Semestre 3 des Licencesbbtek.free.fr/LED2S3/Micro/TD/TDpartI.pdf · c M-B Bouissou, 1 ere moitié Documents de TD de Microéconomie Elémentaire 1, L2S3 d'Economie, UT1 Capitole 2010-11

c©M-B Bouissou, 1eremoitié Documents de TD de Microéconomie Elémentaire 1, L2S3 d'Economie, UT1 Capitole 2010-11 1

Université Toulouse 1 Capitole / Année Universitaire 2010-2011 / Semestre 3 des Licences :

Economie et droit/Economie et gestion/Economie et langue espagnole/Economie et mathématiques

Travaux Dirigés sur le Cours MICROECONOMIE ELEMENTAIRE 1 (1ère moitié, Mlle Cazals).

Thème I.1 Equilibre général des échanges. (document rédigé par M. Bouissou)

Quelques rappels préliminaires : (à étudier avant la 1ère séance de TD)

(avec extraits entre guillemets de Introduction à la microéconomie 5eéd. par H.R. Varian chez De Boeck)

"Nous envisageons (ici) une économie où les individus ont des dotations �xes de biens et nous examinonscomment ils peuvent échanger ces biens entre eux. Il n'y a à ce stade aucune production et nous parlonsdès lors d'échange pur (p.584)" d'où le rôle central des préférences de ces individus consommateurs.

"Une fonction d'utilité est simplement une façon de représenter ou de synthétiser un ordre de préférencesd'un consommateur. Les valeurs numériques des niveaux d'utilité n'ont pas de signi�cation intrinsèque.Toute transformation monotone (c'est-à-dire qui conserve le classement donc stictement croissante)d'une fonction d'utilité représente dès lors les mêmes préférences que la fonction initiale (p.79)".

Pour chaque panier (C1, C2) rempli de biens 1 et 2 en quantités C1 et C2, réalisable par un consommateurrationnel dont les préférences entre paniers sont représentables par une fonction d'utilité : U(C1, C2), ons'intéresse aux très petites (ou in�nitésimales) variations : dC1 et dC2, des quantités, qui lui permettraientde conserver avec ce panier modi�é : (C1+dC1, C2+dC2), le même niveau de satisfaction que celui obtenuavec (C1, C2) donc telles que sa variation de satisfaction : dU = U(C1 + dC1, C2 + dC2) − U(C1, C2),soit nulle : dU = 0. Puisque la satifaction ne doit pas varier, la monotonicité des préférences déduite del'axiome de non-saturation implique que ces variations seront toujours de signes opposés donc leur rapport

sera toujours négatif :dC2

dC1< 0 et d'après dU = 0, ces variations seront liées par la relation :

∂U(C1, C2)

∂C1dC1 +

∂U(C1, C2)

∂C2dC2 = 0 donc, �nalement, telles que −dC2

dC1=

∂U(C1, C2)

∂C1

∂U(C1, C2)

∂C2

> 0.

Pour savoir comment il peut alors accepter, par exemple, de "transformer" du bien 1 en bien 2(notation : 1 en 2 ou 1→2), c'est-à-dire de substituer dans son panier, du bien 2 à du bien 1 (notation : 2 à 1),

il su�t de calculer leur rapport, positif : −dC2

dC1dont la valeur nous indique le nombre d'unités de bien 2

qu'il devra rajouter, dans son panier, par unité de bien 1 enlevée, pour maintenir sa satisfaction au niveaud'avant ce changement donc le taux auquel il peut être disposé, compte tenu de ses préférences, à de petitséchanges entre les deux biens quand il en a les quantités C1 et C2 dans son panier.EXEMPLE (avec biens divisibles et quantités exprimées en nombres réels d'unité du bien) :

quand son panier est (C1, C2)=(75,7 , 32,5), si on sait juste, sans connaître U(C1, C2), ni ses dérivées partielles,

que dC1=−0, 2 nécessite dC2=+0,8 pour maintenir sa satisfaction : −dC2

dC1=−+0, 8

−0, 2= 4 ;

on peut donc estimer qu'il est disposé à remplacer, dans ce panier, 1 unité de bien 1 par 4 unités de bien 2

(ou à l'inverse, 1 unité de bien 2 par un quart d'unité de bien 1).

On parle �nalement de ce rapport, comme suit, et on en rappelle sa formule de calcul qui peut être utiliséelorsqu'on connaît la fonction U(C1, C2) ou ses dérivées partielles.Le taux marginal de substitution (du bien 2 au bien1) dans le panier (C1, C2) est :

TMS2 à 1(C1, C2)(dé�nition)

= −dC2

dC1

∣∣∣∣dU=0

(formule de calcul)=

∂U(C1, C2)

∂C1

∂U(C1, C2)

∂C2

qui est le rapportUm1(C1)

Um2(C2)

des utilités marginales des deux biens relativement à leurs quantités respectives dans ce panier ;ce taux nous indique comment ce consommateur évalue une unité de bien 1 en termes de bien 2 pour fairede petites modi�cations de la composition d'un panier (C1, C2), sans modi�cation de sa satisfaction.D'un point de vue graphique, il est égal à la valeur absolue de la pente de la tangente au point decoordonnées (C1, C2) d'une courbe d'indi�érence de ce consommateur, de niveau U = U(C1, C2).


