Simulation et homogénéisation de microstructures périodiquespimm.artsetmetiers.fr/sites/pimm/files/docs-pages-perso/2019-10/N… · 2 Rappels de mécanique des milieux continus

Simulation et homogénéisation demicrostructures périodiques

Justin Dirrenberger∗, Samuel ForestCentre des Matériaux, MINES-ParisTech, CNRS UMR-7633, BP 87, 91003 Evry Cedex

7 décembre 2010

∗Tél. : 01 60 76 30 28, e-mail : [email protected]

1

Table des matières1 Introduction 3

2 Rappels de mécanique des milieux continus 32.1 Théorème de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Principe des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Homogénéisation numérique des microstructures périodiques 73.1 Homogénéisation en élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Conditions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Lemme de Hill–Mandel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Étude de cas n◦1 : matériau composite à matrice renforcée 104.1 Méthode MPC_periodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Méthode de l’élément périodique sollicité en déformation

moyenne imposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3 Méthode de l’élément périodique sollicité en contrainte moyenne

imposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Étude de cas n◦2 : grille tridimensionnelle 255.1 Méthode MPC_periodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Méthode de l’élément périodique sollicité en déformation

moyenne imposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Méthode de l’élément périodique sollicité en contrainte moyenne

imposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3.1 Maillage du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3.2 Calcul de la déformation moyenne . . . . . . . . . . . . . 325.3.3 Utiliser les degrés de liberté supplémentaires de l’élément

périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 Extension à d’autres physiques 366.1 Propriétés thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2 Propriétés électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3 Propriétés magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.4 Propriétés acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2

1 IntroductionLa simulation numérique par méthode des éléments finis et l’application de

techniques d’homogénéisation permettent d’obtenir les propriétés mécaniques ef-fectives de multi-matériaux. Dans cette notice, on présente par l’exemple la mé-thode d’homogénéisation numérique à l’aide du code Zébulon, en élasticité li-néaire dans le cas d’une cellule périodique.

2 Rappels de mécanique des milieux continusPour un cours complet, consulter [Forest et al., 2010].

2.1 Théorème de la divergenceDans le contexte de l’homogénéisation, il nous faudra avoir recours au théo-

rème de la divergence. Ce théorème, attribué à Gauss et Ostrogradsky, est cou-ramment utilisé en électromagnétisme et en mécanique des fluides (en l’absencede discontinuités) sous la forme suivante :∫∫∫

V

divF dV =

∫∫S

F .u dS

Une forme plus synthétique de ce théorème en coordonnées cartésiennes ortho-normées est la suivante : ∫

Ω

•,i dV =∫

∂Ω

•ni dS

où •,i = ∂•∂xi

3

Ainsi, dans le cadre de la mécanique des milieux continus, si l’on considère lamoyenne spatiale sur un volume V d’un champ de déformation compatible ε∼

′ :

〈ε∼′〉 = 1

V

∫V

ε∼′dV =

1

V

( ∫V

u′(i,j)dV)e i ⊗ e j (1)

=1

V

( ∫∂V

u′(inj)dS)e i ⊗ e j (2)

=1

V

∫∂V

{u ′ ⊗ n }dS (3)

avec n désignant la normale à dS et {u ′ ⊗ n } désignant la partie symétrique dutenseur résultant. Si l’on considère maintenant la moyenne spatiale d’un champ decontraintes σ∼

∗ statiquement admissible, i.e. tel que div σ∼∗ = 0, on obtient alors :

〈σ∼∗〉 = 1

V

∫V

σ∼∗dV =

1

V

∫V

σ∗ijdV e i ⊗ e j (4)

=1

V

∫V

σ∗(ikδj)kdV e i ⊗ e j1 (5)

=1

V

∫V

σ∗(ikxj),kdV e i ⊗ e j (6)

=1

V

∫V

(σ∗(ikxj)),kdV e i ⊗ e j (7)

=1

V

∫∂V

σ∗(iknkxj)dSe i ⊗ e j (8)

=1

V

∫∂V

{(σ∼∗.n )⊗ x }dS (9)

2.2 Principe des puissances virtuellesLe principe des puissances virtuelles (PPV) indique que pour tout domaine D

considéré d’un corps Ω, de surface extérieure ∂D = S, admettant un champ de vi-tesses virtuelles v ′(x , t), la somme de la puissance virtuelle des efforts intérieurset extérieurs est nulle.

La puissance virtuelle des efforts intérieurs se calcule de la sorte :

P(i) = −∫D

σ∼ : ε̇′∼ dV (10)

1Les parenthèses (i...j) indiquent la symétrisation par rapport à i et j.

4

Grâce à la symétrie du tenseur des contraintes σ∼ et au remplacement du champ devitesses de déformation ε̇′∼ par la partie symétrique du gradient des vitesses, il estpossible d’effectuer une intégration par parties. Par application du théorème de ladivergence, la puissance virtuelle des efforts intérieurs peut alors s’exprimer sousla forme suivante :

P(i) =∫D(div σ∼ ).v

′dV −∫

∂D(σ∼ .n ).v

′dS (11)

La puissance des efforts extérieurs quant à elle regroupe un terme volumiquelié aux actions à distance et un terme surfacique lié aux efforts de contact :

P(e) =∫D

f .v ′dV +

∫∂D

F .v ′dS (12)

Par application du PPV, il vient que :∫D(div σ∼ + f ).v

′dV −∫

∂D(σ∼ .n − F ).v

′dS = 0 (13)

En choisissant arbitrairement que le champ de vitesses virtuelles soit nul sur∂D ou bien en dehors de ∂D, on obtient :

div σ∼ + f = 0 ∀x ∈ D (14)

σ∼ .n = F ∀x ∈ ∂D (15)

En considérant D comme étant le corps Ω lui-même, les relations ci-dessusapparaissent alors comme les conditions nécessaires et suffisantes à l’équilibre dumilieu ainsi que les conditions aux limites.

