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Campus Pierre et Marie Curie Licence de Mathematiques L3

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Serie d’exercices no 1. Premiers pasUne etoile designe un exercice important.

Rappel de notations :

Ckn =

�nk

�=

n!k!(n�k)! est le nombre de choix non ordonnes de k elements distincts pris parmi n.

Akn =

n!(n�k)! est le nombre de choix ordonnes de k elements distincts pris parmi n.

Exercice 1.1. De combien de facons peut-on mettre n boules numerotees dans p urnes ? De

combien de facons peut-on mettre n boules identiques dans p urnes ?

Exercice 1.2. Une urne contient 10 boules numerotees de 1 a 10. On tire avec remise 4 boules

de l’urne.

1. Decrire un espace probabilise (⌦,F ,P) pouvant modeliser cette experience.

2. Determiner les probabilites d’obtenir :

(a) quatre nombres dans un ordre strictement croissant.

(b) quatre nombres dans un ordre croissant (au sens large).

(c) au moins une fois le nombre 3.

Exercice 1.3. Soient A etB deux evenements d’un espace probabilise (⌦,F ,P) tels que P(A) =

P(B) = 3/4. Donner un encadrement optimal pour la valeur de P(A\B). Donner des exemples

dans lesquels les bornes de l’encadrement sont atteintes.

Exercice 1.4. Une urne contient trois sacs. Le sac S1 contient 2 pieces d’or, le sac S2 contient?

2 pieces ordinaires, le sac S3 contient une piece d’or et une piece ordinaire. Le jeu consiste a

tirer un sac au hasard (avec probabilite uniforme) puis a tirer une piece au hasard dans ce sac.

1. Quelle est la probabilite de tirer une piece d’or ?

2. Supposons que l’on ait tire une piece d’or. Quelle est alors la probabilite pour que l’autre

piece du sac soit en or ?

Exercice 1.5. Un document a ete perdu. La probabilite pour qu’il se trouve dans un meuble

est p, (0 < p < 1). Ce meuble comporte sept tiroirs. Dans le cas ou le document est dans le

meuble, il se trouve avec meme probabilite dans chacun des sept tiroirs. On explore six tiroirs

sans trouver le document. Quelle est la probabilite de le trouver dans le septieme ?

Exercice 1.6. On propose un QCM a une etudiant : 5 reponses possibles sont proposees.

L’etudiant connaıt (et donne) la bonne reponse avec probabilite p, et s’il ne la connaıt pas, il

choisit une des 5 possibilite au hasard.

1. Quelle est la probabilite que la reponse donnee par l’etudiant soit la bonne ?

2. Le correcteur, une fois la copie en main, voit que l’etudiant a donne la bonne reponse.

Quelle est la probabilite qu’il connaissait la bonne reponse ?

Exercice 1.7. On tire deux cartes d’un jeu de 32. Quelle est la probabilite d’obtenir une

paire ? Si l’on n’a pas obtenu une paire, on a le choix entre jeter l’une des deux cartes tirees et

en retirer une parmi les 30 restantes, ou jeter les deux cartes tirees et en retirer deux parmi les

30 restantes. Quelle strategie donne la plus grande probabilite d’avoir une paire a la fin ?

Exercice 1.8. Une urne contient N boules numerotees de 1 a N . On tire successivement sans

remise n boules de l’urne, avec 1 n N .

1. Quel est l’ensemble ⌦ des resultats possibles ? Calculer card(⌦).

2. Les boules numerotees de 1 a M sont rouges (M < N) et les boules numerotees de M+1

a N sont blanches. Soit Ak l’evenement {La k-ieme boule tiree est rouge}.(a) Calculer P(Ak).

(b) Calculer P(Ak \Am).

Exercice 1.9. (Formule d’inclusion/exclusion). Soit (Ak)k2N une suite d’evenements d’un?

espace probabilise (⌦,F ,P).1. Montrer que pour tout n 2 N,

1\nk=1Ak =

nY

k=1

1Ak .

2. Montrer que pour tout n 2 N,

1[nk=1Ak = 1�

nY

k=1

(1� 1Ak).

3. On note pk =P

1i1<i2<···<ikn P(Ai1 \Ai2 \ · · · \Aik). Montrer que

P([nk=1Ak) =

nX

k=1

(�1)k�1

pk.

4. n personnes participent a un pere Noel secret : les noms des n personnes (que l’on

suppose tous di↵erents) sont ecrits sur des etiquettes, et chaque personne tire au hasard

une etiquette (et la garde) – le nom ecrit sur cette etiquette est celui de la personne a

qui elle doit faire un cadeau. On note p(n) la probabilite qu’au moins une personne tire

une etiquette avec son propre nom. Expliciter p(n). Calculer limn!1 p(n).

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Serie d’exercices no 2. Probabilites et variables aleatoires discretesUne etoile designe un exercice important.

Exercice 2.1. Soit ⌦ un ensemble. Soit (Xn)n�1 une suite de fonctions a valeurs entieres?

definies sur ⌦.

1. Decrire en francais et sans utiliser les expressions ”quelque soit” ni ”il existe” les parties

suivantes de ⌦

A =

[

a2N

[

b2N

\

n�1

{! 2 ⌦ , a Xn(!) b};

B =

[

N�1

\

n�N

\

m�n

{! 2 ⌦ , Xn(!)�Xm(!) � 0};

C =

[

k2N

\

N�1

[

n�N

[

m�N

⇢! 2 ⌦ , |Xn(!)�Xm(!)| > 1

k

�.

2. Faire l’operation de traduction inverse pour les parties suivantes de ⌦

l’ensemble des ! 2 ⌦ tels que la suite (Xn(!))n�1...

D ... ne soit pas bornee superieurement ,

E ... tende vers +1 .

Exercice 2.2.On possede une infinites de boules numerotees, et une urne vide. Voila l’experience que l’on

realise : 1 minute avant minuit, on place les boules nos 1 et 2 dans l’urne, et on tire dans la

foulee une boule dans l’urne, au hasard (uniformement parmi les boules presentes dans l’urne).12 minute avant minuit, on place les boules nos 3 et 4 dans l’urne, et on tire dans la foulee

une boule dans l’urne, au hasard (uniformement parmi les boules presentes dans l’urne). · · · 1n

minute avant minuit, on place les boules nos 2n� 1 et 2n dans l’urne, et on tire dans la foulee

une boule dans l’urne, au hasard (uniformement parmi les boules presentes dans l’urne).

1. Combien y a-t-il de boules dans l’urne entre1n et

1n+1 minute avant minuit. Combien y

aura-t-il de boules dans l’urne a minuit ?

