Sections, Resistance des matériaux

7/29/2019 Sections, Resistance des matriaux

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Section droite dune poutre :caracteristiques et contraintes

Yves Debard

Institut Universitaire de Technologie du Mans

Departement Genie Mecanique et Productique

e-mail : [email protected]

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html

26 juin 2006

Table des matieres

1 Caracteristiques 21.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Calcul de A , My, Mz, Iy, Iz et Iyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Calcul de Y et Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Calcul des fonctions de gauchissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.4 Calcul des modules plastiques Wpl,Y et Wpl,Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Contraintes 8

References 10
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2 Caracteristiques et contraintes

1 Caracteristiques

1.1 Definitions

Soient une section droite (A) et {O; x, y} un repere orthonorme du plan de la section.

On appelle aire de la section la quantite :

A =

A

dA , dA = dy dz (1.1)

Les moments statiques de la section par rapport aux axes y et z sont definis par :

My =

A

z dA , M z =

A

y dA (1.2)

On appelle moments quadratiques de la section par rapport aux axes y et z, les quantites :

Iy =

A

z2 dA , I z =

A

y2 dA (1.3)

On appelle moment produit de la section par rapport aux axes y et z, la quantite :

Iyz =

A

yz dA (1.4)

On appelle centre de gravite de la section le point G dont les coordonnees sont definies par lesrelations :

yG =Mz

AzG =

My

A(1.5)

Soit une droite (D), passant par lorigine et faisant un angle par rapport a laxe Oy. Le momentquadratique de la section par rapport a (D) est egal a :

I() = Iy cos2() + Iz sin

2() 2 Iyz cos() sin() (1.6)

soit :

I() =

cos sin Iy IyzIyz Iz

cos sin

(1.7)

Lorsque varie, I() passe par un minimum et un maximum. Les deux directions correspondantessont perpendiculaires entre elles. Le moment produit est nul par rapport a ces deux directions. Cesdeux directions que nous noterons Y et Z sont appelees axes centraux principaux.


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Section droite dune poutre 3

On a les relations suivantes :A

Y dA = 0 ,

A

Z dA = 0 ,

A

Y Z dA = 0 , dA = dY dZ (1.8)

Les quantites :IY =

A

Z2 dA , I Z =

A

Y2 dA (1.9)

sont les moments quadratiques principaux :

IYIZ

=

Iy + Iz2

(Iy Iz)2 + 4 I2yz (1.10)

Le logiciel evalue les quantites suivantes :

le moment dinertie polaire (moment de la surface par rapport au centre de gravite) :

Ip =A

Y2 + Z2

dA = IY + IZ (1.11)

les constantes de stabilite :

Y =

A

Y (Y2 + Z2) dA Z =

A

Z(Y2 + Z2) dA (1.12)

les modules plastiques :

Wpl,Y =

A

|Z Zp| dA Wpl,Z =

A

|Y Yp| dA (1.13)

ou les droitesY

=Yp et

Z=

Zp separent la surface de la section droite en deux surfaces egales.

les rayons de girations :

iY =

IY

AiZ =

IZ

AiO =

IO

A(1.14)

La constante de torsion de Saint Venant est egale a :

J =

A

Y

Z Z

Y+ Y2 + Z2

dA (1.15)

ou (Y, Z) est la fonction de gauchissement de torsion. Si la section est circulaire (pleine ou creuse),

est nul et J se reduit au moment dinertie polaire Ip.

Le centre de cisaillement/torsion est le point de la section qui reste fixe lorsque la force elastiquesur la section se reduit a un moment de torsion. Il est defini par :

YC = 1

IY

A

Z dA , Z C =1

IZ

A

Y dA (1.16)

Le moment dinertie de rotation (moment de la surface par rapport au centre de cisaillement) estegal a :

Ir = A (Y YC)

2 + (Z ZC)2

dA = (Y2C + Z

2

C) A + Ip (1.17)

La constante de gauchissement est definie par :

I =

A

2 dA (1.18)


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La constante de stabilite est definie par :

=

A

(Y2 + Z2) dA (1.19)

Lenergie de deformation lineique due a leffort tranchant est egale a :

T2Y2 GA kY

+T2Z

2 GA kZ(1.20)

ou kY et kZ sont les coefficients daire cisaillee. Ces coefficients sont definis par :

kY =1

IZ

A

g Y dA , kZ =1

IY

A

hZ dA (1.21)

ou g et h les fonctions de gauchissement associees aux efforts tranchants TY et TZ.

AY = kYA est laire cisaillee suivant Y et AZ = kZA est laire cisaillee suivant Z.

