Cours 7 : Ecoulement supersonique bidimensionnel ...hebergement.u-psud.fr/master2dfe/IMG/pdf/Master2_-_DFE_-_07... · Méthode de couplage : fluide parfait - fluide visqueux ESSAIS

Master 2 – Dynamique des fluideset énergétique

Reynald [email protected]

Cours 7 : Ecoulement supersonique bidimensionnel, sta tionnaire, adiabatique, d’un fluide non-visqueux

Théorie des caractéristiquesMéthode numérique des caractéristiques

Dassault Aviation Mirage 2000 et Rafale

Écoulement supersonique bidimensionnel, stationnair e,adiabatique, d’un fluide non visqueux

complète linéarisée stationnaire

frottement, flux de chaleur

Equations moyennées (RANS)

instationnaire

théorie des profils minces et de la ligne

portante

Simulation des grosses structures (LES)

Simulation numérique directe (DNS)

Les méthodes de prévision en aérodynamique classiqu e

LES EQUATIONS GENERALES DU MOUVEMENT

APPROXIMATION DU FLUIDE NON VISQUEUX

Cas général : Equations d'Euler

Ecoulement irrotationnel

Equation du potentielMonodimensionnel Bidimensionnel

Supersonique : Méthode des caractéristiques

Transsonique, Supersonique : Méthodes numériques

Tridimensionnel : Méthodes numériques

Ecoulement incompressibleEquation de Laplace

Solutions analytiquesMéthode des singularités

PRISE EN COMPTE DES EFFETS VISQUEUX

L'approximation de couche limite

Problème completRésolution numérique des

équations de Navier -StokesEquations d'Euler :modèles non

visqueux

Méthode de couplage :fluide parfait - fluide

visqueux

ESSAIS EN SOUFFLERIE

EQUATIONS DE NAVIER-STOKES

Théorie des caractéristiques

Système de coordonnées intrinsèques

x1 : selon la ligne de couranty1 : selon la normale localey : distance à l’axe de révolution

ligne de courant

y1

x1

VP

y

y

x

ϕϕϕϕ

O

0====εεεε 1====εεεε: écoulement plan : écoulement de révolution

0xs

1

====∂∂∂∂∂∂∂∂

énergie isentropie

Équations du mouvement en coordonnées intrinsèques

(((( )))) 0y

siny

VVx 11

====

ϕϕϕϕεεεε++++∂∂∂∂

ϕϕϕϕ∂∂∂∂ρρρρ++++ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂

continuité 1

0xp

xV

V11

====∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ

0yp

xV

11

2 ====∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂ρρρρ

mouvement

(équilibre radial)

2

0xp

ysin

yV

xV

11

2

1

2 ====∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

ϕϕϕϕεεεε++++∂∂∂∂

ϕϕϕϕ∂∂∂∂ρρρρ++++∂∂∂∂

ρρρρ∂∂∂∂1××××V - 2

(((( ))))(((( ))))1

1

s

2

x/x/pp

a∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====

ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂====vitesse du son (car isentropique)

Équations du mouvement en coordonnées intrinsèques

ysin

Vy

Vxp

1aV 2

1

2

12

2 ϕϕϕϕρρρρεεεε−−−−====∂∂∂∂

ϕϕϕϕ∂∂∂∂ρρρρ++++∂∂∂∂∂∂∂∂

−−−−

0yp

xV

11

2 ====∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂ρρρρ

0xs

1

====∂∂∂∂∂∂∂∂

système différentiel du premier ordre quasi linéaire

Problème de Cauchy : prolongement de la solution de P en P+dP

1y

1x

P

dPP ++++1dy

1dx

)C(initialecourbe

écoulement connu sur la courbe initiale (C)

V�

ϕϕϕϕ

====ααααM1

sinArcangle de Mach αααα

l’angle de Mach n’est défini que si M>1 →→→→ supersonique

directions caractéristiques

- montante ( ηηηη) angle + αααα par rapport au vecteur vitesse

- descendante ( ξξξξ) angle - αααα par rapport au vecteur vitesse

caractéristique montante

caractéristique descendante

+ αααα

- ααααP

V

y

x

Directions caractéristiques

11 ysin

xcos

∂∂∂∂∂∂∂∂αααα++++

∂∂∂∂∂∂∂∂αααα====

ηηηη∂∂∂∂∂∂∂∂

11 ysin

xcos

∂∂∂∂∂∂∂∂αααα−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂αααα====

ξξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂

les équations de base sont projetées sur les directio nscaractéristiques ( ηηηη) et (ξξξξ) au moyen des opérateurs

Formes que prennent les équations de conservation proje téessur les directions caractéristiques

