Sommaire de la séquence 6bruno.lpbayard.free.fr/MATHS/ARCHIVES-cned/CNED... · séance 1 — Séquence 6 Séance 1 Je découvre la distance d’un point à une droite Avant de commencer

Sommaire de la séquence 6

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Je découvre la distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Je découvre la notion de droite tangente à un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140J’analyse la figure formée par un cercle et deux droites tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143J’utilise les caractérisations de la bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Je découvre une propriété des bissectrices d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Je résonne dans les triangles, en utilisant les bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Je revois les propriétés des autres droites « remarquables » du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153J’effectue des exercices de synthèse - fin - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

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Objectifs Savoir tracer la tangente à un cercle en un de ses points .

Savoir trouver la distance d’un point à une droite .

Utiliser ces notions pour argumenter .

Connaître et utiliser la définition de la bissectrice .

Connaître et utiliser la propriété des points de la bissectrice .

Construire le cercle inscrit dans un triangle .

Connaître et utiliser la définition des hauteurs, médianes, médiatrices dans le triangle .

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Séquence 6séance 1 —

Séance 1Je découvre la distance d’un point à une droite

Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la SÉQUENCE N°6. Prends ensuite ton cahier de cours et écris « SÉQUENCE 6 : BISSECTRICE, CERCLE INSCRIT » en haut de la première page blanche. Fais de même avec ton cahier d’exercices. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret.

je révise les acquis de la 5e

1- Sur cette figure, le codage nous permet d’affirmer que :

A

C

B

M

(d)

(d2)

(d3)

® (d) est une médiane du triangle ABC.

® (d2) est une médiane du triangle ABC.

® (d3) est une médiane du triangle ABC.

® MA = MC

® MB = MC

2- Sur cette figure, les droites (d1) et (d2) sont parallèles. On peut conclure que :

�a

�b �c�d

(d1)

(d2)

® les angles a$ et b$ sont égaux.

® les angles a$ et c$ sont égaux.

® les angles a$ et d$ sont égaux.

® les angles c$ et d$ sont égaux.

3- Dans quel ordre faut-il ranger ces figures à main levée pour obtenir la série :

médiane – hauteur – médiatrice – bissectriceaa b

c d

® d – a – b – c

® a – b – d – c

® a – c – b – d

® d – b – a – c

4- Quelles phrases sont vraies ?

® L’axe de symétrie d’un segment est la médiatrice de ce segment.

® L’axe de symétrie d’un angle est la médiatrice de cet angle.

® L’axe de symétrie d’un losange est la plus grande diagonale de ce losange.

® L’axe de symétrie d’un cerf-volant est une des diagonales.

® L’axe de symétrie d’un angle est la bissectrice de cet angle.

Effectue l’exercice suivant sur ton livret et ton cahier d’exercices. Aucune explication n’est demandée.


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Exercice 11- Coche les bonnes réponses.

a) Pour connaître l’altitude de l’avion, je devrais connaître :

b) Pour connaître la hauteur de la montagne, je devrais connaître :

o SA o SB

o SH o SC

o SA o SB

o SH o SC

A H C B

S

A HC B

S

2- Si tu ne possèdes pas d’ordinateur, passe directement à la question 3 (ce n’est pas gênant).

Sinon, lance l’application Geocned et suis les consignes de la question a).

a) Place deux points A et B, trace la droite (AB) puis place un point S qui ne se trouve pas sur (AB).

Place un point M sur (AB), trace la droite (SM), puis fais afficher la longueur SM, ainsi que l’angle SMB∑ .

Indication technique :

Les points A, B et S sont des points « quelconques »

Ensuite, déplace le point M sur la droite (AB) et essaie de trouver l’endroit où la longueur SM est la plus petite.

b) Que peux-tu dire de la droite (SM) lorsque la longueur SM est la plus petite ?

3- Coche les bonnes réponses.

a) Pour connaître le plus court chemin du sommet S au côté [BA], je devrais connaître :

b) Pour connaître le plus court chemin du point S à la droite (d), je devrais connaître :

o SA o SB

o SH o SC

o SA o SB

o SH o SC

A

H

C

BS

A

H

C

B

S(d)

L’expression « le plus court chemin » est souvent utilisée dans la vie courante. Elle existe aussi en mathématiques, et elle a une définition précise. Prends ton cahier de cours, et recopie le paragraphe ci-dessous, après l’avoir lu.

