I : Espaces metriques.

Exercice 1: Exemples d’espaces metriques.Verifier que les espaces suivants sont des espaces metriques :1) R∗ avec d(x, y) =| 1

x −1y |.Trouver les boules ouvertes pour cette

metrique.2) Rn muni de la metrique l1.3) C[a; b] avec d(f, g) =Sup[a;b]|f − g|.4) Rn muni de la metrique l2.5) E = 0; 1N avec d(a, b) =

∑∞n=1

12n |an − bn|.

Exercice 2.Soient (E, d) un espace metrique, x ∈ E et r > 0.1) Montrer que la boule ouverte B(x, r) est un ouvert de E.2) Montrer que x est un ferme de E.

Exercice 3: Espace discret.Soient E un ensemble et d : E2 −→ R+ l’application definie pour tous x ety par : d(x, y) = 1 si x 6= y, d(x, y) = 0 si x = y.1) Demontrer que d est une distance sur E ; elle est appelee distancediscrete sur E.2) Determiner B(x, r) ou x ∈ E et r > 0.3) Determiner les ouverts puis les fermes de (E, d).

Exercice 4.Soient (E, d) un espace metrique et A une partie de E. Montrer :1) x ∈ A ⇔ ∃r > 0, B(x, r) ⊂ A.2) x ∈ A⇔ ∀r > 0, B(x, r) ∩A 6= ∅.3) x ∈ A⇔ d(x,A) :=infd(x, y); y ∈ A = 0.4) x ∈extA⇔ ∃r > 0, B(x, r) ∩A = ∅.

Exercice 5.Soient (E, d) un espace metrique, A et B des parties non vides de E. Mon-trer que :1) A ⊂ A et A ⊂ A. 4) (A ∩B) ⊂ A ∩B.2) A ⊂ B ⇒ A ⊂ B et A ⊂ B. 5) CEA

= CEA et CEA =(CEA).3) A ∪B ⊂ (A ∪B) 6) ∂A = A\A.

Exercice 6.Soient (E, d) un espace metrique et (Ai)i∈1,..,n des parties de E.Demontrer que

1)

(n⋂i=1

Ai

)=

n⋂i=1

Ai. 2)

n⋃i=1

Ai =n⋃i=1

Ai.

Exercice 7.Soit (E, d) un espace metrique et A ⊂ E. Montrer que ∂A ⊂ ∂A et que∂A ⊂ ∂A.Donner un exemple pour lequel toutes ces inclusions sont strictes.

Exercice 8.Soient (E, d) un espace metrique et A un sous-ensemble de E non ferme.Soit x ∈ A \A.Montrer que pour tout voisinage V de x, l’ensemble V ∩A n’est pas fini.

Exercice 9.Montrer que dans un espace metrique E, tout ensemble ferme est l’intersectiond’une suite decroissante d’ensembles ouverts.De meme, tout ensemble ouvert est la reunion d’une suite croissante d’ensemblesfermes.

Exercice 10: Sous-espace metrique.Soit (E, d) un espace metrique. Pour toute partie non vide F de E, la re-striction dF de d a F × F est une distance sur F appelee distance induitesur F par la distance d.(F, dF ) se nomme sous-espace metrique de E.1) Montrer que pour tout a ∈ F la boule ouverte b(a, r) de centre a et derayon r pour dF est egale a B(a, r) ∩ F ou B(a, r) est la boule ouverte dememe centre et rayon pour d.2) Montrer que B ⊂ F est un ouvert de F Ssi il existe un ouvert A dansE tel que B = A ∩ F .3) Montrer que B ⊂ F est un ferme de F Ssi il existe un ferme A dans Etel que B = A ∩ F .

4) Si BF

est l’adherence de B dans (F, dF ) , montrer que BF

= B ∩ F .5) Pour que tout ouvert (resp. ferme) dans F soit un ouvert (resp. ferme)dans E, il faut et il suffit que F soit ouvert (resp. ferme) dans E.6) L’intervalle ]0, 1] est-il un ouvert dans R+? est-il un ferme dans R+?Memes questions pour ]0, 1] dans ]0,+∞[.

Exercice 11.Soit (E, d) un espace metrique et (Ai)i=1,...n des ouverts denses dans E.Montrer que

⋂ni=1Ai est un ouvert dense dans E.

Exercice 12.1) Montrer qu’un espace topologique (X,O(X)) satisfait la propriete deseparation de Hausdorff Ssi ∀x ∈ X, on a : x =

⋂F ; x ∈ F, F voisinage

ferme de x.2) Un espace metrique verifie-t-il la propriete de separation de Hausdorff?

Exercice 13.Soit X = R,O(X) = ∅ ∪ V ⊂ R; card CRV <∞.1) Montrer que (X,O(X)) est un espace topologique.2) (X,O(X)) satisfait-il la propriete de separation de Hausdorff ?3) (X,O(X)) est-il metrisable?4) Memes questions pour O(X) = ∅, X ou X est un ensemble arbitraire.

Exercice 14: Espace metrique produit.Soient (E1, d1), (E2, d2) deux espaces metriques. On munit E1 × E2 de ladistance d(x, y) := d1(x1, y1) + d2(x2, y2) si x = (x1, x2) et y = (y1, y2) ∈E1 × E2.1) Montrer que d est une distance.2) Soient U un ouvert de (E1 × E2, d) et (x, y) ∈ U .Montrer qu’il existe U1 ∈ O(E1) et U2 ∈ O(E2) tels que (x, y) ∈ U1×U2 ⊂ U .3) Soient U1 ∈ O(E1) et U2 ∈ O(E2). Montrer que U1 × U2 est un ouvertde (E1 × E2, d).

II : Espaces vectoriels normes.

Exercice 1: Distance associee a une norme.Soit (E, ‖ ‖) un espace norme.Demontrer que l’application d : E×E −→ R+ definie par : d(x, y) =‖ x−y ‖est une distance sur E.

Exercice 2.E = R2 muni de la norme euclidienne :‖ x ‖=

√x12 + x22.

Determiner parmi les ensembles suivants lesquels sont ouverts, fermes ou nil’un, ni l’autre:1) A1 = (x, 0) / x ∈ R.2) A2 = (x, 0) / x ∈]0, 1[.3) A3 = Q2.

Exercice 3.Montrer que sur Rn, ‖ ‖1 , ‖ ‖2 et ‖ ‖∞ sont des normes equivalentes.

Exercice 4.Soit E = RN muni d’une norme ‖ ‖.

1) Montrer qu’il existe c > 0 tel que ‖ ‖ ≤ c‖ ‖1.2) Montrer que si de plus pour un d > 0, B‖ ‖(0, d) ⊆ B‖ ‖1(0, 1) alors lesdeux normes sont equivalentes.

Exercice 5.Soient n1 et n2 deux normes equivalentes et d1 et d2 les metriques associees.Montrer que d1 et d2 definissent les memes ouverts.

