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Simulation Matlab/Simulink© d’une machine àinduction triphasée
Constitution d’un référentiel
Capocchi LaurentLaboratoire UMR CNRS 6134
Université de Corse23 Octobre 2007
1
Table des matières
1 Introduction 3
2 Modélisation 3
2.1 Modèle mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Modèle Matlab/Simulink© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Simulation Simulink© 5
3.0.1 Les systèmes triphasés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 6
3.1 1er cas : mode transformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 6
3.2 2iemecas : mode moteur et frein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 8
3.3 3iemecas : couplage mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 9
4 Conclusion 11
Références 12
2
1 Introduction
Ce papier est consacré à la simulation numérique du modèleSimulink©d’une machine à induction triphasée MADA(Machine Asynchrone Doublement Alimentée). Ce modèle est obtenu par une mise en équation des courants statoriqueset rotoriques du modèle orienté circuit proposé dans [1]. Ilconsiste en un système complet desix équations différen-tielles linéaires du1er ordre à six inconnues. Les solutions numériques de ce système sont obtenues grâceau logicielMatlab/Simulink© v.6.5en utilisant la méthode de trapézoïdale ode2 (heun) à pas fixe(10µs) .
Le but principal de ces simulations est d’acquérir des résultats graphiques de référence du fonctionnement électriquedela machine à induction triphasée 5.5 KW dans différentes configurations. L’utilisation du logicielSimulink©nous permetd’obtenir des jeux de tests comportementaux du système d’étude.
2 Modélisation
Cette section décrit le modèle mathématique etSimulink©d’une machine à induction triphasée. Pour plus de détaille lelecteur peut se rapporter à [1].
2.1 Modèle mathématique
Le modèle orienté circuit simplifié d’une machine à induction triphasée est donné sur la figure 1. Ce modèle peut êtreséparé en trois parties distinctes : Le stator, le rotor et lecouplage magnétique entre ces deux entités.
FIGURE 1: Modèle orienté circuit
Le stator est alimenté par un système triphasé équilibré composé des tensions sinusoïdalesvas(t), vbs(t) et vcs(t). Chaquephase est caractérisée par une résistancers et une inductanceLs. Les interactions magnétiques entre chaque phase dustator sont fonction d’une inductance mutuelleLms et des courants statoriques voisins.
De même, le rotor est alimenté par un système triphasé équilibré composé des tensions sinusoïdalesvar(t), vbr(t) etvcr(t).Chaque phase est caractérisée par une résistancerr et une inductanceLr . Les interactions magnétiques entre chaque phasedu rotor sont fonction d’une inductance mutuelleLmr et des courants rotoriques voisins.
Les effets du rotor sur le stator(resp. du stator sur le rotor)sont fonction d’une inductance mutuelleLsr (resp. Lrs), descourants rotoriquesiar(t), ibr(t) et icr(t) (resp. ias(t), ibs(t) et ics(t)) et de la position électrique du rotorθr(t).
La vitesse mécaniqueΩ(t) est la solution d’un système de deux équations différentielles du 1er ordre avec pour coefficient,la force de frottementf et l’inertieJ. Cette équation n’est pas homogène car elle est égale à la différence entre le coupleélectromagnétiqueTe et le couple mécaniqueTl .
Les entités observées en sortie du système sont les courants(statoriques et rotoriques)ainsi que le couple électromagné-tique de la machineTe(t). Pour plus de détails sur la modélisation mathématique du système, le lecteur peut se rapporterau rapport précédent intitulé“Simulation Maple d’une machine asynchrone triphasé”.Le modèle complet est donné parle système d’équations 1 :
3
vas(t) = rs.ias+Lsddt ias− Lms
2
[
ddt ibs+
ddt ics
]
+Lsrddt
[
iar.cos(θr(t))+ ibr.cos(θr(t)+ 2π3 )+ icr.cos(θr(t)− 2π
3 )]
vbs(t) = rs.ibs+Lsddt ibs− Lms
2
[
ddt ias+
ddt ics
]
+Lsrddt
[
iar.cos(θr(t)− 2π3 )+ ibr.cos(θr(t))+ icr.cos(θr(t)+ 2π
3 )]
vcs(t) = rs.ics+Lsddt ics− Lms
2
[
ddt ias+
ddt ibs
]
+Lsrddt
[
iar.cos(θr(t)+ 2π3 )+ ibr.cos(θr(t)− 2π
3 )+ icr.cos(θr(t))]
var(t) = rr .iar +Lrddt iar − Lmr
2
[
ddt ibr +
ddt icr
]
+Lrsddt
[
ias.cos(θr(t))+ ibs.cos(θr(t)− 2π3 )+ ics.cos(θr(t)+ 2π
3 )]
vbr(t) = rr .ibr +Lrddt ibr − Lmr
2
[
ddt iar +
ddt icr
]
+Lrsddt
[
ias.cos(θr(t)+ 2π3 )+ ibs.cos(θr(t))+ ics.cos(θr(t)− 2π
3 )]
vcr(t) = rr .icr +Lrddt icr − Lmr
2
[
ddt iar +
ddt ibr
]
+Lrsddt
[
ias.cos(θr(t)− 2π3 )+ ibs.cos(θr(t)+ 2π
3 )+ ics.cos(θr(t))]
Te(t)−Tl = J. ddt Ω(t)+ f .Ω(t)
Ω(t) = ddt θr(t)
(1)
Nous allons à présent donner le schéma bloc Simulink permettant la modélisation et la simulation du système d’équations1.
