SERVICE DE LA CHEFFERIE DU GOUVERNEMENT … · Le géoïde, dont la définition mathématique est relativement complexe, est d’un usage peu aisé, son utilisation était principalement

SERVICE DE LA CHEFFERIE DU GOUVERNEMENT AGENCE SPATIALE ALGERIENNE

CENTRE NATIONAL DES TECHNIQUES SPATIALES

MEMOIRE DE MAGISTER EN TECHNIQUES SPATIALES ET APPLICATIONS

OPTION : GEODESIE

Présenté par : M. Mahdi HADDAD

Thème de mémoire:

Détermination du Géoïde en Algérie du Nord

par Intégration des Données Gravimétriques et Altimétriques.

Soutenu le Septembre 2004, devant le jury composé de : M. Président

M. Examinateur M. Examinateur M. Salem KAHLOUCHE, Directeur de Recherche, CNTS. Promoteur

Ce mémoire de Magister a été pour moi une source d'expériences très importante tant que dans le domaine professionnel que dans la vie humaine. Tout d’abord, j’aimerai exprimer toute ma reconnaissance et ma gratitude à trois personnes sans lesquelles je n’aurai très certainement pas préparé ce Magister. Il s’agit du Colonel Hamid Oukaci, Directeur Général de l’Institut National de Cartographie et de Télédétection (INCT), du Colonel Nadir Saadi, ex Directeur Général de l’INCT et de Monsieur Fethi Benhamouda, ex Sous-Directeur de Recherches et Développement - INCT. Mes remerciements vont également au Monsieur Salem Kahlouche, Directeur de Recherche, Directeur de la Division de Géodésie - CNTS, qui m’a fort bien encadré durant la préparation de ce mémoire. Ce fut une excellente expérience que de retravailler sous son encadrement. J'exprime toute ma reconnaissance à Monsieur Boualem Chemaa, Sous-Directeur de Recherches et Développement - INCT, pour son entière disponibilité et pour toute l'aide qu'il m'a apporté. Je remercie Messieurs Madani Aarizou, Sid Ahmed Ben Ahmed Daho, Ali Zeggai, Chargés de Recherche à la Division de Géodésie - CNTS, pour leurs précieux conseils techniques et pratiques et pour avoir pris le temps de répondre à mes nombreuses questions. Merci à l’ensemble des éléments de la Division de Géodésie – CNTS, en particulier Messieurs Ali Rami, Boualem Ghezali, Bachir Gourine, Sofiane Khelifa, pour leurs aide, leurs soutien et leurs bonne humeur communicative. Je crois qu’on ne réussit pas ses études sans un grand soutien familial, une famille présente à mes cotés depuis mes premiers pas. Je leur témoigne ici toute ma gratitude. Et je sais combien il aurait été difficile d’accomplir tout cela sans eux.

Je dédie ce mémoire à ma chère épouse …

Sommaire Remerciements Acronymes Introduction générale 1 Partie A : Le Géoïde Gravimétrique Chapitre I : Notions fondamentales de la géodésie physique I-1 Champ de pesanteur terrestre 3I-1-1 Bilan des forces en un point 3I-1-2 Accélération de pesanteur 4I-1-3 Potentiel de pesanteur et le géoïde 4I-2 Champ de pesanteur normal 5I-2-1 Potentiel normal 5I-2-2 Pesanteur normale 5I-3 Champ perturbateur 6I-3-1 Potentiel perturbateur 6I-3-2 Anomalie de pesanteur et déviation de la verticale 6I-4 Hauteur du géoïde et altitude orthométrique 7I-5 Altitude normale et Quasi-géoïde 8I-6 Formules fondamentales 8I-6-1 Formule de Stokes 8I-6-2 Formule de Molodenski 9I-6-3 Formules de Vening Meinesz 9 Chapitre II : Détermination du géoïde gravimétrique par la méthode de Stokes II-1 Introduction 10II-2 Ondulation du géoïde et réductions de terrain 12II-3 La Technique de Retrait-Restauration (Remove-Restore) 13II-4 Modèles géopotentiels 15II-5 Correction de terrain 17II-6 Effet indirect sur l’ondulation du géoïde 17II-7 Evaluation de l’intégrale de Stokes 18II-7-1 Première méthode : Approximation FHT plane 19II-7-2 Deuxième méthode : FFT Sphérique Multi-bande 20II-7-3 Troisième méthode : 1D-FFT 22II-8 Adaptation du géoïde gravimétrique aux points GPS-nivelés 22 Chapitre III : Détermination du géoïde gravimétrique sur l’Algérie du Nord III-1 Introduction 23III-2 Données utilisées 23III-2-1 Modèle géopotentiel global 23III-2-1 Données gravimétriques 23III-2-3 Modèle numérique de terrain 24III-3 Principaux programmes utilisés 24III-4 Géoïde déterminé et points GPS nivelés 25III-5 Méthodologie du traitement adaptée 25III-6 Traitement et Analyse 26

Partie B : L’Altimétrie Océanique Chapitre IV : La mission Topex/Poseidon IV-1 Introduction : Développement de l’altimétrie spatiale 32IV-2 La mission Topex/Poseidon 32IV-3 Caractéristiques de Topex/Poseidon 33IV-3-1 Caractéristiques générales de Topex/Poseidon 33IV-3-2 Caractéristique des instruments de Topex/Poseidon 33IV-4 Diffusion et archivage des données 34IV-5 Modélisation 34IV-5-1 Principe de calcul du niveau de la mer 34IV-5-2 Erreurs Instrumentales 35IV-5-3 Erreurs de propagation 35IV-5-4 Erreurs Géophysiques 36IV-5-4-1 Vitesse du vent 36IV-5-4-2 Biais de l’état de la mer 36IV-5-4-3 Effet barométrique inverse 38IV-5-4-4 Marée Océanique 38IV-5-4-5 Marée terrestre 38IV-5-4-6 Marée polaire 38 Chapitre V : Détermination du géoïde altimétrique sur la Méditerranée V-1 Introduction 39V-2 Données brutes utilisées 39V-3 Passages traités 40V-4 Lecture des données 41V-5 Calcul de la hauteur du géoïde altimétrique 43V-5-1 Modèle de calcul utilisé 43V-5-2 Programme de Traitement 44V-5-3 Résultat du traitement et analyses 45V-6 Combinaison des géoïdes gravimétrique et altimétrique déterminés 58 Chapitre VI : Détermination des anomalies de pesanteur par inversion des formules de Vening-Meinesz VI-1 Introduction 60VI-2 Calcul pratique des composantes de la déviation de la verticale à partir des données altimétriques 60VI-3 Inversion des formules de Vening-Meinesz 60VI-3-1 Formulation générale 60VI-3-2 Calcul par 1D FFT: Réalisations rigoureuses 62VI-3-3 Calcul par 2D FFT: Approximations planes 64 Chapitre VII : Détermination des anomalies de pesanteur - Application VII-1 Introduction 66VII-2 Méthodologie de calcul des anomalies de pesanteur par inversion des formules de Vening-Meinesz 66VII-3 Génération de la grille du géoïde altimétrique 67VII-4 Calcul des grilles des composantes de la déviation de la verticale 69VII-5 Calcul des quantités dérivées du modèle de référence EGM96 69VII-6 Calcul des quantités résiduelles des composantes de la déviation de la verticale 71VII-7 Calcul des anomalies de pesanteur par inversion des formules de Vening-Meinesz 72VII-8 Résultats d’inversion 73VII-9 Analyse des résultats 74

Conclusion générale 75 Références bibliographiques Annexes : I-1 : Rappels sur les transformées de Fourier I-2 : Rappels sur les transformées de Hartley I-3 : Attraction d'un prisme rectangulaire à base plate II-1 :Format et Contenu du fichier Topex/Poseidon: “PassFile Scientific Data Record n” II-2 : Format et Contenu du fichier Topex/Poseidon: “ Crossover Point File ” II-3 :Format et Contenu du fichier Topex/Poseidon: “Orbits-File ”

Acronymes

1 Gal (En hommage à Galilei), équivaut à une accélération de 1 Cm Sec-2.

ξ Composante Nord-Sud de la déviation de la verticale. η Composante Ouest-Est de la déviation de la verticale.

g∆ Anomalie de pesanteur.

N Ondulation du géoïde.

1D FFT Transformée de Fourier Rapide mono-dimensionnelle.

2D FFT Transformée de Fourier Rapide bi-dimensionnelle.

FHT Transformée Rapide de Hartley.

GRS 67 Geodetic Reference System 1967.

GRS 80 Geodetic Reference System 1980.

WGS 84 World Geodetic System 1984.

AVISO Archivage, Validation et Interprétation des données des Satellites Océanographiques.

BGI Bureau Gravimétrique International.

CCDP Centre de Contrôle Doris / Poseidon.

CNES Centre National des Etudes Spatiales – France.

DORIS Doppler Orbitography Radiopositioning Integrated by Satellite.

EGM96 Earth Geopotential Model of 1996.

GDR Geophysical Data Record.

GPS Global Positioning System.

IMSL Microsoft - Mathematical and Statistical Libraries Reference.

JPL Jet Propulsion Laboratory.

LRA Laser Retroreflector Array.

NASA National Aeronautics and Space Administration – USA.

NIMA National Imagery Mapping Agency – USA.

NRA NASA Radar Altimeter.

OSU Ohio State University.

SSALT Solid State ALTimeter.

TGS Topex Ground System.

TMR Topex Microwave Radiometer.

TOPEX Ocean TOPography Experiment.

Introduction générale 1

L’approximation la plus précise de la forme réelle de la terre est le géoïde. Il s’agit d’une surface dite équipotentielle du champ de pesanteur (c'est à dire une surface sur laquelle l’eau est en équilibre). Celle-ci est affectée de creux et de bosses : elle est donc totalement irrégulière. On peut l’imaginer comme étant le niveau moyen des océans et son prolongement imaginaire sous les continents. Le géoïde, dont la définition mathématique est relativement complexe, est d’un usage peu aisé, son utilisation était principalement réservée pour des recherches sur les références verticales et le niveau moyen de la mer. Depuis l’apparition des techniques spatiales de positionnement, et plus particulièrement avec le développement rapide du système GPS, la situation a radicalement changé : le géoïde est devenu un outil indispensable pour convertir les hauteurs ou les différences de hauteurs issues du GPS en altitudes ou en différences d’altitudes. Il existe plusieurs méthodes pour la détermination du géoïde : 1. L’utilisation d’un modèle global de champ de pesanteur, qui donne la

hauteur du géoïde avec une précision métrique, voire un peu mieux parfois.

Les modèles géopotentiels représentatifs du potentiel gravitationnel de la terre et qui se présentent sous la forme de développements en harmoniques sphériques, ont été établis par combinaison des données spatiales (étude des perturbations d’orbite des satellites artificiels sous l’influence de l’attraction terrestre), avec des anomalies gravimétriques moyennes et d’autres informations géophysiques. Actuellement, les potentiels gravimétriques atteignent en standard le degré 360, soit 2 x 65 338 coefficients et une longueur d’onde d’environ 110 Km. C’est le cas des modèles à haute résolution l’OSU91A (Rapp et al., 1991) et l’EGM96 (Lemoine et al., 1997).

2. La réalisation des modèles locaux du géoïde en déterminant par GPS la

hauteur ellipsoïdale de quelques repères de nivellement, ou, le nivellement de quelques points GPS. Ces points déterminés par GPS et par nivellement serviront de point d’appui pour l’interpolation de la hauteur du géoïde des points GPS non nivelés environnants.

Introduction générale 2

On peut prétendre par cette méthode à une détermination de quelques centimètres, pour peu que les points GPS nivelés soient suffisamment nombreux et bien répartis dans et autour de la zone de travail et que les dénivelées ne soient pas trop fortes pour éviter les erreurs de troposphère sur les hauteurs ellipsoïdales.

3. La réalisation par les techniques de la géodésie physique de géoïdes gravimétriques précis en utilisant l’une des méthodes de résolution :

méthode de Stokes ; appliquée pour la première fois par Stokes en

1849. méthode de Molodensky ; proposée par Molodensky en 1945.

L’information primordiale dans cette résolution est la donnée gravimétrique. A l’heure actuelle, selon leurs acquisitions, il existe quatre principaux types de données gravimétriques :

les données de gravimétrie terrestre ; les données de gravimétrie marine ; les données de gravimétrie aéroportée ; les données de gravimétrie acquises par l’altimétrie satellitaire.

4. Notons aussi que l’utilisation de l’altimétrie satellitaire, basée sur la mesure

radar de la distance entre un satellite d’orbite connue et la surface de réflexion constituée par les océans permet l’acquisition directe du géoïde en mer.

De nos jours, la précision des altimètres et des trajectoires des satellites qui les portent (GEOSAT, ERS1, ERS2, Topex/Poseidon, Jason-1, Envisat) permet d’obtenir la surface océanique avec une précision décimétrique, voire centimétrique parfois.

Le présent mémoire qui entre dans le cadre de la préparation du diplôme de Magister en Techniques Spatiales et Applications, se présente en deux parties : La première partie traite la détermination du géoïde gravimétrique par la méthode de Stokes en utilisant la technique de Retrait-Restauration ; La seconde partie porte à la fois sur la détermination du géoïde altimétrique à partir des données de l’altimètre Topex/Poseidon et le calcul des anomalies de pesanteur à partir des données altimétriques par inversion de la formule de Vening Meinesz.

Chapitre I : Notions fondamentales de la géodésie physique 3 On appelle géodésie physique l’étude du champ de pesanteur terrestre. Cette étude permet de définir un certain nombre de liens entre d’une part le modèle géométrique et d’autre part le modèle dynamique. Pratiquement, la connaissance du champ de pesanteur terrestre est indispensable à deux types de travaux : la détermination des altitudes et l’orbitographie des satellites artificiels de la terre. I-1 Champ de pesanteur terrestre I-1-1 Bilan des forces en un point Soit le centre de gravité d’un solide de masse à la surface ou à l’extérieur de la terre, lié au mouvement de rotation de la terre sur elle-même (mouvement diurne).

P m

L’inventaire de l’ensemble des forces qui s’appliquent en est comme suit: P a- Force de gravitation universelle Au niveau élémentaire, considérons une fraction élémentaire de la terre, de volume , de densité dvρ et de centre de gravité . Si la masse de ce morceau élémentaire est , on a : . 'P 'dm 'dv dmρ =

La force de gravitation exercée par ' sur vaut : P P '

'

2

P

m dmG ul

−uuv

avec : la constante gravitation universelle , 11 3 1 26.672 10G m k− −≈ g s− 'l P P=uuuv

et '

'

'P

P PuP P

=

uuuvuur

uuuv (voir

figure I-1).

Figure I-1 : Force de gravitation élémentaire. Donc pour l’ensemble de la terre, la force de gravitation se formule de cette manière :

' '

'

2 2

- = - P P

Terre T T

mdm dvG u Gm ul l

ρ∫∫∫ ∫∫∫ .

Chapitre I : Notions fondamentales de la géodésie physique 4

b- Force centrifuge Il s’agit de la force due à la rotation de la terre sur elle-même. Appelons Tω la vitesse de rotation de la terre ; . 57.292 10 /T rad sω −≈

La force centrifuge qui s’exerce sur est : P 2 Tm p uλ

ωuuv

, avec cos sin u iλ

jλ λ= +uuv v v

. I-1-2 Accélération de pesanteur Par définition, on appelle accélération de pesanteur terrestre, conventionnellement notée g

uv,

l’accélération de crée par l’attraction gravitationnelle de la terre et par l’accélération centrifuge : P

'

22 = -

PT

Terre

dvg G u p ul λ

ρ ω+∫∫∫uuv uuv

.

g est exprimée en , ou en gal ( ). 2/m s 2 /1 gal 1 cm s=

Numériquement, à l’équateur 2 /eg 9.78 m s≈uv

et au pôle 2 /pg 9.83 m s≈uv

.

Le terme '2 = - P

Terre

dvGl

uργ ∫∫∫v uuv

est appelé accélération gravitationnelle.

Le terme 2 r T p uλ

γ ω=v uvu

est appelé accélération centrifuge. I-1-3 Potentiel de pesanteur et le géoïde

Le champ de pesanteur dérive d’un potentiel noté W : Wgradg =r

γr dérive du potentiel V Vgrad=γr ∫∫∫=Terre l

dGV τρ

rγr

dérive du potentiel Vr rr Vgrad=γr θω 222 sin21 rVr =

V peut être développé en harmoniques sphériques [Heiskanen, Moritz, 1967]. Dans un repère géocentrique où coïncide avec le centre des masses de la Terre on peut écrire : O

, , ,2 0

1 (cos )( cos sn n

n m n m n mn m

GM aV P C m Sr r

in )mθ λ λ∞

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑

Avec : ( , , ) r θ λ sont les coordonnées sphériques du point de calcul ; M est la masse de la Terre ; a est le rayon équatorial de l’ellipsoïde de référence ;

,n mP sont des fonctions de Legendre de première espèce ;

, ,,n m n mC S coefficients qui caractérisent la répartition des masses à l’intérieur de la Terre. Ils dépendent du repère de référence. Ils sont obtenus principalement par des mesures de pesanteur, des études des perturbations des mouvements des satellites artificiels et des mesures d’altimétrie par satellite,…


d’où : 2 2 2, , ,

2 0

11 (cos )( cos sin ) sin2

n n

R n m n m n mn m

GM aW V V P C m S m rr r

θ λ λ ω∞

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞= + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ θ

Une surface équipotentielle est l’ensemble des points ayant même potentiel W . Une ligne de force est une courbe perpendiculaire en tout point aux surfaces équipotentielles. Le Géoïde est la surface équipotentielle coïncidant au mieux avec le niveau moyen des océans. Il est déterminé soit par la valeur de son potentiel , soit par la connaissance d’un point lui appartenant [H. Duquenne, 1997].

0W

I-2 Champ de pesanteur normal I-2-1 Potentiel normal On cherche à modéliser la surface équipotentielle de valeur par une surface mathématique connue qui es l’ellipsoïde. Le potentiel normal de fonction est aussi un modèle du champ de pesanteur. Les caractéristiques de ce modèle sont :

0W( )U M

Une surface équipotentielle est un ellipsoïde géodésique choisi en général géocentrique et tournant autour de son axe de révolution à la même vitesse angulaire que la Terre. Tout point appartenant à l’ellipsoïde admet un potentiel normal égal à son potentiel réel sur le géoïde ( ). 0W La masse de l’ellipsoïde est celle de la Terre avec son atmosphère. U peut se développer en harmoniques sphériques [Heiskanen, Moritz – 1967] :

22 2 2

2 21

11 (cos )2

n

n nn

GM aU J Pr r

sinrθ ω θ∞

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑

Avec : 2

1 22 2

5 3 ( 1) 1(2 1)(2 3)

nn

nn JeJ n

n n e+ ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

0

2

2'

1521

3 qmeeJ , 2

222

abae −

= , 2

222'

bbae −

= ,

GMbam

22ω= , '2

3'arctan'31

21

20 ee

eq −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

où : a : le rayon équatorial de l’ellipsoïde , b : le demi-axe polaire, : les excentricités ',e e I-2-2 Pesanteur normale

La pesanteur normale notée est un modèle de l’accélération de pesanteur , tel que : γr

gr Ugrad=γr

. La formule de Somigliana donne son module sur l’ellipsoïde en fonction de la latitude géographique géodésique ϕ [Serge Botton, 2001]:

( )

2 2

12 2 2 2 2

cos sin

cos sin

e p0

a b

a b

γ ϕ γγ

ϕ ϕ

+=

+

ϕ

Chapitre I : Notions fondamentales de la géodésie physique 6 Avec eγ et pγ sont les pesanteurs normales équatoriale et polaire sur l’ellipsoïde :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=γ

0

0

6''1

qqemm

baGM

e , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=γ

0

02 3

''1qqem

aGM

p , 1'arctan'

11'113 2

,0 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += e

eeq

A la hauteur au-dessus de l’ellipsoïde, le module de l’accélération normale se calcule à partir de h

0γ par la formule [Serge Botton, 2001]:

( )2

22

2 31 1 2 sin0hf m f h

a aγ γ ϕ

⎛ ⎞= − + + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

où f est l’aplatissement de l’ellipsoïde : abaf −

= .

Ces formules sont utilisées dans les calculs de certains types d’altitudes et pour la réalisation de géoïdes gravimétriques. I-3 Champ perturbateur I-3-1 Potentiel perturbateur Le potentiel perturbateur est la différence entre le potentiel de pesanteur réel et le potentiel normal :

T W U= − L’expression du potentiel perturbateur est donnée comme suit :

( ), , ,2 0

cos cos sinn n

n m n m n mn m

GM aT P C m Sr r

mθ λ λ∞

= =

⎛ ⎞= ∆ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∆

,

où : sont les différences entre les coefficients normalisés du potentiel terrestre et les coefficients normalisés du potentiel normal.

, ,n m n mC S∆ ∆

I-3-2 Anomalie de pesanteur et déviation de la verticale Soit M un point quelconque de la surface topographique, l’intersection de la ligne de force passant par

PM avec le géoïde et Q la projection de M sur l’ellipsoïde.

L’anomalie de pesanteur notée g∆ est la différence entre les modules de la pesanteur réelle en et la pesanteur normale en :

PQ P Qg g γ∆ = − .

L’angle entre et pg Qγ est la déviation de la verticale. On note conventionnellement η et ξ ses composantes dans les directions respectives Est-Ouest et Nord-Sud.


Figure I-2 : Anomalie de pesanteur. I-4 Hauteur du géoïde et altitude orthométrique La ligne de force du champ de pesanteur passant par M coupe le géoïde en 0M et l’ellipsoïde en

. La hauteur du géoïde est la hauteur de 0Q 0M au-dessus de suivant la ligne de force. La formule de Bruns relie le potentiel perturbateur à la hauteur du géoïde :

0Q

0

0 )(γ

=MTN

L’altitude orthométrique d’un point est son abscisse curviligne au dessus du géoïde comptée le long de la ligne de force du champ de pesanteur.

(O)(M)H

M0A

Q0

M

h

Géoïde

M’0

NEllipsoïde

Figure I-3 : Hauteur du géoïde et altitude orthométrique . N (O)

(M)H

Chapitre I : Notions fondamentales de la géodésie physique 8 I-5 Altitude normale et Quasi-géoïde On appelle surface sphéropotentielle d’un point M la surface équipotentielle du champ normal, dont le potentiel normal est égal au potentiel réel de M . Le point Q est l’intersection de la sphéropotentielle et de la ligne de force. L’altitude normale de M est la hauteur de la surface sphéropotentielle au-dessus de l’ellipsoïde, prise le long de la ligne de force du champ normal. L’arc de ligne de force compris entre et

0Q Q

Q M est l’anomalie d’altitude ζ . Le quasi-géoïde est la surface d’altitude normale nulle. C’est la surface obtenue en reportant depuis chaque point M de la surface topographique, vers le bas, son altitude normale.