2. On note An l’evenement : ⌧ la boule no 1 est toujours dans l’urne entre1n et

1n+1 mi-

nute avant minuit �. Calculer la probabilite P(An) pour tout n 2 N, et montrer que

limn!1 P(An) = 0

3. On note A =T

n�1An. Comment interpretez vous l’evenement A (le decrire avec des

mots). Que vaut P(A) ?

4. Maintenant, pour tout i � 1 fixe, on note A(i)n l’evenement : ⌧ la boule no i est dans

l’urne entre1n et

1n+1 minute avant minuit �. Calculer P(A(i)

n ) pour tout n � 1. En

deduire que limn!1 P(A(i)n ) = 0.

5. On note A(i)

=T

n�1A(i)n . Que vaut P(A(i)

) ?

6. Montrer que P⇣S

i�1A(i)⌘= 0. Interpretez le resultat.

Exercice 2.3. Un joueur lance simultanement un de et 2 pieces de monnaie, et son gain G

(en euros) est le montant inscrit sur le de multiplie par le nombre de ’Pile’ obtenus. Donner la

loi de G.

Exercice 2.4. On e↵ectue des lancers successifs et independants d’une piece qui tombe sur

pile avec probabilite p et sur face avec probabilite 1� p.

1. Decrire le modele probabiliste utilise pour modeliser cette situation.

2. On appelle T1 le numero du premier lancer ou l’on obtient pile. Determiner la loi de T1.

3. Pour tout i � 1, on appelle Ti le numero du lancer ou l’on obtient pile pour la ieme

fois.

Determiner la loi de Ti pour tout i � 1.

4. Calculer la probabilite que pile ne sorte jamais.

Exercice 2.5. Montrer que, si X est une variable aleatoire a valeurs dans N, alors?

E[X] =

X

k�0

P(X > k) .

Exercice 2.6. On possede une urne, avec i boules jaunes, et j boules noires. On prend sans

remise une boule au hasard dans l’urne, jusqu’a ce que l’on tire une boule noire. On appelle

T le temps que dure ce jeu (c’est-a-dire le nombre de boules tirees jusqu’a la premiere boule

noire comprise).

1. Montrer que, pour tout k 2 {0, 1, . . . , i}, on a

P(T > k) =

✓i+ j � k

j

◆�✓i+ j

j

◆.

2. Montrer que�i+j+1

j+1

�=Pi

k=0

�i+j�kj

�.

3. En utilisant que E[T ] =Pi

k=0 P(T > k) (cf. Exercice 5), calculer E[T ].

Exercice 2.7. (Absence de memoire pour la loi geometrique)?

1. Soit T une variable aleatoire geometrique de parametre ✓ (P(T = k) = ✓(1� ✓)k�1

pour

k � 1). Calculer P(T > n) pour tout entier naturel, puis montrer que P(T > n+ p |T >

n) = P(T > p).

2. Soit T une variable aleatoire a valeurs dans N⇤. On suppose que pour tous entiers non

nuls n et p, on a P(T > n) > 0 et P(T > n+ p |T > n) = P(T > p). Montrer que T suit

une loi geometrique.

Exercice 2.8. Soient X,Y, Z trois variables aleatoires a valeurs dans N. On suppose que X

et Y ont meme loi. Soit f : N ! N une fonction. Est-il vrai que f(X) et f(Y ) ont meme loi ?

Est-il vrai que X + Z et Y + Z ont meme loi ?

Exercice 2.9. Un lac contient N poissons. (N est inconnu et N > 2000). On peche 1000

poissons, on les marque et on les rejette a l’eau. On repeche alors 1000 poissons (uniformement

parmi tous les poissons du lac et independamment de la premiere peche). Soit X le nombre de

poissons marques parmi ceux que l’on a repeches.

1. Calculer la loi de X.

2. Calculer E[X]. Indication : ecrire X sous la forme X =PN

i=1 1Ai , avec les bons evenements Ai.

3. Parmi les 1000 poissons repeches, 10 etaient marques. On cherche a estimer le nombre

de poissons dans le lac. Determiner N pour que P(X = 10) � P(X = k) pour tout k 2 Net que P(X = 10) soit le plus grand possible.

Exercice 2.10. Un chimpanze tape a la machine a ecrire en appuyant chaque seconde sur une

touche choisie au hasard. Quelle est la probabilite qu’il parvienne a ecrire Hamlet, c’est-a-direqu’a un certain moment il ecrive d’une traite le texte de cette piece ?

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Serie d’exercices no 3. Probabilite conditionnelle, independanceUne etoile designe un exercice important.

Probabilite conditionnelle

Exercice 3.1. Faux positifs. Une maladie M a↵ecte une personne sur 1000 dans une po-?

pulation donnee. Un test sanguin permet de detecter cette maladie avec une fiabilite de 99%

(lorsque cette maladie est e↵ectivement presente). En revanche, pour un individu sain, la pro-

babilite que le test soit positif est de 0, 1% (on dit que 0, 1% est le taux de faux positifs). Si un

test est positif, quelle est la probabilite que l’individu soit reellement malade ?

Exercice 3.2. Une secretaire donne n appels telephoniques (n � 1 est fixe). A chacun de ces

appels, la probabilite qu’elle parvienne a joindre son correspondant est p (p 2]0, 1[ est fixe).

On suppose que les resultats de tous ces appels sont independants. Apres cette premiere serie

d’essais, elle tente, le lendemain de rappeler les correspondants qu’elle n’a pas reussi a joindre.

Les hypotheses sur ses chances de reussite sont les memes. On note X le nombre de personnes

jointes des le premier jour et Y le nombre de personnes jointes l’un ou l’autre jour.

1. Quelle est la loi de X ?

2. Pour h k n, que vaut P(Y = k|X = h) ?

3. En deduire la loi de Y . Retrouver ce resultat par un argument direct.

Independance

Exercice 3.3. Soit X et Y deux v.a. independantes, de loi de Poisson de parametres respectifs

�1 et �2. Calculer la loi de X + Y .

Exercice 3.4. Soit n un entier, et soient X et Y deux variables aleatoires independantes de

loi uniforme sur {1, . . . , n} :

8k 2 {1, · · · , n}, P(X = k) = P(Y = k) =1

n.

Calculer P(X = Y ) et P(X � Y ). Determiner la loi de X � Y .

Exercice 3.5. Montrer qu’une v.a. X est independante d’elle-meme si et seulement si elle

est p.s. constante : a. en la supposant de carre integrable et en calculant Var (X), b. plus

generalement en determinant sa fonction de repartition.

Exercice 3.6. (Independance et independance deux a deux). On suppose donnees, sur un?

espace de probabilite (⌦,F ,P) deux variables de Bernoulli "1 et "2, independantes, a valeurs

dans {�1,+1} avec

P("i = +1) = P("i = �1) =1

2, (i = 1, 2).