1.2 Calculs

1.2.1 Calcul de A , My, Mz, Iy, Iz et Iyz

Ces quantites sont calculees par integration sur le contour exterieur de la section par utilisationde la formule de Green qui permet la transformation dune integrale double en integrale simple decontour :

AM

y

N

z dA = N dy + M dz (1.22)

Par exemple, le calcul de Iy seffectue en posant N = 0 et M = y z2 dou :

Iy =

y z2 dz (1.23a)

De meme :

A =

y dz , M y =

yz dz , M z =

yz dy

Iz =

zy2 dy , I yz =1

2

y2z dz

(1.23b)

Contribution dun segment :

Soit lelement de contour dorigine 1 (y1, z1) et dextremite 2 (y2, z2) :


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y = N1 y1 + N2 y2z = N1 z1 + N2 z2

dy =y

d = ( N

1y1 + N

2y2 ) d

dz =z

d = ( N

1z1 + N

2z2 ) d

(1.24a)

avec :

N1 =1

2, N2 =

1 +

2, N1 =

1

2, N2 =

1

2, 1 1 (1.24b)

La contribution du segment 1 2 a chacune des quantites recherchees est de la forme :1

1

f() d (1.25)

et est calculee numeriquement par la methode de Gauss :

1

1

f() d =

npii=1

f(i) wi (1.26)

ou npi, wi et i sont respectivement le nombre de points dintegration, le poids et labscissedu ie point dintegration.

Contribution dun cercle :

La contribution du cercle de centre C(yC, zC), de rayon R et parcouru dans le sens trigonome-trique aux quantites recherchees est egale a :

A = R2

My = zCA , Mz = yCA

Iy = R2

4+ z2CA , Iz

=

R2

4+ y2CA , Iyz

= yCzCA

(1.27)

Contribution dun arc de cercle :

La contribution de larc de cercle dorigine 1 (y1, z1), dextremite 2 (y2, z2), de centre C (yC, zC)et parcouru dans le sens trigonometrique a laire (Iy, . . . ) est egale a laire (Iy, ...) du segmentcirculaire (S) moins la contribution a laire (Iy, ...) du segment 2 1.


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Soient R le rayon de larc, son angle au centre et L la longueur de sa corde.

Soient G le centre de gravite de (S), Ga et Gb les axes centraux principaux de (S). Introduisonsles axes Gu et Gv paralleles respectivement aux axes y et z. On a les relations :

AS =1

2R2 ( sin ) , d = CG =

L3

12 AS

ISa =R4

8( sin cos ) d2 AS , ISb =

R4

24(3 4 sin + sin cos )

(1.28)

Posons :

c = cos =y1 y2

L, s = sin =

z1 z2L

, L2 = (y2 y1)2 + (z2 z1)

2

Les quantites recherchees sont :

MSy = zG A

S

MSz = yG AS

,

ISy = ISu + z

2

G AS

ISz = ISv + y

2

G AS

ISyz = ISuv + yG zG A

S

(1.29a)

ou : yG = yC s dzG = zC + c d

,

ISu = ISa c

2 + ISb s2

ISv = ISa s

2 + ISb c2

ISuv = ISa c s + I

Sb c s

(1.29b)

Remarque : si langle de larc est tres petit, larc est remplace par un element de contour qua-dratique.

Contribution dun element de contour quadratique :

Soit lelement de contour quadratique dorigine 1 (y1, z1), de milieu 2 (y2, z2) et dextremite 3(y3, z3) :


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y = N1 y1 + N2 y2 + N3 y3z = N1 z1 + N2 z2 + N3 z3

,

dy =y

d = ( N

1y1 + N

2y2 + N

3y3 ) d

dz =z

d = ( N

1 z1 + N

2 z2 + N

3 z3 ) d

(1.30a)

avec :

N1 =(1 )

2, N2 = 1

2 , N3 =(1 + )

2

N1

=1 + 2

2, N

2= 2 , N

3=

1 + 2

2

, 1 1 (1.30b)

La contribution de lelement 1 2 3 a chacune des quantites recherchees est calculeenumeriquement par quadrature de Gauss ( Contribution dun segment).

1.2.2 Calcul de Y et Z

Ces quantites sont calculees par integration sur le contour exterieur :

Y =

Z Y3 dY + Y2 Z2 dZ , Z =

Y2 Z2 dY + Y Z3 dZ (1.31)

Le contour est discretise en elements quadratiques. La contribution dun element a chacune des quan-tites recherchees est calculee numeriquement par quadrature de Gauss.

1.2.3 Calcul des fonctions de gauchissement

Gauchissement du a la torsion :

La fonction de gauchissement de torsion (Y, Z) est la solution du probleme :

2

Y2+

2

Z2= 0 (1.32a)

sur le domaine de la section avec la condition aux limites :

YnY +

ZnZ = Z nY Y nZ (1.32b)

sur le contour exterieur ( . n = 0) et la condition dunicite :

A

dA = 0 (1.32c)

ou nY et nZ sont les cosinus directeurs de la normale exterieure au contour .