Quasi-géoïde

h

)()(

NMH

ζ

)()(

NMH

W=W(M)

Q0

M ζ Q U=W(M)

Surface équipotentielle

Surface sphéropotentielle

Géoïde M0

Ellipsoïde

Figure I-4 : Altitude normale et anomalie d’altitude 0Q Q ζ . I-6 Formules fondamentales I-6-1 Formule de Stokes La formule de Stokes (1849) permet d’exprimer la hauteur du géoïde et le potentiel perturbateur

en un point N

T 0M en fonction des anomalies de pesanteur [H. Duquenne, 1997] :

∫ ∆=σ

σψγπ

dSgRN )(~4 ( )4RT g S

σdψ σ

π= ∆∫

où : R est le rayon de la Terre ; γ~ est l’accélération normale de la pesanteur en ; 0Q ψ est l’angle entre le point de calcul 0M et le point d’intégration ; σ est la sphère de calcul de rayon unité ; dσ est l’élément de la sphère de calcul ; ∆g est l’anomalie de pesanteur sur le géoïde au point et

est la fonction de Stokes :

0P

0P

S 21( ) 6sin 1 5cos 3cos ln sin sin2 2sin

2

S2

ψ ψ ψψ ψ ψψ⎛ ⎞= − + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Chapitre I : Notions fondamentales de la géodésie physique 9 Les conditions d’applications de la formule de stokes sont contraignantes : les anomalies de pesanteur doivent être réduites au géoïde ; il ne doit pas y avoir de masse au-dessus du géoïde ; les anomalies devraient être connues sur la Terre entière. I-6-2 Formule de Molodenski La méthode de calcul de Molodenski remplace les grandeurs prises au niveau du géoïde par des grandeurs prises au niveau de la surface topographique. La théorie de Molendenski s’affranchit donc des inconvénients de la formule de Stokes. ∆g devient l’anomalie de pesanteur de surface (c’est la différence entre la pesanteur au niveau du terrain et la pesanteur normale sur la surface sphéropotentielle). Au premier ordre, l’anomalie d’altitude est exprimée comme suit [Heiskanen, Moritz – 1967] :

( )1 ( )4R g g s dζ ψπγ Σ

≈ ∆ +∫% σ

avec : ),( hgg ϕγ−=∆

où : est la correction au premier ordre de Molodenski ; 1g g∆ est l’anomalie de pesanteur de surface au point ; et est la hauteur ellipsoïdale de . P h P I-6-3 Formules de Vening Meinesz Par dérivation de la formule de Stokes, on obtient les formules de Vening-Meinesz reliant les paramètres de déviation de la verticale aux anomalies de gravité [J. P. Dufour, 2001]:

déviation de la verticale en latitude : 1 NR

ξϕ∂

= −∂

;

déviation de la verticale en longitude : 1

cosN

Rη

ϕ λ∂

= −∂

.

Figure I-5 : Composantes de la déviation de la verticale.

Chapitre II : Détermination du géoïde gravimétrique par la méthode de Stokes 10

II-1 Introduction Le problème fondamental de la géodésie physique est de déterminer la surface équipotentielle du champ de pesanteur terrestre coïncidant avec le niveau moyen des mers et servant de référence pour la définition des différents systèmes verticaux utilisés lors de levés géodésiques. Cette surface est connue sous le nom de géoïde. Son comportement dépend des caractéristiques du champ de pesanteur dont les déformations sont causées par l'existence de masses internes de différentes densités. Le processus le plus adéquat quant à la définition de la forme réelle de la terre se base sur la méthode gravimétrique du dit "troisième problème de valeur limite". La technique la plus utilisée met en relation les caractéristiques régionales (amplitudes d'ondes longues) du champ gravitationnel exprimées par un modèle géopotentiel global et ses particularités locales (amplitudes d'ondes courtes) obtenues par l'intermédiaire du modèle physico-mathématique de Stokes. Cette technique est connue sous le nom de "Remove-Restore". Le troisième problème des valeurs aux limites dans la théorie du potentiel gravitationnel cherche à déterminer une fonction harmonique (potentiel perturbateur) sur une superficie limite (le géoïde) par l'intermédiaire d'une combinaison linéaire de cette fonction ainsi que de ses dérivées dans la direction normale à cette superficie (anomalies gravimétriques); celle-ci est représentée par l’équation fondamentale de la géodésie [Heiskanen, Moritz, 1967] :

2 0T T gr r

∂+ + ∆ =

∂

où T est le potentiel perturbateur et est l’anomalie de pesanteur et est le rayon géocentrique. g∆ r Le potentiel perturbateur est quantifié par la différence entre le potentiel gravitationnel réel ( )W et le

potentiel gravitationnel normal ( , généré par l'ellipsoïde de référence : )U

( ) ( ) ( ), , , , , ,T r W r U rθ λ θ λ θ= − λ

où est le rayon géocentrique, r θ est la colatitude géocentrique et λ est la longitude. Dans la pratique, ce dernier s'obtient à partir des observations gravimétriques (anomalies de pesanteur) grâce à la solution de l’équation fondamentale de la géodésie physique qui, en coordonnées sphériques est donnée par l’intégrale de Stokes [Heiskanen, Moritz, 1967] :

( )4RT g S

σdψ σ

π= ∆∫

avec R est le rayon moyen terrestre, g∆ l'anomalie de pesanteur observée, σ surface d'intégration, dσ l'élément différentiel de surface et ( )S ψ la fonction de Stokes définie comme suit :


21( ) 6sin 1 5cos 3cos ln sin sin2 2sin

2

S2

ψ ψ ψψ ψ ψψ⎛ ⎞= − + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

où ψ est la distance sphérique entre le point d’intégration et le point de calcul.

H

M0

Q0

M

h

Géoïde

NEllipsoïde '

0M U= U0

W= W0

Figure II-1 : Géométrie associée à l’approche de Stokes :

N : Ondulation du géoïde, : Altitude orthométrique, : Altitude ellipsoïdale H h( ) ( ) ( )

0 0M QAnomalie de pesanteur g Pesanteur sur le géoïde g Pesanteur normale γ∆ = −

( ) ( ) ( ) M M MPotentiel perturbateur T Potentiel réel W Potentiel normal U= − Les ondulations du géoïde s'obtiennent en mettant en relation le potentiel perturbateur et la pesanteur théorique (générée par l'ellipsoïde de référence) selon le théorème de Bruns [Heiskanen, Moritz, 1967] :

( ), ,T rN

θ λγ

=

Les conditions d'applicabilité de la formule de Stokes sont :

les anomalies de pesanteur doivent être réduites au géoïde ; pas de masse à l’extérieur du géoïde ; les anomalies devraient être connues sur la Terre entière ; En particulier, la réduction des anomalies au géoïde ne peut être exactement calculée que si on

dispose d'un bon modèle de répartition des masses dans la croûte terrestre.


II-2 Ondulation du géoïde et réductions de terrain La modélisation du potentiel gravitationnel terrestre par la formule de Stokes présuppose la non-existence de masses à l’extérieure au géoïde. De telles masses peuvent être "éliminées" par la méthode de condensation de Helmert :

1. Retrait de toutes les masses au-dessus du géoïde ; 2. Transfert de la station de à par l’utilisation de la réduction à l’air libre ( ; P 0P )F3. Restauration des masses condensées sous forme d’une couche sur le géoïde avec une densité

hσ ρ= , ou est l’altitude orthométrique. h

Figure II-2 : Surface topographique réelle et condensée, en approximation plane. (d’après Sideris, 1990) Cette procédure de condensation donne une anomalie de pesanteur g∆ réduite sur le géoïde [Sideris, 1996]:

0

cP P P Pg g A F A g F Aδ∆ = ∆ − + + = ∆ + +

où : ( Pg F∆ + ) est l’anomalie de pesanteur à l’air libre au point ; P

PA est l’attraction des masses topographiques au-dessus du géoïde au point ; P

0

cPA est l’attraction des masses topographiques condensées sur le géoïde au point ; 0PA cδ = est la correction de terrain classique.

Vu le changement de la distribution des masses, l’application de la formule de Stokes conduit à une autre surface que le géoïde appelée co-géoïde. Pour ramener l’anomalie de pesanteur du géoïde au co-géoïde, on applique une correction sur les anomalies :

( )0 0

cP PT TTg

h hγ δ γδ

γ γ

−∂ ∂∆ = − = −

∂ ∂


où : 0PT est le potentiel des masses topographiques au point et est le potentiel des masses

topographiques condensées au point . 0P

0

cPT

0Pgδ∆ est appelé effet indirect de la pesanteur , qui étant petit est généralement négligé.

L’expression donnant sera alors : N

( ) ( ) 1 cRN g A g S d T N4 σ

Nδ δ ψ σ δ δπγ γ

= ∆ + + ∆ + = +∫∫

où : est l’altitude du co-géoïde et cN Nδ l’effet indirect de l’ondulation du géoïde. II-3 La Technique de Retrait-Restauration (Remove-Restore) Pour procéder à l’intégration des anomalies de pesanteur par la formule de Stokes, il faudrait théoriquement connaître la valeur de pesanteur en chaque point du globe, ceci est bien sur illusoire car il n’existe que très peu de mesures gravimétriques sur les océans et les mesures effectuées sur les continents sont beaucoup plus denses mais parfois aussi très éparses. De toute façon, les moyens de calcul ne le permettraient pas et le gain de précision ne le justifierait pas. Pour remédier à la situation, nous utilisons la technique Retrait-Restauration (Remove-Restore) : La procédure de retrait (remove) consiste à retrancher des anomalies à l’air libre leurs contenu grandes longueurs d’onde et courtes longueurs d’onde

FAg∆

GMg∆ hg∆ pour obtenir des anomalies résiduelles : g∆

FA GM hg g g g∆ = ∆ −∆ −∆ où :

FAg∆ est l’anomalie de pesanteur à l’air libre, corrigée de l’attraction atmosphérique ;

GMg∆ est l'anomalie calculée d’après le modèle géopotentiel global ;

hg A cδ∆ = − = − où c représente la correction de terrain classique. Rappelons l’expression de l’anomalie à l’air libre FAg∆ [M.J. Sevilla, 1996] : FA mes atm 0g g g Fδ γ∆ = + + − où : est la pesanteur mesurée sur la surface topographique ; mesg atmgδ est la correction de l’attraction atmosphérique permettant la compatibilité entre les valeurs locales de pesanteur et celles provenant du modèle géopotentiel global ; dans le système GRS 80, son expression est donnée comme suit :

-5atmg 0.874 - 9.9 10 h (mGal)δ = [Moritz, 1992] ;

ou encore: [Wichiencharoen, 1982] ; (-5 -9 2

atmg 0.8658 - 9.727 10 h 3.482 10 h mGalδ = + )


gF h h 0.3086 h (mGal)h h

γ∂ ∂= − ≈ − ≈ +

∂ ∂ représente la réduction à l’air libre ;

avec l’altitude orthométrique de la station gravimétrique, en mètres ; h et 0γ est la pesanteur normale ; dans le système GRS 80 son expression est donnée comme

suit [Moritz, 1980] : . ( ) sin sin 2 2 20 978032.70 1 + 0.0053024 0.0000058 mGalγ ϕ= − ϕ

La procédure de restauration (restore) de l’information géoïdale (passage de à ) s’effectue en sommant les différentes composantes fréquentielles :

g∆ N

GM g hN N N N∆= + +

tel que :

GMN correspond aux grandes longueurs d’onde créés par les grandes lignes du relief et les structures géologiques marquantes. se calcule à partir du Modèle Géopotentiel Global. GMN

gN∆ correspond aux moyennes longueurs d’onde provenant des anomalies gravimétriques de la formule de Stokes. On intègre donc les anomalies résiduelles g∆ .

hN correspond aux courtes longueurs d’onde induites par la topographie. Cette composante représente l’effet indirect sur l’ondulation du géoïde, qui est une conséquence des modifications de masses qui accompagnent les réductions gravimétriques. se calcule par l’utilisation d’un Modèle Numérique de Terrain (MNT) dont la finesse du pas influencera la précision des calculs.

hN

Figure II-3 : Contribution des différentes données sur la détermination régionale du géoïde. (d’après Schwarz et al., 1987)


II-4 Modèles géopotentiels Les modèles géopotentiels Globaux sont construits à partir des informations gravimétriques, ainsi que par des données dérivées de l’étude des perturbations d'orbites des différents satellites artificiels permettant de quantifier le potentiel gravitationnel terrestre. Les modèles géopotentiels Globaux se représentent comme termes d'une expansion du potentiel gravitationnel en harmoniques sphériques et se calculent sur la base des distorsions que les champs de pesanteur et de potentiel terrestre présentent relativement à ceux générés par l'ellipsoïde de référence. Le calcul d’un modèle de potentiel est une entreprise de grande envergure, tant sur le plan de la collecte des données tant que des moyens de calcul mis en œuvre, mais il permet de condenser en deux ensembles de coefficients, et un volume de données extrêmement important qu’on ne pourrait manier autrement.

,n mC ,n mS

Le potentiel gravitationnel terrestre est alors défini par le développement en harmoniques sphériques comme suit [Heiskanen, Moritz, 1997] :

( ) (( , , ) 1 cos sin cosn n

nm nm nmn 2 m 0

GM aW r C m S m Pr r

θ λ λ λ θ∞

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ) Φ

où : ( , , )r θ λ sont les coordonnées sphériques du point où W est déterminé ; est la constante gravitationnelle géocentrique; est le demi-grand axe de l’ellipsoïde de référence ;

GMa (, cosn mP )θ sont les

fonctions de Legendre normalisées de première espèce ; et sont les coefficients en

harmoniques sphériques normalisés ; ,n mC ,n mS

( ) 2 21 2 sinrω θΦ = est le potentiel de la force centrifuge tel que ω est la vitesse angulaire de la rotation de la terre. Les coefficients de Potentiel et sont donnés par [Rapp, 1994] : ,n mC ,n mS

( ) ( ) ( ), ,1 , cos cos

1n m n mC g P4 n σ

m dθ λ θ λπγ

= ∆− ∫∫ σ

( ) ( ) ( ), ,1 , cos sin

1n m n mS g P4 n σ

m dθ λ θ λπγ

= ∆− ∫∫ σ

Une fois déterminés et ajustés, les coefficients de potentiel permettent d'affiner la connaissance du champ de pesanteur terrestre dont la finalité première est la définition de la surface du géoïde. Comme étape intermédiaire, il est indispensable de calculer le potentiel perturbateur et l’anomalie de pesanteur par rapport à l’ellipsoïde de référence.


Le potentiel gravitationnel normal de l’ellipsoïde de référence étant [Heiskanen, Moritz – 1967] :

( )2'

2 2 22 2

1

1, 1 (cos ) s2

n

n nn

GM aU r J P rr r

inθ θ ω∞

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ θ

avec :

21 2

2 2

5 3 ( 1) 1(2 1)(2 3)

nn

nn JeJ n

n n e+ ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

0

2

2'

1521

3 qmeeJ , 2

222

abae −

= , 2

222'

bbae −

= ,

2 2

'

a bmGM

ω= ,

'23'arctan

'31

21

20 ee

eq −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += .

où : : le rayon équatorial de l’ellipsoïde , b : le demi-axe polaire, : les excentricités et a ',e e 'M représente la masse de l’ellipsoïde de référence. La présentation standard du potentiel perturbateur est alors donnée comme suit :

( ) ( ), ,( , , ) cos sin cosn n

GM nm n m n mn 2 m 0

GM aT r W U C m S m Pr r

θ λ λ λ θ∞

= =

⎛ ⎞= − = ∆ + ∆⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

Avec et les écarts entre les coefficients normalisés du modèle du potentiel terrestre et les

coefficients normalisés du potentiel normal. La différence ,n mC∆ ,n mS∆

'M M− est considérée négligeable. Ainsi que les anomalies de pesanteur de surface :

( )22 0

( , , ) ( 1) cos sin cosn n

GM nm nm nmn m

GM ag r n C m S m Pr r

( )θ λ λ∞

= =

⎛ ⎞∆ = − ∆ + ∆⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ λ θ

et l’ondulation du géoïde :

( ) ( )2 0

, , cos sin cosn n

GM nm nm nmn m

GM aN r C m S m Pr r

( )θ λ λγ

∞

= =

⎛ ⎞= ∆ + ∆⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ λ θ

où γ est la pesanteur normale au point ( , , )P r θ λ . Les anomalies réduites qui reflètent les caractéristiques locales de la zone, sont obtenues par soustraction des anomalies de pesanteur du modèle des anomalies observées : . red obs modg g g∆ = ∆ −∆


II-5 Correction de terrain La correction de terrain classique en coordonnées planes est donnée par l’expression suivante [Forsberg, 1984, 1994] :

( ) ( ) ( )-

p

hp

P P 3 22 2 2z h

p p p

z hA c G dx dy d

x x y y z hδ ρ

∞ ∞

−∞ −∞ =

= =⎡ ⎤− + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ z

où :

ρ est la constante de la densité des masses topographiques ; G est la constante de gravitation universelle ; ( , ,p p p )x y h sont les coordonnées du point de calcul ;

( , , )x y z sont les coordonnées du point d’intégration. L’évaluation de la correction de terrain repose sur la méthode dite de « prismes » [M.J. Sevilla, 1996], qui peut se faire en utilisant la technique de la FFT. II-6 Effet indirect sur l’ondulation du géoïde L’expression de l’effet indirect sur l’ondulation du géoïde ( )Nδ est donnée comme suit [Sideris, 1996]:

( , ) ( , )( , )

6

3 3p p2

P h p p 3E

h x y h x yG GN N h x y dx ds

π ρ ρδγ γ

−= = − − ∫∫ y

tel que est la distance plane entre le point de calcul s ( , )p px y et le point d’intégration ( , )x y .

Figure II-3 : Effet indirect sur l’ondulation du géoïde ( )Nδ .


En considérant un MNT de dimension MxN , la discrétisation de l’intégrale s’écrira sous la forme suivante :

1 1( , ) ( , ) ( , )6 6

M M M M

1 1 1 1

x y x y2 3

h p p p p 3 3x x y y x x y y

G G x y G x yN h x y h x y hs s

π ρ ρ ργ γ γ= = = =

∆ ∆ ∆ ∆= − + −∑ ∑ ∑∑ 3 x y

L'évaluation de l’effet indirect par 1D FFT s’effectuera colonne par colonne ou ligne par ligne. Le long de la direction des x , on aura [Sideris and She, 1995]:

{ }

{ }3

1( , ) ( , ) 16

1 6

M

1

M

1

x2 3 -1

h p p p p 1 1 3x x

x-1 3

1 1 1x x

G G x yN h x y h x y F F Fs

G x y F F F hs

π ρ ργ γ

ργ

=

=

1

⎧ ⎫∆ ∆ ⎪ ⎪⎧ ⎫= − + ⎨ ⎨ ⎬ ⎬⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫∆ ∆ ⎪ ⎪⎧ ⎫− ⎨ ⎨ ⎬ ⎬⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

∑

∑

où sont les transformées de Fourier 1D directe et inverse. et -1

1 1F F L’évaluation pour la direction est similaire. y II-7 Evaluation de l’intégrale de Stokes La contribution des données de pesanteur locale dans la détermination du géoïde se calcule par l'intégrale de Stokes. Rappelons que cette intégrale est donnée sous la forme explicite suivante :

( ) ( ), , ( , , , ) cos 4g p p p p

E

RN g S d dϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕπγ∆ = ∆∫∫ ϕ λ

où : R est le rayon de la Terre ; γ est la pesanteur normale ; ∆g est l’anomalie résiduelle ;

( ,p p )ϕ λ sont les coordonnées du point de calcul et ( ),ϕ λ sont les coordonnées du point d’intégration. Pour évaluer la formule de Stokes, trois techniques peuvent être utilisées : 1. la transformée rapide d’Hartley plane [Bracewell, 1986 ; Li and Sideris 1992 ; Tziavos, 1993 a,b] ; 2. la transformée rapide de Fourier bi-dimensionnelle sphérique multi-bande [Forsberg and Sideris.

1993] ; 3. la transformée rapide de Fourier mono-dimensionnelle sphérique [Haagmans et al, 1993, Sideris

and She, 1995].


II-7-1 Première méthode : Approximation FHT plane Par l'approximation plane, la formule de Stokes peut s’écrire comme suit :

( ) ( ) ( ), , , 2

M 1 N -1

g l k i j N k i l ji 0 j=0

1N x y g x y l x x y y xπγ

−

∆=

= ∆ − −∑∑ y∆ ∆

avec :

( ) ( ) ( ) , , ,

, ,

-1 222k i l j k i l

N k i l j

k i l

j

j

x x y y x x yl x x y y

0 x

⎧⎡ ⎤− + − ≠ ≠⎪⎢ ⎥⎣ ⎦− − = ⎨⎪ = =⎩

y

x y y

)

où : ( ,l kx y est le point de calcul ; ( ,i j )x y est le point d’intégration ; γ est la pesanteur normale moyenne ; est l’anomalie résiduelle ; g∆ x∆ , y∆ sont les intervalles de la grille en x et . y

Cette intégrale peut être transformée dans le domaine de fréquence [Tziavos, 1993a] ; ainsi, la formule d’intégrale de Stokes peut s’écrire sous la forme d’un produit de convolution :

( ) ( ) ( ), , 2

,g l k i j N k lx yN x y g x y l x yπγ∆

∆ ∆= ∆ ∗

Le produit de convolution peut être évalué par 2D-FFT comme suit [Schwarz et al, 1990] :

( ) ( ){ } ( ){ }{ }, ,2

-1g k l k l N k l

x yN x y F F g x y F l x yπγ∆

∆ ∆= ∆ ,

( ) ( ) ( ){ }, ,2

-1g k l m n N m n

x yN x y F G u v L u vπγ∆

∆ ∆= ∆ ,

)

La singularité à l’origine ( x = 0, y = 0 peut être évaluée séparément comme suit [Sideris, 1996]:

( ) ( ), ,p p p px y

N x y g x yδγ π∆ ∆

≈ ∆

Pour évaluer la convolution, on peut également utiliser la transformée d’Hartley rapide. Du faite que cette transformée est réelle, elle permet de minimiser l’espace mémoire machine et permet également de réduire le temps d’exécution machine [Tziavos, 1993 a,b] :

( ) ( ) ( )1, ,2

-1g NN x y H G u v L u v

πγ∆ = ∆⎡ ⎤⎣ ⎦,


où : -1H est la transformée d’Hartley inverse ;

( ,u v)) )

sont les fréquences ;

( ,G u v∆ et ( ,NL u v sont les transformées d’Hartley de ( ),g x y∆ et ( ),Nl x y respectivement. II-7-2 Deuxième méthode : FFT Sphérique Multi-bande Il est possible de modifier la formule classique de Stokes sphérique pour qu’elle soit représentée sous forme de convolution bi-dimentionnelle, qui peut être efficacement évaluée par 2D-FFT. Cette modification repose sur l’utilisation de l’expression suivante [Sideris, 1996]:

sin sin sin cos cos2 2 2

p p2 2 2p

ϕ ϕ λ λψ ϕ ϕ− −

= +

en approximant le produit des cosinus en :

cos cos cos sin2

p2 2p

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

−≈ −

avec ϕ représente la latitude moyenne de la zone de calcul. Avec cette approximation l’intégrale de Stokes peut s’écrire sous la forme [Sideris, 1996] :

( ) ( ), , cos ( , N 1 M 1

g l k j i j l j k ij 0 i 0

RN g S4

, )ϕ λ ϕ λ ϕ ϕ ϕ λ λπγ

− −

∆= =

= ∆ − − ∆∑∑ ϕ ϕ λ∆

et en utilisant la donnée modifiée cosg ϕ∆ , la formule de Stokes peut alors s’écrire sous forme de convolution comme suit [Sideris, 1996] :

( ) ( ), , cos ( g l k l k l l kRN g S

4, , )ϕ λϕ λ ϕ λ ϕ ϕ

πγ∆

∆ ∆= ∆ ∗⎡ ⎤⎣ ⎦ λ ϕ

( ) ( ){ } { }{ }, , cos-1g l k l k l l k

RN F F g F S4

( , , )ϕ λϕ λ ϕ λ ϕ ϕ λ ϕπγ∆

∆ ∆= ∆

où : et sont la transformée de Fourier rapide bi-dimensionnelle directe et inverse respectivement.

