Solucion Simplex

Considere la siguiente tabla en proceso para un problema de maximización:

Cj 21 25 23 18

VB X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 S4 VS

2 1 3 0 0 1 0 0 35

1 0 2 0 0 0 1 0 42

3 0 1 1 0 1 0 0 51

4 0 -2 0 -2 0 0 1 28

Zj

Cj - Zj

a- Escriba las ecuaciones transformadas, correspondientes a esta tabla?10%

b- Escriba la función objetivo? 10%

c- Cuáles son las variables básicas en esta tabla?20%

d- Cuáles son las variables no básicas en esta tabla?10%

e- Complete la tabla anterior?20%

f- Es óptima la solución actual? Si es no, defina cual variable debe entrar y cual

variable debe salir. Si es óptima cual es el valor de solución de las variables y de

la función objetivo.30%

Quiz #4Quiz #4

Cj 21 25 23 18 0 0 0 0

VB X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 S4 VS

25 X2 2 1 3 0 0 1 0 0 35

0 S3 1 0 2 0 0 0 1 0 42

18 X4 3 0 1 1 0 1 0 0 51

0 S4 4 0 -2 0 -2 0 0 1 28

Zj 104 25 93 18 0 43 0 0 1793

Cj - Zj -83 0 -70 0 0 -43 0 0

Quiz #4Quiz #4

A- 2X1 + X2 +3X3 +0X4 + 0S1 + S2 + 0S3 + 0S4 =35 X1 +0X2+2X3 +0X4+ 0S1 +0S2 + S3 + 0S4 =423X1 +0X2+ X3 + X4 + 0S1 + S2 + 0S3 +0S4 =514X1 +0X2-2X3 + 0X4 -2S1 + 0S2 + 0S3 + S4 = 28

B- 21X1 +25X2 +23X3 +18X4 +0S1 +0S2 +0S3 +0S4

C- X2, X4, S3, S4

D- X1, X3, S1, S2

E- TABLA

G- ES OPTIMA FO = 1793 X2=35 X4= 51 S3=42 S4=28 RESTO 0.

Solución Simplex de modelos de PL

RESTRICCIONES DEL TIPO ≥RESTRICCIONES DEL TIPO ≥

Práctica:

Max Zo = 5,000 (E) + 4000 (F)Max Zo = 5,000 (E) + 4000 (F) sa:sa:Max Zo = 5,000 (E) + 4000 (F)Max Zo = 5,000 (E) + 4000 (F) sa:sa: 10E + 15F 10E + 15F ≤ 150 ≤ 150 dpto Adpto A10E + 15F 10E + 15F ≤ 150 ≤ 150 dpto Adpto A

20E + 10F 20E + 10F ≤ 160 ≤ 160 dpto Bdpto B20E + 10F 20E + 10F ≤ 160 ≤ 160 dpto Bdpto B

30E + 10F 30E + 10F ≥ 135 135 dpto Comprobacióndpto Comprobación30E + 10F 30E + 10F ≥ 135 135 dpto Comprobacióndpto Comprobación

E + F E + F ≥ 5 5 orden de consumidororden de consumidor E + F E + F ≥ 5 5 orden de consumidororden de consumidor

F – 3E F – 3E ≤≤ 00 posición de mercadoposición de mercado F – 3E F – 3E ≤≤ 00 posición de mercadoposición de mercado E , F E , F ≥ 0 0 no negatividadno negatividad E , F E , F ≥ 0 0 no negatividadno negatividad

10E+15F+1S1+0S2+0S3+0S4+0S5+0A6+0A7 =15020E+10F+0S1+1S2+0S3+0S4+0S5+0A6+0A7 =16030E+10F+0S1+0S2-1S3+0S4+0S5+1 A6 +0A7 =135 1E+ 1F +0S1+0S2+0S3-1S4+0S5+0A6+1 A7 =5-3E+ 1F +0S1+0S2+0S3+0S4+1S5+0A6+0A7 = 0

10E+15F+1S1+0S2+0S3+0S4+0S5+0A6+0A7 =15020E+10F+0S1+1S2+0S3+0S4+0S5+0A6+0A7 =16030E+10F+0S1+0S2-1S3+0S4+0S5+1 A6 +0A7 =135 1E+ 1F +0S1+0S2+0S3-1S4+0S5+0A6+1 A7 =5-3E+ 1F +0S1+0S2+0S3+0S4+1S5+0A6+0A7 = 0