Quelques rappels préliminaires (suite) :

"Les préférences normales sont monotones (on préfère consommer plus que moins) et convexes (les paniersintermédiaires sont préférés aux paniers extrêmes) (p.61)"."Les préférences Cobb-Douglas constituent un exemple classique de préférences normales (p.73)". Ce sontles préférences représentables par une fonction d'utilité dont la forme analytique est du type de celle d'unefonction de production Cobb-Douglas, c'est-à-dire γC1

αC2β avec γ, α, β > 0 , dans le cas d'un panier

contenant deux biens en quantités C1 et C2. Alors dans le cas particulier de préférences Cobb-Douglas :

TMS2 à 1(C1, C2)

(=γαC1

α−1C2β

γC1αβC2

β−1

)=α

β

C2

C1.

A noter : quand U(C1, C2) = γC1αC2

β avec γ, α, β > 0 , représente les préférences d'un consommateur,

U(C1, C2) = C1αC2

β et U(C1, C2) = C

αα+ β

1 C

βα+ β

2 représentent aussi les mêmes préférences car le

produit par1

γ(> 0) et la puissance

1

α+ β(> 0) ou racine (α+β)-ième sont des transformations monotones.

Exercice I.1.1 (à préparer avant la 1ère séance de TD)

On considère une économie d'échange avec m consommateurs et n biens supposés divisibles.L'allocation de dotation initiale d'un consommateur j est (wj1, ..., w

ji , ..., w

jn) où w

ji désigne le nombre d'unités

de bien i dont est doté l'agent j. Le revenuM j de l'agent j est alors constitué par l'évaluation de sa dotation

initiale et dépend donc des prix (en e ) de tous les biens, sous la forme : M j(p1, ..., pi, ..., pn) =n∑i=1

piwji .

1. Ecrire la contrainte budgétaire saturée d'un consommateur j, "preneur" de prix, qui exprime desdemandes de biens : Cj1 , ..., C

ji , ..., C

jn où C

ji désigne le nombre d'unités de bien i demandé par l'agent j.

2. La réécrire quand le niveau des prix est modi�é de x% ( x ∈]− 100,+∞[ ) . Que remarque-t-on ?

3. En déduire que les demandes de biens du consommateur j, "preneur" de prix dans une économied'échange, sont des fonctions homogènes de degré 0 des prix de tous les n biens de cette économiec'est-à-dire que ∀i = 1, ..., n : ∀λ > 0, Cji (λp1, ..., λpi, ..., λpn) = λ0Cji (p1, ..., pi, ..., pn) .

4. En déduire que les demandes de biens du consommateur j, fonctions des prix absolus (en e ) des nbiens de cette économie, peuvent être exprimées en fonction seulement de prix relatifs de (n−1) biens,c'est-à-dire de leurs prix relativement à celui d'un des n biens arbitrairement choisi.REMARQUE : si on choisit le n-ième bien, le prix relatif

pipn

du bien i exprime la valeur d'une unité de bien i en

termes de bien n (càd en nombre d'unités de bien n) alors que le prix absolu pi l'exprimait en termes monétaires

(càd en nombre d'e ) ;pipn

exprime donc le taux d'échange d'une unité de bien i contre du bien n alors que pi

exprimait ce taux d'échange contre de la monnaie ; si pi = 7 e , pn = 3, 5 e :pipn

= 2 unités de bien n pour une de

bien i ; lorsque l'unité de bien n devient l'unité de compte, on dit que le bien n est utilisé comme bien numéraire ;

le système des n prix absolus en e : (p1, ..., pi, ..., pn−1, pn), est alors remplacé par un système de n prix absolus

en bien n :

(p1pn, ...,

pipn, ...,

pn−1

pn, 1

)donc par le système de (n− 1) prix relatifs :

(p1pn, ...,

pipn, ...,

pn−1

pn

).

5. La demande excédentaire ou demande nette en bien i par l'agent j est : eji = Cji − wji

et la demande excédentaire ou demande nette agrégée en bien i est donc : ei =m∑j=1

eji .

La loi de Walras énonce que "la valeur globale des demandes nettes agrégées est nulle" ; montrer quecette loi résulte simplement de la sommation des contraintes budgétaires saturées des agents dans uncontexte donné de prix (c'est pourquoi elle est vraie même en dehors du contexte de l'équilibre général).La propriété : "lorsque (n − 1) des n marchés d'une économie sont à l'équilibre, les n marchés sont àl'équilibre" énonce que l'équilibre sur (n−1) des n marchés su�t à garantir la réalisation d'un équilibregénéral ; montrer qu'elle est une conséquence de la loi de Walras, dans un contexte d'équilibre.