2.2 Modèle Matlab/Simulink©
Le modèle en schéma bloc du système d’équations 1 est donné sur la figure 2. On peut distinguer 3 parties principales quicorrespondent à la partie stator (mutuelle inductance à gauche du schéma), la partie rotor (mutuelle inductance à droitedu schéma) et la partie force électromotrice dans le sous système 3 (bloc rectangulaire en bas du schéma). Le contenu dusous système 3 est montré sur la figure 3. Les signaux observéssont les courants statoriques et rotoriques (resp.Isa,b,c etIra,b,c) ainsi que le couple électromoteurTe, la vitesse mécaniqueΩ(t) et les forces électromotrices coté stator et rotor(resp.f ems et f emr ).
FIGURE 2: Schéma bloc Simulink© de la MADA .
Le schéma de la figure 3 montre le contenu du sous-système 3. Celui-ci est composé d’une partie dédier au calcul desforces électromotrice mais présente également une partie permettant de résoudre les équations mécaniques.
4
FIGURE 3: Schéma bloc Simulink© du sous-système 3 .
Le système modélisé par Simulink est accompagné d’un fichierMatlab résumant les propriétés de la machine MADA 5.5KW que l’on peut retrouver dans le tableau 1. Nous allons à présent simuler le système dans différentes configurations.
3 Simulation Simulink©
Cette section présente quelque mode de fonctionnement simple de la machine MADA 5.5 KW. Dans un premier tempsnous ne prenons pas en compte les aspects mécaniques et nous simulons les modes de fonctionnement suivants :– Transformateur (θr = 0rad/s),– Moteur (θr = 74rad/sà vide),– Génératrice (θr =−74rad/sà vide).Ensuite nous intégrons le bloc mécanique afin de simuler le système dans son fonctionnement réel.
Comme nous pouvons le voir sur la figure, nous utilisons la méthode de trapézoïdale ode2 (heun) à pas fixe (10µs). Lesvaleurs des paramètres du système 1 choisi pour les besoins de la simulation sont résumées dans le tableau 1 :
Tension composée efficace (Um) 380VFréquence (f ) 50Hz
Pôles (p) 4Coefficient d’inertie(J) 0.1kg.m²
Coefficient d’atténuation( f ) 0.001Nm.s/radCouple de charge nominale(Tln) 73Nm
Résistance au stator (rs) 0.528ΩRésistance au rotor (rr ) 0.282ΩInductance au stator (Ls) 0.04732HInductance au rotor (Lr ) 0.01452H
Inductance magnétique au stator (Lms) 0.01732HInductance magnétique au stator (Lmr) 0.005852H
Inductance mutuelle (Lsr = Lrs) 0.02259H
TABLE 1: Valeurs des paramètres pour la machine 5.5 KW.
5
3.0.1 Les systèmes triphasés
Un système de tension simple et direct est donnée par :
vi(t) =Vmsin(2π f t − (i −1)2π3) i = 1,2ou3
Les tensions composées constituent un système triphasé équilibré en avance deπ6 sur le système de tensions simples estd’amplitude
√3 fois plus grande.