Exercice 6.Montrer que l’equivalence entre deux normes definit une relation d’equivalencesur l’ensemble des normes d’un espace vectoriel E.

Exercice 7.

E = C∞([a, b],R) et d(f, g) =∑∞k=1

12k‖ f (k) − g(k) ‖∞

1+ ‖ f (k) − g(k) ‖∞.

1) Montrer que (E, d) est un espace metrique.Indication : la fonction f : x 7→ x

1+x est concave.2) Montrer que la distance d n’est pas une distance definie a partir d’unenorme.

III : Continuite.

Exercice 1.Soit f : (X, d) −→ (Y, d′) une application continue entre 2 espaces metriques.Montrer par un exemple que : U ∈ O(X) n’entraıne pas f(U) ∈ O(Y ).

Exercice 2.Soit f : (X, d) −→ (Y, d′) une application entre 2 espaces metriques. Mon-trer qu’il y a equivalence entre :1) f est continue2) ∀F ferme de Y , f−1(F ) est un ferme de X,3) ∀A ⊂ X, f(A) ⊂ f(A).

Exercice 3.Soit (E, ‖ ‖) un e.v.n. sur R. Montrer que :1) Toute application constante sur E est continue.2) Toute application du type f(x) = λx+ a, λ ∈ R et a ∈ E est continue.

Exercice 4.Soit E = C([0, 1],R) avec ‖ ‖1 , ‖ ‖2 et ‖ ‖∞A : E −→ R

f 7−→ f(0)et B : E −→ R

f 7−→∫ 10 f(t)dt

.

Les applications A et B sont-elles continues pour ‖ ‖1 , ‖ ‖2 ou ‖ ‖∞?

Exercice 5.Soient f et g deux applications continues d’un espace metrique E1 dans unespace metrique E2. On considere la partie A de E1 definie comme suit :A = x ∈ E1 / f(x) = g(x). Montrer que A est ferme dans E1.

Exercice 6.Soient f et g deux applications continues d’un espace metrique E1 dans unespace metrique E2. On suppose que f = g sur une partie A de E1, densedans E1. Montrer alors que f = g sur E1.

Exercice 7.Soit (E, d) un espace metrique et A ⊂ E une partie de E. Montrer que :1) ∀x, z ∈ E, |d(x,A)− d(z,A)| ≤ d(x, z)2) l’application x 7→ d(x,A) est continue.

Exercice 8.Soient (Ei, di), i ∈ 1, 2 deux espaces metriques et (E, d) l’espace produit.1) Montrer que les projections πi : E1 × E2 → Ei : (x1, x2) 7→ xi sont desapplications continues.2) Soit (a, b) ∈ E1 × E2 fixe. Montrer que les “inclusions” i1 : E1 →E1 × E2 : x1 7→ (x1, b) et i2 : E2 → E1 × E2 : x2 7→ (a, x2) sont des applica-tions continues.

IV : Convergence dans les espaces metriques.

Exercice 1.Soit (E, d) un espace metrique et (xn)n∈N une suite de Cauchy dans E et(xnk

)k∈N une suite extraite.1) Montrer que ∀k ∈ N, nk ≥ k.2) Montrer que lim

k→∞d(xk, xnk

) = 0.

3) En deduire que si (xnk)k∈N est convergente alors (xn) est convergente.

Exercice 2.Soit (E, d) un espace metrique et (xn)n∈N une suite de Cauchy dans E.Determiner xn;n ∈ N.

Exercice 3.Soit (E, d) un espace metrique. Pour toute partie A ⊂ E on definit lediametre de A par d(A) =supd(x, y);x, y ∈ A.Soit (xn)n≥0 une suite de points de E. On pose An = xn, xn+1, ...Montrer que (xn)n∈N est une suite de Cauchy Ssi limn→∞ d(An) = 0.

Exercice 4.Une fonction f : (E, d)→ (E′, d′) est dite uniformement continue Ssi∀ε > 0,∃ δ > 0, ∀(x, y) ∈ E2, d(x, y) < δ ⇒ d′(f(x), f(y)) < ε.1) Montrer que si f est uniformement continue, alors l’image par f d’unesuite de Cauchy dans E est une suite de Cauchy dans E′.2) Ce dernier resultat n’est pas vrai en general si f est seulement continue.Considerer f(x) = x de (R, d) dans (R, |. |) ou d est la distance dans V.1.3) Montrer que si dans un espace E, on a deux metriques d1 et d2 tellesqu’il existe a > 0 pour lequel d2 ≤ ad1, alors l’identite Id : (E, d1)→ (E, d2)est uniformement continue.

V : Espaces complets, espaces de Banach.

Exercice 1Soit R muni de la distance d(x, y) = |Arctanx−Arctan y| ou Arctan : R→]−π2 ,

π2 [.

1) Comparer d a la distance euclidienne sur R.2) Montrer que (R, d) n’est pas complet (considerer la suite un = n).

Exercice 2.Decrire les suites de Cauchy dans un espace discret E et montrer qu’un telespace est complet.

Exercice 3.Soit I = [0, 1] et E = IN l’ensemble des suites a valeurs dans I.Pour x = (xn) et y = (yn) dans E, on definit d(x, y) =

∑k≥0

12k |xk − yk|.

Montrer que (E, d) est un espace metrique complet et que ce resultat estfaux si l’on remplace I par ]0, 1[.

Exercice 4.L’espace C([0, 1]) est-il complet pour les normes1) || ||1, 2) || ||2, 3) || ||∞? Justifier.

Exercice 5.Montrer que pour un espace metrique (E, d), il y a equivalence entre :1) E est complet2) Pour toute suite decroissante (Fn)n≥0 de fermes non vides telle quelimn→∞ d(Fn) = 0, on a :

⋂n≥OFn 6= ∅.

Exercice 6: Theoreme de Baire.Soit (An)n≥1 une suite d’ouverts denses dans un espace metrique complet.Pour tout ouvert U non vide de E, mettre en evidence une suite decroissantede boules B(xn, rn) avec limn→∞rn = 0 telles que : B(x1, r1) ⊂ U ∩A1

et B(xn, rn) ⊂ B(xn−1, rn−1) ∩An.En conclure que

⋂n≥1An est dense dans E. Comparer avec le resultat du I.9.

Exercice 7L’image continue d’un espace metrique complet est un espace metrique com-plet. Vrai ou faux?

Exercice 8: Caracterisation des espaces de Banach.Soit (E, ‖ ‖) un espace norme.On dit qu’une serie de termes (xn) est absolument convergente si

∑∞n=1 ||xn|| <

∞.Montrer que E est un espace de Banach Ssi toute serie absolument conver-gente dans R est convergente dans E.Ind. Si (xn) est de Cauchy, contruire une suite yj := xnj − xnj−1 de tellesorte que ||yj || ≤ 1

2j.

VI : Compacite.

Exercice 1.Montrer que tout espace metrique compact est complet.