Exercice I.1.2 (à préparer partiellement en fonction de l'état d'avancement du Cours, avant la 1ère séance de TD)

On étudie une économie d'échange avec deux consommateurs : a et b, et deux biens divisibles : 1 et 2,en quantités w1 = 15 et w2 = 30. L'allocation de dotation initiale est (wa1 , w

a2) = (14, 2) et (wb1, w

b2) = (1, 28)

où wji désigne le nombre d'unités de bien i dont est doté l'agent j. Les préférences des deux consommateurs

sont respectivement représentées par les fonctions d'utilité : Ua(Ca1 , Ca2 ) = Ca1

2Ca2 et U b(Cb1, C

b2) = Cb1C

b2

2.

1. Analyser les préférences de ces consommateurs et commenter.

2. A�n de déterminer l'expression, en fonction du prix relatif p =p1p2

, des demandes des consommateurs :

Ca1 (p), Ca2 (p), C

b1(p) et C

b2(p) (quand on suppose qu'ils o�rent et demandent les biens en "preneurs" de

prix comme des agents en concurrence), déterminer les demandes Cj1(p) et Cj2(p) d'un consommateur j

avec une utilité U j(Cj1 , Cj2) = Cj1

αCj2

βet une dotation (wj1, w

j2) puis faire l'application numérique aux

cas respectifs des consommateurs a et b.

3. Dé�nir puis déterminer l'équilibre général concurrentiel des échanges,

c'est-à-dire le prix relatif d'équilibre p∗ et l'allocation d'équilibre (Ca1∗, Ca2

∗, Cb1

∗, Cb2

∗).

Véri�er que quand p∗ équilibre le marché du bien 1, il équilibre aussi le marché du bien 2(c'est simplement une conséquence de la loi de Walras dans une économie avec deux biens, cf Ex. I.1.1 5.).Véri�er que la demande nette agrégée en bien i sera nulle pour chaque bien i, à l'équilibre général deséchanges (c'est aussi une autre façon de le dé�nir).

4. Déterminer l'expression analytique de la droite de budget d'un consommateur j selon le prix relatif

p =p1p2, dans son repère (

−−→OCj1 ,

−−→OCj2) d'une boîte d'Edgeworth.

5. Montrer que la droite de budget du consommateur a et celle du consommateur b sont représentées dansla boîte d'Edgeworth, par une seule et même droite passant par le pointW des dotations initiales de ces

agents et de pente de valeur absolue, p =p1p2, dans leurs repères respectifs (

−−→OCa1 ,

−−→OCa2 ) et (

−−→OCb1,

−−→OCb2).

Donner l'expression analytique des droites de budget de a et de b quand :� p = 2 puis observer qu'elles sont déjà tracées et confondues dans la boîte, p.7 ;� p = 1, 5 puis les tracer dans la boîte, p.7, pour véri�er qu'elles sont confondues.Etablir que le prix d'équilibre p∗ est égal à la valeur absolue de la pente du segment joignant dans laboîte d'Edgeworth, p.7, le point E de l'allocation d'équilibre et le point W des dotations initiales.

6. Dé�nir la courbe des contrats dont la représentation graphique dans la boîte d'Edgeworth, vous estdonnée pp.6-7 puis en déduire son expression analytique dans le repère, par exemple, de l'agent a.Dé�nir le noyau de cette économie d'échange dont la représentation dans la boîte d'Edgeworth, vousest donnée p.6 .

7. "Le Premier Théorème de l'Economie du Bien-être stipule qu'un équilibre concurrentiel est e�caceau sens de Pareto (Varian, p.610)" ; illustrer ce propos dans le cas de l'équilibre concurrentiel de laquestion 3, par des calculs appropriés et des constatations sur le graphique p.7 .

8. "Le Second Théorème de l'Economie du Bien-être stipule qu'à condition que les préférences soientconvexes, toute allocation e�cace au sens de Pareto peut être réalisée par un équilibre concurrentiel(Varian, p.610)" ; illustrer ce propos en montrant qu'il est, par exemple, possible d'atteindre un opti-mum de distribution au sens de Pareto dans lequel les consommateurs a et b se partagent la quantitéde bien 1 disponible (point E′ dans la boîte, p.7), dans le cadre d'un équilibre concurrentiel réalisableau prix relatif p′, à calculer, avec une modi�cation de l'allocation initiale en bien 1, à calculer.

Commentaires relatifs aux questions 7 et 8 :L'allocation de dotation initiale ("opérée par la Nature") a attribué à chaque consommateur, beaucoup

plus de celui des deux biens qui contribue le plus fortement à l'augmentation de sa satisfaction.Ceux-ci ont toutefois trouvé pro�table de procéder à des échanges qui ont rééquilibré la part de chacun

des deux biens dans leurs paniers respectifs (passage du point W au point E sur le graphique p.7).

... / ...


On peut aussi constater qu'une répartition égalitaire des deux biens entre les deux consommateurs, cor-respondant au point central de la boîte d'Edgeworth, ne constituerait pas un objectif redistributif souhaitabledans cette économie car il n'appartient pas à la courbe des contrats entre ces deux agents.

