Corrections de terrain en gravimétrie et gradiométrie ...eprints2.insa-strasbourg.fr/851/1/PFE2011_Vannes_fr.pdf · Comme le géoïde ne peut pas être mesuré directement, George

Institut National des Sciences Appliquées de Strasbourg

Mémoire de soutenance de Diplôme d’Ingénieur INSASpécialité TOPOGRAPHIE

Corrections de terrainen gravimétrie et gradiométrie

relatives aux missions satellitairesGRACE et GOCE

Présenté en Juin 2011 par Nathalie VANNES

Réalisé au sein de l’entreprise : Dublin Institute for Advanced Studies5 Merrion Square, Dublin 2Irlande

Directeur de PFE : Correcteurs :Zdeněk Martinec Gilbert Ferhat

Pascal Bonnefond

version Française

Remerciements

Je remercie tout d’abord mon directeur de projet Zdeněk Martinec, pour m’avoir proposéce sujet passionnant, m’avoir encadrée et suivie tout au long de mon travail avec tant d’en-thousiasme et pour ses explications pédagogiques. Il s’est montré très présent et disponiblemalgré son emploi du temps chargé et est une véritable source d’informations et de savoirs.

Mes remerciements s’adressent également à Gilbert Ferhat et Pascal Bonnefond, pourm’avoir préparée à ce travail et pour avoir suivi mon avancement. Leurs avis et conseils ontété essentiels à mon évolution.

J’ai une immense gratitude pour les chercheurs, doctorants et techniciens du Dublin In-stitute for Advances Studies, qui furent présents à tout moment pour m’aiguiller dans montravail et m’apporter des solutions sur l’utilisation spécifique des outils informatiques scien-tifiques. Ma reconnaissance s’adresse particulièrement à Céline Tirel et Joanne Adam pourleur soutien, leur aide et le temps qu’elles m’ont accordé pour contrôler mon travail en français.

J’ai également une pensée toute particulière pour mes anciens camarades de classes quim’ont encouragée durant ce projet, et ont relu mon travail.

Enfin, je souhaite exprimer mes remerciements à Marcin Kałęcki pour m’avoir soutenue,ainsi qu’à toutes les personnes qui m’ont permis, d’une manière ou d’une autre, de faireprogresser mon travail.

i

ii

Avant-propos

L’effet de la topographie sur les mesures gravitationnelles est un sujet captivant et com-plexe. Ce travail m’a permis d’élargir mes connaissances en géodésie basées sur mes cours degéomètre, dispensés en BTS puis au cours du cursus d’ingénieur INSA, à des notions physiqueset mathématiques complémentaires. Au cours de ce travail de diplôme j’ai saisi l’opportunitéd’écrire mes propres programmes. J’ai ainsi acquis et développé des compétences en langagefortran, à l’écriture de scripts pour "Generic Mapping Tools", à l’écriture LATEX, et l’utili-sation du système d’exploitation LINUX. Enfin, j’ai particulièrement apprécié le fait d’êtreplongée dans un environnement international de recherche scientifique qui a été pour moi uneexpérience très enrichissante.

iii

iv

Table des matières

Remerciements i

Avant-propos iii

Introduction 1

1 Etat de l’art et définitions 5

1.1 La position d’un point dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 L’intégrale de Newton pour le potentiel gravitationnel . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Les missions satellitaires GRACE et GOCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Concepts de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Description des missions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 La méthode de Retrait-Calcul-Restauration (RCR) . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Retrait de l’effet gravitationnel résiduel des masses topographiques . . 10

1.4.2 Calcul du géoïde résiduel ou co-géoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.3 Restauration de la contribution de la topographie à la solution . . . . 11

1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Effets topographiques 15

2.1 Masses topographiques et plateau de Bouguer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Masses topographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Plateau de Bouguer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3 La rugosité du terrain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Masses compensées et couche de condensation de Helmert . . . . . . . . . . . 17

2.3 Effet topographique indirect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

v

2.3.1 Effet topographique indirect sur le potentiel . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2 Effet topographique indirect sur le géoïde . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Effet topographique direct sur la pesanteur mesurée en surface . . . . . . . . 21

2.5 Effet topographique direct sur la pesanteur mesurée par satellite . . . . . . . 22

2.6 Effet topographique direct sur la gradiométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Préparation au calcul et programmation des effets topographiques 25

3.1 L’intégrale du noyau de Newton pour le calcul numérique . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Détermination de l’expression analytique . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2 Utilisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Préparation des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Données sources : Modèles numériques de terrain Etopo . . . . . . . . 27

3.2.2 Description du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Etude sur le temps de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Applications numériques sur l’Irlande, la France et l’Iran 33

4.1 Les zones d’études . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Effet topographique direct sur la pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 A la surface de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.2 Aux altitudes satellitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Effet topographique direct sur la gradiométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.1 Effet résiduel δE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.2 Effet total V trr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 Résultats pour les trois zones d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Conclusions et perspectives 47

Liste des symboles 49

Liste des acronymes 51

Table des figures 52

vi

Bibliographie 55

A Annexes 59

A.1 Projet de travail de l’ESA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.2 Fondamentaux de mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

A.3 La formule de Bruns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A.4 Expression analytique du noyau de Newton et de ses dérivées . . . . . . . . . 65

A.4.1 Expression of L−1a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A.4.2 Expression of ∂2 ˜L−1a /∂r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A.5 Représentation graphique du noyau de Newton et de ses dérivées . . . . . . . 67

A.6 Sources de données des modèles numériques de terrain Etopo . . . . . . . . . 69

A.7 Programme fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

A.7.1 Partie principale du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

A.7.2 Les trois subroutines appelées dans le programme . . . . . . . . . . . . 76

A.8 Temps de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A.9 Moyenne et erreur moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

A.10 Représentations graphiques de l’effet topographique indirect sur le géoïde . . 82

A.11 Représentations graphiques de l’effet topographique direct sur la pesanteur en

surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.12 Représentations graphiques de l’effet topographique direct sur la pesanteur à

altitude satellitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A.13 Représentations graphiques de l’effet topographique direct sur la gradiométrie 85

vii

viii

Introduction

L’objectif de ce projet est d’étudier les effets gravitationnels des masses topographiquesà altitude satellitaire. Cette introduction justifie le besoin de la détermination de ces effetsafin d’appliquer les corrections de terrain nécessaires au post-traitement des données grav-imétriques et gradiométriques des deux missions satellitaires GRACE et GOCE.

Détermination de la forme de la Terre

Commençons par la forme de notre planète. Celle-ci a été le sujet de nombreuses con-troverses à travers notre histoire. En 600 av J.C, le philosophe Pythagore émit l’hypothèsed’une Terre sphérique, 300 ans plus tard Aristote en apporta la première preuve physique etastronomique, et Eratosthène effectua la première mesure de la circonférence de la Terre en240 av J.C. La figure mathématique de la Terre fut pour la première fois décrite en 1828 parCarl Friedrich Gauss (Gauss, 1828 ; Hofmann-Wellenhof & Moritz, 2006). Plus tard, JohannBenedict Listing (1873) la nommera le geoïde.

Earth'splumb line

geoid

ellipsoid

Equipotential

ocean

W=W0

H

N

ellipsoidal normal

surface

surfaces

surface

~~

~~

~~

Fig. 1 Surface de la Terre, geoïde, et ellipsoïde.

Le géoïde est défini comme étant la sur-face équipotentielle le long de laquelle le po-tentiel de gravité W est constant et égal àune valeur de référence W0 (Fig.1). Cettevaleur de référence est choisie afin que legeoïde corresponde avec le niveau moyen desocéans (prolongé sous les continents). Etantdonné que les masses sont inégalement répar-ties à l’intérieur de la Terre, le géoïde possèdeune forme irrégulière. Il décrit la forme de laterre par une quantité physique, le potentielde pesanteur, contrairement à l’ellipsoïde de réfrérence qui est la forme géométrique idéalisée.La distance entre ces deux surfaces est appelée l’ondulation du géoïde N ou hauteur géoïdale.

La distance entre les points de nivellement situé à la surface de la Terre et le géoïde,comptée le long de la verticale (ou la direction du fil à plomb 1) est appelée la hauteur

1. La direction du fil à plomb est la courbe tangentielle à l’axe vertical de l’instrument de mesure, une foisajusté.

1

orthométrique H. Par conséquent, le géoïde est défini géométriquement par la surface deréférence ou le "niveau 0" de la hauteur orthométrique H. Ces valeurs peuvent être calculéespar combinaison des mesures de nivellement et de gravité à la surface de la Terre.

Comme le géoïde ne peut pas être mesuré directement, George Gabriel Stokes (1849)a dévelopé une formule pour calculer le géoïde à partir des mesures de la pesanteur. Pourappliquer sa formule, Stokes suppose :• qu’il n’y a aucune masse à l’extérieur du géoïde,• que les mesures de gravité se réfèrent à des mesures sur le géoïde.

Cependant, la présence de topographie enfreint ces hypothèses car :• le géoïde est une surface prolongée sous les continents. Les masses des continents se

trouvent donc bien hors du géoïde,• le géoïde est une surface mathématique sur laquelle les mesures de la pesanteur ne

peuvent pas être réalisées directement.

Objectif de cette étude

Afin de répondre aux impératifs de Stokes concernant le calcul du géoïde, il convientd’utiliser un procédé appelé Retrait-Calcul-Restauration 2 (Forsberg & Tscherning, 1981), entrois étapes.

Retrait : l’effet gravitationnel résiduel des masses topographiques est retiré des donnéesmesurées,

Calcul : le géoïde résiduel est calculé,Restauration : la contribution de la topographie est ajoutée à la solution.

L’objet de ce travail est l’étude et le calcul de l’effet gravitationnel résiduel des massestopographiques sur les mesures du champ de gravité. Cela correspond à l’étude préalablenécessaire à la première des trois étapes du procédé de Retrait-Calcul-Restauration (RCR)qui est l’étape de l’application des corrections de terrain.

Il existe plusieurs méthodes de calcul de l’effet des masses topographiques sur les mesuresdu champ gravitationnel. La méthode de calcul point par point est intéressante à étudiercar elle n’a encore jamais été appliquée aux nouveaux modes de détermination du champgravitationnel, à savoir, par mesures satellitaires.

Ce projet est donc consacré à l’étude préalable du traitement des données des missionssatellitaires GRACE et GOCE, les plus récentes missions de détermination de haute précisiondu géoïde à l’echelle globale. Les mesures sont gravimétriques 3 d’une part (mission GRACE)

2. Remove-Compute-Restore (RCR)3. Gravimétrie : méthode permettant de déterminer le champ de pesanteur terrestre avec un instru-

ment appelé gravimètre. Autrefois, les mesures de la pesanteur étaient uniquement effectuées par des relevésterrestres. Depuis, des gravimètres relatifs portatifs ont été conçus pour être utilisés à bord de bateaux oud’avions. Cependant, les données ne sont pas de bonne précision et sont réparties géographiquement de façoninhomogène. Récemment, les mesures de gravité à partir de satellites (e.g. GRACE) apportent un meilleur

2

et gradiométriques 4 d’autre part (mission GOCE).Il est à noter qu’un projet de l’agence spatiale européenne (ESA) pour le traitement et

l’interprétation des mesures de GOCE devait avoir commencé en mai 2011 (T0) mais esttoujours en cours de négociation. Le Dublin Institute for Advanced Studies (DIAS) où ceprojet de fin d’étude est effectué, a été choisi comme sous-traitant de l’une des huit phasesde ce projet, à savoir le WP6 qui doit débuter 12 mois après le début du projet (T0 +12m). L’activité 6.2 se rapproche du thème de ce projet de fin d’étude puisque l’objectifde l’activité est de "modéliser les effets de gravité et gradiométriques générés par la surfacetopographique" 5. Ainsi, les résultats de ce projet de fin d’étude pourront être utilisés pourdebuter le traitement et l’interprétation des données de GOCE.

Description des chapitres

Le chapitre 1 est dédié à la description des notions de bases nécessaires à une bonne com-préhension de cette étude, tels que ; le positionnement de points en coordonnées sphériques,l’intégrale de Newton pour le potentiel gravitationnel, les missions satellitaires et leurs con-cepts de mesure, et la procédure de Retrait-Calcul-Restauration (RCR).

Le chapitre 2 est consacré à l’expression des effets gravitationnels dus aux masses to-pographiques en utilisant l’intégrale de Newton, et en considérant les effets de compensation.Ces effets gravitationnels sont l’effet indirect sur le géoïde, l’effet direct sur la pesanteurmesurée à la surface de la Terre, l’effet direct sur la pesanteur mesurée à altitude satellitaire,ainsi que l’effet direct gradiométrique.

Le chapitre 3 décrit les expressions analytiques du noyau de Newton qui seront program-mées en langage fortran afin de calculer les effets topographiques, à partir des données desmodèles numériques de terrain globaux.

Enfin, le chapitre 4 présente les résultats numériques des effets topographiques pour lecas de l’Irlande, de la France et de l’Iran , qui sont des zones géographiques présentantune signature topographique spécifique, et se termine par l’analyse et l’interprétation de cesrésultats.

recouvrement géographique et des mesures répétées.4. Gradiométrie : étude de la variation de l’accélération de la gravité. Cette mesure (c’est-à-dire, le

gradient) informe sur le taux de variation de l’accéleration de la gravité dans le domaine spatial.5. Extrait de la description de l’activité WP6.2 qui figure en Annexe A.1 : "To model the gravity and

gradiometric effects generated by [...] the surface topography".

3

4

Chapitre 1

Etat de l’art et définitions

1.1 La position d’un point dans l’espace

La position d’un point dans l’espace est définie par ses coordonnées sphériques (r, ϑ, ϕ),où r est la distance entre le point de mesure et le centre de la Terre, ϑ est la co-latitude et ϕest la longitude (Fig. 1.1). Afin de simplifier la notation, on introduit la direction géocentriqueΩ := (ϑ, ϕ). Un point P (r,Ω) est donc défini par son rayon r et sa direction géocentrique Ω.

#

'

r

Gre

enw

ich

mer

idia

n

P(r, )

Fig. 1.1 Coordonnées d’un point P (r,Ω = (ϑ, ϕ)).

On définit les rayons géocentriques du géoïde Sg et de la surface de la Terre St par desfonctions angulairement dépendantes r = rg(Ω) et r = rt(Ω), respectivement. Comme lemontre la Fig.1.2, les points Pg(rg(Ω),Ω) et Pt(rt(Ω),Ω)) sont respectivement situés sur lessurfaces Sg et St. H(Ω) est définie comme la hauteur entre un point situé à la surface de laTerre (St) et sa projection sur le géoïde (Sg) le long du rayon géocentrique

H(Ω) := rt(Ω)− rg(Ω) . (1.1)

5

Chap 1. Etat de l’art et définitions

H

geoid

Earth's surface

( )

r=rt

r=rg

P

Pg

S

S

t

g

t

Fig. 1.2 Représentation graphique d’un point sur le géoïde et sur la surface terrestre ainsi que lerayon géocentrique.

1.2 L’intégrale de Newton pour le potentiel gravitationnel

L’intégrale de volume de Newton pour le potentiel gravitationnel V au point P (r,Ω) s’écrit

V (r,Ω) = G

∫Ω′∈Ω0

∫ rt(Ω′)

r′=0

%(r′,Ω′)L(r, ψ, r′)r

′2dr′dΩ′ , (1.2)

où G est la constante gravitationnelle de Newton, G = 6.67 · 10−11 m3.kg−1.s−2, %(r′,Ω′) estla densité à l’intérieur de la Terre au point P ′(r′,Ω′), L(r, ψ, r′) est la distance entre P et P ′

et ψ est la distance angulaire entre les directions géocentriques Ω = (ϑ, ϕ) et Ω′ = (ϑ′, ϕ′),(Fig.1.3). En d’autres termes, ψ(Ω,Ω′) représente l’angle de sphère solide entre les points Pet P ′,

cosψ = cosϑ cosϑ′ + sinϑ sinϑ′ cos(ϕ− ϕ′) . (1.3)

L’integration de Ω′ (Eqn.(1.2)) est effectuée selon l’angle solide, Ω0. Dans le texte, l’abbrévi-ation ∫

Ω0=∫ 2π

ϕ=0

∫ π

ϑ=0(1.4)

est utilisée pour l’integrale selon l’angle solide (full solid angle) Ω0, et dΩ′ = sinϑ′dϑ′dϕ′.

#

'

P

P

#

'

L

O

rr

z

x y

Fig. 1.3 Coordonnées sphériques du point de calcul P , d’un point d’intégration P ′, de la distanceL et l’angle solide ψ entre P et P ′.

L’utilisation des arguments dans la notation L(r, ψ, r′) met en évidence la dépendance de

6

1.3. Les missions satellitaires GRACE et GOCE

L aux distances radiales r et r′, ainsi que de la distance angulaire ψ,

L(r, ψ, r′) :=√r′2 − 2rr′ cosψ + r2 . (1.5)

1.3 Les missions satellitaires GRACE et GOCE

1.3.1 Concepts de mesures

Mesurer le champ de pesanteur depuis l’espace est un concept permettant d’établir unebase de données globale, homogène et de haute résolution. De ce point de vue, le satellite estassimilé à une masse en chute libre dans le champ gravitationnel terrestre et sa course orbitaleautour de la Terre permet de déduire le champ de gravité. Quatre critères fondamentauxdoivent être remplis afin de s’affranchir des limitations relatives au traditionnel suivi au soldes satellites (Rummel et al., 2002) :

1. Un suivi continu dans les trois directions spatiales,

2. Une position orbitale la plus basse possible pour un signal gravimétrique élevé,

3. Une mesure ou compensation de l’effet des forces non-gravitationnelles (résistance àl’air, pression de radiation),

4. Contrebalancer l’atténuation du champ de pesanteur avec l’altitude.

Les concepts de mesure qui répondent à ces critères sont la poursuite de satellite en orbiteterrestre basse par un autre satellite de même altitude orbitale ’SST-ll’ 1 et la gradiométrie’SGG’ 2. Ces deux méthodes doivent être toutes les deux associées (Fig.1.4) à la méthode depoursuite de satellite en orbite terrestre basse par un ou plusieurs satellites en orbite terrestrehaute ’SST-hl’ 3 qui ne remplissent que les trois premiers critères précédents.

En mode ’SST-hl’, un satellite en orbite terrestre basse (Low Earth Orbiter, LEO) estéquipé d’un récepteur GPS afin d’être suivi par des satellites en orbite terrestre haute commeGPS, GLONASS ou GALILEO, et d’un laser ’retro-réflecteur’ (Laser retroreflector) capabled’être suivi par des lasers au sol. De plus un accéléromètre 3D placé au centre de masse dusatellite LEO compense l’effet des forces non-gravitationnelles.