1. Montrer que la variable aleatoire "1"2 est independante d’une part de "1, et d’autre part

de "2.

2. La variable aleatoire "1"2 est-elle independante du couple ("1, "2) ?

Exercice 3.7. Soient X, Y et Z trois variables aleatoires discretes. Vrai ou faux ? (si vrai le

prouver, si faux donner un contre exemple) :

1. Si X et Y sont indep., et si X et Z sont indep., alors X est indep. de (Y, Z).

2. Si (X,Y ) et Z sont indep., alors Y est indep. de Z et X est indep. de Z.

3. Si X et Y sont indep. et (X,Y ) est indep. de Z, alors X est indep. de (Y, Z).

Exercice 3.8. Soit (Xn)n2N une suite de variables aleatoires independantes de meme loi de?

Bernoulli de parametre p 2]0, 1[. On pose

Yn := XnXn+1, Sn := X1 + · · ·+Xn, Vn := Y1 + · · ·+ Yn.

1. Calculer E(Sn), E(Vn).

2. Calculer Var(Sn), Var(Vn) et Cov(Sn, Vn).

Exercice 3.9. Sur un espace de probabilite ⌦ on se donne une suite (Xn)n�1 de variables

aleatoires de Bernoulli de parametre p, (0 < p < 1), independantes.

1. Soit An = {! 2 ⌦ : Xn(!) 6= Xn�1(!)}, n � 2. Calculer P(An \ An+1) pour n � 2.

Donner une condition necessaire et su�sante pour que les An soient independants.

2. Soit ⌫(!) = inf {n � 2 : ! 2 An}, avec inf ; = +1. Montrer que ⌫ est une variable

aleatoire. Quelle est la loi de ⌫ ? Montrer que P(⌫ = +1) = 0.

Fonctions generatrices

Exercice 3.10. (Un rappel ?) Soient X et Y deux variables aleatoires independantes, suivant

une loi de Poisson, de parametres respectifs �1 et �2.

1. Calculer la fonction generatrice de X.

2. Calculer la fonction generatrice de X + Y . Qu’en deduisez-vous ?

Exercice 3.11. Soit (Xn)n�1 une suite de variables aleatoires reelles independantes et N une?

variable aleatoire a valeurs entieres independante de la suite (Xn). On definit SN sur ⌦ par

SN (!) = 0 si N(!) = 0 et SN (!) =PN(!)

n=1 Xn(!) si N(!) � 1.

1. Montrer que SN est une variable aleatoire.

2. On suppose que les Xn sont a valeurs entieres et ont meme loi. Determiner la fonction

generatrice de SN en fonction de celle de N et de X1.

3. En deduire l’esperance et la variance de SN .

4. Trouver la loi de SN lorsque les Xn suivent une loi de Bernoulli de parametre p 2]0, 1[et que N suit une loi geometrique de parametre a 2]0, 1[.

Exercice 3.12. Soient X et Y deux variables aleatoires independantes. X suit une loi de

Bernoulli de parametre p, (0 < p < 1) et Y suit une loi de Poisson de parametre �, � > 0. Soit

Z la variable aleatoire egale a 0 si X = 0 et a Y si X = 1.

1. Calculer la loi de Z.

2. Quelle est la fonction generatrice de Z, son esperance et sa variance ?

3. Que vaut la probabilite conditionnelle de X = 0, respectivement, X = 1, sachant que

Z = 0?

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Serie d’exercices no 4. Variables aleatoires a densite, fonctions de variablealeatoire

Une etoile designe un exercice important.

Exercice 4.1. Soit F : R ! R definie par

F (x) =

(0 si 0

1� e�x/2

�1 +

x2

�si x > 0.

Montrer que F est la fonction de repartition d’une loi de probabilite dont on determinera la

densite si elle existe.

Exercice 4.2. Rappeler la densite de la loi N (µ,�2). Soit X ⇠ N (µ,�

2), quelle est la loi de?

Y =X�µ� ? Calculer E[e�Y ] pour tout � 2 R, et en deduire E[e�X ] pour tout � 2 R.

Exercice 4.3. Soit U une variable aleatoire de loi uniforme sur [0, 1]. Quelle est la loi de?

� logU ?

Exercice 4.4. On suspend un laser a 1 m au dessus du sol. L’angle qu’il forme avec la verticale

est aleatoire, notee ⇥, et suit la loi uniforme sur [�⇡2 ,

⇡2 ]. On note X le point marque au sol

par le laser (voir la Figure ci-dessous). Donner la densite de la loi de X.

R

1

0 X

⇥

Exercice 4.5. Soit X une v.a. reelle de fonction de repartition F . Trouver en fonction de F

les fonctions de repartition de X2, X

3, [X], (ou [X] est la partie entiere de X) et exp(X).

Exercice 4.6. Soient X1 et X2 deux v.a. independantes de meme loi uniforme sur [0, 1].

Determiner les loi des v.a. U = min(X1, X2) et V = max(X1, X2). En deduire les densites de

probabilite correspondantes. Que vaut E(|X1 �X2|) ?

Exercice 4.7. Soit X une v.a. de loi uniforme sur [0, 1] (de densite de probabilite f(t) =

1[0,1](t)). Determiner la fonction de repartition de la v.a. Y = min(X, a), (a 2 [0, 1]). Montrer

que la loi de Y est une combinaison lineaire d’une loi a densite et d’une mesure de Dirac.

Exercice 4.8. Soit X une variable aleatoire positive de densite f(x). Montrer que E[X] =R +10 P(X > t)dt.

Remarque : cette formule est valable meme si X n’est pas a densite (pourvu que X � 0).

Exercice 4.9. Soient X1, X2, · · · , Xn des v.a. independantes de meme loi exponentielle de?

parametre �, � > 0. On pose S0 = 0 et pour tout k = 1, 2, · · · , n, Sk = X1 +X2 + · · ·+Xk.

1. Calculer la loi de (S1, · · · , Sn).

2. Montrer que Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn admet la densite de probabilite

fn(t) = �ne��t t

n�1

(n� 1)!1]0,+1[(t) .

3. Que vaut la fonction caracteristique de Sn ?

4. Calculer de deux manieres E(Sn) et Var (Sn).

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Serie d’exercices no 5. Vecteurs aleatoiresUne etoile designe un exercice important.

Exercice 5.1. Une truite pond des oeufs au fond du torrent. Leur nombre N suit une loi de

Poisson de parametre a > 0. Chaque oeuf survit avec une probabilite p 2]0, 1[, independamment

des autres.

1. Soit M le nombre d’oeufs qui survivent. Donner la loi conjointe du couple (N,M).

Donner la loi marginale et l’esperance de M .