Exercice 2.Soit E un espace metrique.1) Montrer que les deux propositions suivantes sont equivalentes:

a) E est compact.b) De toute famille de fermes dont l’intersection est vide, on peut ex-

traire une sous-famille finie d’intersection vide.2) Si E est compact et si (Fn)n≥0 est une suite decroissante de fermes nonvides, montrer que

⋂n≥OFn 6= ∅.

Exercice 3.Soit A une partie compacte d’un espace metrique E et f : E → R unefonction numerique continue. Montrer que f atteint son maximum et sonminimum sur A.

Exercice 4.Soient E et F deux espaces metriques.Montrer que l’espace E × F est compact Ssi E et F sont compacts.Ind. Voir dans “Cours d’Analyse, Tome II: Topologie” par G. Choquet,Chapitre V, II-10.

Exercice 5.Soit (E, d) un espace metrique et A une partie compacte de E.Montrer qu’il existe a ∈ A et b ∈ A tels que d(a, b) = d(A).

Exercice 6.Une application f de E1 dans E2 est un homeomorphisme si :i) f est une bijection de E1 dans E2.ii) f et sa reciproque f−1 sont toutes deux continues.Montrer que si E1 est un espace metrique compact et f : E1 → E2 est uneapplication continue injective, alors f est un homeomorphisme de E1 surf(E1).

Exercice 7.Soit Mn(C), l’espace vectoriel des matrices carrees d’ordre n a coefficients

dans C.Pour A = (aij) dans Mn(C), on pose : ‖ A ‖= n supi,j |aij |1) Montrer que cela definit une norme sur Mn(C) et que: ∀A,B ∈Mn(C),on a : ‖ AB ‖≤‖ A ‖‖ B ‖ .2) Montrer que l’application f : A 7−→ A

tA est continue sur Mn(C).

3) Montrer que On(C) = A ∈Mn(C)/ AtA = In est compact.

Exercice 8.Soit E un ensemble infini muni de la metrique discrete. Montrer que E estferme et borne mais que E n’est pas compact.

Exercice 9.Soit ϕ une application continue d’un espace metrique E dans un espacecompact F . On dit que ϕ est une application propre si pour tout compactK ⊆ F,ϕ−1(K) est compact dans E.1) Les applications suivantes sont-elles propres?

ϕ1 :]0, 1] 7→ [−1, 1], ϕ1(x) = sin1

x, ϕ2 : RN \ 0 7→ SN−1, ϕ2(x) =

x

||x||2

2) Montrer qu’un homeomorphisme de E dans F est une application pro-pre. Si E est une partie fermee de E, montrer que l’injection canonique deE dans F est propre.

Exercice 10: Theoreme de Dini.Soit E un espace metrique compact et soit (fn) une suite decroissante (croissante ) de fonctions reelles continues definies sur E et convergeantponctuellement vers une fonction continue f . Soit ε > 0.1) On definit Kn = x ∈ E / fn(x)− f(x) ≥ ε. Montrer que (Kn) est unesuite decroissante de compacts.2) En utilisant la convergence ponctuelle de (fn) vers f , montrer que⋂n∈NKn = ∅.

3) En utilisant l’exercice VI.2, montrer qu’il existe n0 ∈ N tel que Kn0 = ∅.4) En deduire que (fn) converge uniformement vers f sur E.

VII : Connexite et connexite par arcs.

Exercice 1.Soient A et B deux parties d’un espace metrique.Si A et B sont fermes et si A∩B et A∪B sont connexes, montrer que A etB sont connexes.

Exercice 2.Soit (E, d) un espace metrique.Montrer que E est connexe si et seulement si il n’existe aucune applicationcontinue surjective f : E → 0, 1 ou 0, 1 est muni de la distance discrete.

Exercice 3.Soit (E, d) un espace metrique tel que toute fonction continue f : E → Rne puisse pas prendre 2 valeurs sans prendre aussi toutes les valeurs in-termediaires.Montrer que E est connexe.

Exercice 4.Montrer que si un espace metrique E est connexe, alors toute partie A ⊂ Etelle que A 6= E, A 6= ∅ verifie ∂A 6= ∅.

Exercice 5.Soit (E, d) un espace metrique et A une partie connexe de E.Si B est une autre partie de E telle que A ⊆ B ⊆ A, montrer que B estconnexe.En deduire que si A est connexe, il en est de meme pour A.

Exercice 6.Montrer que si (Ai)i∈I est une famille d’ensembles connexes telle que ∩i∈IAi 6=∅, alors A = ∪i∈IAi est connexe.

Exercice 7.Soit (E, d) un espace metrique connexe dans lequel la distance d n’est pasbornee.Montrer que toute sphere de E est non vide.

Exercice 8.Soit X un espace metrique compact.

Montrer l’equivalence des propositions suivantes :1) X est connexe.2) Pour tout ε > 0 et tous x, y ∈ X, il existe une suite finie de pointsde X, (xi)0≤i≤n, telle que x0 = x, xn = y et d(xi, xi−1) ≤ ε pour touti ∈ 1, · · · , n.

Exercice 9.Montrer qu’il n’existe pas d’application continue f : R → R telle quef(Q) ⊂ R\Q et f(R\Q) ⊂ Q.

Exercice 10.Montrer que l’image continue d’un ensemble connexe par arcs est connexepar arcs.

Exercice 11.Soit (E, d) un espace metrique. On definit la relation suivante sur E :

xRy ⇔ ∃ γ : [0, 1]→ E continue telle que γ(0) = x , γ(1) = y.

Montrer que R est une relation d’equivalence.

Exercice 12.Soit C = (x, y) ∈ R2 / x2 + y2 = 1 muni de la topologie induite par R2.1) Montrer que C et C prive d’un point sont connexes.2) C peut-il etre homeomorphe a un intervalle de R ?3) C peut-il etre homeomorphe a une partie de R ?

Exercice 13.Soit A ⊂ Rn un ouvert.Montrer qu’il y a equivalence entre A connexe et A connexe par arcs.

Exercice 14.Soit A = (x, sin( π2x)) / 0 < x ≤ 1 ⊂ R2.1) Montrer que A est connexe.2) Calculer A.3) Montrer que A est connexe mais non connexe par arcs.

VIII : Theoremes de point fixe.

Exercice 1.Sur quel intervalle, l’application f : x 7→ x + x−1 est-elle un exempled’application verifiant d(f(x), f(y)) ≤ d(x, y) et n’ayant pas de point fixe ?

Exercice 2.Soient E = [23 ,+∞[ sous-espace metrique de R, et f : E → R definie par :

f(x) = 2x+ 63x+ 2.

1) Montrer que E est complet et que f(E) ⊆ E.2) Montrer que f est contractante et calculer l’unique point fixe a de f .3) En prenant x0 = 2

3 , calculer x1, x2, x3, x4 et evaluer l’approximationde a obtenue.4) Si l’on prolonge f a f : R\−23 → R par f(x) = 2x+ 6

3x+ 2, f n’est pascontractante mais a deux points fixes.

