Soit E f une application de E dans E Soit xunélémentde Eet ...back.maquisdoc.net/data/exos_nicolair/_fex_ee.pdf · Lycée Hoche MPSI B euilleF Espaces vectoriels euclidiens - Espaces

Lycée Hoche MPSI B Feuille Espaces vectoriels euclidiens - Espaces préhilbertiens réels

1. (Eee01) Soit E euclidien, f une application de E dans Etelle que (f(x)/f(y)) = (x/y) pour tout couple (x, y) devecteurs de E. Montrer que f est linéaire et bijective.

2. (Eee02) On prend arccos( (u/v)‖u‖ ‖v‖ ) comme dé�nition de

l'écart angulaire entre deux vecteurs dans un espace pré-hilbertien.Existe-t-il trois vecteurs unitaires d'un espace euclidiendont les écarts angulaires deux à deux dépassent tous2π3 ?On considère p vecteurs unitaires a1, · · · , ap, montrerqu'il existe un couple (i, j) tels que i 6= j et que l'écartangulaire entre ai et aj soit plus petit que

arccos(− 1p− 1

)3. (Eee03) Dans R4 euclidien avec le produit scalaire cano-

nique pour lequel la base canonique B est orthonormée),former la matrice dans B de la symétrie orthogonale parrapport au plan d'équations

x1 + x2 − x3 − x4 =0x1 + 3x2 + x3 − x4 =0

4. (Eee04) Soit A ∈Mn(R), montrer que rg(A) = rg(tAA).

5. (Eee05) Montrer que (./.) dé�ni par (A/B) = tr(tAB) estun produit scalaire surMn(R). Véri�er que

‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖

6. (Eee05) Dans R4 euclidien (la base canonique B est ortho-normée), on dé�nit v1 = (1, 2,−1, 1), v2 = (0, 3, 1,−1)et F = V ect(v1, v2). Déterminer une base orthogonaleet un système d'équations de F⊥.

7. (Eee07) Dans R4 euclidien (la base canonique B est ortho-normée), le sous espace vectoriel F est l'ensemble des(x1, x2, x3, x4) véri�ant les équations

x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 − x2 + x3 − x4 = 0

Déterminer la matrice dans B de la symétrie orthogonalepar rapport à F⊥.

8. (Eee08) Matrices de Gram

Soit x1, · · · , xp une famille de vecteurs d'un espace eu-clidien E et G(x1, · · · , xp) ∈ Mp(R) la matrice dont leterme i, j est (xi/xj).

a. Montrer que si la famille (x1, · · · , xp) est libre alorsla matrice G(x1, · · · , xp) est inversible.

b. Montrer que si la famille (x1, · · · , xp) est liée alorsla matrice G(x1, · · · , xp) n'est pas inversible.

c. Soit x1, · · · , xp libre, montrer qu'il existe des ma-trices inversibles P telles que

G(x1, · · · , xp) =tPP

En déduire que detG(x1, · · · , xp) > 0. Expliquerpourquoi on peut trouver une matrice P triangu-laire supérieure véri�ant la relation précédente.

Soit x un élément de E etm1, · · · ,mp+1 les mineursde G(x1, · · · , xp, x) associés aux indices

(p+ 1, 1), (p+ 1, 2), · · · , (p+ 1, p+ 1)

sur la dernière ligne.

d. Soit

y = (−1)p+2m1x1 + · · ·+ (−1)2p+1mpxp +mp+1x

montrer que y ∈ (Vect(x1, · · · , xp))⊥.e. Montrer que 1

mp+1y est la projection orthogonale

de x sur Vect(x1, · · · , xp)⊥.f. Montrer que

d(x,Vect(x1, · · · , xp)) =1

|mp+1|‖y‖

=

√det(G(x1, · · · , xp, x))det(G(x1, · · · , xp))

9. (Eee09) Les cinq polyèdres réguliers en dimension

trois.L'objectif de cet exercice n'est pas de construire ces po-lyèdres mais seulement de faire comprendre pourquoi iln'y en a que cinq.