2. M et N �M sont-elles independantes ?

Exercice 5.2. Soient n et N des entiers superieurs ou egaux a 2 et X1, . . . , Xn des variables

aleatoires independantes et distribuees uniformement sur l’ensemble {1, . . . , N}, (i.e. P(Xi =

k) = 1/N pour k = 1, 2, . . . , N). On designe par Un leur minimum et par Vn leur maximum.

1. Calculer la loi de Vn.

2. Calculer la loi jointe de Un et Vn puis P(Un = Vn).

Exercice 5.3. Dans le bois de Vincennes, on modelise le diametre d’un arbre par une variable

aleatoire X, et sa hauteur par une autre variable aleatoire Y . La loi jointe de X et Y est donnee

par la densite : fX,Y (x, y) =14(x+ y)e

�ypour y � 0, 0 x 2.

1. Donner la densite marginale de X.

2. X et Y sont-elles independantes ?

3. Calculer E[X].

4. L’age d’un arbre est donne par W = 12XY . Calculer E[W ].

Exercice 5.4. Soient (Xi)i�1 une suite de v.a. i.i.d. (independantes identiquement distribuees).

On suppose que X1 admet une densite.

1. Montrer que pour tout i 6= j, P(Xi = Xj) = 0.

2. En deduire que P(X1 X2 . . . Xn) = P(X1 < · · · < Xn), et calculer cette quantite.

3. Calculer P(Xn > max1in�1Xi).

Exercice 5.5. Soient X et Y deux variables independantes. Donner la loi de X + Y quand :?

1. X et Y sont deux variables geometriques, de parametre (commun) ✓ ;

2. X et Y suivent la loi uniforme sur [0, 1] ;

3. X ⇠ N (0,�21) et Y ⇠ N (0,�

22).

Exercice 5.6. Soit (X,Y ) un vecteur aleatoire de densite f(x, y) = 1[0,1]2(x, y). Determiner

les lois de X,Y et Z = XY .

Exercice 5.7. Soient X et Y deux variables aleatoires independantes. X suit une loi N (0, 1)

et Y une loi N (0,�2), ou � designe un reel positif.

1. Ecrire la densite de la loi du couple (X,Y ).

2. On pose U = Y/X. Calculer la densite de la loi du couple (X,U).

3. Les variables X et U sont-elles independantes ?

Exercice 5.8. Soient X et Y deux variables aleatoires independantes. X suit une loi uniforme

sur [0,1] et Y une loi exponentielle de parametre 1. Calculer la loi deYX .

Exercice 5.9. Soit L une v.a. positive admettant une densite de probabilite f et X une v.a.

de loi uniforme sur [0, 1], independante de L. On definit deux v.a. L1 et L2 par L1 = XL et

L2 = (1 � X)L, (cela modelise par exemple la rupture d’une chaıne moleculaire de longueur

initiale aleatoire L).

1. Determiner la loi du couple (L1, L2) ainsi que les lois de L1 et L2.

2. Que peut-on dire du couple (L1, L2) lorsque f(x) = �2x exp(��x)1[0,+1[(x), (� > 0) ?

3. Determiner la loi de Z = min(L1, L2) dans ce cas.

Exercice 5.10. On appelle variable gamma de parametre a > 0 une variable a valeurs dans

R+ dont la loi admet la densite : e�tta�1

/�(a).

1. Soit Za une v.a. gamma de parametre a. Calculer explicitement les moments entiers :

E((Za)n), en fonction de a et de n 2 N.

2. Soient Za et Zb deux variables gamma independantes de parametres respectifs a et b.

Montrer que les variables Za/(Za + Zb) et Za + Zb sont independantes et expliciter la

loi de Za/(Za + Zb).

Exercice 5.11. Soit (X1, X2) un couple de v.a. admettant la densite de probabilite :

f(x1, x2) =1

2⇡

p1� ⇢2

exp

✓� 1

2(1� ⇢2)(x

21 � 2⇢x1x2 + x

22)

◆,

ou ⇢ 2 [0, 1[.

1. Verifier que f est une densite de probabilite sur R2et trouver les densites marginales

de X1 et X2. A quelle condition les v.a. X1 et X2 sont-elles independantes ?

2. On pose R =pX

21 +X

22 et � 2 [0, 2⇡[ defini par

cos� =X1

Ret sin� =

X2

R.

Determiner la densite du couple (R,�) puis celle de �.

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Serie d’exercices no 6. Fonctions caracteristiquesUne etoile designe un exercice important.

Exercice 6.1. Donner la fonction caracteristique de X : 1. si X suit une loi de Bernoulli de

parametre p 2]0, 1[ ; 2. si X suit une loi Binomiale(n, p) ; 3. si X suit une loi de Poisson de

parametre �.

Exercice 6.2. On e↵ectue n essais (d’une experience), les succes etant independants, de

probabilite p = �/n (donc tres petite). On note Xn le nombre total de succes.

1. Donner la loi et la fonction caracteristique �Xn(t) de Xn.

2. Montrer que pour tout t 2 R, on a �Xn(t) ! �(t), ou �(t) est la fonction caracteristique

d’une loi que l’on precisera.

Exercice 6.3. Donner la fonction caracteristique de X :

1. si X suit une loi exponentielle de parametre � > 0 ;

2. si Y suit une loi exponentielle symetrique de parametre � (i.e. de densite f(y) =�2 e

��|y|) ;

3. si Z suit une loi de Cauchy de parametre �, c’est-a-dire si X a pour densite�

⇡(�2+x2)(Indication : on pourra utiliser la question precedente).

Exercice 6.4. Montrer que la loi de X est symetrique (X et �X ont la meme loi) si et

seulement si la fonction caracteristique de X est reelle ('X(t) 2 R pour tout t 2 R).

Exercice 6.5. Soit X ⇠ N (0,�2), et �(t) sa fonction caracteristique.?

1. Montrer que �0(t) = �t�

2�(t) pour tout t 2 R.

2. En deduire �(t) pour tout t 2 R.

Exercice 6.6. Montrer, en utilisant la fonction caracteristique, que?

1. la somme de deux v.a. de Poisson independantes est une v.a. de Poisson ;

2. la somme de deux v.a. Gaussiennes independantes est une v.a. Gaussienne ;

3. la somme de deux v.a. de Cauchy independantes est une v.a. de Cauchy.

Exercice 6.7. On considere (Xn)n�1 une suite de v.a. independantes de meme loi. On suppose?

que E[X1] = 0 et Var(X1) = �2et on note '(t) la fonction caracteristique de X. On considere

la variable aleatoire Yn :=1pn(X1 + · · ·+Xn).

1. Donner la fonction caracteristique de Yn, �n(t), en fonction de ', t et n.

2. Montrer que, lorsque x ! 0, on a '(x) = 1� 12�

2t2+ o(t

2).