Relations ou équations caractéristiques

équations caractéristiques pour des variations le long de (ηηηη) et (ξξξξ)

ysinsinp

pcossin ϕϕϕϕααααεεεε−−−−====

ηηηη∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂++++

ηηηη∂∂∂∂∂∂∂∂

γγγγαααααααα

ysinsinp


ξξξξ∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂−−−−

ξξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂


sur ( ηηηη)

sur ( ξξξξ)

Relations caractéristiques


chaque équation ne fait intervenir que les dérivées p ar rapportà une des variables indépendantes

autres formes

ysinsinp

Mp1M

2

2 ϕϕϕϕααααεεεε−−−−====ηηηη∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂++++

ηηηη∂∂∂∂∂∂∂∂

γγγγ−−−−

ysinsinp

Mp1M

2

2 ϕϕϕϕααααεεεε−−−−====ξξξξ∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂−−−−

ξξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂


sur ( ηηηη)

sur ( ξξξξ)



autres formes

écoulement bidimensionnel plan

0pMp

1M )()(2

2

====δϕδϕδϕδϕ++++δδδδγγγγ

−−−− ++++++++

0pMp

1M )()(2

2

====δϕδϕδϕδϕ−−−−δδδδγγγγ

−−−− −−−−−−−−

sur ( ηηηη)

sur ( ξξξξ)

δδδδp(+) , δϕδϕδϕδϕ(+) variations de p et ϕϕϕϕ pour un déplacement δηδηδηδη sur ( ηηηη)

δδδδp(-) , δϕδϕδϕδϕ(-) variations de p et ϕϕϕϕ pour un déplacement δξδξδξδξ sur ( ξξξξ)


12

i

M2

11

pp −−−−γγγγ


−−−−γγγγ++++====

Cas du gaz calorifiquement parfait

2M2

11

dMMp

dp−−−−γγγγ++++

γγγγ−−−−====p i = constante

MdM

M2

11

1Mp

dpM

1M2

2

2

2

−−−−γγγγ++++

−−−−−−−−====



MdM

M2

11

1Md

2

2

−−−−γγγγ++++

−−−−====ωωωω

(((( )))) 1MArctg1M11

Arctg11

),M( 22 −−−−−−−−−−−−++++γγγγ−−−−γγγγ

−−−−γγγγ++++γγγγ====γγγγωωωω

Cas du gaz calorifiquement parfait

il existe une fonction ωωωω(M,γγγγ) telle que :

nombre de pression de Busemann

ou angle de Prandtl-Meyer


Propriétés de la fonction de pression ωωωω(M,γγγγ)

4,1pour45,13090111

)(max ====γγγγ°°°°====°°°°××××

−−−−

−−−−γγγγ++++γγγγ====γγγγωωωω

angle limite

∞∞∞∞→→→→M valeur asymptotique

M

ωωωω →→→→ ωωωωmax (γγγγ)

O

ωωωω (M)


Propriétés de la fonction de pression ωωωω(M,γγγγ)

1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

250

300 g = 1.10 om(lim) = 322.43g = 1.15 om(lim) = 250.73g = 1.20 om(lim) = 208.50g = 1.25 om(lim) = 180.00g = 1.30 om(lim) = 159.20g = 1.35 om(lim) = 143.21g = 1.40 om(lim) = 130.45

(((( ))))°°°°ωωωω

M

Écoulement plan d'un gaz calorifiquement parfait

tetancons),M( ====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω

tetancons),M( ====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω

sur ( ηηηη)

sur ( ξξξξ)


(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] 0,Mdd,Md0ddpMp

1M2

2

====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω→→→→====ϕϕϕϕ++++γγγγ

−−−−

sur ( ηηηη)

sur ( ξξξξ)

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] 0,Mdd,Md0ddpMp

1M2

2

====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω→→→→====ϕϕϕϕ−−−−γγγγ

−−−−

P0

écoulementuniforme

00 p,M

00 ====ϕϕϕϕ

(((( ))))0ξξξξ H

(((( ))))A0ηηηη

AB

paroi rectiligne

(((( ))))0ηηηη

écoulement uniforme jusqu'à la caractéristique (((( ))))A0ηηηη

écoulement uniformejusqu'à la section AH

)M()M(),M( 000PP 00ωωωω====ϕϕϕϕ−−−−ωωωω====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωωsur caractéristique (((( ))))0ηηηη

(((( ))))0ξξξξ )M()M(),M( 000PP 00ωωωω====ϕϕϕϕ++++ωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωωsur caractéristique

Transmission d'une perturbation

0P0P MM)M(),M(00

====⇒⇒⇒⇒ωωωω====γγγγωωωω 00P0====ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ

Onde simple progressive de détente

les points P 1 et P2 sont sur la même onde montante ( ηηηη)

(ηηηη0)

P1

P2

Q1

P3

Q2

P0

(ηηηη)

(ηηηη1)

(ηηηη0)

(ηηηη)

(ξξξξ)M0

M1

A

B

(ξξξξ)


les points P 1 et P2 sont sur la même onde montante ( ηηηη)

1111 QQPP ),M(),M( ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω1

),M(),M( 0P2P 2γγγγωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωωsur la ( ξξξξ)4

1122 QQPP ),M(),M( ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω3

),M(),M( 0PP 11γγγγωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωωsur la ( ξξξξ)2

1 2+111 Q0QP ),M(),M(),M(2 ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω++++γγγγωωωω====γγγγωωωω

3 4+112 Q0QP ),M(),M(),M(2 ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω++++γγγγωωωω====γγγγωωωω

111 QQ0P ),M(),M(2 ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ12 -

112 QQ0P ),M(),M(2 ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ34 -


),M(),M(),M(112 QPP γγγγωωωω====γγγγωωωω====γγγγωωωω

112 QPP ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ

),M(),M( 0QQ 11γγγγωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω

11 Q0Q ),M(),M( ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====γγγγωωωω

)convexeparoi(0car),M(),M(11 Q0Q <<<<ϕϕϕϕγγγγωωωω>>>>γγγγωωωω

l’écoulement est constant sur toute onde ( ηηηη)

sur l’onde ( ξξξξ) aboutissant en Q 1

les ondes ( ηηηη) forment une onde de détente


αααα++++ϕϕϕϕ====ψψψψ

pente des caractéristiques ( ηηηη)

écoulement constant sur chaque ( ηηηη) : ondes ( ηηηη) rectilignes

détente : la pression diminue dans l’onde

• le nombre de Mach augmente αααα diminue

• comme ϕϕϕϕ diminue

les ondes ( ηηηη) sont de plus en plus couchées


les ondes de détente ( ηηηη) sont des droites divergentes

diminue

ϕϕϕϕαααα

ψψψψ(((( ))))ηηηηV�


101 ),M(),M( ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====γγγγωωωω

faisceau d’ondes de détente centrées de Prandtl-Maye r

AB

0M

1M1ϕϕϕϕ

(((( ))))ηηηη(((( ))))0ηηηη

(((( ))))1ηηηη

à la limite : arc AB 0 disco ntinuité de pente


détente étalée détente centrée

pression à la paroi

AB

1M

(((( ))))ηηηηondes

p

0M0M

1M

p

0p 0p

1p 1p

x x



détente étalée détente centrée

paroi "en haut" détente par ondes descendantes ( ξξξξ)

A AB

(ξξξξ)(ξξξξ)

Détente centrée à l'origine d'un jet supersonique

la pression p a est imposée nombre de Mach M 1

déflexion (((( ))))γγγγωωωω−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ∆∆∆∆ ,M),M( 0101

p = p a

E

00 V,M

1M

(((( ))))f

1ϕϕϕϕ

),M( 11 γγγγωωωω−−−−====ϕϕϕϕ

)(maxmax γγγγωωωω====ϕϕϕϕ

),M()( 0max01max γγγγωωωω−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ∆∆∆∆

Déviation maximale pour une détente jusqu’au vide

détente depuis M = 1

si M 1→→→→ ∞∞∞∞ maxϕϕϕϕ→→→→ϕϕϕϕ

détente depuis M 0 :

)4,1pour45,130( max ====γγγγ°°°°====ϕϕϕϕ

videp = 0 ϕϕϕϕmax


détente centrée provoquée par une déviation de paroi

3M0 ====

défaut de surface

perturbation

document Onera - strioscopie interférentielle

frontière de la couche limite

Détente centrée à l'origine d'un jet supersonique

détente centrée

région sonique

couche de mélange

ligne de glissement

document Onera - interférogramme

détente centrée provoquée par un décrochement de paroi

Éclatement des jets des boosters du lanceur de la Nav ette Spatiale




l’angle de déflexion limite est atteint à haute alti tude

Onde simple progressive de compression

les points P 1 et P2 sont sur la même onde montante ( ηηηη) passant parle point Q 1 à la paroi

P1

P2

Q1

••••

••••

••••


0M

1M

AB

(((( ))))0ηηηη(((( ))))1ηηηη

1ϕϕϕϕ

(ξξξξ)


les points P 1 et P2 sont sur la même onde montante ( ηηηη) passant parle point Q 1 à la paroi