En mode ’SST-ll’, deux satellites LEOs sont positionnés sur la même orbite, séparés parune distance D de plusieurs centaines de kilomètres (Fig.1.5(a)) mesurées par un lien inter-satellite de haute précision. Les différences d’accélération mesurées entre les deux satellitesLEOs sont calculées à partir de la différence entre les dérivées premières du potentiel grav-itationnel le long d’une longue ligne de base (D). L’avantage par rapport au mode ’SST-hl’est une meilleure sensibilité à la mesure grâce à la différenciation des observations.

1. SST-ll : Satellite-to-Satellite Tracking in low-low mode2. SGG : Satellite Gravity Gradiometry3. SST-hl : Satellite-to-Satellite in the high-low mode

7


En mode ’SGG’, trois paires d’accéléromètres appelée ’gradiomètre’, est placée dans unsatellite en orbite terrestre basse (LEO) (Fig.1.5(b)). Les mesures in situ des gradients d’ac-célération dans les trois directions spatiales par rapport à la ligne de base courte s’exprimentpar les dérivées secondes du potentiel gravitationnel. L’avantage de cette technique résidedans le fait que les accélérations non-gravitationnelles sont les mêmes pour toutes les mesuresréalisées à l’intérieur du satellite et que, par conséquent, elles s’annulent par différenciation.

•3-D accelerometry

•gravity acceleration of 1 LEO

•measurement : grad V

SST-hl

•inter-satellite link

•acceleration differences between 2 LEOs•measurement : d(grad V )/dt

SST-llcombined with SST-hl

•gradiometry

•acceleration gradients within 1 LEO

•measurement : grad grad V

SGG combined with SST-hl

4. Counteract gravity field attenuation

3. Measure of non-gravitational

forces

2. Low orbit

1. Continuous tracking

GPS receiver,

+Laser retroreflector

LEO

3-D accelerometer

additionnal LEO,

+ 2 accelerometer

Gradiometer

(3 pairs of accelerometers)

CH

AM

P

mis

sion

GR

AC

E

mis

sion

GR

AC

E

mis

sion

CH

AM

P

mis

sion

GO

CE

m

issi

on

Fig. 1.4 Concepts de mesures satellitaires et les quatres critères fondamentaux.

1.3.2 Description des missions

GRACE

La mission GRACE (Gravity Recovery And Climate Experiment) est un projet conjointdes agences spatiales américaine NASA et allemande DLR. La mission a commencé en mars2002 et est supposée finir en 2015. La technique de mesure utilisée par GRACE est ’SST-ll’.

Les deux satellites LEOs de GRACE sont placés à D = 220 km l’un de l’autre et sur lamême orbite à une altitude de 400 km. Les observations permettent la réalisation mensuellede cartes gravimétriques globales grâce aux mesures de variations de pesanteur sur le parcoursdes satellites jumeaux :• lorsque le premier satellite (avant) s’approche d’une zone de pesanteur élevée, il accélère,

ce qui augmente alors la distance entre les deux satellites.• au moment où les satellites survolent la dite zone, le satellite avant ralentit tandis que

le satellite arrière accélère.• lorsque le satellite arrière passe au dessus de la zone de pesanteur plus élevée, il ralentit

sans affecter la vitesse du premier satellite.Ainsi, durant leur parcours autour de la Terre, les accélérations et décélérations des deuxsatellites permettent la mesure de la distance entre les deux et par conséquent de cartographierle champ de gravité terrestre. La résolution spatiale d’environ 200 km est réalisée grâce à

8

1.4. La méthode de Retrait-Calcul-Restauration (RCR)

un système mesurant continuellement, et avec une précision de l’ordre du micromètre, lechangement de portée intersatellitaire lui-même très sensible au champ de gravité.

GOCE

La mission GOCE (Gravity fields and steady-state Ocean Circulation Explorer) lancéeen mars 2009 par l’agence spatiale européenne ESA est la première mission qui expérimentele concept de mesure ’SGG’. A l’origine prévue pour terminer sa cartographie du champ degravité terrestre en avril 2011, le terme de la mission est planifié pour fin 2012.

L’objectif de la mission est de mesurer le champ de gravité stationnaire de la Terre avecune précision de l’ordre du mGal 4 pour les anomalies de gravité et de modéliser le géoïde avecune précision de l’ordre de 1 à 2 cm pour une résolution spatiale meilleure que 100 km. Lesatellite LEO est à une altitude orbitale d’environ 250 km. Le gradiomètre est basé sur troispaires d’accéléromètres correspondant à une ligne de base courte de 0.5 m. La précision demesure de la deuxième dérivée du potentiel par le gradiomètre présente un écart-type σ=10mE (ESA@, 2011) 5.

(a) SST-ll pour GRACE (b) SGG pour GOCE

Fig. 1.5 Concepts de mesure ’SST-ll’ et ’SGG’ (Seeber (2003), p 471 ; Hofmann-Wellenhof &Moritz (2006), p 278-279).

1.4 La méthode de Retrait-Calcul-Restauration (RCR)

Le procédé de Retrait-Calcul-Restauration 6 permet de satisfaire les conditions de Stokes 7

pour calculer le géoïde.

4. En gravimétrie, l’unité de la pesanteur est le galileo noté Gal. 1 mGal = 10−5m.s−2

5. En gradiométrie, l’unité de mesure est l’Eötvös noté E. 1 E = 10−9s−2

6. Remove-Compute-Restore procedure (RCR)7. Aucune masse n’est présente au dessus du géoïde et les mesures se rapportent au géoïde (voir Introduction

p.2)

9


Pour cette étude, deux sortes de mesures sont prises en compte :• des mesures gravimétriques au sol ou par satellites (GRACE),• des mesures gradiométrique par satellites (GOCE).Un gravimètre mesure l’accélération de pesanteur :

g = |grad V | , (1.6)

alors que le gradiomètre mesure les différentes composantes du gradient de gravité. Seulela composante radiale rr du tenseur gradiométrique V ,

Vrr = (grad grad V )rr , (1.7)

sera étudiée.

1.4.1 Retrait de l’effet gravitationnel résiduel des masses topographiques

En retranchant l’effet gravitationnel résiduel des masses topographiques δV , du potentielperturbateur T , ce dernier devient le potentiel T h qui est harmonique 8 à l’extérieur du géoïde,

T h = T − δV . (1.8)

L’effet résiduel des masses topographiques au point où est effectuée la mesure de l’accélérationde pesanteur est alors

δA := ∂δV

∂r, (1.9)

et correspond à

δE := ∂2δV

∂r2 (1.10)

au point où est effectuée la mesure du gradient de gravité.Afin d’obtenir le potentiel harmonique au-dessus du géoïde, ces effets des masses sur les

mesures doivent être calculés et corrigés des observations. Ceci est formulé par :

∆gh = ∆gobs − δA (1.11)et ∆V h

rr = ∆V obsrr − δE. (1.12)

1.4.2 Calcul du géoïde résiduel ou co-géoïde

Une fois les mesures corrigées, la première étape de l’estimation du géoïde résiduel estd’intégrer ∆gh et ∆V h

rr à partir de la surface terrestre ou de la position du satellite jusqu’auniveau du géoïde. Ce calcul est généralement effectué par la méthode de prolongement vers

8. voir description d’une fonction harmonique Annexe A.2.

10

1.4. La méthode de Retrait-Calcul-Restauration (RCR)

le bas ou DWC 9 (décrite dans le chapitre 8 de Martinec (1998)).Une fois les données prolongées vers le bas jusqu’au géoïde, les deux conditions de base

sont satisfaites et les hauteurs géoïdales peuvent être calculées. Cependant, les calculs donnentNh, qui correspond à la hauteur de la surface équipotentielle de T h. Cette surface est appeléele co-géoïde et son ondulation est calculée suivant l’équation

Nh = R

4πγQ

∫Ω0

∆ghS(ψ)dΩ , (1.13)

où ψ est l’angle solide entre le point considéré et un point d’intégration (voir Eqn.(1.3) etFig.1.3) et S(ψ) est la fonction de Stokes (Hofmann-Wellenhof & Moritz, 2006, p 104)

S(ψ) = 1sin ψ

2− 6 sin ψ2 + 1− 5 cosψ − 3 cosψ ln

(sin ψ2 + sin2 ψ

2

). (1.14)

L’ondulation Nh du co-géoïde peut également être déterminée à partir des données gra-diométriques par

Nh = R2

4πγQ

∫Ω0

∆V hrrKrr(ψ)dΩ , (1.15)

où le noyau Krr(ψ) est la fonction de Green définie par Martinec (2002) comme

Krr(ψ) = −3 + 6 sin ψ2 + (1− 3 cosψ) ln(

sin ψ2

1 + sin ψ2

). (1.16)

1.4.3 Restauration de la contribution de la topographie à la solution

La hauteur du géoïde est obtenue en additionant l’effet indirect sur le géoïde δN à l’on-dulation du co-géoïde (Fig.1.6).

N co-geoid

Pg

ellipsoid

geoid

NN

Q

h

Fig. 1.6 co-géoïde et hauteurs géoïdales

L’expression de δN est déduite de la formule d’ondulation du géoïde N , par la formule deBruns 10,

N = T

γQ, (1.17)

9. DWC : downward continuation10. Démonstration de la formule de Bruns Annexe A.3

11


où γQ est le potentiel normal sur l’ellipsoïde de référence. En utilisant l’Eqn.(1.8) pour ex-primer T , on obtient :

N = T h + δV

γQ. (1.18)

Or, connaissant la hauteur géoïdale pour l’ondulation du co-géoïde :Nh = T h/γQ, l’ondulationdu géoïde s’écrit :

N = Nh + δN , (1.19)

oùδN = δV

γQ, (1.20)

avec δV pris en un point sur le géoïde Pg.

1.5 Conclusion

Le procédé de Retrait-Calcul-Restauration (RCR) est présenté et résumé dans la Fig.1.7.L’étape ’REMOVE’ ou ’RETRAIT’ constitue la phase de correction des effets causés parles masses topographiques. Ces corrections de terrain représentent l’effet direct des massestopographiques sur la pesanteur δA calculé à la surface de la Terre ou à altitude de satellite,l’effet direct des masses topographiques sur la gradiométrie δE calculé à altitude de satelliteet l’effet indirect topographique sur le géoïde δN calculé à la surface du géoïde. Les prochainschapitres sont consacrés à ces corrections, leurs expressions mathématiques et analytiquesainsi que leurs applications numériques.

12

1.5. Conclusion

RESTORE

Restoration of the indirect effect on geoid

REMOVE

Removing the effects of the topographical masses

COMPUTE

DWC of the data to the co-geoid

Computation of a co-geoid

Gravity Gradiometry

Direct topographical effect

on gravity dA

Primary indirect topographical

effect on geoid dN

Direct topographical effect

on gradiometry dE

Fig. 1.7 Récapitulatif du procédé de RCR pour la détermination de l’ondulation du géoïde N àpartir de mesures de gravité et de gradiométrie. Noms des effets topographiques et expressions des

principales formules où ils interviennent.

13


14

Chapitre 2

Effets topographiques

2.1 Masses topographiques et plateau de Bouguer

2.1.1 Masses topographiques

Les masses topographiques représentent les masses se trouvant en dehors du géoïde et sousla surface topographique. Le potentiel gravitationnel V t généré par ces masses s’écrit :

V t(r,Ω) = G

∫Ω0

∫ rt(Ω′)

r′=rg(Ω′)

%(r′,Ω′)L(r, ψ, r′)r

′2dr′dΩ′ . (2.1)

Pour simplifier les notations, Martinec (1998) a introduit le symbole L−1(r, ψ, r′) pourune intégrale radiale indéfinie du ’noyau’ de Newton (Newton’s kernel),

L−1(r, ψ, r′) :=∫r′

r′2

L(r, ψ, r′)dr′ . (2.2)

En supposant que la densité de ces masses topographiques ne varie pas dans la directionradiale, autrement dit que %(r′,Ω′) = %(Ω′), et en substituant l’Eqn.(2.2) dans l’Eqn.(2.1),l’intégrale de volume de Newton pour le potentiel gravitationnel V t devient :

V t(r,Ω) = G

∫Ω0%(Ω′) L−1(r, ψ, r′)

∣∣∣rt(Ω′)

r′=rg(Ω′)dΩ′ . (2.3)

2.1.2 Plateau de Bouguer

Le plateau de Bouguer, utilisé comme modèle d’approximation en gravimétrie et dans lecalcul des anomalies de pesanteur, tient compte de la majeure partie des effets topographiques.

En géométrie cartésienne (Fig.2.1(a)), la topographie autour d’une station Pt est assim-ilée à une couche infinie d’épaisseur HP et les masses entre le géoïde et la surface de laTerre sont considérées de densité constante % égale à la densité moyenne de la topographie%0=2670 kg.m−3.

15

Chap 2. Effets topographiques

P

P

H

g

P%

t

0

geoid

topography

(a) Plateau infini de Bouguer

P

P

H

g

P

geoid

topographyt

%0

(b) Couche sphérique de Bouguer

Fig. 2.1 Le plateau de Bouguer en géométrie (a) cartésienne et (b) sphérique.

En géométrie sphérique (Fig.2.1(b)), le plateau de Bouguer est assimilé à une couchesphérique d’épaisseurHP et de densité %0. Le potentiel gravitationnel de cette couche sphériques’écrit

V B(r,Ω) = G%0

∫Ω0L−1(r, ψ, r′)

∣∣∣rt(Ω)

r′=rg(Ω)dΩ′ . (2.4)

Afin d’évaluer cette intégrale, le géoïde est représenté par une sphère de rayon R

rg(Ω) = R donc rt(Ω) = R+H(Ω), (2.5)

où R représente le rayon moyen de la Terre, R=6371 km. L’intégrale de l’Eqn.(2.4) peut êtredéveloppée analytiquement (Wichiencharoen, 1982)

V B(r,Ω) =

4πG%01r

[R2H(Ω) +RH2(Ω) + 1

3H3(Ω)

], r ≥ rt(Ω),

2πG%0[(R+H(Ω))2 − 2

3R3

r −13r

2]

, R ≤ r ≤ rt(Ω) ,

4πG%0[RH(Ω) + 1

2H2(Ω)

], r ≤ R .

(2.6)

Par la suite, nous utiliserons ce modèle de couche sphérique de Bouguer, plus précis que lemodèle d’approximation plane (Martinec & Vaníček, 1994b ; Rózsa, 1998).

2.1.3 La rugosité du terrain

Puisque la surface actuelle de la Terre dévie de la sphère de Bouguer, il existe des insuff-isances et des abondances de masses topographiques par rapport à la masse du plateau deBouguer (Fig.2.2). Ces écarts prennent part au potentiel topographique V t grâce au termeV R

V t(r,Ω) = V B(r,Ω) + V R(r,Ω) . (2.7)

Le terme de la rugosité du terrain V R (ou terrain roughness term, Martinec & Vaníček(1994a)) s’exprime à travers l’intégrale de Newton par

V R(r,Ω) = G%0

∫Ω0

[L−1(r, ψ, r′)

∣∣∣rt(Ω′)

r′=R− L−1(r, ψ, r′)

∣∣∣rt(Ω)

r′=R

]dΩ′ . (2.8)

16

2.2. Masses compensées et couche de condensation de Helmert

P

P

H

g

P

geoid

Bouguer shellt

topography

deficiences

abundances

Fig. 2.2 Rugosité du terrain.

2.2 Masses compensées et couche de condensation de Helmert

Compensation des effets gravitationnels des masses topographiques

Des observations géophysiques montrent qu’il existe un mécanisme de compensation à l’o-rigine de la diminution de l’effet gravitationnel des masses topographiques (Martinec (1998) ;Hofmann-Wellenhof & Moritz (2006)).

Le potentiel gravitationnel des masses compensées V c peut donc être introduit, représen-tant une approximation du potentiel gravitationnel V t. La différence entre V t et V c est appeléele potentiel topographique résiduel δV

δV := V t − V c . (2.9)

Deux modèles idéaux de compensation isostatique (Fig.2.3) ont été proposés pour évaluerl’effet des masses topographiques à partir des mesures de pesanteur en surface.

Le modèle Pratt-Hayford, esquissé par J.H. Pratt en 1854 et formulé mathématiquementpar J.F. Hayford, suppose que les montagnes se forment en sortant du sol (décrit par Hofmann-Wellenhof & Moritz (2006) comme une pâte qui gonfle). Les masses topographiques sont alorscompensées en faisant varier la distribution de densité dans une couche de densité %c(Ω) etd’épaisseur constante D = 100 km sous le géoïde.

Le modèle Airy-Heiskanen, proposé en 1855 par G.B. Airy et formulé mathématiquementpar W.A. Heiskanen, suppose que les chaînes de montagnes flottent sur un fluide de densitéplus élevée %1 (comme un iceberg flottant sur l’eau), de façon à ce que plus les montagnessont d’altitude élevée plus elles sont compensées par une racine importante en profondeur(Hofmann-Wellenhof & Moritz, 2006, sect.3). Les masses topographiques sont compensées enfaisant varier l’épaisseur t(Ω) d’une couche de compensation dont la surface se situe à T = 30km de profondeur. La densité de la couche de compensation est considérée constante et égaleà la différence de densité %c = %1 − %0.

17


Fig. 2.3 Topographie et couches de compensation des modèles de Pratt-Hayford etAiry-Heiskannen (Hofmann-Wellenhof & Moritz, 2006, Fig.3.16).

La couche de condensation de Helmert

Dans le cas limite, les masses topographiques peuvent être compensées par une couched’épaisseur infime localisée sur le géoïde (comme une sphère en verre d’épaisseur très finemais très solide selon Hofmann-Wellenhof & Moritz (2006). Cette compensation est appeléedeuxième condensation de Helmert (Helmert, 1884).

H

topography

Pg

Pt

condensationlayer

topographical masses

Helmert'sgeoid

%0

%0

Fig. 2.4 Couche de condensation de Helmert de densité de surface σ.

La Fig.2.4 montre que les masses topographiques sont condensées en une couche sur legéoïde.

Par cette méthode, le potentiel des masses topographiques V t est assimilé au potentield’une seule et unique couche V c décrite par l’intégrale de surface de Newton,

V c(r,Ω) = GR2∫

Ω0σ(Ω′)L−1(r, ψ,R)dΩ′ , (2.10)

où σ(Ω′) est la densité de surface de la couche de condensation de Helmert, et L−1(r, ψ,R)est la distance réciproque 1/L(r, ψ,R). De manière analogue à l’Eqn.(2.7), le potentiel gravi-tationnel des masses topographiques compensées peut s’écrire :

V c(r,Ω) = V σ,B(r,Ω) + V σ,R(r,Ω) , (2.11)

18

2.3. Effet topographique indirect

oùV σ,R(r,Ω) = GR2

∫Ω0

[σ(Ω′)− σ(Ω)

]L−1(r, ψ,R)dΩ′ . (2.12)

Le symbole V σ,B(r,Ω) décrit le potentiel gravitationnel d’une couche sphérique de rayon Ret de densité σ(Ω),

V σ,B(r,Ω) := GR2σ(Ω)∫

Ω0L−1(r, ψ,R)dΩ′ , (2.13)

qui peut être écrit analytiquement par :

V σ,B(r,Ω) =

4πGσ(Ω)R2

r , r > R,

4πGσ(Ω)R , r ≤ R .