Séquence 6 — séance 1

angle (S,M,B) = 84.01°SM = 4.698m

esures

A

S

M

B



e retiens DISTANCE D’UN POINT À UNE DROITEDéfinition :Soit une droite (d) et un point S qui n’est pas sur (d).La longueur du plus court chemin du point S à la droite (d) est appelé : « distance de S à la droite (d) ».

Propriété (admise pour l’instant) :La distance de S à la droite (d) est la longueur SH, où H est le pied de la perpendiculaire à (d) qui passe par S.

j

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

je comprends la méthodeMesurer la distance d’un point à une droite

1-

A

(d)

Je trace une partie de la perpendiculaire à la droite (d) passant par le point A.

2-

0

1

2

3

H

A

(d)

Je place le point H à l’intersection et je mesure AH.

Effectue les deux exercices suivants sur ton livret.

Exercice 2Mesure au mm près, dans chaque dessin, la distance du point à la droite. Écris ta mesure en mm, sur le segment que tu as mesuré.a) b) c)

A

B

C

(d)

(d' )

(d'')

…………………. …………………... …………………


H

S

(d)

A

(d)



Exercice 3En utilisant uniquement les informations portées sur la figure, écris la distance demandée, ou bien écris « on ne peut pas savoir ».

a) la distance du point D à la droite (FG) est : .........................

b) la distance du point B à la droite (DC) est : .........................

c) la distance du point C à la droite (BD) est : .........................

d) la distance du point B à la droite (DG) est : .........................

e) la distance du point F à la droite (DB) est : ..........................

f) la distance du point G à la droite (FD) est : ..........................

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 4Voici un point S et une droite (d) ne passant pas par S.

H est le pied de la perpendiculaire à (d) passant par S

Nous allons vérifier ici que SH est bien la longueur du plus court

chemin que l’on peut tracer entre S et un point de (d).

1- Reproduis sur ton cahier une figure semblable à celle-ci, avec les dimensions de ton choix.

2- Place sur (d) un point P quelconque, différent de H.

a) Trace le triangle SPH. Quelle est la nature de ce triangle ?

b) Compare SP et SH.

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. Cherche tout(e) seul(e) pendant 5 à 10 minutes. Si tu es bloqué(e), lis l’aide 1. Essaie à nouveau de chercher.Si tu es de nouveau bloqué(e), lis l’aide 2 puis essaie à nouveau de résoudre cet exercice.

Exercice 51- Trace un triangle quelconque XYZ. I et J sont les milieux respectifs des côtés [XY] et [XZ].

(d) est la hauteur issue de X. On appelle U le pied de cette hauteur. La droite (IJ) coupe (d) en K.

2- Compare la distance de Y à (d) avec la distance de I à (d).

Aide 1 : Regarde bien le triangle XYU …

Aide 2 : Peux-tu utiliser la propriété de Thalès ?

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n° 10. Effectue ensuite la série 2 de cette fiche.


F

D

B

C

A

G

14,8 km

14 km

6,4 km

9 km

4,8

km

BC = 8 km ; DG = 10,2 kmF, B et G sont alignés

H

S

(d)



Séance 2Je découvre la notion de droite tangente à un cercle


Exercice 6Combien un cercle et une droite ont-ils de points d’intersection ?

Pour répondre à cette question, tu peux construire différentes figures, ou bien utiliser si tu le peux Geocned. Tu lanceras alors Geocned et téléchargeras la figure sequence6_exercice6. Pour déplacer la droite, il suffit de déplacer le point M.

Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 71- a) Trace un cercle C de centre A qui n’a, avec la

droite (d), qu’un seul point d’intersection.

N’hésite pas à recommencer le dessin jusqu’à ce qu’il te semble correct. Quand tu penses avoir réussi, nomme H ce point de contact.

b) Que peux-tu dire du segment [AH] pour le cercle C ? Recopie et complète cette phrase :

« Pour le cercle C , le segment [AH] est un ………………………………………… »

c) Que peux-tu dire du segment [AH] par rapport à la droite (d) ?

Recopie et complète cette phrase :

le segment [AH] semble ………………………………………… à la droite (d) »

2- a) Trace à nouveau un cercle de centre B, qui n’a, avec la droite (d’), qu’un seul point d’intersection. Quand tu penses avoir réussi, nomme K ce point de contact.

b) Le segment [BK] semble-t-il avoir les mêmes propriétés que le segment [AH] de ta 1ère figure ?