Si par contre, un partage égalitaire du stock en bien 1, seulement, peut être considéré (selon un certaincritère de justice sociale) comme un objectif redistributif souhaitable parmi tous les objectifs redistributifse�caces que représente la courbe des contrats dans cette économie, on montre qu'il su��rait dans ce petitmodèle d'économie d'échange, de pouvoir, par exemple, partiellement corriger la répartition du bien 1 dansla dotation initiale (passage de W à W ′) pour atteindre cet objectif à l'équilibre des échanges (réalisation del'équilibre E′ au lieu de l'équilibre E).

Ce rôle reviendrait alors à un agent "puissance publique" ou "Etat" dans le cadre dit d'une "plani�ca-tion décentralisée" de l'équilibre E′ qui organiserait au moyen, par exemple, d'une politique budgétaire, laréalisation entre les agents de cette économie de propriété privée, des transferts appropriés pour remplacerW par W ′. On voit donc ici comment le Second Théorème contribue à fonder l'Economie Publique.

Exercice I.1.3 (à travailler personnellement, hors TD, après la correction de l'exercice I.1.2, en TD)

On étudie une économie d'échange avec deux biens (divisibles) 1 et 2 en quantités w1 = 15 et w2 = 30 etavec deux consommateurs a et b. L'allocation de dotation initiale est (wa1 , w

a2) = (12, 4) et (wb1, w

b2) = (3, 26)

où wji désigne le nombre d'unités de bien i dont est doté l'agent j.Les préférences des consommateurs sont respectivement représentées par les fonctions d'utilité suivantes :

Ua(Ca1 , Ca2 ) = Ca1C

a2 et U b(Cb1, C

b2) = (Cb1C

b2)

2.

1. Retrouver par les méthodes utilisées dans la résolution de l'exercice I.1.2, l'ensemble des résultatssuivants :� les demandes des deux consommateurs "preneurs" des prix p1 et p2 des deux biens, sont en fonction

du prix relatif p =p1p2

: Ca1 (p) = 6+2

p; Cb1(p) =

3

2+

13

p; Ca2 (p) = 6p+ 2 ; Cb2(p) =

3

2p+ 13 ;

� l'équation de la droite de budget du consommateur a est : Ca2 = −p.Ca1 + 12p+ 4et celle du consommateur b est : Cb2 = −p.Cb1 + 3p+ 26 ;

� le prix relatif d'équilibre est p∗ = 2 et l'allocation d'équilibre est (Ca1∗, Ca2

∗, Cb1

∗, Cb2

∗) = (7, 14, 8, 16) ;

� le prix relatif d'équilibre p∗ = 2 correspond à la valeur absolue de la pente du segment joignant dansla boîte d'Edgeworth, le point de l'allocation d'équilibre et le point des dotations initiales ;

� dans le contexte particulier de cet exercice, souligné plus loin, au début du point 2. ,la courbe des contrats est représentée par la diagonale joignant les origines des repères des consom-

mateurs dans la boîte d'Edgeworth et caractérisée par les équations Ca2 =30

15Ca1 et Cb2 =

30

15Cb1 ;

� l'allocation dans laquelle les consommations des deux agents seraient identiques(Ca1 = Cb1 =

w1

2

=15

2= 7, 5 et Ca2 = Cb2 =

w2

2=

30

2= 15

)est dans cette économie, un optimum de distribution

au sens de Pareto qui peut, par exemple, être réalisé par un équilibre concurrentiel avec p∗ = 2 ,sans modi�cation de l'allocation initiale en bien 2 : wa2 = 4 et wb2 = 26 mais avec seulement unemodi�cation de l'allocation initiale en bien 1 telle que : wa1 = 13 et wb1 = 2 .

2. Ceci n'est pas une question mais une remarque intéressante dans le cas particulier de cet exercice.

Cet exercice I.1.3 se situe dans un contexte particulier :les deux consommateurs ont les mêmes préférences car le carré est une transformation monotoneet ces préférences sont représentables par une utilité Cobb-Douglas.Alors, que les exposants α et β soient égaux comme ici, ou pas :la courbe des contrats se confond dans un tel contexte, avec la diagonale de la boîte d'Edgeworth.Il est facile de le démontrer.

... / ...


En e�et : TMS2 à 1(Ca1 , C

a2 ) = TMS2 à 1(C

b1, C

b2)⇔

α

β

Ca2Ca1

=α

β

Cb2Cb1⇔ Ca2

Ca1=Cb2Cb1

orCa2Ca1

=Cb2Cb1⇒ Ca2

Ca1=Cb2Cb1

=Ca2 + Cb2Ca1 + Cb1

(la preuve de cette implication est donnée au point 3. Annexe)

d'où, avec Ca2 + Cb2 = w2 et Ca1 + Cb1 = w1 : Ca2 =w2

w1Ca1 et Cb2 =

w2

w1Cb1 .