FO: 5000E+ 4000F +0S1+0S2+0S3+0S4+0S5-MA6-MA7FO: 5000E+ 4000F +0S1+0S2+0S3+0S4+0S5-MA6-MA7


TABLA INICIALCj 5000 4000 0 0 0 0 0 -M -M

VD E F S1 S2 S3 S4 S5 A6 A7 VS

0 S1 10 15 1 0 0 0 0 0 0 150

0 S2 20 10 0 1 0 0 0 0 0 160

-M A6 30 10 0 0 -1 0 0 1 0 135

-M A7 1 1 0 0 0 -1 0 0 1 5

0 S5 -3 1 0 0 0 0 1 0 0 0

Zj -31M -11M 0 0 M M 0 -M -M -135M

Cj - Zj 5000+31M 4000+11M 0 0 -M -M 0 0 0


TABLA #2Cj 5000 4000 0 0 0 0 0 -M -M

VD E F S1 S2 S3 S4 S5 A6 A7 VS

4000 F 0 1 0 0 0,1 -0,05 0 0 0 7

5000 E 1 0 0 0 -0,05 0,075 0 0 0 4,5

0 S2 0 0 0 1 0,36 -0,225 0 0 0 16,5

0 S5 0 0 0 0 -0,5 1,75 1 -1 0 70

0 S1 0 0 1 0 0,05 0,025 0 0 -1 6,5

Zj 5000 4000 0 0 150 175 0 0 0 50500

Cj - Zj 0 0 0 0 -150 -175 0 -M -M

Solución:Solución:FO = 50,500

E = 4,5 unidadesF = 7 unidadesS1 = 6,5S2 = 16,5S5 = 70S3 = 0S4 = 0

Solución gráfica modelos de PLPráctica:

E + F E + F ≥ 5. 5. E + F E + F ≥ 5. 5.

F – 3E F – 3E ≤≤ 00 F – 3E F – 3E ≤≤ 00

E

15

10

5

5 10 15 F

10E + 15F 10E + 15F ≤ 150≤ 15010E + 15F 10E + 15F ≤ 150≤ 150

20E + 10F 20E + 10F ≤ 160≤ 16020E + 10F 20E + 10F ≤ 160≤ 160

30E + 10F 30E + 10F ≥ 135 13530E + 10F 30E + 10F ≥ 135 135

Pto solución óptima?Pto solución óptima?Pto solución óptima?Pto solución óptima?

E = 4,5E = 4,5F = 7F = 7E = 4,5E = 4,5F = 7F = 7

Solución Simplex:Solución Simplex:FO = 50,500

E = 4,5 unidadesF = 7 unidadesS1 = 6,5S2 = 16,5S5 = 70S3 = 0S4 = 0


MINIMIZACION SIMPLEXMINIMIZACION SIMPLEX:

Criterio optimalidad Cj – Zj ≥ 0 para todo j.todos los valores deben ser positivos

Selección de la variable que entra:+ valor más negativo del reglón Cj – Zj+ resto del proceso igual al caso de maximización

Ejemplo:Min Zo= 3X1 + 8 X2 sa

X1 + 4 X2 ≥ 3.5 X1 + 2X2 ≥ 2.5 X1,X2 ≥ 0

-Con este ejemplo revisamos el proceso de trabajo para variables de excedente para restricciones del tipo mayor o igual.

Min Zo = 3X1 + 8X2 + 0S3 + 0S4 + MA5 + MA6 X1 + 4X2 – S3 + 0S4 + A5 + 0A6 = 3.5 X1 + 2X2 +0S3 – S4 + 0A5 + A6 = 2.5

MINIMIZACION SIMPLEXMINIMIZACION SIMPLEX:

Criterio optimalidad Cj – Zj ≥ 0 para todo j.todos los valores deben ser positivos

Selección de la variable que entra:+ valor más negativo del reglón Cj – Zj+ resto del proceso igual al caso de maximización

Ejemplo:Min Zo= 3X1 + 8 X2 sa

X1 + 4 X2 ≥ 3.5 X1 + 2X2 ≥ 2.5 X1,X2 ≥ 0

-Con este ejemplo revisamos el proceso de trabajo para variables de excedente para restricciones del tipo mayor o igual.