Fig. 1 � tétraèdre

Fig. 2 � octaèdre

Fig. 3 � icosaèdre

Soit −→u ,−→v ,−→w trois vecteurs unitaires.On note α l'écart angulaire entre −→v et −→w , β l'écartangulaire entre −→w et −→u , γ l'écart angulaire entre −→uet −→v .On suppose (−→u /−→w ) et (−→v /−→w ) strictement positifs.Soit p la projection orthogonale sur le plan orthogonalà −→w et θ l'écart angulaire entre p(−→u ) et p(−→v ) (faire undessin).

Cette création est mise à disposition selon le ContratPaternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 Francedisponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai _fex_eepdf du 4 septembre 2017


Fig. 4 � dodécaèdre

Fig. 5 � cube

a. i. Exprimer ‖p(−→u )‖ et ‖p(−→v )‖ à l'aide de α et β.

ii. Trouver une formule reliant cos θ et cos γ etfaisant intervenir α et β.

iii. Montrer que α = β entraîne cos θ < cos γ puisθ > γ.

b. Calculer l'angle entre deux côtés d'un polygoneplan régulier à p côtés.

c. On note p le nombre de sommets par face d'unpolyèdre régulier et q le nombre de faces autourd'un sommet. Le couple (p, q) est appelé le symbole

de Schla�i du polyèdre. On se propose de montrerque seuls 5 couples (p, q) sont possibles. En utilisantune projection bien choisie, montrer que

q(1− 2p

)π < 2π

En déduire(p− 2)(q − 2) < 4

Former les 5 couples possibles et les associer aux�gures proposées.

10. (Eee10) En utilisant un logiciel de calcul formel, calculer

inf{∫ 1

0

x2 (ex − ax− b)2dx, (a, b) ∈ R2

}inf{∫ 1

0

(x2 − ax− b)2 dx, (a, b) ∈ R2

}inf{∫ 1

0

x2 (lnx− ax− b)2dx, (a, b) ∈ R2

}11. (Eee11) Soit E un espace euclidien de dimension 4 muni

d'une base orthonormée B = (e1, e2, e3, e4). Un sous-espace V est dé�ni par : un vecteur de coordonnées(x, y, z, t) dans B appartient à V si et seulement si{

x+ y + z + t = 0x+ 2y + 3z + 4t = 0

Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale parrapport à V .

12. (Eee12) Soit E un espace euclidien de dimension 4muni d'une base orthonormée B = (e1, e2, e3, e4). Dé-terminer la projection orthogonale sur Vect(u, v) de(x1, x2, x3, x4) avec :

u = e1 + e2 + e3 + e4 v = 2e1 + 3e4

13. (Eee13) Soit E un espace euclidien de dimension 4 munid'une base orthonormée B = (e1, e2, e3, e4). Former lamatrice dans B de la symétrie orthogonale par rap-port au plan engendré par les vecteurs de coordonnées(2, 2,−1, 1) et (2, 5, 0, 1) dans B.

14. (Eee14) Soit E un espace euclidien et x, y deux élémentsde E. En considérant∥∥‖y‖2x− (x/y)y

∥∥2

montrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec son casd'égalité.

15. (Eee15)

a. Soit E un R-espace vectoriel muni d'une base(e1, e2, e3). On considère trois vecteurs

u = e1 + 2e2 + e3

v = e1 + e3

w = −e1 + e2

Déterminer la matrice dans (e1, e2, e3) d'un produitscalaire pour lequel (u, v, w) est orthonormée.

b. Généralisation. Soit A et B deux bases d'un R-espace vectoriel E de dimension n et P la matricede passage de A dans B.Quelle est la matrice dans A d'un produit scalairepour lequel la base B est orthonormée ?

c. Exemple. Calculer la matrice comme dans la ques-tion précédente avec

bk =k∑i=1

(k − i+ 1)ai

pour k entre 1 et n.

16. (Eee16) Soit u et v deux vecteurs d'un espace euclidien E.En exprimant (u/v) avec des normes, factoriser

‖u‖ ‖v‖ − (u/v)

En déduire que l'inégalité triangulaire est équivalente àcelle de Cauchy-Schwarz.