……………………………………………….

……………………………………………….

Prends ton cahier de cours, et note soigneusement ce qui suit après l’avoir lu.


A

(d)

B

(d')



e retiens DROITE TANGENTE À UN CERCLEDéfinition : on dit qu’une droite est tangente à un cercle si elle a un unique point commun avec ce cercle.La droite (d) est tangente au cercle en H.La droite (d’) n’est pas tangente au cercle en M.Remarque : On dit aussi dans ce cas que le cercle est tangent à la droite.Propriété (admise) :

Si une droite (d) est tangente en H au cercle C de centre O

alors (d) est perpendiculaire en H au rayon [OH]

O

H

(d)

O

H

(d)

CC

Propriété (admise pour l’instant) :Si une droite (d) est perpendiculaire en H au rayon [OH]

alors (d) est tangente en H au cercle C de centre O passant par H

O

H

(d)

O

H

(d)

CC

j

Effectue l’exercice suivant sur ton livret.

Exercice 8Relie par un trait chaque figure au texte qui lui correspond.

E P

ME

P

M

E

P

M

PE

M

La droite est sécante au cercle

en E et P

La droite est tangente au cercle en M

La droite est sécante au cercle

en E et M

La droite est tangente au cercle en E


O

(d)

(d')

H

M

C



Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.

Exercice 9Sur cette figure, C est un cercle de centre O et de rayon 3 cm.La droite (d) est tangente en A au cercle C .On voudrait calculer la longueur en cm du segment [OB].1- Explique pourquoi on peut utiliser la propriété de Pythagore

dans le triangle OAB.

2- Calcule l’arrondi au dixième de la longueur OB en cm.

3- Trace toi-même cette figure en vraie grandeur, puis mesure [OB] pour contrôler la vraisemblance du résultat trouvé par le calcul.

Effectue les deux exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 10H est un point d’un cercle de centre A et de rayon 2,5 cm. La droite (d) est la perpendiculaire en H au rayon [AH].On veut prouver que (d) est tangente au cercle en H, c’est-à-dire que le seul point commun à (d) et au cercle est H.

Place un point P quelconque sur (d) différent du point H.a) Explique pourquoi on a : AP > AH.

b) P peut-il appartenir au cercle ?

Exercice 11Trace une droite (d), et place 2 points quelconques A et B n’appartenant pas à (d).Trace le cercle C 1 de centre A tangent à la droite (d). On appelle H le point de contact.Trace le cercle C 2 de centre B tangent à la droite (d). On appelle K le point de contact.Que peux-tu dire des droites (AH) et (BK) ?

L’exercice suivant est une énigme de construction. Dans ce genre de problème, on peut imaginer que la construction est « terminée » en traçant une figure à main levée, et se demander quelles propriétés possède alors la figure. Effectue cet exercice directement sur le livret.

Exercice 12Construis le cercle C passant par le point B et tangent à (d) en A.

A

B

(d)

Si tu es bloqué(e), lis cette aide : le centre du cercle cherché est à égale distance de A et de B, donc il est sur….

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°10. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche.


(d)

O

A

B

C



Séance 3J’analyse la figure formée par un cercle et 2 droites tangentes

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. Il ne fait que traduire les propriétés vues dans la séance 2 avec la notion de « distance d’un point à une droite » vue dans la séance 1.

e retiens

Propriété :Soit un cercle de centre A, et H un point de ce cercle.

Si une droite (d) est tangente en H au cercle

alors AH est la distance du point A à la droite (d)

A

H

(d)

A

H

(d)

Propriété réciproque :Si AH est la distance du point A à la droite (d)

alors la droite (d) est tangente en H au cercle.

A

H

(d)

A

H

(d)

j

Nous avons déjà étudié la figure formée par un cercle et une de ses tangentes. Nous allons maintenant étudier la figure formée par un cercle et deux de ses tangentes ! Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 13Trace un cercle de centre A. Place deux points quelconques H et K sur ce cercle. Trace (d1) tangente au cercle en H. Trace (d2) tangente au cercle en K. On appelle O le point d’intersection de (d1) et (d2), s’il existe. Trace la demi-droite [OA).1- Prouve que la distance de A à (d1) est égale à la distance de A à (d2).

2- Que semble représenter la demi-droite [OA) sur ta figure ?

Mesure au rapporteur les angles en degrés HOA∑ et KOA∑

pour vérifier cela.