2.3 Loi de comportementOn se place ici dans le cadre des petites perturbations. Les systèmes étudiés

dans ce chapitre sont considérés comme ayant une réponse élastique linéaire auxsollicitations mécaniques. Les relations de comportement s’expriment pour cha-cune des phases dans le cadre de l’élasticité linéarisée à l’aide de la loi de Hookegénéralisée :

σ∼ = c≈ : ε∼ (16)

c≈

, tenseur d’ordre 4, est appelé tenseur des modules d’élasticité ou tenseur desrigidités élastiques. Il permet d’exprimer le tenseur des contraintes en fonction dutenseur des déformations. Par ailleurs, il est possible d’exprimer le tenseur des

5

déformations en fonction du tenseur des contraintes par l’intermédiaire du tenseurdes souplesses s

≈, inverse du tenseur des modules d’élasticité :

ε∼ = s≈ : σ∼ , avec s≈ := c≈−1 (17)

Les 81 composantes cijkl se réduisent par relations de symétrie successives aunombre de 21 pour le cas triclinique. Ces 21 composantes peuvent alors être re-présentées sous la forme d’une matrice cIJ à 21 composantes indépendantes : c’estla notation de Voigt. Elle permet de relier les contraintes aux déformations écritessous la forme de vecteurs-colonnes :

σ11σ22σ33σ23σ31σ12

=c11 c12 c13 c14 c15 c16c12 c22 c23 c24 c25 c26c13 c23 c33 c34 c35 c36c14 c24 c34 c44 c45 c46c15 c25 c35 c45 c55 c56c16 c26 c36 c46 c56 c66

ε11ε22ε33γ23γ31γ12

(18)

Il est important de noter l’utilisation du cisaillement de l’ingénieur dans levecteur-colonne des déformations :

γ23 = 2ε23

γ31 = 2ε31

γ12 = 2ε12

La matrice des souplesses s’obtient en inversant 18. On obtient alors :ε11ε22ε33γ23γ31γ12

=s11 s12 s13 s14 s15 s16s12 s22 s23 s24 s25 s26s13 s23 s33 s34 s35 s36s14 s24 s34 s44 s45 s46s15 s25 s35 s45 s55 s56s16 s26 s36 s46 s56 s66

σ11σ22σ33σ23σ31σ12

(19)

6

3 Homogénéisation numérique des microstructurespériodiques

3.1 Homogénéisation en élasticité linéaireSoient Σ∼ , tenseur des contraintes macroscopiques et E∼ , tenseur des déforma-

tions macroscopiques. Dans le cadre de l’élasticité linéaire, si l’on considère unvolume V remplissant les critères d’un VER, comme dans le cas d’une cellule pé-riodique, le calcul des tenseurs effectifs des modules d’élasticité C

≈et de souplesse

S≈

s’effectue de la façon suivante :

Σ∼ = C≈ : E∼ (20)

E∼ = S≈ : Σ∼ (21)

En utilisant la notation de Voigt modifiée, c’est-à-dire en réécrivant les 6 compo-santes respectives des tenseurs Σ∼ et E∼ en 2 vecteurs-colonnes et les 21 compo-santes respectives des tenseurs d’ordre 4 C

≈et S

≈, simplifiés par symétrie maté-

rielle, en 2 matrices 6x6, on obtient :Σ11Σ22Σ33Σ12Σ23Σ31

=C11 C12 C13 C14 C15 C16C12 C22 C23 C24 C25 C26C13 C23 C33 C34 C35 C36C14 C24 C34 C44 C45 C46C15 C25 C35 C45 C55 C56C16 C26 C36 C46 C56 C66

E11E22E332E122E232E31

(22)

Dans le cas de l’élasticité isotrope, C44 est égal au module de cisaillement µ.E11E22E332E122E232E31

=S11 S12 S13 S14 S15 S16S12 S22 S23 S24 S25 S26S13 S23 S33 S34 S35 S36S14 S24 S34 S44 S45 S46S15 S25 S35 S45 S55 S56S16 S26 S36 S46 S56 S66

Σ11Σ22Σ33Σ12Σ23Σ31

(23)

On peut alors remonter au propriétés effectives globales du volume étudié,C≈

, en imposant les contraintes Σ∼ ou les déformations E∼ . Ainsi, on obtient unesérie de relations linéaires entre la contrainte et la déformation. Par exemple, si

7

E22 = E33 = E12 = E23 = E31 = 0 et E11 = 1, il apparaît :Σ11Σ22Σ33Σ12Σ23Σ31

=C11 0 0 0 0 0C12 0 0 0 0 0C13 0 0 0 0 0C14 0 0 0 0 0C15 0 0 0 0 0C16 0 0 0 0 0

E1100000

(24)

or, E11 = 1, on obtient donc :Σ11 = C11 (25)

Σ22 = C12 (26)

Σ33 = C13 (27)

Σ12 = C14 (28)

Σ23 = C15 (29)

Σ31 = C16 (30)

À l’aide de ces relations linéaires entre les composantes des différents ten-seurs, on peut alors reconstruire les matrices homogénéisées de souplesse et/oud’élasticité des matériaux étudiés.

Il est possible d’imposer des conditions aux limites en effort ou en déplace-ment, et ce selon n’importe quelle direction de l’espace, et ainsi de reproduiredes configurations expérimentales réelles, mais aussi de solliciter les structuresconsidérées dans des conditions parfois difficiles à atteindre en laboratoire, c’estpourquoi on parle parfois d’expérimentation numérique.

Il est nécessaire d’imposer des conditions aux limites du volume V afin derésoudre les équations de comportement pour le milieu considéré. On retiendratrois types de conditions aux limites :

– Conditions de déformation homogène au contour, ou KUBC (Kinetic Uni-form Boundary Conditions)

– Conditions de contrainte homogène au contour, ou SUBC (Static UniformBoundary Conditions)

– Conditions périodiques, ou PBC (Periodic Boundary Conditions)Seul ce dernier type de conditions aux limites va nous intéresser ici.

8

3.2 Conditions périodiquesDans le cas d’une cellule périodique, le vecteur de déplacement u associé à

tout point matériel x se met sous la forme :

u = E∼ .x + v ∀x ∈ V (31)

avec v vecteur de fluctuations périodiques, i.e., prenant la même valeur en deuxpoints opposés de ∂V . Le vecteur traction t = σ∼ .n quant à lui prend des valeursopposées.