(2.14)

La densité de condensation σ(Ω) peut être choisie de différentes manières. Pour cetteétude, elle est définie de la même façon que proposée par Martinec & Vaníček (1994a) et Mar-tinec (1998) c’est-à-dire en respectant le principe de conservation des masses topographiques(Wichiencharoen, 1982). Supposant que

V B(r,Ω) = V σ,B(r,Ω) pour r = rt(Ω) , (2.15)

et utilisant l’Eqn.(2.6) pour V B (en r ≥ rt(Ω)) et l’Eqn.(2.14) pour V σ,B (en r > R) dansl’Eqn.(2.15), on trouve :

σ(Ω) = %0τ(Ω) , (2.16)

avecτ(Ω) = H(Ω)

(1 + H(Ω)

R+ H2(Ω)

3R2

). (2.17)

L’Eqn.(2.12) de V σ,R peut donc être réécrite sous la forme :

V σ,R(r,Ω) = G%0R2∫

Ω0

[τ(Ω′)− τ(Ω)

]L−1(r, ψ,R)dΩ′ . (2.18)

2.3 Effet topographique indirect

2.3.1 Effet topographique indirect sur le potentiel

L’effet topographique indirect est le potentiel résiduel δV = V t − V c, évalué sur le géoïdeau point Pg(R,Ω). Soit l’Eqn.(2.7) pour le potentiel topographique V t et l’Eqn.(2.11) pour lepotentiel de condensation V c, il est possible de séparer δV comme la somme de deux termes,

δV (R,Ω) = δV B(R,Ω) + δV R(R,Ω) , (2.19)

19


où le potentiel résiduel de la couche sphérique de Bouguer (δV B) et le potentiel résiduel dela rugosité du terrain (δV R) sont définis par :

δV B(R,Ω) = V B(R,Ω)− V σ,B(R,Ω) , (2.20)δV R(R,Ω) = V R(R,Ω)− V σ,R(R,Ω) . (2.21)

La soustraction des Eqns.(2.6) pour V B et (2.14) pour V σ,B en r ≤ R donne

δV B(R,Ω) = −2πG%0H2(Ω)

(1 + 2

3H(Ω)R

), (2.22)

et la soustraction des Eqns.(2.8) pour V R et (2.18) pour V σ,R donne

δV R(R,Ω) = G%0

∫Ω0

[L−1(R,ψ, r′)

∣∣∣rt(Ω′)

r′=R− L−1(R,ψ, r′)

∣∣∣rt(Ω)

r′=R

−R2[τ(Ω′)− τ(Ω)]L−1(R,ψ,R)]dΩ′ . (2.23)

Par conséquent, en introduisant les Eqns.(2.22) pour δV B et (2.23) pour δV R dansl’Eqn.(2.19) de δV , on obtient l’expression de l’effet indirect de la topographie sur le po-tentiel 1 :

δV (R,Ω) = − 2πG%0 H2(Ω)(

1 + 23H(Ω)R

)+ G%0

∫Ω0

[L−1(R,ψ, r′)

∣∣∣rt(Ω′)

r′=R− L−1(R,ψ, r′)

∣∣∣rt(Ω)

r′=R(2.24)

−R2[τ(Ω′)− τ(Ω)]L−1(R,ψ,R)]dΩ′ .

2.3.2 Effet topographique indirect sur le géoïde

Afin de corriger les hauteurs géoïdales N de l’effet topographique indirect, le potentielrésiduel δV est divisé par la pesanteur normale 2 γQ, comme le montre l’Eqn. (1.20). Onobtient ainsi l’effet topographique indirect sur le géoïde 3.

δN(R,Ω) = δV (R,Ω)γQ

. (2.25)

1. L’unié de δV est [m2.s−2].2. Pour cette étude, la valeur de la pesanteur est prise comme la valeur moyenne de la pesanteur sur Terre :

γQ = 9.81 m.s−2.3. L’unité de δN est le mètre.

20

2.4. Effet topographique direct sur la pesanteur mesurée en surface

2.4 Effet topographique direct sur la pesanteur mesurée ensurface

L’effet topographique direct en surface δA(r,Ω) est obtenue par la différentiation de δVpar rapport à r, en un point sur la surface topographique Pt(rt(Ω),Ω),

δA(r,Ω) = ∂δV (r,Ω)∂r

∣∣∣∣r=rt(Ω)

. (2.26)

En substituant l’Eqn.(2.9) pour le potentiel topographique résiduel δV , on peut écrire

δA(r,Ω) = At(r,Ω)−Ac(r,Ω) , (2.27)

oùAt(r,Ω) = ∂V t(r,Ω)

∂r

∣∣∣∣∣r=rt(Ω)

et Ac(r,Ω) = ∂V c(r,Ω)∂r

∣∣∣∣r=rt(Ω)

, (2.28)

sont les composantes radiales de l’attraction gravitationnelle induites en surface par les massestopographiques et par les masses compensées. Soit l’Eqn.(2.7) décrivant At et l’Eqn.(2.11)décrivant Ac, la variation de l’attraction peut être séparée en deux termes (Martinec &Vaníček, 1994b) :

δA(r,Ω) = δAB(r,Ω) + δAR(r,Ω) , (2.29)

où δAB représente le terme de Bouguer et δAR représente le terme de la rugosité du terrain(terrain roughness term).

Le terme de Bouguer est formulé par

δAB(r,Ω) = AB(r,Ω)−Aσ,B(r,Ω) , (2.30)

où

AB(r,Ω) = ∂V B(r,Ω)∂r

∣∣∣∣∣r=rt(Ω)

et Aσ,B(r,Ω) = ∂V σ,B(r,Ω)∂r

∣∣∣∣∣r=rt(Ω)

. (2.31)

La dérivée radiale de l’Eqn.(2.6) prise pour r ≥ rt(Ω) peut être substituée dans l’expressionde AB telle que

∂V B(r,Ω)∂r

= −4πG%01r2

[R2H(Ω) +RH2(Ω) + 1

3H3(Ω)

], (2.32)

De la même manière, la dérivée radiale de V B (Eqn.(2.14) en r > R) est substituée dansl’expression de Aσ,B, ce qui donne

∂V σ,B(r,Ω)∂r

= −4πGσ(Ω)R2

r2 . (2.33)

21


Considérant les Eqns(2.16)-(2.17) pour σ(Ω), on obtient δAB(r,Ω) = 0. Par conséquent, l’effettopographique direct δA ne dépend que de la contribution de la rugosité du terrain δAR quis’écrit sous la forme

δAR(r,Ω) = AR(r,Ω)−Aσ,R(r,Ω) , (2.34)

où

AR(r,Ω) = ∂V R(r,Ω)∂r

∣∣∣∣∣r=rt(Ω)

et Aσ,R(r,Ω) = ∂V σ,R(r,Ω)∂r

∣∣∣∣∣r=rt(Ω)

. (2.35)

En substituant la dérivée radiale de l’Eqn.(2.8) pourAR et la dérivée radiale de l’Eqn.(2.18)pourAσ,R dans l’expression explicitée Eqn.(2.34), on obtient l’expression de l’effet topographiquedirect sur le potentiel mesuré en surface 4 :

δA(r,Ω) = G%0

∫Ω0

∂L−1(r, ψ, r′)∂r

∣∣∣∣∣rt(Ω′)

r′=R− ∂L−1(r, ψ, r′)

∂r

∣∣∣∣∣rt(Ω)

r′=R

− R2[τ(Ω′)− τ(Ω)]∂L−1(r, ψ,R)∂r

]r=rt(Ω)

dΩ′ . (2.36)

2.5 Effet topographique direct sur la pesanteur mesurée parsatellite

La variation de l’attraction gravitationnelle causée par l’effet topographique direct sur lapesanteur δA à altitude satellitaire est obtenue par la différenciation de δV selon r, et, évaluéeau point de mesure du satellite (rsat,Ω), donne :

δA(r,Ω) = ∂δV (r,Ω)∂r

∣∣∣∣r=rsat

, (2.37)

où rsat = R+Hsat est le rayon de l’orbite du satellite considéré, défini par la somme du rayonR et de l’altitude de vol du satellite Hsat. Ici, le satellite étudié est GRACE 5 dont les mesuresgravimétrique sont effectuées à une altitude Hsat = 400 km.

Ainsi, de façon analogue à l’effet topographique direct sur la pesanteur mesurée en surface(Eqn.(2.36)) où le rayon du point considéré est r = rt(Ω), l’effet topographique direct sur lapesanteur mesurée par satellite s’écrit :

4. δA sera exprimé en mGal : 1 mGal = 10−5m.s−2.5. Voir présentation de la mission satellitaire GRACE Section 1.3, p 8.

22

2.6. Effet topographique direct sur la gradiométrie

δA(r,Ω) = G%0

∫Ω0

∂L−1(r, ψ, r′)∂r

∣∣∣∣∣rt(Ω′)

r′=R− ∂L−1(r, ψ, r′)

∂r

∣∣∣∣∣rt(Ω)

r′=R

− R2[τ(Ω′)− τ(Ω)]∂L−1(r, ψ,R)∂r

]r=rsat

dΩ′ . (2.38)

2.6 Effet topographique direct sur la gradiométrie

L’expression de l’effet topographique direct sur les mesures gradiométriques δE, est obtenuepar double différentiation du potentiel résiduel des masses topographiques, δV , selon le rayonr. Le résultat est évalué au point de mesure du satellite (rsat,Ω) :

δE(r,Ω) = ∂2δV (r,Ω)∂r2

∣∣∣∣∣r=rsat

. (2.39)

Pour cette étude le satellite considéré est GOCE 6, actuellement l’unique appareil effectuant lesmesures du champ gravitationnel par gradiométrie, et dont l’altitude de vol est Hsat =250 km.

En substituant l’Eqn.(2.9) pour le potentiel topographique résiduel δV , on peut écrire :

δE(r,Ω) = V trr(r,Ω)− V c

rr(r,Ω) , (2.40)

oùV trr(r,Ω) = ∂2V t(r,Ω)

∂r2


et V crr(r,Ω) = ∂2V c(r,Ω)

∂r2


, (2.41)

sont respectivement les composantes rr du tenseur gradiométrique induites par les massestopographiques et compensées. Soit l’Eqn.(2.7) décrivant V t

rr et l’Eqn.(2.11) décrivant V crr,

δE peut être séparé en la somme de deux termes,

δE(r,Ω) = δEB(r,Ω) + δER(r,Ω) , (2.42)

où δEB représente le terme de Bouguer et δER représente le terme de la rugosité du terrain.Soit l’anomalie de Bouguer,

δEB(r,Ω) = V Brr (r,Ω)− V σ,B

rr (r,Ω) , (2.43)

où

V Brr (r,Ω) = ∂2V B(r,Ω)

∂r2


et V σ,Brr (r,Ω) = ∂2V σ,B(r,Ω)

∂r2


. (2.44)

6. Voir présentation de la mission satellitaire GOCE Section 1.3, p 9.

23


Soit la seconde dérivée radiale de V B (Eqn.(2.6) en r ≥ rt(Ω)) pour V Brr ,

∂2V B(r,Ω)∂r2 = 8πG%0

1r3

[R2H(Ω) +RH2(Ω) + 1

3H3(Ω)

], (2.45)

la seconde dérivée radiale de V σ,B (Eqn.(2.14) avec r > R) pour V σ,Brr ,

∂2V σ,B(r,Ω)∂r2 = 8πGσ(Ω)R

2

r3 , (2.46)

et en utilisant les Eqns.(2.16)-(2.17) pour σ(Ω), on obtient δEB(r,Ω) = 0 . Par conséquent,comme pour l’effet topographique direct sur la pesanteur δA, l’effet topographique direct surla gradiométrie δE consiste uniquement en la contribution de la rugosité du terrain δER quiest

δER(r,Ω) = V Rrr (r,Ω)− V σ,R

rr (r,Ω) , (2.47)

où

V Rrr (r,Ω) = ∂2V R(r,Ω)

∂r2


et V σ,Rrr (r,Ω) = ∂2V σ,R(r,Ω)

∂r2


. (2.48)

L’expression de l’effet topographique direct sur la gradiométrie δE est obtenue par la sec-onde dérivée radiale de V R (Eqn.(2.8)) pour V R

rr , et par la seconde dérivée radiale de V σ,R

(Eqn.(2.18)) pour V σ,Rrr :

δE(r,Ω) = G%0

∫Ω0

∂2L−1(r, ψ, r′)∂r2

∣∣∣∣∣rt(Ω′)

r′=R− ∂2L−1(r, ψ, r′)

∂r2

∣∣∣∣∣rt(Ω)

r′=R

− R2[τ(Ω′)− τ(Ω)]∂2L−1(r, ψ,R)

∂r2

]r=rsat

dΩ′ . (2.49)

Ù Par la suite, ces expressions mathématiques des effets topographiques δN , δA et δE vontêtre exploitées pour l’écriture d’un programme permettant d’effectuer l’application numérique.

24

Chapitre 3

Préparation au calcul etprogrammation des effetstopographiques

3.1 L’intégrale du noyau de Newton pour le calcul numérique

L’expression analytique de l’intégrale du noyau de Newton doit être déterminée pourl’implémentation des calculs numériques, c’est pourquoi elle est exprimée dans cette section.Il en est de même pour les expressions analytiques des deux premières dérivées radiales dunoyau de Newton.

3.1.1 Détermination de l’expression analytique

La distance L(r, ψ, r′), définie dans l’Eqn.(1.5), peut être écrite sous la forme√X, où X

est la fonction rationnelle

X = ax2 + bx+ c , avec x = 1 , a = 1 , b = −2r cosψ , c = r2 . (3.1)

Ainsi, le noyau de Newton L−1(r, ψ, r′) défini par l’Eqn.(2.2) peut être écrit de la forme :

∫x2√Xdx . (3.2)

Comme détaillé dans l’Annexe A.4.1, l’expression analytique L−1a , obtenue grâce à la liste

d’intégrales de Gradshteyn & Ryzhik (2007), est

L−1a (r, ψ, r′) = 1

2[(3r cosψ + r′)L(r, ψ, r′)+ (3.3)

+r2(3 cos2 ψ − 1) ln |L(r, ψ, r′)− r cosψ + r′|]

+ C1(r, ψ) ,

25

Chap 3. Préparation au calcul et programmation des effets topographiques

où C1(r, ψ) est une constante qui ne dépend pas de r′ (mais peut dépendre des variables r etψ).

Première dérivée radiale du noyau de Newton

Le noyau de Newton, dérivé selon le rayon r s’écrit :

∂L−1(r, ψ, r′)∂r

=∫r′r′2∂L−1(r, ψ, r′)

∂rdr′ . (3.4)

A partir de l’expression de L−1(r, ψ, r′) (Eqn.(1.5)), on obtient :

∂L−1(r, ψ, r′)∂r

= − r − r′ cosψ(r′2 − 2rr′ cosψ + r2)3/2 . (3.5)

En substituant l’Eqn.(3.5) dans l’Eqn.(3.4), l’expression analytique est obtenue sur l’interfaced’évaluation d’intégrales de Wolfram@ (2011) :

∂L−1a (r, ψ, r′)∂r

=(3r2 cosψ + r(r′ − 6 cosψ2r′) + cosψr′2

)L−1(r, ψ, r′)

+r(3 cosψ2 − 1) ln |L(r, ψ, r′)− r cosψ + r′|+ C2(r, ψ) . (3.6)

Seconde dérivée radiale du noyau de Newton

De la même manière, après avoir dérivé une seconde fois la distance réciproque L−1(r, ψ, r′)selon r et en utilisant Wolfram@ (2011) pour l’intégration, on obtient :

∂2L−1a (r, ψ, r′)∂r2 =

[3r3 cosψ + r2(1− 12 cos2 ψ)r′

+2r cosψ(6 cos2 ψ + 1)r′2 + 2(1− 4 cos2 ψ)r′3]L−3(r, ψ, r′) (3.7)

+ (3 cos2 ψ − 1) ln |L(r, ψ, r′)− r cosψ + r′|+ C3(r, ψ) ,

oùL−3(r, ψ, r′) = (r′2 − 2rr′ cosψ + r2)−3/2 . (3.8)

3.1.2 Utilisations

L−1a (r, ψ, r′) est une primitive de l’intégrale du noyau de Newton. Son expression permet

de calculer l’effet indirect sur le géoïde δN .∂L−1

a (r, ψ, r′)/∂r est une primitive de la dérivée radiale de l’intégrale du noyau de Newton.Son expression permet de calculer l’effet direct sur la pesanteur δA.

∂2L−1a (r, ψ, r′)/∂r2 est une primitive de la seconde dérivée radiale de l’intégrale du noyau

de Newton. Son expression permet de calculer l’effet direct sur la gradiométrie δE.

26

3.2. Préparation des calculs

Les expressions analytiques ont été calculées pour des valeurs variables de ψ et r généréesautomatiquement. Les calculs ont été effectués en utilisant le langage de programmationfortran et les courbes des fonctions L−1

a et dérivées ont été générées (voir Annexe A.5), grâceà l’outil Generic Maping Tool 1 (GMT).

3.2 Préparation des calculs

3.2.1 Données sources : Modèles numériques de terrain Etopo

Les valeurs utilisées pour le calcul sont les données topographiques des modèles numériquesde terrain (Digital Elevation Models, DEM) globaux Etopo 1, 2 et 5 (comparés Tableau 3.1).

Etopo 5 Etopo 2 Etopo 1Maillage 5’ 2’ 1’Résolution 9.3 km 3.7 km 1.852 km (1 mile

nautique)Date de publication 2003 2006 2008nombre de points 4321 × 2161 10800 × 5400 21601 × 10801Volume du fichier total.grd

36 MB 111 MB 890 MB

Origine des jeux de don-nées sources*

La plupart des jeuxde données date de1988

EssentiellementGLOBE pour latopographie

EssentiellementSTRM30 et GLOBEpour la topographie

*voir cartes des données sources de Etopo 1 et 2, et descriptions succintes de STRM et GLOBE en Annexe A.6

Tableau 3.1 Comparaison des trois modèles Etopo.