3- Si tu possèdes un ordinateur, lance le logiciel Geocned.

Construis la figure à l’aide de Geocned. Affiche les mesures des angles HOA∑ et KOA∑

. Déplace ensuite les points H et K et observe ce qui se passe. Cela confirme-t-il la remarque faite à la fin de la question 2 ?

4-a) À l’aide de la propriété de Pythagore appliquée dans les

triangles AHO et AKO, prouve que OH = OK.

b) Prouve que (AO) est un axe de symétrie du quadrilatère AKOH.

c) Prouve que : HOA KOA∑ ∑= .

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours.

e retiens Propriété : Si un point est équidistant des 2 côtés alors il est sur la bissectriced’un angle de cet angle

j

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

e retiens BISSECTRICEDéfinition de la bissectrice d’un angle :La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui le partage en deux angles adjacents égaux. Ci-contre, [OS) est la bissectrice de l’angle

TOR∑ .Axe de symétrie d’un angle :L’axe de symétrie d’un angle est sa bissectrice.Remarque : Le terme bissectrice peut désigner une droite ou une demi-droite, suivant les situations.

j

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.


angle (H,O,A) = 37.03°angle (K,O,A) = 37.03°

mesures

A

H

K

O

O

T

S

R



Exercice 141- Énonce la réciproque de la propriété : « Si un point est équidistant des 2 côtés d’un angle

alors il est sur la bissectrice de cet angle ».

2- Nous allons voir si la réciproque de la propriété semble être vraie.a) Trace un angle MON∑

où M, O et N sont trois points quelconques. Trace la bissectrice de cet angle (ici, on parle d’une demi-droite), par une méthode de ton choix.

b) Place un point A quelconque sur cette bissectrice. Que peux-tu dire concernant le point A ?

c) Place un point A’ quelconque sur cette bissectrice. Que peux-tu dire concernant le point A’ ?

d)

Si tu possèdes un ordinateur, lance Geocned. Ouvre le fichier sequence6_exercice14 à l’aide de Geocned.

Déplace le point A sur la bissectrice de l’angle et observe les longueurs AK et AL. Que remarques-tu ?

Recopie ces phrases sur ton cahier de cours, après les avoir lues.

e retiens Propriété réciproque (admise) : Si un point est sur la bissectrice alors il est équidistant des 2 côtés de cet angle. d’un angle

j


Exercice 15On considère la figure à main levée ci-contre.

Le point A est-il plus près de K que de I ?



AL = 3.15AK = 3.15m

esures

AK

L

M

O N

L

I

J

KA

A ∈ [IK]

L ∈ [JK]



Séance 4J’utilise les caractérisations de la bissectrice

Effectue les exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 16(AB) est-elle la bissectrice de l’angle RAZ∑ ?

Exercice 17On considère la figure ci-contre.

ZOLI est un parallélogramme.

E est un point quelconque de [IL]

Le triangle ZFE est isocèle en Z.

(EF) est-elle la bissectrice de l’angle ZEL∑ ?

Si tu es bloqué(e), lis cette aide : étudie les angles alternes-internes FEL∑ et ZFE∑ .

Exercice 18C 1 est un cercle de centre O et de diamètre [AB]. C 2 est un cercle de centre A, de rayon inférieur à celui de C 1. Les deux cercles se coupent en U et V. 1- Construis une figure.

2- Quelle est la nature du quadrilatère VAUB ?

3- Montre que (AB) est la bissectrice des angles VAU∑ et UBV∑ .

Exercice 19On considère la figure à main levée ci-contre. Pour quelle(s) valeur(s) de x la demi-droite [AB) est-elle la bissectrice de CAD∑ ?


A

R

B

Z

25°

40°

Z F O

LEI

A

ACD = 96°

D

x C

B

86°



Lis attentivement la méthode décrite ci-dessous. Tu la connais sans doute déjà !

je comprends la méthodeTracer la bissectrice d’un angle au compas et à la règle

1-

OA

B

2-

OA

B

Je trace un arc de cercle de centre O. J’obtiens 2 points A et B.

Je trace 2 arcs de cercle, de centres A et B, ayant le même rayon.

3-

OA

B

Je trace la demi-droite d’origine O passant par le point d’intersection des 2 arcs de cercle.

Effectue cet exercice sur ton cahier d’exercices.

