Exercice : Séries chronologiques On vous donne une série trimestrielle Yt représentant le comportement d’une variable économique observé sur un espace de temps allant de 2000 à 2006

T1 T2 T3 T42000 127 127 108 1342001 133 130 107 1322002 133 134 110 1402003 138 136 118 1462004 145 138 115 1412005 137 136 115 1432006 137 136 111 140

Questions :

1- Sachant que la série est mensuelle, définir ses dates et sa périodicité de Yt.

2- Générez :

a) La série Yt_1 décalée positivement d’une période et Yt_2 décalée positivement de

deux périodes.

b) La série Wt_1 décalée négativement d’une période et Wt_2 décalée négativement

de deux périodes.

3- Comparez la moyenne et la variance de la série d’origine avec les séries générées.

4- Représentez par un graphe simple la série Yt en fonction de t, puis par un graphe

superposé.

5- La série Yt est-elle affectée d’un mouvement saisonnier ? Conclure par le calcul de

l’autocorrélation.

6- Le modèle de la série Yt est-il additif ou multiplicatif ? Pourquoi ?

7- On suppose que la série Yt a une tendance linéaire par rapport au temps, effectuez

l’ajustement sur le temps par la méthode MCO pour en évaluer le trend.

8- Calculez toutes les moyennes mobiles d’ordre 4.

9- On note la série des moyennes mobiles par Mt, représentez son allure par un graphique

simple. La courbe obtenue est-elle lisse.

10- Désaisonnalisez la série Yt par la méthode des moyennes mobiles. On note YCVS, la

série corrigée des variations saisonnières

10.1 Vérifiez si la moyenne de YCVS est identique à celle de Yt.

10.2 Vérifiez si la série chronologique Yt est identique à ses composantes telles

quelles sont définies par le modèle de schéma.

10.3 Représentez sur un même graphique les séries Yt et YCVS.

11. la désaisonnalisation par les moyennes mobiles est-elle satisfaisante ? Pourquoi ?

Solution :1- Définir les dates et la périodicité de la série Menu Donnée définir datessélectionnez la périodicité puis définir date de départOK

La fenêtre des résultats s’ouvre automatiquement indiquant que l’opération est réussie avec informations sur la variable date ajoutée au fichier de données.

2- Générescence des séries décalées positivement et négativementMenu transformer créer la série chronologique. Dans la fenêtre de création de la série chronologique ci-dessous :

Faites déplacer la variable dans la zone « nouvelle variable » ; tapez le nom de la nouvelle variable telle que Yt_1 dans la zone Nom, puis sélectionnez décalage positif à partir de la zone Fonction ; validez par OK.La variable décalée positive est ajoutée au fichier de données.Refaites le même travail pour les autres décalages. Voici les résultats :Série Yt Yt_1 Yt_2 Zt_1 Zt_2127,00 , , 127,00 108,00127,00 127,00 , 108,00 134,00108,00 127,00 127,00 134,00 133,00134,00 108,00 127,00 133,00 130,00133,00 134,00 108,00 130,00 107,00130,00 133,00 134,00 107,00 132,00107,00 130,00 133,00 132,00 133,00132,00 107,00 130,00 133,00 134,00133,00 132,00 107,00 134,00 110,00134,00 133,00 132,00 110,00 140,00110,00 134,00 133,00 140,00 138,00140,00 110,00 134,00 138,00 136,00138,00 140,00 110,00 136,00 118,00136,00 138,00 140,00 118,00 146,00118,00 136,00 138,00 146,00 145,00146,00 118,00 136,00 145,00 138,00145,00 146,00 118,00 138,00 115,00138,00 145,00 146,00 115,00 141,00115,00 138,00 145,00 141,00 137,00141,00 115,00 138,00 137,00 136,00137,00 141,00 115,00 136,00 115,00136,00 137,00 141,00 115,00 143,00115,00 136,00 137,00 143,00 137,00143,00 115,00 136,00 137,00 136,00137,00 143,00 115,00 136,00 111,00136,00 137,00 143,00 111,00 140,00111,00 136,00 137,00 140,00 ,140,00 111,00 136,00 , ,

Pour les séries décalées positives, il y a toujours perte d’information à la fin de la série égale

au nombre de terme de décalage.

Pour les séries décalées négatives, il y a toujours perte d’information au début de la série

égale au nombre de terme de décalage.3- Calcul des moyennes des séries générées et leur comparaison avec celle de la série d’origine Yt.Procédure Menu Analyse rapport récapitulatif des observationsdéplacer les variables à étudier dans la zone variablesdécochez toutes les cases des dessouscliquez sur statistiquesdéplacez la moyenne et l’écart type dans la zone statistiques des cellulespoursuivreOK.