Il est possible de prouver l’existence et l’unicité, à une translation d’ensembleprès, d’une solution dans le cas de périodique, au moins dans le cas linéaire. Onobtient les résultats suivants :

〈ε∼〉 = E∼ (32)

〈σ∼ 〉 = Σ∼ (33)

3.3 Lemme de Hill–MandelConsidérons dans un volume V deux champs locaux indépendants ε∼

′ et σ∼∗,

tels que :– ε∼

′ cinématiquement admissible– σ∼

∗ statiquement admissiblesi σ∼

∗ vérifie les SUBC, ou si ε∼′ vérifie les KUBC, ou bien si σ∼

∗ et ε∼′ vérifient

simultanément les PBC, alors :

〈σ∼∗ : ε∼

′〉 = 〈σ∼∗〉 : 〈ε∼

′〉 (34)

ainsi, on obtient pour les trois types de conditions aux limites la relation suivante :

〈σ∼ : ε∼〉 = 〈σ∼ 〉 : 〈ε∼〉 (35)

qui correspond à la condition de macro-homogénéité de Hill ([Hill, 1967]).

9

4 Étude de cas n◦1 : matériau composite à matricerenforcée

Nous allons tout d’abord nous intéresser au cas d’un matériau composite à ma-trice polymère renforcé par des fibres de verre. Les deux phases sont considéréesisotropes. La fraction volumique de fibres est d’environ 13% : cellule périodiquede côté 10 et fibre de rayon 2.

Matrice FibreModule d’Young (GPa) 3 50Coefficient de Poisson 0,3 0,3

Paramètres des phases

Maillage du composite à matrice (bleu) renforcée par fibre (rouge)

La géométrie présente une symétrie quadratique. La matrice des modulesd’élasticité CIJ a la forme suivante :

C11 C12 C13 0 0 0C12 C11 C13 0 0 0C13 C13 C33 0 0 00 0 0 C44 0 00 0 0 0 C44 00 0 0 0 0 C66

(36)

Nous présentons ici 3 méthodes de calcul des propriétés effectives pour unecellule périodique :

10

– Méthode MPC_periodic– Méthode de l’élément périodique :

– contrôlée en déformation– contrôlée en contrainte

4.1 Méthode MPC_periodicCette méthode, qui utilise les éléments standards, permet d’imposer une dé-

formation moyenne E∼ avec des conditions de périodicité qui correspondent à desliaisons affines entre les degrés de liberté au bord de la cellule périodique, selonl’équation suivante :

u (x +)− u (x −) = E∼ (x+ − x −) (37)

Les composantes de E∼ à imposer sont au nombre de 4 dans le cas 2D (3 com-posantes de déformation moyenne + 1 composante de rotation moyenne), 9 dansle cas 3D (6 composantes de déformation moyenne + 3 composantes de rota-tion moyenne). "MPC" signifie Multi-Point Constraint, il s’agit donc de rela-tions d’égalités définies pour certains degrés de liberté entre plusieurs nœudsdu maillage, eux-mêmes définis par des groupes de nœuds (nsets). Pour utiliserles MPC_periodic, il est nécessaire de distinguer et de labelliser correctement, àl’aide de nsets appropriés, les points du maillage étant confondus respectivementavec les faces, les arêtes et les sommets de la cellule périodique.La définition des nsets peut s’effectuer grâce au mailleur de Zébulon à l’aide defonctions et d’opérations booléennes comme dans l’exemple suivant :

****mesher

***mesh periodic_mesh.geof

**open mesh.geof

**nset faceBottom

*function (z=0.01)*(x=0.01)*(y=0.49)*(x>=0.01)*(x=0.01)*(y=0.01)*(z=0.01)*(y=0.01)*(x=0.01)*(z

Par ailleurs, les commandes **rotate et **remove_nodes_from_nset peuvents’avérer très utiles lorsqu’il s’agit de définir de manière distincte les noeuds ap-partenant aux faces, aux arrêtes et aux sommets.

L’implémentation des équations de périodicité et des conditions aux limitesdans le fichier de mise en données (.inp), ici dans le cas d’une cellule parallé-lépipédique pour une déformation moyenne de 1 selon l’axe 1 de la structure,s’effectue de la façon suivante :

****calcul

***mesh

**file periodic_mesh.geof % CHARGEMENT DU MAILLAGE

***bc % BLOQUER LE MOUVEMENT DE CORPS RIGIDE

**impose_nodal_dof center U1 0.



***table

**name tab

*time 0. 1.

*value 0. 1.

***resolution % ELASTICITE LINEAIRE

**sequence

*time 1.

*increment 1

*ratio absolu 0.001

*algorithm eeeeee

***material % PARAMETRES MATERIAUX POUR LES DEUX PHASES

**elset fiber

*file fiber.mat

**elset matrix

*file matrix.mat

***equation % SPECIFICATION DES MPC_PERIODIC : DOF + COUPLE DENSETS + COMPOSANTES DE DEFORMATION MOYENNE

**mpc_periodic U1 faceBack faceFront E11 1.0 E22 0.0 E33 0.0E12 0.0 E21 0.0 E13 0.0 E31 0.0 E23 0.0 E32 0.0 tab

**mpc_periodic U2 faceBack faceFront E11 1.0 E22 0.0 E33 0.0E12 0.0 E21 0.0 E13 0.0 E31 0.0 E23 0.0 E32 0.0 tab

**mpc_periodic U3 faceBack faceFront E11 1.0 E22 0.0 E33 0.0E12 0.0 E21 0.0 E13 0.0 E31 0.0 E23 0.0 E32 0.0 tab...

**mpc_periodic U1 edge09 edge12 E11 1.0 E22 0.0 E33 0.0 E12 0.0E21 0.0 E13 0.0 E31 0.0 E23 0.0 E32 0.0 tab

**mpc_periodic U2 edge09 edge12 E11 1.0 E22 0.0 E33 0.0 E12 0.0E21 0.0 E13 0.0 E31 0.0 E23 0.0 E32 0.0 tab...

**mpc_periodic U2 vertex01 vertex08 E11 1.0 E22 0.0 E33 0.0 E120.0 E21 0.0 E13 0.0 E31 0.0 E23 0.0 E32 0.0 tab

12

**mpc_periodic U3 vertex01 vertex08 E11 1.0 E22 0.0 E33 0.0 E120.0 E21 0.0 E13 0.0 E31 0.0 E23 0.0 E32 0.0 tab

****return

Les résultats peuvent être visualisés via l’interface graphique de Zébulon, pourles contraintes équivalentes de von Mises, voilà ce qu’on obtient :

