Son et Musique

Variations sur un thème

pour

l’option Sciences de seconde

F Geniet 06/07

Quelques considérations acoustiques

Partiels et Harmoniques

Un système simple à partiels

k k km m

2 modes :

m

k1

m

k32

Le mouvement n’est en général pas périodique (mathématiquement, c’est un tore avec deux fréquences incommensurables). Ce sont des partiels

NB : Pour un physicien, c’est simple à expliquer : la relation de dispersion est non linéaire, et les vecteurs d’onde sont quantifiés par la boite

Ce cas de figure est en fait général : cavités, plaques, barres… ne vibrent pas de façon harmonique

Deux exceptions notables : les tuyaux sonores et les cordes vibrantes sont en première approximation harmoniques.

Ce sont des systèmes 1 dimensionnels (quasi) infinis. les fréquences des partiels sont multiples de la fréquence du fondamental.

Cordes vibrantes.

Dans ce cas, la relation de dispersion est linéaire, et les modes sont harmoniques. On se les représente souvent comme cela :

Mais en réalité, avec la magie des cosinus, la vibration de la corde ressemble plutôt à

Ce qui se comprend mieux comme la somme de deux ondes se propageant à droite et à gauche à vitesse c : +c-c

En regardant bien, on comprend pourquoi l’intensité du son du violon augmente avec la vitesse de l’archet (et pas avec la pression sur la corde !) :

En effet l’oscillation se déplace à vitesse c fixée le long de la corde. Pendant ce temps , l’archet (et la corde en phase « stick ») se déplace de v

Le cas du violon est très semblable. Le mouvement observé s’appelle vibration de Helmholtz :

Conclusion :

Au moins deux grandes familles cordes et vents, archétypes des instruments produisant des sons musicaux, sont basés sur la série harmonique.

Cela justifie l’importance de la série harmonique dans la construction des gammes, et en particulier le rôle essentiel de la première harmonique non triviale : la quinte fquinte = 3 ffondamental

Harmoniques et Consonance

Les sons musicaux sont très riches en harmoniques (ou partiels) :

Remarquer l’incompatibilité apparente de ce graphique avec T > 1 !

Dans le cas où les sons produits sont harmoniques, on a une idée simple de consonance de deux sons : c’est l’absence de battements entre les différentes harmoniques des sons.

Consonance

Dans la réalité, on va voir qu’il est impossible d’obtenir une absence de battements.

La notion de consonance semble donc en définitive liée à l’absence ou à la lenteur des battements entre les différents sons.

Plusieurs logiques en conflit :

Intervalles et Gammes

Physique Physiologie

Mélodie Harmonie

Consonance Transposition non limitée

Intervalles et Gammes

Les intervalles harmoniques sont construits sur des rapports de fréquences simples :

octave (2) , quinte (3) , tierce (5) …

L’intervalle d’octave définit une relation d’équivalence. On passe au quotient pour identifier les notes.

intervalle de quinte : f1 / f0 = 3 / 2

Depuis l’antiquité, les harmoniques, et la quinte en particulier, apparaissent comme indissociable de la justesse musicale (consonance des harmoniques)

1200 log2(3/2) = 701.955 700

Intervalles harmoniques et gamme bien tempérée sont en conflit !

Fréquences de la gamme chromatique bien tempérée théorique :

fi = f0 2 i/12

Les intervalles sont égaux dans cette construction, mais…

Savarts : K = 1000 et log10 1 octave = 301.03 SavartsCents : K = 1200 et log2 1 octave = 1200 Cents

mesure des intervalles suivant I = K log(f2/f1).

Intervalles et Gammes

Solb Fa#Do

RébDo#

RéMibb

Ré#Mib

Fab Mi

Fa Mi# SolLabb

Sol#Lab La#

Sibb

Sib

La SiDob

Constructions de la gamme de Pythagore à partir des quintes justes : fn = f0 (3/2)n ( n = -6 …5 )

Gamme bien tempérée théorique

Do Ré Mi Fa Sol La Si

Réb Mib Solb Lab Sib

Et les dièses ?

Comma de Pythagore

Et si on continue le cycle des quintes ?

On fabrique une gamme 53 tonique, connue des chinois et qui donne la division du demi ton en 4 ou 5 commas :

Remarque : ça ne boucle toujours pas, malgré les apparences !

En effet, 353 = 19383245667680019896796723284 = 19342813113834066795298816

Il y a donc des grands et des petits demi tons,…mais chaque ton contient 9 comas

Do Réb Ré Mib Mi Fa Solb Sol Lab La Sib Si

13

25

37

4950 5152 121

53

construction de la Gamme de Zarlin.

Gamme de Zarlino Gamme de Pythagore

Les physiciens acousticiens disent que c’est « la gamme naturelle »

…mais les musiciens ne sont pas du tout d’accord :

Mi

5/41

Do

3/2

Sol

Ré

9/4

Si

15/16

Sol

3/2

Fa

4/3

La

5/3

Do

2 (1)

A part l’aspect mathématiquement esthétique des fractions simples, cette gamme est fausse, on ne peut pas construire simplement les notes chromatiques et la transposition est quasi impossible…

…mais on continue à s’y référer!

Conclusion :

A travers ces quelques remarques simples, on voit que le problème de produire des instruments justes est en réalité très complexe, et doit concilier plusieurs logiques en apparence opposées.

Ce domaine n’est pas clos comme le montrent par exemple le renouveau apporté par les travaux de Serge Cordier sur la question de justesse et la pratique de l’accord du piano.

Il est cependant dommage que les travaux mathématiques sur la musique se contentent souvent de visions très schématiques, peu pertinentes dans ce domaine où les connaissances ont étés élaborées de façon empirique, mais sûre, depuis des millénaires.