Résultats :Récapitulatif des observations

YT LAGS(YT,1) LAGS(YT,2) LEADS(YT,1) LEADS(YT,1)N 28 27 26 27 27

Moyenne 130,2500 129,8889 130,6154 130,3704 130,3704Ecart-type 11,7745 11,8397 11,4440 11,9812 11,9812

Les moyennes des séries doivent être les mêmes ainsi que les écarts-types, la petite différence que l’on constate montre que l’évolution de la série d’origine n’est pas stable au cours du temps. Cette instabilité résulte de la saisonnalité.4- Représentation graphique de la série YtProcédure du graphe simple

Menu graphe Diagramme séquentiel

Déplacer la variable de l’étude dans la zone variables OK

Procédure du graphe superposé Menu graphe Courbe

Sélectionnez multiple puis récapitulatif par groupe d’observation Définir

Dans la nouvelle fenêtre Déplacez le nom de la série dans la zone variable

Déplacez quarter (périodicité) dans la zone axe de modalitéDéplacez Year_dans la zone Définir les courbes par

Validez par OKOn obtient le graphe recherché

Etude graphique de la saisonnalité

D’après les deux graphiques, la saisonnalité apparaît nettement au niveau du troisième

trimestre ainsi qu’au deuxième trimestre mais de degré moins important.

Le premier graphique montre un phénomène périodique très accentué au 3ème trimestre et

moins accentué au 2ème trimestre.

Le 2ème graphique montre un creux au troisième trimestre et relativement un pic au trimèstre2.

Ce sont les caractéristiques d’un mouvement saisonnier.

5- Etude de saisonnalité

la fonction d’autocorrélation Procédure :

Menu GrapheSéries chronologiques

AutocorrélationDéplacez la variable Yt dans la zone variable

Cochez autocorrélationBouton option précisez un décalage maximal

6- Test de schéma du modèle

Le modèle de schéma est multiplicatifYt= Tt*St*Rt

7- Régression par MCO de Yt sur le tempsProcédure :

Menu AnalyseRégression

Ajustement des fonctions

Sélectionnez la variable dépendante Yt, cochez la case temps, puis case ANOVARésultats :

-------------------- Variables in the Equation --------------------

Variable B SE B Beta T Sig T

Time ,338533 ,272753 ,236508 1,241 ,2256(Constant) 125,341270 4,527203 27,686 ,0000

8- Calcule de toutes les moyennes mobiles d’ordre 4.La série des moyennes mobiles se caractérise par la perte d’information de quantité

L/2=2.

Soit on procède manuellement ou par logiciel SPSS. La procédure de calcul par ce dernier est

de partir du Menu Analyse transformationcréer la série chronologique Glissez la

variable d’étudedans la zone fonction, choisissez Moyenne Mobiledans la zone Nom,

tapez le nom pour la nouvelle série cliquez sur remplacerOK

9- Série des moyennes Mobiles et sa représentation graphiqueMA(4), , 124,75 125,88 126,13 125,75 125,5

126 126,88 128,25 129,88 130,75 132 133,75135,38 136,5 136,38 135,38 133,75 132,5 132,25132,5 132,75 132,75 132,25 131,38 , ,

Graphique :

Dans cette représentation, il n’a y pas de pics et des creux, il s’agit nettement d’une courbe

lisse. Les points minima et maxima de la courbe initiale ont été imputés aux autres points. Le

rôle de la moyenne mobile, donc, est d’obtenir cette caractéristique, c’est la raison pour

laquelle on l’utilise pour la dessaisonalisation.

10- La décomposition de la série initiale (estimation des composantes saisonnières) : DésaisonnalisationProcédure sous SPSSA partir du menu, sélectionnez :Analyse

Séries chronologiquesDésaisonnalisation

Sélectionnez la variable pour laquelle vous souhaitez estimer des composantes saisonnières, et

déplacez-la dans la zone Variable(s).

Les options du groupe Modèle vous permettra de sélectionner le type de modèle utilisé

pour la dessaisonalisation. Sélectionnez un modèle soit Multiplicatif, soit Additif.

La zone pondération est réservée à la pondération de la moyenne mobile par 0,5

lorsque l’ordre est pair et par pondération uniforme lorsque l’ordre de la moyenne mobile est

impair.

La case à cocher afficher un listage par observation n’a de l’importance que pour l’impression

des résultats sur papier.Results of SEASON procedure for variable YT.Multiplicative Model. Centered MA method. Period = 4.