Déformée et contraintes équivalentes de von Mises (MPa) pour E11 = 1.0

Le post-traitement nécessaire pour trouver les composantes du tenseur desmodules d’élasticité C

≈homogénéisé consiste en une moyenne volumique sur

l’ensemble de la cellule périodique des différentes composantes des tenseurs decontrainte σ∼ . La même opération sur le tenseur des déformations ε∼ permet devérifier les déformations appliquées à la cellule. Cela s’implémente de la façonsuivante :

****post_processing

***precision 6

***global_post_processing

**file integ

**elset ALL_ELEMENT

**process volume

**process average

*list_var sig11 sig22 sig33 sig12 sig23 sig13 eto11 eto22

eto33 eto12 eto23 eto13

13

À l’aide des relations linéaires définies précédemment entre contrainte et dé-formation, on peut ainsi déduire les valeurs des composantes (en MPa) du tenseurdes modules d’élasticité C

≈. Ainsi, on obtient les valeurs suivantes :

[Cij] =

4822 2001 2047 0 0 02001 4822 2047 0 0 02047 2047 10134 0 0 0

0 0 0 1365 0 00 0 0 0 1443 00 0 0 0 0 1443

Cette méthode peut être fastidieuse dans la mesure où il faut définir "à la main"

tous les nsets correspondants aux limites de la cellule périodique. Par ailleurs, ilexiste un risque que les paires de nsets ne soient pas numérotées dans le mêmeordre, surtout si le maillage est libre. Il est donc conseillé de vérifier ses nsetsavant de se lancer tête baissée dans les calculs. Pour éviter ces désagréments ilexiste deux alternatives. La première consiste à créer les nsets à l’aide de l’inter-face graphique de Zébulon, très simple en 2D, cela peut être plus complexe en3D, dans ce cas le mailleur numérote correctement les nœuds au sein des nsets.Dans le cas tridimensionnel, il peut être utile de définir les nsets par des fonctionscomme présenté précédemment, ainsi la fonction **match_nset réordonne lesnœuds d’un nset pour les faire correspondre à ceux de son homologue. L’utilisa-tion de cette fonction se fait de la façon suivante :

****mesher

**match_nset

*n1 front %nom du 1er nset

*n2 back %nom du 2e nset

*distance 10. %distance entre nsets

*no_x %on ne considère que les

*no_z %coordonnées en Y

****return

La seconde alternative consiste en l’utilisation combinée de l’élément pério-dique et de la fonction **nset_for_cell, comme nous allons l’expliciter dans lasection suivante.

14

4.2 Méthode de l’élément périodique sollicité en déformationmoyenne imposée

L’élément périodique inclut 6 degrés de liberté supplémentaires par rapportà l’élément standard utilisé jusqu’à maintenant. Ceux-ci correspondent à la dé-formation moyenne Eij , en plus des degrés de libertés nodaux vi associés auxfluctuations de déplacement. Si l’on reécrit les équations d’équilibre :

∫V

σijui,jdV =

∫V

σij(Eikxk + vi),jdV (38)

=

∫V

σijEijdV +

∫V

σijvi,jdV︸︷︷︸=0

(39)

=

∫V

σijdV Eij (40)

= V ΣijEij (41)= REijEij (42)

Dans l’équation 39, la partie droite du second membre est nulle car vi,j estpériodique sur ∂V et son intégrale sur V est égale à zéro. Il ne reste à résoudredans le problème EF que la partie gauche du second membre, c’est-à-dire la défor-mation homogène Eij et son dual REij correspondant aux contraintes moyennesde réaction. En imposant Eij , on met en place l’approche en déformation, alorsqu’en imposant REij il s’agit de l’approche en contrainte. Les composantes deREijEij se développent de la façon suivante :

REijEij = RE11E11 + RE22E22 + . . . + RE33E33

+RE12E12 + RE21E21 + RE13E13 (43)+RE31E31 + RE23E23 + RE32E32

L’implémentation des degrés de liberté supplémentaires dans le contexte deséléments finis s’effectue de sorte que :

{ε∼} = [B]{u}+ {E∼ } (44)

Ou encore,

{ε∼} = [B′]{u ′} (45)

15

avec

[B′] =

11

11

11

N i

. . .

(46)

et

{u} =

E11E22E33E12E23E31u i

...

(47)

Nous allons maintenant décrire la marche à suivre pour implémenter cette mé-thode, en commençant par la problématique du maillage. Les développeurs deZébulon ont pensé fort heureusement à développer la fonction **nset_for_cell,permettant de définir automatiquement les conditions de périodicité de la celllule.Cette fonction nécessite la définition de vecteurs de périodicité, jusqu’à 3 (b0, b1,b2) dans la version initiale. Ces vecteurs correspondent aux composantes carté-siennes des directions de réplication du motif initial selon les axes de la structure.Pour une cellule cubique, il s’agira de la longueur d’arête du cube selon x, y et z.Il peut être nécessaire d’avoir plus que 3 vecteurs de périodicité, comme dans lecas d’une cellule tétrakaïdécaèdrale (14 faces) nécessitant 7 vecteurs de périodi-cité afin de paver l’espace, cela requiert l’utilisation d’une version étendue de lafonction **nset_for_cell, celle-ci est en cours de développement.Toujours est-il que dans les cas de volumes parallélépipédiques, cette fonctionsuffit amplement. L’implementation pour notre cellule s’effectue de la façon sui-vante :

****mesher

***mesh periodic_mesh.geof

**open mesh.geof

16

**nset_for_cell

*name cell %prefixe pour les nsets

*prec 0.001 %precision

*b0 (10. 0. 0.) %coordonnees des vecteurs

*b1 (0. 10. 0.) %de periodicite

*b2 (0. 0. 0.5)

****return

En sortie, le mailleur de Zébulon fournit le maillage d’entrée avec les nsets ap-propriés ainsi qu’une liste d’équations à copier sous le module ***equation dufichier de mise en données. Celles-ci correspondent aux équations de périodicitédu maillage et correpondent aux nsets créés.Par exemple, **mpc1 cell4 U1 signifie que tous les noeuds du nset cell4prennent la même valeur pour leur degré de liberté en déplacement selon U1 ;**mpc2 cell81 U3 cell82 U3 signifie que les noeuds du nset cell81 prennentles mêmes valeurs pour leur degré de liberté en déplacement selon U3 que leurshomologues du nset cell82.Il arrive que la fonction **nset_for_cell génère des **faset dans le fichier .geofmais sans leur donner de noms, ce qui peut empêcher le calcul, la solution consiste(la plus simple) à ajouter un nom après la balise **faset dans le .geof, ou bien àla supprimer avec tout ce qu’elle inclut.Une fois toutes ces relations copiées sous le module ***equation du .inp, il fautdéfinir les conditions de sollicitation du système. Il s’agit ici d’imposer une dé-formation globale à notre cellule périodique. Pour ce faire, on écrit de la façonsuivante :

****calcul

***mesh periodic % IMPORTANT!!

**file periodic_mesh.geof

***bc

**impose_elset_dof ALL_ELEMENT E11 1.0 tab






***table

**name tab

*time 0. 1.