Ces trois modèles présentent les points communs suivants :– ils ont été créés par la NOAA@ (2009) (National Oceanic and Atmospheric Adminis-

tration),– le but est de fournir des altitudes topographiques et bathymétriques recouvrant tout le

globe à partir de différents jeux de données sources,– les jeux de données ont été traités afin d’obtenir une résolution homogène (5, 2 ou 1

minute(s) d’angle),– les altitudes ont été converties pour être relatives au même datum, à savoir WGS 84– les données sont fournies au format .grd, qui correspond à une grille, de trois colonnes :

longitude, latitude et altitude.

1. Outil de géneration de cartes et graphiques vectoriels grâce à un script où sont écrites des commandespossedant des paramètres (unités, projections...) et l’exécution de ce script sur Linux permet la génération defichiers PostScript.

27


La précision altimétrique est variable et dépend des jeux de données sources. Pour cetteétude, ces modèles seront utilisés en tant qu’outils de travail.

Pour pouvoir écrire le programme de calcul, les fichier originaux de format .grd (grille)ont été arrangés afin de présenter leurs valeurs entre les longitudes -180 et +180 (non pas0 à 360, comme c’était le cas pour Etopo 5) et entre les latitudes de -90 à +90 en latitude.Puis, le programme utilise seulement un extrait de chaque fichier .grd, converti 2 au format.xyz lisible en fortran.

3.2.2 Description du programme

Un code a éte écrit dans le langage de programmation mathématique fortran. Les étapesprincipales sont décrites ici et sont en détail en Annexe A.7.

C : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :program topoeffectsANEA_ireland

cc Author : Natha l i e Vannescc Computation o f topograph i ca l e f f e c t s :c 1− direct e f f e c t s ( s u r f a c e g rav i ty ) : d e l t a Ac 2− i n d i r e c t e f f e t s ( geo id ) : d e l t a Nc 3− direct e f f e t s ( gradiometry ) : d e l t a Ec 4− direct e f f e c t s ( s a t e l l i t e g rav i ty ) : d e l t a AC : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Listing 3.1 Nom et description du programme.

• En premier lieu, doivent apparaître : nom et description du programme, ainsi que ladéclaration des types et dimensions des variables.• Les valeurs constantes %0, G, γQ et R doivent être définies.• Le fichier source est un fichier de n lignes (nombre de points) et trois colonnes : longitude

ϕ, latitude λ et altitude H. Ce fichier est ouvert (open) puis lu (read) grâce à une boucle(do-loop) afin d’obtenir et mémoriser les coordonnées de chaque point : co-latitude ϑ = π

2 −λ,longitude ϕ et altitude H.• Une première boucle est ouverte, afin d’effectuer un calcul en chaque point un à un

(computation point) dont l’altitude H(Ω).• A l’intérieur de cette boucle est inclue une autre boucle qui permet d’effectuer l’inté-

gration selon un cap sphérique (Ω0) c’est-à-dire en intégrant chaque point de la zone de calculdont l’altitude est H(Ω′). Les calculs sont effectués grâce à trois subroutines ou sous-routines 3

indépendantes nommées :– NEWTC(r, ψ, r′1, r′2, H(Ω), sub1(r,Ω)),

2. Voir les commandes de conversions "grd2xyz" utilisées en Annexe A.73. Une subroutine est un sous-programme appelé dans un programme principal afin de traiter une tâche

donnée de facon répétée. Elle est définie par des arguments d’entrée et sortie.

28

3.3. Etude sur le temps de calcul

– DNEWTC(r, ψ, r′1, r′2, H(Ω), sub2(r,Ω)),– DDNEWTC(r, ψ, r′1, r′2, H(Ω), sub3(r,Ω)).

Les paramètres d’entrée sont r, ψ, r′1, r′2, H(Ω) où ψ dépend de (ϑ, ϕ) et (ϑ′, ϕ′) obtenus à partirdes données du fichier source, r′1 = R est la borne inférieure de l’intégrale du noyau de Newtonet r′2 = R+H(Ω) la borne supérieure. Les valeurs calculées correspondent respectivement à :

sub1(r,Ω) =[L−1a (r, ψ, r′2)− L−1

a (r, ψ, r′1)]−R2τ(Ω)L−1(r, ψ,R) , (3.9)

sub2(r,Ω) =

∂L−1a (r, ψ, r′2)∂r

− ∂L−1a (r, ψ, r′1)∂r

−R2τ(Ω)∂L−1(r, ψ,R)∂r

, (3.10)

sub3(r,Ω) =

∂2L−1a (r, ψ, r′2)∂r2 − ∂2L−1

a (r, ψ, r′1)∂r2

−R2τ(Ω)∂2L−1(r, ψ,R)

∂r2 , (3.11)

où τ(Ω) dépend de la variable H(Ω) et correspond à l’Eqn.(2.17).• La combinaison des boucles et subroutines permet de calculer les effets topographiques

de la manière suivante, dans l’ordre du programme :

δA(rt(Ω),Ω) = G%0

∫Ω0

sub2(R+H(Ω),Ω′)− sub2(R+H(Ω),Ω)dΩ′ , (3.12)

δN(R,Ω) = 1γQ

(δV B(R,Ω) +G%0

∫Ω′

sub1(R,Ω′)− sub1(R,Ω)dΩ′), (3.13)

δE(rGOCE ,Ω) = G%0

∫Ω0

sub3(R+ 250 km,Ω′)− sub3(R+ 250 km,Ω)dΩ′ , (3.14)

δA(rGRACE ,Ω) = G%0

∫Ω0

sub2(R+ 400 km,Ω′)− sub2(R+ 400 km,Ω)dΩ′ . (3.15)

• Il faut créer un fichier sur lequel seront écrites les valeurs (write) au fur et à mesure.Le produit de ce programme est un fichier de n lignes et 7 colonnes telles que :

colonne= 1 2 3 4 5 6 7ϕ λ H δA (surface) δN δE δA (satellite)

unité= degrés degrés mètres milliGals mètres Eötvös milliGals

• Une valeur pour chaque effet est attribuée à chaque point de calcul. Cette méthodede calcul ponctuelle (pointwise) est intéressante car elle donne une valeur exacte en chaquepoint.

3.3 Etude sur le temps de calcul

Temps de calcul effectif

Le programme a été exécuté pour calculer les effets topographiques pour différents "échan-tillons" géographiques (les résultats de ces calculs sont analysés dans le Chapitre 4). Une

29


com

puta

tion

time

T (

seco

nd)

1 10 100 1000 10000100000

number of points N

1

10

100

1000

10000

100000

A

B

Fig. 3.1 Temps de calcul en fontion du nombre de points T = f(N). Représentation graphiqueavec echelles logarithmiques en abscisses et ordonnées.

fonction insérée dans le programme permet d’enregistrer le temps de calcul en secondes (sub-routine). Connaissant le nombre de points calculés, la courbe du temps de calcul T en fonctiondu nombre de points N est représentée avec une échelle logarithmique pour les deux axes etest représentée Fig.3.1 (voir aussi T = f(N) tracée avec échelle normale Annexe A.8).

La fonction T , est une droite sur le graphe "log-log" et peut donc être exprimée par

T (N) = C ∗Nm , (3.16)

où m est le coefficient obtenu à partir des deux points A(Ta, Na) et B(Tb, Nb) sur la courbetel que

m = log(Tb/Ta)log(Nb/Na)

, (3.17)

et C est une constante, obtenue à partir d’un point (T0, N0) qui se trouve sur la courbe telleque

C = T0Nm

0. (3.18)

N T effectif T calcul Zone géographiqueaprès programme T (N) = 3 ∗ 10−6 ∗N1.99 et résolution du fichier source

625 00 :00 :01 00 :00 :01 Purcell mountains, Etopo 53136 00 :00 :25 00 :00 :27 Ireland, Etopo 516854 00 :12 :19 00 :12 :53 France, Etopo 578879 04 :14 :00 04 :37 :55 Irlande, Etopo 1103752 07 :47 :36 07 :59 :31 France, Etopo 2270000 2 jours 05 :44 :07 2 jours 05 :36 :30 Iran, Etopo 2416323 5 jours 06 :22 :03 5 jours 06 :54 :25 France, Etopo 11082101 — > 34 jours Iran, Etopo 1

Tableau 3.2 Temps de calcul T en fonction du nombre de points N. Extrait des temps d’exécutiondu programme pour divers échantillons.

Grâce aux temps de calculs obtenus, dans la deuxième colonne du Tableau 3.2 (extrait du

30

3.4. Conclusion

Tableau en Annexe A.8), on trouve :

T (N) = 3 ∗ 10−6 ∗N1.99 (3.19)

Prévision du temps de calcul à l’échelle mondiale

Le temps de calcul, avec l’outil numérique à disposition et ce programme, peut ainsi êtreestimé en connaissant le nombre de points du fichier à traiter et en appliquant la fonctionobtenue en Eqn.(3.19) :

– Etopo 5 compte 9 331 200 points dans sa globalité : supérieur à 7 ans,– Etopo 2 compte 58 320 000 points dans sa globalité : supérieur à 270 ans,– Etopo 1 compte 233 280 000 points dans sa globalité : supérieur à 4 266 ans.Remarque : Si on voulait faire les applications numériques à l’échelle globale, il faudrait

des capacités de calculs beaucoup plus importantes. Dans cette étude, la plus large zone estl’Iran dont le temps de calcul maximal par Etopo 1 de 34 jours est encore raisonnable comparéau temps requis pour un calcul à l’échelle globale.

3.4 Conclusion

Le programme écrit permet de calculer les effets topographiques indirects sur le géoïdeδN , directs sur la pesanteur δA en surface ainsi que pour des altitudes satellitaires, et leseffets topographiques directs sur la gradiométrie δE.

La méthode de calcul utilisée est le calcul au point par point, technique encore jamaisdéveloppée et utilisée auparavant pour traiter les mesures gravitationnelles par satellites.

Enfin, l’étude porte sur des exemples réalisables (l’Irlande, la France et l’Iran) en termede temps et de capacité numérique disponible pour ce projet. L’étude a été réalisée pour lestrois modèles Etopo 1, 2 et 5.

31


32

Chapitre 4

Applications numériques surl’Irlande, la France et l’Iran

Ce chapitre est consacré aux résultats numériques réalisés pour trois zones d’étude : l’Ir-lande, la France et l’Iran. Les résultats sont présentés sous forme de tableaux de valeurs etillustrés par des figures diverses (cartes, profils et histogrammes). Les données utilisées sontles valeurs des modèles topographiques Etopo 1-, 2- et 5- minutes d’arc correspondant re-spectivement à des résolutions de 1.8 km, 3.7 km et 9 km. Les calculs, basés sur la théorieprésentée dans le chapitre 2, ont été réalisés en langage fortran sur les trois zones de travailet pour les trois modèles topographiques Etopo.

Bien que l’effet topographique indirect sur le géoïde δN ait été calculé, son analyse a étéoccultée au profit des effets topographiques pour le traitement des données satellitaires. Lesrésultats de δN sont néanmoins donnés dans l’Annexe A.10. Pour les effets topographiquessur la pesanteur δA, nous nommerons δAsurf et δAsat les effets topographiques directs surla pesanteur mesurée en surface et par satellite, respectivement. Les résultats de l’effet to-pographique sur la gradiométrie δE sont comparés à ceux des études de Eshagh (2009) etBagherbandi (2011) qui ont calculé les effets topographiques sur la SGG 1 en Iran.

4.1 Les zones d’études

Les trois zones d’étude choisies pour calculer les effets des masses topographiques présen-tent les caractéristiques suivantes :• l’Irlande a un terrain relativement plat et entouré par l’océan. La surface d’étude se

trouve entre -10.7 et 5.4 en longitude et 51.4 et 55.4 en latitude.• La France a une topographie accidentée dans le Sud-Est, mais relativement plate ailleurs.

La surface d’étude se trouve entre -4.8 et 8.3 en longitude et 42.3 et 51.1 en latitude.

1. Satellite Gravity Gradiometry.

33

Chap 4. Applications numériques sur l’Irlande, la France et l’Iran

• L’Iran a une topographie très accidentée comparée aux autres cas. La surface d’étudese trouve entre 44 et 64 en longitude et 25 et 40 en latitude.

Les cartes topographiques sont présentées Fig.4.1. Les valeurs minimales, moyennes etmaximales ainsi que l’écart moyen quadratique (root mean square) 2 des altitudes de la to-pographie sont indiqués dans le Tableau 4.1.

44˚ 48˚ 52˚ 56˚ 60˚ 64˚

28˚

32˚

36˚

40˚

0 1000 2000 3000 4000

m

−4˚ 0˚ 4˚ 8˚

44˚

46˚

48˚

50˚

0 1000 2000 3000 4000

m

−10˚ −8˚ −6˚

52˚

53˚

54˚

55˚

0 200 400 600 800

m

Ireland France Iran

Fig. 4.1 Cartes topographiques de l’Irlande, la France et l’Iran générées à partir du modèle Etopo1. Les cartes ont été produites en utilisant GMT.

Topographic heightsIreland France Iran

Grid min mean max rms min mean max rms min mean max rms1′ 0.0 58.6 776.0 ± 85.3 0.0 299.8 4452.0 ± 461.7 0.0 798.0 5149.0 ± 784.02′ 0.0 62.8 716.0 ± 86.3 0.0 299.1 4086.0 ± 462.8 0.0 823.5 5410.0 ± 754.25′ 0.0 53.2 537.0 ± 77.5 0.0 303.9 3902.0 ± 467.1 0.0 843.5 4300.0 ± 747.2

Tableau 4.1 Valeurs topographiques des modèles Etopo 1, 2 et 5 pour l’Irlande, la France etl’Iran. Unité : 1 m.

4.2 Effet topographique direct sur la pesanteur

4.2.1 A la surface de la Terre

Effet résiduel δAsurf

Le calcul de l’effet topographique direct résiduel sur la pesanteur mesurée à la surface dela Terre δAsurf se fait à partir de l’Eqn.(2.36) 3. Le Tableau 4.2 présente les valeurs mini-males, moyennes et maximales de δAsurf ainsi que l’écart moyen quadratique (rms) en mGal 4.

2. Voir la subroutine écrite en fortran dans l’Annexe A.9, permettant de calculer les valeurs moyennes etles emq d’un nombre important de points (maximum de 1 082 101 points pour l’Iran avec Etopo 1).

3. Voir p 22.4. Unité de pesanteur : 1 mGal=10−5 m.s−2.

34

4.2. Effet topographique direct sur la pesanteur

δAsurf on surface gravityIreland France Iran

Grid min mean max rms min mean max rms min mean max rms1′ -17.4 0.006 5.7 ± 0.7 -120.6 0.3 118.3 ± 6.7 -142.1 0.3 86.0 ± 7.32′ -11.1 0.002 3.5 ± 0.5 -101.1 0.3 122.9 ± 6.4 -155.6 0.2 73.3 ± 7.45′ -2.4 0.00005 0.5 ± 0.2 -78.6 0.02 26.2 ± 3.1 -85.6 0.02 30.8 ± 3.6

Tableau 4.2 Effet topographique direct δA sur la pesanteur mesurée en surface pour l’Irlande, laFrance et l’Iran en utilisant les modèles Etopo 1, 2 et 5. Unité : 1 mGal

Les valeurs de δAsurf sont bien plus faibles (d’un facteur dix) pour le cas de l’Irlande parrapport à celui de la France et de l’Iran (Tableau 4.2), en raison de la topographie faiblementaccidentée de l’Irlande.

Plus le terrain a une topographie basse et régulière et moins la réduction des observationsgravimétriques de surface dans la procédure RCR 5 est importante.

Les valeurs des emqs Tableau 4.2 sont bien moins élevées pour le modèle Etopo 5 que pourle modèle Etopo 1 pour chaque zone d’étude 6, comme l’illustre aussi la Fig.4.2 pour l’Irlande.

Les valeurs des emq diminuent avec la résolution. Il est donc nécessaire d’utiliser un mail-lage aussi fin que possible pour la réalisation des calculs de δAsurf .

−10˚ −8˚ −6˚

52˚

53˚

54˚

55˚

−10˚ −8˚ −6˚

52˚

53˚

54˚

55˚

−10˚ −8˚ −6˚

52˚

53˚

54˚

55˚

−0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

mGal

from Etopo 1 from Etopo 2 from Etopo 5

Direct topographical effect on surface gravity

Fig. 4.2 Comparaison de la résolution des effets topographiques directs sur la pesanteur mesuréeen surface pour l’Irlande en utilisant les modèles Etopo 1, 2 et 5.

Remarque : l’échelle de la Fig.4.2 (minimum : -0.3 mGal et maximum : 0.5 mGal) a étéchoisie afin de représenter au mieux les variations de δAsurf , les valeurs en dehors de l’échelle

5. Voir le procédé de Retrait-Calcul-Restauration, Sect.1.4, p 9.6. Voir aussi cartes de l’effet topographique sur les mesures en surfaces, au-dessus de la France, comparant

Etopo 1 et Etopo 5, en Annexe A.11

35


ne représentant pas un signal significatif (seulement 0.5% des valeurs totales, cf Fig.4.3). Lechangement d’échelle, en tenant compte de ces valeurs maximales et minimales, aurait poureffet d’atténuer les couleurs ou les courtes longueurs d’onde puisque les valeurs du signal sesituent majoritairement autour de 0.

La Fig.4.3 montre que malgré la grande différence de valeur entre les maxima et minimades valeurs de δA (lues Tableau 4.2) pour les trois zones d’étude, la distribution de ces valeursest similaire et concentrée autour de 0 pour la très grande majorité des points.

Comme l’effet résiduel δA est relativement bas (Fig.4.3), nous allons le comparer à l’-effet total afin d’estimer l’efficacité de la compensation des masses topographiques par lacondensation de Helmert.

0 %

20 %

40 %

60 %

80 %

dasu

rf

−12 −8 −4 0 4mGal

ireland

(a) Irlande

0 %

20 %

40 %

60 %

80 %

dasu

rf

−200 −100 0 100 200mGal

france

(b) France

0 %

20 %

40 %

60 %

80 %

dasu

rf

−200 −100 0 100mGal

iran

(c) IranFig. 4.3 Répartition des valeurs de δAsurf en mGal, de nombre de points pour le modèle Etopo 2.

Effet total Atsurf

Le calcul de l’effet direct de la totalité des masses topographiques Atsurf (Tableau 4.3)s’exprime de la manière suivante

At(r,Ω) = G%0

∫Ω0

∂L−1(r, ψ, r′)∂r

∣∣∣∣∣rt(Ω′)

r′=RdΩ′ , (4.1)

où r = rt(Ω).