17. (Eee17) On veut montrer que, pour k entre 1 et un entierp > 1 �xé, les fonctions

sk :

{R→ Rt 7→ sin(kt)

forment une famille libre dans l'espace C([0, π2 ]).a. Calculer ∫ π

0

sin(it) sin(jt) dt

En déduire que la famille des fonctions dé�nies dans[0, π] est libre.




b. Soit λ1, · · · , λp des nombres complexes. Montrerque si la fonction

t→ λ1 sin t+ λ2 sin(2t) + · · ·+ λp sin(pt)

s'annule strictement plus de 2p fois alors les λi sonttous nuls. Que peut-on en déduire relativement àdes restrictions des fonctions considérées ?

18. (Eee18) Dans un espace euclidien, p est une projection telleque

∀x ∈ E, ‖p(x)‖ ≤ ‖x‖

Montrer que p est une projection orthogonale.

19. (Eee19) Soit E euclidien, f ∈ L(E) et α > 0. On considèreles deux propriétés suivantes

∀x ∈ E, ‖f(x)‖ = α‖x‖∀(x, y) ∈ E2, (f(x)/f(y)) = α2(x/y)

a. Montrer que les deux propriétés sont équivalentes.On dit alors que f est une similitude de rapport α.

b. Montrer qu'un endomorphisme non nul de E estune similitude si et seulement si il conserve l'ortho-gonalité.

20. (Eee20) On considère un R-espace vectoriel E de dimensionp ≥ 3 muni d'une base E = (e1, · · · , en) et p nombresréels a1, · · · , ap−1, c. À l'aide d'une matrice

S =

1 0 · · · · · · 0 a1

0 1. . .

... a2

.... . .

. . .. . .

......

.... . . 1 0 ap−2

0 · · · · · · 0 1 ap−1

a1 a2 · · · ap−2 ap−1 c

on dé�nit une forme bilinéaire symétrique β sur E enposant :

∀(x, y) ∈ E2, β(x, y) = tMatE

(x)S MatE

(y)

Montrer que β est un produit scalaire si et seulement sidetS > 0.

21. (Eee21) On considère un R-espace vectoriel E de dimen-sion 4 avec une base orthonormée E = (e1, e2, e3, e4).L'hyperplan H est l`ensemble des vecteurs x dont lescoordonnées (x1, x2, x3, x4) véri�ent

5x1 − 2x2 − 2x3 + 4x4 = 0

Former la matrice dans E de la symétrie orthonogonale(ré�exion) par rapport à H.

22. (Eee22) Soit E euclidien et U , V deux sous-espaces vecto-riels de E. Montrer que, pour tout a ∈ E, il existe ununique (x, u, v, y) tel que

a = x+ u+ v + y avec

x ∈ U ∩ Vu ∈ (U ∩ V )⊥ ∩ Uv ∈ (U ∩ V )⊥ ∩ Vy ∈ U⊥ ∩ V ⊥

23. (Eee23) Soit E un espace euclidien, (a, b) une famille librede deux vecteurs, V = Vect(a, b) et p la projection or-thogonale sur V . On note

Φ :

E \ {0E} → R

x 7→ (x/a)(x/b)‖x‖2

H = Φ(E \ {0E})

a. Montrer queH est un intervalle contenant 0 et qu'ilest égal à Φ(V \ {0E}).

b. Étudier la fonction ϕ dé�nie dans R :

λ 7→ λ

‖λa+ b‖2

On précisera en particulier les limites et les ex-tréma.

c. Soit xλ = λa+ b. Exprimer, en fonction de λ,

(xλ/a)(xλ/b)− (a/b) ‖xλ‖2

d. En déduire H puis l'inégalité de Richard

((a/b)− ‖a‖‖b‖)) ‖x‖2 ≤ 2(x/a)(x/b)

≤ ((a/b) + ‖a‖‖b‖)) ‖x‖2

24. (Eee24) Soit E = C2([0, 1]). On dé�nit

∀(f, g) ∈ E2, (f/g) =∫ 1

0

(f(t)g(t) + f ′(t)g′(t)) dt

a. Montrer que (./.) est un produit scalaire.

b. Soit

F = {f ∈ E tq f(0) = f(1) = 0}G = {g ∈ E tq g′′ = g}

Montrer que F et G sont supplémentaires orthogo-naux. Préciser la projection orthogonale sur G.