Min Zo = 3X1 + 8X2 + 0S3 + 0S4 + MA5 + MA6 X1 + 4X2 – S3 + 0S4 + A5 + 0A6 = 3.5 X1 + 2X2 +0S3 – S4 + 0A5 + A6 = 2.5


Valor más negativoValor más negativo

TABLA INICIAL

Cj 3 8 0 0 M M

VD X1 X2 S3 S4 A5 A6 VS

M A5 1 4 -1 0 1 0 3,5

M A6 1 2 0 -1 0 1 2,5

Zj 2M 6M -M -M M M 6M

Cj - Zj 3-2M 8-6M M M 0 0

SEGUNDA TABLA

Cj 3 8 0 0 M M


8 x2 1/ 4 1 -1/ 4 0 1/ 4 0 0,875

M A6 1/ 2 0 1/ 2 -1 -1/ 2 1 0,75

Zj 2+M/ 2 8 -2+M/ 2 -M 2-M/ 2 M 7+0,75M

Cj - Zj 1-M/ 2 0 2-M/ 2 M -2+3M/ 2 0


Todos los valores son cero o positivosSolución óptima? Todos los valores son cero o positivosSolución óptima?

TERCERA TABLA

Cj 3 8 0 0 M M


8 x2 0 1 -1/ 2 1/ 2 1/ 2 -1/ 2 0,5

3 X1 1 0 1 -2 -1 2 1,5

Zj 3 8 -1 -2 1 -2 8,5

Cj - Zj 0 0 1 2 M-1 M+2

Están en la solución Están en la solución


+ La presencia de soluciones óptimas adicionales se señala en el reglón Cj – Zj = 0 , para cualquier variable que no esté en la solución.

+ Esto es importante porque amplia las posibilidades de toma de decisiones administrativas en:

+ recursos + complejidad + otros




TABLA FINAL

Cj 8 4 0 0

VD X1 X2 S3 S4 VS

0 S3 0 7/ 2 1 -7 14

8 X1 1 1/ 2 0 1 5

Zj 8 4 0 8 40

Cj - Zj 0 0 0 -8


Cj 7 10 0 0

VD X1 X2 S3 S4 VS

10 X2 1 1 1/ 7 0 7

0 S4 5 0 -5/ 7 1 15

Zj 10 10 10/ 7 0 70

Cj - Zj -3 0 -10/ 7 0

X1

X2

10

10

5

7

10X1 + 5X2 = 50

7X1 + 7X2 = 49

Volvamos al ejemplo de Maximización:Volvamos al ejemplo de Maximización:

Max Zo= 7X1 + 10X2


Interpretación economica del método símplexInterpretación economica del método símplex::

+ Los coeficientes de la parte central de la tabla son tasas de sustitución o de cambio entre dos variables (en la formulación el coeficiente de una restricción representa la tasa de sustitución entre una variable asociada y un recurso).

+ Por ejemplo en la columna #1 el 5 representa la tasa de cambio entre X1 y S4.

*si aumenta el valor de X1 en la solución en 1 unidad, el valor de S4 tiene que disminuir 5 unidades, también una unidad de X1 desplaza 1 unidad de X2.