Exercice 3.Soit E = N∗ = 1, 2, · · ·, on pose : d(n, n) = 0 et d(m,n) = 10+m−1+n−1

si m 6= n.1) Montrer que d est une distance sur E et que (E, d) est complet.2) Soit f : E → E avec f(n) = n+1. Montrer que d(f(m), f(n)) < d(m,n)si m 6= n mais que f n’est pas contractante.

Exercice 4.Soit I = [a, b] un intervalle compact de R et f : I → R une applicationcontinue telle que I ⊂ f(I). Montrer que f possede un point fixe dans I.

Exercice 5.Soit (E, d) un espace metrique complet et f : E → E une application con-tinue. Soit q ≥ 1 un entier tel que f q soit une application contractante.Montrer que f possede un point fixe unique.

Exercice 6.Dans l’espace norme l2 = x = (xn)n∈N ; xn ∈ R / ‖x‖ = (

∑n∈Nxn

2)12 <

∞, on definit l’application u : l2 → l2 par : u(x0, x1, x2, x3, · · ·) = (0, x0, x1, x2, · · ·).On note : e0 = (1, 0, 0, 0, · · ·), B = x ∈ l2; ‖x‖ ≤ 1, S = x ∈ l2; ‖x‖ = 1et f(x) = 1

2(1− ‖x‖)e0 + u(x).1) Montrer que u est une application lineaire continue verifiant ∀x ∈l2, ‖u(x)‖ = ‖x‖.

2) Montrer que f(S) ⊂ S et que f(B) ⊂ B.3) Montrer que f n’admet pas de point fixe.

Exercice 7: Points fixes attractifs.Soit I = [a, b] un intervalle compact de R et f : I → R une application declasse C1 ayant un point fixe p ∈ I.Montrer que si |f ′(p)| < 1 alors il existe un intervalle U contenant p tel que:

∀x ∈ U, limn→∞

f (n)(x) = p

.

IX : Theoreme de Stone-Weierstrass.

Exercice 1.A l’aide des exemples suivants, montrer que dans le theoreme de Stone-Weierstrass, chacune des hypotheses (a), (b) et (c) est indispensable.1) A = f ∈ C(K) / f(x0) = 0, ou x0 est un point fixe dans K.2) B = f : K −→ R / f est constante .3) K = [−1, 1], C =< 1, Id > .4) K = R, D = R[x].

Exercice 2.Soit K = [−1, 1], V l’espace vectoriel reel engendre par les polynomes reelspairs et W l’espace vectoriel reel engendre par les polynomes reels impairs.1) L’espace V verifie-t-il les hypotheses du theoreme de Stone-Weierstrass?2) Toute fonction continue sur K est-elle la limite uniforme d’une suite defonctions de V ?3) Quelles hypotheses du theoreme de Stone-Weierstrass ne sont pas verifieespar l’espace W ?4) Montrer que W 6= C(K) pour la norme de la convergence uniforme.

Exercice 3.Memes questions pour K = [−2, 1], V = VectR < f ∈ C(K)|f(x) = x4k, k ∈N >, W = VectR < f ∈ C(K)|f(x) = x4k+1, k ∈ N >.

Exercice 4.Changer K par [−2, 0] dans l’exercice 3.

Exercice 5.1) Soit K un espace metrique compact et A ⊂ C(K,C) une sous-algebreverifiant :

a) 1 ∈ A.b) A separe les points de K.c) ∀f ∈ A, f ∈ A. (f designant la conjuguee de f)

Montrer que A est dense dans C(K,C).Indication : montrer que si f ∈ A, alors <(f) et =(f) ∈ A, puis considererla sous-algebre reelle A0 = <(f) / f ∈ A.2) Montrer que toute fonction continue, 2π− periodique est la limite uni-forme d’une suite de polynomes trigonometriques de la forme

∑Nk=−N cke

ikt,ck ∈ C.

Exercice 6.Soient E et F deux espaces metriques compacts, f : E × F → R, une fonc-tion continue.Montrer que pour tout ε > 0, il existe une famille finie d’applications con-tinues(ui, vi)1≤i≤n ∈ C(E)× C(F ) telle que :

∀ (x, y) ∈ E × F,∣∣∣∣∣f(x, y)−

n∑i=1

ui(x)vi(y)

∣∣∣∣∣ ≤ ε

Exercice 7.Soit K = [a, b] avec a, b ∈ R et E = (C(K), ‖.‖∞).1) Determiner l’adherence de f ∈ E | f ∈ R[x] dans E.2) Soit F ∈ E telle que :

∀n ∈ N,

∫ b

af(x)xn dx = 0

Montrer que f est identiquement nulle sur K.Indication : Montrer que

∫ ba f

2(x) dx = 0.3) Determiner l’adherence de f ∈ C1(K) | f ′(a) = f ′(b) = 0 dans E.

X : Calcul differentiel. Theoreme d’inversion locale.

Exercice 1.Soit f : Rn → Rn. Montrer que :1) Si f est constante, alors f est differentiable en tout point a de Rn etdf(a) = 0.2) Si f est lineaire, alors f est differentiable en tout point a de Rn etdf(a) = f .3) Reciproques ?

Exercice 2.On considere la fonction f : R2 → R definie par :

f(x, y) =

0 si (x, y) = (0, 0),x2yx2+y2

si (x, y) 6= (0, 0).

1) La fonction f est-ellle continue en (0, 0)?2) La fonction f est-elle differentiable en (x, y) 6= (0, 0)?3) Calculer, si elles existent, ∂f

∂x (x, y), ∂f∂y (x, y) ou (x, y) ∈ R2.

4) Montrer que, quel que soit v ∈ R2, les derivees de f suivant la directionv existent dans R.5) Les derivees partielles de f sont-elles continues en (0, 0)?6) La fonction f est-elle differentiable en (0, 0)?7) Determiner df(1, 1), df(0, 1),∇f(1, 1),∇f(0, 1), D(1,1)f(1, 1), D(2,0)f(1, 1), D(0,2)f(1, 1).8) Donner le developpement de Taylor de f en (1, 1) a l’ordre 2.9) Donner l’equation des plans tangents au graphe de f en (1, 1) et en(0, 1). Quels sont les vecteurs normaux au graphe de f en ces points-la?On pose N = (x, y) ∈ R2|f(x, y) = 1

2.10) Montrer que ∇f(x, y) 6= (0, 0), ∀(x, y) ∈ N .11) Montrer que dans un voisinage de (1, 1), N s’ecrit sous la forme: x = ξ(y)ou ξ est une fonction de classe C1.

12) Calculer ξ′(1) et montrer que ∇f(1, 1) est orthogonal a la courbe x =ξ(y) en x = 1.

Exercice 3.Soit f : Rn → R, une application differentiable telle que :∃p ∈ N, ∃x ∈ Rn, ∀t ∈ R, f(tx) = tpf(x).1) Montrer que df(x).x = pf(x).2) Donner des exemples de fonctions qui verifient cette propriete pour tout

x.