1111 QQPP ),M(),M( ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω

),M(),M( 0PP 11γγγγωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωωsur la ( ξξξξ)

1122 QQPP ),M(),M( ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω

),M(),M( 0P2P 2γγγγωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωωsur la ( ξξξξ)


),M(),M( 0QQ 11γγγγωωωω====ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω

11 Q0Q ),M(),M( ϕϕϕϕ−−−−γγγγωωωω====γγγγωωωω

)concaveparoi(0car),M(),M(11 Q0Q >>>>ϕϕϕϕγγγγωωωω<<<<γγγγωωωω

l’écoulement est constant sur toute onde ( ηηηη)

sur l’onde ( ξξξξ) aboutissant en Q 1

les ondes ( ηηηη) forment une onde de compression

),M(),M(),M(112 QPP γγγγωωωω====γγγγωωωω====γγγγωωωω

112 QPP ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ



pente des caractéristiques ( ηηηη)

écoulement constant sur chaque ( ηηηη) : ondes ( ηηηη) rectilignes

compression : la pression augmente dans l’onde

• le nombre de Mach diminue αααα croît

les ondes de compression ( ηηηη) sont des droites convergentes

• comme ϕϕϕϕ augmente

αααα++++ϕϕϕϕ====ψψψψ croît

les ondes ( ηηηη) sont de plus en plus redressées

ϕϕϕϕαααα

ψψψψ(((( ))))ηηηηV�


les ondes de compression peuvent se croiserplusieurs états sont possibles en aval du point de c roisement

la solution par onde progressive n’est plus acceptableau-delà du point de focalisation des ondes de compression

il faut introduire une discontinuité ou onde de choc

onde de choc (C)

ligne de courant

1M

A B

1ϕϕϕϕ

(ηηηη1) (ηηηη0)

1M0M

0M

A

B

F

P


il faut remplacer l’onde progressive par une onde de cho c

l’onde finale précède l’onde initiale !

à la limite : arc AB 0 disco ntinuité de pente

onde de choc (C)(ηηηη1) (ηηηη0)

1M

A A

0M

1ϕϕϕϕ 1ϕϕϕϕ

0

1 1p

0p

p

X

(((( ))))0ηηηη(((( ))))1ηηηη

01X

Onde progressivede compression

il y a en un point dudomaine limité parles caractéristiques

trois états possibles

(((( )))) (((( ))))10 , ηηηηηηηη

impossibilitéphysique

nécessité d'uneonde de choc

Onde progressive de détente

détente étalée

Onde progressive de compression

détente d’un jet

détente centrée

onde de choc

focalisation

p = pa

Théorie des caractéristiques – Solutions élémentaires

document Onera

Structure d'un jet supersonique

Structure d'un jet supersonique plan isobare sous - dét endu

...10,8,6,4,2,0

...11,9,7,5,3,1

régions uniformes

régions par ondes simples

onde de détente onde de compression

frontière isobare (f)


ligne de courant

01

2 3

4

5

78

9

10116

ap



point de focalisation

point de focalisation

zone rotationnelle

zone rotationnelle

onde de choc

Formation d'un choc par focalisation d'ondes de compre ssion

Structure d'un jet supersonique plan isobare sous - dét endu



ligne de courant

Réflexion régulière de l'onde de choc sur le plan de symétrie

1ϕϕϕϕ

1ϕϕϕϕ

Structure d'un jet supersonique plan isobare sur - déten du



point triple

point triple

disque de Mach

ligne sonique1M <<<<1M >>>>

01

23

ligne de glissement

Formation d'un disque de Mach

(((( ))))1C (((( ))))2C

(((( ))))3C

Structure d'un jet supersonique plan isobare sur - déten du

(((( ))))1C(((( ))))2C

(((( ))))'1C

(((( ))))'2C

I

2

1

3

'X X

1ϕϕϕϕ

1ϕϕϕϕ−−−−

Intersection régulière de deux ondes de choc

intersection régulière à Mach 1,95

soufflerie S8Ch Onera


intersection régulière dans le plan des polaires de c hoc

(((( ))))1polaire ΓΓΓΓ

(((( ))))1polaire ΓΓΓΓ

1ϕϕϕϕ1ϕϕϕϕ−−−−

ϕϕϕϕ

(((( ))))2Cchoc

(((( ))))1Cchoc

°°°°−−−−====ϕϕϕϕ==== 8,95.1Mcas 111pp

1

3

2


(((( ))))1C(((( ))))2C

(((( ))))'1C (((( ))))'