3. En deduire que, pour tout t 2 R, log�n(t) ! �12�

2t2, et donc que �n(t) ! �(t) ou

�(t) est la fonction caracteristique d’une loi que l’on precisera.

Exercice 6.8. On dit qu’une v.a. X suit une loi stable si pour tout entier n � 1 et toutes v.a.

X1, X2, · · · , Xn independantes et de meme loi que X, il existe des constantes an > 0 et bn 2 Rtelles que X1 +X2 + · · ·+Xn ait meme loi que anX + bn.

1. Montrer que les lois gaussiennes centrees N (0,�2), de parametre quelconque � > 0, et

les lois de Cauchy de parametre quelconque a > 0 sont stables. Montrer que par contre

les lois de Poisson ne le sont pas.

2. Calculer an et bn lorsque X suit une loi stable de variance finie �2. En deduire que les

seules lois stables de variance finie sont les lois gaussiennes.

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Serie d’exercices no 7. Lemme de Borel-CantelliUne etoile designe un exercice important.

Exercice 7.1. Soit (An)n�1 une suite d’evenements sur un espace de probabilite ⌦. On note

lim inf An l’evenement [

k

\

n�k

An

et on note lim supAn l’evenement \

k

[

n�k

An .

1. Montrer que pour tout k,

P(\

n�k

An) infn�k

P(An) et P([

n�k

An) � supn�k

P(An) .

2. En deduire les deux inegalites suivantes :

P(lim inf An) lim inf P(An) et P(lim supAn) � lim supP(An) .

3. Determiner les quantites intervenant dans 2. lorsque ⌦ = {�1;+1}, P({�1}) = 1/4,

P({+1}) = 3/4, An = {(�1)n}.

Exercice 7.2. Soit (Xn)n�1 une suite de v.a. independantes de meme loi de Bernoulli de

parametre p 2]0, 1[ : P(Xn = 1) = p, P(Xn = 0) = 1� p.

1. Montrer qu’il y a presque surement une infinite de n tels que Xn = 1.

2. Pour n 2 N, on definit l’evenement An = {Xn = Xn+1 = · · · = X2n�1 = 1}. Montrer

que p.s. il n’y a qu’un nombre fini de An qui sont realises.

Exercice 7.3. Loi des grands nombres L4

Soit (Xn)n�1 une suite de variables aleatoires?

i.i.d. avec E[Xn] = 0, et admettant un moment d’ordre 4 fini. On note m4 := E[(X1)4] < +1,

et �2= E[(X1)

2] < +1. On pose Sn = X1 + . . .+Xn.

1. Calculer E[(Sn)4].

2. En deduire une majoration de P�| 1nSn| � "

�pour tout " > 0.

3. Conclure que pour tout " > 0, P�lim supn!1 | 1nSn| > "

�= 0, et en deduire que P-p.s.

limn!11nSn = 0 (= E[X1]).

Exercice 7.4. Soit (Xn)n�1 une suite de variables aleatoire independantes, de loi exponentielle?

de parametre 1.

1. Montrer que, pour tout " > 0,P

n�1 P(Xn > ") = +1. En deduire que presque

surement, lim infn!1Xn = 0.

2. Etudier selon les valeurs de ↵ la convergence de la serieP

n�1 P(Xn � ↵ log n).

3. En deduire que presque surement on a, lim supn!1�

Xnlogn

�= 1.

Exercice 7.5. Soit (Xn)n�1 une suite de v.a. a valeurs dans N, independantes et de meme loi.

Montrer qu’on a les deux cas suivants :

— ou bien E(|X1|) < +1 et alors P(lim sup {|Xn| � n}) = 0.

— ou bien E(|X1|) = +1 et alors P(lim sup {|Xn| � n}) = 1.

Exercice 7.6. Soit (Xn)n�1 une suite de v.a. independantes a valeur dans {�1, 1}, de meme

loi : P(Xn = 1) = p, P(Xn = �1) = 1 � p pour un p 2]0, 1[ fixe. On note Sn =Pn

k=1Xk et

S0 = 0.

1. Pour n 2 N, calculer P(Sn = 0).

2. EtudierP

P(Sn = 0). Que peut-on en conclure ?

Exercice 7.7. On reprend les notations de l’exercice 6 avec p = 1/2. On veut montrer que

pour tout k, p.s. Sn = k, infiniment souvent (ou Sn =Pn

k=1Xk et S0 = 0).

1. On a (cf. Exercice 7.6)P

P(Sn = 0) = +1. Peut-on appliquer Borel-Cantelli ?

2. On pose qj = P(supn�0 Sn � j) pour tout j 2 Z. En envisageant les deux valeurs

possibles de X1, montrer que qj = (qj�1 + qj+1)/2.

3. En deduire que qj = 1 pour tout j � 0, et que P(lim supSn = +1) = 1.

4. Montrer que P(lim inf Sn = �1) = 1.

5. Montrer que pour tout k, p.s. Sn = k, infiniment souvent.

Exercice 7.8. Soient X1, X2, . . . des v.a. i.i.d. reelles a densite. On pose Ak = {Xk >

max1ik�1Xi} l’evenement qui exprime que le record est battu au temps k.

1. Reprendre l’exercice 5.4 pour montrer que P(Ak) =1k .

2. Montrer que les evenements (Ak)k�1 sont independants.

3. Rn =Pn

k=1 1Ak le nombre de fois que le record a ete battu au temps n. Montrer que

Rn ! +1 P-p.s.4. On parle de double-records si le record est battu a l’instant k, et de nouveau battu a

l’instant k + 1. Montrer que p.s. il n’y a qu’un nombre fini de double-records.

Exercice 7.9. Soient X1, X2, . . . des variables de Bernouilli independantes de parametre 1/2.

On considere la variable aleatoire

Ln = longueur maximale d’une sequence de 1 parmi X1, . . . , Xn

= max�k ; 9 1 i n� k + 1, Xi = Xi+1 = · · · = Xi+k�1 = 1

1. Montrer que, pour tout k � 1, P(Ln < k) ⇣1� 1

2k

⌘bn/kc.

Indication : decouper l’intervalle J1, nK en bn/kc intervalles de longueur k, et un intervalle de longueur

inferieure a k.

2. Pour tout " > 0, on definit A"n = {Ln < (1� ") log2 n} (log2 n = lnn/ ln 2). Montrer que

pour tout " > 0, p.s. il n’y a qu’un nombre fini de A"n realises.

3. En deduire que p.s., lim infn!1Ln

log2 n� 1.

4. Montrer que pour tout k � 1, P(Ln � k) n⇥ 12k.

5. Montrer que, pour tout " > 0, P(Ln � (1 + ") log2 n) ! 0 quand n ! 1. Peut-on

appliquer le Lemme de Borel-Cantelli ?