Total effect Atsurf on surface gravityIreland France Iran

Grid min mean max rms min mean max rms min mean max rms1′ -27.5 -0.6 2.6 ± 1.5 — — — — — — — — *2′ -9.8 -0.3 1.7 ± 0.7 -238.8 -7.4 23.2 ± 19.0 -300.9 -31.4 6.4 ± 35.15′ -2.6 -0.2 0.4 ± 0.2 -117.8 -3.9 8.2 ± 9.0 -137.0 -17.4 0.6 ± 16.3

*Le symbole — dans les tableaux correspond aux valeurs non traitées ou en cours de calcul.

Tableau 4.3 Effet topographique direct total At sur la pesanteur en Irlande, France et Iran calculéavec les modèles Etopo 1, 2 et 5. Unité : 1 mGal

36


L’effet topographique total Atsurf , qui est l’effet ne prenant pas en compte la compensationdes masses topographiques, est plus important en amplitude que l’effet topographique résiduelδAsurf (Fig.4.4(a)). Les valeurs de Atsurf sont distribuées majoritairement autour de 0 pourles surfaces les plus planes (cf. histogramme de Atsurf Fig.A.13).

L’effet topographique direct total Atsurf sur la gravité de surface est étroitement corrélé àla topographie (Fig.4.4(b)).

−10˚ −8˚ −6˚

52˚

53˚

54˚

55˚

−5 −4 −3 −2 −1 0 1mGal

Total effect (surf)

(a)

−200

−100

0

100

200

300

Top

ogra

phy

(m)

−4

−2

0

2

4

6

Res

idua

l effe

ct (

mG

al)

−4

−2

0

2

4

6

Tot

al e

ffect

(m

Gal

)

−10 ° −9 ° −8 ° −7 ° −6 °longitude

Profile θ=52°35′N

(b)Fig. 4.4 Effet topographique total At

surf sur la pesanteur mesurée en surface pour l’Irlande enutilisant le modèle Etopo 1.(a) At

surf et axe de la coupe. (b) Profil longitudinal de latitude 5235′N.Courbes de l’effet résiduel δAsurf (en noir) et l’effet total At

surf (en pointillé) avec la topographie(en gris).

4.2.2 Aux altitudes satellitaires

Effet résiduel δAsat

Le calcul de l’effet topographique direct résiduel sur la pesanteur mesurée par satelliteδAsat se fait grâce à l’Eqn.(2.38) pour rsat = rGRACE = R+ 400 km.

δAsat on satellite gravityIreland France Iran

Grid min mean max rms min mean max rms min mean max rms1′ -0.3 -0.0002 13.9 ± 0.7 — — — — — — — —2′ -0.3 -0.0001 11.9 ± 0.7 -38.3 -0.02 504.8 ± 26.9 -100.2 -0.07 1151.9 ± 51.05′ -0.3 -0.0002 6.9 ± 0.5 -38.5 -0.02 453.5 ± 27.2 -104.9 -0.06 688.7 ± 47.0

Tableau 4.4 Effet topographique direct δA sur la pesanteur à altitude satellitaire pour l’Irlande, laFrance et l’Iran en utilisant les modèles Etopo 1, 2 et 3. Unité : 10−3 mGal

D’après le Tableau 4.4, les valeurs moyennes de δAsat (de l’ordre de 10−5 mGal) calculées

37


à altitude satellitaire sont significativement moins élevées que celles de δAsurf calculées à lasurface de la Terre (de l’ordre de la dizaine ou de la centaine de mGal).

Nous allons comparer à présent l’effet residuel δAsat et l’effet total Atsat. 7

0 %

20 %

40 %

60 %

80 %

dasa

t

−0.01 0.00 0.01 0.02mGal

ireland

(a) Irlande

0 %

20 %

40 %

60 %

dasa

t

−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6mGal

france

(b) France

0 %

10 %

20 %

30 %

40 %

50 %

dasa

t

−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5mGal

iran

(c) IranFig. 4.5 Répartition des valeurs de δAsat en mGal, en pourcentage du nombre de points, calculées

à partir de Etopo 2.

Effet total Atsat

Le calcul de l’effet topographique direct sur la pesanteur mesurée par satellite Atsat s’ef-fectue en utilisant l’Eqn.(4.1) pour r = rGRACE .

Total effect Atsat on satellite gravityIreland France Iran

Grid min mean max rms min mean max rms min mean max rms1′ -0.87 -0.74 -0.51 ± 0.08 — — — — — — — —2′ -0.93 -0.79 -0.55 ± 0.08 -18.1 -10.5 -2.7 ± 4.0 -78.1 -47.4 -13.8 ± 16.45′ -0.83 -0.70 -0.48 ± 0.08 -18.8 -2.8 -10.8 ± 4.1 -81.0 -48.8 -14.3 ± 16.9

Tableau 4.5 Effet topographique direct total At sur la pesanteur mesurée par satellite au-dessusde l’Irlande, la France et l’Iran. Calcul avec Etopo 1, 2 et 5. Unité : 1 mGal

Le Tableau 4.5 montre que le calcul de l’effet total Atsat à partir des modèles Etopo 1, 2et 5 fournit des valeurs dont l’emq ne varie pas.

Le pas d’échantillonnage n’influence pas les résultats de l’effet topographique total sur lapesanteur Atsat.

Bien que les effets résiduels δAsat soient faibles, l’apparence de la topographie est claire-ment identifiable sur la Fig.4.6(b)(droite). En revanche, seul le signal de très grande longueurd’onde est identifié par le calcul de l’effet total sur la Fig.4.6(b)(gauche). Ceci s’observe égale-ment sur la Fig.4.7.

7. Voir aussi Figures de l’Irlande utilisant le modèle Etopo 1 pour le calcul de l’effet residuel δAsat et l’effettotal At

sat, Annexe A.12.

38


Le signal gravitationnel de la topographie est fortement atténué aux altitudes satellitaires.Les courtes longueurs d’onde sont plus rapidement amorties que les grandes longueurs d’onde.La différence d’amplitude entre l’effet total Atsat (de l’ordre de la dizaine de mGal) et l’effetrésiduel δAsat (presque insignifiant) montre que la compensation des masses topographiquespar la condensation de Helmert est un procédé efficace pour traiter les données gravimétriquesfournies par les satellites.

En comparaison avec le traitement des données gravimétriques recueillies en surface (voirFig.4.6(a)), il apparaît que le traitement des données satellitaires est plus efficace car ladifférence d’amplitude entre l’effet total et résiduel est bien plus importante. Le retrait del’effet résiduel des masses topographiques sur la pesanteur au cours du procédé RCR auradonc moins d’impact sur les mesures satellitaires.

−4˚ −2˚ 0˚ 2˚ 4˚ 6˚ 8˚

44˚

46˚

48˚

50˚

−200 −150 −100 −50 0mGal

−4˚ −2˚ 0˚ 2˚ 4˚ 6˚ 8˚

44˚

46˚

48˚

50˚

−6 −4 −2 0 2 4 6 8mGal

Total effect (surf) Residual effect (surf)

(a)

−4˚ −2˚ 0˚ 2˚ 4˚ 6˚ 8˚

44˚

46˚

48˚

50˚

−18−16−14−12−10 −8 −6 −4 −2mGal

−4˚ −2˚ 0˚ 2˚ 4˚ 6˚ 8˚

44˚

46˚

48˚

50˚

−0.04 −0.02 0.00 0.02 0.04 0.06mGal

Total effect (sat) Residual effect (sat)

(b)Fig. 4.6 Comparaison entre les effets topographiques sur la pesanteur au-dessus de la France enutilisant le modèle Etopo 2. (a) effet total At

surf (gauche) et effet résiduel δAsurf à la surface. (b)effet total At

sat (gauche) et effet résiduel δAsat (droite) à altitude satellitaire et plan de coupe desprofils représentés Fig.4.7.

−3000

−2000

−1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

Top

ogra

phy

(m)

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Res

idua

l effe

ct (

mG

al)

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

Tot

al e

ffect

(m

Gal

)

−2 ° −1 ° 0 ° 1 ° 2 ° 3 ° 4 ° 5 ° 6 ° 7 ° 8 °longitude


Fig. 4.7 Profil longitudinal à la latitude 4555′ à travers la France en utilisant le modèle Etopo 2.Profil des effets directs sur la pesanteur à altitude satellitaire, comparant le comportement de l’effet

résiduel δAsat (en noir) et de l’effet total Atsat (en pointillé) à la topographie (en gris).

39


4.3 Effet topographique direct sur la gradiométrie

4.3.1 Effet résiduel δE

Le calcul de l’effet topographique direct sur la gradiométrie δE est réalisé en utilisantl’Eqn.(2.49) 8 pour rsat = rGOCE = R+250 km. Le Tableau 4.6 présente les valeurs minimum,moyennes et maximum ainsi que l’emq pour δE en Eötvös 9.

δE on gradiometryIreland France Iran

Grid min mean max rms min mean max rms min mean max rms1′ -2.13 -0.00001 0.07 ± 0.10 -38.6 -0.01 10.2 ± 1.6 -40.1 0.003 13.5 ± 3.92′ -1.99 -0.000004 0.07 ± 0.10 -27.5 -0.01 10.2 ± 1.7 -40.1 0.003 13.5 ± 3.95′ -1.06 -0.00001 0.06 ± 0.07 -23.7 -0.01 9.7 ± 1.6 -24.4 0.002 14.6 ± 3.9

Tableau 4.6 Effet topographique direct δE sur la gradiométrie au-dessus de l’Irlande, la France etl’Iran, en utilisant les modèles Etopo 1, 2 et 5. Unité : 1 mE.

Dans le Tableau 4.6, les emq sont quasi identiques quel que soit le modèle utilisé (Etopo1, 2 ou 5) démontrant que les résultats de l’effet topographique δE sur la gradiométrie nesont pas affectés par un changement de résolution de 1′ à 5′.

Les valeurs de δE sont plus de dix fois plus faibles au-dessus de l’Irlande qu’au-dessus dela France et de l’Iran. Cet effet topographique sur la gradiométrie est infime au-dessus desrégions à topographie basse et peu accidentée.

44˚ 48˚ 52˚ 56˚ 60˚ 64˚

28˚

32˚

36˚

40˚

−0.015

−0.010

−0.005

0.000

0.005

0.010

0.015E

Residual effect

Fig. 4.8 Effet topographique résiduel sur la gradiométrie δE au-dessus de l’Iran calculé enutilisant le modèle Etopo 2 ainsi que l’axe des profils présentés sur la Fig.4.10.

L’effet est néanmoins plus important lorsque le terrain est élevé et accidenté, jusqu’à -40 mE en Iran et France. Compte tenu de la précision annoncée du gradiomètre de GOCEd’ecart-type 10 mE , l’effet δE doit être corrigé lors du procédé RCR car il affecte les mesures,en particulier en milieu montagneux.

8. voir expression de δE Sect.2.6, p. 24.9. Unité de gradiométrie : 1 E = 10−9 m/s2/m.

40

4.3. Effet topographique direct sur la gradiométrie

4.3.2 Effet total V trr

L’effet topographique direct total V trr sur la gradiométrie est calculé en utilisant

V trr(r,Ω) = G%0

∫Ω0

∂2L−1(r, ψ, r′)∂r2

∣∣∣∣∣rt(Ω′)

r′=RdΩ′ , (4.2)

où r = rGOCE .

Total effect V trr on gradiometry

Ireland France IranGrid min mean max rms min mean max rms min mean max rms

1′ 0.01 0.07 0.11 ± 0.02 -0.05 0.37 1.52 ± 0.37 -0.38 1.01 2.85 ± 0.892′ 0.01 0.07 0.12 ± 0.02 -0.05 0.37 1.52 ± 0.37 -0.38 1.01 2.85 ± 0.895′ 0.01 0.06 0.11 ± 0.02 -0.06 0.38 1.58 ± 0.39 -0.38 1.03 2.97 ± 0.91

Tableau 4.7 Effet total sur la gradiométrie (V trr) au-dessus de l’Irlande, la France et l’Iran en

utilisant les modèles Etopo 1, 2 et 5. Unité : 1 E

0 %

2 %

4 %

6 %

8 %

vrrt

0.00 0.05 0.10 0.15Eotvos

ireland

(a) Irlande

0 %

5 %

10 %

15 %

20 %

vrrt

−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0Eotvos

france

(b) France

0 %

2 %

4 %

6 %

vrrt

−1 0 1 2 3Eotvos

iran

(c) Iran

Fig. 4.9 Répartition de V trr en Eötvös (E), selon le pourcentage du nombre de points pour le

modèle Etopo 2.

−2000

−1000

0

1000

2000

3000

4000

Top

ogra

phy

(m)

−0.02

−0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

Res

idua

l effe

ct (

E)

−2

−1

0

1

2

3

4

Tot

al e

ffect

(E

)

44 ° 46 ° 48 ° 50 ° 52 ° 54 ° 56 ° 58 ° 60 ° 62 ° 64 °longitude


Fig. 4.10 Comparaison de l’effet résiduel δE (en noir) et l’effet total V trr (pointillés) avec la

topographie (gris). Profil longitudinal de latitude 2945′ en Iran, en utilisant le modèle Etopo 2.

Le profil longitudinal (Fig.4.10) montre que la longueur d’onde de l’effet total (courbenoire) est plus courte que celle de l’effet résiduel (courbe pointillée) en particulier où la to-

41


pographie est plus élevée et accidentée.

Le Tableau 4.7 montre que les valeurs de l’effet total V trr sont bien plus importantes que

celles de l’effet résiduel δE (de deux ordres de grandeur). Cela prouve que la condensation deHelmert est un moyen efficace de compensation des masses topographiques pour le traitementdes données de gradiométrie satellitaire.

La répartition des valeurs de l’effet total (histogrammes Fig.4.9) est assez homogène com-parée à la répartition des valeurs de l’effet résiduel où la plupart des valeurs se concentrentautour de zéro (voir histogrammes Fig.A.18 en Annexe p 86).

La carte et le profil représentant l’effet topographique total sur la gradiométrie V trr (Fig.4.11(a)

et la courbe en pointillée Fig.4.10) montrent un signal lissé et de grande longueur d’onde. 10

Comparaison avec des études similaires

Eshagh (2009) et Bagherbandi (2011) ont récemment calculé l’effet topographique totalen assimilant la topographie à une série en harmoniques sphériques troncquée au degré et àl’ordre 360 (soit une résolution spatiale de 0.5× 0.5 (56 km × 56 km)). Dans leur étude, ilscalculent en coordonnées cartésiennes les six composantes du tenseur gradiométrique, dontV tzz est représenté sur la Fig.4.11(b) et correspond à V t

rr en coordonnées sphériques.Le Tableau 4.8 montre un comparatif des résultats de ces études avec notre méthode (au-

dessus de l’Iran en utilisant Etopo 5).

44˚ 48˚ 52˚ 56˚ 60˚ 64˚

28˚

32˚

36˚

40˚

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0E

Total effect

(a) (b)Fig. 4.11 Comparaison de l’effet topographique total sur la gradiométrie selon deux méthodes

différentes et deux résolutions spatiales différentes. (a) V trr calculé point par point dans le domaine

spatial avec une résolution de 5′. (Et plan de la coupe présentée dans la Fig.4.10). (b) V tzz calculé

par harmoniques sphériques dans le domaine fréquentiel correspondant à une résolution de 0.5(Eshagh, 2009).

10. Voir aussi la comparaison de la résolution obtenue après calcul de l’effet résiduel au-dessus de l’Iran enutilisant Etopo 1 et Etopo 5. Annexe A.13.

42

4.4. Résultats pour les trois zones d’étude

V tzz(P ) - Iran

Grid min mean max rms0.5 -0.81 0.64 2.63 ± 0.94 Eshagh (2009)0.5 -0.96 0.20 3.21 ± 0.91 Bagherbandi (2011)5′ -0.38 1.03 2.97 ± 0.91 Table 4.7

Tableau 4.8 Effet total sur la gradiométrie V tzz au-dessus de l’Iran. Unité : 1 E

La Fig.4.11 illustre la comparaison des résultats de l’effet total de notre étude à celled’Eshagh (2009). Il apparaît clairement que les résultats sont similaires en termes de résolu-tion et d’amplitude. Les deux modèles sont également en accord avec les résultats (Tableau4.8) de Bagherbandi (2011).

On observe ainsi que deux méthodes complètement différentes fournissent des résultatstrès similaires. Cela montre également que l’échantillonnage de la grille ne modifie pas defaçon significative les valeurs à grande longueur d’onde de V t

rr.

4.4 Résultats pour les trois zones d’étude

Les résultats obtenus pour l’effet total V trr et l’effet résiduel δE en Irlande, France et Iran

sont illustrés sur la Fig.4.12.En Irlande Fig.(a), l’effet total est très homogène et l’effet résiduel est de faible amplitude.En France Fig.(b), l’effet total est fort au-dessus des Alpes et tend vers 0 vers le Nord-Est

où le terrain est bien plus bas et plat. L’effet résiduel présente de grandes longueurs d’ondeau niveau des zones montagneuses et de courtes longueurs d’onde sur le reste du pays.

En Iran Fig.(c), l’effet total est de grande amplitude et l’effet résiduel présente un signalde courtes longueurs d’onde au-dessus de la chaîne de montagnes du Zagros.

43


−10˚ −8˚ −6˚

52˚

53˚

54˚

55˚

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10Eotvos

−10˚ −8˚ −6˚

52˚

53˚

54˚

55˚

−0.0004 −0.0002 0.0000Eotvos

Total effect Residual effect

(a)

−4˚ −2˚ 0˚ 2˚ 4˚ 6˚ 8˚

44˚

46˚

48˚

50˚

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4Eotvos

−4˚ −2˚ 0˚ 2˚ 4˚ 6˚ 8˚

44˚

46˚

48˚

50˚

−0.002 0.000 0.002 0.004Eotvos


(b)

44˚ 48˚ 52˚ 56˚ 60˚ 64˚

28˚

32˚

36˚

40˚

0 1 2 3Eotvos

44˚ 48˚ 52˚ 56˚ 60˚ 64˚

28˚

32˚

36˚

40˚

−0.01 0.00 0.01Eotvos


(c)

Fig. 4.12 Effet topographique direct total V trr (figures de gauche) et résiduel δE (figures de droite)

sur la gradiométrie. En Irlande (a), en France (b) et en Iran (c) en utilisant Etopo 1. Unit : 1E

44

4.5. Conclusions

4.5 Conclusions

Ce chapitre s’est consacré aux résultats des calculs des effets topographiques sur lesmesures gravitationnelles. L’analyse de ces résultats a permis de tirer les conclusions suiv-antes :

– En terrain relativement peu accidenté, comme l’Irlande, les effets de la topographie sontd’amplitude bien moins élevée qu’en terrain haut et accidenté comme en France et enIran.

– Le calcul des effets topographiques pour une même zone d’étude avec des résolutionsdifférentes montrent qu’à altitude satellitaire, les résultats ne sont pas affectés par lechangement de résolution de 1 à 5 minutes d’arc, contrairement aux effets sur les mesuresà la surface.