Et, dans un tel contexte, il n'existe qu'un seul prix (relatif) d'équilibre :

(p1p2

)∗=α

β

w2

w1;

cela signi�e qu'alors, tout équilibre concurrentiel réalisable à partir d'une dotation initiale, est at-teint avec ce même unique prix relatif d'équilibre. Il est facile de le démontrer.En e�et, à l'équilibre concurrentiel :

TMS2 à 1(Ca1

∗, Ca2

∗) = TMS2 à 1(C

b1

∗, Cb2

∗) =

(p1p2

)∗⇔ α

β

Ca2∗

Ca1∗ =

α

β

Cb2∗

Cb1∗ =

(p1p2

)∗⇒ Ca2

∗

Ca1∗ =

Cb2∗

Cb1∗ =

Ca2∗+ Cb2

∗

Ca1∗+ Cb1

∗ =w2

w1(car Ca2

∗+ Cb2

∗= w2 et Ca1

∗+ Cb1

∗= w1) d'où

(p1p2

)∗=α

β

w2

w1.

En tenant compte de ces conséquences du contexte particulier de cet exercice, il devient alors trèssimple d'obtenir le dernier résultat à retrouver au 1. .Cet optimum dans lequel les consommations de a et de b sont identiques peut être réalisé par un équilibre

concurrentiel avec nécessairement ici l'unique prix (relatif) d'équilibre

(p1p2

)∗=α

β

w2

w1=

1

1.30

15= 2.

Mais il faut alors modi�er l'allocation de dotation initiale sinon on en reste à l'équilibre (non-égalitaire)

initialement obtenu avec

(p1p2

)∗. Or a et b ont les mêmes préférences et il su�t donc ici de les doter

du même revenu pour qu'ils aient des consommations identiques, c'est-à-dire qu'il su�t d'égaliser lesrevenus associés à la valeur aux prix d'équilibre, de leurs dotations respectives :

p1∗wa1 + p2

∗wa2 = p1∗wb1 + p2

∗wb2 ⇔(p1p2

)∗wa1 + wa2 =

(p1p2

)∗wb1 + wb2 .

Cela est alors possible en modi�ant seulement, par exemple, l'allocation initiale en bien 1, dans lerespect de l'égalité : 2wa1 + 4 = 2(15− wa1) + 26 c'est-à-dire avec wa1 = 13 et wb1 = 15− wa1 = 2 .Ce serait d'ailleurs possible, aussi, en modi�ant seulement l'allocation initiale en bien 2, dans le respectde l'égalité : 2× 12 + wa2 = 2× 3 + (30− wa2) c'est-à-dire avec wa2 = 6 et wb2 = 30− wa2 = 24 .

3. Annexe.

Preuve de la propriété mathématiquea

b=c

d⇒ a

b=c

d=a+ c

b+ d:

a

b=c

d= k ⇔

{a = k.bc = k.d

}⇒ a+ c

b+ d=k.b+ k.d

b+ d=k.(b+ d)

b+ d= k .

Illustration graphique des solutions de la question 6. de l'exercice I.1.2 : page 6.

Illustration graphique des solutions des questions 5. à 8. de l'exercice I.1.2 : page 7.


Illustration graphique des solutions de la question 6. de l'exercice I.1.2


llustration graphique des solutions des questions 5. à 8. de l'exercice I.1.2





Thème I.2 Optimum Global ou E�cacité de Pareto dans une Economie avec Production.(document réalisé par M. Bouissou)

Quelques notations et rappels préliminaires : (à étudier avant la séance de TD concernée)

Pour un consommateur 1 dont les préférences entre paniers de biens 1 et 2 en quantités C11 et C1

2 , sontreprésentables par une fonction d'utilité U1(C1

1 , C12 ), le taux marginal de substitution (du bien 2 au

bien 1) dans le panier (C11 , C

12 ) est :

TMS12 à 1

(C11 , C

12 )

(dé�nition)= −dC

12

dC11

∣∣∣∣dU1=0


∂U1(C11 , C

12 )

∂C11

∂U1(C11 , C

12 )

∂C12

(=Um1

1(C11 )

Um12(C

12 )

);

ce taux nous indique comment ce consommateur évalue une unité de bien 1 en termes de bien 2 pour depetits échanges entre ces biens dans son panier (C1

1 , C12 ), sans modi�cation de sa satisfaction ; il exprime

pour le consommateur de ce panier, la valeur d'une unité de bien 1 en termes de bien 2.Un optimum de distribution est une allocation e�cace au sens de Pareto, des biens disponibles entreles di�érents consommateurs, c'est-à-dire une répartition des biens disponibles telle qu'il est impossibled'accroître la satisfaction d'un consommateur sans diminuer celle d'au moins un autre.Or tant que les TMS entre une même paire de biens di�èrent selon les consommateurs, on peut augmenterleur satisfaction en modi�ant la répartition de ces deux biens entre eux.Donc, un optimum de distribution est réalisé quand la répartition des quantités de biens de consommationdisponibles dans l'économie, est telle que pour chaque paire de biens, il y a égalité des TMS entre ces deux

biens pour tous les consommateurs (mêmes évaluations des biens par les di�érents consommateurs).REMARQUE : dans la boîte d'Edgeworth d'une économie d'échange avec 2 biens et 2 consommateurs, la courbe des

contrats représente donc l'ensemble des optima de distribution réalisables dans cette économie.