Exercice 4.Soit f : Rn → Rn, une fonction de classe C1 telle que :

∀(x, y) ∈ Rn ×Rn, ‖x− y‖ ≤ K‖f(x)− f(y)‖

avec K > 0. Montrer que :1) f est injective, 2) f(Rn) est ouvert,3) f(Rn) est ferme, 4) f est surjective.5) Trouver des exemples de diffeomorphismes de R a valeurs dans R pourlesquels l’image d’un ferme de R n’est pas toujours fermee dans R.

Exercice 5.Soit f : Rn → Rn, une fonction de classe C2 telle que f(0) = 0.Supposons que, pour tout x ∈ Rn, les vecteurs colonnes de la matrice df(x)forment une base orthonormale de Rn, autrement dit df(x) est une isometrie.1) Montrer que f est une application lineaire.2) En deduire que f est une isometrie. Indication : Calculer ∂f

∂xi· ∂f∂xj puis

le deriver.

Exercice 6.Soit f : R→ R, une fonction de classe C1 telle que : ∀t ∈ R, |f ′(t)| ≤ k < 1.On considere l’application φ : R2 → R2 definie par : φ(x, y) = (x+f(y), y+f(x)).Montrer que φ est un diffeomorphisme de classe C1.

Exercice 7.On considere l’application f : R2 → R2 definie par : f(x, y) = (expx cos y, exp y sinx).1) Determiner le domaine maximal sur lequel on peut appliquer, en chaquepoint, le theoreme d’inversion locale.2) Montrer que l’inverse ne peut pas etre definie globalement.3) Donner d’autres exemples.

Exercice 8.Soient V ∈ O(Rn) et f ∈ C1(V,Rn). On suppose qu’il existe a ∈ V tel quedf(a) soit inversible.1) Montrer que f(a) ∈ (f(V )). On dit que f est interieure dans un voisi-nage de a.2) Donner un exemple de fonction f : R→ R qui ne soit pas une fonction

interieure.

Exercice 9.Soient V ∈ O(Rn) et f ∈ C1(V,Rp) avec p ≤ n. On suppose qu’il existea ∈ V tel que : Rang df(a) = p.1) Donner des exemples de R2 dans R.2) Montrer que f(a) ∈ (f(V )).

Exercice 10.1) Determiner D ⊂ R2 maximal tel que φ(x, y) = (x − y, xy) soit undiffeomorphisme de D sur φ(D).2) Meme question pour D ⊂ R3 et φ(x, y, z) = (x2 − y− z, 2x+ y+ z, x+y − z).

Exercice 11.Soient U ∈ O(R2), φ ∈ C1(U ×R,R2) et σ ∈ C1(]a, b[,R2) une courbe.On suppose que :1) pour y0 ∈ U , φ(y0, t0) = σ(s0) avec s0 ∈]a, b[,2) σ coupe la courbe t 7→ φ(y0, t) de maniere transversale, c’est-a -dire queσ′(s0) et ∂

∂tφ(y0, t0) sont lineairement independants.Montrer que les courbes φ(y, t)/t ∈ R rencontrent aussi la courbe σ auvoisinage de y0.Indication : considerer F : U × R × R → R2 telle que : F (y, t, s) =φ(y, t)− σ(s).

XI : Equations differentielles ordinaires, equations autonomes,solutions maximales.

Exercice 1.Soient I ∈ O(R), U ∈ O(Rn) et f ∈ C(I×U,Rn), lipschitzienne par rapporta la seconde variable dans I × U . On considere l’equation differentielle:

x(t) = f(t, x(t))

Montrer que, dans l’espace (t, x) (dit “espace de mouvement”), deux trajec-toires differentes de solutions ne se croisent jamais.

Exercice 2.Resoudre les equations differentielles suivantes, avec condition initiale, enprecisant l’intervalle maximal de definition de la solution.

1)

x = et

xx(0) = 1

2)

x = x2t3

x(0) = x0 6= 03)

x+ 2x = x2et

x(0) = x0 6= 0

Exercice 3.Resoudre les equations autonomes x = f(x), ou f(x) est donnee par lesexpressions suivantes, puis etudier les limites des solutions.

1) −(x+ 1) 2) −x+ x2 3) −x2 + xExercice 4.Soit f : R→ R une fonction de classe C1 telle que pour a ∈ R, f(a) = 0 etf ′(a) < 0.Montrer qu’il existe ε > 0 tel que pour tout x0 ∈ ]a− ε, a+ ε[ les solutionsde

x = f(x)x(0) = x0

soient definies pour tout t > 0 et verifient limt→+∞

x(t) = a.

Exercice 5.Soient I, J deux intervalles de R, x0 ∈ I, y0 ∈ J, f ∈ C(I,R), g ∈ C(J,R)telle que: ∀y ∈ J, g(y) 6= 0 et g est localement lipschitzienne sur J . Onconsidere le probleme suivant:

(P )

y(x) = f(x)g(y)y(x0) = y0.

On pose F (x) =∫ xx0f(t)dt, G(y) =

∫ yy0

= dsg(s) .

1) Montrer que si y est une solution de (P) definie sur un voisinage U ⊂ Ide x0 alors y est definie implicitement par G(y(x)) = F (x), ∀x ∈ U .2) Montrer que G ∈ C1(J) est une bijection de J sur G(J).3) Montrer que y(x) = G−1(F (x)) ∀x ∈ U tel que F (x) ∈ G(J). Endeduire une condition necessaire et suffisante pour que la solution y soitdefinie sur tout l’intervalle I.4) Dans le cas f(x) ≡ 1 et J = R, montrer que la condition trouvee dans3) s’ecrit sous la forme

|∫ +∞

y0

ds

g(s)| = |

∫ y0

−∞

ds

g(s)| =∞.

5) Resoudre le probleme (P) pour f(x) = cosx et g(y) = y2y2+1

.

Exercice 6: Lemme de Gronwall.Soit I ⊂ R un intervalle ouvert et y : I 7→ R une fonction continue. Sup-posons qu’il existe t0 ∈ I, a ∈ R et b ≥ 0 tels que

(1) y(t) ≤ a+ b

∫ t

t0y(s)ds ∀t ∈ I, t ≥ t0

1) Montrer que dans le cas ou l’on a l’egalite dans (1) pour tout t ∈ I alorsy(t) = aeb(t−t0) et y(t0) = a.2) On pose Y (t) =

∫ tt0y(s)ds. Montrer que Y ′(t)−bY (t) ≤ a ∀t ∈ I, t ≥

t0.3) En multipliant les deux cotes de l’inegalite precedente par e−b(t−t0) eten integrant ensuite sur [t0, s], montrer que

(2) Y (s) ≤ a

b(eb(s−t0) − 1), ∀s ∈ I, s ≥ t0.

4) En deduire de (1) et (2) que y(t) ≤ aeb(t−t0), ∀t ∈ I, t ≥ t0.5) Trouver une inegalite analogue a celle du 4) si l’on suppose maintenantque

y(t) ≤ a+ b

∫ t0

ty(s)ds ∀t ∈ I, t ≤ t0.