2C

'X X

1ϕϕϕϕ−−−−

(((( ))))3C

(((( ))))ΣΣΣΣ

(((( ))))'ΣΣΣΣ

point triple

2

3

14

lignes de glissement

Intersection singulière ou phénomène de Mach

disque de Mach

point triple

1M >>>>1M >>>>

1M >>>>

1M <<<<

intersection singulière ou phénomène de Mach à M = 1, 95

soufflerie S8Ch Onera


(((( ))))2Cshock

(((( ))))1polar ΓΓΓΓ

(((( ))))2polar ΓΓΓΓ

(((( ))))1Cshock

1ϕϕϕϕ1ϕϕϕϕ−−−−

ϕϕϕϕ

°°°°−−−−====ϕϕϕϕ==== 15,95.1Mcas 11

1pp

2

1

3

4(((( ))))3Cshock


intersection singulière dans le plan des polaires de choc

Disques de Mach dans un jet supersonique

apparition de points chauds rayonnement fortement d ans l'infra-rougevulnérabilité aux missiles anti-avion

disques de Mach dans le jet d'un F104

ligne de glissement

onde de choc de confluence

Jet débouchant d'une tuyère propulsive de révolution

écoulement externe

formation d'un disque de Mach

point triple

lignes de glissement

subsonique

(((( ))))1C(((( ))))2C

choc droit (((( ))))3C

Jet débouchant d'une tuyère propulsive de révolution

Méthode numérique des caractéristiques

soufflerie S5Ch de l'Onera



====ααααM1

sinArcangle de Mach αααα

Directions caractéristiques

caractéristique montante

caractéristique descendante

αααα++++αααα−−−−

V

(((( ))))ηηηηy

x

P

l’angle de Mach n’est défini que si M >1 →→→→ supersonique

(((( ))))ξξξξ

ysinsinp


ηηηη∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂++++

ηηηη∂∂∂∂∂∂∂∂


ysinsinp


ξξξξ∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂−−−−

ξξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂


Équations caractéristiques

sur ( ηηηη)

sur ( ξξξξ)


ysinsinp

Mp1M

2

2 ϕϕϕϕααααεεεε−−−−====ηηηη∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂++++

ηηηη∂∂∂∂∂∂∂∂


ysinsinp

Mp1M

2

2 ϕϕϕϕααααεεεε−−−−====ξξξξ∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂−−−−

ξξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂


sur ( ηηηη)

sur ( ξξξξ)

forme équivalente

écoulement plan : ε = 0 - écoulement de révolution : ε = 1

pr pression de référence constante


====

rpp

Logz

−−−−====

r

i

pp

Logs

2

2

M1M

Zγγγγ

−−−−====

ysinsin

Nϕϕϕϕααααεεεε−−−−====

On pose pour condenser l’écriture

pression entropie

ηηηη====ϕϕϕϕ++++ dNddzZ

ξξξξ====ϕϕϕϕ−−−− dNddzZ

Relations caractéristiques de travail

ϕϕϕϕd,dz variations dez et ϕϕϕϕ le long de

(((( ))))ηηηη ou (((( ))))ξξξξ

Point courant : opérateur N

le point 3 est à l’intersection :

- de la (ξξξξ) passant par 1

- de la (ηηηη) passant par 2

calcul de l’écoulement au sein d’un champ

l’écoulement au point 3 estcalculé à partir des points 1 et 2où il est connu


(((( )))) (((( )))) )1n(131

)n(31

)n(313 NzzZ −−−−δξδξδξδξ====ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕ−−−−−−−−

(((( )))) (((( )))) )1n(232

)n(32

)n(323 NzzZ −−−−δηδηδηδη====ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕ++++−−−−

(((( )))))1n(3113 ZZ

21

Z −−−−++++==== (((( )))))1n(3223 ZZ

21

Z −−−−++++====

(((( )))))1n(3113 NN

21

N −−−−++++==== (((( )))))1n(3223 NN

21

N −−−−++++====

Relations caractéristiques discrétisées et linéarisées

(n) : rang de l’itération courante

valeurs moyennes pour la linéarisation:


(n-1) : rang de l’itération précédente où l’état est connu

(((( )))))1n(3

)1n(31113 2

1 −−−−−−−− αααα−−−−ϕϕϕϕ++++αααα−−−−ϕϕϕϕ====ψψψψ

(((( )))))1n(3

)1n(32223 2

1 −−−−−−−− αααα++++ϕϕϕϕ++++αααα++++ϕϕϕϕ====ψψψψ

[[[[ ]]]])n(3

)n(3 ,z ϕϕϕϕ

Les caractéristiques sont assimilées à des droites

- passant par 1 et de pente

pour la ( ξξξξ)