Pour l'entreprise dont la technologie de production d'un bien 1 en quantité y1 à partir d'une combinaison dedeux facteurs en quantités (x11, x

12) est décrite par la fonction de production y1(x

11, x

12), le taux marginal

de substitution technique (du facteur 2 au facteur 1) dans la combinaison (x11, x12) est :

TMST 12 à 1

(x11, x12)

(dé�nition)= −dx

12

dx11

∣∣∣∣dy1=0


∂y1(x11, x

12)

∂x11∂y1(x

11, x

12)

∂x12

(=Pm1

1(x11)

Pm12(x

12)

);

ce taux nous indique comment cette entreprise évalue une unité de facteur 1 en termes de facteur 2 pourde petites substitutions entre ces facteurs dans sa combinaison (x11, x

12), sans modi�cation du niveau y1 de

production du bien 1.Un optimum de production est une allocation e�cace au sens de Pareto, des facteurs disponibles entreles di�érentes entreprises, c'est-à-dire une répartition des facteurs disponibles telle qu'il est impossibled'accroître la production d'un bien par une entreprise sans diminuer celle d'au moins une autre.Or tant que les TMST entre une même paire de facteurs di�èrent selon les entreprises, on peut augmenterla production de biens en modi�ant la répartition des facteurs entre ces entreprises.Un optimum de production est réalisé quand la répartition des quantités de facteurs de production dispo-nibles dans l'économie, est telle que pour chaque paire de facteurs, il y a égalité des TMST entre ces deux

facteurs pour toutes les entreprises (mêmes évaluations des facteurs par les di�érentes entreprises).Dans le cas de 2 biens respectivement produits par 2 entreprises à partir de 2 facteurs, un optimumde production est une répartition (x11, x

12, x

21, x

22) des facteurs permettant de produire e�cacement les

quantités (y1, y2) de biens, c'est-à-dire véri�ant TMST 12 à 1

(x11, x12) = TMST 2

2 à 1(x21, x

22).

Il existe alors deux représentations habituelles des optima de production réalisables dans cette économie :la courbe des optima de production qui les représente dans l'espace des facteurs par les coordonnées(x11, x

12, x

21, x

22) des points de tangence des isoquantes des deux entreprises dans une "boîte d'Edgeworth"


des deux facteurs et la courbe de transformation du produit 1 en produit 2 ou frontière des productions

possibles, qui les représente dans l'espace des produits par leurs coordonnées (y1, y2) et qui est toujoursdécroissante par dé�nition d'un optimum de production.Dans un contexte d'optimum de production, le taux marginal de transformation (du bien 1 en bien 2)

aux niveaux de production e�caces (y1, y2) est : TMT1 en 2(y1, y2)(déf./formule)

= −dy2dy1

∣∣∣∣en opt. de prod.

;

ce taux exprime en fait la valeur pour la société, d'une unité de bien 1 en termes de bien 2 quand l'économieproduit e�cacement les quantités (y1, y2) des deux biens. Cette dé�nition d'un TMT en est aussi uneformule de calcul si on connaît la relation y2(y1), le long de la courbe de transformation, pour pouvoir

calculerdy2dy1

. Sinon on sait qu'il peut aussi être calculé comme le rapport des productivités de chaque

facteur dans la fabrication de ces produits : TMT1 en 2(y1, y2)(formule de calcul)

=Pm2

1(x21)

Pm11(x

11)

=Pm2

2(x22)

Pm12(x

12)

.

Un optimum global (ou optimum de Pareto d'une économie avec production) est une organisationde la production et de la distribution des biens telle qu'en tenant compte de toutes les possibilités deproduction, il est impossible d'accroître la satisfaction d'un consommateur sans diminuer celle d'au moinsun autre. Il est donc caractérisé par :� l'égalité pour chaque paire de biens de consommation, des TMS (entre ces deux biens) des di�érentsconsommateurs, dans le cadre d'une répartition complète entre ces consommateurs, des quantités debiens produites : c'est un optimum de distribution ;

� l'égalité pour chaque paire de facteurs de production, des TMST (entre ces deux facteurs) des di�érentesentreprises, dans le cadre d'une répartition complète entre ces entreprises, des quantités de facteurs deproduction disponibles : c'est un optimum de production ;

� l'égalité pour chaque paire de biens de consommation produits, du TMT (entre ces deux biens) et desTMS (entre ces deux biens) des di�érents consommateurs.(En e�et, si cette dernière propriété n'était pas respectée !par exemple si TMT1 en 2(y1, y2) < TMS1

2 à 1(C1

1 , C12 ) , l'économie serait capable de produire une

unité supplémentaire de bien 1 pour le consommateur 1 à condition seulement qu'il renonce à moinsd'unités de bien 2 que ne l'exigerait le strict maintien de son niveau d'utilité ; elle pourrait donc accroîtrela satisfaction de ce consommateur sans modi�er celle des autres consommateurs ;elle ne serait donc pas en situation d'optimum de Pareto !)