25. (Eee25) Dans R3 euclidien canonique, on note E =(e1, e2, e3) la base canonique et

w = 2e1 + 3e2 + e3 = (2, 3, 1),

Π = (Vectw)⊥ , s = sΠ, S = MatE

s.

a. Donner une base (u, v) de Π. Pourquoi (u, v, w) est-elle une base de E ?

b. Écrire la matrice S′ de s dans (u, v, w).

c. En déduire S.



Lycée Hoche MPSI B Feuille Espaces vectoriels euclidiens - Espaces préhilbertiens réels : corrigés

1. Soit f une application qui n'est pas supposée linéairemais qui conserve le produit scalaire. Pour tous vecteursx et y, développons

‖f(x+ y)− f(x)− f(y)‖2

On obtient une somme de produits scalaires avec des fde chaque côté que l'on peut enlever par conservationdu produit scalaire. Cela conduit au développement de

‖(x+ y)− x− y‖2 = 0

On montre de même que

‖f(λx)− λx‖2 = 0

Une fois que l'on sait que f est linéaire, on montre qu'elleest injective en considérant la norme d'un vecteur dunoyau puis qu'elle est bijective car un espace euclidienest de dimension �nie.

2. (Cee02) On part de la formule (pour 3 vecteurs unitaires)

‖a+ b+ c‖2 = 3 + 2(a/b) + (a/c) + (b/c)

Comme cos est décroissante dans [0, π] :

écart ang. δ >2π3⇒ cos δ < −1

2

Si les trois écarts angulaires étaient plus grand que 2π3 ,

le carré scalaire serait négatif.De même avec p vecteurs :

0 ≤

∥∥∥∥∥p∑i=1

ai

∥∥∥∥∥2

= p+ 2∑i<j

(ai/aj)

≤ p+ p(p− 1) max {(ai/aj), i 6= j}

⇒ max {(ai/aj), i 6= j} ≥ − 1p− 1

3. pas de correction pour Eee03.tex

4. (Cee04) Une inégalité vient de

rg(PQ) ≤ min(rg(P ), rg(Q))

Pour l'autre, on note r = rg(A) et on considère les co-lonnes

Ci1 , · · · , Cir

formant une base de l'espace des colonnes de A. La ma-trice du produit scalaire dans cet espace est inversible.Elle est extraite de tAA.







11. (Cee11) Comme V = Vect(u, v)bot avec

u = (1, 1, 1, 1), v = (1, 2, 3, 4),

on commence par orthogonaliser la famille (u, v) en(u, v′) avec

v′ = v − 52u =

12

(−3,−1, 1, 3)

On utilise pV ⊥ pour exprimer la symétrie :

sV = IdE−2pV ⊥

avec

pV ⊥((x1, x2, x3, x4))

=x1 + x2 + x3 + x4

4(1, 1, 1, 1)

+−3x1 − x2 + x3 + 3x4

20(−3,−1, 1, 3)

12. (Cee12) On orthogonalise (u, v) en (u′, v′) avec

v′ = v − 54u =

14

(3,−5,−5, 7)

En notant V = Vect(u, v),

pV ((x1, x2, x3, x4)) =x1 + x2 + x3 + x4

4(1, 1, 1, 1)

+3x1 − 5x2 − 5x3 + 7x4

108(3,−5,−5, 7)

13. (Cee13) Notons u et v les deux vecteurs donnés et P le planqu'ils engendrent. Orthogonalisons la famille en (u,w)avec

w = v − (u/v)‖u‖2

u = v − 32u

Les coordonnées de w sont

12

(−2, 4, 3,−1)