On a montre – avec la question 3. – que Lnlog2(n)

converge vers 1 en probabilite. Pourmontrer la convergence P-p.s. il faut utiliser une astuce : considerer des sous-sequences.

6. Soit " > 0. On definit la sequence nj = bj2/"c pour j � 1. Montrer que p.s., il n’y a

qu’un nombre fini de j tels que Lnj � (1 + ") log2(nj).

7. Montrer que lim supn!1Ln

log2 n= lim supj!1

Lnj

lnnj(le long de la sous-sequence nj).

Indication : observer que pour n 2 Jnj�1, njK on a Lnj�1 Ln Lnj , et utiliser que ln(nj)/ ln(nj�1) !1 quand j ! 1.

En deduire que p.s. lim supn!1Ln

log2 n 1.

8. Conclure.

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Serie d’exercices no 8. Convergence de variables aleatoires IUne etoile designe un exercice important.

Modes de convergence

Exercice 8.1. Soit (Xn)n�1 une suite de variables aleatoires independantes, de meme loi

donnee par1n�

pn + (1� 1

n)�0. Etudier les di↵erents modes de convergence de la suite (Xn)n�1.

Exercice 8.2. Soit X une v.a. de loi uniforme sur [0, 1]. Pour tout n 2 N⇤, et tout ! 2 ⌦, on

pose

Yn(!) = n si 0 X(!) 1/n et Yn(!) = 0 si X(!) > 1/n .

1. La suite (Yn)n�0 converge-t-elle presque surement ?

2. La suite (Yn)n�0 converge-t-elle en loi ?

3. La suite (Yn)n�0 converge-t-elle dans L1?

Exercice 8.3. Soient (Xn)n�1 une suite de variables aleatoires reelles independantes et X une

variable aleatoire reelle.

1. Montrer que, si pour tout " > 0,P

n�1 P(|Xn �X| > ") < 1, alors Xnn!1! X p.s..

2. On suppose que Xn ! 0 p.s. (resp. Xn ! X p.s.). Montrer que, pour tout " > 0,Pn�1 P(|Xn| > ") < 1 (resp.

Pn�1 P(|Xn �X| > ") < 1).

3. Conclure.

Exercice 8.4. On considere deux suites de v.a. reelles (Xn)n�1 et (Yn)n�1.?

1. On suppose que (Xn) converge en loi vers une v.a. X et que (Yn) converge en probabilite

vers 0. Montrer que la suite (Xn + Yn) converge en loi vers X.

Indication : travailler avec les fonctions caracteristiques, et majorer |�Xn+Yn(t)� �Xn(t)|.

2. Donner un exemple dans lequel (Xn) converge en loi vers une v.a. X, (Yn) converge en

loi vers une v.a. Y , mais (Xn + Yn) ne converge pas en loi.

Exercice 8.5. Soit (Xn)n�1 une suite de variables aleatoires reelles definies sur un espace?

(⌦,F ,P), et f une application continue de R dans R. Montrer que si Xn converge en loi vers

X, alors f(Xn) converge en loi vers f(X).

Exercice 8.6. On definit la suite (Tn)n�1 par

Tn =1

nsi Xn 1

n, et Tn = 1 si Xn >

1

n,

ou (Xn)n est une suite de v.a independantes de loi uniforme sur [0, 1].

1. Montrer que la suite (Tn) converge en probabilite et trouver sa limite.

2. Verifier que la serie de probabilitesP1

n=1 P (|Tn2 � 1| > "), est convergente pour tout

" > 0. En deduire la convergence presque sure de la suite (Tn2).

Exercice 8.7. Soit (Yn)n�1 une suite de variables aleatoires. On suppose que E[Yn] ! 1 et

que E[(Yn)2] ! 1. Montrer que Yn converge en loi vers 1.

Exemples de convergence

Exercice 8.8. Soit (Xn)n�1 une suite de v.a. independantes, et de meme loi de Bernoulli de

parametre p, (0 < p < 1). On pose, pour tout n � 1, Yn = XnXn+1, et Vn = Y1 + · · · + Yn.

Montrer que Vn/n converge en probabilite vers p2.

Exercice 8.9. Soit (Xn)n�1 une suite de v.a. a valeurs entieres telle que pour tout n, Xn suit

la loi :

P (Xn = k) =↵

n

⇣1� ↵

n

⌘k�1, k � 1 ,

(↵ 2 R⇤+, n 2 N⇤

, n > ↵). Montrer que (1nXn)n�1 converge en loi. Preciser sa limite.

Exercice 8.10. Considerons une suite (Xn)n�1 de v.a. telle que Xn suive une loi exponentielle

de parametre �n. On suppose que limn!1 �n = 0. Soit Zn = Xn� [Xn], ou [x] designe la partie

entiere du reel x. Montrer que Zn converge en loi. Preciser sa limite.

Exercice 8.11. Soit (Xn)n�1 une suite de v.a. independantes de meme loi uniforme sur [0, 1].

Posons Sn =Pn

k=1 1[0,↵](Xk) et Zn = Sn � n↵, n � 1, pour ↵ 2 [0, 1].

1. Montrer en utilisant l’identite de Markov que pour tout " > 0, P (|Zn| > n") Csten2 .

2. Montrer que pour tout ↵ 2 [0, 1],1n

Pnk=1 1[0,↵](Xk)

n!+1! ↵, p.s.

Exercice 8.12. Soit (Xn)n�1 une suite de v.a. positives, montrer que Sn = X1 + · · · + Xn

converge en probabilite si et seulement si Sn converge p.s..

Remarque : en cours, on a montre que c’etait le cas pour des variables aleatoires independantes.

Exercice 8.13. Pour tout n 2 N, on note fn la fonction definie sur R par :

fn(x) = 1� cos 2n⇡x , si x 2]0, 1[fn(x) = 0 , sinon.

Pour tout n 2 N, on definit Xn, une v.a. de densite fn. Montrer que la suite (Xn) converge en

loi bien que la suite de fonctions (fn) ne converge pas.

Exercice 8.14. Pas de Cesaro pour la convergence en probabilite Soit (Xn)n�1 une suite de

variables aleatoires independantes, Xn etant de fonction de repartition donnee par

Fn(x) = 0 si x 0 et Fn(x) = 1� 1

x+ nsi x > 0.

Montrer que la suite (Xn)n�1 converge en probabilitev ers 0, mais pas la suite Yn =1n

Pni=1Xi.

Exercice 8.15. On considere une suite de v.a. independantes et de meme loi : (Xn)n�0. On

definit alors la suite (Yn)n�0 par

Y0 =X0

2; Y1 =

X1 + Y0

2; Y2 =

X2 + Y1

2; · · · ;Yn =

Xn + Yn�1

2; · · · .

