Site TS-P 05 La Decroissance Radioactive

8/14/2019 Site TS-P 05 La Decroissance Radioactive

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T S LA DECROISSANCE RADIOACTIVE P 05

COMPLEMENTS DE MATHEMATIQUES :

pour n!!, log10n= n p qlog a b p log a q log b= + .

pour x!!, lne x

= x p qln a b p ln a q ln b= + a b a be e .e

+

= ;

pour x!!+

" , eln x= x .t .t .td(e ) e e

dt

! ! !" = = ! .

1. Loi de décroissance

1.1. Désintégration d’un noyau radioactif

Un noyau radioactif ne vieillit pas, sa transformation en un autre noyau se fait d’un seul coup sansmodification progressive au préalable.La désintégration est imprévisible : il est impossible de prévoir la date de désintégration d’un noyau donné.Le phénomène de désintégration est aléatoire : dans un ensemble de noyau, il est impossible de prévoir ceuxqui seront désintégrés à une date donnée.

L’aspect aléatoire de la désintégration permet d’utiliser les probabilités.On applique donc des méthodes statistiques pour prévoir avec précision certaines propriétés d’une collectiond’un très grand nombre de noyau (de l’ordre de NA).

1.2. Constante radioactive

On note :0

N le nombre de noyaux présents à t = 0,

N le nombre de noyaux présents à la date t.

Pendant une durée t! très brève, un certain nombre de noyaux radioactifs se sont désintégrés.Soit N N+! le nombre de noyaux radioactifs non désintégrés à la date t t+! (avec N 0! < car Ndiminue).La variation du nombre moyen de noyaux désintégrés pendant la durée t! est :

t t t N N (N N) N N+!

" = + ! " = ! .

Cette variation du nombre de noyaux désintégrés est négative et proportionnel :au nombre de noyaux N présents à l’instant tà la durée t! .

On traduit cela par la relation N N t! = " # ! soit1 N

N t

!" = #

!.

! est la constante radioactive, elle dépend de la nature du noyau radioactif, c’est la proportion de noyauxqui se désintègre par unité de temps.Une constante radioactive est l’inverse d’un temps, elle s’exprime en 1

s! .

Le nombre de noyaux désintégrés est égal à N! (il est positif).

1.3.Loi de décroissance radioactive

On a N N t! = " # ! que l’on peut également l’écrire : N

Nt

!= "#

!

Lorsque t! tend vers zéro,t 0

N dNlim N

t dt! "

!= = #$

!soit

dN N 0

dt+ ! = .

L’équation obtenue est une équation différentielle du 1er ordre, elle comporte une fonction et sa dérivée.La solution de cette équation (donnée par les mathématiques) est une fonction dont la dérivée et

proportionnelle à la fonction elle-même : elle est de type exponentielle.



La loi de décroissance radioactive s’écrit :t

0 N(t) N e!"= où0

N est le nombre de noyaux initialement présents dans l’échantillon.

N(t) le nombre de noyaux encore présents à la date t.

Remarque :Au niveau macroscopique, le nombre moyen N(t) d’un grand nombre de noyaux suit une loi biendéterminée, bien qu’au niveau microscopique la désintégration des noyaux soit un phénomène aléatoire.

2. Constante de temps et demi-vie

2.1. Constante de temps

La constante de temps caractéristique, notée ! d’un élément radioactif est l’inverse de la constanteradioactive. Elle s’exprime donc en s

1! =

"

DoncdN N

0dt

+ =

!

On peut aussi écrire la loi de décroissance radioactive sous la forme :t

0 N(t) N e!"

= .

Détermination graphique de la constante de temps :

À la date t 0= , 0 0 N NdN(0) dN(0)

0dt dt

+ = ! = "

# #

Donc la tangente à la courbe, à la date t 0= , a pour pente 0 N

!

"

et coupe l’axe des abscisses en t = ! .

De plus, à la date t = ! , 1

0 0 0 N( ) N e N e 0, 37 N!

""!

! = = = .

2.2.Demi-vie

La demi-vie1 2

t d’un échantillon de noyaux radioactifs est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux

initialement présents se sont désintégrés.La demi-vie est une constante caractéristique d’un élément radioactif.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

t (ms)

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

Nm, x(x)

!



1 2t

01 2 0

N N(t ) N e

2

!

"= = , si on prend le logarithme népérien de cette expression on obtient :

1 2t

1 200 0 0 1 2

t N ln 2ln ln N e ln(N ) ln 2 ln(N ) t ln 2

2

!"

# $ # $ = % ! = ! % = " =& ' & ' & ' " () * ) *

.

Les valeurs de la demi-vie sont très variées, de quelques nanosecondes pour les plus éphémères à plusieursmilliards d’années pour d’autres.

3. Activité d’un échantillon radioactif

3.1. Définition

L’activité A d’une source contenant N noyaux radioactifs à la date t est égale au nombre de noyaux qui sedésintègrent chaque seconde.

t 0

N dNA( t) lim

t dt! "

!= # = #

!.

L’activité se mesure en becquerel Bq, un becquerel correspond à une désintégration par seconde.C’est une unité très petite, aussi utilise-t-on souvent des multiples.