Exercice I.2 (à préparer avant la séance de TD concernée)

On considère une économie avec deux biens consommés par deux consommateurs et respectivementproduits par deux entreprises avec deux facteurs disponibles en quantités : x1 = 10 et x2 = 10.

L'entreprise 1 avec des quantités notées x11 et x12 des facteurs, produit la quantité y1 = (x11x

12)

14 de bien 1

et l'entreprise 2 avec des quantités notées x21 et x22 des facteurs, produit la quantité y2 = (x21x22)

14 de bien 2.

Les préférences du consommateur 1 sont représentées par U1(C11 , C

12 ) = C1

1C12

et celles du consommateur 2, par U2(C21 , C

22 ) = C2

1C22 .

1. Caractériser l'ensemble des optima de production dans l'espace des facteurs.

2. Caractériser l'ensemble des optima de production dans l'espace des produitset en déduire l'expression du TMT1 en 2(y1, y2).

3. L'allocation C11 = C2

1 = 1, 5 et C12 = C2

2 = 0, 5 réalise-t-elleun optimum de distribution ? un optimum de production ? un optimum global ?

4. Caractériser l'ensemble des optima globaux de cette économie.

Une illustration graphique des réponses aux questions 2), 3) et 4) est donnée à la page 11.


Remarque de calcul (à étudier personnellement, hors TD, après la correction de l'Exercice I.2, en TD)

Pour déterminer l'expression analytique de l'ensemble des optima de distribution (ou courbe des contrats)dans le repère d'un des deux agents d'une boîte d'Edgeworth, il faut résoudre un système constitué par leségalités décrivant la répartition de la quantité totale de chaque bien entre les deux agents et par l'égalité desTMS des agents.

L'utilisation de la propriété mathématiquea

b=c

d⇒ a

b=c

d=a+ c

b+ ddémontrée à la �n du document

du Thème I.1, Equilibre général des échanges, n'abrège alors les calculs que lorsque la somme des numérateurset des dénominateurs de l'égalité des TMS, aboutit à exprimer respectivement la quantité totale de chacundes deux biens. Comme par exemple à la question 4. de l'exercice dans ce document où :C11 + C2

1 =√5

C12 + C2

2 =√5

TMS12 à 1

(C11 , C

12 ) = TMS2

2 à 1(C2

1 , C22 )⇔

C12

C11

=C22

C21

⇒C12

C11

=C22

C21

=C12 + C2

2

C11 + C2

1

=

√5√5⇒{C12 = C1

1

C22 = C2

1

la courbe des contrats étant alors exprimée par C12 = C1

1 dans le repère de l'agent 1 et par C22 = C2

1 dans lerepère de l'agent 2.

Sinon elle ne contribue pas à abréger les calculs ; mieux vaut alors faire le produit en croix dans l'égalitédes TMS puis résoudre en substituant grâce aux deux autres égalités. Comme par exemple dans le contexte

suivant où U1(C11 , C

12 ) =

1

4lnC1

1+3

4lnC1

2 , U2(C21 , C

22 ) =

3

4lnC2

1+1

4lnC2

2 , C11+C

21 = 100 et C1

2+C22 = 50.

L'utilisation de la propriété n'apportant pas de simpli�cation immédiate :C11 + C2

1 = 100C12 + C2

2 = 50

TMS12 à 1

(C11 , C

12 ) = TMS2

2 à 1(C2

1 , C22 )⇔

C12

3C11

=3C2

2

C21

⇒C12

3C11

=3C2

2

C21

=C12 + 3C2

2

3C11 + C2

1

6= C12 + C2

2

C11 + C2

1

,

on résoud sans y recourir :C11 + C2

1 = 100C12 + C2

2 = 50

TMS12 à 1

(C11 , C

12 ) = TMS2

2 à 1(C2

1 , C22 )⇔

C12

3C11

=3C2

2

C21

⇔

C11 + C2

1 = 100C12 + C2

2 = 50C12C

21 = 9C1

1C22

système qui implique notamment, par substitutions en vue de l'expression de la courbe des contrats dans le

repère de l'agent 1 : C12 (100− C1

1 ) = 9C11 (50− C1

2 ) donc �nalement : C12 =

450C11

100 + 8C11

.

La même remarque de calcul peut être faite au sujet de la recherche de l'expression analytique de lacourbe des optima de production dans le repère d'un des deux producteurs d'une "boîte d'Edgeworth" ayantpour côtés les quantités totales des deux facteurs disponibles. Il était opportun d'utiliser la propriété à laquestion 1. de l'exercice dans ce document où :x11 + x21 = 10x12 + x22 = 10

TMST 12 à 1

(x11, x12) = TMST 2

2 à 1(x21, x

22)⇔

x12x11

=x22x21

⇒x12x11

=x22x21

=x12 + x22x11 + x21

=10

10⇒{x12 = x11x22 = x21

la courbe des optima de production dans l'espace des facteurs étant alors exprimée par x12 = x11 dans lerepère des facteurs du producteur 1 et par x22 = x21 dans le repère des facteurs du producteur 2.

