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Simulations de systèmes quantiques fortement corrélés: propriétés magnétiques, supraconductrices et influence du désordre
Sylvain Capponi
Laboratoire de Physique Théorique - IRSAMCUniversité Paul Sabatier
Méthologie du groupe Fermions Fortement Corrélés
• Systèmes d’intérêt:
• Magnétisme quantique
• Oxydes supraconducteurs à haute température
• Gaz atomiques ultrafroids
• Techniques numériques:
• Diagonalisation Exacte
• Monte-Carlo quantique (systèmes bosoniques/fermioniques)
• Monte-Carlo variationnel
• Algorithme DMRG (Density Matrix Renormalization Group)
Méthologie du groupe Fermions Fortement Corrélés
• Systèmes d’intérêt:
• Magnétisme quantique
• Oxydes supraconducteurs à haute température
• Gaz atomiques ultrafroids
• Techniques numériques:
• Diagonalisation Exacte
• Monte-Carlo quantique (systèmes bosoniques/fermioniques)
• Monte-Carlo variationnel
• Algorithme DMRG (Density Matrix Renormalization Group)
• Magnétisme quantique
• Diagonalisation Exacte
Quelques exemples en physique des solidesJ.S
tat.Mech.
(2008)P
01010
Dynamical dimer correlations at bipartite and non-bipartite Rokhsar–Kivelson points
Figure 4. Cubic lattice. Left panel: low energy zoom ω ! [0, 0.3] ofDx(Q,ω) along the same path in the Brillouin zone as in figure 3. Right panel:supplementary low energy data for Dx(Q,ω) along the path (π,π, 0) " (π,π,π).The dashed white lines with the filled circles denotes the measured ωDx
fm (Q) forboth panels, and is in good agreement with the expected k2 dispersion close to(π,π,π). Note that the maximum intensity of Dx(Q,ω) rapidly deviates fromthe expected k2-law and becomes linear, revealing the remnant of the linearlydispersing ‘photon’ mode of the U(1)-liquid Coulomb phase.
point respectively. The equal time structure factor is smooth on the triangular lattice,due to the short ranged nature of the dimer correlations in real space.
Looking more closely at the low energy part of the spectral functions in figure 6 onerecognizes that the intensity carrying modes at the onset of the dimer spectrum are muchless dispersive than the SMA prediction suggests. Furthermore the broadening can varythrough the Brillouin zone. For instance, the spectrum is very broad at the X point, whileit is much sharper close to the M point, see figure 7. These observations strongly suggestthat the dimer waves excited by the operator (2) are not the true ‘elementary’ excitationsof this dimer model.
Indeed the elementary excitations are known to consist of so-called visons whichare non-local in terms of dimers and for which the dispersion has been computed [4].Real dimer excitations can be understood as excitations of two or more visons. Here,the lowest energy dimer excitation (at the M point) is formed by a bound state of twovisons [4]. On the basis of the single-vison dispersion relation [4], we have plotted infigure 6 the bottom of the two-vison continuum. By comparing to the spectral weightof the dimer correlations, we observe that: (a) close to K and ! points, the spectralweight nicely follows the two-vison continuum; (b) the lowest energy state at M isslightly below the two-vison gap, which is consistent with the interpretation as a two-vison bound state; (c) at the X point, the spectral weight is very broad, we cannotreveal any well formed excitation so that a dimer excitation probably disintegrates
doi:10.1088/1742-5468/2008/01/P01010 11
!
M
modèles de dimères quantiques
réseaux d’atomes avec interaction
-4 -2 0 2 4 6 -2 0 2 4 6
!/t !/|t|
A(k
,!)
[a.u
.]
t>0 t<0" "
##
x 0.5 x 0.5
kagome
problème à N corps
Complexité exponentielle
• Exemple du modèle d’Ising: 2 états par site
• Modèle de Heisenberg: version quantique
E. Ising (1900-1998)
H =!
!ij"
Szi Sz
j 2N configurations
Modèle classique du magnétisme, simulable par Monte-Carlo (échantillonage)
W. Heisenberg (1901-1976)
même espace des états, mais dynamique quantique... Pas d’algorithme efficace en général...
H =!
!ij"
Si · Sj =!