Exercice 7.Soient I un intervalle de R, Ω une partie ouverte de Rn, f ∈ C(I ×Ω,Rn),telle que f(t, ·) est localement lipschitzienne en x ∈ Ω. Supposons qu’ilexiste A : I 7→ Mn(R) et b : I 7→ Rn continues telles que

||f(t, x)|| ≤ ||A(t)x||+ ||b(t)||, ∀(t, y) ∈ I × Ω.

Montrer que la solution maximale du probleme: x = f(t, x); x(t0) = x0 estdefinie sur tout l’intervalle I.

Exercice 8.Soient a, K ∈ C([0,+∞[; ]0,+∞[).

1) En utilisant la transformation v(t) = 1u(t)

, resoudre le probleme u(t) =

a(t)u(t)(1− u(t)K(t)

); u(0) = u0 > 0 en fonction de a, K et u0.

2) On suppose que la fonction K est majoree par k sur [0,+∞[. Peut-onmajorer limt→∞ u(t)?

XII : Exponentielle de matrices.

Exercice 1.Soient K = R ou C et A ∈Mn(K).On se propose de resoudre le systeme differentiel lineaire d’ordre n : x = Ax,x ∈ K.1) On considere la norme matricielle suivante :

‖ A ‖= sup‖ Ax ‖ / x ∈ B‖ ‖(0, 1) = supx 6=0‖ Ax ‖‖ x ‖ .

Montrer que :a) ∀x ∈ Rn, ‖ Ax ‖≤‖ A ‖ ‖ x ‖.b) ‖ AB ‖≤‖ A ‖ ‖ B ‖ .c) (Mn(K), ‖‖) est un espace complet.

2) On definit l’exponentielle d’une matriceA comme suit : eA = limn→∞∑nk=0

Ak

k! .Justifier cette definition.3) Montrer:

a) AB = BA⇒ eA+B = eAeB.

b) (eA)−1

= e−A.c) si detT 6= 0, T−1eAT = eT

−1AT .4) On definit la derivee d’une matrice comme la matrice des derivees deses composantes. Montrer que etA existe pour tout t ∈ R, est derivable par

rapport a t et que ddt

(etA)

= AetA.

5) Montrer que :a) e(t+s)A = etAesA ∀ t, s ∈ R.

b) (etA)−1

= e−tA.6) Montrer que si :

D =

λ1 0 0 · · · 00 λ2 0 · · · 0...0 0 0 · · · λn

alors etD =

etλ1 0 0 · · · 0

0 etλ2 0 · · · 0...0 0 0 · · · etλn

.

7) Montrer que si :

B =

λ 1 0 · · · 00 λ 1 · · · 0...0 0 · · · λ 10 0 0 · · · λ

alors etB = eλt

1 t t2

2! · · · tn−1

(n−1)!0 1 t · · · tn−2

(n−2)!...0 0 · · · 1 t0 0 0 · · · 1

.

8) Montrer que l’unique solution du probleme :

x = Axx(0) = x0

est :

x(t) = etAx0.9) Montrer que si x(t) est solution de x = Ax alors z(t) = P−1x(t) estsolution de z = P−1APz et inversement.

10) En deduire une methode pour determiner les solutions du systemedifferentiel lineaire d’ordre n : x = Ax, x ∈ K.

Exercice 2.Soient a, b ∈ C, λ ∈ C∗.

1) Calculer exp

(a 00 a

)et exp

(0 b0 0

).

2) Determiner une matrice B ∈ M2(C) telle que eB =

(λ 00 λ

). B est-

elle unique ?

3) Meme question pour

(λ 10 λ

).

4) Montrer que ∀ C ∈ M2(R) telle que detC 6= 0, il existe B ∈ M2(C)telle que eB = C.Ind. Si N est une matrice nilpotente, definir ln(Id+N) =

∑i≥1(−1)i+1N i

i .Application: Calculer B telle que

eB =

(λ 10 λ

)

5) Dans quelles conditions B est-elle une matrice reelle?6) On admettra, sans demonstration, qu’il existe une matrice reelle B telleque eB = M2.Voir dans E.Coddington, N.Levinson “Ordinary differential equations”, chapitre3.

XIII : Systemes differentiels lineaires.

Systemes differentiels lineaires homogenes a coefficients constants.

Exercice 1.Soit A ∈Mn×n(R). On considere le systeme X(t) = AX(t), t ∈ R.1) Montrer que si λ ∈ C est une valeur propre de A et v est un vecteurpropre associe a λ alors la fonction X(t) = eλtv est une solution du systeme.2) Soit λ une valeur propre de A et v1, v2 deux vecteurs propres associes a λlineairement independants. Montrer que les solutions Xi(t) = eλtvi, i = 1, 2sont lineairement independantes.3) Soient λ1 6= λ2 deux valeurs propres de A et v1, v2 deux vecteurs pro-pres associes respectivement a λ1 et λ2. Montrer que les solutions Xi(t) =eλitvi, i = 1, 2 sont lineairement independantes.4) Montrer que si λ ∈ C\R est une valeur propre de A et v est un vecteurpropre associe a λ alors <(eλtv) et =(eλtv) sont deux solutions lineairementindependantes du systeme sur R.

Exercice 2.Utiliser l’exercice 1 dans les cas:

A =

2 1 11 2 11 1 2

;

x′ = 8yz′ = 8y + 2x− 2zy′ = −2z

Calculer etA dans un des cas precedents.

Exercice 3.Resoudre les systemes suivants:

A =

0 0 1 02 0 0 1−1 0 0 20 0 0 0

;

x′1 = 2x1 + x4x′2 = 1

2x1 + 94x2 −

14x3 − x4

x′3 = 12x1 + 1

4x2 + 74x3 + x4

x′4 = 12x1 + 1

4x2 −14x3 + 2x4

Determiner pour le premier systeme la solution qui verifie: X(0) = (1, 0, 1, 0).Quel est le domaine de definition des solutions maximales de ces systemes?

Exercice 4.On considere l’equation differentielle lineaire homogene a coefficients reels

constants:

(∗) yn)(t) + an−1yn−1)(t) + an−2y

n−2)(t) + . . .+ a0y(t) = 0

On ecrit (∗) de la forme P ( ddt)y = 0 ou P (x) = xn +∑n−1k=0 akx

k. On pose

L = P ( ddt).1) Ecrire (∗) comme un systeme d’ordre 1: z = Az, A ∈Mn×n(R).2) Montrer que le polynome caracteristique de la matrice A est (−1)nP .Soient λi ∈ C, i = 1, . . . k les valeurs propres distinctes de P et soit mi lamultiplicite de λi dans P . Calculer µi, i = 1, ..., k. Quel est le polynomeminimal de A?3) Soit g(λ, t) une fonction de classe Cn+1 sur son domaine de definition.Montrer que

L(∂

∂λg(λ, .)) =

∂

∂λLg(λ, .)