F 1F −

La contribution du point singulier ( ),p pg ϕ λ∆ est évaluée séparément comme suit :

( ) ( ), ,p p p px y

N x y g x yδγ π∆ ∆

≈ ∆

Pour réduire l’espace mémoire machine et pour minimiser les erreurs liées à l’approximation du produit des cosinus, Forsberg et Sideris (1993) ont proposé de subdiviser la zone en n bandes étroites le long


de la direction des longitudes. Pour chaque bande, pϕ est considéré constante et égale à la latitude

moyenne de la bande nϕ :

( )sin sin sin cos cos2 2 2

p p2 2 2n n n

ϕ ϕ λ λψ ϕ ϕ ϕ ϕ− − ⎡ ⎤≈ + − −⎣ ⎦

( ) ( )sin sin sin cos cos cos sin sin2 2 2

p p2 2 2 2n n n n n

ϕ ϕ λ λψ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − ⎡ ⎤≈ + − + −⎣ ⎦

L’évaluation de la formule de Stokes pour chaque bande de latitude moyenne nϕ est donnée comme suit [Sideris, 1996]:

( ) ( ), , cos ( g l k l k l l k nRN g S

4, , )ϕ λϕ λ ϕ λ ϕ ϕ

πγ∆

∆ ∆= ∆ ∗⎡ ⎤⎣ ⎦ λ ϕ

Figure II-4 : Latitudes des bandes utilisées dans l’approche FFT multi-bande sphérique. (d’après Forsberg et Sideris, 1993) Notons que pour tous les points le long du parallèle de latitude moyenne, la solution exacte de l'intégrale de Stokes est obtenue. Par la subdivision de la zone de calcul en bandes chevauchantes de latitude moyenne nϕ , la solution combinée pour peut être obtenue par interpolation linéaire des

solutions obtenues pour deux consécutives bandes de latitude moyenne

N

nϕ et n+1ϕ :

( ) n 1 nn n

n n+1 n n+1

N Nϕ ϕ ϕ ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ+− −

= +− − +1N


II-7-3 Troisième méthode : 1D-FFT Cette méthode qui consiste à l’utilisation de la technique 1D FFT, est l’approche la plus exacte pour l’évaluation de l’intégrale de Stokes. Les résultats de cette méthode sont exactement identiques à ceux obtenus par l’intégration numérique [M. J. Sevilla, 1996]: La formule de Stokes peut s’écrire sous la forme [M. G. Sideris, 1996] :

( ) ( ) ( ), , cos , , , ,..., .4

N 1 M 1

l k j i j l j k i l 1 2 Nj 0 i 0

RN g Sϕ λ ϕ λ ϕ ϕ ϕ λ λ λ ϕ ϕ ϕπγ

− −

= =

⎡ ⎤= ∆ − ∆ ∆ =⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ϕ ϕ

Cette dernière formule peut être évaluée pour un parallèle par 1D-FFT comme suit [Haagmans et al., 1993] :

( ) ( ){ } ( ){ }, , cos , , , ,..., .4

N 1-1

l k 1 1 j k j 1 l j k l 1 2 Nj 0

RN F F g F Sϕ λϕ λ ϕ λ ϕ ϕ ϕ λ ϕπγ

−

=

⎧ ⎫∆ ∆= ∆ =⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ ϕ ϕ ϕ

où et représentent la transformée de Fourier rapide mono-dimensionnelle directe et inverse. 1F -1F Par cette méthode, nous obtenons l'ondulation du géoïde pour tous les points d’un parallèle. II-8 Adaptation du géoïde gravimétrique aux points GPS – nivelés Il est possible que le modèle géopotentiel utilisé ne soit pas le plus performant dans la région étudiée et introduit ainsi des perturbations à longue période : un décalage éventuellement assorti d’une inclinaison dans le géoïde gravimétrique calculé. C’est pourquoi il est préférable, si l’on dispose de points GPS - nivelés, d’adapter le géoïde à ces hauteurs géoïdales géométriques. Pour ce faire, on utilise une transformation de similitude à quatre paramètres ou toute autre technique adéquate, la valeur de ces paramètres ( , ,x y z∆ ∆ ∆ et un facteur d’échelle) n’ayant pas de signification particulière. Pour autant que les points GPS - nivelés soient de qualité, en nombre suffisant et bien répartis, le géoïde gravimétrique ainsi adapté peut être utilisé directement pour effectuer du nivellement par GPS. La précision du nivellement par GPS dépendra bien sur de la précision du géoïde gravimétrique, que la méthode de Stokes ne permet pas d’évaluer. Par contre, les résidus de l’ajustement aux points GPS - nivelés fournissent une mesure de l’adéquation des méthodes géométrique et dynamique sans toutefois les départager. Ils peuvent cependant mettre en évidence des erreurs grossières auxquelles la méthode géométrique est plus vulnérable. La méthode dynamique est moins sensible à ce genre de problème car ses résultats proviennent de l’intégration d’un très grand nombre de données. Il existe une autre technique de détermination du géoïde gravimétrique, appelée collocation, qui fournit une estimation de l’erreur ou plutôt de la cohérence interne des paramètres estimés. Elle soulève d’autres problèmes par la dimension des matrices utilisées lors des calculs.

Chapitre III : Détermination du géoïde gravimétrique sur l’Algérie du Nord 23

III-1 Introduction Le domaine choisi pour la détermination du géoïde gravimétrique par l’approche de Stokes en fonction de la densité des données gravimétriques, s’étend de 0º à 8º en longitude, 34º à 37º en latitude. La démarche de calcul repose sur la technique de Retrait-Restauration décrite dans le chapitre précédent. Nous nommerons le géoïde déterminé Gravi-N.

Figure III-1 : Domaine de calcul du géoïde gravimétrique et répartition géographique des données

gravimétriques. III-2 Données utilisées III-2-1 Modèle géopotentiel global Le modèle géopotentiel utilisé est l’EGM96 (Earth Geopotential Model - 1996) développé jusqu’au degré et ordre 360. Il est généralement admis comme potentiel de référence pour ce genre d’application. Le modèle EGM96 est le plus récent et fut construit par la NASA, la NIMA et l’OSU. Celui-ci englobe toutes les informations gravimétriques disponibles par blocs de 30' x 30' dans les régions océaniques, Amérique du Nord, Europe, Australie et Indes. Sa principale différence par rapport aux modèles géopotentiels globaux antérieurs est qu'il englobe également des données enregistrées dans l'ancienne Union Soviétique, en Amérique de Sud et en Afrique [Lemoine et al, 1997]. Le modèle EGM96 contient les coefficients harmoniques de potentiel et les erreurs moyennes de celles-ci, dont les degrés et ordres de dérivées furent calculés respectivement de 2 à 360 et de 0 à 360. La constante gravitationnelle géocentrique et le rayon équatorial employés sont [NIMA, NASA, OSU, 1996] : et . 8 3 -2GM = 3 986 004.415 10 m s a = 6 378 136.3 m III-2-1 Données gravimétriques Les données gravimétriques utilisées sont fournies par le BGI. Il s’agit de 2009 points gravimétriques réparties sur la zone d’étude, dont la précision à priori de 5 mGal [S. Ben Ahmed Daho].


Figure III-2 : Répartition géographique de l’ensemble des données gravimétriques du BGI. III-2-3 Modèle numérique de terrain Le calcul des effets de la topographie nécessité l’existence d’un modèle numérique de terrain de haute résolution. A cette fin et par manque d'un MNT précis sur l’Algérie, un modèle à été généré à partir des informations altimétriques liées aux observations gravimétriques fournies par le BGI ; ceci signifie que ce MNT n’est pas plus homogène que la répartition des stations gravimétriques et comporte les même lacunes. C’est bien évidemment un handicap pour une solution définitive de géoïde. III-3 Principaux programmes utilisés Les différents programmes utilisés pour l’application de la détermination du géoïde gravimétrique sont : Gravt_gm (programme écrit par Yecai Li, 1994)

Ce programme calcule les hauteurs du géoïde, le potentiel perturbateur, les anomalies de pesanteur et les composantes de la déviation de la verticale en utilisant un modèle géopotentiel global. TCFOUR (programme écrit par Tscherning et al., 1994)

Ce programme calcul la correction de terrain et les effets de la topographie en utilisant les transformées de Fourier des noyaux des fonctions. IND (programme écrit par Sideris, 1994)

Ce programme calcule l’effet indirect sur l’ondulation en utilisant la méthode de la FFT mono-dimensionnelle. FFTGEOID (programme écrit par Sideris, 1994)

Ce programme transforme les anomalies de pesanteur via la formule de Stokes en ondulations géoïdales. La technique utilisée est la FFT-1D. INT (programme écrit par Yecai Li, 1992)

Programme d'interpolation par la méthode de l'inverse de la distance.


III-4 Géoïde déterminé et points GPS nivelés Pour mettre en évidence la précision du modèle du géoïde gravimétrique déterminé, une comparaison externe est indispensable. Les hauteurs géoïdales calculées par voie gravimétrique sont comparées aux ondulations du géoïde dérivées à partir des observations GPS et de nivellement de précision (points GPS nivelés) tel que :

( )GPS nivellementN h− = −H où : h est la hauteur ellipsoïdique obtenue par GPS et H est l’altitude orthométrique déterminée par nivellement. L’adaptation du géoïde déterminé aux auteurs géoïdales géométriques des points GPS nivelés est effectuée par une transformation à quatre paramètres [Heiskanen et Moritz 1967, Sideris 1992]:

0 1 2 cos cos cos sin sin

GPS Géoide GPS nivellement Géoidei i i i i

i i i i i

N N h H Nb b bϕ λ ϕ λ ϕ

− = − −= + + + 3 ib v+

où : sont les paramètres de transformation déterminés par les moindres carrés ; ( , , , )0 1 2 3b b b b( , )i iϕ λ sont la longitude et la latitude géodésiques et est le résidu pour chaque station . iv i III-5 Méthodologie du traitement adoptée Les différentes phases du traitement de données pour la détermination du géoïde gravimétrique par l’approche de Stokes sont données comme suit : 1- Génération d'un MNT à partir des élévations des données gravimétriques (fichier BGI -.eol-). 2- Calcul par point des anomalies à l'air libre : FA mes atm 0g g g Fδ γ∆ = + + − 3- Calcul par point des anomalies à l'air libre à partir du modèle géopotentiel global EGM96 :

GMg∆4- Calcul par point des anomalies réduites: FA GMg g g∆ = ∆ −∆ . 5- Calcul de la correction topographique sous format d'une grille: hg A cδ∆ = − = − . 6- Interpolation de la correction topographique aux points gravimétriques. 7- Calcul par point des anomalies résiduelles : FA GM hg g g g∆ = ∆ −∆ −∆ . 8- Génération d'une grille d'anomalies résiduelles.

9- Intégration de Stokes: ( ) ( ), , ( , , , ) cos 4g p p p p

E

RN g S d dϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕπγ∆ = ∆∫∫ ϕ λ par la

technique 1D-FFT. 10- Calcul de l'ondulation géoïdale à partir du modèle géopotentiel global: . GMN11- Calcul de l'effet indirect sur la topographie: . hN12- Restauration de l'ondulation géoïdale : GM g hN N N N∆= + + . 13- vérification des ondulations obtenues aux points GPS nivelés.


III-6 Traitement et Analyse Zone d’étude choisie en fonction de la densité des données gravimétriques: 0 8λ≤ ≤o o ,

; 34 37ϕ≤ ≤o o

Nombre de points gravimétriques utilisés : 2009 ; Pas de calcul : 5 x 5 minutes. Les résultats statistiques des différentes étapes du traitement sont présentés comme suit :

Elévation

Valeur min. (m)

Valeur max. (m)

Moyenne (m)

Déviation Standard (m)

Fichier - BGI 1.989 1526.2 613.892 382.237

Anomalies

Valeur min. (mGal)

Valeur max. (mGal)

Moyenne (mGal)

Déviation Standard (mGal)

FAg∆ -147.427 165.265 28.3783 32.4907

GMg∆ -81.918 94.961 34.2466 25.5303 gh∆ 0.085 5.758 0.519368 0.636519

FA GM hg g g∆ = ∆ − ∆ − ∆g

-176.294 113.463 -5.4079 25.4192

Composante de l'ondulation du

géoïde

Valeur min. (m)

Valeur max. (m)

Moyenne (m)


GMN 29.706 50.389 43.5806 4.88727

hN -0.127 0.000 -0.0297395 0.0262082

gN∆ -1.765 3.02 -0.241305 0.87082 Ondulation du géoïde finale

Valeur min. (m)

Valeur max. (m)

Moyenne (m)


GM h gN N N N∆= + + 29.505 50.272 43.3095 5.21317 Tableau III-1: Résultats statistiques des différentes étapes de la détermination du géoïde gravimétrique. Les résultats du traitement sont illustrés par les figures suivantes :


0 1 2 3 4 5 6 7 834

35

36

37

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

Figure III-1 : Anomalie à l'air libre, en mGal.

0 1 2 3 4 5 6 7 834

35

36

37

-90-80-70-60-50-40-30-20-100102030405060708090100110

Figure III-2 : Anomalies résiduelles, en mGal.


0 1 2 3 4 5 6 7 834

35

36

37

29303132333435363738394041424344454647484950

Figure III-3 : Ondulations du géoïde (Modèle EGM96), en mètre.

0 1 2 3 4 5 6 7 834

35

36

37

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figure III-4 : Ondulations du géoïde réduite, en mètre.


0 1 2 3 4 5 6 7 834

35

36

37

29303132333435363738394041424344454647484950

Figure III-5-1 : Ondulations du géoïde Gravi-N finales, en mètre.

29303132333435363738394041424344454647484950

Figure III-5-2 : Ondulations du géoïde Gravi-N finales en 3D, en mètre.


La vérification externe s'est effectuée par rapport à quatre points GPS nivelés : 17 points pour le calcul des paramètres de la transformation et 12 points pour contrôle. La répartition géographique est représentée dans la figure suivante :

Figure III-6 : Répartition géographique des points GPS-nivelés. Les différences entres les ondulations obtenues à partir des points GPS-nivelés avec celles obtenues à partir du géoïde gravimétrique sont illustrées dans le tableau suivant :

Num Point N-GPS (m) N-Géoide (m) Différence (m) 1002 45.797 46.890 -1.093 1003 45.798 47.002 -1.204 1004 45.790 46.841 -1.051 1008 45.805 46.474 -0.669 1009 45.798 47.356 -1.558 1010 45.798 47.326 -1.528 1011 45.798 47.356 -1.558 1013 45.820 46.495 -0.675 1016 45.819 46.450 -0.631 1018 45.823 46.543 -0.720 1019 45.827 46.630 -0.803 1020 45.844 46.593 -0.749 1021 45.848 46.677 -0.829 0003 47.507 49.315 -1.808 0004 47.595 49.315 -1.720

Différence minimale : -0.631 m Différence maximale : -1.808 m Tableau III-2 : Comparaison entre les ondulations géoïdales.


Les paramètres de la transformation et leurs RMS sont donnés dans le tableau suivant :

0b 1b 2b 3b -1831.133000 -60.189850 -1271.317000 2227.015000

RMS 0b RMS 1b RMS 2b RMS 3b411.867400 18.269380 284.507500 500.486800

Tableau III-3: Paramètres de la transformation d’adaptation du géoïde déterminé. Les différences au points de contrôle entres les ondulations obtenues à partir des points GPS-nivelés avec celles obtenues à partir du géoïde gravimétrique adapté sont illustrées dans le tableau suivant :

Num Point N-GPS (m) N-Géoide adaptée (m) Différence (m) 1001 45.797 45.706 0.091 1005 45.791 45.762 0.029 1006 45.792 45.744 0.048 1007 45.792 45.752 0.040 1012 45.798 46.048 -0.250 1014 45.819 45.780 0.039 1015 45.822 45.815 0.007 1017 45.819 45.781 0.038 1022 45.845 45.666 0.179 2010 34.388 34.476 -0.088 0001 45.928 45.984 -0.056 0002 46.709 46.561 0.148

Différence minimale : 0.007 m. Différence maximale : -0.250 m. Tableau III-4: Comparaison des ondulations géoïdales après adaptation aux points de contrôle. Malgré l’imperfection des données gravimétriques du BGI (précision de l’ordre de 5 mgal) qui ont servi à ce calcul du géoïde gravimétrique, la non disponibilité d’un MNT précis sur l’Algérie et l’insuffisance d’une couverture idéale de points GPS-nivelés, on peut considérer que la précision décimétrique est atteinte vu les différences au points de contrôle entres les ondulations géoïdales obtenues à partir des points GPS-nivelés avec celles obtenues à partir du géoïde gravimétrique adapté: différence entre -0.250 m et 0.007 m.

Chapitre IV : La mission Topex/Poseidon 32

IV-1 Introduction : Développement de l’altimétrie spatiale L’altimétrie spatiale s’est développée dès la fin des années 70 avec les missions Geos 3 (1975), Seasat (1978) puis Geosat (1985-1989). L’essentiel des études basées sur ces missions a concerné la mesure du géoïde marin et les applications à la structure de la lithosphère océanique et du manteau supérieur. Au début de la décennie 1990, se sont développées les premières applications océanographiques de l'altimétrie grâce aux missions franco-américaine Topex/Poseidon (1992-) et européenne ERS-1 (1991-) et ERS-2 (1995-) [Lettre du CNES, nº 139]. De nombreux travaux sur les différentes corrections géophysiques (marées, troposphère, pente pour les surfaces continentales et surtout sur le calcul de l'orbite du satellite) ont permis d’améliorer de façon spectaculaire la précision de détermination de la hauteur instantanée de la mer, ouvrant de nombreux champs d'application en océanographie. En décembre 2001, a été lancé le successeur de Topex/Poseidon : JASON-1. Cette mission altimétrique aux caractéristiques similaires à celle de Topex/Poseidon permet d'obtenir de longues séries temporelles de la hauteur de la mer, très utiles pour étudier des signaux inter annuels associés aux événements El Niño ou encore à l'oscillation Nord Atlantique, ainsi que l'évolution du niveau moyen global de la mer. La plate-forme européenne ENVISAT lancée en mars 2002, contribue aussi à cet objectif. IV-2 La mission Topex/Poseidon En mars 1987, le CNES signe un accord avec la NASA pour la réalisation de la mission d’océanographie spatiale Topex/Poseidon, lancé le 10 août 1992 par la fusée Ariane. Ce satellite permet l’étude altimétrique des océans grâce à un radar altimètre et un système de positionnement Doris très performant embarqué en complément au récepteur GPS et au réflecteur Laser. Cette mission est la première de son genre où l’on a cherché à obtenir une très grande précision sur la détermination du mouvement orbital du satellite : en moyenne 5 à 10 cm sur la composante radiale. Il est ainsi possible de mesurer avec une précision centimétrique les moindres variations de hauteur du niveau de la mer [Aviso User Handbook, 1996].

Figure IV-1 : Le satellite Topex/Poseidon - Source d’image : Aviso


IV-3 Caractéristiques de Topex/Poseidon IV-3-1 Caractéristiques générales de Topex/Poseidon

Altitude 1336 km ; Orbite circulaire inclinée à 66° ; Poids : 2,4 tonnes ; Une période de 112 minutes ; Cycle orbital de 10 jours ; Couvre 90% des océans ; 50 000 mesures par jour ; Une carte globale du niveau des océans tous les 10 jours.

IV-3-2 Caractéristique des instruments de Topex/Poseidon Le satellite Topex/Poseidon emporte une série de six instruments réalisés par les Etats-Unis et la France (Tableau IV-1). L'énergie est fournie par un panneau solaire de 25 m2.

Instrument

Objectif

Fréquence

Précision

Poids

Puissance

NRA, Altimètre radar

bi-fréquence Origine : NASA

Mesure la hauteur du satellite par rapport à la mer, la vitesse du vent, la hauteur des vagues et la correction ionosphérique

13,6 GHz 5,3 GHz

2,4 cm sur la

hauteur

206 kg

237 W

TMR, Radiomètre micro-onde

Topex Origine : NASA

Mesure le contenu en vapeur d'eau le long du trajet altimétrique pour correction.

18 GHz 21 GHz 37 GHz

0,2g/cm2

(densité de vapeur d'eau)

50 kg

25 W

LRA, Réflecteurs laser Origine : NASA

Utilisé avec des stations au sol pour calculer l'orbite et calibrer les mesures altimétriques

2 cm

sur les mesures

29 kg

SSALT, altimètre à état solide mono-

fréquence, Poseidon

Origine : CNES

Mesure la hauteur du satellite par rapport à la mer, la vitesse du vent et la hauteur des vagues

13,65 GHz

2,5 cm sur la

hauteur

23 kg

49 W

Récepteur d'orbitographie

DORIS Origine : CNES

Reçoit les signaux de stations au sol pour le calcul d'orbite et la correction ionosphérique

401,25 MHz

2036,25 MHz

5 cm

sur l'orbite

43 kg

21 W

Récepteur GPS Origine : NASA

Reçoit des signaux d'autres satellites et de stations au sol pour l'orbitographie précise

1227,6 MHz1574,4 MHz

10 cm

sur l'orbite

28 kg

29 W

Tableau IV-1 : Caractéristique des équipements embarqués [Aviso User Handbook, 1996].


IV-4 Diffusion et archivage des données Les centres de contrôle TGS de la NASA/JPL et CCDP du CNES produisent à partir des mesures instrumentales de l’altimètre Topex pour le premier et Poseidon pour le second, les «Geophysical Data Records» correspondants. Ces GDR contiennent essentiellement des données de type géophysique intégrant les mesures altimétriques, les corrections d’environnement classiques obtenues par différents types d’algorithmes, la hauteur significative des vagues, les coefficients de rétro-diffusion et les paramètres d’orbite. Pour le CNES, ces données sont diffusées sur CD-ROM aux équipes scientifiques par AVISO. IV-5 Modélisation IV-5-1 Principe de calcul du niveau de la mer Le radar altimètre embarqué à bord d'un satellite émet un signal à très haute fréquence à la verticale de celui-ci en direction du sol, et reçoit en retour l'écho réfléchi par la surface de la mer. L'analyse de l'écho permet d'extraire une mesure très précise du temps de trajet aller-retour entre le satellite et la surface de la mer. Ce temps est ensuite transformé en distance par simple multiplication par la vitesse de la lumière, vitesse à laquelle se propagent les ondes électromagnétiques émises. La hauteur de la mer est donc égale à la différence entre la distance satellite-surface et la position du satellite par rapport à l’ellipsoïde de référence.