– A altitude satellitaire, les effets des masses topographiques totales (non compensées)produisent un signal de grande longueur d’onde.

– Les effets topographiques résiduels, bien plus faibles que les effets totaux, montrent quela méthode de compensation des masses topographiques par la condensation de Helmerts’avère efficace.

– La méthode de calcul point par point de l’effet topographique total sur la gradiométrie,présente des résultats similaires à ceux de Eshagh (2009) et Bagherbandi (2011) obtenuspar une méthode de calcul complètement différente. Ceci valide la méthode de calculau point par point, jusque-là jamais expérimentée pour le traitement des mesures degradiométrie (GOCE).

45


46

Conclusions et perspectives

Cette étude a permis d’évaluer les corrections de terrain à déduire lors du procédé deRetrait-Calcul-Restauration pour la détermination du géoïde par le traitement des mesuresgravitationnelles des récentes missions satellitaires GRACE et GOCE.

La première étape du procédé de Retrait-Calcul-Restauration, correspondant à ce projetd’étude, revient à corriger les mesures gravitationnelles des effets des masses topographiques.Ces effets ont dejà été explorés sur les mesures gravitationnelles prises au sol, mais ne sontqu’au stade d’études préliminaires en ce qui concerne les mesures satellitaires. L’apport récentet futur de données en provenance des satellites GRACE et GOCE presse les chercheurs àdévelopper des méthodes de calcul fiables pour définir le géoïde.

Dans cette étude, la méthode utilisée pour déterminer l’expression des effets topographiquesse base sur l’intégrale de Newton ainsi que sur la compensation des masses topographiques enutilisant la seconde condensation de Helmert. Après avoir exprimé les effets topographiquessous forme analytique, j’ai créé un programme qui a permis leur calcul point par point àpartir de modèles numériques de terrain. Il convient de noter le côté innovant de la méthoden’ayant jamais été testée auparavant sur les effets de la topographie à altitude satellitaire.

Après une estimation des temps de calcul nécessaires à l’étude d’un projet à l’échelle glob-ale, il a fallu adapter les tests aux outils numériques mis à disposition. Le temps d’éxécution duprogramme sur des données à échelle globale étant démesuré, j’ai choisi de tester la méthodesur trois zones géographiques de superficie raisonnable (Irlande, France et Iran, présentantune topographie spécifique intéressante à l’étude) pour pallier le problème du temps de calcul.Ce choix n’altère en rien cette étude qui a pour but principal de tester la méthode.

Les résultats ont montré d’une part, que les effets topographiques sur les mesures parsatellite ont un impact bien moins important que les effets sur les mesures en surface, sur laréduction des mesures dans la procédure RCR. Ceci montre l’avantage majeur d’effectuer et detraiter des mesures gravitationnelles par satellites. D’autre part, la méthode de la condensationde Helmert sur les masses topographiques s’est avérée efficace. Enfin, la comparaison desrésultats avec des études récentes utilisant une méthode de calcul fondamentalement différentea démontré que le programme écrit fournit des résultats fiables.

Ainsi, la méthode de calcul point par point est validée, et les résultats des tests sont con-

47

cluants et encourageants quant à la suite logique de l’étude.

En perspective, une étude de compensation isostatique des masses topographiques pourraitêtre réalisée et comparée à la méthode de condensation de Helmert qui est efficace, certes,mais n’est pas le seul moyen de compenser les masses topographiques.

Le calcul sur l’étendue globale pourra être testée en s’affranchissant du problème du tempsde calcul, par exemple en programmant l’exécution en calcul parallèle et/ou en utilisant desordinateurs multi-processeurs. De plus il sera nécessaire trouver le meilleur compromis entrela résolution du modèle topographique utilisé et celle des mesures effectuées.

Enfin, les résultats de ce projet de fin d’étude seront utilisés pour débuter le traitement etl’interprétation des données de la mission satellitaire GOCE. Le procédé de Retrait-Calcul-Restauration pourra alors suivre son cours.

L’effet de la topographie sur les mesures gravitationnelles est un sujet captivant et com-plexe. Ce travail m’a permis d’élargir mes connaissances en géodésie basées sur mes cours degéomètre, dispensés en BTS puis au cours du cursus d’ingénieur INSA, à des notions physiqueset mathématiques complémentaires. Au cours de ce travail de diplôme j’ai saisi l’opportunitéd’écrire mes propres programmes. J’ai ainsi acquis et développé des compétences en langagefortran, à l’écriture de scripts pour "Generic Mapping Tools", à l’écriture LATEX, et l’utili-sation du système d’exploitation LINUX. Enfin, j’ai particulièrement apprécié le fait d’êtreplongée dans un environnement international de recherche scientifique qui a été pour moi uneexpérience très enrichissante.

48

Liste des symboles

AB attraction gravitationnelle de la couche sphérique de BouguerAc attraction gravitationnelle des masses compensées/condenséesAt attraction gravitationnelle des masses topographiquesAR attraction gravitationnelle du terrain accidenté (roughness terrain)δA effet topographique direct sur la pesanteurδE effet topographique direct sur la gradiométrieg pesanteur TerrestreG constante gravitationnelle de NewtonH altitude de la topographieHP épaisseur du plateau de BouguerKrr noyau de la fonction de GreenL distance spatialeL−1 inverse de la distance LL−1 intégrale du noyau de NewtonL−1a expression analytique de l’intégrale du noyau de Newton

N hauteur géoïdale ou ondulationNh ondulation du co-géoïdeδN effet topographique indirect sur le géoïdeP point de calculP ′ point de l’intégrationPg point situé sur le géoïdePt point situé à la surface de la TerreQ point situé sur l’ellipsoïde de référencer distance radialerg rayon du géoïdert rayon de la surface topographiqueR rayon moyen de la sphère approximant au mieux le géoïde

49

S fonction de StokesSg surface du géoïdeSt surface topographiqueT anomalie du potentiel gravitationel, harmonique en dehors de la surface

TerrestreT h anomalie du potentiel gravitationel, harmonique en dehors du géoïdeU potentiel de pesanteur normalV potentiel gravitationnel de la TerreV B potentiel gravitationnel des masses de la couche de BouguerV c potentiel gravitationnel des masses compensées ou condenséesV R potentiel gravitationnel des masses du terrain accidenté (roughness terrain)V t potentiel gravitationnel des masses topographiquesδV potentiel résiduel topographique/ effet indirect sur le potentielVrr composante rr du tenseur gradiométriqueW potentiel de pesanteur de la TerreW0 valeur de référence du potentiel de pesanteur Terrestre

γ pesanteur normaleϑ co-latitudeλ latitudeϕ longitude% densité des masses topographiques%0 densité moyenne des masses topographiques%c densité des masses compenséesσ densité des masses condenséesψ distance angulaire en coordonnées sphériquesΩ paire d’angles de coordonnées sphériquesΩ0 angle solide

50

Liste des acronymes

DEM Digital Elevation Model - Modèle Numérique de terrainDWC Downward continuation - Prolongement vers le basEGM Earth Gravity Model - Modèle de Pesanteur TerrestreESA European Space Agency - Agence Européenne Spatialeemq erreur moyenne quadratiqueFortran langage de programmation FORmula TRANslatorGLOBE Modèle d’élévation Global Land One-kilometer Base ElevationGLONASS système de positionnement par satellite Russe Global Navigation Satellite

SystemGMT outils de dessin Generic Mapping ToolsGOCE mission satellitaire Gravity fields and steady-state Ocean Circulation Ex-

plorerGPS Global Positioning System - Système de Positionnement par SatellitesGRACE mission satellitaire Gravity Recovery and Climate ExperimentLEO Low Earth Orbiter - Satellite à orbite basseNASA National Aeronautics and Space Administration - Administration Nationale

de l’Aéronautique et de l’EspaceNOAA National Oceanic and Atmospheric Administration - Administration Na-

tionale Océanique et AtmosphériqueRCR Remove-Compute-Restore - Retrait-Calcul-Restaurationrms root mean square - écart moyen quadratiqueSGG Satellite Gravity Gradiometry - Gradiometrie SatellitaireSRTM modèle numérique d’élévation du Shuttle Radar Topography MissionSST-hl Satellite to Satellite Tracking in high-low mode - poursuite de satellite bas

par satellites hautsSST-ll Satellite to Satellite Tracking in low-low mode - poursuite de satellite bas

par satellite basWP Work Package - projet de travail

51

52

Table des figures

1 Surface de la Terre, geoïde, et ellipsoïde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Coordonnées d’un point P (r,Ω = (ϑ, ϕ)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Représentation graphique d’un point sur le géoïde et sur la surface terrestre

ainsi que le rayon géocentrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Coordonnées sphériques du point de calcul P , d’un point d’intégration P ′, de

la distance L et l’angle solide ψ entre P et P ′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Concepts de mesures satellitaires et les quatres critères fondamentaux. . . . . 81.5 Optional caption for list of figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 co-géoïde et hauteurs géoïdales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Récapitulatif du procédé de RCR pour la détermination de l’ondulation du

géoïde N à partir de mesures de gravité et de gradiométrie. Noms des effetstopographiques et expressions des principales formules où ils interviennent. . 13

2.1 Optional caption for list of figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Rugosité du terrain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Topographie et couches de compensation des modèles de Pratt-Hayford et Airy-

Heiskannen (Hofmann-Wellenhof & Moritz, 2006, Fig.3.16). . . . . . . . . . . 182.4 Couche de condensation de Helmert de densité de surface σ. . . . . . . . . . . 18

3.1 Temps de calcul en fontion du nombre de points T = f(N). Représentationgraphique avec echelles logarithmiques en abscisses et ordonnées. . . . . . . . 30

4.1 Cartes topographiques de l’Irlande, la France et l’Iran générées à partir dumodèle Etopo 1. Les cartes ont été produites en utilisant GMT. . . . . . . . . 34

4.2 Comparaison de la résolution des effets topographiques directs sur la pesanteurmesurée en surface pour l’Irlande en utilisant les modèles Etopo 1, 2 et 5. . . 35

4.3 Répartition des valeurs de δAsurf en mGal, de nombre de points pour le modèleEtopo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

53

4.4 Effet topographique total Atsurf sur la pesanteur mesurée en surface pour l’Ir-lande en utilisant le modèle Etopo 1.(a) Atsurf et axe de la coupe. (b) Profillongitudinal de latitude 5235′N. Courbes de l’effet résiduel δAsurf (en noir)et l’effet total Atsurf (en pointillé) avec la topographie (en gris). . . . . . . . . 37

4.5 Répartition des valeurs de δAsat en mGal, en pourcentage du nombre de points,calculées à partir de Etopo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.6 Comparaison entre les effets topographiques sur la pesanteur au-dessus de laFrance en utilisant le modèle Etopo 2. (a) effet total Atsurf (gauche) et effetrésiduel δAsurf à la surface. (b) effet total Atsat (gauche) et effet résiduel δAsat(droite) à altitude satellitaire et plan de coupe des profils représentés Fig.4.7. 39

4.7 Profil longitudinal à la latitude 4555′ à travers la France en utilisant le modèleEtopo 2. Profil des effets directs sur la pesanteur à altitude satellitaire, com-parant le comportement de l’effet résiduel δAsat (en noir) et de l’effet total Atsat(en pointillé) à la topographie (en gris). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.8 Effet topographique résiduel sur la gradiométrie δE au-dessus de l’Iran calculéen utilisant le modèle Etopo 2 ainsi que l’axe des profils présentés sur la Fig.4.10. 40

4.9 Répartition de V trr en Eötvös (E), selon le pourcentage du nombre de points

pour le modèle Etopo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.10 Comparaison de l’effet résiduel δE (en noir) et l’effet total V t

rr (pointillés) avecla topographie (gris). Profil longitudinal de latitude 2945′ en Iran, en utilisantle modèle Etopo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.11 Comparaison de l’effet topographique total sur la gradiométrie selon deuxméthodes différentes et deux résolutions spatiales différentes. (a) V t

rr calculépoint par point dans le domaine spatial avec une résolution de 5′. (Et plan dela coupe présentée dans la Fig.4.10). (b) V t

zz calculé par harmoniques sphériquesdans le domaine fréquentiel correspondant à une résolution de 0.5 (Eshagh,2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.12 Effet topographique direct total V trr (figures de gauche) et résiduel δE (figures

de droite) sur la gradiométrie. En Irlande (a), en France (b) et en Iran (c) enutilisant Etopo 1. Unit : 1E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

A.1 Description of the Work Package 6. This work will probably will used for theWP6.2 which is : "To model the gravity and gradiometric effects generated by[...] the surface topography". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.2 Schedule of the differents Works packages for the ESA-GOCE project. As writ-ten on top of the page, "all dates in the diagram should be treated as relativeonly and might be shifted". Note that the project didn’t start yet. . . . . . . 61

A.3 print screen of the interface of the online integrator Wolfram@ with the resultobtained for the second radial derivative of the Newton kernel ∂2 ˜L−1

a /∂r2. . . 66

54

A.4 Behaviour of the kernel of the potential and its derivatives when H(Ω) variesfrom 1 km to 1000 km, r = R + H(Ω),H(Ω′) = 1km, ψ = 0.01. L−1

a (r, ψ, r′)is the plain line, ∂L−1

a (r, ψ, r′)/∂r is the dashed line and ∂2L−1a (r, ψ, r′)/∂r2 is

the dash-dotted line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67A.5 Residual potential kernel and its two radial derivatives when ψ increases from

0 to 0.1°, H(Ω′) = 1km, H(Ω) = 0 km. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68A.6 Sources for Etopo 2v2 (NOAA@, 2009) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69A.7 Sources for Etopo 1-"Ice Surface" (NOAA@, 2009) . . . . . . . . . . . . . . . 69A.8 T = f(N) with "normal scale" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.9 Subroutine fortran for calculating the mean and root mean square of the data. 81A.10 Indirect effect on geoid (Etopo 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82A.11 Distribution of δN in meters, counted in percentage of the number of points

from Etopo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82A.12 Comparison of the direct effect on surface gravity from Etopo 1 and 5. . . . . 83A.13 Distribution of Atsurf in mGal, counted in percentage of the number of points

from Etopo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.14 Comparison of the total and residual direct effect on satellite gravity from

Etopo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.15 Distribution of Atsat in mGal, counted in percentage of the number of points

from Etopo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.16 Comparison of the total and residual direct effect on gradiometry from Etopo 1. 85A.17 Comparison of the total and residual direct effect on gradiometry from Etopo 5. 85A.18 Distribution of δE in Eötvös, counted in percentage of the number of points

from Etopo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

55

56

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Wolfram@ (2011). Online integrator, mathematical definitions. URLs http ://inte-grals.wolfram.com/ and http ://mathworld.wolfram.com.

58

A

Annexes

59

A.1 Projet de travail de l’ESA

AO/1-6367/10/NL/AF STSE – GOCE+

UWB/GOCE-GDC

Towards a better understanding of the Earth’s interior and geophysical exploration research

“GOCE-GDC” Financial, management and administrative proposal

Page A-6 July 14, 2010 Issue 1rev0

PROJECT:GOCE-GDC PHASE: 1

WP REF: WP6

WP Title: Geophysical test scenario B – continental small-scale regions covered by exploration geophysical data

Contractor: DIAS

Start event: MTR (T0 + 12 m) End event: PM4 (T0 + 20 m)

WP Manager: Z. Martinec

Sheet 1 of 1 Issue: 1 Issue Date: 23.6.2010

Participants: AUT,TUD

Objectives: To select two or more application areas where the data sets shall be employed complementing

others that are already used for geophysical modelling (like topography, seismic, magnetotelluric data etc.)

To demonstrate and assess the benefits of the combined (satellite) data set with near surface data in simulation experiments and modelling based upon real data in a well understood setting.

Inputs: Satellite gravity gradient data along the GOCE orbit (WP4 output) Combined gravity gradient data near or at the Earth Surface (WP4 output)

Activities:

WP6.1 To derive an apriori information on the lithospheric density from seismic and magnetotelluric structure parameters by applying a thermomechanical model. To combine the expertise in magnetic and seismic exploration geophysics available at the DIAS with the GOCE data in small-scale regions.

WP6.2 To model the gravity and gradiometric effects generated by the apriori density model and by the surface topography.

WP6.3 To test the sensitivity of gravity and gradiometric data on density parameters. WP6.4 To improve the apriori density model by assimilating satellite and surface gravity and

gradiometry data. WP6.5 To understand the benefits of the new gravity field for exploration geophysical

applications.

Outputs / deliverables: WP6 report

Fig. A.1 Description of the Work Package 6. This work will probably will used for the WP6.2which is : "To model the gravity and gradiometric effects generated by [...] the surface topography".

60

AO/1-6367/10/NL/AF STSE GOCE+

UWB/GOCE-GDC

geophysical exploration research -

Financial, management and administrative proposal

Page 23 July 14, 2010 Issue 1rev0

date will depend on negotiation between the contractor and ESA so all dates in the diagram should be treated as relative only and might be shifted.

Figure 3 - The GANTT diagram

Figure 4 shows the workload per institution during the project duration. All WPs start and end with a project meeting, so the whole period can be divided to 6 sub-periods. Dark colors mean, that the institution works as a WP manager in the particular sub-period, light colors mean its participation on some WP. The numbers denote WP numbers in respective sub-periods, bold numbers imply the WP management.

Figure 4 - Workload per institution.

Fig. A.2 Schedule of the differents Works packages for the ESA-GOCE project. As written on topof the page, "all dates in the diagram should be treated as relative only and might be shifted". Note

that the project didn’t start yet.

61

A.2 Fondamentaux de mathématiques

Gradient

The gradient of a scalar function f is defined as the vector field which components arecomposed of the partial derivatives of f . The form of the gradient depends on the coordinatesystem used.

In spherical coordinates the gradient is given by (Schey 1992, pp. 139-142)

∇f(r, ϑ, ϕ) = ∂f

∂rer + 1

r

∂f

∂ϑeϑ + 1

r sinϑ∂f

∂ϕeϕ ,

where ϑ and ϕ represent co-latitude and longitude, respectively. In particular, the colatitudeϑ ranges from 0 at the North Pole to π at the South Pole, having the value of π/2 at theEquator, and the longitude ϕ takes values of 0 ≤ ϕ < 2π. er, eϑ and eϕ are unit base vectorstangential to the coordinates lines.

Laplace’s equation and Laplacian

Laplace’s equation is the partial differential equation of the form

∇2ϕ = 0 ,

where ϕ is a scalar differential function and ∇2 is the Laplace differential operator, definedin the spherical coordinates system as

∇2f(r, ϑ, ϕ) = 1r2

∂

∂r

(r2∂f

∂r

)+ 1r2 sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ∂f

∂ϑ

)+ 1r2 sin2 ϑ

∂2f

∂ϕ2 .