10X1 + 5X2 + 0S3 + S4 = 50 0 + 35 + 0 + 15 = 50 10 + 30 + 0 + 10 = 50

7X1 + 7X2 + S3 + 0S4 = 49 0 + 49 + 0 + 0 = 49 7 + 42 + 0 + 0 = 49

Cj 7 10 0 0

VD X1 X2 S3 S4 VS

10 X2 1 1 1/ 7 0 7

0 S4 5 0 -5/ 7 1 15

Zj 10 10 10/ 7 0 70

Cj - Zj -3 0 -10/ 7 0


*de la misma manera una unidad de S3, desplazaría 1/7 de X2 y -5/7 de S4

7X1 + 7X2 + S3 + 0S4 = 49 0 + 49 + 0 + 0 = 49

X2 = 7 = 49/7 -1/7 X2 X2 = 48/7

S3 =10 + 7 * (48/7) + 1 + 0 = 490 + 48 + 1 + 0 = 49

10X1 + 5X2 + 0S3 + S4 = 50X2 = 48/7S4 = -5/7

10 (0) + 5(48/7) + 0 + (15 – (-5/7)) = 50 0 + 240/7 + 0 + 110/7 = 50

350/7 = 50

Cj 7 10 0 0

VD X1 X2 S3 S4 VS

10 X2 1 1 1/ 7 0 7

0 S4 5 0 -5/ 7 1 15

Zj 10 10 10/ 7 0 70

Cj - Zj -3 0 -10/ 7 0


Cj 7 10 0 0

VD X1 X2 S3 S4 VS

10 X2 1 1 1/ 7 0 7

0 S4 5 0 -5/ 7 1 15

Zj 10 10 10/ 7 0 70

Cj - Zj -3 0 -10/ 7 0

* Zj los llamamos costos de oportunidad

* Para la función objetivo analizamos la contribución marginal de cada variable y esto lo observamos en el reglón de criterio simplex Cj – Zj, mostrando el efecto neto que tendría una unidad de una nueva variable sobre la función objetivo.

* Para X1, el efecto neto es 7 – 10 = -3, es decir por cada unidad de X1 que se introduce a la solución, la función objetivo disminuirá en 3 unidades.


Soluciones Múltiples:Soluciones Múltiples:

Max Zo = 8X1 + 4X2 sa

7X1 + 7 X2 ≤ 4910X1 + 5 X2 ≤ 50

Soluciones Múltiples:Soluciones Múltiples:

Max Zo = 8X1 + 4X2 sa

7X1 + 7 X2 ≤ 4910X1 + 5 X2 ≤ 50








TABLA FINAL

Cj 8 4 0 0

VD X1 X2 S3 S4 VS

0 S3 0 7/ 2 1 -7 14

8 X1 1 1/ 2 0 1 5

Zj 8 4 0 8 40

Cj - Zj 0 0 0 -8


Max Zo = 8X1 + 4X2 sa 7X1 + 7 X2 ≤ 49 X1 = 5 S3 = 1410X1 + 5 X2 ≤ 50 X2 = 0 S4 = 0 Valor

solución

Max Zo = 8X1 + 4X2 sa 7X1 + 7 X2 ≤ 49 X1 = 5 S3 = 1410X1 + 5 X2 ≤ 50 X2 = 0 S4 = 0 Valor

soluciónMax Zo = 8 (5) + 4 (0) = 40 sa 7X1 + 7 X2 ≤ 49 7(5) + 7(0) + 14 = 4910X1 + 5 X2 ≤ 50 10(5) + 5(0) = 50

Max Zo = 8 (5) + 4 (0) = 40 sa 7X1 + 7 X2 ≤ 49 7(5) + 7(0) + 14 = 4910X1 + 5 X2 ≤ 50 10(5) + 5(0) = 50

Existe una nueva solución con X2?Cj – Zj = 0 C2 = 4 para X2

entonces si X2 =4 implica que X1 = ? 7X1 + 7X2 = 49 si X2 = 4 entonces X1 = 3

Nueva solución X1 = 3 y X2 = 4

Max Zo = 8 (3) + 4 (4) = 40 sa

7 (3) + 7 (4) = 4910 (3) + 5 (4) = 50

Existe una nueva solución con X2?Cj – Zj = 0 C2 = 4 para X2

entonces si X2 =4 implica que X1 = ? 7X1 + 7X2 = 49 si X2 = 4 entonces X1 = 3

Nueva solución X1 = 3 y X2 = 4

Max Zo = 8 (3) + 4 (4) = 40 sa

7 (3) + 7 (4) = 4910 (3) + 5 (4) = 50

TABLA FINAL

Cj 8 4 0 0

VD X1 X2 S3 S4 VS

0 S3 0 7/ 2 1 -7 14

8 X1 1 1/ 2 0 1 5

Zj 8 4 0 8 40

Cj - Zj 0 0 0 -8


CONDICION NO FACTIBLE:CONDICION NO FACTIBLE:

+ Si tenemos restricciones en conflicto no logramos una solución factibleX2 ≥ 10 y X2 ≤ 2

+ En problemas de pocas variables y restricciones es fácil verlas (formulación)

+ en problemas de muchas variables y muchas restricciones se procede a correr el Simplex

+ y si encontramos una variable artificial en la solución final, se dice que no hayno hay una solución factibleuna solución factible.