Figure IV-2 : Principe géométrique de l’altimétrie - Source d’image : Aviso Le niveau des mers n'est obtenu qu'après correction des mesures altimétriques des erreurs instrumentales, de propagation (Ionosphérique et Troposphérique) et géophysiques (marée, baromètre inverse,...)


IV-5-2 Erreurs Instrumentales Les erreurs d’origines instrumentales sont dues essentiellement aux effets liés à la géométrie du satellite, aux erreurs d’orbite du satellite et au délai de transmission dans les circuits électroniques. L’effet de l’erreur orbitale est directement visible au niveau des recoupements entre traces de mesures ascendantes et descendantes (points de croisement). Il est à noter que les données altimétriques Topex/Poseidon fournies par « GDR-M science data record » sont corrigées de toutes erreurs instrumentales, sauf de l’effet du déplacement du centre de gravité qui est une conséquence du mouvement solaire [Aviso User Handbook, 1996]. IV-5-3 Erreurs de propagation Les mesures d'altimétrie radar nécessitent de tenir compte avec soin des effets atmosphériques, qu'ils soient dus à la Troposphère (0 à 50 Km d’altitude) ou à l’Ionosphère (50 à 1000 Km d’altitude). La vapeur d'eau absorbe en effet les rayonnements micro-ondes et retarde les impulsions radar. Topex/Poseidon possède donc un radiomètre micro-onde qui effectue des mesures simultanées des concentrations en vapeur d'eau de l'atmosphère. Leur effet peut ainsi être calculé et retranché des données. De même, les électrons libérés par l'ionisation des gaz de la haute atmosphère, sous l'effet du rayonnement solaire, produisent un retard sur le temps de trajet des micro-ondes. Ce délai ionosphérique dépend de la fréquence des micro-ondes utilisées. Il peut être corrigé par l'utilisation d'un radar à deux fréquences, c'est la solution choisie par les Américains pour l’altimètre Topex, ou par un modèle issu de mesures bi-fréquences, c'est la solution choisie par le CNES pour l’altimètre Poseidon grâce au système d'orbitographie Doris. La correction troposphérique est donnée comme suit [Rummel, 1993] :

( )5

5

Composante sèche : _ 2.227 10 1 0.0026 cos(2 )

1255Composante humide : _ 2.227 10 0.05

S

SS

Dry Corr P

Wet Corr ET

ϕ= +

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

où : ϕ est la latitude ;

SP est la pression au niveau de la mer en Pascal ;

SE est la pression partielle de la vapeur d’eau ;

ST est la température en º Kelvin. La correction ionosphérique pour un altimètre bi-fréquence est donnée comme suit [Rummel, 1993] :

2 21 2

2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2

40.2 40.2_ - f fE EIono Corr f f f f f f

=− −

où: représente le contenu total en électron ; E

1 et 2f f les fréquences.


IV-5-4 Erreurs Géophysiques IV-5-4-1 Vitesse du vent La vitesse du vent est déduite de l'intensité de l'impulsion réfléchie par la surface de l'océan. Le vent agit sur les mini-vagues superficielles. Plus le vent est fort et plus l'énergie sera dispersée dans toutes les directions lors de la réflexion, l'écho sera donc plus faible. La mesure de l'énergie de l'écho donne accès à la vitesse du vent (mais pas à sa direction). Le modèle fonctionnel de calcul de la vitesse du vent est donné par [Chelton and Wentz, 1991] :

( )4

0

nn ob

nU a σ

=

=∑

où :

U est la vitesse du vent en m/s obσ est le coefficient de dispersion biaisé (biased backscatter coefficient) :

0ob dσ σ= + σ en décibels

0σ est le coefficient de dispersion (backscatter coefficient) dσ est le biais qui est ajouté pour adapter les données Geosat. La valeur du biais est la même pour les altimètres Topex et Poseidon.

0.63 d dBσ = − Les coefficients polynomiaux sont définis d’après le tableau suivant [Aviso User Handbook, 1996]:

0 1 2 3 4, , , et a a a a a

U limites

obσ limites 0a 1a 2a 3a 4a > 7.30U < 10.8obσ 51.045307042 -10.982804379 1.895708416 -0.174827728 0.005438225

0.01 7.30U≤ ≤ 10.8 19.6obσ≤ ≤ 317.474299469 -73.507895088 6.411978035 -0.248668296 0.003607894= 0.0U 19.6 < obσ 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Tableau IV-2 : Coefficients polynomiaux pour le calcul de la vitesse du vent. IV-5-4-2 Biais de l’état de la mer La hauteur des vagues influe sur la forme de l'impulsion réfléchie vers l'altimètre. Une mer calme avec des petites vagues renvoi une impulsion "concentrée", alors qu'une mer agitée par de hautes vagues retourne un signal plus élargi. Cet effet dépendant de l’état de la mer appelé « biais de l’état de la mer », peut être estimé en fonction de la fréquence du radar à l’aide de la hauteur significative des vagues et de la vitesse du vent. L’estimation de ce biais dans la bande Ku d’après le modèle empirique « BM4 » est donnée comme suit [Gaspar et al., 1994 et Chelton, 1994] :

[ ] [ ] [ ]( )21 2 3 4 Ku KuSSB SWH a a U a U a SWH= + + + Ku (Bande Ku : 13.6 GHz)


où : [ ]KuSSB est le biais de l’état de la mer en mètres (Bande Ku) ;

U est la vitesse du vent, en m/s, (Bande Ku) ; [ ]KuSWH est la hauteur significative des vagues, en mètre (Bande Ku).

L’estimation des paramètres est donnée dans le tableau suivant [Gaspar et al., 1996] : ia 1a 2a 3a 4a Topex -0.0203 -0.00369 0.000149 0.00265 Poseidon -0.0539 -0.00225 0.000097 0.00183 Tableau IV-3 : Estimation des paramètres pour le calcul du biais électromagnétique ia Une seconde évaluation de SSB dans les deux bandes Ku et C a été choisie par la NASA pour l’altimètre Topex. Cette évaluation sous forme d’une série d’ordre deux montre les diverses dépendances possibles entre les observables altimétriques [Aviso User Handbook, 1996] : Bande Ku : 13.6 GHz

0.522 2[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]

KuKu Ku Ku Ku Ku Ku Ku Ku Ku Ku Ku Ku

Ku

USSB SWH a b SWH c U d r e SWH f USWH⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= − + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Bande C : 5.3 GHz

0.522 2[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]

CC C C C C C C C C C C C

C

USSB SWH a b SWH c U d r e SWH f USWH⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= − + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Tel que :

SSB est le biais de l’état de la mer en mètres (Bande Ku et C) ; SWH est la hauteur significative des vagues, en mètres (Bande Ku et C) ; U est la vitesse du vent, en m/s, (Bande Ku et C) ; r est proportionnellement constant : 0.026r =

2 Ur représente le que la vitesse du vent génère [Mognard et al., 1982] ; SWH

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], , , , ,Ku Ku Ku Ku Ku Kua b c d e f sont les constantes de calibration pour la bande Ku ;

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], , , , ,C C C C C Ca b c d e f sont les constantes de calibration pour la bande C : a b c d e f Topex (Ku) 0.0029 0.0 0.0038 0.0 0.0 - 0.00015 Topex (C) 0.0038 0.0 0.0038 0.0 0.0 - 0.00013 Tableau IV-4 : Constantes de calibration pour les bandes Ku et C [Aviso User Handbook, 1996].


IV-5-4-3 Effet barométrique inverse La surface de la mer tend à répondre hydrostatiquement aux variations de la pression atmosphérique. Cette correction instantanée est calculée à partir de la pression au niveau de la mer qui est obtenue indirectement via la correction Troposphérique sèche [Aviso User Handbook, 1996] :

( ) ( )( )( )6_ _ 2.277 1 0.0026 cos 2 _ 1.10 180.0P atm Dry Corr Lat Tra π−⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

où :

P_atm est la pression au niveau de la mer en mbar ; Dry_Corr est la correction Troposphérique sèche en mm ; Lat_Tra représente la latitude géodésique.

La correction barométrique inverse est alors : ( )_ 9.948 _ 1013.3Inv Bar P atm= − − , en mm. IV-5-4-4 Marée Océanique Elle représente la réponse de l’océan aux mouvements de la lune, du soleil et des autres planètes. Elle se traduit par un transport des masses d’eau. Cette correction est calculée à partir de modèles globaux de marée : CSR 3.0 de l’Université de Texas, USA ou le modèle FES 95.2 de l’Université de Grenoble, France [Aviso User Handbook, 1996]. IV-5-4-5 Marée terrestre La Terre solide répond aux forces de gravitation externes de la même façon que les océans. La Terre répond assez vite et peut être considérée en équilibre avec la marée générée par les forces externes. Alors, la surface est parallèle avec la surface équipotentielle et la hauteur de marée est proportionnelle au potentiel. La proportionnalité est caractérisée par un coefficient appelé nombre de Love. Cet effet est calculé en utilisant les tables de Cartwright et Taylor [Aviso User Handbook, 1996]. IV-5-4-6 Marée polaire L’axe de rotation de la terre oscille autour de sa direction nominale avec une période apparente de 12 à 14 mois. Ceci crée une force centrifuge additionnelle qui déplace la surface. Cet effet est indiscernable des marées. L’effet de marée polaire est calculé facilement en connaissant la position du pôle [Wahr, 1985] :

( ) ( )( )_ 69.435sin(2 _ ) cos _ sin _Pole Pole avg Pole Pole avgH Pole Lat Tra x x Lon Tra y y Lon Tra− −= − − + −

où: H_Pol : marée polaire en mm ; Lon_Tra, Lat_Tra : longitude et latitude géodésiques du point de mesure ; xpôle, ypôle : position du pôle ; xpôle_avg = 0.042 arc sec ; ypôle_avg = 0.293 arc sec.

Chapitre V : Détermination du géoïde altimétrique sur la Méditerranée 39

V-1 Introduction Nous allons évaluer les hauteurs du géoïde altimétrique à partir des données Topex/Poseidon, sur une zone recouvrant largement la Méditerranée : zone comprise entre et

. Nous nommerons ce géoïde Topex-N.

º º30 50ϕ≤ ≤º10 45λ− ≤ ≤ º

V-2 Données brutes utilisées Pour cette application, les données utilisées sont celles fournies par Aviso sur CD MERGED TOPEX/POSEIDON, Numéro du volume : AVMGD_122_2, contenant les cycles Topex/Poseidon 365 et 366. Chaque cycle sera traité indépendamment de l’autre, par suite une combinaison des deux sera effectuée. Les passages des cycles 365 et 366 correspondants sont illustrés dans les deux tableaux suivants :

Num. du jour Jour calendrier Jour julien Passage 1 11 / 08 / 2002 16293 1-15 2 12 / 08 / 2002 16294 16-40 3 13 / 08 / 2002 16295 41-65 4 14 / 08 / 2002 16296 66-92 5 15 / 08 / 2002 16297 93-117 6 16 / 08 / 2002 16298 118-142 7 17 / 08 / 2002 16299 143-168 8 18 / 08 / 2002 16300 169-194 9 19 / 08 / 2002 16301 195-220 10 20 / 08 / 2002 16302 221-245 11 21 / 08 / 2002 16303 246-254

Tableau V-1: Passages du cycle Topex/Poseidon n° 365.

Num. du jour Jour calendrier Jour julien Passage 1 21 / 08 / 2002 16303 1-17 2 22 / 08 / 2002 16304 18-42 3 23 / 08 / 2002 16305 43-68 4 24 / 08 / 2002 16306 69-93 5 25 / 08 / 2002 16307 94-119 6 26 / 08 / 2002 16308 120-145 7 27 / 08 / 2002 16309 146-171 8 28 / 08 / 2002 16310 172-196 9 29 / 08 / 2002 16311 197-222 10 30 / 08 / 2002 16312 223-247 11 31 / 08 / 2002 16313 248-254

Tableau V-2 : Passages du cycle Topex/Poseidon n° 366. Les données brutes de chacun des deux cycles en format binaire / VAX comportent :

les fichiers d’enregistrements géophysiques « GDR-M passfiles » ; le fichier des points de croisement « Crossover point file » ; les fichiers d’éphémérides CNES et NASA « Orbit ephemeris files ».


Figure V-1 : Traces du satellite Topex/Poseidon couvrant la Méditerranée. V-3 Passages traités Les passages par cycle couvrants le domaine de calcul et disponibles sur le CD AVMGD_122_2 sont : Cycle 365

Arcs ascendants : Mgd365.007, Mgd365.009, Mgd365.033, Mgd365.035, Mgd365.061, Mgd365.083, Mgd365.085, Mgd365.109, Mgd365.111, Mgd365.135, Mgd365.137, Mgd365.159, Mgd365.161, Mgd365.163, Mgd365.185, Mgd365.187, Mgd365.211, Mgd365.213, Mgd365.237 et Mgd365.239.

Arcs descendants : Mgd365.018, Mgd365.020, Mgd365.042, Mgd365.044, Mgd365.068,

Mgd365.070, Mgd365.094, Mgd365.096, Mgd365.120, Mgd365.122, Mgd365.144, Mgd365.146, Mgd365.170, Mgd365.172, Mgd365.196, Mgd365.198, Mgd365.220, Mgd365.222, Mgd365.246 et Mgd365.248.

Cycle 366

Arcs ascendants : Mgd366.083, Mgd366.085, Mgd366.109, Mgd366.111, Mgd366.135, Mgd366.137, Mgd366.159, Mgd366.161, Mgd366.163, Mgd366.185, Mgd366.187, Mgd366.211, Mgd366.213, Mgd366.237 et Mgd366.239.

Arcs descendants : Mgd366.068, Mgd366.070, Mgd366.094, Mgd366.096, Mgd366.120,

Mgd366.122, Mgd366.144, Mgd366.146, Mgd366.170, Mgd366.172, Mgd366.196, Mgd366.198, Mgd366.220, Mgd366.222, Mgd366.246 et Mgd366.248.


V-4 Lecture des données Du fait que la division de Géodésie / CNTS ne disposait pas de station UNIX avec un environnement adéquat, la lecture des données des CD MERGED TOPEX/POSEIDON et leur exploitation était pratiquement impossible. Pour résoudre ce problème, nous étions obligés d’écrire un programme qui déroule sous l’environnement Windows, capable de lire et de transformer le format des données. Ce programme nommé Read-Top V1.0 et écrit avec le compilateur Fortran PowerStation 4.0 est basé sur les sous-programmes de lecture Aviso sous système Unix.

Figure V-2 : Fenêtre d’exécution du programme Read-Top V1.0 Lors de l’exécution du programme, l’utilisateur aura la possibilité de lire :

GDR-M passfiles à l’aide du sous-programme DATA - Read-Top V1.0 ; Crossover point à l’aide du sous-programme CROS - Read-Top V1.0; Orbit ephemeris files à l’aide du sous-programme EPHE - Read-Top V1.0.


Les deux figures suivantes qui sont établies à partir des fichiers ´´ Crossover point file ´´ : Mgd365.xng et Mgd366.xng montrent les points de croisement Topex/Topex validés par le CNES.

Figure V-3 : Localisation des points de croisement – Cycle 365 Nombre de points : 3572

Figure V-4 : Localisation des points de croisement – Cycle 366 Nombre de points : 2583


La figure suivante établie à partir du fichier ´´Orbit ephemeris file – CNES ´´ : Mgd365.epc, illustre la trajectographie du satellite, ainsi que les zones de couvertures.

Figure V-5 : Trajectographie du satellite Topex/Poseidon Qualité d’orbite Cycle 365 et 366 : C (Précise et ajustée) V-5 Calcul de la hauteur du géoïde altimétrique V-5-1 Modèle de calcul utilisé La formule utilisée pour la calcule de la hauteur du géoïde altimétrique est donnée comme suit :

_ _ _ _

- _ - _ _ _ 1 _ _ _ _ _

_CG Range Corr Dry Corr Wet Corr

N H Alt Iono Cor SSB Corr k INV BarH Eot FES H Set H Pol

Hp Sat+ +

= + + +

+ + +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Tel que :

N : Hauteur du géoïde altimétrique ; _Hp Sat : Altitude CNES du satellite par rapport à l’ellipsoïde de référence GRS80 ;

_H Alt : Altitude du satellite par rapport à la surface de la mer ; _ _CG Range Corr : Correction de l’effet de déplacement du centre de gravité ; _Dry Corr : Correction Troposphérique, composante sèche _Wet Corr : Correction Troposphérique, composante humide ; _Iono Cor : Correction Ionosphérique ; _ _SSB Corr k1 : Biais de l’état de la mer calculé d’après le modèle BM4 dans la Bande Ku ; _INV Bar : Effet barométrique inverse ;

_ _H Eot FES : Marée océanique calculée d’après le modèle FES 95.2 ; _H Set : Marée terrestre ; _H Pol : Marée polaire.


V-5-2 Programme de Traitement Un programme regroupant toutes les étapes du traitement nommé Topex-DZ V1.0, à été écrit avec le compilateur Fortran PowerStation 4.0. Les subroutines principales de ce programme sont :

Filtre-N : Calcule et filtre la hauteur du géoïde altimétrique ; Point-CR : Détermine la position des points de croisement et les différences de la hauteur du

géoïde altimétrique aux points de croisement ; Correc-N : Ajuste les données des arcs selon les différences de la hauteur du géoïde

altimétrique aux points de croisement. L’ajustement des données se fait d’après la méthode d’interpolation polynomiale.

Figure V-6 : Fenêtre d’exécution du programme Topex-DZ V 1.0 Pour notre application, chacun des deux cycles (365 et 366) est traité indépendamment de l’autre. Par suite une combinaison des deux cycles sera effectuée. Il est à noter que la tolérance sur l’écart de la hauteur du géoïde altimétrique par rapport aux géoïdes OSUMSS95 et JGM3/OSU91A (données disponibles sur les CD MERGED TOPEX/POSEIDON) avant d’apporter les corrections des différences aux points de croisement est prise égale à 1m. ____________ OSUMSS95 : Surface moyenne de la mer calculée à partir des données altimétriques d’une année Topex, une année ERS 135-day, une année Geosat ERM et le premier cycle de ERS1 168-day. JGM3/OSU91A : Modèle de géopentiel global combiné entre JGM3 au degré 70 et l’OSU91A du degré 71 au degré 360.


V-5-3 Résultat du traitement et analyses Cycle 365 Statistiques sur le traitement sans correction d’orbite

Nombre d’arcs traités : 40 Nombre de points total : 4161 Nombre de points retenus : 3814 Taux de rejet : 8.34 % Différence minimale par rapport à OSUMSS95 : -0.99 m Différence maximale par rapport à OSUMSS95 : 0.64 m Différence minimale par rapport à JGM3/OSU91A : -1.00 m Différence maximale par rapport à JGM3/OSU91A : 1.00 m RMS par rapport à OSUMSS95 : 0.09 m RMS par rapport à JGM3/OSU91A : 0.44 m

Points de croisement

Nombre de points Différence Min. (m) Différence Max. (m) 43 -0.12 0.22

Arc ascendant

Arc

descendant

Latitude

(º)

Longitude

(º)

Hauteur du géoïde

(m)

Diff. entre arc ascendant et

arc descendant(m)

Mgd365.007 Mgd365.094 32.365762 28.349693 10.333272 0.002822 Mgd365.007 Mgd365.170 34.793333 29.750600 5.876430 0.059913 Mgd365.009 Mgd365.070 39.211391 4.255565 46.236211 0.098335 Mgd365.009 Mgd365.146 41.154831 5.663373 45.451881 0.128982 Mgd365.009 Mgd365.222 42.936558 7.054734 45.879070 -0.088380 Mgd365.009 Mgd365.248 37.015310 2.783162 44.523923 0.081139 Mgd365.033 Mgd365.094 39.210745 24.097619 40.128891 0.128391 Mgd365.033 Mgd365.120 32.361750 19.843740 29.571020 0.025500 Mgd365.033 Mgd365.196 34.781000 21.239200 17.485900 0.049960 Mgd365.035 Mgd365.198 34.782017 -7.106790 40.956060 0.027713 Mgd365.083 Mgd365.170 32.334786 31.167686 17.963286 -0.024196 Mgd365.085 Mgd365.044 42.980077 9.924750 48.407125 0.005827 Mgd365.085 Mgd365.070 37.099777 5.673263 42.399725 -0.032333 Mgd365.085 Mgd365.146 39.197043 7.080745 44.129114 0.005992 Mgd365.085 Mgd365.222 41.120620 8.472285 47.511131 -0.016059 Mgd365.109 Mgd365.018 34.818576 24.097254 15.803815 0.219089 Mgd365.135 Mgd365.044 34.830833 15.587500 34.535367 0.023467 Mgd365.135 Mgd365.120 37.105657 17.002939 29.556546 -0.024695 Mgd365.135 Mgd365.196 39.185182 18.398364 30.931795 0.009409 Mgd365.137 Mgd365.172 44.649281 -5.689379 43.806294 0.020071 Mgd365.137 Mgd365.248 46.168607 -4.309624 48.338901 0.046804


Points de croisement (suite) Mgd365.159 Mgd365.068 34.842640 35.423023 19.631712 -0.015423 Mgd365.161 Mgd365.044 41.184622 11.328000 46.811068 0.046459 Mgd365.161 Mgd365.146 37.105344 8.484140 43.603171 0.086965 Mgd365.161 Mgd365.196 44.648476 14.138617 43.391308 -0.075889 Mgd365.161 Mgd365.222 39.180015 9.875786 44.704814 -0.080809 Mgd365.163 Mgd365.172 49.008273 -9.948970 57.939670 -0.105582 Mgd365.185 Mgd365.018 32.400393 25.494039 11.968022 0.003296 Mgd365.185 Mgd365.094 34.855000 26.912200 7.953710 -0.116700 Mgd365.187 Mgd365.070 41.195467 2.817119 48.405739 0.000906 Mgd365.187 Mgd365.146 42.994231 4.224938 49.770960 -0.011301 Mgd365.187 Mgd365.172 37.106304 -0.033919 47.012187 0.004448 Mgd365.211 Mgd365.044 32.414893 16.983620 28.078088 -0.015654 Mgd365.211 Mgd365.120 34.863667 18.399000 28.107117 0.056233 Mgd365.211 Mgd365.196 37.104943 19.794364 24.151241 0.064347 Mgd365.213 Mgd365.122 34.865500 -9.947500 42.666000 0.063000 Mgd365.213 Mgd365.248 44.630272 -2.913690 47.060614 0.153623 Mgd365.237 Mgd365.044 39.276500 12.712755 43.237224 0.095857 Mgd365.237 Mgd365.196 43.007308 15.523125 42.673522 -0.015103 Mgd365.237 Mgd365.222 37.116872 11.261202 42.832510 -0.041807 Mgd365.239 Mgd365.096 46.271192 -9.964903 49.066681 0.013109 Mgd365.239 Mgd365.172 47.697086 -8.564914 51.387600 0.030340 Mgd365.239 Mgd365.248 49.004800 -7.185111 54.714178 -0.084711 Tableau V-3 : Points de croisement - Cycle 365