The Laplace operator in the Cartesian coordinates is

∇2f(x, y, z) = ∂2f

∂x2 + ∂2f

∂y2 + ∂2f

∂z2 .

Solid spherical harmonics

A real function V with continuous second order partial derivatives which satisfies Laplace’sequation,

∇2V = 0 ,

is called a harmonic function.

The spherical harmonics Y mn (ϑ, ϕ) of degree n and order m are defined by

Y mn (ϑ, ϕ) = Nm

n Pmn (cosϑ)eimϕ ,

62

where

Nmn =

√(2n+ 1)

4π(n−m)!(n+m)! ,

is a normalization factor, and Pmn (cosϑ) is an associated Legendre function of degree n andorder m.

The fundamental solution of Laplace’s equation in the spherical coordinates is given bythe solid spherical coordinates is given by the solid spherical harmonics rnY m

n (ϑ, ϕ) andr−n−1Y m

n (ϑ, ϕ), that is∇2 (rnY m

n (ϑ, ϕ)) = 0 ,

or∇2(r−n−1Y m

n (ϑ, ϕ))

= 0 .

63

A.3 La formule de Bruns

Notes on the lecture of Martinec (2011)on tuesday, March 22nd 2011

W0 = UPg + TPg (A.1)

The normal gravity potential U taken at a point on the geoid Pg is

UPg = UQ + ∂U

∂h

∣∣∣∣QN + 1

2∂2U

∂h2

∣∣∣∣∣Q

N2 +O(N3) , (A.2)

and the normal gravity γ := |grad U | so :

UPg = UQ − γ|QN −12∂γ

∂h

∣∣∣∣QN2 +O(N3) . (A.3)

Then we substitute (A.3) into (A.1) :

W0 = UQ − γ|QN −12∂γ

∂h

∣∣∣∣QN2 +O(N3) + TPg , (A.4)

but the potential UQ on geoid is equal to W0, so

0 = −γQN −12∂γ

∂h

∣∣∣∣QN2 +O(N3) + TPg , (A.5)

and we admit that 12∂γ∂h

∣∣∣QN2 is very small, so (A.5) becomes

0 = −γQN + TPg , (A.6)

which is the BRUNS’S FORMULA :

N =TPg

γQ. (A.7)

Note : If we consider W0−UQ is not exactly 0 but a small value ±∆W , then we can writeBruns’s formula as

N =TPg + ∆W

γQ. (A.8)

64

A.4 Expression analytique du noyau de Newton et de sesdérivées

A.4.1 Expression of L−1a

We use the following equations Gradshteyn & Ryzhik (2007)

∫x2dx√X

=(x

2a −3b4a2

)√X + 3b2 − 4ac

8a2

∫dx√X

(A.9)

∫dx√X

= 1√a

ln |2√aX + 2ax+ b|+ C (A.10)

, for a>0 and where C is a constant value.Replacing Eqn.(A.10) and "our" notations in Eqn.(A.9) , we obtain the analytical expres-

sion :

L−1a (r, ψ, r′) = 1

2

[(3r cosψ + r′)

√r′2 − 2rr′ cosψ + r2+ (A.11)

+r2(3 cos2 ψ − 1) ln |2(√r′2 − 2rr′ cosψ + r2 − r cosψ + r′)|

]+ C

A.4.2 Expression of ∂2 ˜L−1a /∂r2

The Newton kernel L−1(r, ψ, r′) has to be derived two times.

∂2L−1(r, ψ, r′)∂r2 =

∫r′r′2(∂2L−1(r, ψ, r′)

∂r2

)dr′ (A.12)

∂2L−1(r, ψ, r′)∂r2 = ∂

∂r

(∂L−1(r, ψ, r′)

∂r

)(A.13)

To obtain the second derivative of L−1(r, ψ, r′), we derive over r, its first derivative , Eqn.(3.5),using the property

(uv

)′ = u′v−uv′v2 . We finally obtain :

∂

∂r

(∂L−1(r, ψ, r′)

∂r

)= − 1

(r′2 − 2rr′ cosψ + r2)3/2 + 3(r − r′ cosψ)2

(r′2 − 2rr′ cosψ + r2)5/2 (A.14)

Including Eqn.(A.14) in Eqn.(A.12), the second derivative of L−1(r, ψ, r′) gives the fol-lowed integral :

∂2L−1(r, ψ, r′)∂r2 =

∫r′− r′2

(r′2 − 2rr′ cosψ + r2)3/2 + 3r′2(r − r′ cosψ)2

(r′2 − 2rr′ cosψ + r2)5/2dr′ (A.15)

Then, Wolfram@ (2011) is used to obtain the analytical expression, as shown by the followed

65

figure.

Fig. A.3 print screen of the interface of the online integrator Wolfram@ with the result obtainedfor the second radial derivative of the Newton kernel ∂2 ˜L−1

a /∂r2.

The second derivative of L−1(r, ψ, r′) can be expressed as

∂2L−1a (r, ψ, r′)∂r2 = (3 cos2 ψ − 1) ln |L(r, ψ, r′)− r cosψ + r′|

+3r3 cosψ + r2(r′ − 12 cos2 ψr′) + 2r cosψ(6 cos2 ψ + 1)r′2 + 2(1− 4 cos2 ψ)r′3(r′2 − 2rr′ cosψ + r2)3/2 (A.16)

+C3(r, ψ) (A.17)

66

A.5 Représentation graphique du noyau de Newton et de sesdérivées

0.1

1

10

100

1000

10000

100000

1000000

10000000

norm

aliz

ed k

erne

ls

6400 6500 6600 6700 6800 6900 7000 7100 7200 7300

r (km)

δVδAδE

Fig. A.4 Behaviour of the kernel of the potential and its derivatives when H(Ω) varies from 1 kmto 1000 km, r = R+H(Ω),H(Ω′) = 1km, ψ = 0.01. L−1

a (r, ψ, r′) is the plain line,∂L−1

a (r, ψ, r′)/∂r is the dashed line and ∂2L−1a (r, ψ, r′)/∂r2 is the dash-dotted line

The plot Fig.A.4 confirmes that the behaviour of δV, ∂ δV/∂r and ∂2δV/∂r2 are respec-tively proportional to 1/L, 1/L2 and 1/L3, hence for instance ∂ δV/∂r decays faster than δVwhen r is increasing. The scale of the y-axis is logarithmic. Hence, the plot shows the absolutevalues.

Fig.A.5 shows that the kernel also decreases faster when the angle of integration is smaller.That can be analyzed to optimize the computation time with computing over a finite capinstead of a spherical cap.

67

10000

100000

1000000

10000000

100000000

norm

aliz

ed k

erne

ls

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

ψ (deg)

δVδAδE

Fig. A.5 Residual potential kernel and its two radial derivatives when ψ increases from 0 to 0.1°,H(Ω′) = 1km, H(Ω) = 0 km.

68

A.6 Sources de données des modèles numériques de terrainEtopo

Fig. A.6 Sources for Etopo 2v2 (NOAA@, 2009)

Fig. A.7 Sources for Etopo 1-"Ice Surface" (NOAA@, 2009)

SRTM : "Space Shuttle Radar Topography Mission" flew in 2000 as a project of theNational Aeronautics and Space Administration (NASA) and National Imagery and MappingAgency (NIMA). The SRTM objective was to acquire a high-resolution digital elevation modelof all land between about 60˚north latitude and 56˚south latitude, about 80% of Earth’sland surface. Its design goal of "linear vertical absolute value height error of less than 16m".The geodetic reference for SRTM30 is the WGS 84 EGM96 geoid.

GLOBE : Source, Year, Data Type : NGDC, 1999, Grid derived from various data setsThe NGDC GLOBE Topography data sets provides complete 30 arc-second cell-registered

coverage of global topography. The data are in WGS 84 geographic coordinates. GLOBE wascreated from both global and regional data sources. The underlying global data sources usedwere Digital Terrain Elevation data (DTED) and Digital Chart of the World (DCW). Various

69

regional data sources included DEMs for Australia, Japan, Italy, New Zealand, Greenland,Antarctica, and for parts of South America and Asia.• Commande de création des fichiers .xyz qui seront lus par fortran à partir les fichiers

.grd sources de Etopo (inscrites en commentaires au début du programme) :C : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :c to do be f o r e (ONE time ) !c c r e a t i on o f the 3 input f i l e s from the 3 etopo g r i d s 1m/1m, 2m/2m and 5m/5m.c format . xyz = 3 columnsc l ong i tude deg | l a t i t u d e deg | he ight mc −−> write on the te rmina l :c grd2xyz /mnt/home_geo/nvannes/gmt/ scr ipts_nv / etopo /ETOPO1_Ice_g_gmt4 . grdc −R44/64/25/40 > iran_etopo1 . xyzc grd2xyz /mnt/home_geo/nvannes/gmt/ scr ipts_nv / etopo /ETOPO2v2c_i2_LSB . g98c −R44/64/25/40 > iran_etopo2 . xyzc grd2xyz /mnt/home_geo/nvannes/gmt/ scr ipts_nv / etopo /ETOPO5. grdc −R44/64/25/40 > iran_etopo5 . xyz

70

A.7 Programme fortran

Un exemple de programme figure ici dans sa totalité, détaillés par quelques explicationssupplémentaires.

A.7.1 Partie principale du programme

• Avant tout, le nom et la description du programme sont nécessairesC : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

program topoeffectsANEA_irancc Author : Natha l i e Vannescc Computation o f topograph i ca l e f f e c t s :c 1− direct e f f e c t s ( s u r f a c e g rav i ty ) : d e l t a Ac 2− i n d i r e c t e f f e t s ( geo id ) : d e l t a Nc 3− direct e f f e t s ( gradiometry ) : d e l t a Ec 4− direct e f f e c t s ( s a t e l l i t e g rav i ty ) : d e l t a Acc i r an cover s an area o f 20deg x 15degC : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :c to do be f o r e (ONE time ) !c c r e a t i on o f the 3 input f i l e s from the 3 etopo g r i d s 1m, 2m and 5m.c format . xyz = 3 columnsc l ong i tude deg | l a t i t u d e deg | he ight mc −−> write on the te rmina l :c grd2xyz /mnt/home_geo/nvannes/gmt/ scr ipts_nv / etopo /ETOPO1_Ice_g_gmt4 . grdc −R44/64/25/40 > iran_etopo1 . xyzc grd2xyz /mnt/home_geo/nvannes/gmt/ scr ipts_nv / etopo /ETOPO2v2c_i2_LSB . g98c −R44/64/25/40 > iran_etopo2 . xyzc grd2xyz /mnt/home_geo/nvannes/gmt/ scr ipts_nv / etopo /ETOPO5. grdc −R44/64/25/40 > iran_etopo5 . xyzc

• L’étape indispensable est la déclaration des noms et dimensions des variables :C : : : : : MAIN PROGRAM: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :c

implicit real ∗8(a−h , o−z ) ! means t h a t ( i−n) are i n t e g e rinteger ∗4 today (3 ) , now(3) ! dimensions f o r the computation time

c TO READ THE INPUT DATAC THE DIMENSION HAS TO BE THE NUMBER OF POINTS ! ! !c ∗∗ remove the comment on the fo low ing l i n e f o r etopo1 ∗∗c dimension ph (1082101) , th (1082101) , a l t (1082101) ! e topo1c and write on the te rmina l : f 95 −o anea1 topoeffectANEA_iran . f o rcc ∗∗ remove the comment on the fo low ing l i n e f o r etopo2 ∗∗

71

c dimension ph (270000) , th (270000) , a l t (270000) ! e topo2c and write on the te rmina l : f 95 −o anea2 topoeffectANEA_iran . f o rcc ∗∗ remove the comment on the fo low ing l i n e f o r etopo5 ∗∗

dimension ph (43621) , th (43621) , a l t (43621) ! e topo5c and write on the te rmina l : f 95 −o anea5 topoeffectANEA_iran . f o rcc Then execute the 3 exe : . / anea1 . / anea2 . / anea5c

• Information sur les valeurs constantes %0, G, γQ, R :

pi =4.d00∗datan ( 1 . d00 )rho=2.67d03 ! d e n s i t ygnewt=6.67d−11 ! Newton cons tantrg=6371.d03 ! rad ius geo id in mgamma=9.81d00 ! g r a v i t y

c

• Une question apparait a l’ecran pour demander si le fichier executable doit calculeravec Etopo 1, 2 ou 5 (cela depend le la dimension déclarée) :

c i topo ’ x i topo ’ data : (1 ,2 or 5)c

write ( 6 ,∗ ) ’NUMBEROFPOINTSMUSTBEUPDATED’write ( 6 ,∗ ) ’ Def ine the g r id used : ’write ( 6 ,∗ ) ’ 1−−>ETOPO1 ’write ( 6 ,∗ ) ’ 2−−>ETOPO2 ’write ( 6 ,∗ ) ’ 5−−>ETOPO5 ’read ( 5 ,∗ ) i t opo

c

• Creation de fichiers où sera noté le temps de calcul :

i f ( i t opo . eq . 1 ) open (21 , f i l e=’ tps_comput1 . xyz ’ )i f ( i t opo . eq . 2 ) open (21 , f i l e=’ tps_comput2 . xyz ’ )i f ( i t opo . eq . 5 ) open (21 , f i l e=’ tps_comput5 . xyz ’ )

cc write the date and time at the BEGIN of the computation :c i da t e and i t ime Intrinsic f un c t i on s f o r f95 (NOT f77 )

c a l l i d a t e ( today ) ! today (1)=day , (2)=month , (3)= yearc a l l i t ime (now) ! now(1)=hour , (2)=minute , (3)= secondwrite ( ∗ , 1000 ) today (2 ) , today (1 ) , today (3 ) , nowwrite ( 21 , 1000 ) today (2 ) , today (1 ) , today (3 ) , now

1000 format ( ’BEGIN: ’ , i 2 . 2 , ’ / ’ , i 2 . 2 , ’ / ’ , i 4 . 4 , ’ ; time ’ ,& i 2 . 2 , ’ : ’ , i 2 . 2 , ’ : ’ , i 2 . 2 )

write ( 6 ,∗ ) ’ Computation proce s s . . . ’

• Le fichier source est ouvert (open) puis lu (read) grâce à une boucle (do-loop) :

72

cc number o f po in t s f o r Etopo 1 , 2 or 5c

i f ( i t opo . eq . 1 ) npo ints =1082101 ! e topo1i f ( i t opo . eq . 2 ) npo ints=270000 ! e topo2i f ( i t opo . eq . 5 ) npo ints=43621 ! e topo5

cs tep=1.d00∗ d f l o a t ( i topo )/60 . d00s s=step ∗ pi /180 . d00

cc open the f i l e which w i l l be c r ea tedc i t w i l l conta in the datas that w i l l be drawn l a t e r with gmtc the unit i s in the System In t e r n a t i o n a l :c The unit i s m. s−2,m, s−2,m. s−2 :

i f ( i t opo . eq . 1 ) open (81 , f i l e=’ sat_iran_etopo1_SI . xyz ’ )i f ( i t opo . eq . 2 ) open (81 , f i l e=’ sat_iran_etopo2_SI . xyz ’ )i f ( i t opo . eq . 5 ) open (81 , f i l e=’ sat_iran_etopo5_SI . xyz ’ )

cc The unit i s mGal ,m, Eotvos ,mGal :

i f ( i t opo . eq . 1 ) open (82 , f i l e=’ sat_iran_etopo1_unit . xyz ’ )i f ( i t opo . eq . 2 ) open (82 , f i l e=’ sat_iran_etopo2_unit . xyz ’ )i f ( i t opo . eq . 5 ) open (82 , f i l e=’ sat_iran_etopo5_unit . xyz ’ )

cc open the input f i l e which contains the datas which w i l l be computed :

i f ( i t opo . eq . 1 ) open (58 , f i l e=’ iran_etopo1 . xyz ’ )i f ( i t opo . eq . 2 ) open (58 , f i l e=’ iran_etopo2 . xyz ’ )i f ( i t opo . eq . 5 ) open (58 , f i l e=’ iran_etopo5 . xyz ’ )

cc read the input f i l e :c

do 10 i f i l e =1, npo intsread (58 ,∗ ) dlong , d lat , he ightph( i f i l e )=d f l o a t ( dlong )th ( i f i l e )=d f l o a t ( d l a t )a l t ( i f i l e )=d f l o a t ( he ight )

10 continueclose (58)

• Une première boucle est ouverte, afin d’effectuer un calcul en chaque point un à un(computation point) dont l’altitude H(Ω) est notée ’ha’ dans le programme :

cc i n t e g r a t i o n over s ph e r i c a l cap :c

do 20 iha=1, npo intsha=a l t ( iha )zero=0.d00i f ( ha . l t . ze ro ) then

73

ha=zeroendiftha=(90.d00−th ( iha ) )∗ pi /180 . d00 ! co− l a t i t u d e ( rad )s i r k a=th ( iha ) ! l a t i t u d e ( rad )pha=ph( iha )∗ pi /180 . d00 ! l o n g i t u d e ( rad )

c

• A l’intérieur de cette boucle est inclue une autre boucle qui permet d’effectuer l’intégra-tion selon un cap sphérique c’est-à-dire en intégrant chaque point de la zone de calcul. Leuraltitude est H(Ω′) notée hp :

csum1=0.d00sum2=0.d00sum3=0.d00sum4=0.d00do 21 ihp=1, npo intshp=a l t ( ihp )i f (hp . l t . ze ro ) then

hp=zeroendifthp=(90.d00−th ( ihp ) )∗ pi /180 . d00php=ph( ihp )∗ pi /180 . d00i f ( iha . eq . ihp ) goto 21sth=ds in ( thp )x=dcos ( thp )∗ dcos ( tha)+ds in ( thp )∗ ds in ( tha )∗ dcos (php−pha )

• Trois differentes subroutines (NEWTC, DNEWTC, DDNEWTC) sont alors appeléesafin d’effectuer les calculs en fonction des paramètres entrés. (Voir les subroutines à la fin duprogramme)

cc 1− c a l l the subroutine to obta in de l t a A|Pc direct topograph i ca l e f f e c t on su r f a c e g rav i ty

c a l l DNEWTC( rg+ha , x , rg , rg+ha , ha , qdea )c a l l DNEWTC( rg+ha , x , rg , rg+hp , hp , qdep )qker1=rho ∗( qdep−qdea )sum1=sum1+qker1 ∗ sth ∗ s s ∗ s s

cc 2− c a l l the subroutine f o r d e l t a V|Pgc primary i n d i r e c t topograph i ca l e f f e c t on po t e n t i a l

c a l l NEWTC( rg , x , rg , rg+ha , ha , q i ea )c a l l NEWTC( rg , x , rg , rg+hp , hp , q iep )qker2=rho ∗( qiep−q i ea )sum2=sum2+qker2 ∗ sth ∗ s s ∗ s s

cc 3− c a l l the subroutine f o r d e l t a E| Psat (GOCE)c direct topograph i ca l e f f e c t on gradiometry