Exercice 20Construis un angle LOT∑

de 60° et trace sa bissectrice à la règle et au compas. Contrôle à l’aide d’un rapporteur que les mesures des angles en degrés de part et d’autre de ta droite sont bien égaux.





Séance 5Je découvre une propriété des bissectrices d’un triangle

Nous avons déjà étudié la figure formée par un cercle et une tangente, puis deux tangentes. Observons maintenant une figure formée par un cercle et 3 tangentes à ce cercle. Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

Exercice 211- Trace un cercle C de centre I et place 3 points quelconques H, K, L sur ce cercle. Tu

choisiras H, K et L non situés sur le même demi-cercle, et tels que [HK], [HL] et [KL] ne soient pas des diamètres.

Trace ensuite les tangentes au cercle en ces 3 points. On appelle A, B, C les points d’intersection de ces droites, s’ils existent.

Si tu ne peux pas obtenir 3 points A, B, et C, cela est dû à la position des points H, K et L. Observe quel est le problème, et construis une deuxième figure qui te permettra d’obtenir A, B et C.

2- Prouve que I appartient à la bissectrice de l’angle ABC∑ .

3- Prouve que I appartient à la bissectrice de l’angle BAC∑ et de l’angle ACB∑ .

Effectue cet exercice sur ton cahier d’exercices.

Exercice 221- Si tu ne possèdes pas d’ordinateur :

Trace un triangle quelconque ABC, et trace à la règle et au compas les bissectrices des

angles Aµ et Bµ . Ces bissectrices se coupent en I. Que peux-tu dire des angles ACI∑ et BCI∑ ?

Sinon, lance Geocned et construis la figure proposée ci-dessus. Fais mesurer les angles

ACI∑ et BCI∑ . Déplace ensuite les points A, B et C. Que remarques-tu ?

2- Nous allons démontrer la conjecture émise dans la question précédente.

a) Pourquoi la distance de I à [AB] est-elle égale à celle de I à [AC] ?

b) Pourquoi I appartient-il à la bissectrice de l’angle Cµ ?

c) Que viens-tu de démontrer au sujet des trois bissectrices d’un triangle ?

3- Si tu ne possèdes pas d’ordinateur :

Trace (IC) puis trace la perpendiculaire à (BC) passant par I. Elle coupe [BC] en L. Trace le cercle de centre I passant par L. Que remarques-tu ?

Sinon, lance Geocned et construis la suite de la figure proposée ci-dessus. Déplace ensuite les points A, B et C. Que remarques-tu ?

Prends ton cahier de cours, et recopie le paragraphe suivant, après l’avoir lu.


LC

A

BI



e retiens BISSECTRICES ET CERCLE INSCRITPropriétés :• Les bissectrices des trois angles d’un triangle sont concourantes.• Le point de concours est le centre du seul cercle tangent aux trois côtés du triangle.Définition :Ce cercle est appelé « cercle inscrit dans le triangle ».Remarque : le centre du cercle inscrit dans le triangle est le seul point équidistant des trois côtés du triangle.

j

Lis attentivement le paragraphe suivant.

je comprends la méthodeConstruire le cercle inscrit dans le triangle ABC

1- A

B

I

C

Je trace les bissectrices de 2 angles du triangle. Elles se coupent en I.

2- A

I

B H C

Je trace un rayon du cercle : le segment [IH] perpendiculaire à l’un des côtés du triangle convient.

Remarque : Il suffit, pour obtenir le centre du cercle inscrit dans le triangle, de tracer 2 bissectrices.

La construction de la 3ème bissectrice peut toutefois permettre de contrôler la bonne position du point d’intersection.

Effectue cet exercice sur ton cahier d’exercices. Tu utiliseras une feuille de papier calque pour construire la figure. Tu pourras ainsi, une fois l’exercice terminé, la vérifier par transparence en posant le calque sur la figure corrigée.

Exercice 23Trace sur une feuille de papier calque un triangle PRE tel que : PR = 7 cm, PE = 8 cm, RE = 9 cm.

Trace le cercle inscrit dans le triangle PRE, en faisant toutes les constructions nécessaires.



A

C

BOO



E

I

J

F

G

O

P

Séance 6Je raisonne dans des triangles en utilisant les bissectrices

Effectue les exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 24Dans le triangle ABC ci-contre, que représente le point O ?

Que peux-tu dire de la droite (OA) ?

Exercice 25Observe la figure ci-contre, et surtout ses codages.1- Prouve que les points E, P, O sont alignés.Remarque la ressemblance entre cette figure et celle de l’exercice précédent.