Figure V-7 : Enregistrement retenus et points de croisement - Cycle 365


Statistiques sur le traitement en tenant compte de la correction d’orbite

Différence minimale par rapport à OSUMSS95 : -4.97 m Différence maximale par rapport à OSUMSS95 : 1.16 m Différence minimale par rapport à JGM3/OSU91A : -4.64 m Différence maximale par rapport à JGM3/OSU91A : 1.50 m RMS par rapport à OSUMSS95 : 0.31 m RMS par rapport à JGM3/OSU91A : 0.52 m

Bien que les erreurs quadratiques par rapport aux géoïdes OSUMSS95 et JGM3/OSU91A sont faibles : 31 cm et 52 cm respectivement, on constate que les différences extremums par rapport aux deux géoïdes sont assez importantes (ordre métrique), ceci est du essentiellement à l’erreur sur l’extrapolation de la correction d’orbite. A cet effet, on a réeffectué le traitement sans apporter la correction aux points assez éloignés par rapport aux points de croisement. Statistiques sur le retraitement du cycle 365


Figure V-8 : Points dont la correction d’orbite n’est pas prise en considération


Cycle 366 Statistiques sur le traitement sans correction d’orbite

Nombre d’arcs traités : 31 Nombre de points total : 3316 Nombre de points retenus : 3008 Taux de rejet : 9.29 % Différence minimale par rapport à OSUMSS95 : -0.73 m Différence maximale par rapport à OSUMSS95 : 0.83 m Différence minimale par rapport à JGM3/OSU91A : -1.00 m Différence maximale par rapport à JGM3/OSU91A : 1.00 m RMS par rapport à OSUMSS95 : 0.10 m RMS par rapport à JGM3/OSU91A : 0.46 m

Points de croisement

Nombre de points Différence Min. (m) Différence Max. (m) 20 -0.16 0.06

Arc ascendant

Arc

descendant

Latitude

(º)

Longitude

(º)

Hauteur du géoïde

(m)

Diff. entre arc ascendant et

arc descendant(m)

Mgd366.083 Mgd366.170 32.178696 30.816912 18.129629 0.011071 Mgd366.083 Mgd366.246 34.494667 32.142200 14.378420 -0.010227 Mgd366.085 Mgd366.146 39.108897 6.748745 44.375944 0.030382 Mgd366.085 Mgd366.222 40.951164 8.074873 46.860095 -0.003070 Mgd366.109 Mgd366.094 37.129164 25.206985 38.366415 -0.157320 Mgd366.135 Mgd366.120 37.129719 16.641020 30.043126 0.009066 Mgd366.135 Mgd366.196 39.108608 17.966932 30.521489 0.013947 Mgd366.137 Mgd366.172 44.615951 -6.101083 43.705988 -0.031500 Mgd366.137 Mgd366.248 46.081148 -4.775011 47.068127 -0.060478 Mgd366.159 Mgd366.246 32.178869 33.467673 16.648409 0.006779 Mgd366.161 Mgd366.146 37.130838 8.074343 43.469189 0.062692 Mgd366.185 Mgd366.094 35.005333 26.532800 12.620107 0.015333 Mgd366.187 Mgd366.146 43.044038 3.790594 49.858587 0.003494 Mgd366.187 Mgd366.172 37.131188 -0.491560 47.284664 -0.029657 Mgd366.187 Mgd366.248 39.108857 0.834102 48.817908 -0.003509 Mgd366.211 Mgd366.120 35.005951 17.966970 29.132885 0.047279 Mgd366.211 Mgd366.196 37.129844 19.292900 26.310739 -0.040003 Mgd366.213 Mgd366.198 37.130969 -9.057660 53.091726 0.019138 Mgd366.237 Mgd366.222 37.130353 10.726586 42.818622 0.045779 Mgd366.239 Mgd366.172 47.748872 -9.058065 50.753832 -0.026698 Mgd366.239 Mgd366.248 49.003788 -7.732098 55.124172 0.061770 Tableau V-4 : Points de croisement - Cycle 366


Statistiques sur le traitement en tenant compte de la correction d’orbite


Figure V-9 : Enregistrements retenus et points de croisement - Cycle 366 Comparaison entre les deux surfaces altimétriques Cycle 365 & Cycle 366 On peut néanmoins constater que les deux surfaces altimétriques déterminées à partir du cycle 365 et du cycle 366 sont équivalentes, du faite que les données Topex/Poseidon sont à faible bruit : l’erreur orbitale est bien faible. La figure suivante montre l’écart entre les deux surfaces altimétriques :


-10

-50

510

1520

2530

3540

453035404550

Cyc

le 3

65 :

381

4 M

esur

es

Cyc

le 3

66 :

300

8 M

esur

es

Figu

re V

-10

: Su

rfac

es a

ltim

étriq

ues o

bten

ues à

par

tir d

es d

eux

cycl

es 3

65 e

t 366

. (H

aute

ur e

n m

ètre

).


Statistiques sur la détermination du géoïde altimétrique Topex-N: Cycle 365 & Cycle 366

Nombre d’arcs traités : 71 Nombre de points total : 7477 Nombre de points retenus : 6822 Taux de rejet : 8,76 % Différence minimale par rapport à OSUMSS95 : -1.02 m Différence maximale par rapport à OSUMSS95 : 1.16 m Différence minimale par rapport à JGM3/OSU91A : -1.15 m Différence maximale par rapport à JGM3/OSU91A : 1.08 m RMS par rapport à OSUMSS95 : 0.11 m RMS par rapport à JGM3/OSU91A : 0.45 m

Figure V-11 : Points retenus - Cycle 365 & Cycle 366 La comparaison de Topex-N par rapport à OSUMSS95 et à JGM3/OSU91A montre des dérives assez faibles en moyenne de 11 cm et 45 cm (erreur quadratique moyenne) respectivement et que les résultats des ondulations géoïdales sont bien proches de la réalité.


Comparaison de Topex-N par rapport à OSUMSS95 et JGM3/OSU91A

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 4530

35

40

45

50

-0.7

-0.2

0.3

0.8

Figure V-12 : Ecart en mètre entre Topex-N et OSUMSS95

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 4530

35

40

45

50

-1.2

-0.7

-0.2

0.3

0.8

Figure V-13 : Ecart en mètre entre Topex-N et JGM3/OSU91A


Topex-N Le tracé de courbes Topex-N effectué par la méthode Kriging - Surfer 7.0 est présenté par la figure suivante :

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 4530

35

40

45

50

0510152025303540455055

Figure V-14 : Géoïde altimétrique Topex-N, en mètre.

Figure V-15 : Géoïde altimétrique Topex-N en 3D


-30

36

912

1518

303336394245

2627.5

2930.5

3233.5

3536.5

3839.5

4142.5

4445.5

4748.5

50

Figu

re V

-16

: G

éoïd

e al

timét

rique

Top

ex-N

en

Méd

iterr

anée

Occ

iden

tale

. E

quid

ista

nce

de 0

.5 m

.


Exemple de passage traité : Mgd366.187

1/3

Latitude (º)

Longitude (º)

N (m)

Correction Pt. de Croisement

(m)

N Corrigé

(m)

OSUMSS95

(m)

JGM3/ OSU91A

(m)

Diff. N - OSUMSS95

(m)

Diff. N - JGM3/OSU91A

(m) 35.374084 -1.594860 49.491 0.032794 49.524 49.507 49.004 0.017 0.520 35.424090 -1.564341 49.510 0.032200 49.542 49.446 48.867 0.096 0.675 35.474087 -1.533778 49.476 0.031611 49.508 49.380 48.716 0.128 0.792 35.524073 -1.503171 49.400 0.031027 49.431 49.301 48.555 0.130 0.876 35.574049 -1.472521 49.310 0.030448 49.340 49.219 48.381 0.121 0.959 35.773852 -1.349478 48.541 0.028181 48.569 48.385 47.636 0.184 0.933 35.823777 -1.318607 48.043 0.027627 48.071 47.866 47.446 0.205 0.625 35.873692 -1.287691 47.506 0.027078 47.533 47.370 47.264 0.163 0.269 35.923597 -1.256731 47.148 0.026533 47.175 47.003 47.110 0.172 0.065 35.973491 -1.225725 46.889 0.025994 46.915 46.778 46.962 0.137 -0.047 36.023374 -1.194675 46.754 0.025459 46.779 46.642 46.838 0.137 -0.059 36.073247 -1.163579 46.659 0.024930 46.684 46.555 46.743 0.129 -0.059 36.123110 -1.132439 46.608 0.024405 46.632 46.521 46.673 0.111 -0.041 36.172962 -1.101253 46.597 0.023885 46.621 46.526 46.621 0.095 0.000 36.222804 -1.070021 46.612 0.023370 46.635 46.546 46.598 0.089 0.037 36.272635 -1.038744 46.626 0.022860 46.649 46.576 46.595 0.073 0.054 36.322456 -1.007421 46.688 0.022355 46.710 46.602 46.607 0.108 0.103 36.372265 -0.976052 46.720 0.021855 46.742 46.614 46.628 0.128 0.114 36.422065 -0.944638 46.724 0.021360 46.745 46.635 46.648 0.110 0.097 36.471853 -0.913177 46.770 0.020870 46.791 46.662 46.677 0.129 0.114 36.521631 -0.881670 46.784 0.020384 46.804 46.703 46.700 0.101 0.104 36.571398 -0.850116 46.853 0.019904 46.873 46.756 46.713 0.117 0.160 36.621154 -0.818516 46.918 0.019428 46.937 46.816 46.720 0.121 0.217 36.670899 -0.786869 46.994 0.018957 47.013 46.890 46.728 0.123 0.285 36.720633 -0.755176 47.068 0.018491 47.086 46.972 46.736 0.114 0.350 36.770357 -0.723435 47.124 0.018030 47.142 47.048 46.741 0.094 0.401 36.820069 -0.691648 47.227 0.017574 47.245 47.114 46.747 0.131 0.498 36.869770 -0.659813 47.278 0.017123 47.295 47.168 46.760 0.127 0.535 36.919461 -0.627931 47.324 0.016677 47.341 47.202 46.794 0.139 0.547 36.969140 -0.596001 47.298 0.016235 47.314 47.217 46.839 0.097 0.475 37.018808 -0.564024 47.318 0.015799 47.334 47.214 46.910 0.120 0.424 37.068466 -0.531999 47.266 0.015367 47.281 47.212 47.004 0.069 0.277 37.118112 -0.499926 47.273 0.014940 47.288 47.215 47.117 0.073 0.171 37.167746 -0.467805 47.261 0.014518 47.276 47.236 47.238 0.040 0.038 37.217370 -0.435636 47.334 0.014101 47.348 47.273 47.380 0.075 -0.032 37.266982 -0.403419 47.389 0.013689 47.403 47.327 47.534 0.076 -0.131 37.316583 -0.371153 47.466 0.013281 47.479 47.405 47.694 0.074 -0.215 37.366173 -0.338838 47.635 0.012879 47.648 47.545 47.854 0.103 -0.206 37.415751 -0.306475 47.886 0.012481 47.898 47.798 47.992 0.100 -0.094 37.465318 -0.274063 48.174 0.012088 48.186 48.156 48.131 0.030 0.055 37.514873 -0.241602 48.536 0.011700 48.548 48.519 48.253 0.029 0.295 37.564417 -0.209091 48.837 0.011317 48.848 48.799 48.357 0.049 0.491 37.613949 -0.176532 49.053 0.010939 49.064 48.987 48.443 0.077 0.621 37.663470 -0.143923 49.162 0.010565 49.173 49.125 48.508 0.048 0.665 37.712979 -0.111264 49.249 0.010197 49.259 49.222 48.571 0.037 0.688 37.762477 -0.078556 49.328 0.009833 49.338 49.281 48.617 0.057 0.721 37.811963 -0.045798 49.330 0.009474 49.339 49.290 48.656 0.049 0.683 37.861437 -0.012990 49.306 0.009120 49.315 49.235 48.693 0.080 0.622 37.910899 0.019869 49.235 0.008770 49.244 49.151 48.734 0.093 0.510 37.960350 0.052778 49.150 0.008426 49.158 49.121 48.783 0.037 0.375 38.009789 0.085737 49.234 0.008086 49.242 49.201 48.842 0.041 0.400

Chapitre V : Détermination du géoïde altimétrique sur la Méditerranée 56 38.059216 0.118746 49.344 0.007751 49.352 49.358 48.912 -0.006 0.440 38.108631 0.151807 49.459 0.007421 49.466 49.525 48.990 -0.059 0.476

2/3 38.158034 0.184918 49.597 0.007096 49.604 49.658 49.073 -0.054 0.531 38.207426 0.218081 49.713 0.006775 49.720 49.723 49.165 -0.003 0.555 38.256805 0.251294 49.696 0.006459 49.702 49.715 49.259 -0.013 0.443 38.306172 0.284559 49.691 0.006148 49.697 49.668 49.350 0.029 0.347 38.355527 0.317876 49.615 0.005842 49.621 49.602 49.433 0.019 0.188 38.404870 0.351244 49.583 0.005541 49.589 49.533 49.503 0.056 0.086 38.454201 0.384664 49.484 0.005244 49.489 49.489 49.561 0.000 -0.072 38.503520 0.418136 49.463 0.004952 49.468 49.458 49.602 0.010 -0.134 38.552826 0.451660 49.453 0.004665 49.458 49.401 49.625 0.057 -0.167 38.602120 0.485236 49.348 0.004383 49.352 49.304 49.631 0.048 -0.279 38.651402 0.518864 49.226 0.004106 49.230 49.170 49.631 0.060 -0.401 38.700672 0.552546 49.119 0.003833 49.123 49.040 49.612 0.083 -0.489 38.749929 0.586279 49.034 0.003565 49.038 48.943 49.587 0.095 -0.549 38.799174 0.620066 48.955 0.003302 48.958 48.885 49.558 0.073 -0.600 38.848406 0.653906 48.950 0.003044 48.953 48.864 49.533 0.089 -0.580 38.897626 0.687798 48.925 0.002790 48.928 48.859 49.523 0.069 -0.595 38.946833 0.721745 48.911 0.002541 48.914 48.834 49.509 0.080 -0.595 38.996028 0.755744 48.833 0.002297 48.835 48.800 49.508 0.035 -0.673 39.045210 0.789797 48.823 0.002057 48.825 48.780 49.521 0.045 -0.696 39.094379 0.823904 48.801 0.001823 48.803 48.782 49.548 0.021 -0.745 39.143536 0.858065 48.852 0.001593 48.854 48.800 49.590 0.054 -0.736 39.192680 0.892280 48.843 0.001368 48.844 48.823 49.628 0.021 -0.784 39.241811 0.926549 48.851 0.001147 48.852 48.848 49.677 0.004 -0.825 39.290929 0.960873 48.869 0.000931 48.870 48.877 49.729 -0.007 -0.859 39.340035 0.995251 48.884 0.000720 48.885 48.891 49.782 -0.006 -0.897 39.879334 1.377057 48.760 -0.001290 48.759 48.717 49.752 0.042 -0.993 39.928282 1.412102 48.750 -0.001445 48.749 48.721 49.697 0.028 -0.948 39.977216 1.447204 48.726 -0.001595 48.724 48.725 49.639 -0.001 -0.915 40.026137 1.482363 48.723 -0.001740 48.721 48.727 49.577 -0.006 -0.856 40.075045 1.517578 48.709 -0.001881 48.707 48.710 49.514 -0.003 -0.807 40.123939 1.552851 48.680 -0.002017 48.678 48.673 49.449 0.005 -0.771 40.172819 1.588181 48.651 -0.002148 48.649 48.618 49.379 0.031 -0.730 40.221686 1.623569 48.587 -0.002275 48.585 48.558 49.312 0.027 -0.727 40.270539 1.659014 48.601 -0.002397 48.599 48.500 49.253 0.099 -0.654 40.319379 1.694517 48.491 -0.002514 48.488 48.456 49.186 0.032 -0.698 40.368204 1.730078 48.477 -0.002627 48.474 48.425 49.122 0.049 -0.648 40.417016 1.765697 48.412 -0.002735 48.409 48.391 49.063 0.018 -0.654 40.465814 1.801375 48.395 -0.002838 48.392 48.355 49.012 0.037 -0.620 40.514598 1.837111 48.325 -0.002937 48.322 48.314 48.968 0.008 -0.646 40.563369 1.872906 48.264 -0.003031 48.261 48.259 48.934 0.002 -0.673 40.612125 1.908759 48.220 -0.003120 48.217 48.191 48.914 0.026 -0.697 40.660867 1.944671 48.196 -0.003205 48.193 48.143 48.902 0.050 -0.709 40.709595 1.980643 48.180 -0.003285 48.177 48.132 48.910 0.045 -0.733 40.758309 2.016674 48.253 -0.003361 48.250 48.167 48.933 0.083 -0.683 40.807009 2.052764 48.286 -0.003432 48.283 48.230 48.970 0.053 -0.687 40.855695 2.088914 48.341 -0.003498 48.338 48.293 49.020 0.045 -0.682 40.904366 2.125124 48.490 -0.003560 48.486 48.374 49.072 0.112 -0.586 40.953023 2.161394 48.577 -0.003618 48.573 48.496 49.145 0.077 -0.572 41.001666 2.197724 48.722 -0.003670 48.718 48.655 49.225 0.063 -0.507 41.050295 2.234115 48.886 -0.003718 48.882 48.824 49.310 0.058 -0.428 41.098909 2.270566 49.018 -0.003762 49.014 48.980 49.396 0.034 -0.382 41.147508 2.307077 49.175 -0.003800 49.171 49.119 49.474 0.052 -0.303 41.196093 2.343650 49.310 -0.003835 49.306 49.254 49.558 0.052 -0.252 41.244664 2.380284 49.471 -0.003864 49.467 49.406 49.636 0.061 -0.169 41.293219 2.416979 49.521 -0.003889 49.517 49.526 49.708 -0.009 -0.191 41.341760 2.453735 49.613 -0.003910 49.609 49.612 49.773 -0.003 -0.164 41.390287 2.490553 49.730 -0.003926 49.726 49.659 49.833 0.067 -0.107

Chapitre V : Détermination du géoïde altimétrique sur la Méditerranée 57 41.438798 2.527433 49.722 -0.003937 49.718 49.680 49.886 0.038 -0.168 41.487295 2.564375 49.738 -0.003944 49.734 49.708 49.932 0.026 -0.198

3/3 41.535777 2.601378 49.851 -0.003947 49.847 49.769 49.972 0.078 -0.125 42.453614 3.316159 49.180 -0.003132 49.177 49.914 49.779 -0.737 -0.602 42.501789 3.354443 50.195 -0.003045 50.192 49.856 49.757 0.336 0.435 42.549947 3.392794 49.906 -0.002952 49.903 49.818 49.741 0.085 0.162 42.598090 3.431211 49.803 -0.002856 49.800 49.795 49.736 0.005 0.064 42.646217 3.469695 49.791 -0.002755 49.788 49.792 49.743 -0.004 0.045 42.694328 3.508245 49.766 -0.002649 49.763 49.796 49.758 -0.033 0.005 42.742423 3.546862 49.761 -0.002539 49.758 49.797 49.781 -0.039 -0.023 42.790501 3.585546 49.762 -0.002425 49.760 49.790 49.811 -0.030 -0.051 42.838563 3.624297 49.783 -0.002306 49.781 49.786 49.849 -0.005 -0.068 42.886609 3.663115 49.804 -0.002182 49.802 49.789 49.894 0.013 -0.092 42.934639 3.702001 49.818 -0.002055 49.816 49.800 49.944 0.016 -0.128 42.982653 3.740955 49.846 -0.001922 49.844 49.822 49.997 0.022 -0.153 43.030650 3.779977 49.853 -0.001786 49.851 49.851 50.052 0.000 -0.201 43.078630 3.819067 49.880 -0.001645 49.878 49.887 50.108 -0.009 -0.230 43.126594 3.858226 49.883 -0.001500 49.882 49.924 50.169 -0.043 -0.288 43.174541 3.897453 49.912 -0.001350 49.911 49.938 50.222 -0.027 -0.311 43.222472 3.936749 49.971 -0.001196 49.970 49.930 50.276 0.040 -0.306 43.270386 3.976113 50.023 -0.001037 50.022 49.896 50.327 0.126 -0.305 43.318283 4.015547 50.066 -0.000874 50.065 49.915 50.375 0.150 -0.310 43.366164 4.055051 50.157 -0.000707 50.156 50.005 50.420 0.151 -0.264 43.414027 4.094624 50.287 -0.000535 50.286 50.072 50.468 0.214 -0.182 43.461874 4.134266 50.101 -0.000359 50.101 50.135 50.503 -0.034 -0.402 Tableau V-5 : Résultats de traitement du passage Mgd366.187.


V-6 Combinaison des géoïdes gravimétrique et altimétrique déterminés Avant de faire la combinaison des géoïdes gravimétrique et altimétrique déterminés (Gravi-N et Topex-N), et on effectue une comparaison le long du parallèle de latitude : zone limite entre les deux géoïde déterminés précédemment.

37ϕ °=

Les écarts entre les ondulations du géoïde gravimétrique Gravi-N (avant et après adaptation) et les ondulations du géoïde altimétrique Topex-N, sont présentés dans le graphe suivant :

Figure V-17 : Ecarts entre les ondulations du Gravi-N avant et après adaptation par rapport à Topex-N le long du parallèle de latitude . 37ϕ °=

On constate bien que les ondulations du géoïde gravimétrique après adaptation se rapprochent mieux des ondulations du géoïde altimétrique pour des longitudes inférieures à 4° ( ), toutefois les écarts pour les longitudes supérieures à 4° deviennent incontrôlables (

0.223 m écart 1.191 m≤ ≤ 1.191 m écart 6.308 m≤ ≤ ) : ceci est du essentiellement au fait que les paramètres

de transformation qui ont servi à l’adaptation du géoïde gravimétrique ont été calculés avec un manque total de points GPS-nivelés dans la zone proche du méridien °8λ ≈ (voir figure III-6 ). La combinaison de Topex-N et Gravi-N non adapté est présentée dans les figures suivantes :


0 1 2 3 4 5 6 7 834

35

36

37

38

39

40

Figure V-18 : Tracé de courbes Topex-N et Gravi-N. Equidistance de 1 m.

0 1 2 3 4 5 6 7 834

35

36

37

38

39

40

Figure V-19: Combinaison de Topex-N et Gravi-N. Equidistance de 1 m.