- passant par 2 et de pente

pour la ( ηηηη)

la résolution du système linéarisé donne un nouveaucouple de valeurs

d’où l’engagement dans un nouveau cycle d’itération


(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) ξξξξ∆∆∆∆αααα++++ηηηη∆∆∆∆αααα

ξξξξ∆∆∆∆αααα++++ηηηη∆∆∆∆αααα====1323

1322313 sinsin

sinssinss

Écoulement à entropie variable ou méthode des caractéris tiquesrotationnelle (voir relation de Crocco)

l’entropie est interpolée entre les lignes de courant passant par 1 et 2

Cycle d’itération

passage au point suivant


)1n()1n( , −−−−−−−− δηδηδηδηδξδξδξδξ

ϕϕϕϕ−−−−−−−− εεεε<<<<ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕεεεε<<<<−−−− )1n(

3)n(

3z)1n(

3)n(

3 etzz

)1n(3

)1n(3 y,x −−−−−−−−

23132313 N,N,Z,Z[[[[ ]]]])1n(3

)1n(3 ,z −−−−−−−− ϕϕϕϕ

[[[[ ]]]])n(3

)n(3 ,z ϕϕϕϕ

équations linéarisées

test de convergence

non

oui

état (n) remplace état (n-1)

(((( ))))n3s

Point sur une paroi : opérateur P

(((( )))) (((( )))) )1n(232

)n(P2

)n(323 NzzZ −−−−δηδηδηδη====ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕ++++−−−−

(((( )))))1n(3

)1n(P2223 2


la condition de glissement impose la direction de la vitesse ϕϕϕϕp en P

le point 3 est calculé à l’intersection de la paroi et de la (ηηηη)assimilée à une droite de pente

la relation caractéristique permet de calculer la pression en 3


Point sur une frontière fluide : opérateur J

(((( )))))1n(J

)1n(J2223 2


(((( )))) (((( )))) )1n(232

)n(J2

)n(J23 NzzZ −−−−δηδηδηδη====ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕ++++−−−−

)(21 )1n(

31J−−−−ϕϕϕϕ++++ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ

le point 3 est calculé à l’intersection

- de la frontière (j) : droite passant par 1 de pente :

- de la (ηηηη) : droite de pente :

la relation caractéristique permet de calculer la direction ϕϕϕϕJ en 3

la condition sur (j) imposela pression p 3

(j)


ysinsin

Nϕϕϕϕαααα−−−−====

00

N:où'd0,0y →→→→→→→→ϕϕϕϕ→→→→

yyysin

δδδδδϕδϕδϕδϕ≈≈≈≈

∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂≈≈≈≈ϕϕϕϕ

ξξξξ

δϕδϕδϕδϕ====αααααααα

δδδδδδδδδϕδϕδϕδϕ====ααααδξδξδξδξ

∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂−−−−≈≈≈≈δξδξδξδξϕϕϕϕαααα−−−−

ξξξξ

sinsin

yy

sinyy

sinsin

0d2dzZ ====ϕϕϕϕ−−−−

Point sur un axe de révolution : opérateur A

problème : expression du terme

sur axe de révolution

il faut lever l’indétermination

forme limite


yy

dyy

0sinξξξξξξξξ

∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂====

∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂++++====ϕϕϕϕ≈≈≈≈ϕϕϕϕ

Point sur un axe de révolution : opérateur A

(((( )))) δξδξδξδξ====ϕϕϕϕ++++−−−− 11131 NzzZ

δξδξδξδξ−−−−

++++ϕϕϕϕ−−−−====

1

1

31113 Z

NZ2

Z1

21

zz

(((( )))) 02zzZ 1133 ====ϕϕϕϕ++++−−−−

première relation (en 1) :

deuxième relation (en 3) :

évaluation avec la moyenne

la condition sur l’axeimpose la direction ϕϕϕϕ3 = 0

axe de révolution


0dp

dpM

1M2

2

====ϕϕϕϕ++++γγγγ

−−−−

Origine d’un faisceau de détente : opérateur Q

en Q la relation caractéristique sur ( ηηηη) tend vers


0dQenNddp

dpM

1M2

2

→→→→ηηηηηηηη====ϕϕϕϕ++++γγγγ

−−−−

écoulement plan

Origine d’un faisceau de détente : opérateur Q

ϕϕϕϕ∆∆∆∆++++γγγγωωωω====ϕϕϕϕ−−−−ϕϕϕϕ++++γγγγωωωω====γγγγωωωω ),M(),M(),M( 00101

),M(),M( 0101 γγγγωωωω−−−−γγγγωωωω++++ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ

QNϕϕϕϕ∆∆∆∆====δϕδϕδϕδϕ

δϕδϕδϕδϕ++++ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ n0n δϕδϕδϕδϕ++++γγγγωωωω====γγγγωωωω n),M(),M( 0n

entre les états 0 et 1

la détente est fractionnée en N Q détentes élémentaires


Domaines de dépendance et d'influence

domaine calculable à partir d'une courbe initiale (C) non caractéristique

ABP : domaine de dépendance de PQAB : domaine d'influence de Q

le calcul ne peut êtreprolongé au-delà de AP et BP

courbe initiale (C)



courbe initiale (C)

0102

03

04

05

A

B

caractéristiquemontante

caractéristiquedescendante

11

12

13

14

15

si la courbe initiale (C) est caractéristique, le cham p ne peut êtreprolongé en dehors de (C)

Données de départ sur une courbe caractéristique

Domaine calculable à partir d'une courbe initiale (C)non caractéristique et d'une paroi

le calcul ne peut être prolongé au-delà de la descendan te AC

C

A


Domaine calculable à partir d'une caractéristique ini tiale etd'une paroi

la condition sur la paroi permet de prolonger le calcul au-delà de ( ηηηη0)

on ne peut dépasser la descendante (05,45) si ( ηηηη0) s'arrête en 05

caractéristique initiale ( ηηηη0)

paroi


Écoulements élémentaires : détente continue par ond es simples

°°°°−−−−====ϕϕϕϕ∆∆∆∆====

10:déflexion

5,2M0

caractéristiques

Écoulements élémentaires : détente continue par ond es simples

°°°°−−−−====ϕϕϕϕ∆∆∆∆====

10:déflexion

5,2M0

contours iso-Mach

caractéristiques

Écoulements élémentaires : compression et focalisat ion

°°°°++++====ϕϕϕϕ∆∆∆∆====

10:déflexion

5,2M0caractéristiques


°°°°++++====ϕϕϕϕ∆∆∆∆====

10:déflexion

5,2M0caractéristiqueszoom sur lafocalisation

contours iso-pression génératrice

contours iso-Mach


°°°°++++====ϕϕϕϕ∆∆∆∆====

10:déflexion

5,2M0

Application de la méthode des caractéristiquesDéfinition de la forme d’une tuyère supersonique

problèmes

- direct calculer l'écoulement produit par une tuyère deforme donnée

- inverse calculer le contour d'une tuyère donnant unécoulement aux propriétés données (uniforme, par exempl e)

deux étapes principales

1 - calculer le domaine transsonique au col par une méthodeadéquate (analytique, numérique)

2 - à partir d'une caractéristique initiale déduite de 1, prolongerle calcul dans la partie supersonique par la méthode descaractéristiques

Application au calcul d’une tuyère supersonique

y

xO

axe de révolutionou plan de symétrie

col géométrique

crouh

ℜℜℜℜparoi au col

u

v V�

Détermination de la région transsonique du col

1vu 22 ====++++

u)x/u(

uv

x1

0v

∂∂∂∂∂∂∂∂====

∂∂∂∂∂∂∂∂====

ℜℜℜℜ ====

Structure de la région transsonique du col d’une tuyère

ligne sonique : lieu géométrique des points tels que

0v ====

ligne des sommets : points où la vitesse est parallèle à l’axeou des cols

la ligne des sommets peut être graduée en valeurs de la courbure

(((( ))))αααα−−−−ϕϕϕϕ==== tgdxdy


++++====

====αααα22

2

vu

asinArc

M1

sinArc

caractéristique de départ pour la partie supersonique

définie par

====ϕϕϕϕuv

Arctg

avec

et


la ligne sonique ≠≠≠≠ du col géométrique, elle présente une courbure

la solution analytique obtenue par résolutionde l’équation du potentiel est valable tant que R/h > 4

ligne des cols

ligne sonique

ligne de courant

X

Y

-2 -1 0 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

exemple : tuyère sonique pour le cas R/H = 1

Autre méthode : calcul de l’écoulement dans la régi on du colpar résolution des équations d’Euler


X

R

-2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

exemple : calcul Euler pour le cas R/H = 1, maillage

exemple : calcul Euler pour le cas R/H = 1, plages is o-Mach

X

R

-2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


X

Y

-1 -0.5 0 0.5 1

0

0.5

1

caractéristique de départligne sonique

ligne des sommets

exemple : domaine sonique pour le cas R/H = 1


y

x0

caractéristiqueinitiale ou de départ

dy

00

01

02

03

04

05

06

(((( ))))0ξξξξ

ligne sonique

1M <<<< 1M >>>>

Détermination de la région transsonique du col

Calcul de l'écoulement dans une tuyère de forme donné e :mode direct

cheminement : 01+P →→→→ 11, 02 +11→→→→ 12 , 12+P→→→→ 21 -02+ 12→→→→ 13, 13+21 →→→→ 22, 22+P →→→→ 31 - 04+13 →→→→ 14, 22+14 →→→→ 23 etc jusqu'à la dernière montante [35,71]

réseau des caractéristiques

nombre de Mach en sortie M 0 = 2


réseau des caractéristiques – zoom sur la région du col



plages iso nombre de Mach



Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulemen tdonné : mode inverse ou design