4) Montrer que tpeλit; i = 1, ..., k, p = 0, ....,mi − 1 est une base del’espace des solutions de (∗). Ind: Faire d’abord le cas p=0, puis ecriretpeλit = ∂p

∂λpieλit et appliquer 3.

Exercice 5.Trouver un systeme fondamental reel de l’equation

y(5) + 4y(4) + 2y′′′ − 4y

′′+ 8y′ + 16y = 0

Systemes differentiels lineaires non homogenes a coefficients con-stants.

Exercice 6.Resoudre le probleme suivant:

x′1 = x1x′2 = 2x1 + x2 − 2x3x′3 = 3x1 + 2x2 + x3 + et cos 2tx(0) = (0, 0, 1)

par la methode de variation des constantes.

Exercice 7.Trouver toutes les solutions du systeme:

x′1 = x1 + ect

x′2 = 2x1 + x2 − 2x3x′3 = 3x1 + 2x2 + x3 + et

en cherchant une solution particuliere de la forme x(t) = ectb, b ∈ Rn sic 6= 1 ou de la forme x(t) = ect(ta+ b), a, b ∈ Rn si c = 1.

Systemes differentiels lineaires a coefficients variables.

Exercice 8.Montrer que si l’on effectue un changement de variable t = es, l’equationscalaire

(1) t3d3y

dt3+ 6t2

d2y

dt2+ 8t

dy

dt+ 12y = 0, t ∈]0,+∞[,

devientd3y

ds3+ 3

d2y

ds2+ 4

dy

ds+ 12y = 0, s ∈ R.

Resoudre (1) et trouver une matrice fondamentale du systeme du premierordre equivalent a (1).

Exercice 9.On considere le systeme

x′1 = 1tx1 − x2

x′2 = 1t2x1 + 2

tx2 + t

t ∈ I =]0,+∞[.1) Trouver une matrice fondamentale Φ(t) du systeme et resoudre celui-cipar la methode de variation des constantes.2) A-t-on Φ(s)Φ(t) = Φ(s+ t) ∀s, t ∈ I?

XIV : Plan des phases en dimension 2.

Le cas lineaire.

Exercice 1.Soit g : R→ R une fonction lipschitzienne et y0 ∈ R.1) Montrer que si φ(t) est la solution du probleme de Cauchy suivant:y′(t) = g(y); y(0) = y0, alors φ(t − t0) est la solution du probleme deCauchy: y′(t) = g(y); y(t0) = y0.2) En deduire que deux trajectoires differentes dans le plan des phasesn’ont aucun point commun.

Exercice 2.Soient λ, λ1, λ2, µ et ω 6= 0, des constantes reelles.1) Determiner les solutions des systemes suivants

(1)

x = λxy = λy

(2)

x = λ1xy = λ2y

a.λ1λ2 > 0 b.λ1λ2 < 0 (3)

x = λxy = x+ λy

(4)

x = −yy = x

(5)

x = µx− ωyy = ωx+ µy

a.µ > 0 b.µ < 0

2) Tracer le graphe des solutions dans R3.3) Tracer les trajectoires des solutions dans le plan des phases. Preciserles solutions stationnaires dans chaque cas.4) Que se passe-t-il en (0, 0)?

Exercice 3.Soit λ ∈ R. On considere l’equation:

x− λx− (λ− 1)(λ− 2)x = 0

1) Determiner les solutions stationnaires et le plan des phases.2) Representer les differents cas dans le diagramme Trace-Determinant.

Exercice 4.On considere le systeme lineaire suivant:

x = (α2 − α+ 2)x+ yy = −αx

en fonction de α ∈ R.1) Quelle courbe obtient-on dans le diagramme T-D?2) Determiner le caractere de l’equilibre (0, 0) en fonction de α.3) Dessiner le plan des phases pour: a. α = −1, b. α = 0, c. α = 1, d. α =2.

Systemes conservatifs a un degre de liberte x = F (x).

Notation: Supposons que F ∈ C1(J), J un intervalle dans R et x0 ∈ I.L’energie potentielle est definie par: U(x) = −

∫ xx0F (ρ)dρ. L’energie est

egale a: E(x, x) = 12 x

2 + U(x).

Exercice 5.Soit x ∈ C2(I), I intervalle de R.1) Montrer que si x est une solution de x = F (x) alors E est constante lelong des solutions.2) Reciproquement, si E(x, x) = c ∀t ∈ I alors x est une solution dex = F (x).3) Conclure.

Exercice 6.Montrer que (x0, y0) est une trajectoire stationnaire Ssi U ′(x0) = 0 et y0 = 0.Quelle est l’energie d’une solution stationnaire?.

Exercice 7.1) Tracer le plan des phases associe a l’equation x = F (x) dans les cas oul’energie potentielle correspondante U(x) est de la forme:

2) Caracteriser les centres et les points selle en fonction du graphe de U(x).3) Peut-on avoir des tourbillons ? des noeuds?

Exercice 8.Soit g ∈ C1(R), g(0) = 0 et xg(x) > 0 pour tout x ∈]−a, a[\0 avec a > 0.1) Montrer que dans un voisinage de (0, 0), les trajectoires du systeme depremier ordre correspondant a (∗) forment des courbes fermees dans le plandes phases.2) Appliquer 1) au cas: g(x) = L sinx, L > 0 et a = π. Tracer le plan desphases.

Systemes “integrables”.

Exercice 9.On considere le systeme

x = f(x, y)y = g(x, y)

ou f, g sont des fonctions de classe C1 dans leur domaine de definition.1) Montrer si une solution (x(t), y(t)) du systeme est telle que x(t) 6= 0pour tout t dans un intervalle I ⊂ R alors la fonction y(x) := y(x−1(x))

verifie dydx = g(x,y)

f(x,y) .

2) Donner un resultat analogue lorsque y(t) 6= 0 dans un intervalle I ⊂ R.

Exercice 10.On considere le systeme

x = x− xyy = xy − y

1) Determiner les equilibres.

2) Resoudredy

dx=x− 1

x

y

1− yen utilisant la formule des variables separees.3) Determiner le plan des phases et montrer que pour x > 0 et y > 0 lestrajectoires sont periodiques.

Etude qualitative d’un plan de phases.

Exercice 11.Le systeme (1) de Lotka-Volterra modelise l’evolution de deux especes quid’une part se reproduisent et d’autre sont en competition intra et inter-specifique. Elles se partagent le meme espace et la meme norriture et n’ontpas de predateurs. Les fonctions y(t) et z(t) designent respectivement lenombre d’individus de l’espece A et B a l’instant t.

(1)

y = y(1− y − 1

2z)z = (1− z − 1

2y)

1) Trouver les solutions (y, z) de (1) avec: (a) z ≡ 0 ; (b) y ≡ 0. Determinerdans chaque cas lim

t→∞y(t) et lim

t→∞z(t).