3.2. Évolution de l’activitét t

0 0

dN(t)A(t) N(t) N e A e

dt ! !

" "= ! = # = # = avec

0 0A N= ! activité initiale de l’échantillon.

L’évolution de l’activité suit une loi exponentielle et donc l’activité diminue de moitié au bout de t =1/ 2

t .

On peut également exprimer l’activité en fonction de la demi-vie :t t

0 0 0 0

1/ 2 1/ 2 1/ 2

ln 2 ln 2 ln 2A(t) N(t) N(t) N e A e A N

t t t ! !

" "= # = = = $ = .

Pour une masse donnée d’élément radioactif, l’activité est d’autant plus grande que la demi-vie est petite, ladécroissance et l’élimination du radioélément est alors plus rapide.

Exemple : comparaison de l’évolution de l’activité d’une même masse de 2 éléments de 1/ 2t différents.1g de radium 226,

1/ 2t = 1620 ans et 1g d’iode 131,

1/ 2t = 8,1 jours. (Rappel :

A N n N= )

0 A A

1/ 2 1/ 2

ln 2 ln 2 mA n N N

t t M = = . On trouve : pour le radium 103, 7 10 Bq! et pour l’iode 154, 6 10 Bq! .

Après 1 an, 1/ 2

t ln2

t

0A(t) A e

!

= car 1/ 2

1/ 2

tt ln 2

ln 2= ! " ! = .

On trouve : pour le radium 103, 7 10 Bq! et pour l’iode 21,3 10 Bq! .

3.3.Effets biologiques

Effets ionisants nocifs et utilisation médicale (radiodiagnostic et radiothérapie)

3.4. Dangers et protection

Exp avec le CRAB pour les radioactivité β – et γ . Cf. TP.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

t(ms)

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

Nm,x(x)

0 N

2

1 2t

1 22 t

0 N

4



4. Application à la datation

4.1. Principe

Pour les objets issus du monde vivant :Échange dynamique entre certains organismes vivants et leur milieu extérieur (ex : le carbone 14, le

potassium 40 …) maintenant constant le nombre de noyaux radioactifs dans l’organisme. À leur mort, leséchanges n’ont plus lieu et on observe une décroissance qui suit la loi exponentielle.Cf. livre page 102 et 103.

4.2. Choix du radioélément

Ce choix dépend de l’utilisation :En archéologie : carbone 14En géologie : on utilise souvent des isotopes à longue demi-vie comme l’uranium 238.

Exemple : Datation d’une roche par le plomb.Le plomb ordinaire d’origine non radioactive est un mélange des isotopes 204

82Pb , 206

82Pb , 207

82Pb et 208

82Pb .

Les différentes désintégrations radioactives des isotopes de l’uranium et du thorium produisent tous lesisotopes du plomb, sauf le 204

82Pb .

Si le plomb contient l’isotope 204, alors on ne peut pas dater la roche.Si le plomb présent dans une roche ne contient pas de 204

82Pb , cela indique que le plomb présent est le

résultat final de désintégrations radioactives. Il est alors possible de dater l’échantillon.

Si la roche contient encore des noyaux radioactifs d’uranium (ou de thorium de demi-vie plus courte), on

détermine le rapport N

r N

!= entre le nombre N de noyaux d’uranium et le nombre N' de noyaux de plomb à

un instant donné. Le bilan de toutes les désintégrations au sein de la famille de l’uranium entraîne quechaque atome de plomb formé provient d’un seul atome d’uranium. Donc le nombre initial de noyauxd’uranium était 0 N N N N r N (1 r) N!= + = + = + .

La loi de décroissance radioactive concernant l’uranium t

0 N(t) N e!"= soit

0

1 N(t)t ln N

= !"

.

Donc1 N 1 1 ln(1 r)

t ln ln(1 r)N (1 r)

+= ! = ! =

" + " + "et

1 2

1 2

ln 2 ln 2t

t= ! " =

"don 1/ 2

ln(1 r)t t

ln 2

+= .

Comme 238 9

1/ 2t ( U) 4, 5 10 ans= ! , si dans un échantillon de roche on mesure r = 0,8 alors on en déduit un

âge 9 9ln1,8t 4, 5 10 3,8 10 ans

ln 2= ! = ! .



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Tale S LA DECROISSANCE RADIOACTIVE P 05

Matériel :

Ordinateur + vidéo + powerpoint

Disquette ou CD-R avec la simulation de la désintégration radioactive par une série de lancer de dés.

CRAB avec ordinateur équipé de logicrab et d’un tableur (plutôt excel)

Générateur de radon pour la demi vie mais possible aussi pour le caractère aléatoire

http://www.colorado.edu/physics/2000/isotopes/radioactive_decay3.html

http://www.walter-fendt.de/ph14f/lawdecay_f.htm

http://www.cea.fr/fr/jeunes/Animation/LesFondamentaux.htm (l’animation 10-décroissance radioactive nefonctionne bien que dans IE, elle est toute petite dans FireFox ⇒ installer le module complémentaire IEtab,

puis dans « outils -> option de IE tab mettre l’URL du site)

Documents

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