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The problemExample : Step by step
Section d’un cube par un plan P
Vincent PANTALONI
5 octobre 2009
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Table of contents
1 The problem
2 Example : Step by stepStep 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
On part de quoi ?
On dispose d’un cube et de trois points I , J , K places sur ce cube.Notons P = (IJK ), c’est notre plan de coupe.
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
On part de quoi ?
On dispose d’un cube et de trois points I , J , K places sur ce cube.Notons P = (IJK ), c’est notre plan de coupe.
A B
CD
E F
GHI
J
K
Fig.: Un cube a couper selon (IJK )Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Que doit-on faire ?
On cherche la section du cube par P, c’est a dire l’intersection dece plan avec chaque face du cube. L’objectif est d’arriver a ceci :
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Que doit-on faire ?
On cherche la section du cube par P, c’est a dire l’intersection dece plan avec chaque face du cube. L’objectif est d’arriver a ceci :
A B
CD
E F
GHI
J
KL
M
N
O
Fig.: Section du cube par (IJK )Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Regles du jeu
1 L’intersection d’une face par un plan est un segment de droiteou ∅.
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Regles du jeu
1 L’intersection d’une face par un plan est un segment de droiteou ∅.
2 Une droite doit etre tracee dans un plan contenant une facedu cube.
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Regles du jeu
1 L’intersection d’une face par un plan est un segment de droiteou ∅.
2 Une droite doit etre tracee dans un plan contenant une facedu cube.
3 Si deux points M et N de P sont sur une face, on relie M etN , cela nous donne l’intersection de P et de cette face.
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Regles du jeu
1 L’intersection d’une face par un plan est un segment de droiteou ∅.
2 Une droite doit etre tracee dans un plan contenant une facedu cube.
3 Si deux points M et N de P sont sur une face, on relie M etN , cela nous donne l’intersection de P et de cette face.
4 La section du cube par le plan (IJK ) est un polygone.
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Regles du jeu
1 L’intersection d’une face par un plan est un segment de droiteou ∅.
2 Une droite doit etre tracee dans un plan contenant une facedu cube.
3 Si deux points M et N de P sont sur une face, on relie M etN , cela nous donne l’intersection de P et de cette face.
4 La section du cube par le plan (IJK ) est un polygone.
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 1
Determiner la section ducube ABCDEFGH par leplan (IJK ).
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 1
Determiner la section ducube ABCDEFGH par leplan (IJK ).
A B
CD
E F
GHI
J
K
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 1
Determiner la section ducube ABCDEFGH par leplan (IJK ).
On relie I et K qui sontsur la face du haut.
A B
CD
E F
GHI
J
K
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 1
Determiner la section ducube ABCDEFGH par leplan (IJK ).
On relie I et K qui sontsur la face du haut.
A B
CD
E F
GHI
J
K
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 1
Determiner la section ducube ABCDEFGH par leplan (IJK ).
On relie I et K qui sontsur la face du haut.
On ne peut pas relier J aI ou K car ces segmentsne sont pas sur une facedu cube.
A B
CD
E F
GHI
J
K
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 1
Determiner la section ducube ABCDEFGH par leplan (IJK ).
On relie I et K qui sontsur la face du haut.
On ne peut pas relier J aI ou K car ces segmentsne sont pas sur une facedu cube.
On va passer a desconstructions « horssolide ».
A B
CD
E F
GHI
J
K
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 2
On cherche l’intersectionde (IJK ) avec la faceavant ou on a deja lepoint J .
A B
CD
E F
GHI
J
K
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 2
On cherche l’intersectionde (IJK ) avec la faceavant ou on a deja lepoint J .
(IK ) et (EF ) sontcoplanaires dans (EFG ).
A B
CD
E F
GHI
J
K
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 2
On cherche l’intersectionde (IJK ) avec la faceavant ou on a deja lepoint J .
(IK ) et (EF ) sontcoplanaires dans (EFG ).
On note L leur pointd’intersection. L ∈ (IK )donc L ∈ (IJK ).
A B
CD
E F
GHI
J
KL
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 3
L ∈ (EF ) doncL ∈ (EFB). Donc(JL) ⊂ (EFB).
A B
CD
E F
GHI
J
KL
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 3
L ∈ (EF ) doncL ∈ (EFB). Donc(JL) ⊂ (EFB).
On trace donc (JL) dans(EFB)
A B
CD
E F
GHI
J
KL
M
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 3
L ∈ (EF ) doncL ∈ (EFB). Donc(JL) ⊂ (EFB).
On trace donc (JL) dans(EFB)
(JL) et (FB) sont donccoplanaires et secantes aupoint note M.
A B
CD
E F
GHI
J
KL
M
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 4
M ∈ (JL) doncM ∈ (IJK ).
A B
CD
E F
GHI
J
KL
M
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 4
M ∈ (JL) doncM ∈ (IJK ).
Ainsi [JM] et [KM]constituent lesintersections des facesavant et de droite par(IJK ).
A B
CD
E F
GHI
J
KL
M
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 4
M ∈ (JL) doncM ∈ (IJK ).
Ainsi [JM] et [KM]constituent lesintersections des facesavant et de droite par(IJK ).
On les trace en rouge.
A B
CD
E F
GHI
J
KL
M
N
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 5
On note N = (JL)∩ (AE ).
A B
CD
E F
GHI
J
KL
M
N
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 5
On note N = (JL)∩ (AE ).
N ∈ (IJK ), et N ∈ (AE ).Ainsi I et N appartiennenta (IJK ) ∩ (AEH).
A B
CD
E F
GHI
J
KL
M
N
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 5
On note N = (JL)∩ (AE ).
N ∈ (IJK ), et N ∈ (AE ).Ainsi I et N appartiennenta (IJK ) ∩ (AEH).
On trace donc (IN) dans(AEH). (IN) coupe [AD]en O.
A B
CD
E F
GHI
J
KL
M
N
O
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 6
O appartient a (IJK ) etaux faces de gauche et dubas,
A B
CD
E F
GHI
J
KL
M
N
O
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 6
O appartient a (IJK ) etaux faces de gauche et dubas,
ainsi [OI ] et [JO] sont lesintersections de ces facesavec (IJK ).
A B
CD
E F
GHI
J
KL
M
N
O
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
Step 6
O appartient a (IJK ) etaux faces de gauche et dubas,
ainsi [OI ] et [JO] sont lesintersections de ces facesavec (IJK ).
On les trace en pointillescar ces segments sont surdes faces cachees.
A B
CD
E F
GHI
J
KL
M
N
O
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
The end
A B
CD
E F
GHI
J
KL
M
N
O
Fig.: La section du cube par le plan (IJK ) est le pentagone IKMJO.
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
The problemExample : Step by step
Step 1 : On relie les points sur une meme faceStep 2 : Hors solideStep 3Step 4Step 5Step 6 : On finit de relier
The end
That’s all folks !
Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P