Chapitre VI : Détermination des anomalies de pesanteur par inversion des formules de Vening Meinesz 60

VI-1 Introduction Il existe plusieurs méthodes permettant un calcul rigoureux, à la surface de l’ellipsoïde, des anomalies de pesanteur à partir des hauteurs de géoïde acquises essentiellement par altimétrie spatiale. Ces méthodes basées sur l’inversion des formules fondamentales de la géodésie physique, conduisent à des cartes de précision insuffisante (10 mgals) pour les études géophysiques, toutefois leur intérêt est essentiellement qualitatif. En effet, leur contenu informatif, strictement identique à celui contenu dans les hauteurs du géoïde, est présenté sous une forme ayant des variations beaucoup moins douces et facilement détectables. Il faut donc, concevoir l’utilité de telles cartes comme guide d’interprétation [Jean-Pierre Barriot, 1987]. Une autre utilisation de ces cartes d’anomalies est la validation des données gravimétrique marines. En effet, celles-ci sont affectées, outre les problèmes de bruit aléatoires dus aux accélérations parasites de navires (effet de l’ordre de 1 mgal), de phénomènes de dérive qui ont des amplitudes pouvant atteindre plusieurs dizaines de mgals [Jean-Pierre Barriot, 1987]. Dans cette partie, on développera la méthode d’inversion des formules de Vening Meinesz (1928), qui transforme les composantes de la déviation de la verticale en anomalies de pesanteur et en hauteurs de géoïde. VI-2 Calcul pratique des composantes de la déviation de la verticale à partir des données altimétriques Par l’approximation sphérique, le vecteur déviation de la verticale peut s’exprimer comme suit [J. P.

Dufour, 2001]: ( ) ( ) ( )1, , ,z NR

φ λ ξ η φ λ= = − ∇ .

où : ,ξ η sont les composantes Nord-Sud et Ouest-Est respectivement de la déviation de la

verticale ; N est l’ondulation du géoïde ; R est le rayon de la terre ; ,φ λ sont la latitude et la longitude géocentriques ;

∇ est l’opérateur gradient défini sur la sphère comme suit : , cos φ φ λ

⎛ ⎞∂ ∂∇ = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

.

VI-3 Inversion des formules de Vening Meinesz VI-3-1 Formulation générale La formule générale permettant le calcul de l’anomalie de pesanteur à partir des composantes de la déviation de la verticale par inversion des formules de Vening Meinesz est donnée comme suit [Cheinway Hwang, 1997b] :

'0( ) ( cos sin )

4 q qp q qpg p H dσ q

γ ξ α η α σπ

∆ = +∫∫

ou encore : '0( )4 qp qg p H d

σ

γ ε σπ

∆ = ∫∫ .


avec :

'H fonction définie par : 'cos 3 2sin12 2 2sin sin 1 sin

2 2 2

qp qp

qp qp qpH

ψ ψ

ψ ψ ψ

⎛ ⎞+⎜ ⎟

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

;

qξ et qη sont les composantes Nord et Est de la déviation de la verticale au point ; q

qpε est la déviation au point q dans la direction de l’azimut qpα ;

qpα est l'azimut du point de calcul au point courant q p ;

qpψ est la distance sphérique du point au ; q p

qdσ est l’élément surfacique de σ au point ; qσ est la sphère d’intégration ;

0GM

Rγ = est la valeur moyenne de la pesanteur, où M et R représentent la masse et le

rayon moyens de la terre et G est la constante gravitationnelle universelle.

Figure VI-1: Distance sphérique entre les points q et p et composantes de la déviation de la verticale au point . q

L’expression de l’ondulation du géoïde à partir des composantes de la déviation de la verticale par inversion des formules de Vening Meinesz est donnée comme suit [Cheinway Hwang, 1997b]:

'( ) ( cos sin ) 4 q qp q qpRN p C d

σ qξ α η α σπ

= +∫∫

ou encore : '( )4 qp qRN p C d

σε σ

π= ∫∫ .

avec fonction définie comme suit : 'C ' 23cot sin sin2 4qp

qp qpCψ

ψ ψ= − + + .

Numériquement, l’évaluation de l’anomalie de pesanteur et de l’ondulation du géoïde se fait par l’utilisation de la technique de transformée de Fourier rapide mono ou bidimensionnelle. VI-3-2 Calcul par 1D FFT: Réalisations rigoureuses


Le développement 1D FFT de l’anomalie de pesanteur et de l’ondulation du géoïde sont données comme suit [Haagmans et al., 1993] :

( )

( )

( )

( )

2 2

1 1

', 0

',

( cos sin4

p p qp

q qp p qp

COS qp COS qp

g H

N R C

ϕ λϕ λ λ

ϕ ϕ λ λϕ λ λ

γ φ λ )ξ α η απ

∆

= =∆

∆ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎫ ∆ ∆⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ∑ ∑ +⎨ ⎬ ⎬ ⎨ ⎬⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( )

( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

2

1

' '1 1, 0 1

1 1' ', 1 1

cos sin( ) ( )

4 cos sin

qp qpp p

qp p

qp qp

qp qp

COS COS

qp qp

F H F HgF F

N R F C F C

ϕ λ λϕ λ

ϕ ϕϕ λ

λ λ

α αγ φ λ ξ ηπ α α

∆ ∆−

=

∆ ∆

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫∆⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎫ ∆ ∆⎪ ⎪ ⎪= ∑ +⎨ ⎬ ⎬ ⎨ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭

1F ⎪⎬⎪

tel que :

cosCOSξ ξ= φ et cosCOSη η= φ (φ : latitude géocentrique)

qp q pλ λ λ∆ = − φ∆ et λ∆ sont les pas de la grille dans les directions latitude et longitude.

11 1 et F F − sont les transformées de Fourier 1D directe et inverse respectivement.

Les variations des fonctions H’ et C’ en fonction de la distance sphérique sont exprimées dans les figures suivantes :

Figure VI-2 : Variations des fonctions H’ et C’ en fonction de la distance sphériqueψ . L’azimut qpα et la distance sphérique ψ peuvent être calculés à partir des formules suivantes :

2

cos sintan

sin( ) 2sin cos sin ( )2

p qpqp

qpq p q p

φ λα λ

φ φ φ φ

− ∆= ∆− − +

2 2 2sin ( ) sin ( ) sin ( )cos cos2 2 2qp qp qp

q pψ φ λ

φ φ∆ ∆

= +

avec qp q pφ φ φ∆ = − .


En utilisant la méthode de 1D FFT, à la distance sphérique zéro les fonctions H ' et C ' deviennent singulières et l'azimut est indéfini. Pour éviter cette singularité les composantes de la déviation au voisinage du point , seront exprimées en séries de Taylor comme suit [Heiskanen et Moritz, 1967] :

p

( )

( )

2 2

2 2

1 2 .21 2 .2

q p x y xx xy yy

q p x y xx xy yy

x y x xy y

x y x xy y

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

η η η η η η η

= + + + + + +

= + + + + + +

..

..

où : x xξξ ∂=∂

, y yξξ ∂=∂

, 2

2xx xξξ ∂=

∂,

2

2yy yξξ ∂=

∂ et

2

xy x yξξ ∂=

∂ ∂ ;

x xηη ∂=∂

, y yηη ∂=∂

, 2

2xx xηη ∂=

∂,

2

2yy yηη ∂=

∂ et

2

xy x yηη ∂=

∂ ∂.

En retenant seulement les termes linéaires et en supposant que la zone singulière au point est circulaire de rayon [Cheinway Hwang, 1997b]:

p

0S

020

20 0

2 [ ( sin cos ) cos( )4

( sin cos )sin( ) ]

S

i P x yS

P x y

g S SS

S S S dS

π

α

γ ξ αξ αξ α ππ

dη αη αη α π α= =

−∆ = + + + +

+ + +

∫ ∫

0 02 22 20

0 0 0

( cos sin 2

S S

i y xS S

g d dS dπ π

α α

γ ξ α α η α απ = = = =

∆ = +∫ ∫ ∫ ∫0

)dS

( )0 0

4i ySg xγ ξ η∆ = + .

Figure VI-3 : Coordonnées rectangulaires locales pour la zone singulière de rayon 0S

Le rayon de la zone singulière peut être approximé par [Cheinway Hwang, 1993]: 0x ySπ

∆ ∆= , où

et x∆ y∆ sont les pas planaires de la grille.


En utilisant une dérivation semblable, la formule donnant l’ondulation du géoïde est alors [Cheinway Hwang, 1997b]:

( )20

4i ySN xξ η= +

Les données discrètes yξ et xη peuvent être obtenues en différenciant numériquement ξ et η le long des directions de Y et de X , respectivement. VI-3-3 Calcul par 2D FFT: Approximations planes Le deuxième calcul informatique est basé sur des approximations planes des deux formules, et par conséquent de la transformée de Fourier rapide bi-dimensionnelle (2D FFT). Dans un système local de coordonnées rectangulaires -X Y , l'élément de surface et la distance

sphérique peuvent être approximés comme suit : et 2q qR dS dx dy= q

qpqp R

ρψ = , avec qpρ la distance

plane. La formule de l’anomalie de pesanteur par inversion de la formule de Vening Meinesz devient [Cheinway Hwang, 1997b]:

( ) ( )2

03 2

2( , ) cos sin 4

q qp p q qp qp q qp qpD

qp

dx dyRg x yR

γ ξ ρ α η ρ απ ρ

− ⎡ ⎤∆ = +⎣ ⎦∫∫

( ) ( ) ( ) ( )0

3 2 3 22 2 2 2( , )

2p q p q

p p q q qD D

p q p q p q p q

y y x xq q qg x y dx dy dx dy

x x y y x x y y

γ ξ ηπ

⎧ ⎫− −⎪ ⎪−

∆ = +⎨ ⎬⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪− + − − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

∫∫ ∫∫

( ) ( )0

3 2 3 22 2 2 2( , ) * *

2p py xg x y

x y x y

γ ξ ηπ

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛− ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜∆ = +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜+ +⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝⎩ ⎭

⎞⎟⎟⎠

où est l'opérateur de convolution et est le domaine des données. ( )∗ D

Schwarz et al (1990) ont démontré que : ( ) ( )3 2 3 22 2 2 22x u

F x y i u vy v

π− −⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

, où est la

2D FT, et u et sont les fréquences spatiales de et

F

v x y respectivement. Ainsi le rapport entre l'anomalie de pesanteur et les composantes de la déviation de la verticale dans le domaine de fréquence est [Cheinway Hwang, 1997b]:

( ) ( ) ( )02 2

, , iG u v v X u v u E u vu v

,γ∆ = +⎡ ⎤⎣ ⎦

+

où , G∆ X et E sont les transformées de Fourier de g∆ , ξ , η respectivement.


De même, l’expression de l’ondulation est donnée comme suit [Cheinway Hwang, 1997b]:

( ) ( )2 2

2( , ) cos sin 4

q qp p q qp qp q qp qpD

qp

dx dyR RN x yR

ξ ρ α η ρ απ ρ

− ⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫∫

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1( , )2

p q p qp p q q q q q qD D

p q p q p q p q

y y x xN x y dx dy dx dy

x x y y x x y yξ η

π

⎧ ⎫− −− ⎪ ⎪= +⎨ ⎬

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − − + −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭∫∫ ∫∫

2 2 2 2

1( , ) * *2p p

y xN x yx y x y

ξ ηπ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

= +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭.

Par le théorème de différentiation de la transformée de Fourier [Mesko, 1984] :

2 2 2

1 1x uF i

y v 2x y u⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ v ;

La relation entre l'ondulation et les composantes de la déviation de la verticale dans le domaine de fréquence sera ainsi exprimée [Cheinway Hwang, 1997b]:

( ) ( ) ( ) ( )2 2, ,

2iu v v X u v u E u v

u vπ= +⎡ ⎤⎣ ⎦+

Ν , .

où , N X et E sont les transformées de Fourier de , N ξ , η respectivement.

Chapitre VII : Détermination des anomalies de pesanteur - Application 66

VII-1 Introduction Le domaine choisi pour calculer rigoureusement les anomalies de pesanteur ( g∆ ) par inversion de la formule de Vening-Meinesz s’étend de 4º à 8º en longitude, 37º à 43º en latitude.

Figure VII-1 : Domaine de calcul des anomalies de pesanteur. Cette zone couvre une distance de 340.7 Km en longitude et 667.2 Km en latitude, en fonction de cela, nous avons fixé le pas de calcul à 0.25º (15’), soit une grille de dimension : 17 x 25. Les données à utiliser sont les altitudes du géoïde altimétrique Topex-N, calculé comme il a été détaillé dans le Chapitre V à partir des deux cycles Topex/Poseidon 365 et 366. VII-2 Méthodologie de calcul des anomalies de pesanteur par inversion des formules de Vening-Meinesz La méthodologie suivie pour le calcul des anomalies de pesanteur par inversion des formules de Vening-Meinesz est donnée comme suit :

Génération de la grille des ondulations du géoïde ( ) à partir des valeurs ponctuelles ajustées sur profils altimétriques.

N

Calcul des composantes de la déviation de la verticale ( et ξ η ) à partir de la grille générée. Calcul des valeurs des composantes de la déviation de la verticale à partir du modèle

géopotentiel global (EGM96): et ref refξ η . Calcul des valeurs résiduelles des composantes de la déviation de la verticale ( et res resξ η ):

, res ref res refξ ξ ξ η η η= − = − . Evaluation des quantités résiduelles resg∆ à partir des valeurs résiduelles resξ et resη par

inversion des formules de Vening-Meinesz. Restitution en dernier lieu des valeurs finales : ref resg g g∆ = ∆ + ∆ .


VII-3 Génération de la grille du géoïde altimétrique La génération de la grille du géoïde altimétrique sur la zone d’étude s’est effectuée par interpolation des mesures ponctuelles de Topex-N. L’interpolateur utilisé est celui dit de Bjerhammar (1975), en approximation sphérique :

'

'

'

'

' , '

1 P

P m

P

P PP

PP

N PN d

d axP

α

α ψ= ≤∑∑

où : α est un paramètre pouvant varier de zéro à l’infini ; 'ppd est la distance rectiligne entre et

et

P'P maxψ étant la distance maximale entre et . P 'P

Notons que cette méthode d’interpolation est très stable puisque l’on a toujours

, où et sont les valeurs minimum et maximum des mesures

ponctuelles sur les profils. ' '

maxminPP PN N N≤ ≤ '

minPN 'maxPN

Le programme utilisé pour la génération de la grille : « Grille.for » est une version simplifiée du programme « Geogrid.for » de Rene Forsberg - Danish Geodetic Institute. La valeur deα est prise égale à 3. Ce choix correspond au cas physique de l’harmonicité de l’ondulation du géoïde (N) ou du potentiel perturbateur (T), car cette expression peut être directement dérivée de la discrétisation de l’équation de Poisson non-modifiée sur la sphère [Bjerhammar, Ibd, Svensson, 1983]. Du fait que la distance entre les profils Topex/Poseidon est d’environ 280 Km, et pour éviter d’avoir des nœuds sur la grille non interpolés, la distance maximale maxψ a été fixée à 150 Km. Le nombre maximal de points par quadrant de recherche utilisés pour l’interpolation est pris égal à 5.

Figure VII-2 : Fenêtre d’exécution du programme Grille.for.


Le tracé des courbes de la grille générée effectué par la méthode d’interpolation Kriging - Surfer 7.0 est présenté dans la figure suivante :

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 837

37.5

38

38.5

39

39.5

40

40.5

41

41.5

42

42.5

43

41.54242.54343.54444.54545.54646.54747.54848.54949.5

Figure VII-3 : Grille des ondulations géoïdales de la zone considérée obtenue à partir de Topex-N. La grille générée a les caractéristiques suivantes :

Valeur minimale : 41.52 m ; Valeur maximale : 49.77 m ; Moyenne : 45.13 m ; Ecart type: 1.67 m.


VII-4 Calcul des grilles des composantes de la déviation de la verticale Le calcul des grilles des composantes de la déviation de la verticale ( et ξ η ) s’est effectué par

différentiation numérique des ondulations géoïdales suivant l’équation : ( ) ( )1, ,NR

ξ η φ= − ∇ λ .

La distance de différentiation autour de chaque nœud de la grille est prise égale à 1 Km.

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 837

37.5

38

38.5

39

39.5

40

40.5

41

41.5

42

42.5

43

-35-30-25-20-15-10-5051015202530354045

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 837

37.5

38

38.5

39

39.5

40

40.5

41

41.5

42

42.5

43

-50-40-30-20-1001020304050607080

Figure VII-4-2 : Tracé des courbes de la composante de la déviation de la verticale Ouest-Est en micro-radian.

V LeprU

N∆

rξ

rη Tagé

Figure VII-4-1 : Tracé des courbes de la composante de la déviation de la verticale Nord-Sud en micro-radian.

II-5 Calcul des quantités dérivées du modèle de référence EGM96

calcul des quantités dérivées du modèle de référence , refN refg∆ , refξ et refη s’est effectué par le ogramme Gravt_gm.for (écrit par Yecai Li - Department of Geomatics Engineering - The niversity of Calgary), en utilisant le modèle de référence EGM96 complété au degré 360.

Quantité Valeur minimale Valeur maximale Moyenne Déviation standard ref (m) 41.63 50.21 45.32 1.73

refg (Mgal) -49.45 61.26 -3.95 16.23

ef (micro-radian) -55.32 72.19 -5.77 18.71

ef (micro-radian) -53.91 42.62 4.27 14.30

bleau VII-1 : Statistique sur les quantités , refN refg∆ , refξ et refη calculées à partir du modèle opotentiel global l’EGM96.


Le tracé des courbes de , , refN refg∆ refξ et refη effectué par la méthode d’interpolation Kriging - Surfer 7.0 est présenté dans les figures suivantes :

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 837

37.5

38

38.5

39

39.5

40

40.5

41

41.5

42

42.5

43

41.54242.54343.54444.54545.54646.54747.54848.54949.550

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 837

37.5

38

38.5

39

39.5

40

40.5

41

41.5

42

42.5

43

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

Figure VII-5-1 : Tracé des courbes des ondulations du géoïde refN en mètre.

Figure VII-5-2 : Tracé des courbes anomalies de pesanteur refg∆ en Mgal.

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 837

37.5

38

38.5

39

39.5

40

40.5

41

41.5

42

42.5

43

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 837

37.5

38

38.5

39

39.5

40

40.5

41

41.5

42

42.5

43

-55-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50510152025303540

Figure VII-5-4 : Tracé des courbes de la composantes de la déviation de la verticale Ouest-Est refη en micro-radian.

Figure VII-5-3 : Tracé des courbes de la composantes de la déviation de la verticale Nord-Sud refξ en micro-radian.


VII-6 Calcul des quantités résiduelles des composantes de la déviation de la verticale Les quantités résiduelles des composantes de la déviation de la verticale s’obtiennent par simple différences des quantités calculées à partir de la grille altimétrique générée et des quantités calculées à partir du modèle de référence l’EGM96 :

, .res ref res refξ ξ ξ η η η= − = − Le tracé des courbes de resξ et resη effectué par la méthode d’interpolation Kriging - Surfer 7.0 est présenté dans les figures suivantes :

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 837

37.5

38

38.5

39

39.5

40

40.5

41

41.5

42

42.5

43

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 837

37.5

38

38.5

39

39.5

40

40.5

41

41.5

42

42.5

43

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

Figure VII-6-1 : Tracé des courbes de la quantité résiduelle de la composante de la déviation de la verticale Nord-Sud resξ en micro-radian.

Figure VII-6-2 : Tracé des courbes de la quantité résiduelle de la composante de la déviation de la verticale Ouest-Est resη en micro-radian.

Les statistiques sur la détermination de ces quantités résiduelles sont données dans le tableau suivant :

Quantité Valeur minimale Valeur maximale Moyenne Déviation standard

resξ (micro-radian) -61.5847 70.2979 -0.0080828 14.6707

resη (micro-radian) -61.4799 65.7658 0.572814 12.7591 Tableau VII-2 : Statistique sur les quantités résiduelles des composantes de la déviation de la verticale resξ et resη .


VII-7 Calcul des anomalies de pesanteur par inversion des formules de Vening-Meinesz Le programme d’inversion utilisé « Vening_Meinesz.for », écrit avec le compilateur Fortran Power Station 4.0. Les principaux sous-programmes de calcul sont :

DEV_VER.for : calcul les composantes de la déviation de la verticale à partir d’une grille d’ondulations géoïdales.

FFT_1D.for : programme d’inversion des formules de Vening-Meinesz par la technique

1D-FFT.

PT_SING.for : calcul l’effet de la zone singulière dans le cas de l’utilisation de FFT_1D.for .

FFT_2D.for : programme d’inversion des formules de Vening-Meinesz par la technique

2D-FFT. On note que les sous-programmes de calcul des FFT utilisés sont ceux de IMSL.

Figure VII-7 : Fenêtre d’exécution du programme Vening_Meinesz.for.


VII-8 Résultats d’inversion Les résultats de calcul des anomalies de pesanteur par 1D-FFT et 2D-FFT, en utilisant la technique retrait-restauration sont présentés dans les figures (VII-8-1,2) et (VII-9-1,2) respectivement :

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.537

37.5

38

38.5

39

39.5

40

40.5

41

41.5

42

42.5

43

-65

-55

-45

-35

-25

-15

-5

5

15

25

35

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.537

37.5

38

38.5

39

39.5

40

40.5

41

41.5

42

42.5

43

-45

-35

-25

-15

-5

5

15

25

35

45

55

Figure VII-8-1 : Tracé des courbes des anomalies de pesanteur résiduelles ( resg∆ ) en Mgal.

Figure VII-8-2 : Tracé des courbes des anomalies de pesanteur finales ( ) en M

g∆gal.

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.537

37.5

38

38.5

39

39.5

40

40.5

41

41.5

42

42.5

-45

-35

-25

-15

-5

5

15

25

35

45

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.537

37.5

38

38.5

39

39.5

40

40.5

41

41.5

42

42.5

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

Figure VII-9-1 : Tracé des courbes des anomalies de pesanteur résiduelles ( resg∆ ) en Mgal.

Figure VII-9-2 : Tracé des courbes des anomalies de pesanteur finales ( ) en Mgal.

g∆


Les statistiques sur la détermination des quantités d’anomalies résiduelles ( ) et finales (

resg∆

finaleg∆ ) calculées par l’utilisation des deux techniques 1D-FFT et 2D-FFT sont données dans le tableau suivant :

Quantité Valeur minimale Valeur maximale Moyenne Déviation standard

resg∆ 1D-FFT (mGal) -62.967 37.821 3.95634 11.7871

finaleg∆ 1D-FFT (mGal) -47.274 62.252 -0.127643 13.0866

resg∆ 2D-FFT (mGal) -41.803 45.439 3.56182 13.0274

finaleg∆ 2D-FFT (mGal) -38.059 62.922 -0.825859 13.1978 Tableau VII-3 : Statistique sur les quantités résiduelles et finales de l’anomalie de pesanteur. VII-9 Analyse des résultats Du fait que nous ne disposons pas de données d’anomalies de pesanteur acquises par gravimétrie marine, nous allons comparer les résultats obtenus par rapport aux quantités calculées à partir du modèle de référence EGM96, ce qui nous ramène à étudier les valeurs d’anomalies résiduelles. Les fréquences par intervalle des anomalies de pesanteur résiduelles obtenues par 1D-FFT et 2D-FFT sont présentées dans les histogrammes suivants :

Figure VII-10-1 : Histogramme des fréquences des anomalies de pesanteur résiduelles obtenues par 1D-FFT.

Figure VII-10-2 : Histogramme des fréquences des anomalies de pesanteur résiduelles obtenues par 2D-FFT

.