74

c a l l DDNEWTC( rg+250.d03 , x , rg , rg+ha , ha , gocea )c a l l DDNEWTC( rg+250.d03 , x , rg , rg+hp , hp , gocep )qker3=rho ∗( gocep−gocea )sum3=sum3+qker3 ∗ sth ∗ s s ∗ s s

cc 4− c a l l the subroutine f o r d e l t a A| Psat (GRACE)c direct topograph i ca l e f f e c t on g rav i ty from s a t e l l i t e measurement

c a l l DNEWTC( rg+400.d03 , x , rg , rg+ha , ha , gracea )c a l l DNEWTC( rg+400.d03 , x , rg , rg+hp , hp , gracep )qker4=rho ∗( gracep−gracea )sum4=sum4+qker4 ∗ sth ∗ s s ∗ s s

21 continue

• une fois l’integration finie, on peut sortir de cette boucle "interne" et finir le calcul dansl’autre boucle pour calculer chaque effet topographique, point par point :

cc Fina l Values :c 1− de l t a A|P : direct topograph i ca l e f f e c t on g rav i ty (m. s−2 SI )

v a l 1 s i=sum1∗gnewtc unit u = mGal −−> 1 m. s−2 = 10^5 mGal

val1u=sum1∗gnewt ∗1 . d05cc 2− de l t a N : primary i n d i r e c t e f f e c t on po t e n t i a l (m SI )

va l2=sum2∗gnewt/gammavalb=−2.d00∗ pi ∗gnewt∗ rho∗ha∗ha ∗ ( 1 . d00+

1 2 . d00∗ha/ rg /3 . d00 )/gammavalsumsi=val2+valb

cc 3− de l t a E| Ps (GOCE) : direct topograph i ca l e f f e c t on gradiometry ( s−2 SI )

v a l 3 s i=sum3∗gnewtc unit u = Eotvos −−> 1 s−2 = 10^9 E

val3u=sum3∗gnewt ∗1 . d09cc 4− de l t a A| Ps (GRACE) : direct topograph i ca l e f f e c t on g rav i ty (m. s−2 SI )

v a l 4 s i=sum4∗gnewtc unit = mGal −−> 1 m. s−2 = 10^5 mGal

val4u=sum4∗gnewt ∗1 . d05c

• Il ne reste plus qu’à écrire les valeurs obtenues lignes par lignes (=point par point) àl’interieur de la boucle principale, que l’on peut refermer ensuite (contunue) :

cc Write the f i n a l f i l e sc − ANEA_iran_etopo [ 1 , 2 or 5 ] _SI . xyz :

write (81 ,205) pha ∗180 . d00/pi , s i rka , ha , va l 1 s i , valsumsi , v a l 3 s i , v a l 4 s ic − and ANEA_iran_etopo [ 1 , 2 or 5 ] _unit . xyz :

write (82 ,205) pha ∗180 . d00/pi , s i rka , ha , val1u , valsumsi , val3u , val4u

75

205 format (2 f11 . 4 , f10 . 2 , 4 d30 . 8 )c

20 continue

• Puis le programme se termine par l’écriture du temps de fin de calcul

cc write the date and time at the END o f the computation :

c a l l i d a t e ( today ) ! today (1)=day , (2)=month , (3)= yearc a l l i t ime (now) ! now(1)=hour , (2)=minute , (3)= secondwrite ( ∗ , 1001 ) today (2 ) , today (1 ) , today (3 ) , nowwrite ( 21 , 1001 ) today (2 ) , today (1 ) , today (3 ) , now

1001 format ( ’END: ’ , i 2 . 2 , ’ / ’ , i 2 . 2 , ’ / ’ , i 4 . 4 , ’ ; time ’ ,& i 2 . 2 , ’ : ’ , i 2 . 2 , ’ : ’ , i 2 . 2 )

cstopend

c

A.7.2 Les trois subroutines appelées dans le programme

C : : : : : THE 3 SUBROUTINES : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

• Subroutine "DNEWTC" for the first derivative of the Newton kernel

c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .subroutine DNEWTC( r , x , dol , hor , h , q in t )

cc The i n t e g r a t i o n ke rne l f o r the direct topograph i ca l e f f e c tc on g rav i ty de l t a Acc Inputs :c r . . . . . . r ad iu s o f the computation po intc x . . . . . . cos ( p s i )c do l . . . . lower bound o f the Newton i n t e g r a lc hor . . . upper bound o f the Newton i n t e g r a lc h . . . . . . t opograph i ca l he ight o f the computation/ source po intc Outputs :c q in t . . . i n t e g r a t i o n ke rne l o f r e s i d u a l p o t e n t i a lcc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

implicit real ∗8(a−h , o−z )cc ke rne l f o r p o t e n t i a l o f t opograph i ca l masses : A tc −−> f i r s t d e r i v a t i v ec

rg=6371.d03 ! rad ius geo id in mc

76

t1=dol / rt2=hor/ rd1=1.d00−2.d00∗ t1 ∗x+t1 ∗ t1d2=1.d00−2.d00∗ t2 ∗x+t2 ∗ t2d1=dsqrt ( d1 )d2=dsqrt ( d2 )pom=dabs ( ( t2−x+d2 )/( t1−x+d1 ) )pom=(3. d00∗x∗x−1.d00 )∗ dlog (pom)pom1=(x∗ t1 ∗ t1+3.d00∗x+(1.d00−6.d00∗x∗x )∗ t1 )/d1pom2=(x∗ t2 ∗ t2+3.d00∗x+(1.d00−6.d00∗x∗x )∗ t2 )/d2q int1=r ∗(pom2−pom1+pom)

cc ke rne l f o r p o t e n t i a l o f condensed masses : A cc

d l=dsqrt ( r ∗ r+rg ∗ rg −2.d00∗ r ∗ rg ∗x )sigma=h ∗ ( 1 . d00+h/ rg+h∗h / ( 3 . d00∗ rg ∗ rg ) )q int2=−rg ∗ rg ∗ sigma ∗( r−rg ∗x )/ ( d l ∗∗3)

cc ke rne l f o r r e s i d u a l p o t e n t i a lc

q in t=qint1−q int2returnend

• Subroutine "NEWTC" for the Newton kernelsubroutine NEWTC( r , x , dol , hor , h , q in t )

cc The i n t e g r a t i o n ke rne l f o r the primary i n d i r e c t topograph i ca lc e f f e c t on po t e n t i a l d e l t a Vcc Inputs :c r . . . . . . r ad iu s o f the computation po intc x . . . . . . cos ( p s i )c do l . . . . lower bound o f the Newton i n t e g r a lc hor . . . upper bound o f the Newton i n t e g r a lc h . . . . . . t opograph i ca l he ight o f the computation/ source po intc Outputs :c q in t . . . i n t e g r a t i o n ke rne l o f r e s i d u a l p o t e n t i a lc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

implicit real ∗8(a−h , o−z )cc ke rne l f o r p o t e n t i a l o f t opograph i ca l masses Vtc


t1=dol / rt2=hor/ rd1=1.d00−2.d00∗ t1 ∗x+t1 ∗ t1

77

d2=1.d00−2.d00∗ t2 ∗x+t2 ∗ t2d1=dsqrt ( d1 )d2=dsqrt ( d2 )pom=(t2−x+d2 )/( t1−x+d1 )pom=dabs (pom)pom=(3. d00∗x∗x−1.d00 )∗ dlog (pom)pom=pom+(t2+3.d00∗x )∗d2−(t1+3.d00∗x )∗d1q int1=r ∗ r ∗(pom/2 . d00 )

cc ke rne l f o r p o t e n t i a l o f condensed masses Vcc

d l=dsqrt ( r ∗ r+rg ∗ rg −2.d00∗ r ∗ rg ∗x )sigma=h ∗ ( 1 . d00+h/ rg+h∗h / ( 3 . d00∗ rg ∗ rg ) )q int2=rg ∗ rg ∗ sigma/ dl

cc ke rne l f o r r e s i d u a l p o t e n t i a l d e l t a Vc

q in t=qint1−q int2returnend

• Subroutine "DDNEWTC" for the second derivative of the Newton kernelsubroutine DDNEWTC( r , x , dol , hor , h , q in t )

cc The i n t e g r a t i o n ke rne l f o r the second d e r i v a t i v e de l t a Ecc Inputs :c r . . . . . . r ad iu s o f the computation po intc x . . . . . . cos ( p s i )c do l . . . . lower bound o f the Newton i n t e g r a lc hor . . . upper bound o f the Newton i n t e g r a lc h . . . . . . t opograph i ca l he ight o f the computation/ source po intc Outputs :c q in t . . . i n t e g r a t i o n ke rne l o f r e s i d u a l p o t e n t i a lcc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

implicit real ∗8(a−h , o−z )cc second d e r i v a t i v o f the ke rne l f o r p o t e n t i a l o f t opograph i ca l masses Vrrtc formula ( s ee pe r sona l notes , c a l c u l a t ed on 10 . 01 . 2011 )c


d l1=dsqrt ( r ∗ r+dol ∗dol −2.d00∗ r ∗ dol ∗x )dl2=dsqrt ( r ∗ r+hor∗hor −2.d00∗ r ∗hor∗x )pom11=(3. d00∗x∗x−1.d00 )∗ dlog ( dabs ( dl1−r ∗x+dol ) )pom12=3.d00∗ r ∗ r ∗ r ∗x+r ∗ r ∗( dol −12.d00∗x∗x∗ dol )pom13=2.d00∗ r ∗x ∗ ( 6 . d00∗x∗x+1.d00 )∗ dol ∗ dol

78

pom14=(2.d00−8.d00∗x∗x )∗ dol ∗ dol ∗ dolc

pom21=(3. d00∗x∗x−1.d00 )∗ dlog ( dabs ( dl2−r ∗x+hor ) )pom22=3.d00∗ r ∗ r ∗ r ∗x+r ∗ r ∗( hor −12.d00∗x∗x∗hor )pom23=2.d00∗ r ∗x ∗ ( 6 . d00∗x∗x+1.d00 )∗ hor∗horpom24=(2.d00−8.d00∗x∗x )∗ hor∗hor∗hor

cpom1=pom11+(pom12+pom13+pom14 )/ ( d l1 ∗ dl1 ∗ dl1 )pom2=pom21+(pom22+pom23+pom24 )/ ( d l2 ∗ dl2 ∗ dl2 )q int1=pom2−pom1

cc second d e r i v a t i v o f k e rne l f o r p o t e n t i a l o f condensed masses Vrr cc

d l=dsqrt ( r ∗ r+rg ∗ rg −2.d00∗ r ∗ rg ∗x )sigma=h ∗ ( 1 . d00+h/ rg+h∗h / ( 3 . d00∗ rg ∗ rg ) )poma=−1.d00 /( d l ∗∗3)pomb=3.d00 ∗( r ∗ r+rg ∗ rg ∗x∗x−2.d00∗x∗ r ∗ rg )/ ( d l ∗∗5)q int2=rg ∗ rg ∗ sigma ∗(poma+pomb)

cc ke rne l f o r r e s i d u a l p o t e n t i a l d e l t a Ec

q in t=qint1−q int2c

returnend

Remarques pour la programmation : être vigilant au respect de la mise en forme dufichier code fortran (lu par colonnes), connaître les formats des données en entrée et sortie,harmoniser les unités, commenter les étapes du programme.

79

A.8 Temps de calcul

N Time after computation T (N) = 3 ∗ 10−6 ∗N1.99 Area resolutionafter computation calculated

625 00 :00 :01 00 :00 :01 Purcell Etopo 52401 00 :00 :15 00 :00 :16 Alps Etopo 53136 00 :00 :25 00 :00 :27 Ireland Etopo 53600 00 :00 :36 00 :00 :36 Purcell Etopo 214400 00 :09 :09 00 :09 :25 Alps Etopo 214641 00 :09 :43 00 :09 :44 Purcell Etopo 116854 00 :12 :19 00 :12 :53 France Etopo 519080 00 :15 :43 00 :16 :30 Ireland Etopo 243621 01 :24 :14 01 :25 :30 Iran Etopo 558081 02 :28 :57 02 :31 :09 Alps Etopo 178879 04 :14 :00 04 :37 :55 Ireland Etopo 1103752 07 :47 :36 07 :59 :31 France Etopo 2270000 2 days 05 :44 :07 2 days 05 :36 :30 Iran Etopo 2416323 5 days 06 :22 :03 5 days 06 :54 :25 France Etopo 11082101 > 34 days Iran Etopo 19331200 > 7 years global 5′ grid58320000 > 270 years global 2′ min grid233280000 > 4266 years ! ! ! global 1′ min grid259200 >2 days global 0.5 grid

Tableau A.1 Computation time T function of number of points N.

com

puta

tion

time

T (

seco

nd)

100000 200000 300000 400000 500000

number of points N

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

500000

Fig. A.8 T = f(N) with "normal scale"

80

A.9 Moyenne et erreur moyenne quadratique

The mean (Eqn.(A.18)) and rms (Eqn.(A.19)) of the data were obtained by a subroutinefortran :

Fig. A.9 Subroutine fortran for calculating the mean and root mean square of the data.

The mean is :x = 1

n

n∑i=1xi , (A.18)

and the rms is :

rms(x) =

√√√√ 1n

n∑i=1

(xi − x)2 . (A.19)

81

A.10 Représentations graphiques de l’effet topographique in-direct sur le géoïde

δN on geoidIreland (mm) France (cm) Iran (cm)

Grid min mean max rms min mean max rms min mean max rms1′ -62.1 -1.2 -0.004 ± 3.3 -176.8 -3.5 -0.02 ± 10.5 -233.9 -14.1 -0.2 ± 19.12′ -54.8 -1.3 -0.005 ± 3.2 -163.9 -3.5 -0.02 ± 10.6 -257.3 -14.2 -0.2 ± 19.35′ -32.1 -1.0 -0.004 ± 2.3 -156.3 -3.5 -0.02 ± 10.7 -186.9 -14.5 -0.2 ± 18.8

Tableau A.2 Indirect topographical effect δN on geoid over Ireland, France and Iran computedwith Etopo 1, 2 and 5. Unit : m

−10˚ −8˚ −6˚

52˚

53˚

54˚

55˚

−0.060−0.055−0.050−0.045−0.040−0.035−0.030−0.025−0.020−0.015−0.010−0.005

m

Indirect effect

(a) Irlande

4˚ 5˚ 6˚ 7˚

43˚

44˚

45˚

46˚

−1.6

−1.4

−1.2

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

m

Indirect effect

(b) France (zoom sur les alpes)Fig. A.10 Indirect effect on geoid (Etopo 1)

0 %

20 %

40 %

60 %

80 %

100 %

dn

−0.06 −0.04 −0.02 0.00m

ireland

(a) Ireland

0 %

20 %

40 %

60 %

80 %

100 %

dn

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0m

france

(b) France

0 %

20 %

40 %

60 %

80 %

dn

−3 −2 −1 0m

iran

(c) IranFig. A.11 Distribution of δN in meters, counted in percentage of the number of points from

Etopo 2.

82

A.11 Représentations graphiques de l’effet topographique di-rect sur la pesanteur en surface

−4˚ −2˚ 0˚ 2˚ 4˚ 6˚ 8˚

44˚

46˚

48˚

50˚

−6 −4 −2 0 2 4 6 8mGal

−4˚ −2˚ 0˚ 2˚ 4˚ 6˚ 8˚

44˚

46˚

48˚

50˚

−6 −4 −2 0 2 4 6 8mGal

From Etopo 2 From Etopo 5

Fig. A.12 Comparison of the direct effect on surface gravity from Etopo 1 and 5.

0 %

20 %

40 %

60 %

atsu

rf

−10 −8 −6 −4 −2 0 2mGal

ireland

(a) Ireland

0 %

20 %

40 %

60 %

80 %

100 %

atsu

rf

−300 −200 −100 0 100mGal

france

(b) France

0 %

20 %

40 %

60 %

atsu

rf

−400−300−200−100 0 100mGal

iran

(c) IranFig. A.13 Distribution of At

surf in mGal, counted in percentage of the number of points fromEtopo 2.

83

A.12 Représentations graphiques de l’effet topographique di-rect sur la pesanteur à altitude satellitaire

−10˚ −8˚ −6˚

52˚

53˚

54˚

55˚

−1.0 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5mGal

−10˚ −8˚ −6˚

52˚

53˚

54˚

55˚

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004mGal


Fig. A.14 Comparison of the total and residual direct effect on satellite gravity from Etopo 1.

0 %

2 %

4 %

6 %

8 %

10 %

atsa

t

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4mGal

ireland

(a) Ireland

0 %

2 %

4 %

6 %

8 %

10 %

atsa

t

−20 −15 −10 −5 0mGal

france

(b) France

0 %

2 %

4 %

6 %

8 %

10 %

atsa

t

−80 −60 −40 −20 0mGal

iran

(c) IranFig. A.15 Distribution of At

sat in mGal, counted in percentage of the number of points fromEtopo 2.

84

A.13 Représentations graphiques de l’effet topographique di-rect sur la gradiométrie

We can see that the resolution does not affect the results as the Figs.A.16 and A.17 presentthe same color shading.

44˚ 48˚ 52˚ 56˚ 60˚ 64˚

28˚

32˚

36˚

40˚

0 1 2 3Eotvos

44˚ 48˚ 52˚ 56˚ 60˚ 64˚

28˚

32˚

36˚

40˚

−0.01 0.00 0.01Eotvos


Fig. A.16 Comparison of the total and residual direct effect on gradiometry from Etopo 1.

44˚ 48˚ 52˚ 56˚ 60˚ 64˚

28˚

32˚

36˚

40˚

0 1 2 3Eotvos

44˚ 48˚ 52˚ 56˚ 60˚ 64˚

28˚

32˚

36˚

40˚

−0.01 0.00 0.01Eotvos


Fig. A.17 Comparison of the total and residual direct effect on gradiometry from Etopo 5.

85

0 %

20 %

40 %

60 %

80 %

de

−0.002 −0.001 0.000 0.001Eotvos

ireland

(a) Ireland

0 %

20 %

40 %

60 %

80 %

de

−0.04 −0.02 0.00 0.02Eotvos

france

(b) France

0 %

10 %

20 %

30 %de

−0.08 −0.04 0.00 0.04Eotvos

iran

(c) IranFig. A.18 Distribution of δE in Eötvös, counted in percentage of the number of points from

Etopo 2.

86

Documents

Corrections de terrain en gravimétrie et gradiométrie ...eprints2.insa-strasbourg.fr/851/1/PFE2011_Vannes_fr.pdf · Comme le géoïde ne peut pas être mesuré directement, George