐸 = √(√5 − √7)² = √7 − √5.

Sur la figure suivante, calcul de x, longueur de l’hypoténuse du plus grand des deux triangles

rectangles :

x

7 5 13

7

Pour calculer cette longueur x, il faut remarquer que la longueur du grand côté de l’angle droit de ce

grand triangle est celle du côté du petit triangle, dont la mesure est à déterminer, augmentée de 7.

D’après le théorème de Pythagore, le carré de la longueur de l’hypoténuse est la somme des carrés

des longueurs des deux autres côtés, donc :

𝑥 = √72 + (√132 − 52 + 7)2 = √49 + 192 = √410

Simplification de quotient :

𝐹 =2√3

2 + √3=

2√3(2 − √3)

(2 + √3)(2 − √3)=

4√3 − 6

4 − 3= 4√3 − 6

(on a multiplié le numérateur et le dénominateur (a + b) par (a - b) afin d’obtenir le dénominateur

sans irrationnel ; en effet (a + b)(a - b)= a² - b² et (√𝑎)2

= 𝑎.)

Exercice 4

1. Montrer que A = √7

√2−√7+

√2

√2+√7 est un rationnel.

2. Calculer la somme et le produit de 5+√5

2 et de

5−√5

2

Que remarque-t-on ?

3. Sachant que 𝐵 = 143 , C = 85 , 𝐷 = 494 et E = (7

2)3

, simplifier l’expression F = 𝐵×𝐶

𝐷 E

4. Montrer que 𝐺 = 272 × 342 × 778 est le carré d’un entier ainsi que le cube d’un autre entier.



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1ère Série

Exercice 5

𝐻 = √7 − 4√3 + √7 + 4√3 et 𝐼 = √7 − 4√3 − √7 + 4√3

1. Calculer 𝐻2, 𝐼2.

2. En déduire les valeurs de H et I

3. Simplifier les expressions √7 − 4√3 et √7 + 4√3

Exercice 6

ABCD est un carré de côté 8.

A B

17

x

D C E



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1ère Série

Calculer la longueur x.

Exercice 7

1. Vérifier les égalités 1

2=

1

3+

1

2×3 et

1

3=

1

4+

1

3×4

2. Compléter les égalités suivantes :

1

4=

1

5+

1

… et

1

5=

1

6+

1

…

3. Quelle conjecture (propriété qui semble vraie mais qui n’est pas encore démontrée) peut-on faire ?

4. Démontrer la conjecture.



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