Par comparaison des deux histogramme, nous constatons que l’inversion de la formule de Vening Meinesz par 1D-FFT donne des résultats « meilleurs » que ceux obtenus en utilisant 2D-FFT, en effet, les valeurs des anomalies de pesanteur résiduelles comprises entre –10 et 10 mGal dans le premier cas représentent 70 % des résultats obtenus, alors qu’en deuxième cas, elles ne représentent que 65.5 % des résultats obtenus. Rappelons que les données utilisées pour cette étude sont uniquement les deux cycles Topex/Poseidon 365 et 366. L’intégration d’autres cycles Topex/Poseidon et de données d’autres altimètres (Geos, Geosat, ERS, Jason-1, Envisat) serait très intéressant, du fait que l’intervalle entre profils sera moins important, ce qui permettrai un calcul plus rigoureux des anomalies de pesanteur.

Conclusion générale 75

Au terme de ce mémoire, nous pouvons dresser les conclusions suivantes : 1. Pour l’estimation du géoïde gravimétrique sur l’Algérie du Nord, nous

considérons que les résultats sont satisfaisants malgré l’imperfection et le manque des données utilisées.

Dans une version ultérieure du géoïde gravimétrique, on utilisera un MNT détaillé issu principalement du réseau de nivellement de précision INCT et on combinera aux données gravimétriques B.G.I. les données gravimétriques du réseau Second Ordre INCT. On pourra ainsi, améliorer la précision de la solution du géoïde gravimétrique. L’utilisation de points GPS-nivelés bien répartis sur le domaine d’étude permettra une vérification plus rigoureuse des résultats ainsi obtenus.

2. L’altimétrie Topex/Poseidon, nous a permis le long des profils de mesure du

satellite, d’acquérir la hauteur ellipsoïdale de la surface de la Méditerranée avec une précision de l’ordre décimétrique.

Bien que les données Topex/Poseidon utilisées ne représentent que deux cycles (365 et 366), nous avons néanmoins maîtrisé les différents aspects du traitement, à savoir la lecture des données binaires GDR, le choix du modèle de calcul,… De plus, les différents programmes écrits nous permettront aisément de traiter et d’intégrer d’autres cycles Topex/Poseidon.

3. L’inversion des formules de Vening Meinesz permet le calcul des anomalies

de pesanteur à partir des hauteurs de géoïde, acquises essentiellement par altimétrie. Cette technique faisant intervenir les transformations rapides de Fourier, nous a permet le calcul à partir des données Topex/Poseidon cycle 365 et 366 des anomalies de pesanteur sur une zone de la Méditerranée comprise de 37º à 43º en latitude et de 4º à 8º en longitude. Ce calcul d’une précision d’environ dix mGal peut servir comme guide qualitatif pour les études géophysiques. Les programmes d’inversion écrits sont assez fiables. L’intégration de données de différents altimètres pourra améliorer considérablement la précision des résultats.

Références bibliographiques

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Merged Topex/Poseidon Products (GDR-Ms) - AVI-NT-02-101-CN, Edition 3.0, July 1996. Jean-Pierre BARRIOT

La détermination du géoïde par altimétrie océanique et gravimétrie. Quelques aspects du traitement et interprétation géologique sur l’océan Indien (partie Nord-Ouest) et Méditerranée Occidentale. Thèse de Doctorat - 1987, Université des Sciences et Technologies de Languedoc. Sid Ahmed BEN AHMED DAHO

Détermination du Géoïde Gravimétrique par la Méthode de Collocation. Thèse de Magister en Techniques Spatiales – CNTS, 1996. Mustapha BOUZIANE

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Géophysique appliquée I – Gravimétrie. Ecole Polytechnique Montréal, 1999. Jean-Philippe DUFOUR

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Inverse Vening Meinesz formula and deflection-geoid formula: applications to the predictions of gravity and geoid over the South China Sea. Journal of Geodesy, 72, 304-312, 1998. Cheinway HWANG and Eu-Chi KAO

Global marine gravity anomalies from Seasat, Geosat, ERS-1 and Topex/Poseidon altimeter data. Geophysical Journal International, 34, 449-460, 1998.

Références bibliographiques

Cheinway HWANG and Barry PARSONS

An optimal procedure for deriving gravity from multi-satellite altimetry. Geophysical Journal International, 125, 705-718, 1996. International Association of Geodesy

New Geoids in the World. Bulletin d’Information N. 77, IGeS Bulletin N. 4., 1996. International Geoid Service

International School for the Determination and Use of the Geoid. Volume I - Lecture Notes. Salem KAHLOUCHE, Ali RAMI, Sid Ahmed BEN AHMED DAHO

Topex Altimetric Mean Sea Level and Gravimetric Geoid in the North of Algeria in International Association of Geodesy Symposia – Volume 126 [pp 73-82] – ISSN 0939-9585 Springer Verlag Editor, 2003. Quentin LADETTO

Géodésie en Colombie: propositions pour un réseau cohérent et opérationnel. Travail de diplôme, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, février 1998. Marie-Laure LOCU

Validation Conjointe d’un géoïde gravimétrique et d’un réseau de points GPS Nivelé. Mémoire d’Ingénieur – 1998, Ecole Supérieure des Géomètres et Topographes. H. NAUDY, R. NEUMANN

Sur la définition de l’anomalie de Bouguer et ses conséquences pratiques. Compagnie Générale de Géophysique, Paris, France. J.-M. NOCQUET, H. DUQUENNE, C. BOUCHER, A. HARMEL, P. WILLIS

Conversion altimétrique RGF93-IGN69 - Correction des altitudes GPS en France. Conseil National de l’Information Géographique, février 2000. Eric PHINNEY

An Analysis of Satellite Altimeter Derived Gravity Anomaly Data. PRESS, TEUKOLSKY, VETTERLING, FLANNERY

Numerical Recipes in fortran. The Art of Scientific Computing, Second edition. Cambridge University Press, 1992. Petr VANÍCEK, Edward J. KRAKIWSKY

Geodesy : The Concepts. Seconde Edition, University of New Brunswick, Canada.

Annexe I-1 : Rappels sur les transformées de Fourier

1- Transformée de Fourier mono-dimensionnelle Soit f une fonction discrète connue aux points (0,1, 2,..., 1)N − , ce qui signifie que les valeurs ( (0), (1), (2),..., ( 1))f f f f N − sont connues.

( , )NT f u désigne la transformée de Fourier discrète (TFD 1D) de la fonction f au point et est calculée pour points. Elle est définie par :

uN

( ) ( )1 2

0

, un N i nN

Nn

T f u f n eπ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

= ∑

où : 1i = −

[ ]0, 1u N∈ − : fréquence spatiale. La transformée de Fourier rapide FFT (Fast Fourrier Transform) est un algorithme permettant de réduire le nombre d'opérations, en particulier le nombre de multiplications, pour calculer la TFD. Elle repose sur le raisonnement suivant : En supposant pair, et même une puissance de (à cause de la dichotomie qui va être mise en évidence) :

N 2

( ) ( ) ( )1 12 2

0 0

, 2 2 1u um M m Mi m i m uM M N

Nm m

T f u f m e f m eπ π⎛ ⎞ ⎛= − = −− −⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

= =

= + +∑ ∑⎞+ ⎟⎠

( ) ( ) ( )1 12 2 2

0 0

, 2 2 1u um M m Mi m i i mM N

Nm m

T f u f m e e f m eπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= − = −− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

= =

= + +∑ ∑uM

⎞⎟⎠

où 2NM =

donc :

( ) ( ) ( )2

2 2, ,uiN

N N paire N impaireT f u T f u e T f uπ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠= + ,

)

avec : ( ) (1 , T f u f du point unique= , quelque soit . u

où ( ,paire impaire )f u signifie que l’on ne conserve que les coefficients pairs et impairs de la fonction f respectivement.

Ainsi, le nombre de points sur lesquels le calcul se fera, est divisé en deux, tout en arrivant à une définition récursive de la transformée de Fourier. Le nombre d’opérations de l'algorithme de la transformée de Fourier rapide mono-dimensionnelle est donc en . ( )logN N La période de la fréquence spatiale pour u ( ),NT f u , est : u

N , donc la période de u est , alors

que pour

N

( )2 ,N paireT f u et (2 ,N impaireT f u ) elle est de : uM , on peut donc considérer que la période

de u est alors M , u est alors à considérer dans [ ]0, 1M − .

Annexe I-1 : Rappels sur les transformées de Fourier

2- Transformée de Fourier bi-dimensionnelle Soit f une fonction discrète connue aux points (0,1, 2,..., 1)x(0,1, 2,..., 1)N N− − , ce qui signifie que les valeurs : ( (0,0), (0,1),..., (0, 1),..., ( 1,0), ( 1,1),..., ( 1, 1))f f f N f N f N f N N− − − − − sont connues.

( , , )NT f u v désigne la transformée de Fourier discrète (TFD 2D) de la fonction f au point u et et est calculée pour points, elle est définie par :

vN

( ) ( )1 1 2

0 0

, , ,u vy Y x X i x yX Y

Ny x

T f u v f x y eπ⎛ ⎞⎛ ⎞= − = − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= =

= ∑ ∑

ou ( ) [ ] [ ], 0, 1 x 0,u v X Y∈ − −1

2

La FFT bi-dimensionnelle peut se ramener au calcul de la FFT mono-dimensionnelle orthogonale. Le nombre d’opérations de l'algorithme de la transformée rapide de Fourier bi-dimensionnelle est donc en . En effet, on effectue transformées horizontales, puis transformée verticales (d'où le ), chacune étant en

22 . log( ) log( )N N N N N= N N2N log( )...N N

3- Transformée de Fourier inverse Pour obtenir en mono- et bi-dimensionnel la transformée inverse, il suffit de changer le signe de l'exposant dans l'exponentielle : Cas mono-dimensionnel

( ) ( )1 2

0

1 , nu N i uN

Nu

f n T f u eN

π= −

=

= ∑ ou : [ ]0, 1n N∈ −

Cas bi-dimensionnel

( ) ( )1 1 2

20 0

1, , , x yv Y u X i u vX Y

v u

f x y T f u v eN

π ⎛ ⎞= − = − +⎜⎝

= =

= ∑ ∑⎟⎠ ou : ( ) [ ] [ ], 0, -1 x 0, -x y X Y∈ 1

4- Transformée de Fourier du produit de convolution Le produit de convolution noté de deux fonctions '* ' f et g est définit par :

0 0( * )( ) ( ) ( ) 0f g x f x x g x dx∞

−∞

= −∫

La transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions n'est autre que le produit (classique celui là) de leurs transformées de Fourier : [ ] [ ] [ ]* .F f g F h F g= .

Annexe I-2 : Rappels sur les transformées de Hartley

La transformée de Hartley rapide est une nouvelle méthode de transformée qui utilise seulement des opérations réelles et ainsi elle représente une alternative naturelle de la FFT pour des problèmes de géodésie physique. En général, cette transformée réduit le temps d’exécution machine exigé par la FFT d’environ d’un tiers à la moitié. 1- Transformée d’Hartley et ses propriétés Hartley (1942) avait défini les transformées symétriques de type 1D-Fourier comme suit :

( ) ( ) ( ) ( ){ }2H h t cas t dt H hω πω∞

−∞

= =∫ t

( ) ( ) ( ) ( ){ }2 -1h t G cas t d H Hω πω ω ω∞

−∞

= =∫

avec : ( ) ( ) ( )2 cos 2 sin 2cas t t tπω πω π= + ω H et sont notées la transformée de Hartley directe et inverse respectivement. -1H Pour une fonction réelle donnée pour (h k t∆ ) M points espacés d’un pas , la transformée discrète de Hartley mono-dimensionnelle (1D-DHT) est défini comme suit :

t∆

( ) ( ) 2M -1

k=0

mkH m u h k t cas tMπ

∆ = ∆ ∆∑

( ) ( ) 2M -1

m=0

mkh k t H m u cas uMπ

∆ = ∆ ∆∑

Pour une fonction réelle donnée pour les points ( ,h k x l y∆ ∆ ) MxN d’une grille de pas etx∆ y∆ , la transformée de Hartley bi-dimensionnelle (2D-DHT) est défini dans le domaine spectral comme suit :

( ) ( ) 2 2, ,M -1 N -1

k=0 l=0

mk nlH m u n v h k x l y cas cas x yM Nπ π

∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ ∆∑∑

( ) ( ) 2 2, ,M -1 N -1

m=0 n=0

mk nlh k x l y H m u n v cas cas u vM Nπ π

∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ ∆∑∑

Semblable à la transformée discrète de Fourier, des opérations très efficaces peuvent être développées pour l'évaluation de la transformée de Hartley, ce qui aboutit à la transformée rapide de Hartley (FHT).

Annexe I-2 : Rappels sur les transformées de Hartley

2- Convolution par la DHT Le théorème de convolution est donné comme suit : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (, , , , , ,

, , , ,1 2

3 4

h k l g k l G m n H m n G m n H m n

G m n H m n G m n H m n

∗ ↔ + − −

+ − + − )

avec :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,11H m n H m n H m n H m n H m n4

= + − − + − + −⎡ ⎤⎣ ⎦,


= + − − − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦,


= − − − + − − −⎡ ⎤⎣ ⎦,


= − − − − − + −⎡ ⎤⎣ ⎦,

Cas particuliers :

Si est une fonction constante, le théorème de convolution se simplifiera comme suit : ( ,h k l )),

))

)),

( ) ( ) ( ) (, , ,Eh k l g k l H m n G m n∗ ↔

Si est une fonction impaire, le théorème de convolution se simplifiera comme suit : ( ,h k l

( ) ( ) ( ) (, , , ,0h k l g k l H m n G m n∗ ↔ − −

Si est une fonction impaire pour k et constante pour , alors : ( ,h k l l

( ) ( ) ( ) (, , ,0Eh k l g k l H m n G m n∗ ↔ − 3- Corrélation par la DHT Le théorème de corrélation est donné comme suit : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (, , , , ,

, , , ,1 2

3 4

h k l g k l G m n H m n G m n H m n

G m n H m n G m n H m n

⊗ ↔ + − −

− − + − ),

Cas particuliers : Si est une fonction constante, alors : ( ,g k l )

)−

)),

( ) ( ) ( ) (, , , ,Eh k l g k l G m n H m n⊗ ↔ − Si est une fonction constante, alors : ( ,h k l

( ) ( ) ( ) (, , ,Eh k l g k l G m n H m n⊗ ↔

Annexe I-3 : Attraction d'un prisme rectangulaire à base plate Attraction d'un prisme rectangulaire à base plate [Madani Aarizou, 1995] La force d'attraction exercée en un point de vecteur position P ( ), ,µ α β γ=

ur par un corps de masse

dans la direction

C

m ( , , )X x y z=uur

est donnée dans un système de coordonnées cartésiennes

orthogonal ( )OXYZ , par :

( ) ( ) ( )3

2 2 2 2dm

xF k dmx y z

µ

α β γ

−=

⎡ ⎤− + − + −⎣ ⎦∫∫∫

ur rur

k étant la constante gravitationnelle et l'élément de masse du corps . dm C Dans la direction de l'axe des X on a :

( ) ( ) ( )3

2 2 2 2x

m

xF k dx y z

vαρα β γ

−=

⎡ ⎤− + − + −⎣ ⎦∫∫∫

ρ étant la densité constante du corps C et l'élément de volume. dv Si le corps est représenté par un prisme rectangulaire de cotés C ( ), ,a b c tangents aux trois axes de coordonnées et si le point est confondu avec l'origine du système de coordonnées, la composante de l'attraction sur l'origine

P( )P 0,0,0 suivant l'axe des X sera :

( )3

2 2 2 20 0 0

c b a

XxF k d

x y zρ −

=+ +

∫ ∫ ∫ x dy dz

Figure 1: Attraction d'un prisme tangent aux axes de coordonnées.

Annexe I-3 : Attraction d'un prisme rectangulaire à base plate l'intégration suivant les variable , et donne : x y z

( )( )

( )( )

4 4

4 1 3 2 3

arctan ln lnX

b c r c b rbcF k a b car r c r r b r

ρ⎡ ⎤+ +

= − + +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

avec: 2 21r a b= + , 2 2

2r a c= + , 2 23r b c= + et 2 2

4r a b c2= + + . De même, l'intégration des composantes de la forces d'attraction suivant les axes Y et Z donne :

( )( )

( )( )

4 4

4 1 2 3 2

arctan ln lnY

a c r c a racF k b a cbr r c r r a r

ρ⎡ ⎤+ +

= − + +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

( )( )

( )( )

4 4

4 2 1 3 1

arctan ln lnZ

a b r b a rabF k c a bcr r b r r a r

ρ⎡ ⎤+ +

= − + +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

Pour le calcul de l'attraction d'un prisme dont les cotés sont parallèles aux axes de coordonnées, on considère les huit prismes ( tangents aux axes :

Q)

)

1 8,...,Q Q

( ) (1 2 3 4 5 6 7 8Q Q Q Q Q Q Q Q Q= − + − − − + −

Figure 2: représentation du prismes par son sommet i=1,...,8Q ( )i le plus éloigné de l'origine du système de coordonnées. Dans le cas ou l'on a à calculer les composantes de l'attraction due à un prisme tangent au plan ( )XOY , la formule devient :

( )1 2 3 4Q Q Q Q Q= − + −

Annexe II-1 : Format et Contenu du fichier Topex/Poseidon: “PassFile Scientific Data Record n”

Reference : Aviso User Handbook – Merged Topex/Poseidon Products (GDR-Ms) AVI-NT-02-101-CN - Edition 3.0, July 1996 LABELING AND BRIEF DESCRIPTION Each GDR-M passfile conforms to the following naming convention : MGxccc.ppp Where :

M for the AVISO merged product. G for GDR data type(1). x the generation letter (A to Z)(1) . [At the date of edition 3, x = C.] ccc cycle number(2). ppp the pass-file number (001 to 254).

(1) The data type and the generation letter and the version number are known through the associated cycle header file and through the name of the directory in which this file is recorded. The data type is also recorded inside the file (header part). (2) The cycle number associated with the ten-day repeat period in which this data were acquired is recorded inside the file (header part) and also accessible through the cycle header file and through the directory name. PASS-FILE : HEADER RECORDS Record number Format Keyword Content Value Format

1 char*20 CCSD3ZF0000100000001 ------- 2 char*20 CCSD3KS00006PASSFILE ------- 3 char*20 Producer_Agency_Name char*4 4 char*25 Producer Institution_Name char*5 5 char*11 Source_Name char*14 6 char*11 Sensor_Name char*14 7 char*23 Data_Handbook_Reference char*21 8 char*25 Product_Create_Start_Time char*17 9 char*23 Product_Create_End_Time char*17 10 har*24 Generating_Software_Name char*50 11 char*8 Build_Id char*21 12 char*19 Pass_File_Data_Type char*6 13 char*19 POSEIDON_Range_Bias char*8 14 char*16 TOPEX_Range_Bias char*8 15 char*17 T/P_Sigma0_Offset char*8 16 char*19 NASA_Orbit_Filename char*38 17 char*15 Orbit_Qual_NASA char*11 18 char*19 CNES_Orbit_Filename char*38 19 char*15 Orbit_Qual_CNES char*1 20 char*18 Topex_Pass_File_Id char*33 21 char*21 Poseidon_Pass_File_Id char*38 22 char*17 CORIOTROP_File_Id char*38 23 char*12 Cycle_Number char*3 24 char*11 Pass_Number char*3 25 char*15 Pass_Data_Count char*4 26 char*10 Rev_Number char*5 27 char*17 Equator_Longitude char*10 28 char*12 Equator_Time char*24 29 char*13 Time_First_Pt char*24 30 char*12 Time_Last_Pt char*24 31 char*10 Time_Epoch char*24 32 char*20 CCSD$$MARKERPASSFILE ------- 33 char*20 CCSD3RF0000300000001 -------

Annexe II-1 : Format et Contenu du fichier Topex/Poseidon: “PassFile Scientific Data Record n” PASSFILE : SCIENTIFIC DATA RECORD n

Field Number

Record Location

Mnemonic

Content

Type

Size

Units TIME GROUP 1 1 Tim_Moy_1 Time, day part*1 SI 2 Day 2 3 Tim_Moy_2 Time, millisecond part SI 4 10-3s 3 7 Tim_Moy_3 Time, microsecond part SI 2 10-6s 4 9 Dtim_Mil Time shift midframe SI 4 10-6s 5 13 Dtim_Bias Net time tag correction SI 4 10-6s 6 17 Dtim_Pac 10 per second timing SI 4 10-6s LOCATION GROUP 7 21 Lat_Tra Latitude SI 4 10-6deg 8 25 Lon_Tra Longitude SI 4 10-6deg ALTITUDE GROUP 9 29 Sat_Alt Altitude above the reference ellipsoid (NASA) SI 4 10-3m 10 33 HP_Sat Altitude above the reference ellipsoid (CNES) SI 4 10-3m 11 to 20 37 Sat_Alt_Hi_Rate(i),

i = 1 to10 Differences of satellite altitude from Sat_Alt SI 10

x 2 10-3m

21 to 30 57 HP_Sat(i), i = 1 to 10

Differences of satellite altitude from HP_Sat SI 10 x 2

10-3m

ATTITUDE GROUP 31 77 Att_Wvf Waveform attitude I 1 10-2deg 32 78 Att_Ptf Platform attitude I 1 10-2deg ALTIMETER RANGE GROUP 33 79 H_Alt One per second altimeter range SI 4 10-3m 34 to 43 83 H_Alt_SME(i),

i= 1 to 10 Difference of altimeter range from H_Alt SI 10

x 2 10-3m

44 103 Nval_H_Alt Number of valid points for 1 second altitude SI 1 - 45 104 RMS_H_Alt Root mean square of range SI 2 10-3m 46 106 Net_Instr_R_Corr_K Net instrument correction to range (Ku) SI 2 10-3m 47 108 Net_Instr_R_Corr_C Net instrument correction to range (C) SI 2 10-3m 48 110 CG_Range_Corr Center of gravity movement correction to range SI 1 10-3m 59 111 Range_Deriv Range derivative SI 2 10-2m/s 50 113 RMS_Range_Deriv RMS of high-rate values of Range_Deriv SI 2 10-2m/s ENVIRONMENTAL CORRECTION GROUP 51 115 Dry_Corr Dry tropospheric correction at measurement time SI 2 10-3m 52 117 Dry1_Corr Dry tropospheric correction before measurement SI 2 10-3m 53 119 Dry2_Corr Dry tropospheric correction after measurement SI 2 10-3m 54 121 Inv_Bar Inverse barometer correction at measurement time SI 2 10-3m 55 123 Wet_Corr Wet tropospheric correction at measurement time SI 2 10-3m 56 125 Wet1_Corr Wet tropospheric correction before measurement SI 2 10-3m 57 127 Wet2_Corr Wet tropospheric correction after measurement SI 2 10-3m 58 129 Wet_H_Rad Radiometer wet tropospheric correction SI 2 10-3m 59 131 Iono_Cor Topex dual-frequency ionospheric correction SI 2 10-3m 60 133 Iono_Dor Ionospheric correction from DORIS SI 2 10-3m 61 135 Iono_Ben Ionospheric correction from Bent model SI 2 10-3m SIGNIFICANT WAVE HEIGHT AND EMB GROUP 62 137 SWH_K Significant wave height (Ku) I 2 10-2m 63 139 SWH_C Significant wave height (C) I 2 10-2m 64 141 SWH_RMS_K RMS of significant wave height (Ku) I 1 10-2m 65 142 SWH_RMS_C RMS of significant wave height (C) I 1 10-2m