3.1 1er cas : mode transformateur
Le premiers cas considéré est le mode de fonctionnement en mode transformateur avec une vitesse rotoriqueΩ nulle.Dans ce cas les tensions en entrées du rotor sont court-circuitées et les tensions en entrée du stator constituent le systèmesuivant :
var(t) = 0vbr(t) = 0vcr(t) = 0vas(t) =Vmsin(2π f t)vbs(t) =Vmsin(2π f t − 2π
3 )vcs(t) =Vmsin(2π f t − 4π
3 )
avecVm =Um.
√2√
3,Umétant la tension simple non efficace. (2)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
−300
−200
−100
0
100
200
300
t(s)
V
FIGURE 4: Tensions d’entrées statoriques.
La vitesse rotoriqueΩ est égale à zéro et par conséquent, la position électrique durotorθr est aussi égale à 0.
Considérons à présent le système 1 en prenant en compte les termes mutuelles :
Um.√
2√3
sin(2π f t) = rs.ias+Lsddt ias− Lms
2
[
ddt ibs+
ddt ics
]
+Lsrddt
[
iar + ibr cos(2π3 )+ icr cos(− 2π
3 )]
Um.√
2√3
sin(2π f t − 2π3 ) = rs.ibs+Ls
ddt ibs− Lms
2
[
ddt ias+
ddt ics
]
+Lsrddt
[
iar cos(− 2π3 )+ ibr + icr cos(2π
3 )]
Um.√
2√3
sin(2π f t − 4π3 ) = rs.ics+Ls
ddt ics− Lms
2
[
ddt ias+
ddt ibs
]
+Lsrddt
[
iar cos(2π3 )+ ibr cos(− 2π
3 )+ icr]
0 = rr .iar +Lrddt iar − Lmr
2
[
ddt ibr +
ddt icr
]
+Lrsddt
[
ias+ ibscos(− 2π3 )+ icscos(2π
3 )]
0 = rr .ibr +Lrddt ibr − Lmr
2
[
ddt iar +
ddt icr
]
+Lrsddt
[
iascos(2π3 )+ ibs+ icscos(− 2π
3 )]
0 = rr .icr +Lrddt icr − Lmr
2
[
ddt iar +
ddt ibr
]
+Lrsddt
[
iascos(− 2π3 )+ ibscos(2π
3 )+ ics]
6
Les résultats de la simulation Simulink sont donnés sur la figure 5.
(a) courants statoriques. (b) courants rotoriques.
(c) Zoom des courants statoriques. (d) Zoom des courants rotoriques.
(e) FEM au stator. (f) Zoom sur la FEM au stator.
FIGURE 5: Résultats numériques avec effets mutuelles et avecΩ = 0 rad/s etvar = vbr = vcr = 0V .
Interprétation : LorsqueΩ = 0 rad/s, cela correspond au blocage du rotor pendant le fonctionnement de la machine(fonctionnement en mode transformateur). Coté rotor, les courants induits par la variation du champsmagnétique sta-
7
torique présentent une amplitude importante mais gardent la même période que les sources de tensionT = 0.02s. En effet,comme le rotor reste statique il ne peux pas dissiper ces courants induits afin de produire le couple nécessaire pour lemettre en mouvement afin de contre-balancer les effets magnetiques du stator. Coté stator, la période reste inchangée maisl’amplitude augmente du fait des effets rotoriques et statoriques. Le stator crée un appel de courant à l’entrée du systèmeafin de faire face aux effets magnétiques induits pas le rotorbloqué. Que ce soit du coté du rotor ou du stator, les effetstransitoires sont dus à l’établissement des conditions de fonctionnement et ils convergent rapidement(une période)pourlaisser la place au régime permanent équilibré.
3.2 2iemecas : mode moteur et frein
Le deuxième cas considéré est le mode de fonctionnement en moteur normal avec une vitesse mécanique rotoriqueΩimposée différente de zéro.
La vitesse rotoriqueΩ est égale à +/- 75.4 rad/s et en considérantθr(0) = 0 :
θr(t) =±p.75.4
4.t
Les résultats de la simulation Simulink© sont donnés sur les figures 6 et 7.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−150
−100
−50
0
50
100
150
t(s)
A
(a) courants statoriques.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−200
−150
−100
−50
0
50
100
150
200
t(s)
A
(b) courants rotoriques.
FIGURE 6: Résultats numériques avec effets mutuelles et avecΩ =+75.4 rad/s etvar = vbr = vcr = 0V.