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Gauchissement du a leffort tranchant :

La fonction de gauchissement deffort tranchant suivant Y : g(Y, Z) est la solution de lequation :

2

gY2

+ 2

gZ2

= AIZ

Y (1.33a)


g

YnY +

g

ZnZ = 0 (1.33b)

sur le contour exterieur ( . n = 0) et la condition dunicite :A

g dA = 0 (1.33c)

De meme, la fonction de gauchissement deffort tranchant suivant Z : h(Y, Z) est la solution delequation :

2

hY2

+ 2

hZ2

= AIY

Z (1.34a)


h

YnY +

h

ZnZ = 0 (1.34b)

sur le contour exterieur ( . n = 0) et la condition dunicite :A

h dA = 0 (1.34c)

Ces problemes sont resolus par la methode des elements finis apres triangulation de la section parla methode de Delaunay. Les elements utilises reposent sur une formulation deplacement.

1.2.4 Calcul des modules plastiques Wpl,Y et Wpl,Z

Ces quantites sont evaluees en utilisant le maillage de la section.

2 Contraintes

Soient Y et Z les axes centraux principaux de la section. Laxe X est la fibre moyenne de la poutre.G est le centre de gravite de la section.

Soit N TY TZ M t Mf Y MfZ

la force interieure qui sexerce sur la section.


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Au point M(Y, Z), le tenseur des contraintes a pour expression :

[(M)] =

XX XY XZXY 0 0

XZ 0 0

(2.1)

ou la contrainte normale est egale a :

XX =N

A+ Z

MfY

IY Y

MfZ

IZ(2.2)

et les contraintes de cisaillement sont egales a :

XY =M t

J

Y Z

+

TY

A

g

Y+

TZ

A

h

Y

XZ =M t

J

Z+ Y+

TY

A

g

Z+

TZ

A

h

Z

(2.3)

ou , g et h sont respectivement les fonctions de gauchissement associees a M t, TY et TZ ( Carac-teristiques dune section droite).

On en deduit :

les contraintes principales :12

=XX

2

1

2

2XX + 4

2 avec 2 = 2XY + 2

XZ

3 = 0

(2.4)

Remarque : on a la relation :2 3 = 0 1 (2.5)

la contrainte equivalente de Von Mises :

VM =

2XX + 3 2

la contrainte equivalente de Tresca :

T =

2XX + 4 2

References

[1] J.-L. Batoz et G. Dhatt Modelisation des structures par elements finis Volume 1 : Solideselastiques, Hermes, 1990.

[2] , Modelisation des structures par elements finis Volume 2 : Poutres et plaques, Hermes,1990.


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[3] J. Courbon Resistance des materiaux Tome 1, 2 ed., Dunod, 1964.

[4] , Resistance des materiaux Tome 2, Dunod, 1965.

[5] G. Cowper The shear coefficient in Timoshenkos beam theory , Journal of Applied Me-chanics, ASME

33 (1966), p. 335340.[6] Z. Friedman et J. Kosmatka Torsion and flexure of a prismatic isotropic beam using the

boundary element method , Computers & Structures 74 (2000), p. 479494.

[7] D. Gay Materiaux composites, Hermes, 1997.

[8] D. Gay et J. Gambelin Dimensionnement des structures, Hermes, 1999.

[9] F. Gruttman, R. Sauer et W. Wagner Shear stresses in prismatic beams with arbitrarycross-sections , International Journal for Numerical Methods in Engineering 45 (1999), p. 865889.

[10] L. Hermann Elastic torsional analysis of irregular shapes , Journal of the EngineeringMechanics Division, ASCE 91 (1965), p. 1119.

[11] S. Laroze Mecanique des structures Tome 2 : Theorie des poutres, 2 ed., Eyrolles/Masson,1988.

[12] S. Laroze et J.-J. Barrau Mecanique des structures Tome 4 : Calcul des structures enmateriaux composites, Eyrolles/Masson, 1987.

[13] J. Mandel Determination du centre de torsion a laide du theoreme de reciprocite , Annalesdes Ponts et Chaussees 118 (1948), p. 271290.

[14] T. Nouri, D. Gay et J. Cieaux Homogeneisation et contraintes de cisaillement dansune poutre composite a phases orthotropes , Revue des composites et des materiaux avances 2(1992), no. 2, p. 165181.

[15] W. D. Pilkey Analysis and Design of Elastic Beams Computational Methods, Wiley, 2002.

[16] K. Surana Isoparametric elements for cross-sectional properties and stress analysis ofbeams

, International Journal for Numerical Methods in Engineering 14 (1979), p. 475497.

[17] W. Wagner et F. Gruttman Finite element analysis of Saint-Venant torsion problem withexact integration of the elastic-plastic constitutive equations

, Computer Methods in Applied

Mechanics and Engineering 190 (2001), p. 38313848.

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