2- a) Compare les longueurs IJ et FG.

b) Que peux-tu dire des mesures des côtés du triangle EIJ par rapport à celles du triangle EFG ?

3- Construis une figure.

4- Trace le cercle inscrit dans le triangle EIJ, puis dans une couleur différente le cercle inscrit dans le triangle EFG.

Quelle relation semble-t-il y avoir entre leurs rayons ? Ne justifie pas ta réponse.

Exercice 26Dans cette figure, les bissectrices des

angles RST∑ et RTS∑ se coupent en O.

1- Le triangle RST est-il rectangle ?

2- Calcule la mesure en degrés de

l’angle SRO∑ .

Pour terminer, nous allons effectuer une énigme de construction. Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.


A

B

O

C

E

I

J

F

G

O

P

R

S

T

O

28° 135°

I milieu de [EF]

J milieu de [EG]



Exercice 27Le sommet de l’angle AOB∑

est en dehors du cadre.

Sauras-tu tracer, à la règle et au compas, la bissectrice de cet angle, en restant à l’intérieur du cadre ?

A

B

Si tu es bloqué(e), lis cette aide : imagine le triangle OAB. Trace la bissectrice de Aµ , et celle de Bµ . Tu connais alors un premier point sur la bissectrice cherchée. Il suffit alors d’en trouver un 2ème pour pouvoir la tracer.


Séance 7Je revois les propriétés des autres droites

« remarquables » du triangle

Nous avons prouvé dans la séance 5 que les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes.On connaît d’autres droites « remarquables » d’un triangle : ses 3 médiatrices, ses 3 hauteurs et ses 3 médianes. Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.




Exercice 281- Trace un triangle ABC tel que :

AB = 10,3 cm BC = 16,1 cm AC = 17,6 cm.

2- a) Construis à la règle et au compas les médiatrices des côtés [AB] et [AC]. Ces médiatrices se coupent en O.

b) Pourquoi O est-il à égale distance de A et B ? Pourquoi O est-il à égale distance de A et C ?

c) Pourquoi O appartient-il à la médiatrice de [BC] ?

3- a) Place maintenant les points I, J, K milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].

b) Pourquoi la médiatrice du côté [AC] est-elle perpendiculaire à [KI] ?

c) Quel rôle joue cette droite pour le triangle IJK ?

d) Quel rôle jouera la médiatrice de [AB] pour le triangle IJK? Quel rôle jouera pour le triangle IJK la médiatrice de [BC] ?

4- Conclusion : Que peut-on dire des trois hauteurs du triangle IJK ?

Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

Exercice 291- Trace un triangle IJK puis trace (d1) la droite passant par I et parallèle à (JK), (d2) la droite

passant par J et parallèle à (IK) et (d3) la droite passant par K et parallèle à (IJ). Les droites (d1) et (d2) se coupent en C, les droites (d2) et (d3) se coupent en A, et les droites (d1) et (d3) se coupent en B.

2- a) Quelle est la nature du quadrilatère CIKJ ?

b) Que peux-tu dire des longueurs CI et JK ?

3- a) Quelle est la nature du quadrilatère BIJK ?

b) Que peux-tu dire des longueurs BI et JK ?

4- Que représente I pour le segment [BC] ?

5- Prouve que les trois hauteurs du triangle IJK sont concourantes.

Exercice 301- Trace un triangle ABC. On appelle I, et J les milieux respectifs des côtés [BC] et [AC]. Les

médianes (AI) et (BJ) se coupent en G. On appelle C’ le symétrique de C par rapport à G et K le point d’intersection de (CG) et [AB].

2- a) Démontre que : (BC’) // (IG).

b) Démontre que : (AC’) // (GJ).

3- Quelle est la nature du quadrilatère C’AGB ?

4- Que représente (CK) pour le triangle ABC ?

Lis attentivement le paragraphe suivant.




e retiens MÉDIATRICES ET CERCLE CIRCONSCRITPropriété : Les médiatrices des trois côtés d’un triangle sont concourantes en un point : le centre du cercle circonscrit au triangle.

HAUTEURS ET ORTHOCENTREPropriété : Les hauteurs issues des trois sommets d’un triangle sont concourantes en un point appelé « orthocentre du triangle ».