Interprétation : Lorsque la vitesse de rotation imposée au rotor est +75.4 rad/s, cela correspond à la vitesse de rotation duchamp magnétique statorique(fonctionnement en mode moteur). Par conséquent, lorsque le régime permanent est atteintles effets magnétiques dans l’entrefer sont nuls. Coté rotor, pendant que le champs magnétique rotorique rejoint le champsmagnétique statorique, les courants rotoriques induits diminuent pour atteindre une valeur nulle. A ce moment précis,nous somme en régime permanent et les champs magnétiques rotoriques et statoriques ont les mêmes caractéristiques.Coté stator, les effets magnétiques du rotor sont nuls et lescourants statoriques sont équivalents au cas de la simulationsans les effets mutuelles avecΩ = 0 rad/s.
8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−200
−150
−100
−50
0
50
100
150
200
t(s)
A
(a) courants statoriques.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−300
−200
−100
0
100
200
300
t(s)
A
(b) courants rotoriques.
FIGURE 7: Résultats numériques avec effets mutuelles et avecΩ =−75.4 rad/s etvar = vbr = vcr = 0V.
Interprétation : Lorsque la vitesse de rotation imposée au rotor est -75.4 rad/s, cela correspond au double de la vitesse derotation du champ magnétique statorique(fonctionnement en mode frein). Par conséquent, lorsque le régime permanentest établit les effets magnétiques dans l’entrefer sont double. Coté stator, l’amplitude des signaux augmente mais il n’ypas consomation, comme dans le cas précédent, mais génération de courant en entrée. Cela peut se vérifier en comparentles phases des signaux statoriques(en avance)est des sources de tensions. Coté rotor, les amplitudes sontéquivalente àcelle que l’on pourrait trouver dans le cas de la figure 5 mais la période est double. En effet, la vitesse de rotation cotérotor est la moitié de celle du champs statorique.
3.3 3iemecas : couplage mécanique
Nous considérons à présent le système avec l’intégration des équations mécaniques. Nous allons simuler ce système avecpour consigne le couple de chargeTl :– Tl = 0Nm, aucune charge est connectée à la machine,– Tl = Tln = 75Nm, couple de charge nominale.Les variables observées sont la vitesse rotoriqueΩ(t) ainsi que les courants statoriques et rotoriques.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
(t)
rad/
s
(a) vitesse mécanique
FIGURE 8: Vitesse mécaniqueΩ(t) pourTl = 0
LorsqueTl = 0, cela correspond à l’absence de charge sur la machine. Lorsque la machine est alimentée, elle passe par unrégime transitoire durant lequel la vitesse rotorique augmente pour se stabiliser vers 156 rad/s (soit75.60
2.π = 744.8trs/min)comme on peux le voir sur la figure 8.
9
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−150
−100
−50
0
50
100
150
(t)
A
(a) courants statoriques.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−250
−200
−150
−100
−50
0
50
100
150
200
250
(t)
A
(b) courants rotoriques.
FIGURE 9: Courants statoriques et rotoriques à vide,Tl = 0.
Nous imposons à présent un couple de chargeTl = 75Nmégale au couple de charge nominal.
(a) vitesse mécanique
FIGURE 10: Vitesse mécaniqueΩ(t) pourTl = 75
L’évolution de la vitesse mécanique présentée sur la figure 10 montre que le vitesse en régime permanent et plus faibleque celle présentée dans le cas ou la machine est en régime libre (figure 8).
10
(a) courants statoriques. (b) courants rotoriques.
FIGURE 11: Courants statoriques et rotoriques avecTl = 75Nm
Les courants présentés sur la figure 11 montrent que si l’on impose un couple de chargeTl = 75Nmpositif cela impliqueun appel de courant au niveau du stator et de ce fait une augmentation de l’amplitude des courants rotoriques.
4 Conclusion
Le logiciel Matlab/Simulink© est un outils adapté à la simulation des systèmes de puissances. En effet, il possède unelibraire de composants permettant la modélisation des machines à induction de manière simple et efficace. De plus lestemps de simulation ne sont pas important (10 second pour simuler la machine en pleine charge pendant 1 seconde parexemple). Son utilisation nous permet de constituer l’ensemble des courbes qui nous servirons de référence lorsque nousallons simuler la machine avec le formalisme DEVS (DiscreteEVent System Specification).
11
Références
[1] A. Yazidi, H. Henao, G.A. Capolino, D. Casadei, and F. Filippetti. Double-fed three-phase induction machine abcmodel for simulation and control purposes. InProceedings of IEEE Industrial Electronics Conference (IECON’05),volume 4, pages 2560–2565, November 2005.
12