2) Pour chacune des deux especes A et B, trouver le nombre d’individusnecessaire pour que leurs population reste constante.3) Dans le plan des phases, determiner les regions dans lesquelles:(a) les population de A et B augmentent; (b) A augmente et B diminue; (c)A diminue et B augmente; (d) A et B diminuent.4) Expliquer pourquoi le systeme (1) ne possede pas de trajectoires fermees(ou periodiques).

Linearisation d’un systeme.

Exercice 12.On considere le systeme de Lotka-Volterra avec K = (2

√2− 2)

−1:

x = x(1− x

K

)− xy

y = xy − y

Demontrer que P2 =(1, 1− 1

K

)est un noeud impropre stable et attractif.

Exercice 13.On considere le systeme non lineaire :

x = x2 − y2y = 2xy

1) Determiner les equilibres et donner l’allure generale du plan des phases.2) Le systeme linearise autour de l’origine permet-il de trouver le com-portement des trajectoires au voisinage de cet equilibre ?3) Determiner explicitement les trajectoires dans le plan des phases et com-parer les resultats.

Exercice 14.Etudier le systeme associe a l’equation x = F (x) autour de ses equilibres etcomparer les resultats obtenus avec ceux des exercices XIV.5,6,7.

XV : Stabilite et attractivite, fonctions de Lyapounov.

Le cas lineaire.

Exercice 1.Rappeler la definiton de la stabilite et de l’ attractivite au sens de Lyapounovd’un equilibre. Etudier, en utilisant ces definitions, le caractere de l’originedans le plan des phases d’un systeme lineaire quelconque en dimension 2.

Exercice 2.Soit A ∈ Mn(C) et σ(A) le spectre de A. On considere le systeme (*):x(t) = Ax. Soit t0 > 0.1) Supposons que <(σ(A)) < 0.

a) Montrer qu’il existe α > 0 tel que si x est la solution de (*) avecx(t0) = x0 alors il existe C > 0 tel que

||x(t)|| ≤ C||x0||e−αt ∀t ≥ t0

b) En deduire que l’origine est un equilibre stable et attractif.2) Supposons que <(σ(A)) ≤ 0 et pour toute valeur propre λ avec <(λ) = 0alors les multiplicites algebriques et geometriques coıncident.

a) Montrer que si x est la solution de (*) avec x(t0) = x0 alors il existeC > 0 tel que

||x(t)|| ≤ C||x0|| ∀t ≥ t0b) En deduire que l’origine est un equilibre stable.

3) Supposons que <(σ(A))∩]0,+∞[6= ∅. Montrer que dans tout voisinagede l’origine il existe x0 tel que si x(t0) = x0 et x est une solution de (*) alors

limt→+∞

||x(t)|| = +∞

En particulier, l’origine est instable et repulsif.4) Etudier les reciproques de 1),2) et 3).

Le cas non lineaire.

Exercice 3.1) Determiner les solutions stationnaires du systeme

x = x(1− x2 − 6y2)y = y(1− 3x2 − 3y2)

2) Ecrire les equations du systeme linearise dans un voisinage de chacundes points trouves et caracteriser les differents plans des phases.3) A-t-on des equilibres stables ou instables? des equilibres attractifs ourepulsifs?

Exercice 4.Considerons le systeme:

x = 2y(z − 1)y = −x(z − 1)z = xy

1) Determiner les equilibres.2) Le point (0, 0, 1) est-il un equilibre attractif? Meme question pour lepoint (0, 0, 0).3) Trouver une fonction de Lyapounov pour l’equilibre (0, 0, 1) sous laforme V (x, y, z) = ax2 + by2 + (z − 1)2. Que peut-on en deduire quant a lastabilite de (0, 0, 1) ?

Exercice 5.On considere l’equation de Lienard (L): x+ f(x)x+ g(x) = 0avec f, g ∈ C1(R). On suppose que g satisfait a la condition: xg(x) >0, ∀x ∈ R, x 6= 0.1) Etudier le systeme linearise autour de l’unique equilibre (0, 0).2) Preciser les cas ou l’on peut determiner la nature de l’equilibre dans lesysteme non-linearise.3) Si l’on suppose : f(0) = 0, f(x) ≥ 0 dans un voisinage de x = 0,montrer que la fonction V (x, y) = 1

2y2 +G(x) ou G(x) =

∫ x0 g(s)ds, est une

fonction de Lyapounov dans un voisinage de (0, 0) (que l’on precisera).

Exercice 6.On considere le systeme x = f(x), x ∈ Rn, et f etant une fonction declasse C2. Soit x un equilibre. On pose A = df(x). Supposons que A estdiagonalisable et que <(σ(A)) < 0. Si P designe la matrice de passage deA, on pose V (x) = ||P (x− x)||2.Montrer que V est une fonction de Lyapounov locale du systeme.

Exercice 7.Soit x = Ax avec A ∈Mn×n(R). Montrer que1) s’il existe B ∈Mn×n(R) symetrique definie positive telle que BA+A∗Bsoit definie negative alors l’origine est stable et attractif.

Ind. Etudier le comportement de V (x) = x∗Bx le long des trajectoires.2) si <(σ(A)) = σ(A) < 0 alors il existe B symetrique definie positive telleque BA+A∗B soit definie negative.Ind. Decomposer A = T−1JεT avec Jε = Diag(λi) + εN , N nilpotente etprendre B = T ∗T .

Exercice 8.On considere le systeme de Lorenz :

x = σ(y − x)y = rx− y − xzz = −bz + xy

de parametres σ > 0, b > 0 et 0 ≤ r ≤ 1.1) Trouver les equilibres et etudier leur stabilite et leur attractivite.2) Montrer que si r = 1, le systeme admet une fonction de Lyapounov glob-ale du type : V (x, y, z) = x2 + βy2 + γz2, avec α, β, γ > 0, pour l’equilibre(0, 0, 0). L’origine est-il stable? attractif ?

Exercice 9.On considere le systeme (∗) suivant :

(∗)x = x

2 − y − x(x2 + y2)y = x− y

2 − y(x2 + y2)

1) Montrer que (0, 0) est l’unique equilibre. Peut-on etudier le caracterede (0, 0) a l’aide du systeme linearise?2) La fonction V (x, y) = x2 + y2 est-elle une fonction de Lyapounov dusysteme (∗) en (0, 0)?3) Choisissons maintenant V (x, y) = x2 + y2 − xy. Montrer que V est unefonction de Lyapounov pour (∗) en (0, 0).

Exercice 10.On considere le systeme (∗∗) suivant :

(∗∗)x = x4 − y4y = x3y

1) Peut-on determiner la nature de l’equilibre (0, 0) dans le systeme non-linearise?2) Peut-on integrer le systeme?

3) Pouvez-vous donner une fonction de Lyapounov de (∗∗) pour l’equilibre(0, 0)?

4) Determiner le signe de d2xdy2

si x(y) est une trajectoire de (∗∗) telle quex ≥ 0.5) Tracer le plan des phases.