1. Calculer la fonction caracteristique �n de Yn en fonction de �, la fonction caracteristique

de X1, et de n.

2. On suppose que la loi commune aux variables Xn est la loi normale centree N (0,�).

Quelle est la loi de Yn ? Quelle est la loi limite de (Yn) lorsque n tend vers l’infini ?

3. Si les variables Xn suivent la loi de Cauchy de densite [⇡(1+x2)]�1

, x 2 R, montrer que

(Yn) converge en loi lorsque n tend vers l’infini. Preciser la limite.

Indication : la fonction caracteristique de la loi de Cauchy est donnee par �(t) = e�|t|.

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Serie d’exercices no 9. Convergence de variables aleatoires II(Loi des grands nombres, Theoreme Central Limite)

Une etoile designe un exercice important.

Exercice 9.1. Etablir que pour toute fonction continue f de [0, 1] dans R :

Z 1

0· · ·

Z 1

0f

✓x1 + x2 · · ·+ xn

n

◆dx1 · · · dxn

n!+1�! f

✓1

2

◆, (1)

nX

k=0

Cknp

k(1� p)

n�kf

✓k

n

◆n!+1�! f(p) , p 2 [0, 1] . (2)

Etablir que pour toute fonction reelle continue et bornee f definie sur R+ :

limn!+1

X

k�0

e��n (�n)

k

k!f

✓k

n

◆= f(�) , � 2]0,+1[ .

Exercice 9.2. Soit X1, · · · , Xn, · · · une suite de variables aleatoires entieres, independantes

suivants la loi P(�). On a donc, pour tout k 2 N, P(X1 = k) = e�� �k

k! . On pose

Yn = ⇧nk=1(1 +Xk), Zn = ⇧

nk=1Xk.

1. Etudier la convergence presque sure de1n log Yn.

2. Calculer P (Zn 6= 0) .

3. Montrer que Zn converge presque surement vers 0.

4. Etudier la convergence dans L1de Zn.

Exercice 9.3. Soit (Xn)n�1 une suite de v.a. independantes de loi uniforme sur [0, 1].

1. Pour tout n � 1, on pose Yn = X2n+1 �X2n. Montrer que la suite

1pn(Y1 + · · ·+ Yn) ,

converge en loi et trouver la loi limite.

2. On definit maintenant la suite (Zn)n�1 par Zn = (X1X2 · · ·Xn)1/n

. La suite (Zn)

converge-t-elle ? En quel sens ? Preciser sa limite.

Exercice 9.4. Soit (Xn)n�1 une suite de v.a. independantes de loi de Poisson de parametre

� > 0.

1. Quelle est la loi de X1 + · · ·+Xn ? Que vaut P(X1 + · · ·+Xn n) ?

2. Utiliser le theoreme central limite pour montrer que

limn!+1

e�n

nX

k=0

nk

k!=

1

2.

Exercice 9.5. Soit (Xn)n�1 une suite de v.a. independantes, de meme loi, centrees, de variance

�2, de fonction caracteristique �. On pose Sn = X1+ · · ·+Xn. On definit aussi la suite (Nk)k�1

de v.a. independantes telle que pour tout k, Nk est une v.a. de Poisson de parametre k. On

suppose de plus que la suite (Nk) est independante de la suite (Xn). Pour tout k � 1, on pose

Zk =1pNk

SNk si Nk 6= 0 ,

Zk = X1 si Nk = 0 .

1. Exprimer la fonction caracteristique �k de Zk en fonction de �. Qu’advient-il si X1 est

une gaussienne ?

2. Montrer que pour tout reel t, �n(t/

pn) ! exp (��

2t2/2), lorsque n ! 1. En deduire

que (Zk) converge en loi vers une v.a. que l’on precisera.

Exercice 9.6. Soit X1, · · · , Xn, · · · des v.a. i.i.d. de loi donnee par P(X1 = 1) = 1/3,?

P(X1 = 0) = 2/3. Soit Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn.

1. Calculer la limite p.s. de la suite Vn =(Sn/n)100�(1/3)100

Sn/n�1/3 .

2. Calculer la limite en loi deWn =pn(Sn/n�1/3) et donner limn!1 P (

pn(Sn/n� 1/3) 10)

sous forme d’une integrale.

3. Deduire de ce qui precede la limite en loi de la suite de v.a.pn�(Sn/n)

100 � (1/3)100

�.

Donner l’esperance et la variance de la loi limite.

Exercice 9.7. Soit (Xn)n�1 une suite de v.a. i.i.d. centrees (E[X1] = 0) reduites (Var(X1)= 1).

On note Zn =1pn

Pni=1Xi.

1. Montrer que, pour tout fonction continue bornee f , E[f(Zn)] converge quand n ! 1.

On souhaite maintenant generaliser cette convergence a d’autre types de fonctions.

2. (a) Montrer que, pour tout r 2 (0, 2) et A > 0, E[|Zn|r1{|Zn|>A}] r2�rA

�(2�r).

Indication : utiliser la formule E[X] =R10

P(X > t)dt pour toute v.a. X positive.

(b) En deduire que E[|Zn|r]n!1! E[|Z|r] pour tout r 2 (0, 2), ou Z ⇠ N (0, 1).

Indication : introduire la fonction gA(x) = min(|x|, A)r.

3. On suppose desormais que E[|X1|3] < +1. Soit f une fonction C3, avec supx2R f

(3)(x) =

K3 < +1. On va borner��E[f(Zn)]� E[f(Z)]

�� ou Z ⇠ N (0, 1).

(a) Soit (Gi)i�1 une suite de v.a. i.i.d. de meme loi N (0, 1), independante de (Xi)i�1.

On definit, pour j 2 {0, . . . , n}

Zn,j :=1pn

⇣G1 + · · ·+Gj +Xj+1 + · · ·+Xn

⌘.

Identifier Zn,0, et donner la loi de Zn,n.

(b) En definissant Sn,j :=1pn

�G1 + · · ·+Gj +Xj+2 + · · ·+Xn

�, montrer que

��f(Zn,j)� f(Sn,j)� f0(Sn,j)

Xj+1pn

� f00(Sn,j)

X2j+1

2n

�� K3|Xj+1|3

6n3/2

��f(Zn,j+1)� f(Sn,j)� f0(Sn,j)

Gj+1pn

� f00(Sn,j)

G2j+1

2n

�� K3|Gj+1|3

6n3/2

et en deduire

���E⇥f(Zn,j)� f(Zn,j+1)

⇤��� K3

6n3/2

⇣E[|Z|3] + E[|X1|3]

⌘.