Annexe II-1 : Format et Contenu du fichier Topex/Poseidon: “PassFile Scientific Data Record n” 66 143 SWH_Pts_Avg Number of valid points used to compute SWH SI 1 - 67 144 Net_Instr_SWH_

Corr_K Net instrument correction to SWH (Ku) SI 1 10-1m

68 145 Net_Instr_SWH_Corr_C Net instrument correction to SWH (C) SI 1 10-1m 69 146 DR(SWH/att)_K SWH/Attitude correction (Ku) SI 2 10-3m 70 148 DR(SWH/att)_C SWH/Attitude correction (C) SI 2 10-3m 71 150 SSB_Corr_Kl Sea State Bias correction (Ku) (BM4) SI 2 10-3m 72 152 SSB_Corr_K2 Sea State Bias correction (Ku) (TGS) SI 2 10-3m BACKSCATTER COEFFICIENT AND AGC GROUP 73 154 Sigma0_K Backscatter coefficient (Ku) I 2 10-2dB 74 156 Sigma0_C Backscatter coefficient (C) I 2 10-2dB 75 158 AGC_K Automatic gain control (Ku) I 2 10-2dB 76 160 AGC_C Automatic gain control (C) I 2 10-2dB 77 162 AGC_RMS_K RMS of automatic gain control (Ku) SI 2 10-2dB 78 164 AGC_RMS_C RMS of automatic gain control (C) I 1 10-2dB 79 165 Atm_Att_Sig0_Corr Atmospheric attenuation correction to sigma0 I 1 10-2dB 80 166 Net_Instr_Sig0_Corr Net instrument correction to sigma0 SI 2 10-2dB 81 168 Net_Instr_AGC_Corr_K Net instrument correction to AGC (Ku) SI 2 10-2dB 82 170 Net_Instr_AGC_Corr_C Net instrument correction to AGC (C) SI 2 10-2dB 83 172 AGC_Pts_Avg Number of valid points used to compute AGC SI 1 - GEOPHYSICAL QUANTITY GROUP 84 173 H_MSS Mean sea surface height SI 4 10-3m 85 177 H_Geo Geoid height SI 4 10-3m 86 181 H_Eot_CSR Elastic ocean tide (CSR 3.0) SI 2 10-3m 87 183 H_Eot_FES Elastic ocean tide (FES95.2) SI 2 10-3m 88 185 H_Lt_CSR Tidal loading effect (CSR3.0 ) SI 2 10-3m 89 187 H_Set Solid earth tide SI 2 10-3m 90 189 H_Pol Geocentric pole tide SI 1 10-3m 91 190 Wind_Sp Wind intensity (from altimeter data) I 1 10-1m /s 92 191 H_Ocs Ocean depth SI 2 m BRIGHTNESS TEMPERATURES GROUP 93 193 Tb_18 Brightness temperature 18 GHz SI 2 10-2K 94 195 Tb_21 Brightness temperature 21 GHz SI 2 10-2K 95 197 Tb_37 Brightness temperature 37 GHz S 2 10-2K FLAGS GROUP 96 199 ALTON Altimeter indicator SI 1 - 97 200 Instr_State_TOPEX States of Topex altimeter BF 1 - 98 201 Instr_State_TMR States of the TMR BF 1 - 99 202 Instr_State_DORIS States of Doris instrument SI 1 - 100 203 IMANV Maneuver indicator SI 1 - 101 204 Lat_Err Quality index of the latitude SI 1 - 102 205 Lon_Err Quality index of the longitude SI 1 - 103 206 Val_Att_Ptf Platform attitude validity SI 1 - 104 207 Current_Mode_1 Altimeter current mode (Topex’ first frame) BF 1 - 105 208 Current_Mode_2 Altimeter current mode (Topex or Poseidon ’ second

frame) BF 1 -

106 209 Gate_Index Topex gate index BF 1 - 107 210 Ind_Pha Poseidon indicator on tracker processing SI 1 - 108 211 Rang_SME State of 1/10 second values I 2 - 109 213 Alt_Bad_1 Topex and Poseidon measurement conditions n°1 BF 1 - 110 214 Alt_Bad_2 Topex and Poseidon measurement conditions n°2 BF 1 - 111 215 Fl_Att Attitude indicator SI 1 - 112 216 Dry_Err Quality index on Dry_Corr SI 1 - 113 217 Dry1_Err Quality index on Dry1_Corr SI 1 - 114 218 Dry2_Err Quality index on Dry2_Corr SI 1 - 115 219 Wet_Flag Interpolation indicator on Wet_Corr, Wet1_Corr and

Wet2_Corr SI 1 -

116 220 Wet_H_Err Quality index on Wet_Corr, Wet1_Corr and Wet2_Corr

SI 1 -

Annexe II-1 : Format et Contenu du fichier Topex/Poseidon: “PassFile Scientific Data Record n” 117 221 Iono_Bad Quality index on Iono_Cor I 2 - 118 223 Iono_Dor_Bad Quality index on Iono_Dor SI 1 - 119 224 Geo_Bad_1 Ocean/land/ice indicator BF 1 - 120 225 Geo_Bad_2 Rain/tide conditions BF 1 - 121 226 TMR_Bad Flags for brightness temperatures BF 1 - 122 227 Ind_RTK POSEIDON ground retracking indicator BF 1 - SPARES GROUP 123 228 spare ------------------------------------------------------------- - 1 - * SI : Signed integer ; I : Unsigned integer ; BF : Bitfield

Annexe II-2 : Format et Contenu du fichier Topex/Poseidon: “ Crossover Point File ” Reference : Aviso User Handbook – Merged Topex/Poseidon Products (GDR-Ms) AVI-NT-02-101-CN - Edition 3.0, July 1996 LABELING AND BRIEF DESCRIPTION The crossover point file conforms to the following naming convention : MGxccc.XNG Where :

M for the AVISO Merged product. G for GDR data type(1). x the generation letter (A to Z)(1). [At the date of edition 3, x = C.] ccc cycle number(2). XNG for the crossover point file.

(1) The data type, the generation letter and the version number are known through the cycle header file and through the name of the directory in which this file is recorded. The data type is also recorded inside the file (header part). (2) The cycle number associated with the ten-day repeat period in which this data were acquired is recorded inside the file (header part) and also accessible through the cycle header file and through the directory name. CROSSOVER POINT FILE : HEADER RECORDS

Record number Format Keyword Content Value Format 1 char*20 CCSD3ZF0000100000001 ------- 2 char*20 CCSD3KS00006XINGFILE ------- 3 char*20 Producer_Agency_Name char*4 4 char*25 Producer Institution_Name char*5 5 char*11 Source_Name char*14 6 char*11 Sensor_Name char*14 7 char*23 Data_Handbook_Reference char*21 8 char*25 Product_Create_Start_Time char*17 9 char*23 Product_Create_End_Time char*17 10 char*24 Generating_Software_Name char*50 11 char*8 Build_Id char*21 12 char*9 Data_Type char*6 13 char*23 GDR-M_Cycle_Header_Name char*10 14 char*12 Cycle_Number char*3 15 char*15 Crossover_count char*5 16 char*10 Time_Epoch char*24 17 char*20 CCSD$$MARKERXINGFILE ------- 18 char*20 CCSD3RF0000100000001 -------

Annexe II-2 : Format et Contenu du fichier Topex/Poseidon: “ Crossover Point File ” CROSSOVER POINT FILE : SCIENTIFIC DATA RECORD n

Field Number

Record Location

Mnemonic

Content

Type

Size

Units

1 1 Typ_Cro Crossover point type SI 1 - 2 2 Lat_Cro Latitude SI 4 10-6deg 3 6 Lon_Cro Longitude SI 4 10-6deg 4 10 H_MSS_Cro Mean sea surface height SI 4 10-3m 5 14 H_OCS_Cro Ocean depth SI 2 m 6 16 Spare --------------------------------------- - 1 - ASCENDING ARC PARAMETERS 7 17 Num_Pass_Asc Ascending arc number I 1 - 8 18 Tim_Moy_Asc_1 Time, day part SI 2 day 9 20 Tim_Moy_Asc_2 Time, millisecond part SI 4 10-3s 10 24 Tim_Moy_Asc_3 Time, microsecond part SI 2 10-6s 11 26 Sat_Alt_Asc Altitude above the reference ellipsoid (NASA) SI 4 10-3m 12 30 HP_Sat_Asc Altitude above the reference ellipsoid (CNES) SI 4 10-3m 13 34 Att_Ptf_Asc Platform attitude I 1 10-2deg 14 35 Att_Wvf_Asc Waveform attitude I 1 10-2deg 15 36 H_Alt_Asc One per second altimeter range SI 4 10-3m 16 40 Spline_RMS_Asc RMS of 8 points compared to the spline SI 1 10-3m 17 41 Net_Instr_R_Corr_K_Asc Net instrument correction to range (Ku) SI 2 10-3m 18 43 Net_Instr_R_Corr_C_Asc Net instrument correction to range (C) SI 2 10-3m 19 45 Range_Deriv_Asc Range derivative SI 2 10-2m/s 20 47 RMS_H_Alt_Asc Root mean square of range SI 2 10-3m 21 49 Dry_Corr_Asc Dry tropospheric correction at measurement time SI 2 10-3m 22 51 Dry1_Corr_Asc Dry tropospheric correction before measurement SI 2 10-3m 23 53 Dry2_Corr_Asc Dry tropospheric correction after measurement SI 2 10-3m 24 55 Inv_Bar_Asc Inverse barometer correction at measurement time SI 2 10-3m 25 57 Wet_Corr_Asc Wet tropospheric correction at measurement time SI 2 10-3m 26 59 Wet1_Corr_Asc Wet tropospheric correction before measurement SI 2 10-3m 27 61 Wet2_Corr_Asc Wet tropospheric correction after measurement SI 2 10-3m 28 63 Wet_H_Rad_Asc Radiometer wet tropospheric correction SI 2 10-3m 29 65 Iono_Cor_Asc TOPEX dual-frequency ionospheric correction SI 2 10-3m 30 67 Iono_Dor_Asc Ionospheric correction from DORIS SI 2 10-3m 31 69 Iono_Ben_Asc Ionospheric correction from Bent model SI 2 10-3m 32 71 SWH_K_Asc Significant wave height (Ku) I 2 10-2m 33 73 SWH_C_Asc Significant wave height (C) I 2 10-2m 34 75 SSB_Corr_K1_Asc Sea State Bias correction (Ku) (BM4) SI 2 10-3m 35 77 DR(SWH/att)_K_Asc Attitude correction (Ku) SI 2 10-3m 36 79 DR(SWH/att)_C_Asc Attitude correction(C) SI 2 10-3m 37 81 Sigma0_K_Asc Backscatter coefficient (Ku) I 2 10-2dB 38 83 Sigma0_C_Asc Backscatter coefficient (C) I 2 10-2dB 39 85 H_Eot_CSR_Asc Elastic ocean tide (CSR3.0) SI 2 10-3m 40 87 H_Eot_FES_Asc Elastic ocean tide (FES95.2) SI 2 10-3m 41 89 H_Lt_CSR_Asc Tidal loading effect (CSR3.0) SI 2 10-3m 42 91 H_Set_Asc Solid earth tide SI 2 10-3m 43 93 H_Pol_Asc Geocentric pole tide SI 1 10-3m 44 94 Wind_Sp_Asc Wind intensity (from altimeter data) I 1 10-1m/s 45 95 Geo_Bad_1_Asc Ocean/land/ice indicator BF 1 - 46 96 Geo_Bad_2_Asc Rain/tide conditions BF 1 - 47 97 Dry_Err_Asc Quality index on Dry_Corr_Asc SI 1 - 48 98 Dry1_Err_Asc Quality index on Dry1_Corr_Asc SI 1 - 49 99 Dry2_Err_Asc Quality index on Dry2_Corr_Asc SI 1 - 50 100 Wet_H_Err_Asc Quality index on Wet_Corr_Asc, Wet1_Corr_Asc

and Wet2_Corr_Asc SI 1 -

51 101 Iono_Dor_Bad_Asc Quality index on Iono_Dor_Asc SI 1 - 52 102 Ind_RTK_Asc POSEIDON ground retracking indicator BF 1 -

Annexe II-2 : Format et Contenu du fichier Topex/Poseidon: “ Crossover Point File ” DESCENDING ARC PARAMETERS 53 103 Num_Pass_Des Descending arc number I 1 - 54 104 Tim_Moy_Des_1 Time, day part SI 2 day 55 106 Tim_Moy_Des_2 Time, millisecond part SI 4 10-3s 56 110 Tim_Moy_Des_3 Time, microsecond part SI 2 10-6s 57 112 Sat_Alt_Des Altitude above the reference ellipsoid (NASA) SI 4 10-3m 58 116 HP_Sat_Des Altitude above the reference ellipsoid (CNES) SI 4 10-3m 59 120 Att_Ptf_Des Platform attitude I 1 10-2deg 60 121 Att_Wvf_Des Waveform attitude I 1 10-2deg 61 122 H_Alt_Des One per second altimeter range SI 4 10-3m 62 126 Spline_RMS_Des RMS of 8 points compared to the spline SI 1 10-3m 63 127 Net_Instr_R_Corr_K_Des Net instrument correction to range (Ku) SI 2 10-3m 64 129 Net_Instr_R_Corr_C_Des Net instrument correction to range (C) SI 2 10-3m 65 131 Range_Deriv_Des Range derivative SI 2 10-2m/s 66 133 RMS_H_Alt_Des Root mean square of range SI 2 10-3m 67 135 Dry_Corr_Des Dry tropospheric correction at measurement time SI 2 10-3m 68 137 Dry1_Corr_Des Dry tropospheric correction before measurement SI 2 10-3m 69 139 Dry2_Corr_Des Dry tropospheric correction after measurement SI 2 10-3m 70 141 Inv_Bar_Des Inverse barometer correction at measurement time SI 2 10-3m 71 143 Wet_Corr_Des Wet tropospheric correction at measurement time SI 2 10-3m 72 145 Wet1_Corr_Des Wet tropospheric correction before measurement SI 2 10-3m 73 147 Wet2_Corr_Des Wet tropospheric correction after measurement SI 2 10-3m 74 149 Wet_H_Rad_Des Radiometer wet tropospheric correction SI 2 10-3m 75 151 Iono_Cor_Des TOPEX dual-frequency ionospheric correction SI 2 10-3m 76 153 Iono_Dor_Des Ionospheric correction from DORIS SI 2 10-3m 77 155 Iono_Ben_Des Ionospheric correction from Bent model SI 2 10-3m 78 157 SWH_K_Des Significant wave height (Ku) I 2 10-2m 79 159 SWH_C_Des Significant wave height (C) I 2 10-2m 80 161 SSB_Corr_K1_Des Sea State Bias correction (Ku) (BM4) SI 2 10-3m 81 163 DR(SWH/att)_K_Des Attitude correction (Ku) SI 2 10-3m 82 165 DR(SWH/att)_C_Des Attitude correction(C) SI 2 10-3m 83 167 Sigma0_K_Des Backscatter coefficient (Ku) I 2 10-2dB 84 169 Sigma0_C_Des Backscatter coefficient (C) I 2 10-2dB 85 171 H_Eot_CSR_Des Elastic ocean tide (CSR3.0) SI 2 10-3m 86 173 H_Eot_FES_Des Elastic ocean tide (FES95.2) SI 2 10-3m 87 175 H_Lt_CSR_Des Tidal loading effect (CSR3.0) SI 2 10-3m 88 177 H_Set_Des Solid earth tide SI 2 10-3m 89 179 H_Pol_Des Geocentric pole tide SI 1 10-3m 90 180 Wind_Sp_Des Wind intensity (from altimeter data) I 1 10-1m/s 91 181 Geo_Bad_1_Des Ocean/land/ice indicator BF 1 - 92 182 Geo_Bad_2_Des Rain/tide conditions BF 1 - 93 183 Dry_Err_Des Quality index on Dry_Corr_Des SI 1 - 94 184 Dry1_Err_Des Quality index on Dry1_Corr_Des SI 1 - 95 185 Dry2_Err_Des Quality index on Dry2_Corr_Des SI 1 - 96 186 Wet_H_Err_Des Quality index on Wet_Corr_Des, Wet1_Corr_Des

and Wet2_Corr_Des SI 1 -

97 187 Iono_Dor_Bad_Des Quality index on Iono_Dor_Des SI 1 - 98 188 Ind_RTK_Des POSEIDON ground retracking indicator BF 1 - 99 189 Spares ----------------------------------------------------------- - 40 - SI : Signed integer ; I : Unsigned integer ; BF : Bitfield.

Annexe II-3 : Format et Contenu du fichier Topex/Poseidon: “Orbits-File ” Reference : Aviso User Handbook – Merged Topex/Poseidon Products (GDR-Ms) AVI-NT-02-101-CN - Edition 3.0, July 1996 LABELING AND BRIEF DESCRIPTION The orbit file conforms to the following naming convention : MGxccc.eee Where :

M for the AVISO Merged product. G for GDR data type(1) . x the generation letter (A to Z)(1 ) . [At the date of edition 3, x = C.] ccc cycle number (2). eee orbit origin (EPC for the CNES ephemeris or EPN for the NASA ephemeris).

(1) The data type and the generation letter are known through the cycle header file and through the name of the directory in which this file is recorded. The data type is also recorded inside the file (header part). (2) The cycle number associated with the ten-day repeat period in which this data were acquired is recorded inside the file (header part) and also accessible through the cycle header file and through the directory name. ORBITS-FILE : HEADER RECORDS Record number Format Keyword Content Value Format 1 char*20 CCSD3ZF0000100000001 ------- 2 char*20 CCSD3KS00006ORBIFILE ------- 3 char*20 Producer_Agency_Name char*4 4 char*25 Producer Institution_Name char*5 5 char*11 Source_Name char*14 6 char*11 Sensor_Name char*14 7 char*23 Data_Handbook_Reference char*21 8 char*25 Product_Create_Start_Time char*17 9 char*23 Product_Create_End_Time char*17 10 char*24 Generating_Software_Name char*50 11 char*8 Build_Id char*21 12 char*12 Cycle_Number char*3 13 char*13 Time_First_Pt char*24 14 char*12 Time_Last_Pt char*24 15 char*10 Time_Epoch char*24 16 char*13 Sampling_Rate char*2 17 char*17 Equatorial_Radius char*9 18 char*28 Inverse_Flatness_Coefficient char*12 19 char*23 Input_Orbit_File_Number char*2 20 char*8 Orbit_Id char*38 21 char*13 Orbit_Quality char*11 (22) char*8 Orbit_Id* char*38 (23) char*13 Orbit_Quality* char*11 (24) char*8 Orbit_Id* char*38

Annexe II-3 : Format et Contenu du fichier Topex/Poseidon: “Orbits-File ” (25) char*13 Orbit_Quality* char*11 (26) char*8 Orbit_Id* char*38 (27) char*13 Orbit_Quality* char*11 (28) char*8 Orbit_Id* char*38 (29) char*13 Orbit_Quality* char*11 (30) char*8 Orbit_Id* char*38 (31) char*13 Orbit_Quality* char*11 (32) char*8 Orbit_Id* char*38 (33) char*13 Orbit_Quality* char*11 (34) char*8 Orbit_Id* char*38 (35) char*13 Orbit_Quality* char*11 (36) char*8 Orbit_Id* char*38 (37) char*13 Orbit_Quality* char*11 (38) char*8 Orbit_Id* char*38 (39) char*13 Orbit_Quality* char*11 (40) char*8 Orbit_Id* char*38 (41) char*13 Orbit_Quality* char*11 22 (to42) CCSD$$MARKERO

RBIFILE char*20 -------

23 (to43) char*20 CCSD3RF0000300000001 ------- *

The NASA orbit file used to compute the orbit file on CD ROM is unique if there is no maneuver during the cycle. If there is a maneuver, there are two orbit files, one before the maneuver time, one after the maneuver time. The CNES orbit files used to compute the orbit file on CD ROM are per day. There may be 10 to 11 files to cover a cycle. ORBIT-FILE : SCIENTIFIC DATA RECORD n

Field Number

Record Location

Mnemonic

Content

Type

Size

Units

1 1 Tim_Moy_1 Time, day part SI 2 day 2 3 Tim_Moy_2 Time, millisecond part SI 4 10-3sec 3 7 Tim_Moy_3 Time, microsecond part SI 2 10-6sec 4 9 Lat Latitude SI 4 10-6deg 5 13 Lon Longitude SI 4 10-6deg 6 17 Orb Radial orbital height SI 4 10-3m 7 21 X_CTRS_1 X, satellite position (CTRS), millimeter part SI 2 10-3m 8 23 X_CTRS_2 X, satellite position (CTRS), meter part SI 4 m 9 27 Y_CTRS_1 Y, satellite position (CTRS), millimeter part SI 2 10-3m 10 29 Y_CTRS_2 Y, satellite position (CTRS), meter part SI 4 m 11 33 Z_CTRS_1 Z, satellite position (CTRS), millimeter part 2 SI 10-3m 12 35 Z_CTRS_2 Z, satellite position (CTRS), meter part SI 4 m 13 39 Spares ------------------------------------------------------- - 18 -

Résumé Le géoïde connaît un regain d’intérêt depuis l’avènement du positionnement précis par satellite, en particulier pour réaliser du nivellement par GPS. Dans un premier temps, nous rappellerons les notions fondamentales de la géodésie physique puis nous aborderons la méthode de Stokes, pour la détermination d’un géoïde gravimétrique sur l’Algérie du Nord en utilisant la technique de retrait-restauration. Par suite nous expliquerons comment les données altimétriques Topex/Poseidon ont été exploitées pour aboutir au calcul d’un géoïde altimétrique sur la Méditerranée. Et finalement, la formule inverse de Vening Meinesz est employée pour déduire les anomalies de pesanteur en utilisant les déviations de la verticale issues des données Topex / Poseidon. Mots clés : géoïde gravimétrique, géoïde altimétrique, formule de Stokes, formule inverse de Vening Meinesz, anomalie de pesanteur, déviation de la verticale, retrait-restauration, Topex/Poseidon. Abstract The need of precise geoid is growing with the increasing use of precise satellite positioning particularly for GPS leveling. First, we will recall some fundamental rules in physical geodesy, we shall the Stokes’ approach, for the determination of a gravimetric geoid over North of Algeria by using the remove-restore technique. Then explain how altimetric data Topex/Poseidon have been exploited for the computation of altimetric geoid over the Mediterranean Sea. And finally, the inverse Vening Meinesz formula is employed to derive the gravity anomalies using the deflections from data of Topex/Poseidon satellite altimetry. Key words : gravimetric geoid, altimetric geoid, Stokes formula, inverse Vening Meinesz formula, gravity anomaly, deflection of the vertical, remove-restore, Topex/Poseidon.

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SERVICE DE LA CHEFFERIE DU GOUVERNEMENT … · Le géoïde, dont la définition mathématique est relativement complexe, est d’un usage peu aisé, son utilisation était principalement