La symétrie demandée s'écrit

sP = pP − pP⊥ = 2pP − IdE

avec

pP (x) =(x/u)‖u‖2

u+(x/v)‖v‖2

v

La colonne des coordonnées de pP (x) s'écrit

110

(2x1 + 2x2 − x3 + x4)

22−11

+130

(−2x1 + 4x2 + 3x3 − x4)

−243−1

La matrice de pP est donc

130

16 4 −12 84 28 6 2−12 6 12 −6

8 2 −6 4




celle de sP :

115

1 4 12 84 13 6 2−12 6 −3 −6

8 2 −6 −11

14. (Cee14) Développons la quantité que l'énoncé nous de-

mande de considérer (vecteurs non nuls)∥∥‖y‖2x− (x/y)y∥∥2

= ‖y‖4‖x‖2 + (x/y)2‖y‖2 − 2‖y‖2(x/y)2

= ‖y‖2 (‖y‖‖x‖ − |(x/y)|) (‖y‖‖x‖+ |(x/y)|)︸︷︷︸>0

On en déduit l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Dans le casd'égalité, on retrouve bien que les vecteurs sont coli-néaires.

15. (Cee15)

a. On utilise la formule de la question b. On obtient

P =

1 1 −12 0 11 1 0

, P−1 =

12

12 − 1

2

− 12 − 1

232

−1 0 1

La matrice cherchée est

32

12 −2

12

12 −1

−2 −1 72

Remarque. Le code Maple suivant permet d'e�ec-tuer le calcul

with(LinearAlgebra):

P := Matrix([[1,1,-1],[2,0,1],[1,1,0]]);

Q :=P^(-1);

MatrixMatrixMultiply(Transpose(Q),Q);

b. D'après les formules (de cours) de changement debase pour la matrice d'un produit scalaire :

MatB

(/) = tPBBMatB

(/)=In

PBB = tP−1P−1

c. On peut exprimer assez facilement a1, a2, a3 enfonction des bi puis véri�er la formule

bk−1 − 2bk + bk+1 = ak+1

pour k entre 2 et n− 1. On en déduit la matrice depassage

P−1 =

1 −2 1 0 · · · 0

0 1 −2 1...

0 1 −2. . . 0

.... . .

. . .. . . 1

. . .. . . −2

0 · · · 0 1

puis la matrice cherchée qui est une matrice bandede largeur 4

1 −2 1 0 0 · · · 0

−2 5 −4 1 0...

1 −4 6 −4 1. . . 0

0 1 −4 6. . . 0

0. . .

. . .. . .

. . . 1...

. . .. . . 1 −4 6 −4

0 · · · 0 0 1 −4 6

16. (Cee16)

(u/v) =12(‖u+ v‖2 − ‖u‖2 − ‖v‖2

)⇒ ‖u‖ ‖v‖ − (u/v) =

12((‖u‖+ ‖v‖)2 − ‖u+ v‖2

)= (‖u‖+ ‖v‖+ ‖u+ v‖)︸︷︷︸

≥0

(‖u‖+ ‖v‖ − ‖u+ v‖)

On en déduit l'équivalence demandée.

17. (Cee17)

a. Il s'agit d'un calcul classique à savoir faire très ra-pidement. En linéarisant, on trouve que l'intégraleest nulle pour i 6= j et égale à π

2 si i = j. On en dé-duit que la famille est orthogonale pour le produitscalaire habituel dé�nie par l'intégrale du produit.Comme elle est constituée de fonctions non nulle,cette famille est libre.

b. Écrivons chaque sin avec une exponentielle.

sin(kt) =12i((eit)k − (eit)−k

)En factorisant par eikt, on peut écrire la somme desin sous la forme

eiktP (eit)

où P est un polynôme à coe�cients complexes (ets'exprimant simplement en fonction des λk) de de-gré 2p. Lorsque ce polynôme admet strictementplus de 2p racines, tous ses coe�cients sont nulsdonc les λk sont tous nuls.On en déduit que la famille des restrictions à unintervalle non réduit à un point est libre. En e�etun tel intervalle contient une in�nité de points.