!ij"
"Szi S
zj +
1
2(S+
i S#j + S#
i S+j )
#
Ingrédients
• Espace des configurations (espace de Hilbert)
1) Représentation binaire des états, techniques efficaces de lookup2) Utilisation des symétries
• Matrice de l’opérateur Hamiltonien
1) Représentation en matrice creuse (mémoire ou disque)2) Calcul on the fly
• Algèbre linéaire: résolution du problème aux valeurs propres
1) Diagonalisation complète avec LAPACK par exemple2) Algorithme itératif (Lanczos) nécessite seulement une multiplication matrice-vecteur
• Observables
1) Quantités statiques (corrélations de spin, charge...)2) Observables dynamiques (fonctions spectrales, densité d’états,...)
[H, Sz] = 0
Notre projet: diagonalisation de 40 sites avec symétries
• Aimantation fixe
• Nombre d’états maximal:
• Groupe de symétries: 40 translations et groupe ponctuel C4 facteur de réduction mais nécessite une implémentation des symétries...
C2040 = 137 846 528 820
nécessite ~1To
• Hamiltonien frustré: pas de Monte-Carlo possible (problème de signe)
• Véritable challenge !
Quelques informations sur le code
• Code personnel flexible de diagonalisation exacte en Fortran90
• Fait partie du groupe des benchs Calmip depuis plusieurs années
• Implémentation OpenMP
• First-touch policy
• Gros besoin en mémoire RAM
Mesure du temps par itération (code OpenMP)
1632 64 128 256
nb de coeurs (p)
0
50
100
150
200
250
300
tem
ps
cpu
(s)
Nup=28
Nup=27
Nup=26
Nup=25
Nup=24
Nup=23
Nup=20
1632 64 128 256
nb de coeurs (p)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
effi
caci
té
log(16)/log(p)
Mesure du temps par itération (code OpenMP)
1632 64 128 256
nb de coeurs (p)
0
50
100
150
200
250
300
tem
ps
cpu
(s)
Nup=28
Nup=27
Nup=26
Nup=25
Nup=24
Nup=23
Nup=20
1632 64 128 256
nb de coeurs (p)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
effi
caci
té
log(16)/log(p)
12 033 222 880 configurations ~ 100 Gb
comportement normal pour les simulationsdont la taille mémoire correspond à une blade
(16 cœurs et 128 Gb de RAM)
Mesure du temps par itération (code OpenMP)
1632 64 128 256
nb de coeurs (p)
0
50
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250
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tem
ps
cpu
(s)
Nup=28
Nup=27
Nup=26
Nup=25
Nup=24
Nup=23
Nup=20
1632 64 128 256
nb de coeurs (p)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
effi
caci
té
log(16)/log(p)
Scaling intéressant !et performances même pour les cas les plus
demandeurs (1.3 Tb de RAM)
1632 64 128 256
nb de coeurs (p)
0
50
100
150
200
250
300
tem
ps
cpu
(s)
Nup=28
Nup=27
Nup=26
Nup=25
Nup=24
Nup=23
Nup=20
1632 64 128 256
nb de coeurs (p)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
effi
caci
té
log(16)/log(p)
Mesure du temps par itération (code OpenMP)
pmin temps(pmin)
p temps(p)Efficacité =
Comportement de weak-scaling
Conclusions
• Implémentation des symétries pour des modèles de magnétisme quantique
• Simulation OpenMP efficace possible en optimisant les opérations matrice-vecteur (on the fly) et en veillant à la first-touch policy.
• Code latency-bound et weak-scaling
Perspectives:
• organisation en mémoire ?
• next-touch policy sur machine NUMA ?
• Implémentation MPI (problème non trivial à cause des symétries) etc. afin de pouvoir résoudre 50 sites
Solution: Vers un ordinateur quantique...
• Richard Feynman a dit: “Nature isn't classical, dammit, and if you want to make a simulation of nature, you'd better make it quantum mechanical, and by golly it's a wonderful problem, because it doesn't look so easy.”
• Premier “ordinateur quantique” (en fait quantum annealer, capable de résoudre un problème de verre de spin NP complet, i.e. aussi un problème de voyageur de commerces)
Solution: Vers un ordinateur quantique...
• Richard Feynman a dit: “Nature isn't classical, dammit, and if you want to make a simulation of nature, you'd better make it quantum mechanical, and by golly it's a wonderful problem, because it doesn't look so easy.”
• Premier “ordinateur quantique” (en fait quantum annealer, capable de résoudre un problème de verre de spin NP complet, i.e. aussi un problème de voyageur de commerces)