*value 0. 1.

***equation

**mpc1 cell1 U1...

**mpc2 cell81 U3 cell82 U3...

17

On notera que le type d’élément est défini par la balise ***mesh periodic,ce qui correspond à l’élément périodique volumique. Il existe une formu-lation bidimensionnelle en contrainte plane et en déformation plane qui sedéfinissent respectivement par ***mesh periodic_plane_stress et ***meshperiodic_plane_strain.

L’observation de la déformée et la vérification des sollicitations imposées à lacellule périodique peuvent s’effectuer via l’interface graphique de Zébulon :


On impose ici une déformation globale de 1 selon la direction 1 de la structure,ainsi :

18

E11 = 〈ε11〉 = 1.0⇒ Σ11 = C11E11

Σ22 = C12E11

Σ33 = C13E11

Σ12 = C14E11

Σ23 = C15E11

Σ31 = C16E11

En mesurant 〈σij〉, on obtient :

C11 =Σ11E11

=〈σ11〉1.0

. . .

C16 =Σ31E11

=〈σ31〉1.0

Si on applique maintenant un cisaillement homogène de 1 dans le plan (1,2)de la structure, on a :

E12 = 〈ε12〉 = 1.0⇒ Σ11 = C412E12

Σ22 = C422E12

Σ33 = C432E12

Σ12 = C442E12

Σ23 = C452E12

Σ31 = C462E12

En mesurant 〈σij〉, on obtient :

C41 =Σ112E12

=〈σ11〉2.0

. . .

C44 =Σ112E12

=〈σ12〉2.0

. . .

C16 =Σ162E12

=〈σ31〉2.0

19

Le post-traitement à effectuer est le même que pour la méthodeMPC_periodic. Il suffit de calculer les moyennes volumiques des contraintes〈σij〉 pour obtenir les composantes du tenseur C≈ des modules d’élasticité. Onobtient alors les résultats suivants :

[Cij] =

4822 2001 2047 0 0 02001 4822 2047 0 0 02047 2047 10134 0 0 0

0 0 0 1365 0 00 0 0 0 1443 00 0 0 0 0 1443

Cette méthode a l’avantage d’être très rapide à implémenter et de fonctionner

dans beaucoup de situations. Le seul problème est que l’utilisateur est dépen-dant de la fonction **nset_for_cell, ce qui peut être handicapant dans le cas demicrostructures périodiques complexes. Par ailleurs, il se peut que le nombre dedegrés de liberté du système à résoudre soit supérieur à la limite initiale du solveur(100000 ddl), pour remédier à cela, il faut ajouter une option lors du lancement ducalcul, comme ci-dessous (cas d’un calcul avec moins de 250000 ddl) :

Zrun -s Solver.DSCPack.MaxNumValuesPerRow 250000 test.inp

20

4.3 Méthode de l’élément périodique sollicité en contraintemoyenne imposée

Une variante de la méthode précédente consiste à imposer les contraintesmoyennes à la place des déformations en tant que sollicitation du système. Celapeut présenter un grand intérêt pour l’homogénéisation non-linéaire (dans le casdu fluage par exemple), ou dans le cas linéaire si l’on recherche le tenseur S

≈des

souplesses homogénéisé ou bien encore si l’on veut simuler un essai mécaniquede laboratoire contrôlé en contrainte et non en déplacement. Il s’agit cette foisd’imposer la contrainte moyenne de réaction REij à l’élément périodique.

Si l’on souhaite imposer une contrainte globale de réaction (1 MPa) selon ladirection 1 de la structure :

RE11 = V Σ11 = V 〈σ11〉 = 1.0⇒ E11 = S11Σ11

E22 = S12Σ11

E33 = S13Σ11

2 E12 = S14Σ11

2 E23 = S15Σ11

2 E31 = S16Σ11

En mesurant 〈εij〉, on obtient :

S11 =E11Σ11

=V 〈ε11〉RE11

=V 〈ε11〉

1.0

. . .

S16 =2 E31Σ11

=2 V 〈ε31〉RE11

=2 V 〈ε31〉

1.0

Si on applique une réaction RE12 de 1 MPa, on a :

21

RE12 = 2 V Σ12 = V 〈σ12〉 = 1.0⇒ E11 = S41Σ12

E22 = S42Σ12

E33 = S43Σ12

2 E12 = S44Σ12

2 E23 = S45Σ12

2 E31 = S46Σ12

En mesurant 〈εij〉, on obtient :

S41 =E11Σ12

=2 V 〈ε12〉

1.0

. . .

S44 =2 E12Σ12

=4 V 〈ε12〉

1.0

. . .

S46 =2 E31Σ12

=4 V 〈ε31〉

1.0

Il faut donc imposer la valeur de la contrainte homogène voulue multipliée parle volume de la cellule, soit 10×10×0.5 = 50 dans notre cas. D’après l’équation43, en appliquant REij , on impose aussi REji, il faut donc considérer 2 fois cettevaleur, de sorte que : REij = REji = 12V Σij

L’implémentation dans Zébulon s’effectue de la façon suivante :

***bc

**impose_elset_dof_reaction ALL_ELEMENT E11 1.0 tab






***table **name tab

*time 0. 1.

*value 0. 50.