Mais on s'abstiendra de l'utiliser pour résoudre, par exemple, dans le contexte suivant où :y1(x

11, x

12) = x11

√x12 , y2(x

21, x

22) =

√x21 x

22 , x11 + x21 = 10 et x12 + x22 = 10. On résoud donc sans y recourir :

x11 + x21 = 10x12 + x22 = 10

TMST 12 à 1

(x11, x12) = TMST 2

2 à 1(x21, x

22)⇔

2x12x11

=x222x21

⇒

x11 + x21 = 10x12 + x22 = 104x12x

21 = x11x

22

système qui implique notamment, par substitutions en vue de l'expression de la courbe des optima de produc-

tion dans le repère des facteurs du producteur 1 : 4x12(10−x11) = x11(10−x12) donc �nalement : x12 =10x11

40− 3x11.


Illustration graphique des réponses aux questions 2., 3. et 4. de l'Exercice I.2





Thème I.3 Equilibre général avec production. (document réalisé par M. Bouissou)

Rappel : les deux Théorèmes de l'Economie du Bien-être

Premier Théorème : tout équilibre concurrentiel est e�cace au sens de Pareto ;

Second Théorème : dans un "univers convexe" où toutes les entreprises sont à rendements non croissants

et où tous les consommateurs ont des préférences convexes, toute allocation e�cace au sens de Pareto peut

être réalisée par un équilibre concurrentiel.

Exercice I.3 (à préparer avant la séance de TD concernée)

Soient C11 et C1

2 , les quantités de biens 1 et 2 consommées par un premier agent, et C21 et C2

2 , cellesque consomme un second agent. Les préférences de ces deux consommateurs sont identiques et peuvent êtrereprésentées respectivement par les fonctions : U1(C1

1 , C12 ) = C1

1C12 et U2(C2

1 , C22 ) = C2

1C22 .

Une première entreprise fabrique le premier bien en quantités y1 en utilisant K1 unités de capital et L1

unités de travail, selon la fonction de production : y1 = K0,51 L0,5

1 .Une seconde entreprise fabrique le second bien en quantités y2 en utilisant K2 unités de capital et L2

unités de travail, selon la fonction de production : y2 = K0,22 L0,8

2 .La totalité du capital de cette économie, 1 400 unités, est détenue par le premier agent qui possède en

outre, les deux entreprises. Le second agent détient toute la quantité de travail disponible, soit 2 600 unités.En�n, on note respectivement rK et rL, les prix unitaires du capital et du travail, et p1 et p2, les prix

unitaires des produits. Chaque agent considère ces prix comme des données.

On se propose d'étudier l'existence et les caractéristiques d'un équilibre général concurrentiel dans cetteéconomie.

1. En notant π1 et π2 les pro�ts réalisés par chaque entreprise, exprimez le revenu de chaque consomma-teur.

2. Calculez les fonctions de demande de chaque consommateur pour chaque produit. Sont-elles normales ?

3. En considérant la nature des rendements d'échelle, pour chaque entreprise, montrez, par le raisonnementet sans calcul, que π1 = π2 = 0 dans tout équilibre général concurrentiel.

4. Prouvez par le calcul que π1 = π2 = 0 .

5. Qu'est-ce qui caractérise les quantités de facteurs choisies par chaque entreprise pour obtenir un pro�tmaximum? Pourquoi ?Exprimez, pour chaque entreprise, les fonctions de demande dérivées pour les facteurs, en fonction deleurs prix et du niveau de la production. Ces fonctions vous paraissent-elles de forme normale ?

6. Pour chaque entreprise, calculez les fonctions de coût total, de coût moyen et de coût marginal de longterme. Par quel raisonnement auriez-vous pu, sans calcul, donner la forme de ces fonctions ?

7. Enoncez la loi de Walras et montrez qu'elle est véri�ée dans cette économie.

8. Dans un équilibre concurrentiel, pourquoi y a-t-il égalité entre le prix de tout bien produit et son coûtmarginal ?Exprimez alors p1 et p2 en fonction des prix des facteurs, rK et rL.Ecrivez l'égalité de l'o�re et de la demande sur chacun des marchés de cette économie et, en utilisantla relation trouvée précédemment entre p1, p2 et rK , rL, montrez qu'à l'équilibre rK = rL.

9. Donnez un système de prix d'équilibre.Quelles sont alors les quantités de produits consommées par chaque agent ? Comment se répartissentle capital et le travail entre les entreprises ?

10. Montrez que cet équilibre général est un optimum global (optimum de Pareto).

11. Dans quel sens un partage égalitaire des dotations initiales entre les individus aurait modi�é l'équilibregénéral trouvé ci-dessus ? Commentez.