),M(A

AE

Ec γγγγΣΣΣΣ

====

la section de sortie A E et le nombre de Mach en sortie M E étantdonnés →→→→ calculer la section du col :

Étape 1 : calculer le domaine transsonique par la méthode numé rique

Étape 2 : en extraire une caractéristique de départ ( ξξξξ0) située dansla partie supersonique (caractéristique partant du col géométrique)

Étape 3 : fixer une répartition de Mach sur l'axe de la tuyère

a - passer par le point 0 dans le domaine transsonique connu

b - atteindre un niveau M = M E à partir de x = x E

c - être constante à la valeur M = M E au-delà de x E

XE


Étape 4 : à partir de ( ξξξξ0) et de la loi de Mach imposée sur l'axe , calculer l'écoulement supersonique par la méthode des caractéris tiques


Étape 5 : mise en place de la paroi de la tuyère

conservation du débit entre le col et le point P n sur une caractéristique calculée

(((( )))) ξξξξρρρρππππ==== dyn.V2qd m

�

�

ξξξξααααρρρρππππ==== dysinV2qd m

ξξξξρρρρππππ==== dya2qd m

∫∫∫∫ ξξξξρρρρππππ==== 0P

0m dya2q

m

P

0qdya2

n ====ξξξξρρρρππππ∫∫∫∫

débit au col

débit à travers ( ξξξξ)

définit la position du point P n à la paroi


données dedéfinition dela tuyère : M 0

calcul dudomainetranssonique

caractéristiquede départ

opérateur A : point sur l'axe

opérateur N : point courant

calcul du débit q m sur la ( ξξξξ) en cours

donnée : nombre de Mach sur axe

oui

non

localisation du point de la paroi

qm > (qm)col

caractéristique ( ξξξξ)

fin du calcul

Mach paroiconstant = M 0oui

non

Algorithmique


Définition d'une tuyère plane Mach 2

Y

X

caractéristique de départ

loi de nombre de Mach imposée sur l'axe

X

Mac

h


réseau des caractéristiques calculées


réseau des caractéristiques - zoom sur la région du col


plages iso nombre de Mach


Structure de l’écoulement dans une tuyère supersonique

====≡≡≡≡αααα

00 M

1sinArcMachdeangle

écoulementuniforme en avalde CA et CA’

0αααα

0αααα

Machdeligne 0M

A

A’

C

Structure de l’écoulement dans une tuyère supersonique

écoulement uniforme dans le domaine CAC’A’ → rhombe de Mach

0αααα

0αααα

0αααα

0αααα

A

A’

C C’

Soufflerie supersonique équipée d'une tuyère en forme

tuyère Mach 2 de la soufflerie S5Ch de l'Onera-Meudon

maquette dans le rhombe de Mach

Tuyère symétrique plane type coquetier

Caractéristiques 2M005,1M E0 ====−−−−====


2M005,1M E0 ====−−−−====Caractéristiques


Plages iso-Mach 2M005,1M E0 ====−−−−====


Plages iso-Mach

2M005,1M E0 ====−−−−====


2M005,1M E0 ====−−−−====Caractéristiques – domaine calculable

Tuyère symétrique plane type coquetier2M005,1M E0 ====−−−−====

x

Mac

h

0 10 20 30 40 50 600.5

1

1.5

2

2.5

paroi superieureparoi inferieure

Nombre de Mach sur les parois

Jet supersonique plan

contours iso-Mach

caractéristiques

première cellule

13,2pp

469,0pp

2M

a

0

0

a

0

====

====

====

Jet supersonique de révolution

départ du choc defocalisation

caractéristiques

8,6pp

147,0pp

3M

a

0

0

a

0

====

====

====

contours iso-Mach

contours iso pression génératrice

8,6pp

147,0pp

3M

a

0

0

a

0

====

====

====

Jet supersonique de révolution

avion de transport supersonique Concorde

Fin du cours

Documents

Cours 7 : Ecoulement supersonique bidimensionnel ...hebergement.u-psud.fr/master2dfe/IMG/pdf/Master2_-_DFE_-_07... · Méthode de couplage : fluide parfait - fluide visqueux ESSAIS