La déformée est très faible dans ce cas car la contrainte macroscopique impo-sée est de 1 MPa :

22

Déformée et contraintes équivalentes de von Mises (MPa) pour RE11 = 1× V

Les composantes correspondent au tenseur E∼ de déformations homogènes as-sociées aux forces de réaction {REij}. Ainsi, on obtient les composantes du ten-seur S

≈des souplesses (MPa−1) après post-traitement :

[Sij] =

2, 6.10−4 −9, 4.10−5 −3, 4.10−5 0 0 0−9, 4.10−5 2, 6.10−4 −3, 4.10−5 0 0 0−3, 4.10−5 −3, 4.10−5 1, 1.10−4 0 0 0

0 0 0 7, 3.10−4 0 00 0 0 0 6, 9.10−4 00 0 0 0 0 6, 9.10−4

Le tenseur C

≈des modules d’élasticité s’obtient par inversion du tenseur S

≈

des souplesses à l’aide d’un logiciel de type MATLAB ou bien du script Pythonci-dessous :

import osimport sysimport numpy as npfrom numpy import *from math import *

23

def main() :S11=2.606045e-04S12=-9.382177e-05S13=-3.368445e-05S14=0.S15=0.S16=0.S22=2.606050e-04S23=-3.368445e-05S24=0.S25=0.S26=0.S33=1.122815e-04S34=0.S35=0.S36=0.S44=7.325127e-04S45=0.S46=0.S55=6.928450e-04S56=0.S66=6.928441e-04T=np.array([[S11,S12,S13,S14,S15,S16],[S12,S22,S23,S24,S25,S26],[S13,S23,S33,S34,S35,S36],[S14,S24,S34,S44,S45,S46],[S15,S25,S35,S45,S55,S56],[S16,S26,S36,S46,S56,S66]])C=linalg.inv(T)print C

main()

Ainsi, on obtient les valeurs suivantes, qui sont exactement les mêmes quepour l’approche contrôlée en déformation :

[Cij] =

4822 2001 2047 0 0 02001 4822 2047 0 0 02047 2047 10134 0 0 0

0 0 0 1365 0 00 0 0 0 1443 00 0 0 0 0 1443

La méthode de l’élément périodique sollicité en contrainte moyenne imposée

fournit des résultats identiques à la méthode de l’élément périodique en défor-mation ainsi que la méthode MPC_periodic. Cette façon de faire est un peu plusfastidieuse à mettre en place, mais elle nous permet d’utiliser l’homogénéisationnumérique périodique dans le cas de comportements mécaniques non-linéaires.

24

5 Étude de cas n◦2 : grille tridimensionnelleConsidérons maintenant le cas d’un matériau de type "grille" ou encore com-

posite solide/air. Les deux phases sont considérées isotropes. La fraction volu-mique de phase solide, la grille, est de 36% : cellule de côté 10 et épaisseur deparoi 1.

GrilleModule d’Young (GPa) 210Coefficient de Poisson 0,3

Constantes élastiques de la grille

Maillage dupliqué de la grille

La géométrie présente une symétrie quadratique. La matrice des modulesd’élasticité CIJ doit donc avoir la forme suivante :

C11 C12 C13 0 0 0C12 C11 C13 0 0 0C13 C13 C33 0 0 00 0 0 C44 0 00 0 0 0 C44 00 0 0 0 0 C66

(48)

25

Maillage de la cellule périodique de la grille (rouge)

Nous allons à nouveau utiliser les 3 méthodes présentées précédemment poureffectuer les calculs, mais nous mettrons en évidence des différences pour l’ap-proche en contrainte moyenne imposée.

26

5.1 Méthode MPC_periodicOn reprend la méthode MPC_periodic présentée précédemment. La mise en

données s’effectue de la même façon que pour le cas n◦1.Les résultats peuvent être visualisés via l’interface graphique de Zébulon :


Le post-traitement à effectuer pour trouver les composantes du tenseur des mo-dules d’élasticité C

≈consiste à nouveau en celui présenté pour l’étude de cas n◦1,

c’est-à-dire effectuer la moyenne volumique des contraintes. Cependant, une dif-férence importante est à noter : les moyennes volumiques doivent être multipliéespar la fraction volumique de la phase solide. On obtient les valeurs suivantes :

[Cij] =

48096 4917 15904 0 0 04917 48096 15904 0 0 015904 15904 85142 0 0 0

0 0 0 1142 0 00 0 0 0 17125 00 0 0 0 0 17125

Cette matrice correspond bien à ce qu’on attendait pour une géométrie quadra-tique. Cependant, un problème subsiste, si l’on veut vérifier les sollicitations im-posées, la déformation homogène dans notre cas, les moyennes volumiques nefournissent pas la bonne valeur. En effet, la déformation du vide n’est pas prise en

27

compte. Pour vérifier les déformations de la cellule périodique, il est nécessaired’utiliser l’élément périodique ou bien de mesurer des déplacements nodaux (cf.Section 5.3.2).

5.2 Méthode de l’élément périodique sollicité en déformationmoyenne imposée

La fonction **nset_for_cell nous permet de définir automatiquement lesconditions de périodicité de la celllule et les nsets correspondant à ces conditions.L’implémentation s’effectue de la même façon que dans le cas n◦1, on impose iciencore une déformation de 1.0 dans la direction 1 de la structure.


Le post-traitement, correspondant aux moyennes volumiques des contraintes,nous permet d’obtenir les composantes homogénéisées de C

≈:

[Cij] =

48096 4917 15904 0 0 04917 48096 15904 0 0 015904 15904 85142 0 0 0

0 0 0 1142 0 00 0 0 0 17125 00 0 0 0 0 17125

28

Cette méthode est très rapide à mettre en œuvre et fournit toujours des résultatssimilaires à ceux obtenus par la méthode MPC_periodic. En l’état, elle ne per-met cependant pas de vérifier la déformation de la cellule périodique. Examinonscomment procéder à l’aide de la méthode de l’élément périodique sollicité encontrainte moyenne imposée.

5.3 Méthode de l’élément périodique sollicité en contraintemoyenne imposée

La marche à suivre est différente de celle décrite pour le cas n◦1. En effet, ilest nécessaire de prendre en compte la déformation du vide lors du calcul de ladéformation moyenne. Ainsi, il existe 3 solutions :

– Mailler le vide, même grossièrement, ainsi les moyennes volumiques desdéformations ou des contraintes peuvent être calculées. Il peut cependantêtre coûteux de mailler le vide dans le cas de microstructures complexes.Dans tous les cas, un maillage plus important allongera le calcul.