18. (Cee18) On va montrer que, si p n'est pas orthogonale, ilexiste un vecteur strictement plus long que l'un de sesantécédents par projection.En e�et Im p ⊂ ker(p)⊥ est alors faux sinon on auraitl'égalité. Il existe b ∈ Im(p) qui n'est pas orthogonalà ker(p) donc il existe a ∈ ker(p) tel que (a/b) 6= 0.Pour tous les réels λ, les vecteurs bλ = b + λa sont desantécédents de b pour la projection. Quel est le pluscourt ? Aura-t-on la malchance que ce soit b0 = b ?Une équivalence locale en 0 prouve que non :

‖bλ‖2 − ‖b‖2 ∼ 2(a/b)λ




Il existe donc bien des λ réels proches de 0 tels que

‖bλ‖ < ‖b‖ = ‖p(bλ)‖

19. (Cee19)

a. Un sens est évident par spécialisation, l'autre estfacile par linéarité en utilisant les identités de po-larisation.

b. Il est évident qu'une similitude conserve l'orthogo-nalité d'après la deuxième propriété.Considérons un f ∈ L(E) qui conserve l'orthogo-nalité.Pour tous x et y dans E avec x 6= 0, on a alors :

(f(x)/f(y)) =‖f(x)‖2

‖x‖2(x/y)

Il su�t pour cela d'orthogonaliser (x, y) en (x, y′)et d'écrire que f(x) et f(y) sont orthogonaux.Il reste à montrer que tous les

αx =‖f(x)‖2

‖x‖2

sont égaux entre eux pour tous les x non nuls.En échangeant les rôles de x et de y, on obtientαx = αy pour x et y non nuls et non orthogonaux.Lorsque x et y sont orthogonaux, on peut toujourstrouver un z non nul et qui n'est orthogonal à aucundes deux. On en déduit l'égalité par transitivité.

20. (Cee20) Le déterminant de S se calcule facilement avec laméthode du pivot standard. On se ramène à une matricetriangulaire supérieur avec des 1 sur la diagonale saufpour le terme p, p. On obtient

detS = c− a21 − a2

2 − · · · − a2p−1

Il reste à véri�er que β(x, x) ≥ 0 et que β(x, x) = 0 en-traine x = 0 pour tout vecteur x de E.Considérons donc un vecteur x quelconque de coordon-nées (x−1, · · · , xp). On calcule en utilisant d'abord l'ex-pression matricielle puis en faisant apparaitre des carrés

β(x, x)

=(x1 · · · xp

)

x1 + a1xpx2 + a2xp

...xp−1 + ap−1xp

a1x1 + · · ·+ ap−1xp−1 + cxp

= x2

1 + · · ·+ x2p−1 + cx2

p + 2 (a1x1 + · · ·+ ap−1xp−1)xp=((x1 + a1xp)2 − a2

1x2p

)+ · · ·

+((xp−1 + ap−1xp)2 − a2

p−1x2p

)+ cx2

p

= (x1 + a1xp)2 + · · ·+ (xp−1 + ap−1xp)2 + (detS)x2p

On en déduit les propriétés demandées.

21. (Cee21) Sur l'équation de H, on lit les coordonnées d'unvecteur u orthogonal à H :

u = 5e1 − 2e2 − 2e3 + 4e4

Soit U = Vect(u) = H⊥. La symétrie sH par rapport àH s'exprime en fonction de la projection pU sur U

sH = pH − pU = IdE − 2pU

On connait l'expression vectorielle de PU :

pU (x) =(x/u)‖u‖2

u

soit pour la matrice des coordonnées :

149

(5x1 − 2x2 − 2x3 + 4x4)

5−2−24

On en déduit la matrice de pU :