Seasonal Seasonally Smoothed Moving Ratios factors adjusted trend- Irregular DATE_ YT averages (* 100) (* 100) series cycle componentQ1 2000 127,000 , , 104,523 121,505 121,863 ,997Q2 2000 127,000 , , 102,790 123,552 123,525 1,000Q3 2000 108,000 124,750 86,573 86,044 125,518 124,857 1,005Q4 2000 134,000 125,875 106,455 106,643 125,653 125,834 ,999Q1 2001 133,000 126,125 105,451 104,523 127,245 126,206 1,008Q2 2001 130,000 125,750 103,380 102,790 126,471 125,783 1,005Q3 2001 107,000 125,500 85,259 86,044 124,355 125,339 ,992Q4 2001 132,000 126,000 104,762 106,643 123,777 125,707 ,985Q1 2002 133,000 126,875 104,828 104,523 127,245 126,912 1,003Q2 2002 134,000 128,250 104,483 102,790 130,362 128,480 1,015Q3 2002 110,000 129,875 84,697 86,044 127,842 129,565 ,987Q4 2002 140,000 130,750 107,075 106,643 131,279 130,694 1,004Q1 2003 138,000 132,000 104,545 104,523 132,029 132,027 1,000Q2 2003 136,000 133,750 101,682 102,790 132,308 133,716 ,989Q3 2003 118,000 135,375 87,165 86,044 137,140 135,622 1,011Q4 2003 146,000 136,500 106,960 106,643 136,905 136,556 1,003Q1 2004 145,000 136,375 106,324 104,523 138,726 136,588 1,016Q2 2004 138,000 135,375 101,939 102,790 134,254 135,182 ,993Q3 2004 115,000 133,750 85,981 86,044 133,653 133,744 ,999Q4 2004 141,000 132,500 106,415 106,643 132,217 132,518 ,998Q1 2005 137,000 132,250 103,592 104,523 131,072 132,175 ,992Q2 2005 136,000 132,500 102,642 102,790 132,308 132,520 ,998Q3 2005 115,000 132,750 86,629 86,044 133,653 132,878 1,006Q4 2005 143,000 132,750 107,721 106,643 134,092 132,927 1,009Q1 2006 137,000 132,250 103,592 104,523 131,072 132,075 ,992

Q2 2006 136,000 131,375 103,520 102,790 132,308 131,383 1,007Q3 2006 111,000 , , 86,044 129,004 130,864 ,986Q4 2006 140,000 , , 106,643 131,279 129,882 1,011Les nouvelles variables suivantes ont été ajoutées au fichier de données.

Name Label

ERR_1 Error for YT from SEASON, MOD_1 MUL CEN 4 SAS_1 Seas adj ser for YT from SEASON, MOD_1 MUL CEN 4 SAF_1 Seas factors for YT from SEASON, MOD_1 MUL CEN 4 STC_1 Trend-cycle for YT from SEASON, MOD_1 MUL CEN 4

10-1- On note la série corrigée des variations saisonnière YCVS, Comparons sa moyenne

avec celle de la série initiale

Récapitulatif des observations

YT YCVS

Ecart-type 11,7745 4,3968462

Moyenne 130,2500 130,2436912

Les deux séries ont mêmes moyennes, donc la procédure de désaisonnalisation est bien faite.

10.2- Puisque le modèle est multiplicatif complet alors on aura bien

Vérification de l’identité par SPSS:

A partir du menu

Transformer Calculer Tapez le nom de nouvelle variable dans la zone Variable

destination Tapez la formule dans la zone expression numérique.

La variable de destination est notée Ver ; la formule à saisir est : err_1*saf_1*stc_1

Conclusion on obtient la même série de départ, ce qui veut dire que les composantes de la

série désaisonnalisée sont nettement séparées suivant un modèle multiplicatif et le problème

de saisonnalité a été résolu. Autrement dit, les creux et les pics sont imputés aux autres

observations et le reste à été absorbé par le terme résiduel.

10.3 – Par définition

On peur vérifier même que précédemment par SPSS l’égalité de

10.4 Représentation graphique :

La série corrigée des variations saisonnière est bien une courbe lisse ne présentant pas des

creux et des pics réguliers. Donc le mouvement saisonnier est bien éliminé.

11- Evidement la réponse est oui car :

* Pour chaque observation, le produit des trois composantes de la série désaisonnalisée est

identique à la série initiale.

* la moyenne de la série YCVS est égale à la moyenne de Yt

* la série YCVS est une série lisse.