– Mesurer les déplacements locaux de certains nœuds du maillage permettantde remonter au tenseur des déformations moyennes de la cellule périodiquehomogénéisée.

– Calculer les degrés de libertés des éléments plutôt que ceux des nœuds, cetteméthode se limite cependant au cas linéaire et ne permet pas de vérifier lessollicitations de la cellule périodique.

5.3.1 Maillage du vide

Considérons un nouveau maillage, incluant le vide :

29

Maillage de la grille (rouge) et du vide (bleu)

À nouveau, nous devons imposer la valeur de contrainte macroscopique vou-lue multipliée par le volume de la cellule, or

Σ∼ =1

V

∫V

σ∼dV (49)

Les contraintes dans le vide étant nulles, on obtient

Σ∼ =1

V

∫Vgrid

σ∼dV (50)

=VgridV

1

Vgrid

∫Vgrid

σ∼dV (51)

=VgridV

〈σ∼ 〉grid (52)

avec Vgrid, volume de la grille dans la cellule périodique de volume V . Dans cetexemple, pour une cellule de dimensions 10× 10× 0.2 et un volume de grille parcellule de 7.2, la valeur à imposer pour Vgrid〈σ∼ 〉grid = V Σ est donc 10 × 10 ×0.2 × 7.2 ÷ 20 = 7.2, ce qui correspond à 1 × Vgrid. Par ailleurs, on choisit lesconstantes suivantes pour le vide : E = 0.1 MPa, ν = 0.3

30

Déformée et contraintes équivalentes de von Mises (MPa) pourRE11 = 1× Vgrid

Ainsi, on obtient les composantes du tenseur S≈

des souplesses (MPa−1) aprèspost-traitement et division des moyennes par la fraction volumique de phase so-lide :

[Sij] =

2, 2.10−5 −9, 6.10−7 −4, 0.10−6 0 0 0−9, 6.10−7 2, 2.10−5 −4, 0.10−6 0 0 0−4, 0.10−6 −4, 0.10−6 1, 3.10−5 0 0 0

0 0 0 8, 8.10−4 0 00 0 0 0 5, 8.10−5 00 0 0 0 0 5, 8.10−5

En inversant S

≈, on obtient les composantes du tenseur C

≈des modules d’élasticité

(MPa) :

[Cij] =

48096 4917 15904 0 0 04917 48096 15904 0 0 015904 15904 85142 0 0 0

0 0 0 1142 0 00 0 0 0 17125 00 0 0 0 0 17125

31

La rigidité du vide est ici prise en compte, générant des valeurs légérement supé-rieures (+0, 02%) que dans les exemples précédents pour les modules effectifs.

5.3.2 Calcul de la déformation moyenne

Nous allons maintenant expliciter la marche à suivre lorsque l’on souhaitecalculer la déformation moyenne de la cellule sans mailler le vide. On cherche àmesurer les composantes du tenseur S

≈des souplesses du matériau homogénéisé.

Pour cela, on choisit 3 couples de nœuds définissant les vecteurs x i colinéairesaux vecteurs de périodicité de la cellule. Dans le cas trivial d’un parallélépipèderectangle orienté selon un repère (x, y, z), on a {x a ‖ ~x ; x b ‖ ~y ; x c ‖ ~z}.Puisque l’on souhaite imposer une déformation de 1, il peut être pratique d’utiliserles vecteurs x i comme base, en choisissant les nœuds aux sommets de la celluleafin que les dimensions de la cellule périodique soient les normes des vecteurs.Ainsi, en connaissant les positions initiales des nœuds considérés, et en mesurantleurs déplacements locaux, on peut retrouver les déformations macroscopiques àl’aide de l’équation suivante :

u i = E∼ .∆xi (53)

avec ∆x i = x i − x i+1 = [∆xi1; ∆xi2; ∆xi3]

Cette équation peut être développée et réécrite de la sorte :

ua1ua2ua3ub1ub2ub3uc1uc2uc3

=

∆xa1 0 0 ∆xa2 0 0 ∆x

a3 0 0

0 ∆xa2 0 0 ∆xa3 0 0 ∆x

a1 0

0 0 ∆xa3 0 0 ∆xa1 0 0 ∆x

a2

∆xb1 0 0 ∆xb2 0 0 ∆x

b3 0 0

0 ∆xb2 0 0 ∆xb3 0 0 ∆x

b1 0

0 0 ∆xb3 0 0 ∆xb1 0 0 ∆x

b2

∆xc1 0 0 ∆xc2 0 0 ∆x

c3 0 0

0 ∆xc2 0 0 ∆xc3 0 0 ∆x

c1 0

0 0 ∆xc3 0 0 ∆xc1 0 0 ∆x

c2

E11E22E33E12E23E31E13E21E32

(54)

Prenons l’exemple de la cellule périodique parallélépipédique suivante :

32

Cellule périodique parallélépipédique

On considère un coin O de la cellule périodique et 3 nœuds homologues (A, Bet C). On peut ainsi définir les 3 vecteurs OA , OB et OC de la façon suivante :

OA = x A − x O = X A + u A −X O − u O

= (X A −X O) + (u A − u O) (55)= (X A −X O) + E∼ .(X

A −X O)De même,

OB = x B − x O = (X B −X O) + E∼ .(XB −X O) (56)

OC = x C − x O = (X C −X O) + E∼ .(XC −X O) (57)

(58)

On obtient donc un système de 9 équations à 9 inconnues :

u A − u O = E∼ .(XA −X O) (59)

u B − u O = E∼ .(XB −X O) (60)

u C − u O = E∼ .(XC −X O) (61)

Ainsi, on peut obtenir le tenseur des déformations moyennes E∼ de la cellulepar la simple mesure du déplacement de certains nœuds du maillage, il faut cepen-dant procéder à un post-traitement local pour récupérer les déplacements nodaux,par exemple de cette façon :

****post_processing

***precision 6

***local_post_processing

**output_number 1

**file node

**nset vertices

**process format

*file nodes_displacement

*list_var U1 U2 U3

****return

33

Les déplacements U1, U2 et U3 des nœuds inclus dans le nset vertices sontconsignés dans le fichier nodes_displacement.