149

25 −10 −10 20−10 4 4 −8−10 4 4 −820 −8 −8 16

puis celle de sU

149

−1 20 20 −4020 41 −8 1620 −8 41 16−40 16 16 17

22. (Cee22) Soit U et V deux sous-espaces de E euclidien. On

veut montrer que, pour tout a ∈ E, il existe des uniquesvecteurs

x ∈ U ∩ V, u ∈ (U ∩ V )⊥ ∩ U, v ∈ (U ∩ V )⊥ ∩ V,y ∈ U⊥ ∩ V ⊥

tels que x = x+ u+ v + y.Existence. Décomposons a en utilisant la formule ducours pour l'orthogonal d'une somme :

a = pU⊥∩V ⊥(a)︸︷︷︸=y

+ pU+V (a)︸︷︷︸=b

On peut encore décomposer b (sans unicité). Il existeu0 ∈ U et v0 ∈ V tels que b = u0 + v0.Comme U ∩ V est un sous-espace de U et de V , posons

u = p(U∩U)⊥∩U (u0), v = p(U∩V )⊥∩U (u0)

Alors :

u0 = u+ wu avec wu ∈ U ∩ Vv0 = v + wv avec wv ∈ U ∩ V

}⇒ b = u+ v + (wu + wv)︸︷︷︸

=x∈U∩V

Unicité.

a = x+ u+ v︸︷︷︸∈U+V=(U⊥∩V ⊥)⊥

+ y︸︷︷︸∈U⊥∩V ⊥

⇒ y = pU⊥∩V ⊥(a)




a = x︸︷︷︸∈U∩V

+ u+ v + y︸︷︷︸∈U⊥+V ⊥=(U∩V )⊥

⇒ x = pU∩V (a)

Ceci assure l'unicité du x et du y. d'autre part,

x+ u+ v + y = x+ u′ + v′ + y ⇒ u+ v = u′ + v′

⇒ u− u′ = v′ − v ∈ (U ∩ V )⊥ ∩ (U ∩ V ) = {0e}

23. (Cee23)

a. L'ensemble H contient 0 car Φ(x) = 0 si x ∈ V ⊥.Soit u ∈ V ⊥. La fonction

λ 7→ Φ(λx+ u)

est continue. L'image de [0, 1] est un intervalle quicontient [0,Φ(x)]. On en déduit que H est un in-tervalle. De plus

Φ(x) =‖p(x)‖2

‖x‖2︸︷︷︸∈[0,1]

Φ(p(x))

donc H = Φ(V ).

b. La fonction est une fraction rationnelle

ϕ(x) =λ

‖a‖2λ2 + 2(a/b)λ+ ‖b‖2

Le dénominateur ne s'annule pas, elle change designe en 0 et converge vers 0 en + et −∞. Le cal-cul de la dérivée montre qu'elle admet ses extrémaabsolus pour

λ = ±‖b‖‖a‖

les valeurs étant

M =‖a‖‖b‖

‖‖b‖a+ ‖a‖b‖2=

12 ((a/b) + ‖a‖‖b‖)

m = − ‖a|‖b‖‖‖b‖a− ‖a‖b‖2

=1

2 ((a/b)− ‖a‖‖b‖)

c. En développant, on trouve

Kλ avec K =(‖a‖2‖b‖2 − (a/b)2

)d. En fait H est l'image d'une partie de V encore plus

restreinte car

Φ(λa+ µb) = Φ(λ

µa+ b)

On peut donc se limiter aux Φ(xλ) et d'après c.

Φ(xλ) = (a/b) +Kϕ(λ)

On en tire

H = [(a/b) +Km, (a/b) +KM ]


25. (Cee25)

a. L'énoncé n'impose rien à u et v sauf d'être ortho-gonaux à w. Choisissons

u = e1 − 2e3 = (1, 0,−2)v = e2 − 3e3 = (0, 1, 3)

La famille (u, v) est libre et ses deux vecteurs sontorthogonaux à w donc la famille (u, v, w) est libre,c'est une base de E.

b. Par dé�nition de s, s(u) = u, s(v) = v, s(w) = −w.On en déduit

S′ =

1 0 00 1 00 0 −1

c. On en déduit par changement de base

S = P S′ P−1 avec P =

1 0 20 1 3−2 −3 1

après calculs

P−1 =14

8 −6 26 −5 3−2 3 −1

,

S =17

3 6 −2−6 −2 −3−2 −3 6



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