CONDICION NO FACTIBLE:CONDICION NO FACTIBLE:

+ Si tenemos restricciones en conflicto no logramos una solución factibleX2 ≥ 10 y X2 ≤ 2

+ En problemas de pocas variables y restricciones es fácil verlas (formulación)

+ en problemas de muchas variables y muchas restricciones se procede a correr el Simplex

+ y si encontramos una variable artificial en la solución final, se dice que no hayno hay una solución factibleuna solución factible.

SOLUCION NO ACOTADA:SOLUCION NO ACOTADA:SOLUCION NO ACOTADA:SOLUCION NO ACOTADA:

X1X1

X2X2

Región factible

No acotada

Región factible

No acotada

11

22

Max Zo = X1 + 2X2sa X1 ≥ 1 X2 ≥ 2

Max Zo = X1 + 2X2sa X1 ≥ 1 X2 ≥ 2

Como resolverlo?Como resolverlo?


Caso de maximización:

asegurar que por lo menos tengamosuna restricción del tipo ≤ o =.

Caso de minimización:

asegurar que por lo menos tengamosuna restricción del tipo ≥ o =.

Caso de maximización:

asegurar que por lo menos tengamosuna restricción del tipo ≤ o =.

Caso de minimización:

asegurar que por lo menos tengamosuna restricción del tipo ≥ o =.

Que pasa si corremos en Simplex?Que pasa si corremos en Simplex?

TABLA FINAL

Cj 1 2 0 0 -M -M


1 X1 1 0 -1 0 1 0 1 1/0 =∞

2 X2 0 1 0 -1 0 1 2 2/-1 = -2

Zj 1 2 -1 -2 1 2 5

Cj - Zj 0 0 1 2 -M-1 -M-2

Criterio del menor valor positivo ?Criterio del menor valor positivo ?


SINTOMA DE EMPATE EN LA VARIABLE QUE ENTRA:SINTOMA DE EMPATE EN LA VARIABLE QUE ENTRA:

+ Cuando esto suceda, simplemente se selecciona una variable arbitrariamente y se sigue adelante con la metodología del Simplex.

SINTOMA DE EMPATE EN LA VARIABLE QUE ENTRA:SINTOMA DE EMPATE EN LA VARIABLE QUE ENTRA:

+ Cuando esto suceda, simplemente se selecciona una variable arbitrariamente y se sigue adelante con la metodología del Simplex.

SINTOMA DE EMPATE EN LA VARIABLE QUE SALE:SINTOMA DE EMPATE EN LA VARIABLE QUE SALE:

+ Al igual que el empate en la variable que entra, se selecciona una y se continua.

sin embargo,

+ Un empate para la variable que sale indica una condición llamada:

DEGENERACIONDEGENERACION

SINTOMA DE EMPATE EN LA VARIABLE QUE SALE:SINTOMA DE EMPATE EN LA VARIABLE QUE SALE:

+ Al igual que el empate en la variable que entra, se selecciona una y se continua.

sin embargo,

+ Un empate para la variable que sale indica una condición llamada:

DEGENERACIONDEGENERACION

Una solución se llama degenerada siempre que una o másvariables básicas tengan un valor de cero en la solución.Una solución se llama degenerada siempre que una o másvariables básicas tengan un valor de cero en la solución.

+ Es posible que las soluciones óptimas sean degeneradas y esto no quiere decir que el método se aplicó mal.

+ Solamente indica que si se hace una selección equivocada de la variable que sale, puede caerse en una oscilación sin fin ( entra y sale ……)

+ que hacer, se debe volver al inicio y seleccionar otra variable.

+ Es posible que las soluciones óptimas sean degeneradas y esto no quiere decir que el método se aplicó mal.

+ Solamente indica que si se hace una selección equivocada de la variable que sale, puede caerse en una oscilación sin fin ( entra y sale ……)

+ que hacer, se debe volver al inicio y seleccionar otra variable.