Ainsi, pour notre étude de cas, on obtient les composantes du tenseur S≈

des

souplesses (MPa−1) après post-traitement :

[Sij] =

2, 2.10−5 −9, 6.10−7 −4, 0.10−6 0 0 0−9, 6.10−7 2, 2.10−5 −4, 0.10−6 0 0 0−4, 0.10−6 −4, 0.10−6 1, 3.10−5 0 0 0

0 0 0 8, 8.10−4 0 00 0 0 0 5, 8.10−5 00 0 0 0 0 5, 8.10−5

Ainsi, en inversant S

≈, on obtient les composantes du tenseur C

≈des modules

d’élasticité (MPa) :

[Cij] =

48096 4917 15904 0 0 04917 48096 15904 0 0 015904 15904 85142 0 0 0

0 0 0 1142 0 00 0 0 0 17125 00 0 0 0 0 17125

Ces valeurs sont identiques aux valeurs trouvées par les méthodes

MPC_periodic et de l’élément périodique sollicité en déformation moyenne im-posée.

La méthode de l’élément périodique sollicité en contrainte moyenne imposéenous permet donc d’appliquer des contraintes homogènes au milieu, fournissantainsi un outil pertinent pour l’homogénéisation numérique en mécanique non-linéaire, même dans le cas de microstructures périodiques présentant une phasede vide.

5.3.3 Utiliser les degrés de liberté supplémentaires de l’élément périodique

Avec cette troisième et dernière méthode, il ne s’agit plus de calculer desmoyennes volumiques des déformations locales 〈ε∼〉 mais d’utiliser la dualité quiexiste entre les déformations macroscopiques Eij et leurs réactions associéesREij . Ainsi, si on récupère les valeurs de Eij après calcul, celles-ci correspondent

34

aux valeurs effectives de déformation de la cellule périodique. Ces valeurs ne sontpas gardées en mémoire par défaut, il faut donc le préciser à l’aide des lignessuivantes dans le .inp :

****calcul...

***ouput

**test

*elset_var ALL_ELEMENT E11 E22 E33 E12 E23 E31 RE11 RE22 RE33RE12 RE23 RE31...

****return

Les valeurs sont ainsi écrites dans un fichier .test lors du calcul. Ainsi on re-monter au tenseur S

≈des souplesses dont les valeurs sont les mêmes qu’avec les

approches précédentes :

[Sij] =

2, 2.10−5 −9, 6.10−7 −4, 0.10−6 0 0 0−9, 6.10−7 2, 2.10−5 −4, 0.10−6 0 0 0−4, 0.10−6 −4, 0.10−6 1, 3.10−5 0 0 0

0 0 0 8, 8.10−4 0 00 0 0 0 5, 8.10−5 00 0 0 0 0 5, 8.10−5

Cette méthode est plus simple à implémenter que la méthode de mesure des

déplacements nodaux, cependant elle ne permet pas une vérification des sollicita-tions de la cellule périodique.

35

6 Extension à d’autres physiques

6.1 Propriétés thermiquesOn peut adopter une approche similaire pour traiter des problèmes de ther-

mique. Les conditions aux limites du volume V considéré ont ici aussi leur utilité.La conductivité thermique est modélisée par la loi de Fourier :

q = −K∼ .∇ T (62)

avec q vecteur de flux de chaleur, K∼ tenseur de conductivité thermique (ordre2) et ∇ T gradient de la température. Par ailleurs, on peut définir Ω∼ , tenseur derésistivité thermique d’ordre 2, défini symétrique, tel que :

Ω∼ = K∼−1 (63)

On considère à nouveau un volume V et trois types de conditions aux limites :

Gradient de température homogène au contour Uniform Gradient ofTemperature at the boundary ou UGT en anglais.

T = G .x ∀x ∈ ∂V (64)

avec G gradient de température macroscopique, indépendant de x . Ainsi,

〈∇ T 〉 = 1V

∫V

∇ TdV = G (65)

le vecteur de flux de chaleur macroscopique est alors défini par la moyenne spa-tiale suivante :

Q =̂ 〈q 〉 = 1V

∫V

q dV (66)

Flux de chaleur homogène au contour Uniform Heat Flux at the boundaryou UHF en anglais.

q .n = Q .x ∀x ∈ ∂V (67)avec Q vecteur de flux de chaleur macroscopique, indépendant de x . Ainsi,

〈q 〉 = 1V

∫V

q dV = Q (68)

le gradient de température macroscopique est alors défini par la moyenne spatialesuivante :

G =̂ 〈∇ T 〉 = 1V

∫V

∇ TdV (69)

36

Conditions périodiques Periodic Thermal Boundary Conditions ou PTBCen anglais. En considérant le volume V comme périodique, on peut imposer latempérature T à tout point matériel x appartenant à la limite ∂V telle que :

T = G .x + θ ∀x ∈ V (70)

avec θ fluctuation périodique de température.

6.2 Propriétés électriques

6.3 Propriétés magnétiques

6.4 Propriétés acoustiques

37

Références[Forest et al., 2010] Forest S. et al. (2010). Mécanique des Milieux Continus.

[Hill, 1967] Hill R. (1967). The essential of constitutive laws for metal compo-sites and polycristals. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, vol. 15,pp 79–95.

38

IntroductionRappels de mécanique des milieux continusThéorème de la divergencePrincipe des puissances virtuellesLoi de comportement

Homogénéisation numérique des microstructures périodiquesHomogénéisation en élasticité linéaireConditions périodiquesLemme de Hill--Mandel

Étude de cas nto 0.3em1 : matériau composite à matrice renforcéeMéthode MPC_periodicMéthode de l'élément périodique sollicité en déformation moyenne imposéeMéthode de l'élément périodique sollicité en contrainte moyenne imposée

Étude de cas nto 0.3em2 : grille tridimensionnelleMéthode MPC_periodicMéthode de l'élément périodique sollicité en déformation moyenne imposéeMéthode de l'élément périodique sollicité en contrainte moyenne imposéeMaillage du videCalcul de la déformation moyenneUtiliser les degrés de liberté supplémentaires de l'élément périodique

Extension à d'autres physiquesPropriétés thermiquesPropriétés électriquesPropriétés magnétiquesPropriétés acoustiques

Documents

Simulation et homogénéisation de microstructures périodiquespimm.artsetmetiers.fr/sites/pimm/files/docs-pages-perso/2019-10/N… · 2 Rappels de mécanique des milieux continus