MÉDIANES ET CENTRE DE GRAVITÉPropriété : Les médianes issues des trois sommets d’un triangle sont concourantes en un point appelé « centre de gravité du triangle ».

j

Voici un exercice de construction : nous allons construire toutes les droites « remarquables » d’un triangle. Effectue-le sur une feuille de papier calque et réponds aux questions dans ton cahier d’exercices.

Exercice 31Trace sur une feuille de papier calque un triangle dont les côtés mesurent : 14,8 cm, 13 cm, 11 cm.

Construis le cercle circonscrit à ce triangle, le cercle inscrit dans ce triangle, son centre de gravité G et son orthocentre H.

Tu appelleras O le centre du cercle circonscrit et I celui du cercle inscrit.



A

C

B

O

A

C

B

H

A

G

C

B



Séance 8J’effectue des exercices de synthèse

Effectue ces exercices sur ton cahier d’exercices.

Exercice 32ABC est un triangle quelconque, et M un point quelconque du côté [BC].

F est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABM. E est le centre du cercle inscrit dans le triangle ACM.1- Construis une figure.

2- Que peux tu dire des demi-droites [MF) et [ME) ? Ne justifie pas ta réponse.

3- Si tu n’as pas d’ordinateur, construis une nouvelle figure avec un triangle ABC de forme différente et observe à nouveau les demi-droites [MF) et [ME).

Sinon, lance Geocned et crée la figure demandée. « Manipule » la figure en déformant le triangle ABC ou en déplaçant le point M sur [BC]. Observe les deux demi-droites [MF) et [ME). Que remarques-tu ?

4- Prouve ce que tu viens d’observer.

Nous avons vu dans la séance 7 que les médiatrices d’un triangle sont les hauteurs de son « triangle des milieux ». Nous allons dans l’exercice suivant voir ce qu’il en est des médianes. Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices pour répondre aux questions, et sur une feuille blanche pour la construction. Attention, la figure nécessite une feuille complète !

Exercice 33Trace un triangle ABC tel que :

AB = 17 cm BC = 27 cm AC = 20 cm.

Place les points I, J, K milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. Trace le « triangle des milieux » IJK.1- Trace la médiane issue de A dans le triangle ABC. Prouve que cette droite est la médiane

issue de I dans le triangle IJK.

Aide : essaie de prouver que le quadrilatère AJIK est un parallélogramme.




2- Déduis-en que le triangle ABC et son « triangle des milieux » IJK ont le même centre de gravité. Place ce centre de gravité, et nomme-le G.

3- Place maintenant les points L, M, N, milieux respectifs des côtés [JK], [IK] et [IJ]. Trace le triangle LMN : c’est le « triangle des milieux » du triangle IJK. Quel est le centre de gravité du triangle LMN ?

4- Continue le dessin tant que tu le peux, en traçant le « triangle des milieux » de LMN, puis le « triangle des milieux » suivant, etc.

Nous allons maintenant effectuer un exercice de…pliage. Pour ce pliage, utilise une feuille blanche. Tu noteras tes réponses sur ton cahier d’exercices.

Exercice 34

Trace sur la feuille blanche un triangle ABC de mesures :

AB = 17 cm BC = 15 cm AC = 12 cm.

Découpe ce triangle. Écris le nom des sommets à l’intérieur s’il a été découpé.

1- Fais les pliages nécessaires pour obtenir les médiatrices du triangle. Repasse en rouge les 3 plis.

2- Tu dois pouvoir tracer en bleu les 3 médianes, sans aucun pliage ni construction supplémentaire.

3- Fais les pliages nécessaires pour obtenir les bissectrices du triangle. Repasse en noir ces 3 plis.

4- Fais les pliages nécessaires pour obtenir les hauteurs du triangle. Repasse en vert ces 3 plis.





Séance 9J’effectue des exercices de synthèse

Comme dans la séance précédente, tu devras répondre à des questions en utilisant tes connaissances sur les bissectrices, médianes, médiatrices, ou hauteurs…et leurs propriétés.Effectue ces exercices sur ton cahier d’exercices.

Exercice 35Le cercle est tangent aux deux côtés de l’angle droit.

Quelle est la longueur AO en cm ? Tu donneras l’arrondi au mm près.

Exercice 36Voici le texte d’un exercice que Quentin essaie de résoudre :« Un triangle ABC est rectangle en B. M est un point du côté [AC]. La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe [AB] en L. La perpendiculaire à (BC) passant par M coupe [BC] en K. Où placer le point M sur le segment [AC] pour que la longueur KL soit minimum ? » .