RESUMEN:RESUMEN:

SINTOMA CONDICION / ACCION

-Tabla final tiene variables que no + Soluciones múltiples son solución con Cj – Zj = 0

-Variable artificial en la solución final + Sin solución factible

-Columna de solución con todos los + Solución no acotada coeficientes negativos o cero

-Empate en variable que entra + Seleccionar cualquiera

-Empate en variable que sale + Degeneración (Seleccionar a la suerte)

RESUMEN:RESUMEN:

SINTOMA CONDICION / ACCION

-Tabla final tiene variables que no + Soluciones múltiples son solución con Cj – Zj = 0

-Variable artificial en la solución final + Sin solución factible

-Columna de solución con todos los + Solución no acotada coeficientes negativos o cero

-Empate en variable que entra + Seleccionar cualquiera

-Empate en variable que sale + Degeneración (Seleccionar a la suerte)


PRECIOS SOMBRA (DUALESPRECIOS SOMBRA (DUALES):):PRECIOS SOMBRA (DUALESPRECIOS SOMBRA (DUALES):):

Los precios sombra o duales para cada recurso ( lado derecho de larestricción), se encuentran en el reglón Cj – Zj de la solución final,solamente para las variables de holgura y de excedente.

Los precios sombra o duales para cada recurso ( lado derecho de larestricción), se encuentran en el reglón Cj – Zj de la solución final,solamente para las variables de holgura y de excedente.

Ejemplo:Ejemplo:

Max Zo = 7X1 + 10X2sa 7X1 + 7 X2 ≤ 49 10X1 + 5 X2 ≤ 50

X1 , X2 ≥ 0

Ejemplo:Ejemplo:

Max Zo = 7X1 + 10X2sa 7X1 + 7 X2 ≤ 49 10X1 + 5 X2 ≤ 50

X1 , X2 ≥ 0TABLA FINAL

Cj 7 10 0 0

VD X1 X2 S3 S4 VS

10 X2 1 1 1/ 7 0 7

0 S4 5 0 -5/ 7 1 15

Zj 10 10 10/ 7 0 70

Cj - Zj -3 0 -10/ 7 0

Precios sombra o duales.Precios sombra o duales.

Solución Simplex de modelos de PLTABLA FINAL

Cj 7 10 0 0

VD X1 X2 S3 S4 VS

10 X2 1 1 1/ 7 0 7

0 S4 5 0 -5/ 7 1 15

Zj 10 10 10/ 7 0 70

Cj - Zj -3 0 -10/ 7 0

+ La variable S3 corresponde a la primera restricción y tiene un valor Cj – Zj = -10/7 en la tabla final.

+ Es decir, si se incrementa una unidad de S3 en la solución, la función objetivo disminuirá en 10/7. Pero la función objetivo se aumentará en esa cantidad si se reduce S3 en una unidad.

+ Esto equivale a elevar el lado derecho de la primera restricción de 49 a 50; ya que, las variables de holgura disminuyen cuando se incrementa el lado derecho.

+ También se puede decir que, el precio sombra para el primer recurso es +10/7 (cambio de signo), lo cual indica que se podría incrementar la función objetivo en 10/7, si se tuviera una unidad adicional de ese recurso; o también, podemos decir que este es el precio máximo que debe pagarse si se compraran unidades adicionales del recurso #1.

+ La unidad adicional del recurso #2 no ayuda, dado que no se está usando totalmente y por eso su valor es de cero.

+ La variable S3 corresponde a la primera restricción y tiene un valor Cj – Zj = -10/7 en la tabla final.

+ Es decir, si se incrementa una unidad de S3 en la solución, la función objetivo disminuirá en 10/7. Pero la función objetivo se aumentará en esa cantidad si se reduce S3 en una unidad.

+ Esto equivale a elevar el lado derecho de la primera restricción de 49 a 50; ya que, las variables de holgura disminuyen cuando se incrementa el lado derecho.

+ También se puede decir que, el precio sombra para el primer recurso es +10/7 (cambio de signo), lo cual indica que se podría incrementar la función objetivo en 10/7, si se tuviera una unidad adicional de ese recurso; o también, podemos decir que este es el precio máximo que debe pagarse si se compraran unidades adicionales del recurso #1.

+ La unidad adicional del recurso #2 no ayuda, dado que no se está usando totalmente y por eso su valor es de cero.

Max Zo = 7X1 + 10X2sa7X1 + 7 X2 ≤ 49 S3S310X1 + 5 X2 ≤ 50 S4S4X1 , X2 ≥ 0

Max Zo = 7X1 + 10X2sa7X1 + 7 X2 ≤ 49 S3S310X1 + 5 X2 ≤ 50 S4S4X1 , X2 ≥ 0

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