Signaux aléatoires

Introduction

• DéfinitionSignal bidimensionnel dépendant d'une variable d'espace (le temps) et d'une variable aléatoire.

• ObjectifsComment caractériser ce type de signaux.Notion de stationnarité et d'ergodicité

Fonction aléatoire

• Soit une fonction aléatoire X(t,)✔ Pour t=ti , X(ti,) = Xi ()

variable aléatoire

✔ Pour i , X(t,i) = Xi (t)fonction classique

Caractéristiques statistiquesEspérance Mathématique

• Pour une infinité de réalisations

Moment du 1er Ordre, moyenne statistique.

X t i E X t i , limn j 1

n x ti , j

n

X t i E X t i , x t i , p x , t i dx t i

Caractéristiques statistiquesMoments

• Moment d'ordre n

mn E X t i ,n x t i ,

n p x , t i dx t i

Caractéristiques statistiquesVariance

• Fluctuation autour de la moyenne

X X E X E X 0 2 X E X E X 2 E X 2 E X 2

Caractéristiques statistiquesCorrélation et Covariance • Mesure de la dépendance

R X , t1 , t 2 E X t1 , X t2R X , t1 , t 2 x t1 x t 2 p x t1 , x t 2 dx1 dx2

C X ,t1 , t 2 R X ,t1 , t 2

Caractéristiques statistiques

E[x]

E[x]+x)

E[x]-x)

Stationnarité

✔ Au sens strictLes densités de probabilité jointes de toutes les V.A sont indépendantes du temps

✔ Au 2éme ordreLes densités de probabilité jointes jusqu'à l'ordre 2 sont indépendants du temps

StationnaritéConséquences

✔ Conséquence 1

✔ Conséquence 2

t , E X t cteE X t 2 cte

, t2 t1

E X t1 X t2 C

Stationnaritépropriétés de la fonction de corrélation

✔

✔

✔

C E X t X t

C 0 E X t 2 0

C C 0

C C

Stationnaritépropriétés de la fonction de corrélation

• lim C 0

x t et x t tendent à se décorreler

ExemplesBruit d'un AOP

xn / x

n+5

C(x)

ErgodismeMoyennes d'ensemble = Moyennes temporelles

E X t limT

1 2T

T

T

x t dt

E X t X t limT

1 2T

T

T

x t x t dt

ExemplesCaractéristiques d'un AOP

Ergodique

Non ergodique

Bruit:après stabilisation thermique, le processus est stationnaire et ergodique

Offset:Offset (t,

i) =

i

i loi uniforme entre ± v

o

le processus est stationnaire et non ergodique

Densité Spectrale de Puissance

S xx f limT

1 2T

E X T f2

XT:TFde la restriction de la réalisation x t sur T,T

Densité Spectrale de Puissance

Théorème de Wiener-Kintchine

S xx f Rx e 2 i f d

Rx S xx f e2 i f d f

GénéralisationInteractions

Soit deux processus aléatoires X et Y

C XY E X YC XY TF

S XY f

CXY

et SXY

sont complexes

Bruit Blanc

•Un bruit blanc est un processus aléatoire dont la densité spectrale est constante.

S f aC S f e2 i f d f a

Bruit Blanc

Sxx

f

C

a a

Bruit Blancà spectre borné

•C'est un bruit blanc dont le spectre est constant sur une bande de fréquences.

S f a f v , v

C 2v asin 2 v

2 v

Bruit Blancà spectre borné

Sxx

f

C

2a a

v 1 2v