1- Essaie de résoudre ce problème pendant 5 minutes.

2- Construis un triangle ABC rectangle en B tel que : AB = 10 cm et : BC = 8 cm. Place ensuite un point M sur [AC], construis ensuite les points L et K et mesure LK. Place ensuite d’autres points M sur [AC], construis ensuite les points L et K et mesure LK. Sans justification, essaie de dire où on doit placer le point M pour que KL soit minimum.

3- Si tu as un ordinateur, ouvre le logiciel de géométrie Geocned et crée les éléments nécessaires pour obtenir la figure de cet exercice. Pour tracer le triangle rectangle de départ, tu auras besoin du menu Créer/ Droite/ Perpendiculaire.

Sans justification, essaie de dire où doit-on placer le point M pour que KL soit minimum.

4- Quentin dit : « LMKB est un rectangle, et on veut que sa diagonale [LK] soit la plus petite possible ».

Que penses-tu de la remarque de Quentin ?

5- Compare BM et KL.

6- Où doit-on placer le point M sur [AC] pour que la longueur LK c’est-à-dire BM soit la plus petite possible ?

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement les questions et coche la ou les réponses justes sur ton livret. Une fois le test effectué, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement, puis entoure en rouge les bonnes réponses.


5 cm

O

A

A

L

K

M

B C


je m’évalue

1- Quelle(s) figure(s) représente(nt) une droite tangente en H au cercle ?

11 2

3 4

OHO

H

O

H

O

H

® la figure 1

® la figure 2

® la figure 3

® la figure 4

2- Dans cette figure, on sait que la droite (d) est tangente au cercle de centre O.

Quelles phrases peut-on en déduire ?

O

H

K

L

(d)

® OHK est un triangle rectangle.

® OLK est un triangle isocèle.

® OKH est un triangle isocèle.

® OLH est un triangle isocèle.

® OLH est un triangle rectangle.

3- (d) est la hauteur issue de A du triangle ABC. Alors on peut affirmer que :

(d)

(d')

A

CE

B

® AE est la distance du point A à la droite (d).

® BE est la distance du point B à la droite (d).

® AB est la distance du point A à la droite (d’).

® EA est la distance du point A à la droite (d’).

4- Sur quelle(s) figure(s) la demi-droite [OM) est-elle la bissectrice de l’angle

AOB∑ ?

1 2

3 4

OO

OO

A A

A

A

B B

B

B

M M

M M

® la figure 1

® la figure 2

® la figure 3

® la figure 4





5- Quelles sont les phrases exactes ?

® Dans un triangle, le cercle inscrit passe par les 3 sommets.

® Dans un triangle, le cercle inscrit passe par le point de concours des bissectrices.

® Dans un triangle, le cercle inscrit est tangent aux 3 côtés.

® Dans un triangle, le cercle inscrit est tangent aux 3 bissectrices.

6- Les droites perpendiculaires aux côtés d’un triangle sont :

® les médianes et les médiatrices.

® les médianes et les hauteurs.

® les bissectrices et les médiatrices.

® les hauteurs et les médiatrices.

® les bissectrices et les hauteurs.

7- Les droites passant par les milieux des côtés d’un triangle sont :

® les médianes et les hauteurs.

® les médianes et les médiatrices.

® les bissectrices et les médiatrices.

® les hauteurs et les médiatrices.

® les bissectrices et les hauteurs.

8- Le cercle de centre O passant par H :A

H

C K

B O

® passe par K.

® passe par A.

® est tangent à la droite (AB).

® est le cercle circonscrit au triangle ABC.

® est le cercle inscrit dans le triangle ABC.9- Le cercle circonscrit au triangle EFG :

® a pour centre le point de concours des trois bissectrices.

® a pour centre le point de concours des trois médiatrices.

® a pour centre le point de concours des trois hauteurs du triangle.

® passe par les trois sommets E, F et G.

10- Quel point est à égale distance des trois côtés d’un triangle ?

® le centre de gravité.

® l’orthocentre.

® le centre du cercle circonscrit au triangle.

® le centre du cercle inscrit dans le triangle.



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Sommaire de la séquence 6bruno.lpbayard.free.fr/MATHS/ARCHIVES-cned/CNED... · séance 1 — Séquence 6 Séance 1 Je découvre la distance d’un point à une droite Avant de commencer