(c) Montrer que

���E[f(Zn)]� E[f(Z)]

��� K3

6n1/2

⇣E[|Z|3] + E[|X1|3]

⌘n!1! 0 .

On peut voir cela comme une forme faible du theoreme de Berry-Esseen.

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Serie d’exercices no 11. RevisionsUne etoile designe un exercice important.

Exercice 11.1. Soit (Xn)n�1 une suite de v.a. i.i.d. de loi de Bernouilli de parametre p 2]0, 1[.On definit

Yn =

nX

k=1

Xk

2k.

1. Montrer que, presque surement, Yn converge. On note Y sa limite. Montrer que Y est

une variable aleatoire.

2. Si p = 1/2, donner la loi de Y .

Indication : utiliser la convergence de la fonction de repartition.

Exercice 11.2. Soit (Xn)n�1 une suite de variables aleatoires independantes avec E[Xn] = 0

pour tout n � 1. On pose Sn =Pn

i=1Xi. On suppose queP+1

n=1Var(Xn) < +1.

1. Montrer que Sn converge dans L2vers une variable aleatoire S.

Indication : on pourra utiliser le fait que L2est complet, i.e. que chaque suite de Cauchy a une limite.

2. En deduire que E[S] = 0 et Var(S � Sn) =P+1

k=n+1Var(Xk) pour tout n.

3. Montrer que si on a de plusP+1

n=1 nVar(Xn) < +1, alors la convergence a lieu presque

surement.

Exercice 11.3. Soit maintenant X une v.a. a valeurs dans [0,1[ et (Xn)(n�1) une suite de

v.a. independantes ayant chacune la meme loi que X. Montrer que

1. Si P{X > x} = o(1/x) lorsque x ! +1 alors Zn =1n max{X1, · · · , Xn} converge en

loi vers 0.

2. Si P{X > x} ⇠ ↵/x�lorsque x ! +1, avec ↵,� > 0 alors Zn =

1n1/� max{X1, · · · , Xn}

converge vers une variable aleatoire dite de Frechet, dont la fonction de repartition est

donnee par P{Y t} = exp(�↵t��

)1R+(t).

Exercice 11.4. Soient x 2 R, et (Yn,x)n une suite de variables aleatoires d’esperance x et de

variance vn(x). On suppose que vn converge vers 0 quand n ! 1 uniformement sur [a, b], i.e.

sup

x2[a,b]vn(x) ! 0, quand n ! 1.

1. Soit f une fonction continue bornee. Montrer que E�f(Yn,x)

�! f(x), quand n ! 1,

uniformement sur [a, b].

Rappel : Une fonction continue sur un compact est uniformement continue (theoreme de Heine).

2. Montrer alors qu’une fonction continue sur [0, 1] est la limite uniforme de la suite de

polynomes

Pn(x) =

nX

k=0

f

⇣k

n

⌘C

knx

k(1� x)

n�k.

Exercice 11.5. Soit (Xn)n�1 une suite de v.a. independantes, et de meme loi de Bernoulli de

parametre12 . On pose Sn = X1 + · · ·+Xn. Soit N une variable aleatoire a valeurs dans N, et

independante de la suite (Xn)n�1. On definit la v.a. Y par

Y (!) = SN(!)(!) =

(0, si N(!) = 0,

Sn(!), si N(!) = n, pour n � 1.

1. Calculer la loi conditionnelle de Y sachant l’evenement {N = k}, pour tout k � 0.

2. Montrer que la fonction generatrice de Y est donnee par GY = GN �GX1 .

3. On suppose dans cette question que N suit une loi de Poisson de parametre � > 0, i.e.

P(N = k) = e�� �k

k! , pour k � 0.

(a) Calculer la loi de Y .

(b) On pose Wi = 1�Xi, pour tout i � 1, et on definit Z par

Z(!) =

(0, si N(!) = 0,

W1(!) + · · ·+Wn(!), si N(!) = n, pour n � 1,

de telle sorte que N = Y + Z. Montrer que Y et Z sont independantes.

4. N est de nouveau de loi quelconque, et on suppose desormais que Y et Z sont independantes,

et que E(N) = m < 1.

(a) Montrer que GN (s) = GN (1+s2 )

2, pour tout s 2 [0, 1].

(b) Monter en iterant la relation precedente que GN (s) = GN (1 +s�12n )

2n, pour tout

n � 1.

(c) En e↵ectuant, a s 2 [0, 1] fixe, un developpement limite quand n ! 1 de la relation

precedente, calculer GN . En deduire que N suit une loi de Poisson de parametre m.

Exercice 11.6. Soient X1, X2, . . . des variables aleatoire reelles independantes, de loi expo-

nentielle de parametre 1.

1. Montrer que pour tout k � 1, P(il existe une infinite de n tel que Xn � k) = 1.

2. En deduire que p.s. lim supn!1Xn = +1.

On pose Yn :=Qn

i=1Xi.

3. Que vaut E[Yn] ?4. Montrer que E[

pX1] =

p⇡/2. En deduire la valeur de E[

pYn].

5. Montrer que, pour tout t > 0, P(Yn � t) 1pt(p⇡/2)

n.

6. En deduire que p.s. limn!1 Yn = 0.

Exercice 11.7. (Probleme du collecteur de coupons). Une marque de cereales o↵re, dans

chaque paquet, une piece d’un puzzle en contenant au total n. Chaque semaine, la piece est

prise au hasard parmi les n pieces possibles, independamment des semaines precedentes. Un

collectionneur achete chaque semaine un paquet, et voudrait savoir combien de temps il lui

faudra pour pouvoir finir le puzzle.

On noteXk le nombre de semaines ecoulees (ou de maniere equivalente le nombre de paquets

achetes) avant d’obtenir k pieces di↵erentes, k 2 {1, . . . , n}. Ainsi,Xn est le nombre de semaines

ecoulees avant de finir la collection.

1. On appelle Tk = Xk � Xk�1 (avec la convention X0 = 0). Montrer que Tk est une

variable aleatoire geometrique, de parametren�k+1

n .

2. Ecrire Xi comme une somme de Tk, et en deduire E[Xn]. Donner un equivalent de E[Xn]

quand n ! 1.

3. Montrer que P(X � n(lnn)2)n!1! 0.

4. Expliquer pourquoi les (Tk)k�1 sont independants. En deduire Var(Xn).

5. Montrer que Var(Xn) n2P+1

k=11k2 = n

2 ⇡2

6 .

6. En utilisant l’inegalite de Bienayme-Tchebichev, montrer que, pour tout " > 0,

P�Xn � (1 + ")n ln(n)

� n!1! 0 , et P�Xn (1� ")n ln(n)

� n!1! 0 .

Comment interpretez-vous ce resultat ?